GIẢI CHI TIẾT tọa độ trong không gian

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS
CHỦ ĐỀ 26. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Câu 1.

Câu 2.

HƯỚNG DẪN GIẢI





Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos ϕ bằng



 
a
.b
−a.b
a.b
a+b
A.   .
B.   .
C.   .
D.   .
a.b
a.b
a.b
a.b



Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a = (1; 2;0 ) và
=
b ( 2;0; −1) , khi đó cos ϕ bằng
A. 0.

Câu 3.

Câu 4.
Câu 5.

Câu 7.

B.

2
.
5

C.

2
.
5

2
D. − .
5




Cho vectơ a = (1;3; 4 ) , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a




A. b =( −2; −6; −8 ) .
B. b =( −2; −6;8 ) .
C. b = ( −2;6;8 ) .
D. b = ( 2; −6; −8 ) .


Tích vô hướng của hai vectơ a =
( −2; 2;5) , b =
( 0;1; 2 ) trong không gian bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
Trong không gian cho hai điểm A ( −1; 2;3) , B ( 0;1;1) , độ dài đoạn AB bằng
8.
C. 10.
D. 12.

 
Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M ( x; y; z ) thì OM bằng
  
  

  
  
A. − xi − y j − zk .
B. xi − y j − zk .
C. x j + yi + zk .
D. xi + y j + zk .


 
Tích có hướng của hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu  a , b  , được
xác định bằng tọa độ
A. ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .
B. ( a2b3 + a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 + a2b1 ) .
A.

Câu 6.

VIP

6.

B.

D. ( a2b2 − a3b3 ; a3b3 − a1b1 ; a1b1 − a2b2 ) .
( a2b3 − a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .



Cho các vectơ u = ( u1 ; u2 ; u3 ) và v = ( v1 ; v2 ; v3 ) , u.v = 0 khi và chỉ khi
C.

Câu 8.

Câu 9.

A. u1v1 + u2 v2 + u3v3 =
1.

B. u1 + v1 + u2 + v2 + u3 + v3 =
0.

C. u1v1 + u2 v2 + u3v3 =
0.


Cho vectơ a= (1; −1; 2 ) , độ dài vectơ a là

D. u1v2 + u2 v3 + u3v1 =
−1 .

A. 6 .
B. 2.
C. − 6 .
D. 4.
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M ( a;0;0 ) , a ≠ 0 . B. M ( 0; b;0 ) , b ≠ 0 . C. M ( 0;0; c ) , c ≠ 0 . D. M ( a;1;1) , a ≠ 0 .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng ( Oxy ) sao cho M không trùng với
gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c ≠ 0 )
A. ( 0; b; a ) .

B. ( a; b;0 ) .
C. ( 0;0; c ) .
D. ( a;1;1)




Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a = ( 0;3; 4 ) và b = 2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
C. ( 2;0;1) .
 


Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó u , v  bằng
A. ( 0;3; 4 ) .

B. ( 4;0;3) .

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

D. ( −8;0; −6 ) .

1


 
 
A. u . v .sin u , v .

 
 


 

 
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u , v .
D. u.v.sin u , v .



Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a =−
(1; 1; 2 ) , b =
( 3;0; −1) , c =
( −2;5;1) , vectơ
   
m = a + b − c có tọa độ là
B. ( −6;6;0 ) .
C. ( 6; −6;0 ) .
D. ( 0;6; −6 ) .
A. ( 6;0; −6 ) .

( )

( )

( )

( )

Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Độ dài các cạnh

AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A.

21, 13, 37 .

B. 11, 14, 37 .

C.

21, 14, 37 .

D.

21, 13, 35 .

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là
5 2 4
A.  ; ; −  .
3 3 3

5 2 4
B.  ; ;  .
3 3 3

5

D.  ;1; −2  .
2


C. ( 5; 2; 4 ) .

Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1; 2;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 0; −2;5 ) . Để 4 điểm A, B, C , D
đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
B. D (1; 2;3) .
C. D (1; −1;6 ) .
D. D ( 0;0; 2 ) .
A. D ( −2;5;0 ) .
Hướng dẫn giải
  
Cách 1:Tính  AB, AC  . AD = 0

Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm được.







Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a =
(1; 2; 3), b =
(−2; 0;1), c =
(−1; 0;1) . Tìm tọa độ của











vectơ n = a + b + 2c − 3i


=
n
B.
A. n = ( 6; 2;6 ) .

( 6; 2; −6 ) .


C. n = ( 0; 2;6 ) .


D. n =

( −6; 2;6 ) .

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC
2

 1 
A. G  ;1;3  .

B. G ( 2;3;9 ) .
C. G ( −6;0; 24 ) .
D. G  2; ;3  .
3

 3 
Câu 20. Cho 3 điểm M ( 2;0;0 ) , 
N ( 0; −3;0 ) , 0;0;4
P(
) . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của
điểm Q là
A. Q ( −2; −3; 4 )

B. Q ( 2;3; 4 )

C. Q ( 3; 4; 2 )

D. Q ( −2; −3; −4 )

Hướng dẫn giải

 x=2
 

Gọi Q ( x; y; z ) , MNPQ là hình bình hành thì MN = QP ⇔  y = 3
z − 4 =
0

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M (1;1;1) , N ( 2;3; 4 ) , P ( 7;7;5 ) . Để tứ giác MNPQ

là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q ( −6;5; 2 ) .
B. Q ( 6;5; 2 ) .

C. Q ( 6; −5; 2 ) .

D. Q ( −6; −5; −2 ) .

Hướng dẫn giải

Điểm Q ( x; y; z )


MN = (1; 2;3) , QP =( 7 − x;7 − y;5 − z )
 
= QP ⇒ Q ( 6;5; 2 )
Vì MNPQ là hình bình hành nên MN

Câu 22. Cho 3 điểm A (1;2;0 ) , 1;0;
B(
−1) , 0;
C ( −1;2 ) . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


C. tam giác vuông đỉnh A .

D. tam giác đều.
Hướng dẫn giải
 


AB = (0; −2; −1); AC = ( −1; −3;2) . Ta thấy AB. AC ≠ 0 ⇒ ∆ABC không vuông.
 
AB ≠ AC ⇒ ∆ABC không cân.
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( −1; 2; 2 ) , B ( 0;1;3) , C ( −3; 4;0 ) . Để tứ giác

ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D ( −4;5; −1) .
B. D ( 4;5; −1) .
C. D ( −4; −5; −1) .
D. D ( 4; −5;1) .
Hướng dẫn giải
Điểm D ( x; y; z )


AB= (1; −1;1) , DC = ( −3 − x; 4 − y; − z )
 
Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC ⇒ D ( −4;5; −1)




 
Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và=
a 2;=

b 4 . Khi đó a + b bằng
A.

8 3 + 20.

B. 2 7.

C. 2 5.
D. 2 .
Hướng dẫn giải
 2 2 2
 
 
 
Ta có a + b = a + b + 2 a b .cos a, b = 4 + 16 + 8 = 28 ⇒ a + b = 2 7.

( )

Câu 25. Cho điểm M (1; 2; −3) , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( Oxy ) bằng
B. −3 .

A. 2.

C. 1.
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ d ( M , ( Oxy ) ) =
c

D. 3.

Câu 26. Cho điểm M ( −2;5;0 ) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm
A. M ′ ( 2;5;0 ) .

B. M ′ ( 0; −5;0 ) .

C. M ′ ( 0;5;0 ) .

D. M ′ ( −2;0;0 ) .

Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy là M 1 ( 0; b;0 )
Câu 27. Cho điểm M (1; 2; −3) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ (1; 2;0 ) .

B. M ′ (1;0; −3) .

C. M ′ ( 0; 2; −3) .

D. M ′ (1; 2;3) .

Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( Oxy ) là M 1 ( a; b;0 )
Câu 28. Cho điểm M ( −2;5;1) , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
A.

