GIẢI CHI TIẾT phương trình đường thẳng

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS
CHỦ ĐỀ 29. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
HƯỚNG DẪN GIẢI
 x= 2 − 2t

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :  y= 3 − 2t và d’:

 z = 1 − 3t

VIP

 x= 6 + 2t '

 y= 3 + 2t ' . Xét các mệnh đề
 z= 7 + 9t '


sau:


d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương a ( 2; 2;3)

(II) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương a ' ( 2; 2;9 )


(III) a và a ' không cùng phương nên d không song song với d’
   
(IV) Vì  a ; a '  . AA ' = 0 nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau
Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận:
A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai.
B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai.

C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai.
D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng.
(I)

 x= 2 + t

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số  y = −3t .
 z =−1 + 5t

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là?
x−2
y
z +1
A. x − 2 = y = z + 1.
B. = =
.
1
−3
5
x+2
y
z −1
x + 2 y z −1
C.
D. = =
.
.
= =
3
1

−3
5
−1
−5
Hướng dẫn giải
Cách 1:

d đi qua điểm A ( 2;0; −1) và có vectơ chỉ phương a=
(1; −3;5)
d
x−2
y
z +1
Vậy phương trình chính tắc của d là
= =
1
−3
5
Cách 2:

x − 2 =
t
 x= 2 + t


 y
−3t ⇔  =
t
y =
−

3
 z =−1 + 5t


 z +1
 5 = t
x−2
y
z +1
Vậy phương trình chính tắc của d là
= =
1
−3
5
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc
x − 3 y +1 z
. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là?
= =
2
−3
1

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

1


 x= 3 + 2t

A.  y =−1 − 3t .

z = t


 x= 2 + 3t

B.  y =−3 − t .
z = t


 x =−3 + 2t

C.  y = 1 − 3t .
z = t


Hướng dẫn giải
Cách 1:

∆ đi qua điểm A ( 3; −1;0 ) và có vectơ chỉ phương a=
∆

 x =−3 − 2t

D.  y = 1 + 3t .
z = t


( 2; −3;1)

 x= 3 + 2t


Vậy phương trình tham số của ∆ là  y =−1 − 3t

z = t

Cách 2:
x−3
 2 =t

x − 3 y +1 z
 y +1
==
=
=
t⇔
t
−3
2
1
 −3
z
=t
 1
 x= 3 + 2t

Vậy phương trình tham số của ∆ là  y =−1 − 3t
z = t

x + 2 y −1 z − 3
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =

. Đường thẳng d
2
−1
3

đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương ad có tọa độ là:


A. M ( 2; −1;3) , ad =
B. M ( 2; −1; −3) , ad = ( 2; −1;3) .
( −2;1;3) .


C. M ( −2;1;3) , ad =
D. M ( 2; −1;3) , ad = ( 2; −1; −3) .
( 2; −1;3) .
Hướng dẫn giải

d đi qua điểm M ( −2;1;3) và có vectơ chỉ phương a=
( 2; −1;3)
d

x= t − 2

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y= 2 + 3t . Đường thẳng d đi qua
 z= 1 + t


điểm M và có vectơ chỉ phương ad có tọa độ là:



A. M ( −2; 2;1) , ad =
B. M (1; 2;1) , ad = ( −2;3;1) .
(1;3;1) .


C. M ( 2; −2; −1) , ad =
D. M (1; 2;1) , a=
(1;3;1) .
( 2; −3;1) .
d
Hướng dẫn giải

d đi qua M ( −2;2;1) và có vectơ chỉ phương ad = (1;3;1)
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường

thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) và có vectơ chỉ phương =
a (1; −2; 2 ) ?
 x= 2 + t

A.  y =−3 − 2t .
 z =−1 + 2t


Hướng dẫn giải

2

 x = 1 + 2t


B.  y =−2 − 3t .
 z= 2 − t


 x = 1 − 2t

C.  y =−2 + 3t .
 z= 2 + t


 x =−2 + t

D.  y= 3 − 2t .
 z = 1 + 2t


Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) và có vectơ chỉ phương

=
a

 x =−2 + t
(1; −2; 2 ) là  y= 3 − 2t
 z = 1 + 2t


Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆ của

đường thẳng đi qua hai điểm A (1; −2;5) và B ( 3;1;1) ?
x −1 y + 2 z − 5
A. = =
B.
.
2
3
−4
x +1 y − 2 z + 5
C. = =
D.
.
−4
2
3
Hướng dẫn giải
∆ đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương

x − 3 y −1 z −1
= =
.
−2
1
5
x −1 y + 2 z − 5
= =
.
3
1
1


=
AB

( 2;3; −4 )

x −1 y + 2 z − 5
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = =
−4
2
3
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( −1;3;2 ) , B ( 2;0;5) , C ( 0; −2;1) .

Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là.
x −1 y + 3 z + 2
x −1 y + 3 z + 2
A. = =
B. = =
.
.
−2
−1
4
2
−4
1
x − 2 y + 4 z +1
x +1 y − 3 z − 2
C. = =
D. = =

.
.
−1
1
3
2
−4
1
Hướng dẫn giải
M là trung điểm BC ⇒ M (1; −1;3)

AM đi qua điểm A ( −1;3;2 ) và có vectơ chỉ phương AM
= ( 2; −4;1)
x +1 y − 3 z − 2
Vậy phương trình chính tắc của AM là = =
−4
2
1
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1;4; −1) , B ( 2;4;3) , C ( 2;2; −1) .
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A
x = 1
x = 1


A.  y= 4 + t .
B.  y= 4 + t .
C.
 z = 1 + 2t
 z =−1 + 2t



Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.


BC =( 0; −2; −4 ) =−2 ( 0;1;2 )

và song song với BC là
x = 1
x = 1


D.  y= 4 − t .
 y= 4 + t .
 z =−1 + 2t

 z =−1 − 2t




Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương ad = ( 0;1;2 )



d qua A (1;4; −1) và có vectơ chỉ phương ad

x = 1

Vậy phương trình tham số của d là  y= 4 + t

 z =−1 + 2t


Câu 10.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm

M (1;3;4 ) và song song với trục hoành là.

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

3


x = 1
x = 1
x= 1+ t



A.  y = 3 .
B.  y= 3 + t .
C.  y = 3 .
y = 4
 y= 4 − t
y = 4



Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.
 
Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương ad = i =

d đi qua M (1;3;4 ) và có vectơ chỉ phương ad

x = 1

D.  y = 3 .

 y= 4 + t

(1;0;0)

 x= 1 + t

Vậy phương trình tham số của d là  y = 3
y = 4

Câu 11.

 x = 1 − 2t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = t
. Phương trình
 z =−3 + 2t


chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 3;1; −1) và song song với d là
x + 3 y +1 z −1

A. = =
.
−2
1
2
x + 2 y −1 z − 2
C. = =
.
−1
3
1
Hướng dẫn giải

d có vectơ chỉ phương ad =

x − 3 y −1 z +1
B. = =
.
−2
1
2
x − 2 y +1 z + 2
D. = =
.
−1
3
1

( −2;1; 2 )

 
Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương a∆ = ad = ( −2;1; 2 )

∆ đi qua điểm A ( 3;1; −1) và có vectơ chỉ phương a∆ = ( −2;1; 2 )
x − 3 y −1 z +1
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = =
1
2
−2
x−2
Câu 12.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : =
2
trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (1;3; −4 ) và song song với

 x= 2 + t

A.  y =−1 + 3t .
 z= 3 − 4t


 x =−1 + 2t

B.  y =−3 − t .
 z= 4 + 3t


Hướng dẫn giải

d có vectơ chỉ phương a=

d

 x =−1 + 2t

C.  y =−3 − t .
 z= 4 + 3t


y −1 z − 3
. Phương
=
−1
3
d là

 x = 1 + 2t

D.  y= 3 − t .
 z =−4 + 3t


( 2; −1;3)

 
Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương a=
a=
∆
d

∆ đi qua điểm M (1;3; −4 ) và có vectơ chỉ phương a∆

( 2; −1;3)

 x = 1 + 2t

Vậy phương trình tham số của ∆ là  y= 3 − t
 z =−4 + 3t

Câu 13.

0 . Phương trình
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 3 =

chính tắc của của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( −2;1;1) và vuông góc với ( P ) là
x + 2 y −1 z −1
A. = =
.
2
−1
1

4

x − 2 y −1 z −1
B. = =
.
2
−1
1

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


x + 2 y −1 z −1
C. = =
.
2
1
1
Hướng dẫn giải

( P ) có vectơ pháp tuyến n=
P

x + 2 y −1 z −1
D. = =
.
2
−1
−1

( 2; −1;1)

 
Vì ∆ vuông góc với ( P ) nên d có vectơ chỉ phương a=
n=
∆
P

∆ đi qua điểm M ( −2;1;1) và có vectơ chỉ phương a∆

Câu 14.

