Bài tập cơ bản về giới hạn

PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa:
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu
u
n
có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:
( )
lim 0 hay u 0 khi n + .
n
u
n
n
= → → ∞
→+∞
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là a hay (u
n
) dần tới a khi n dần tới vô
cực (
n → +∞
), nếu
( )
lim 0.
n
n
u a
→+∞

− =
Kí hiệu:
( )
n
lim hay u khi n + .
n
n
u a a
→+∞
= → → ∞
 Chú ý:
( ) ( )
lim lim
n n
n
u u
→+∞
=
.
2. Một vài giới hạn đặc biệt.
a)
*
k
1 1
lim 0 , lim 0 , n
n
+
= = ∈¢
n
b)

( )
lim 0
n
q
=
với
1q <
.
c) Lim(u
n
)=c (c là hằng số) => Lim(u
n
)=limc=c.
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.
a) Định lý 1: Cho dãy số (u
n
),(v
n
) và (w
n
) có :
*
n
v n
n n
u w≤ ≤ ∀ ∈¥
và
( ) ( ) ( )
n
lim lim lim u

n n
v w a a= = ⇒ =
.
b) Định lý 2: Nếu lim(u
n
)=a , lim(v
n
)=b thì:
( ) ( ) ( )
± = ± = ±
lim lim lim
n n n n
u v u v a b
( )
lim . lim .lim .
n n n n
u v u v a b= =
( )
( )
( )
*
n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
n
n
n n
u
u

a
b
v v b
= = ≠ ∀ ∈ ≠¥
( ) ( )
lim lim , 0 ,a 0
n n n
u u a u= = ≥ ≥

1
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với
1.q <

1
lim lim
1
n
u
S
q
=
−
5. Dãy số dần tới vô cực:
a) Ta nói dãy số (u
n
) dần tới vô cực
( )
n
u → +∞
khi n dần tới vơ cực

( )
n → +∞
nếu
u
n
lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(u
n
)=
+∞

hay u
n

→ +∞
khi
n → +∞
.
b) Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là
−∞
khi
n → +∞
nếu lim
( )
n
u− = +∞
.Ký hiệu:
lim(u
n

)=
−∞
hay u
n
→ −∞

khi
n → +∞
.
c) Định lý:
o Nếu :
( )
( )
*
n
lim 0 u 0 , n
n
u = ≠ ∀ ∈¥
thì
1
lim
n
u
= ∞
o Nếu :
( )
lim
n
u = ∞
thì

1
lim 0
n
u
=
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
1. Giới hạn của dãy số (u
n
) với
( )
( )
n
P n
u
Q n
=
với P,Q là các đa thức:
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a
0
, hệ số cao nhất của Q là b
0
thì rút
n
k
ra đơn giản và đi đến kết quả:
( )
0
0
lim
n

a
u
b
=
.
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì rút n
k
ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(u
n
)=0.
o Nếu k = bậc P > bậc Q, rút n
k
ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(u
n
)=
∞
.
2. Giới hạn của dãy số dạng:
( )
( )
n
f n
u
g n
=
, f và g là các biển thức chứa căn.
o Rút n
k
ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp.
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

C. CÁC VÍ DỤ:
1.
2
2 2
2
2
2
2
2
2 5
2 5
n 3+ +
3+ +
n
3n +2n+5 n 3
n
n
lim = lim lim =
1 8
7
7n +n - 8 1 8
7 + -
n 7 + -
n
n
n
n
 
 ÷
 

 
 ÷
 

2
2.
2
2
2
1
1
1+ +4
1+ +4
n
n +1 +4n 1+4 5
n
lim = lim = lim = =
2
3n - 2 3 3
2
3 -
3 -
n
n
 
 ÷
 ÷
 
 
 ÷

 
n
n
3.
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2
2 2
n + 2n+ 3 - n n + 2n+ 3 + n
n + 2n+ 3 - n
lim n +2n+3 - n = lim = lim
n +2n+3 + n n + 2n+ 3 + n
2
2
2
3
3
n 2+
2+
2n+ 3 2
n
= lim = lim = lim = =1
1+1
2 3

n +2n+3 + n 2 3
1+ + +1
n 1+ + +1
n
n
n
n
 
 ÷
 
 
 ÷
 ÷
 
n
Chú ý :
2
n +2n+3 +n
là biểu thức liên hợp
của
2
n +2n+3 - n
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a.
2
2
7n -3
Lim
n 2
n

 
 ÷
+
 
b.
2
2
2n
Lim
n 2
 
 ÷
+
 
. c.
2
1
Lim
n 1
 
 ÷
+
 
d.
3n
Lim
2n 1
 
 ÷
+

 
Bài giải:
a.
n n 1
Lim Lim Lim 1
1 1
n 1
n 1 1
n n
 
= = =
 ÷
+
   
 
+ +
 ÷  ÷
   
.
b.
2
2
2
2
2n 2
Lim Lim 2
2
2
1
n 1

n
n
= =
 
+
+
 ÷
 
.
c.
2
2 2
2
2
2 2
1 1
n
1
n n
Lim Lim Lim 0
1 1
n 1
n 1 1
n n
   
 ÷  ÷
 
   
= = =
 ÷

+
   
 
+ +
 ÷  ÷
   
.
d.
3n 3n 3 3
Lim Lim Lim
1
1
2n 1 2
2
n 2
n
n
 
= = =
 ÷
+
 
 
+
+
 ÷
 
.
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
a.