29 .

B.

5.

C. 2.
Hướng dẫn giải

D.

26 .

Với M ( a; b; c ) ⇒ d ( M , Ox ) =
b2 + c2
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
   
   
  
   
A. IA
B. IA + IB + CI =
C. IA + BI + IC =
= IB + IC.
0.
0. D. IA + IB + IC =
0.
→

Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a =
đề sau, mệnh đề nào sai:

 
A. b ⊥ c.

B. a = 2.


Vì b.c= 2 ≠ 0.
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

( −1;1;0 ) ;

→

→

b = (1;1;0 ) ; c = (1;1;1) . Trong các mệnh


C. c = 3.

 
D. a ⊥ b.

Hướng dẫn giải

3


Câu 31. Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ ( 3; −2;1) .

B. M ′ ( 3; −2; −1) .
C. M ′ ( 3; 2;1) .

D. M ′ ( 3; 2;0 ) .
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( Oxy ) là M ( a; b; −c )
Câu 32.

Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm M ′ ( a; b; c ) đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a + b + c bằng
A. 6.
B. 4.
C. 0.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ điểm đối xứng của M qua trục Oy là M ′ ( −a; b; −c )

⇒ M ′ ( −3; 2;1) ⇒ a + b + c =
0.


 
Câu 33. Cho u = (1;1;1) và v = ( 0;1; m ) . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450 thì m bằng
A. ± 3 .
cos ϕ=

1.0 + 1.1 + 1.m
=
3. m 2 + 1

B. 2 ± 3 .

C. 1 ± 3 .
D. 3 .

Hướng dẫn giải
m ≥ −1
1
⇔ 2 ( m + 1)= 3 m 2 + 1 ⇔ 
2
2
2
3 ( m + 1)= 2 ( m + 1)
⇔ m =2 ± 3

Cho A (1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Hướng dẫn giải



Tính AB =
( 2;5;1)
( −2; 4; 2 ) , AD =
( 2;5; 2 ) , AC =
1   
 AB, AC  . AD 3
=
V =

6
Sử dụng Casio


w 8 1 1 (nhập vectơ AB )

q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )

q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính V )
Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD
cho bởi công thức nào sau đây:
  
  



,
.
AB
AC
AD
1 
1  AB, AC  . AD

A. h =
B. h =
.
.
 
 
3  AB. AC 
3

AB. AC


  
  
 AB, AC  . AD
 AB, AC  . AD




C. h =
D. h =
.
..
 
 
 AB. AC 
AB. AC


Hướng dẫn giải
  

AB, AC  . AD








1 1
1
 AB, AC  . AD nên h =   
Vì VABCD =
.
=
h.  AB. AC 

3 2
6
 AB. AC 


Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Độ
Câu 34.

dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) là
A.

4

9
7 2

.

B.

9
.
7

9
.
2
Hướng dẫn giải
C.

D.

9
.
14

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦





Tính AB ( 2;5; 2 ) , AC ( −2; 4; 2 ) , AD ( 2;5;1)
1   
 AB, AC  . AD 3
V =
=

6
1

1  
 AB, AC
 7 2 , h = d ( D, ( ABC ) )
B S=
V = B.h , với
=
=
∆ABC

2
3
3V
3.3
9
⇒ h=
=
=
B 7 2 7 2
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; −5) . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
18
14 



A. G  −9; ; −30  .
B. G ( 8;12; 4 ) .
C. G  3;3;  .
D. G ( 2;3;1) .
4

4



Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (2; −1; 2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
1

3

 1 3
1 1 3
A. M  ; ;  .
B. M  ;0;0  .
C. M  ;0;0  .
D. M  0; ;  .
2

2

 2 2
2 2 2
Hướng dẫn giải
M ∈ Ox ⇒ M ( a;0;0 )
M cách đều hai điểm A, B nên MA2 = MB 2 ⇔ (1 − a ) + 22 + 12 = ( 2 − a ) + 22 + 12
2