( 2; −1;1)

x + 2 y −1 z −1
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = =
−1
2
1
0 .Phương trình
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − 2 y + 2 z − 3 =

tham số của đường thẳng d đi qua A ( 2;1; −5) và vuông góc với (α ) là
 x =−2 + t

A.  y =−1 − 2t .
 z= 5 + 2t


 x =−2 − t

B.  y =−1 + 2t .
 z= 5 − 2t


Hướng dẫn giải

(α ) có vectơ pháp tuyến n=
α

 x = 1 + 2t

D.  y =−2 + t .
 z= 2 − 5t


 x= 2 + t

C.  y = 1 − 2t .
 z =−5 + 2t


(1; −2; 2 )

 
Vì d vuông góc với (α ) nên d có vectơ chỉ phương a=
n=
d
α

d đi qua A ( 2;1; −5) và có vectơ chỉ phương a=
(1; −2; 2 )
d

(1; −2; 2 )

 x= 2 + t

Vậy phương trình tham số của d là  y = 1 − 2t

 z =−5 + 2t


Câu 15.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2; −1;3)

và vuông góc với mặt phẳng ( Oxz ) là.

x = 2
x = 2


A.  y = 1 − t .
B.  y = 1 + t .
z = 3
z = 3


Hướng dẫn giải

(Oxz ) có vectơ pháp tuyến j = ( 0;1;0)

 
Vì ∆ vuông góc với (Oxz ) nên ∆ có vectơ chỉ phương a∆= j=

∆ đi qua điểm A ( 2; −1;3) và có vectơ chỉ phương a∆

x = 2


Vậy phương trình tham số của ∆ là  y =−1 + t
z = 3

Câu 16.

Trong

không

gian

với

hệ

 x= 2 + t

D  y = −1 .
 z= 3 + t


x = 2

C.  y =−1 + t .
z = 3


tọa

độ

Oxyz,

( 0;1;0)

cho

tam

giác

ABC

có

A ( 2;1; −2 ) , B ( 4; −1;1) , C ( 0; −3;1) . Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông
góc với mặt phẳng ( ABC ) là
 x= 2 + t
 x =−2 + t


A.  y =−1 − 2t .
B.  y =−1 − 2t .
 z = −2t
 z = −2t


Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm ∆ABC , ta có G ( 2; −1;0 )

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

 x= 2 + t

C.  y = 1 − 2t .
 z = −2t


 x= 2 + t

D.  y = 1 + 2t .
 z = 2t


5




Gọi ad là vectơ chỉ phương của d

AB
= ( 2; −2;3)

AC =( −2; −4;3)
 
d ⊥ AB ad ⊥ AB   
d ⊥ ( ABC ) ⇒ 
⇒    ⇒ ad =  AB, AC  = ( 6; −12; −12 ) = 6 (1; −2; −2 )
d ⊥ AC ad ⊥ AC


d đi qua G ( 2; −1;0 ) và có vectơ chỉ phương là ad = (1; −2; −2 )
 x= 2 + t

Vậy phương trình tham số của d là  y =−1 − 2t
 z = −2 t


Câu 17.

(ĐH D2007). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;4;2 ) và B ( −1;2;4 ) .

Phương trình d đi qua trọng tâm của ∆OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB ) là
x y−2 z−2
A.
= =
.
2
−1
1
x y−2 z−2
C.
.
= =
2
1
1
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm ∆OAB , ta có G (0;2;2)


OA = (1;4;2 )

OB = ( −1;2;4 )

x y+2 z+2
B.
= =
.
2
−1
1
x y+2 z+2
D.
= =
.
2
1
1



Gọi ad là vectơ chỉ phương của d
 
d ⊥ OA ad ⊥ OA   
⇒    ⇒ ad = OA, OB  =
d ⊥ (OAB ) ⇒ 
⊥
d
OB


ad ⊥ OB

Câu 18.

x y−2 z−2
Vậy phương trình của d =
là
=
2
−1
1
Trong không gian với hệ tọa

độ

(12; −6;6) = 6 ( 2; −1;1)

Oxyz,

cho

tam

giác

ABC

có

A ( 0;1;2 ) , B ( −2; −1; −2 ) , C ( 2; −3; −3) . Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng

( ABC ) . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng
 x =−2 − t

A.  y =−1 − 3t .
 z =−2 + 2t

Hướng dẫn giải

AB =( −2; −2; −4 )