3n-1
Lim
2n 1
 
 ÷
+
 
b.
2
2
n 2 n 3
Lim
2n n n
 
+ +
 ÷
 ÷
+ −
 
c.
2
2n n 3
Lim
n n 1
 
+
 ÷
 ÷
+ +
 

3
d.
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1
Lim
3 2 3
n n
n n
+ +
+ +
. e.
2
2
7n -3
Lim
n 2
n
 
 ÷
+
 
f.
3
3
6n -2n 1
Lim
2n n 1
 

+
 ÷
− +
 
Bài 3. Tính các giới hạn:
a.
(
)
2
Lim 1n n n+ + −
b.
1 2
Lim
1 2
n
n
 
+
 ÷
−
 
c.
3 4
Lim
3.4 2
n n
n n
 
+
 ÷

−
 
Bài giải.
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2 2
2 2
n n 1 n n n 1 n
n 1
. Lim n n 1 n Lim Lim
n n 1 n n n 1 n
1 1
n 1 1
1
n n
Lim Lim
2
1 1 1 1
n 1 1 1 1
n n n n
a

+ + − + + +
+
+ + − = =
+ + + + + +
   
+ +
 ÷  ÷
   
= = =
   
+ + + + + +
 ÷  ÷
   
(
)
( ) ( )
(
)
2 2
2
2
2
n n n n n n
n
. Lim n n n Lim Lim
n n n
n n n
n 1 1
Lim Lim
2

1 1
n 1 1 1 1
n n
b
+ − + +
+ − = =
+ +
+ +
= = =
   
+ + + +
 ÷  ÷
   
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính các giới hạn sau:

4
2 2 3 2
2 2 3
5 3 2 3 2
5 2 2
2 2 3 2
3 4 4 2
3n +5n+4 6 +3n - n 2n - 4n +3n+7
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;
2 - n 3n +5 n -7n+5
2n -6n+9 2n 1- 5n n 3n
4)lim ; 5)lim + ; 6)lim - ;
1- 3n 2n +3 5n+1 n +1 3n+1
n -n+3 -2n +n+2 n - n sinn -1

7)lim ; 8)lim ; 9)lim ;
n +3n 3n +5 2n - n +7
10)
   
 ÷  ÷
   
2
2
2
3
(2 1)( 2) 5 5 1
17) ; 18) ;
2 3 1 (5 2)( 4)
( )(2 1)
19)
2 2 4
2
4 2
2 6 2
2 6 5
2
1+4n+9n 2n - n+4 n -2n+3
lim ; 11)lim ; 12)lim ;
1- 2n -2n +3
2n - n +1
2n -1 n +3n - 3 4n -1
13)lim ; 14)lim ; 15) lim ;
1- 3n 2n +n - 2 n+1
n n -1 n n n n
16)lim ; lim lim

3n +2 n n n n
n n n
lim
n
− + + −
− + + −
+ −
3
2 2
3 3 2 2 2 2
2
3 3
2 1 2 3 5
; 20) ; 21) ;
3 1 3 7 6 9
1 1 3 2 3 4 1
22) ; 23) ; 24) .
2 3 1
27 3
n n n n
lim lim
n n n n n
n n n n n n n
lim lim lim
n n n
n n
+ + +
+ − + + + +
+ + − − + + − +
+ − +

− +
Bài 2. Tính các giới hạn:
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
2 2 2 2
2
2 2 2 2
3 33 2 2 3
3n +1 - n -1 2n +1 - n +1
1)lim n +n - n ; 2)lim ; 3)lim ;
n n+1
4)lim n +1 - n -1 ; 5)lim( n +n - n +1 ); 7)lim n -1( n+2 - n );
1
7)lim ; 8)lim n - 2n - n ; 9)lim n - n +n .
n n+1 - n -1
PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới
hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (x
n
), x
n

∈
K và x
n

≠
a ,
*
n∀ ∈¥
mà
lim(x
n
)=a đều có lim[f(x
n
)]=L.Kí hiệu:
( )
lim
x a
f x L
→
 
=
 
.
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b. Định lý 2:Nếu các giới hạn:
( ) ( )
→ →
   
= =

   
lim , lim
x a x a
f x L g x M
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
     
± = ± = ±
     
lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x L M
( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
     
= =
     
lim . lim .lim .
x a x a x a
f x g x f x g x L M


5
( )
( )
( )
( )
→
→

→
 
 
= = ≠
 
 
lim
lim , M 0
lim
x a
x a
x a
f x
f x
L
M
g x
g x

( ) ( ) ( )
→ →
 
= = ≥ ≥
 
lim lim ; 0, 0
x a x a
f x f x L f x L
c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ
điểm a), g(x)
≤

f(x)
≤
h(x)
,x K x a∀ ∈ ≠
và
( ) ( ) ( )
lim lim lim
x a x a x a
g x h x L f x L
→ → →
     
= = ⇒ =
     
.
2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (x
n
), lim(x
n
) = a , đều có
lim[f(x
n
)]=
∞
thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu:
( )
lim
x a
f x
→

 
= ∞
 
.
b) Nếu với mọi dãy số (x
n
) , lim(x
n
) =
∞
đều có lim[f(x
n
)] = L , thì ta nói f(x) có giới
hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:
( )
lim
x
f x L
→∞
 