2

3

2
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (3; −1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
3
3 1 3

A. M ( 0;0; 4 ) .
B. M ( 0;0; −4 ) .
C. M  0;0;  .
D. M  ; ;  .
2
2 2 2

 là
Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(−1; −2;3), B (0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC
⇔ 2a = 3 ⇔ a =

9
9
9
9
.
B.
.
C. −
.
D. −
.
2 35
2 35

35
35



Câu 41. Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a =
(2; −1; 2), b =−
(3; 2;1) là




A. n = ( 3; 4;1) .
B.
C. n =
D. n = ( 3; −4; −1) .
=
n ( 3; 4; −1) .
( −3; 4; −1) .





   

2π 
Câu 42. Cho=
, u=
a 2;=

b 5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
k a − b; v =
a + 2b. Để u vuông
3

góc với v thì k bằng
6
45
45
6
A. − .
B.
C.
D. − .
.
.
45
6
6
45
Hướng dẫn giải

  

 
2π
u.v = k a − b a + 2b = 4k − 50 + ( 2k − 1) a b cos
3
=
−6k − 45




Câu 43. Cho u =
( 2; −1;1) , v =( m;3; −1) , w =(1; 2;1) . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
A.

(

A.

3
.
8

)(

)

3
B. − .
8

 
Ta có: u , v  =
( −2; m + 2; m + 6 ) ,

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

8

.
3
Hướng dẫn giải
  
u , v  .w =
3m + 8
 

C.

8
D. − .
3

5


  
  
8
0
m=
−
u , v, w đồng phẳng ⇔ u , v  .w =⇔
3


 
Câu 44. Cho
hai vectơ a (1;log

=
=
( 3;log5 3; 4 ) . Với giá trị nào của m thì a ⊥ b
3 5; m ) , b

B. m = 1 .
C. m = −1 .
D. m = 2; m = −2 .
A. m = 1; m = −1 .
Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm
A, B, C thẳng hàng là
B. x =
C. x =
D.
A.=
−5; y =
−11; y =
−5 .
x 5;=
y 11 .
11 .
=
x 11;
=
y 5.
Hướng dẫn giải


AB =(1; 2;1) , AC =( x − 2; y − 5;3)
 

x −2 y −5 3
=
= ⇔ x = 5; y = 11
A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương ⇔
1
2
1
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Hướng dẫn giải



BA = (1;0; −1) , CA = ( −1; −1; −1) , CB = ( −2; −1;0 )
 
BA.CA= 0 ⇒ tam giác vuông tại A , AB ≠ AC .
Câu 47. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có
diện tích bằng
6
6
1
A. 6 .
B.
.
C.
.
D. .

3
2
2
Hướng dẫn giải


1  
6
 AB. AC 
AB =
=
( −1;0;1) , AC =
(1;1;1
) . S∆ABC =


2
2
Câu 48. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (1;1;1) , ( 2;3; 4 ) , ( 7;7;5 ) . Diện tích của hình bình
hành đó bằng
83
B. 83 .
C. 83 .
D.
.
A. 2 83 .
2
Hướng dẫn giải
Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là A, B, C



=
=
AB (1;
2;3) , AC ( 6;6; 4 )
 
2
2
S hbh =  AB, AC  = ( −10 ) + 142 + ( −6 ) = 2 83



  
Câu 49. Cho 3 vecto a = (1; 2;1) ; b = ( −1;1; 2=
) và c ( x;3x; x + 2 ) . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng
phẳng
A. 2.
B. −1.
C. −2.
D. 1.
Hướng dẫn giải

  
  
a, b, c đồng phẳng thì  a, b  .c = 0 ⇒ x = 2.
 
→
→



a ( 3; −2; 4 ) , b = ( 5;1;6 ) , c = ( −3;0; 2 ) . Tìm vectơ x
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ =

  
sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A. (1;0;0 ) .
B. ( 0;0;1) .
C. ( 0;1;0 ) .
D. ( 0;0;0 ) .
Hướng dẫn giải
  

Dễ thấy chỉ có x = (0;0;0) thỏa mãn x=
.a x=
.b x=
.c 0.