AC = ( 2; −4; −5)

 x =−2 + t

B.  y =−1 + 3t .
 z =−2 − 2t


 x =−2 − 6t

C.  y =−1 − 18t .
 z =−2 + 12t


d.

 x =−2 − t

D.  y =−1 − 3t .

 z =−2 − 2t


Đường thẳng d đi qua điểm B ( −2; −1; −2 ) và có vectơ chỉ phương là

  
ad = AB, AC  =−
( 6; −18;12 ) =−6(1;3; −2)

Đáp án sai là câu A
Câu 19.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm


M ( 2;1; −5) , đồng thời vuông góc với hai vectơ a = (1;0;1) và
=
b ( 4;1; −1) là

6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


x+2
x − 2 y −1 z + 5
A. = =
B. =
.
−1
−1

5
1
x + 2 y +1 z − 5
x +1
C. = =
D. =
.
−5
−1
1
2
Hướng dẫn giải

∆ đi qua điểm M ( 2;1; −5) , và có vectơ chỉ phương a∆ =

y +1 z − 5
=
.
5
1
y − 5 z −1
=
.
−5
1

 
 a, b =
 

( −1;5;1)

x − 2 y −1 z + 5
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = =
−1
5
1
Câu 20.
(ĐH B2013). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −1;1) , B ( −1; 2;3) và
x +1 y − 2 z − 3
. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , đồng thời vuông
=
=
−2
1
3
góc với hai đường thẳng AB và ∆ là
x−7 y−2 z −4
x −1 y +1 z −1
A. = =
B. = =
.
.
−1
1
1
7
2
4
x +1 y −1 z +1

x +1 y −1 z +1
C. = =
D. = =
.
.
7
2
4
7
4
−2
Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cần tìm và có vectơ chỉ phương ad

AB = ( −2;3; 2 )

∆ có vectơ chỉ phương a∆ = ( −2;1;3)
 

 

 d ⊥ AB
 ad ⊥ AB
; a∆  ( 7;2;4 )
ad  AB=
⇒    ⇒
=

d ⊥ ∆


 ad ⊥ a ∆
x −1 y +1 z −1
Vậy phương trình chính tắc của d là = =
7
2
4
x − 2 y z +1
Câu 21.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :
và
= =
−1
2
3

đường thẳng ∆ :

 x= 1 + t

d 2 :  y= 3 − 2t . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2;3; −1) và vuông góc với hai đường
 z= 5 − 2t

thẳng d1 , d 2 là
 x =−8 + 2t

A.  y = 1 + 3t .
 z =−7 − t


 x= 2 − 8t

B.  y= 3 + 3t .
 z =−1 − 7t


Hướng dẫn giải

d1 có vectơ chỉ phương=
a1 ( 2;3; −1)

d 2 có vectơ chỉ phương a2 = (1; −2; −2 )

 x =−2 − 8t

C.  y =−3 + t .
 z = 1 − 7t


 x =−2 + 8t

D.  y =−3 − t .
 z = 1 + 7t




Gọi a∆ là vectơ chỉ phương ∆
 


 

 ∆ ⊥ d1
 a∆ ⊥ a1
 a1; a2  =−
⇒    ⇒ a∆ =


 ( 8;3; −7 )
∆ ⊥ d 2

 a ∆ ⊥ a2
 x= 2 − 8t

Vậy phương trình tham số của ∆ là  y= 3 + 3t
 z =−1 − 7t


Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

7


0 và đường
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + 2 z − 1 =

Câu 22.

thẳng ∆ :

(P)

x +1 y z − 3
= = . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm B ( 2; −1;5) song song với
−1
2
3

và vuông góc với ∆ là

x − 2 y +1 z − 5
A. = =
.
−5
2
4
x + 2 y −1 z + 5
C. = =
.
−2
−4
5
Hướng dẫn giải

∆ có vectơ chỉ phương a=
( 2; −1;3)
∆

( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2;1; 2 )

x + 2 y −1 z + 5
B. = =
.
−5
2
4
x −5 y + 2 z + 4
D. = =
.
−1
2
5



Gọi ad là vectơ chỉ phương d
 

 
 ad ⊥ n P
d / / ( P )

 a∆ ; nP  =−
⇒    ⇒ ad =


 ( 5;2;4 )
d
⊥
∆

a
a
⊥


 d
∆
x − 2 y +1 z − 5
Vậy phương trình chính tắc của d là = =
−5
2
4
0 và
Câu 23.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α ) : x − 2 y + 2 z + 3 =