=
 
.
c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x
n
), mà x
n
> a
*
n∀ ∈¥

, thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :
( )
lim
x a
f x
+
→
 
 
. Nếu
chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x
n
), x
n
< a
*
n∀ ∈¥
thì ta nói hàm số có giới hạn bên
trái tại a , kí hiệu:
( )
lim
x a
f x
−
→
 
 
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
1. Giới hạn của hàm số dạng:

( )
( )
0
lim
0
x a
f x
g x
→
 
 ÷
 
Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)
2
.
Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
2. Giới hạn của hàm số dạng:
( )
( )
lim
x
f x
g x
→∞
∞
 
 ÷
∞
 
Chia tử và mẫu cho x

k
với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu
x → +∞
thì coi như x>0,
nếu
x → −∞
thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.

6
3. Giới hạn của hàm số dạng:
( ) ( ) ( )
→∞
 
∞
 
lim . 0.
x
f x g x
.
Ta biến đổi về dạng:
∞
 
 ÷
∞
 
4. Giới hạn của hàm số dạng:
( ) ( ) ( )
lim -
x
f x g x

→∞
 
− ∞ ∞
 
Đưa về dạng:
( ) ( )
( ) ( )
lim
x
f x g x
f x g x
→∞
−
+
C. CÁC VÍ DỤ:
1.
( ) ( )
( )
2
2
x -2
-2 - 3 -2 +2
x - 3x+2 12
lim = = - = -3
x - 2 4
-2 - 2
→
2.
( ) ( )
( )

2
x 2 x 2 x 2
x - 2 x -1
x - 3x+ 2
lim = lim = lim x -1 = 2 - 1= 1
x - 2 x - 2
→ → →
.Chia tử và mẫu cho (x-2).
3.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
x 3 x 3 x 3
x+1 - 2 x +1+2 3x +3 x+1- 4 3x +3
x+1 - 2
lim = lim = lim
3x - 3
3x - 3 x+1 + 2 3x +3 3x - 3 x +1+ 2
→ → →
=
1
2
Bài 1. Tính các giới hạn sau: (Tính trực tiếp)
a.
( )
3x2Lim

2x
+
→
b.
( )
4x3x2Lim
3
2x
++
−→
c.
2
2
x -1
2x +3x+1
Lim
-x +4x+2
→
 
 ÷
 
d.






−
−

→
9x
3x
Lim
2
3x
e.






−
+
−→
9x
3x
Lim
2
3x
Bài giải.
a.
( )
732.23x2Lim
2x
=+=+
→
b.
( )

( ) ( )
3
3
x -2
Lim 2x +3x+4 = 2. -2 +3 -2 +4 = -6
→
c.
( ) ( )
( ) ( )
0
3
0
2141
11.31.2
2x4x
1x3x2
Lim
2
2
2
2
1x
=
−
=
+−+−−
+−+−
=









++−
++
−→

7
d.
( )( )
6
1
3
1
33
3
9
3
333
2
=
+
=
+−
−
=







−
−
→→→
x
Lim
xx
x
Lim
x
x
Lim
xxx
e.
( )( )
6
1
3
1
33
3
9
3
333
2
−=

−
=
+−
+
=






−
+
−→−→−→
x
Lim
xx
x
Lim
x
x
Lim
xxx
Bài 2. Tính các giới hạn sau: (dạng
0
0
nhân chia lượng liên hợp)
a.







−+
→
39
4
0
x
x
Lim
x
b.
x 0
1+2x -1
lim( )
2x
→
c.








−
−

→
2
22
2
x
x
Lim
x
Bài gải.
( )
( ) ( )
( )
x 0 x 0
x 0
4x 9 x 3 4 9 x 3
4x
. Lim Lim Lim 24
1
9 x 3
9 x 3 9 x 3
a
→ →
→
+ + + +
 
= = =
 ÷
+ −
+ − + +
 

( ) ( )
( ) ( ) ( )
x 0 x 0 x 0
x 0
1 2x 1 1 2x 1
1 2x 1 2x 1 1
b. Lim Lim Lim Lim
2x 2
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 1 2x 1
→ → →
→
+ − + +
 
+ −
= = = =
 ÷
 ÷
+ + + + + +
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
x 2 x 2 x 2
x 2
2x 2 2x 2
2x 2 2x 4 2 1
c. Lim Lim Lim Lim
x 2 2

x 2 2x 2 x 2 2x 2 2x 2
→ → →
→
− +
 
− −
= = = =
 ÷
 ÷
−
− + − + +
 
Bài 3. Tính các giới hạn sau: ( Dạng
0
0
chia đa thức)
a.








−
−+
→
3
152

2
3
x
xx
Lim
x
b.








−
++
−→
1
132
Lim
2
2
1
x
xx
x
Bài giải.
a.
( )( )

( )
( )
8535xLim
3x
3x5x
Lim
3x
15x2x
Lim
3x3x3x
2
=+=+=
−
−+
=








−
−+
→→→
b.
( )
( ) ( ) ( )
2

2
x -1 x -1 x -1
1 1
2 x+1 x+ 2 x+
2x +3x+1 -1 1
2 2
Lim = Lim = Lim = =
x+1 x -1 x -1 -2 2x -1
→ → →
   
 ÷  ÷
 
   
 ÷
 

8
Bài 4. Tính các giới hạn sau: (Dạng
∞
∞
đưa x mũ lớn nhất của tử và mẫu làm
nhân tử chung (rút nhân tử chung sau đó chia tử và mẫu cho x mũ lớn nhất)
a.