6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B(1; 2; −3) , C (7; 4; −2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng


thức CE = 2 EB thì tọa độ điểm E là
8
1
 8 8


 8 8

A.  3; ; −  .
B.  3; ;  .
C.  3;3; −  .
D. 1; 2;  .
3
3
 3 3

 3 3

Hướng dẫn giải

x = 3

 
8
.
E ( x; y; z ) , từ CE = 2 EB ⇒  y =
3

8

 z = − 3
Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; −1) , B(2; −1;3) , C (−2;3;3) .
Điểm M ( a; b; c ) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P = a 2 + b 2 − c 2 có giá trị
bằng
A. 43. .
B. 44. .

C. 42. .
D. 45.
Hướng dẫn giải
M ( x; y; z ) , ABCM là hình bình hành thì
 x − 1 =−2 − 2
  
AM = BC ⇒  y − 2 = 3 + 1 ⇒ M (−3;6; −1) ⇒ P = 44. .
z +1 = 3 − 3


Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; −1) , B(2; −1;3) , C (−2;3;3) . Tìm
tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D(0;1;3) .
B. D(0;3;1) .
C. D(0; −3;1) .
D. D(0;3; −1) .
Hướng dẫn giải
Ta có =
26, =
26 ⇒ tam giác ABC cân ở A nên D là trung điểm BC
AB
AC
⇒ D(0;1;3).
Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(−1;3;5) , B(−4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa
độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5 8 8
5 8 8
8 8 5
8 5 8
A. I ( ; ; ) .

B. I ( ; ; ) .
C. I (− ; ; ).
D. I ( ; ; ) .
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
Hướng dẫn giải
= BC
= CA
= 3 2 ⇒ ∆ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Ta có: AB
 5 8 8
là trọng tâm của nó. Kết luận: I  − ; ;  .
 3 3 3



a=
b=
c=
Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ  
( −1;1;0 ) , 1;1;0
( ) , 1;1;1
( ) . Cho hình hộp
     
OA a=
, 
OB b , '
=

OC c . Thể tích của hình hộp nói trên
OABC.O′A′B′C ′ thỏa mãn điều kiện=
bằng:
1
2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3
Hướng dẫn giải
 
 
 
OA =a , 
⇒ A( −1;1;0), OB =b ⇒ B(1;1;0), '
OC =c ⇒ C '(1;1;1)
  
 


OA, OB  OO '
AB =
OC ⇒ C (2;0;0) ⇒ CC ' =
( −1;1;1) =
OO ' ⇒ VOABC .O ' A ' B ' C ' =


B(

Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A ( 2; −1;1) , 1;0;0
),

C ( 3;1;0 ) , 0;2;1
D(
) . Cho các mệnh đề sau:
1) Độ dài AB = 2 .
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

7


2) Tam giác BCD vuông tại B .
3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).
C. 1); 3).
D. 2), 1)



Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a =
(1,1, 0); c =
( −1,1, 0 ) ; b =
(1,1,1) . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng:
   
 
6

B. a + b + c =
A. cos b, c =
0.
.
3

  
A. a, b, c đồng phẳng.
D. a.b = 1.
Hướng dẫn giải

 
b.c
cos(b, c) =  
b.c

( )

Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) , B(−1;1; 2) , C (−1;1;0)
, D(2; −1; −2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
A.

2
.
13

13
.
2
Hướng dẫn giải

  
 AB, AC  . AD
1


.
=
 
13
AB. AC

B.

Sử dụn=
g công thức h

1
.
13

C.

D.