( β ) : 3x − 5 y − 2 z − 1 =0 . Phương trình đường thẳng d
mặt phẳng (α ) , ( β ) là
 x =−1 + 14t
 x = 1 + 14t


A.  y= 3 + 8t .
B.  y= 3 + 8t .
 z =−1 + t
 z =−1 + t


Hướng dẫn giải


(α ) có vectơ pháp tuyến n=
(1; −2;2 )
α

( β ) có vectơ pháp tuyến nβ = ( 3; −5; −2 )

đi qua điểm M (1;3; −1) , song song với hai

 x =−1 + t

C.  y= 3 + 8t .
z = 1+ t




 

=
nα , nβ 
là ad =
d đi qua điểm M (1;3; −1) và có vectơ chỉ phương

 x =−1 + t

D.  y= 3 − t .
z = 1+ t


(14;8;1)

 x = 1 + 14t

Vậy phương của d là  y= 3 + 8t
 z =−1 + t


Câu 24.

0 . Phương trình
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : 2 x − y + 2 z − 3 =

đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; −3; −1) , song song với hai mặt phẳng (α ) , (Oyz ) là.
x = 2
 x= 2 − t


A.  y = −3 .
B.  y =−3 + 2t .
 z =−1 + t
 z =−1 + t


Hướng dẫn giải

(α ) có vectơ pháp tuyến n=
( 2; −1;2 )
α

(Oyz ) có vectơ pháp tuyến i = (1;0;0)

x = 2

C.  y =−3 − 2t .

 z =−1 + t



 

nα , i 
là ad =
d đi qua điểm A ( 2; −3; −1) và có vectơ chỉ phương =

8

 x = 2t

D.  y= 2 − 3 t.
z = 1− t


( 0;2;1)

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Câu 25.

x = 2

Vậy phương của d là  y =−3 + 2t
 z =−1 + t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

0 và ( β ) : x + y − z + 4 = 0 = 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d
(α ) : x − 3 y + z =
 x= 2 + t

A.  y = t
.
 z= 2 + 2t


Hướng dẫn giải
Cách 1:

 x= 2 + t

B.  y = t
.
 z =−2 + 2t


 x= 2 − t

C.  y = −t
.

 z =−2 − 2t


là

 x =−2 + t

D.  y = t
.
 z= 2 + 2t


 x + z =3t
 x =−2 + t
⇒
Đặt y = t , ta có 
 x − z =−4 − t  z =2 + 2t
 x =−2 + t

Vậy phương trình tham số của d là  y = t
 z= 2 + 2t

Cách 2:
Tìm một điểm thuộc d , bằng cách cho y = 0
 x + z =0
 x =−2
⇒
⇒ M ( −2;0; 2 ) ∈ d
Ta có hệ 
 x − z =−4  z =2


(α ) có vectơ pháp tuyến n=
(1; −3;1)
α

nβ (1;1; −1)
( β ) có vectơ pháp tuyến =
  
=
ad =
nα ; nβ  ( 2; 2; 4 )
d có vectơ chỉ phương

d đi qua điểm M ( −2;0;2 ) và có vectơ chỉ phương là ad
 x =−2 + t

Vậy phương trình tham số của d là  y = t
 z= 2 + 2t


Câu 26.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng

(α ) : x − 2 y − z + 1 =0

0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm
và ( β ) : 2 x + 2 y − 3z − 4 =

M (1; −1;0) và song song với đường thẳng ∆ là

x −1 y −1 z
A. = = .
8
1
6
x −1 y +1 z
C. = = .
8
1
6
Hướng dẫn giải

(α ) có vec tơ pháp tuyến nα = (1; −2; −1)

( β ) có vec tơ pháp tuyến=
nβ ( 2; 2; −3)

x +1 y −1
B. = =
8
1
x − 8 y −1
D. = =
1
1



 

z
.
6
z
.
6

nα , nβ 
là ad =
d đi qua điểm M (1; −1;0) và có vectơ chỉ phương=

(8;1;6)

x −1 y +1 z
Vậy phương trình của d là = =
8
1
6

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

9


x −1 y + 3 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
. Phương trình
2
1
−2

đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2; −1; −3) , vuông góc với trục Oz và d là

Câu 27.

 x =−2 − t
 x= 2 − t


A.  y =−1 + 2t .
B.  y = 1 + 2t .
y = 3


 y = −3
Hướng dẫn giải

Oz có vectơ chỉ phương k = ( 0;0;1)

d có vectơ chỉ phương=
ad ( 2;1; −2 )

 x = −2t

C.  y = 1 − 2t .
y = 3




 

∆ đi qua điểm A ( 2; −1; −3) , và có vectơ chỉ phương là a∆ =  k , ad  =

 x= 2 − t

D.  y =−1 + 2t .
 y = −3


( −1;2;0)

 x= 2 − t

Vậy phương của ∆ là  y =−1 + 2t
 y = −3

Câu 28.