+

−∞→
12x
1-3x
Lim
x
b.








−+
++
+∞→
xx2x
3x2x
Lim
2
2
x
c.









++
+
+∞→
1xx
3x2x
Lim
2
x
d.
( )( )
( )( )
323
121
Lim
++
++
−∞→
xx
xx
x
. e.









+
−∞→
2x
3-7x
Lim
2
2
x
x
f.








+−
+
−∞→
12x
12x-6x
Lim
3
3
x
x

Bài giải.
a.
x x x
1 1
x 3 3
3x-1 3
x x
Lim Lim Lim
1 1
2x 1 2
x 2 2
x x
→−∞ →−∞ →−∞
   
− −
 ÷  ÷
 
   
= = =
 ÷
+
   
 
+ +
 ÷  ÷
   
b.
2
2 2 3 2
2

2
2
2 3
x x x
2 x 3 1 3
x 1 1 2
x x x
x 2 x 3 1
Lim Lim Lim
2
2x x x
1 x 1 1
x 2 2
x x x
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
   
+ + + +
 ÷  ÷
 
+ +
   
= = =
 ÷
 ÷
   
+ −
 
+ − + −

 ÷  ÷
   
c.
2
2 2
2
2
2 2
x x x
2 x 3 1 3
x 2
x x x
2x x 3
Lim Lim Lim 0
1 1 1 1
x x 1
x 1 1
x x x x
x
→+∞ →+∞ →+∞
   
+ +
 ÷  ÷
 
+
   
= = =
 ÷
 ÷
+ +

   
 
+ + + +
 ÷  ÷
   
d.
( ) ( )
( ) ( )
2
2
x x x
1 1 1 1
x 1 2 1 2
x 1 2x 1
1.2 2
x x x x
Lim Lim Lim
2 3 2 3
3x 2 x 3 3.1 3
x 3 1 3 1
x x x x
→−∞ →−∞ →−∞
     
+ + + +
 ÷ ÷  ÷ ÷
+ +
     
= = = =
+ +
     

+ + + +
 ÷ ÷  ÷ ÷
     
e.
2
2
2
2
2 2
x x x
3 3
x 7 7
7x -3x
x x
Lim Lim Lim 7
2 2
x 2
x 1 1
x x
→−∞ →−∞ →−∞
   
− −
 ÷  ÷
 
   
= = =
 ÷
+
   
 

+ +
 ÷  ÷
   
f.
3
3
2 3 2 3
3
3
2 3 2 3
x x x
2 1 2 1
x 6 6
6x -2x 1
x x x x
Lim Lim Lim 3
1 1 1 1
2x x 1
x 2 2
x x x x
→−∞ →−∞ →−∞
   
− + − +
 ÷  ÷
 
+
   
= = =
 ÷
− +

   
 
− + − +
 ÷  ÷
   

9
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Tính các gới hạn
Bài 1: (Tính trực tiếp)
1.
2
x -1
lim(x +2x+1)
→
2.
x 1
lim(x+2 x +1)
→
3.
( )
2
x 3
lim 3 - 4x
→
4.
x 1
x+1
lim
2x - 1

→
; 5.
2
5
x -1
x + x+1
lim
2x +3
→
Bài 2: (Tính giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số)
( )
( ) ( )
3
2 2
2
2
x 1 x 3 x 2
4 2
2 3
x 1 x 1 x 1
3 3
3
2
3 2
x 0 h 0 x 1
3 2
2

x 2
x - 1 x- 3 x - 3x+2
1)lim ; 2)lim ; )lim ;
x -1 x +2x - 15
x - 2
x - 1 x - x 1 3
4)lim ; 5)lim ; 6)lim - ;
x +2x - 3 1- x 1- x
x -1
x - 2 +8 2 x+h - 2x
2x - 3x+1
7)lim ; 8)lim ; 9)lim ;
x h x - x - x+1
x + x - 2x - 8
10)lim
x -
→ → →
→ → →
→ → →
→
 
 ÷
 
3 2 3
2 2
1
x 3
x
2
x - 4x +4x - 3 8x -1

; 11)lim ; 12)lim ;
3x+2 x - 3x 6x - 5x+1
→
→
Bài 3: (Tìm giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai)
2
x 0 x 1 x 7
2 2
2 2
x 1 x 6 x 3
2 3 2
2 2
x 2 x 0 x 1
x 1
x+4 - 2 x+3 - 2 2 - x - 2
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;
x x - 1 x - 49
x - 2x -1 x - 2 - 2 x - 2x+6 - x +2x -6
4)lim ; 5)lim ; 6)lim ;
x -12x+11 x -6 x -4x+3
x +5 - 3 x +1 -1 -x +2x -1
7)lim ; 8)lim ; 9)lim ;
x - 2 x + x x - x
2x -1 - x
10)lim ;
x -1
→ → →