3 13
.
13

Câu 59. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng

 1   
 1   
B. SI=
A. SI=
SA + SB + SC .
SA + SB + SC .
3
2
   
    
C. SI = SA + SB + SC.
D. SI + SA + SB + SC =
0.
Hướng dẫn giải
  
SI
= SA + AI 
   
      
SI = SB + BI  ⇒ 3SI = SA + SB + SB + AI + BI + CI
   
SI
= SC + CI 
     1   
Vì I là trọng tâm tam giác ABC ⇒ AI + BI + CI =0 ⇒ SI = SA + SB + SC .
3
Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D(−2;1; −1) . Thể
tích của tứ diện ABCD bằng
3
1

A. .
B. 3 .
C. 1 .
D. .
2
2
Hướng dẫn giải
1     
Thể tích tứ diện: VABCD =   
AB,  
AC  . AD
6


Câu 61. Cho hình chóp S . ABC có SA
= SB
= a, SC
= 3a, 
ASB
= CSB
= 600 , CSA
= 900 . Gọi G là trọng

(

)

(

(

)

)

(

)

tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 7
a 5
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tổng quát: Cho hình chóp S . ABC có=
, SB b=
, SC c và có
SA a=

 β=

 γ . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó
=
ASB α=
, BSC
, CSA
8

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


1 2
a + b 2 + c 2 + 2ab cos α + 2ac cos γ + 2bcβ
3
Chứng minh:
 1   
Ta có: SG=
SA + SB + SC
3
   2  2  2  2
     
SA + SB + SC = SA + SB + SC + 2 SA.SB + 2 SA.SC + 2 SB.SC
SG
=

(

(
)

)

1 2
a + b 2 + c 2 + 2ab cos α + 2ac cos γ + 2bcβ
3
a 15
Áp dụng công thức trên ta tính được SG =
3
Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm
 
M ( m; m; m ) , để MB − 2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

Khi đó SG
=

A. 2.

B. 3 .

C. 1.
D. 4.
Hướng dẫn giải


AC ( −1; −3; −2 ) , MB ( −2 − m; − 6 − m; 2 − m )
 
2
2
MB − 2 AC = m 2 + m 2 + ( m − 6 ) = 3m 2 − 12m + 36 = 3 ( m − 2 ) + 24
 
Để MB − 2 AC nhỏ nhất thì m = 2

Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm

M ( m; m; m ) , để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải



MA = ( 2 − m;5 − m;1 − m ) , MB = ( −2 − m; −6 − m; 2 − m ) , MC = (1 − m; 2 − m; −1 − m )
MA2 − MB 2 − MC 2 =
−3m 2 − 24m − 20 =
28 − 3 ( m − 4 ) ≤ 28
2

Để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m = 4
Câu 64. Cho hình chóp S . ABCD biết A ( −2; 2;6 ) , B ( −3;1;8 ) , C ( −1;0;7 ) , D (1; 2;3) . Gọi H là trung
điểm của CD, SH ⊥ ( ABCD ) . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng

27
(đvtt) thì có hai
2

điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. I ( 0; −1; −3) .

B. I (1;0;3)

C. I ( 0;1;3) .

D. I ( −1;0; −3) .

Hướng dẫn giải


1  
3 3
Ta có AB = ( −1; −1; 2 ) , AC = (1; −2;1) ⇒ S ABC =  AB, AC  =
2



2
DC = ( −2; −2; 4 ) , AB = ( −1; −1; 2 ) ⇒ DC = 2. AB ⇒ ABCD là hình thang và
S=
3=
S ABC
ABCD

9 3
2

1
SH .S ABCD ⇒
=
SH 3 3
3
Lại có H là trung điểm của CD ⇒ H ( 0;1;5 )



 
Gọi S ( a; b; c ) ⇒ SH =
k  AB, AC  =
k ( 3;3;3) =
( −a;1 − b;5 − c ) ⇒ SH =
( 3k ;3k ;3k )

Vì V=
S . ABCD

±1
Suy ra 3 3 = 9k 2 + 9k 2 + 9k 2 ⇒ k =

+) Với k =1 ⇒ SH = ( 3;3;3) ⇒ S ( −3; −2; 2 )
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