→ → →
→ → →
→
( )
x 0 x 2
2
2
x 0 x 1 x 2
x 1 x 1 x 3
1 x+ 2 - 2
11)lim 1+ x - 1- x ; 12)lim ;
x
x+7 - 3
x+1 -1 4 - x - 2 x+2 - 2x
13)lim ; 14)lim ; 15)lim ;
3- 2x+9 x -1 - 3 - x
9 - x -3
2x+2 - 3x+1 4x+5 - 3x+5 x+1 - 3x - 5
16)lim ; 17)lim ; 18)lim ;
x -1
x+3 - 2 2x+3 - x+6
→ →
→ → →
→ → →
Bài 4: (Tìm giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và
bậc cao)

10
3 3 3
x 2 x 0 x 1
3 3 3 3 3
3
x 1 x 1 x 0
2
3 3
3
x -1 x 8 x 0
3
x 1
4x - 2 1- x -1 2x -1 -1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;
x - 2 x x-1
x -1 2x -1 - x x -1+ x+1
4)lim ; 5)lim ; 6)lim ;
x - 2 +1 x -1 2x+1 - x+1
x + x + x+1 9+2x - 5 5x+1 -1
7)lim ; 8)lim ; 9)lim ;
x+1 x
x - 2
4x - 3 -1
10)lim ; 11)li
x -1
→ → →
→ → →
→ → →
→
3 3

x 1 x 1
4x - 3 -1 2 - x -1
m ; 12)lim
x -1 x - 1
→ →
Bài 5: (Tính giới hạn dạng
0
0
của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng)
3
2
x 2
3x 2 x 2
lim
x x 2
33 2
3 3
2
x 0 x 1 x 1
2
3
2
2
3
x 1 x 0
2 1+ x - 8 - x 2 5 - x - x +7 2x+ 2 - 7x+1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;
x x -1 x -1
2x -1+ x - 3x+1 1- 2x - 1+3x
4)lim ; 5) ; 6)lim .

x
x - 2 + x - x+1
→ → →
→
→ →
+ − +
− −

Bài 6: (Tính giới hạn dạng
∞
∞
của hàm số )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
5 3 2 2
5 4 2 2
2
x + x x
2 3
2 2
2 2
2
x + x + x
2
x
2x -1 3x + x+1
-6x +7x -4x+3 x+ x +2 3x

1) lim ; 2) lim ; 3) lim - ;
8x -5x +2x -1 2x+1 4x
8x +5x+2
2x - 3 4x+7
x+ x +1 x+ x + x
4) lim ; ) lim ; ) lim ;
3x +1 10x +9
2x+ x+1
3x - x +1
4x -1
7) lim ; ) lim
4x +3
→ ∞ → −∞ → −∞
→ ∞ → ∞ → − ∞
→ −∞
 
 
 
 
5 6
8
2
2
x x
2x + x -1 5x+3 1- x
; ) lim ;
1- x
x x -1
→ −∞ → − ∞
9

Bài 7: (Tính giới hạn dạng
∞ − ∞
của hàm số)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
2 2
x + x + x
2 2 2
x + x x
3
2 2 3 2 2
x x +
x +
3
3 2
x + x
1) lim x+1 - x ; 2) lim x + x+1 - x ; 3) lim x +1+ x -1 ;
4) lim 3x + x+1 - x 3 ; 5) lim 3x + x+1+ x 3 ; 6) lim 2x +1+ x ;
7) x + x - x +4 ; 8) lim x +1 - x ; 9) lim x +2x+4 - x - 2x+4 ;

lim
10) lim x +3x - x - 2x ; 11) lim
→ ∞ → ∞ → −∞
→ ∞ →−∞ →−∞
→−∞ → ∞
→ ∞
→ ∞ →
( ) ( )
2 2
x +
x 4x +9 + 2x ; 12) lim x x +1 - x .
−∞ → ∞
Bài 8: (Giới hạn một bên)

11
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
+ - -
+ + -
- + -
+
2 2
2
x 0 x 2 x 3
2
5 4
x -1 x -2 x -2
2 2 2

2
x 2
x -1 x -1
3
2
x 1
x+2 x 4 - x x -7x+12
1) lim ; 2) lim ; 3)lim ;
x - x 2 - x
9 - x
3x+6 3x+6
x +3x+2
4) lim ; 5) lim ; 6) lim ;
x+2 x+2
x + x
x +3x+2 x +3x+ 2 x - 4
7) lim ; 8) lim ; 9)lim ;
x+1 x+1
x +1 2 - x
x -1
10) lim ; 11)
x -1
→ → →
→ → →
→
→ →
→
-
2
2

2 3
x -3
x 1
1- x + x -1 9 - x
lim ; 12)lim
2x +7x+3
x - x
→
→
Bài 9: (Tính giới hạn dạng
0.
∞
của hàm số)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
+ +
3
2 2 3
x +
x 2
x -1
3
3 3 5 2
x - x + x -
x x x -1
1) lim x - 2 ; 2) lim x +1 ; 3) lim x+2 ;
x - 4 x -1 x + x

2x+1 3x+1 2x + x
4) lim x+1 ; 5) lim 1- 2x ; 6) lim x .
x + x+2 x +1 x - x +3
→ ∞
→
→
→ ∞ → ∞ → ∞
Bài 10: Gọi d là hàm dấu:
( )
− <


= =


>

1 khi x 0
d x 0 khi x 0
1 khi x 0
.
Tìm
( ) ( ) ( )
− +
→
→ →
x 0
x 0 x 0
lim d x , lim d x vµ limd x
(nếu có).

Bài 11: Cho hàm số
( )


=

− ≥ −


3
2
x khi x<-1
f x
2x 3 khi x 1
.
Tìm
( ) ( ) ( )
− +
→
→ →
x 1
x 1 x 1
lim f x , lim f x vµ lim f x
(nếu có).
Bài 12: Cho hàm số
( )

− ≤

=


+ > −


2
2 x 1 khi x -2
f x
2x 1 khi x 2
.
Tìm
( )
( )
( )
( ) ( )
− +
→−
→ − → −
x 2
x 2 x 2
lim f x , lim f x vµ lim f x
(nếu có).
Bài 13: Cho hàm số
( )

− + ≤
=

− >

2

x 2x 3 khi x 2
f x
4x 3 khi x 2
.
Tìm
( ) ( ) ( )
− +
→
→ →
x 2
x 2 x 2
lim f x , lim f x vµ lim f x
(nếu có).

12
Bài 14: Cho hàm số
( )

− ≤


= =


− >


2
2
9 x khi -3 x<3

f x 1 khi x 3
x 9 khi x 3
.
Tìm
( ) ( ) ( )
− +
→
→ →
x 3
x 3 x 3
lim f x , lim f x vµ limf x
(nếu có).
Bài 15: Tìm giới hạn một bên của hàm số
( )

+
≤



=



≥
−


2
2

2x 3
khi x 1
5
f x 6-5x khi 1<x<3
x-3
khi x 3
x 9

khi
± ±
→ →x 1 vµ x 3 .
PHẦN II: HÀM SỐ LIÊN TỤC:
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x
0
∈
(a;b) nếu:
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
 
=
 
.Điểm x
0
tại đó f(x) khơng liên tục gọi là điểm

gián đoạn của hsố
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x
0

∈
(a;b)
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
0
lim lim lim
x x
x x x x
f x f x f x f x
+ −
→
→ →
     
⇔ = = =
     
.
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục
tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.
o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục
trên khoảng (a;b) và
( ) ( )
( ) ( )
lim
lim
x a

x b
f x f a
f x f b
+
−
→
→

 
=
 


 
=

 

o Hàm số đa thức liên tục trên R
o Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
o Giả sử
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
= =
= ± =
= ≠
0

0
0 0
y , .
:· , . .
· Ham so y lien tuc tai x neu g x 0.
f x y g x liên tục tại điểm x
Khi đó Các hàm số y f x g x y f x g x liên tục tại x
f x
ø á â ï ï á
g x
o Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] và f(a).f(b) <0 thì tồn tại ít nhất một số c
∈
(a; b):

13
f(c) = 0
o Núi cỏch khỏc: Nu y = f(x) liờn tc trờn[a; b] v f(a).f(b) <0 thỡ phng trỡnh f(x)
= 0 cú ớt nht mt nghim c

(a; b)
B. PHNG PHP GII TON:
1. Hm s liờn tc ti im:
( )

= =
0
0
lim ( ) ( )
0
x x

y f x lieõntuùctaùi x f x f x
xột tớnh liờn tc ca hm s y=f(x) ti im x
o
ta thc hin cỏc bc sau:
B1: Tớnh f(x
0
)
B2: Tớnh
0
lim ( )
x x
f x

( trong nhiu trng hp ta cn tớnh
0
lim ( )
x x
f x
+

,
0
lim ( )
x x
f x


)
B3: So sỏnh
( )

0
lim ( )
0
x x
f x vụựi f x
B4: Rỳt ra kt lun
2. Hm s liờn tc trờn mt khong: y=f(x) liờn tc ti mi im thuc khong ú
xột tớnh liờn tc ca hm s y=f(x) trờn mt khong ta thc hin nh sau:
* Xột
> <
0 0 0
( , )x x hay x x x x
* Xột ti
=
0
x x
B1: Tớnh f(x
0
)
B2: Tớnh
0
lim ( )
x x
f x

( trong nhiu trng hp ta cn tớnh
0
lim ( )
x x

f x
+

,
0
lim ( )
x x
f x


)
B3: So sỏnh
( )

0
lim ( )
0
x x
f x vụựi f x
B4: Rỳt ra kt lun
* Kt lun chung v hm s cú liờn tc trờn khong hay ú hay khụng
3. Hm s liờn tc trờn on [a; b]: y = f(x) liờn tc trờn (a;b) v
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
+

= =

14

4. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm:
Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b) ta làm như sau :
B1: Đặt y = f(x)  hàm số liên tục trên (a;b)
B2: Tính f(a), f(b)

f(a). f(b)<0
B3: Kết luận về sự có nghiệm của phương trình
C. CÁC VÍ DỤ:
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a.
1Lim
1
−
−
→
x
x
; c.
x 1
Lim f(x)=?
x 3, khi x 1
f(x)
2x-1, khi x 1
−
→
+ >