9



+) Với k =−1 ⇒ SH =−
( 3; −3; −3) ⇒ S ( 3; 4;8)
Suy ra I ( 0;1;3)
Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; −1;7), B(4;5; −2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng
(Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
1
1
2

A. .
B. 2 .
C. .
D. .
2
3
3
Hướng dẫn giải
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M ⇒ M (0; y; z )


⇒ MA= (2; −1 − y;7 − z ), MB= (4;5 − y; −2 − z )

2 = k .4



1
Từ MA = k MB ta có hệ −1 − =
y k (5 − y ) ⇒ =
k
2

−
=
−
−
7
z
k

2
z
)
(

Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; −1), B(3;0;1), C(2; −1;3) và D thuộc
trục Oy . Biết VABCD = 5 và có hai điểm D1 ( 0; y1 ;0 ) , D2 ( 0; y2 ;0 ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi đó y1 + y2 bằng
A. 0.

B. 1 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

D ∈ Oy ⇒ D(0; y;0)



Ta có: AB =
( 0; −2; 4 )
( −2; y − 1;1) , AC =
(1; −1; 2 ) , AD =
 
  
⇒  AB. AC  =( 0; −4; −2 ) ⇒  AB. AC  . AD =−4 y + 2
1
1

VABCD = 5 ⇔ −4 y + 2 = 5 ⇔ y =−7; y = 8 ⇒ D1 ( 0; −7;0 ) , D2 ( 0;8;0 ) ⇒ y1 + y2 =
6
Câu 67. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(−1; 2; 4), B(3;0; −2), C(1;3;7) . Gọi D là

chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .

A.

207
.
3

Gọi D ( x; y; z )

B.

203
3

201
.
3
Hướng dẫn giải
C.

D.

205
.
3

DB AB 2 14
= =
= 2
DC AC
14
5

3 − x =−2 (1 − x )
x = 3




Vì D nằm giữa B, C (phân giác trong) nên DB =−2 DC ⇔ − y =−2 ( 3 − y ) ⇔  y =2

z = 4
−2 − z =−2 ( 7 − z )



205
5

Suy ra D  ; 2; 4  ⇒ OD =
3
3

Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B (5;1; −2) , C (7;9;1) .
Tính độ dài phân giác trong AD của góc A

2 74
3 74
A.
B.
C. 2 74.
D. 3 74.
.
.
3
2
Hướng dẫn giải
D( x; y; z ) là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC .
10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦




DB AB 1
17 11
2 74
= = ⇒ DC =−2 DB ⇒ D( ; ; −1) ⇒ AD =
.
DC AC 2
3 3
3
Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; −1) , B(1; 4; −1) , C (2; 4;3) D(2; 2; −1)
. Biết M ( x; y; z ) , để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng

Ta có

A. 7.

B. 8.

C. 9.
D. 6.
Hướng dẫn giải
 7 14 
Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G  ; ;0  .
3 3 
2
2
2
2
Ta có: MA + MB + MC + MD = 4 MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2
 7 14 
7.
≥ GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M ≡ G  ; ;0  ⇒ x + y + z =
3 3 
Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B(−1; 2;0) , C (1;1; −2) . H là
trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
870
870
870
870
B.
C.
D.

A.
.
.
.
.
12
14
16
15
Hướng dẫn giải
H ( x; y; z ) là trực tâm của ∆ABC ⇔ BH ⊥ AC , CH ⊥ AB, H ∈ ( ABC )
 
 BH . AC = 0
  
870
2
29
1
 2 29 1 

⇔ CH . AB =
⇔ x =; y = ; z =
− ⇒ H  ; ; −  ⇒ OH = .
0
15
15
15
3
 15 15 3 


   


AB
,
AC
.
AH
=
0

 
Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt
phẳng (Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác
ABC . Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
 −3 + 177 17 − 177  
3 − 177 
A. B 
;
;0  , C  0;0;
.

4
2
 
4

 −3 − 177 17 + 177  
3 + 177 
B. B 

;
;0  , C  0;0;
.