=

<


e.
2
x -3
Lim f(x)=?
x 3
, khi x -3
f(x)
x x 2
2x-1, khi x -3
−
→
+

>

=
+ +


<


b.
32
1
Lim
2
1
−+

−
−
→
xx
x
x
d
x 1
Lim f(x)=?
x 3, khi x 1
f(x)
2x-1, khi x 1
+
→
+ >

=

<

f.
2
x -3
Lim f(x)=?
x 3
, khi x -3
f(x)
x x 2
2x-1, khi x -3
+

→
+

>

=
+ +


<

Bài giải.
a.
1Lim
1
−
−
→
x
x
;
1, khi x 1
1 1, 1
-(x-1), khi x 1
x
x x x
−
− ≥

→ ↔ < − =


<

( )
01xLim1xLim
1x1x
=−=−⇒
−
→
−
→
b.
3x2x
1x
Lim
2
1x
−+
−
+
→
1, khi x 1
1 1, 1
-(x-1), khi x 1
x
x x x
+
− ≥

→ ↔ > − =


<

4
1
31
1
3x
1
Lim
)3x)(1x(
1x
Lim
3x2x
1x
Lim
1x1x1x
2
=
+
=
+
=
+−
−
=
−+
−
⇒
+

→
+
→
+
→
c.
11)-(2xLimf(x)Lim
1x1x
==
−
→
−
→

15
d.
4.3)(xLimf(x)Lim
1x1x
=+=
+
→
+
→
e.
-71)-(2xLimf(x)Lim
-3x-3x
==
−
→
−

→
f.
( ) ( )
0
233-
33-
2xx
3x
Limf(x)Lim
22
-3x-3x
=
+−+
+
=






++
+
=
+
→
+
→
Bài 2. Cho các hàm số:
a.

2 1
, khi x 1
( )
x
5x 3, khi x 1
x
f x
−

>

=


+ ≤

b.
2
2
2
, khi x 1
( )
x-1
x 1, khi x 1
x x
f x
x

+ −
>


=


+ + ≤

Tính các:
+
→1x
Limf(x)
;
−
→1x
Limf(x)
;
1x
Limf(x)
→
; f(1)?
Bài giải.
a1. x→1
+
tức là x>1, khi đó
x
12
)(
−
=
x
xf

.Vậy
1
1
11.212
Lim)(Lim
1x1x
=
−
=






−
=
+
→
+
→
x
x
xf
a2. x→1
-
tức là x<1, khi đó
35)( += xxf
. Vậy
( )

831.535Lim)(Lim
1x1x
=+=+=
−
→
−
→
xxf
Vậy
⇒≠
−
→
+
→ 1x1x
Limf(x)Limf(x)
không tồn tại
1x
Limf(x)
→
. f(1)=5.(1)+3=8
b1. x→1
+
tức là x>1, khi đó
1-x
2
)(
2
−+
=
xx

xf
.
Vậy
321)2(Lim
1
)2)(1(
Lim
1-x
2
Lim)(Lim
1x1x1x1x
2
=+=+=
−
+−
=








−+
=
+
→
+
→

+
→
+
→
x
x
xxxx
xf
b2. x→1
-
tức là x<1, khi đó
1)(
2
++= xxxf
.
Vậy
( )
( ) ( )
311.111Lim)(Lim
2
2
1x1x
=++=++=
−
→
−
→
xxxf
.
Vậy

3f(x)Lim3f(x)Limf(x)Lim
1x
1x1x
=⇒==
→
−
→
+
→
.

16
Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau lại x
0
=1 :
a.
2 1
, khi x 1
( )
x
1, khi x 1
x
f x
−

≠

=



=

b.
2
2
, khi x 1
( )
x-1
3, khi x 1
x x
f x

+ −
≠

=


=

Bài giải.
a. Ta có
f(1)=1.
1
1
11.212
Limf(x)
1
1x
=

−
=
−
=
→
→
x
x
Lim
x
Do đó
1)1(Limf(x)
1x
==
→
f
.
Vậy f(x) liên tục tại x
0
=1
b. Ta có
f(1)=3.
3
1
2
Limf(x)
2
1
1x
==

−
−+
=
→
→
x
xx
Lim
x
Do đó
3)1(Limf(x)
1x
==
→
f
.
Vậy f(x) liên tục tại x
0
=1
Bài 4. Cho hàm số
2
2
, khi x 0
( )
2 1 , khi x 0
x x
f x
x
a


−
≠

=


+ =

.
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x
0
=0.
Bài giải.
Ta có
f(0)=2a+1

17
( )
22
2
Limf(x)
00
0x
2
−=−=
−
=
→→
→
xLim

x
xx
Lim
xx
.
Hàm số f(x) liên tục lại x
0
=0 khi và chỉ khi
2
3
212)0(Limf(x)
0x
−=⇒−=+⇔=
→
aaf
Bài 5. Cho hàm số
2
16
, khi x 4
( )
4
2 1 , khi x 4
x
f x
x
a

−
≠


=
−


+ =

.
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x
0
=4.
Bài giải.
Ta có
f(4)=2a+1
( )( )
( )
8444
4
44
4
16
)(
4444
2
=+=+=
−
−+
=
−
−
=

→→→→
xLim
x
xx
Lim
x
x
LimxfLim
xxxx
Hàm số f(x) liên tục lại x
0
=4 khi và chỉ khi
2
7
812)4(f(x)Lim
4x
=⇒=+⇔=
→
aaf
Bài 6. Cho hàm số
2
2
, khi x 1
( )
1
1 , khi x 1
x x
f x
x
a


− −
≠ −

=
+


+ = −

.
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x
0
=-1.
Bài giải.
Ta có
f(1)=a+1
( )( )
( )
3212
1
21
1
2
)(
1111
2
−=−−=−=
+
−+