 

4
2
4
 −3 + 177 17 − 177  
3 + 177 
C. B 
;
;0  , C  0;0;
.

 

4
2
4
 −3 + 177 17 + 177  
3 − 177 
D. B 
;
;0  , C  0;0;
.

 


4
2
4
Hướng dẫn giải
Giả sử B( x; y;0) ∈ (Oxy ), C (0;0; z ) ∈ Oz .
 
 
 AH .BC = 0
 AH ⊥ BC
  
  
⇔ CH . AB = 0
H là trực tâm của tam giác ABC ⇔ CH ⊥ AB
   
   
  AB, AH  . AC = 0
 AB, AC , AH ñoàng phaúng
0
x + z =
17 + 177
3 + 177
−3 − 177

⇔ 2x + y − 7 =
⇔ x
=
;y =
;z
0=
4

2
4
3x − 3 y + yz − z =
0

 −3 − 177 17 + 177  
3 + 177 
⇒ B
;
;0  , C  0;0;
.

4
2
 
4


Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

11


Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B(3;0;8) , D(−5; −4;0) . Biết
 
đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA + CB bằng:
A. 5 10.

B. 6 10.

C. 10 6.
D. 10 5.
Hướng dẫn giải
Ta có trung điểm BD là I (−1; −2; 4) , BD = 12 và điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên A(a; b;0)
.
 AB 2 = AD 2
(a − 3) 2 + b 2 + 82 = (a + 5) 2 + (b + 4) 2

2 ⇔
ABCD là hình vuông ⇒ 

1

2
2
2
2
36
(a + 1) + (b + 2) + 4 =
 AI =  BD 
2


17

a=

a
=
1

b= 4 − 2a


 17 −14 
5
hoặc 
⇔
⇔
⇒ A(1; 2; 0) hoặc A  ;
;0 
2
2
20
 5 5

b = 2
(a + 1) + (6 − 2a ) =
b = −14

5
(loại). Với A(1; 2;0) ⇒ C (−3; −6;8) .
Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; −1) , B(2;3; −4) ,
C (3;1; −2) . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A. 9 − 2 6.

B. 9 − 3 6.

C. 9 + 3 6.
D. 9 + 2 6.
Hướng dẫn giải

2
2
2
Ta có AC + BC = 9 + 9 = AB ⇒ tam giác ABC vuông tại C .
1
CA.CB
S ABC
3.3 2
2
Suy ra: r=
=
=
= 9−3 6
1
p
+
+
3
2
3
3
AB
+
BC
+
CA
(
)
2
Câu 74. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( 3;0;0 ) , N ( m, n, 0 ) , P ( 0;0; p ) . Biết

 600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A =m + 2n 2 + p 2
=
MN =
13, MON
bằng
A. 29.

C. 28.
D. 30.
Hướng dẫn giải


 
OM = ( 3;0;0 ) , ON = ( m; n;0 ) ⇒ OM .ON = 3m
 
   
OM .ON
1
m
1
0
OM .ON =
OM . ON cos 60 ⇒   =
⇒
=
2
2
2
OM . ON 2
m +n

MN =

B. 27.

( m − 3)

2

+ n2 =

13

Suy ra m = 2; n = ±2 3
  
1
OM , ON  .OP =
6 3 p ⇒ V = 6 3 p =⇒
3
p=
± 3


6
Vậy A = 2 + 2.12 + 3 = 29.
Câu 75. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B(−1; 2;0) , C (1;1; −2) . Gọi
I ( a; b; c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính giá trị biểu thức
P = 15a + 30b + 75c
A. 48.

C. 52.
D. 46.
Hướng dẫn giải
I ( x; y; z ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇔ AI
= BI
= CI , I ∈ ( ABC )

12

B. 50.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


 AI 2 = BI 2

14
61
1

 14 61 1 
⇔ CI 2 =
BI 2
⇔  x = ; y = ; z =− ⇒ I  ; ; −  ⇒ P =50.
15
30
3

 15 30 3 
   



=
AB
AC
AI
,
0




Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

13