=
+
−−
=
−→−→−→−→
xLim
x
xx
Lim
x
xx
LimxfLim
xxxx
Hàm số f(x) liên tục lại x
0
=-1 khi và chỉ khi
431)1(f(x)Lim
-1x
−=⇒−=+⇔−=
→
aaf
BÀI TẬP TỰ GIẢI

18
Bài 1: xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

− +

−
≠

= − + = ∈ =
−

+



− 
≠
≠
 
= =
−
 
 


= =
2
3
3
0 0
2
3
0 0
x 3x 2
x 1

víi x 2
1)f x x x 3 vµ g x t¹i ®iÓm x R 2)f x t¹i ®iÓm x =2;
x 2
x 1
1 víi x=2
1
x 1
víi x 0
víi x 1
3)f x t¹i ®iÓm x =1; 4)f x t¹i ®iÓm x =0;
x
x 1
0 víi x=1
2 víi x=1
1
5)f x | x | t¹i ®iÓm x=0; 6)f x
( ) ( )
( ) ( )

− −
≠






 
+ ≠ − −
≠

 
= =
+
 
 
−
 

+ ≤ + <
= =

−

0
2 2
0 0
2 2
0
1 x
víi x 0
x
t¹i ®iÓm x =0;
1
víi x=0
2
x 1 víi x 1 x 4
víi x -2
7)f x t¹i ®iÓm x =-1; 8)f x t¹i ®iÓm x =-2.
x 2
1

víi x=-1
4 víi x=-2
2
x 1víi x 1 x 4víi x 2
9)f x t¹i ®iÓm x =1; 10)f x
x 1 víi x>1 2
( ) ( )


+ ≥



− ≤
 
= =
 
− ≥




0
2
2
0 0
3
t¹i ®iÓm x =2;
x 1 víi x 2
x víi x<0

4 3x víi x -2
11)f x t¹i ®iÓm x =0; 12) f x t¹i ®iÓm x =-2.
x víi x>-2
1 x víi x 0
Bài 2: xét tính liên tục của hàm số tại x
0
=1
( ) ( )
+
 
− + −
≠
 
= =
−
 
−
≠
 
+
 − 
3 2
2
x a víi x=1
x x 2x 2
víi x 1
1)f x ; 2)f x .
x 1
x 1
víi x 1

3x a víi x=1
x 1
Bài 3: xét tính liên tục của hàm số tại x=0và x=3
( )


− −

= − ≠

−



2
2
2
a víi x=0
x x 6
f x víi x 3x 0 .
x 3x
b víi x=3
Bài 4: Tìm a để hàm số liên tục tại x=0
( ) ( )
2 2
x a khi x 0 x 2a khi x 0
a)f x ; b)f x .
x 1 khi x 0 x x 1 khix 0
+ < + <
 

= =
 
+ ≥ + + ≥
 
Bài 5: Cho hàm số
( )
2
x 3x 2
khi x 1
x 1
f x
a khi x 1

− +
≠

−
=


=

.

19
a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1;
b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1;
c) Tìm a để hàm số liển tục trên
.R
Hàm số liên tục trên một khoảng

Bài 1: Chứng minh rằng:
a)Hàm số f(x)=
4 2
x x 2− +
liên tục trên
.R

b)Hàm số
( )
2
1
f x
1 x
=
−
liên tục trên khoảng (-1; 1)
c)Hàm số f(x)=
2
8 2x−
liên tục trên nửa khoảng
1
[ ; )
2
+∞
.
Bài 2: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:
( ) ( ) ( )
2
2
x 3x 4 1

a)f x ; b)f x 1 x 2 x; c)f x x x 3 .
2x 1 x 2
+ +
= = − + − = + + +
+ −
Bài 3: Giải thích vì sao:
a)Hàm số f(x)=
2 2
x sinx-2cos x+3
liên tục trên
.R

b)Hàm số
( )
+
=
3
x xcosx+sinx
g x liªn tôc trªn .
2s inx+3
R
c)Hàm số
( )
( )
+
= ≠ π ∈ R
2x 1 sinx-cosx
h x liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k , k .
xs inx
Bài 4: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:

( ) ( ) ( ) ( )
+
= = + + = +
+ +
2
2
x 1
a)f x ; b)f x x 2 x 3; c)f x x 1 sinx.
x 7x 10
Bài 5: Hàm số
( )

+
≠

=
+



3
x 8
víi x 2
f x
4x 8
3 víi x=2
có liên tục trên R ?
Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó

20

( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )

≤
 
+ <

= = =
  
−
≥ ≥

 


− +
+ ≤
 
≤ ≤

= = =
−
 
≤ + ≤ ≤


≥

2 2

2 2
2
2
2
2
a x víi x 2
x x khi x 1 x víi x<1
1)f x ; 2)f x ; 3)f x ;
1 a x víi x>2
ax+1 khi x 1 2ax+3 víi x 1
x 3x 2
2x a víi 0 x<1
x víi 0 x 1
víi x<2
4)f x ; 5)f x ; 6)f x
x 2x
2-x víi 1<x 2 ax 2 víi 1 x 2
mx+m+1 víi x 2


.
Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số

− − +


−
=



+ ≤


2
2 2x 1 2x 2
khi x > 1
x 1
f(x)
x
mx khi x 1
2
trên R.

21

22