0 . Phương
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + 5z − 4 =

trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( −2;1; −3) , song song với ( P ) và vuông góc với trục tung là

 x =−2 + 5t
 x =−2 + 5t


.
.
A.  y = 1

B.  y = 1
 y =−3 + 2t
 y =−3 + 2t


Hướng dẫn giải

Oy có vectơ chỉ phương j = ( 0;1;0 )

( P ) có vectơ pháp tuyến n=
( 2; −3;5)
P

 x =−2 − 5t

C.  y = 1 − t .
 y =−3 + 2t




 

a∆  j, =
nP 
∆ đi qua điểm A ( −2;1; −3) , và có vectơ chỉ phương là=

 x =−2 + 5t

.

D.  y = 1
 y =−3 − 2t


( 5;0; −2 )

 x =−2 + 5t

Vậy phương của ∆ là  y = 1
 y =−3 − 2t

Câu 29.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) =
9.
2

2

2

0
Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu ( S ) , song song với (α ) : 2 x + 2 y − z − 4 =
và vuông góc với đường thẳng ∆ :

x +1 y − 6 z − 2
là.
=
=
3

−1
1

x= 1− t
 x =−1 + t


A.  y =−2 + 5t .
B.  y= 2 − 5t .
 z= 3 − 8t
 z =−3 − 8t


Hướng dẫn giải
Tâm của mặt cầu ( S ) là I (1; −2;3)

∆ có vectơ chỉ phương a=
( 3; −1;1)
∆

nα ( 2;2; −1)
(α ) có vectơ pháp tuyến=

x= 1− t

C.  y =−2 − 5t .
 z= 3 − 8t




 

d đi qua điểm I (1; −2;3) và có vectơ chỉ phương là ad =  a∆ , nα  =

10

x= 1− t

D.  y =−2 + 5t .
 z= 3 + 8t


( −1;5;8)

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


 x= 1 − t

Vậy phương của d là  y =−2 + 5t
 z= 3 + 8t


Câu 30.

 x = 1 + 2t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−1 + t . Hình chiếu vuông


 z= 2 + t

góc của d lên mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình là.
 x = 1 + 2t

A.  y =−1 + t .
z = 0

Hướng dẫn giải

 x =−1 + 2t

B.  y =−1 + t .
z = 0


 x =−1 + 2t

C.  y = 1 + t .
z = 0


x = 0

D.  y =−1 − t .
z = 0


 x = 1 + 2t


Cho z = 0 , phương trình của d ' là  y =−1 + t

z = 0

Câu 31.

 x = 1 + 2t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−2 + 3t . Hình chiếu vuông

 z= 3 + t

góc của d lên mặt phẳng (Oxz ) có phương trình là.

 x =−1 + 2t

.
A.  y = 0
 z= 3 + t

Hướng dẫn giải

x = 0

B.  y = 0 .
 z= 3 + t


 x = 1 + 2t


C.  y = 0 .
 z= 3 + t


 x = 1 + 2t

.
D.  y = 0
 z =−3 + t


 x = 1 + 2t

Cho y = 0 , phương trình của d lên mặt phẳng (Oxz ) là  y = 0
 z= 3 + t


Câu 32.

x − 12 y − 9 z − 1
, và mặt
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
4
3
1

0 . Gọi d ' là hình chiếu của d lên ( P ) . Phương trình tham số của d ' là
thẳng ( P ) : 3x + 5 y − z − 2 =
 x = −62t


A.  y = 25t .
 z= 2 − 61t


Hướng dẫn giải
Cách 1:
Gọi A= d ∩ ( P )

 x = 62t

B.  y = −25t .
 z= 2 + 61t


 x = 62t

C.  y = −25t .
 z =−2 + 61t


 x = 62t

D.  y = −25t .
 z= 2 + 61t


A ∈ d ⇒ A (12 + 4a;9 + 3a;1 + a )
A ∈ ( P ) ⇒ a =−3 ⇒ A ( 0;0; −2 )
d đi qua điểm B (12;9;1)

Gọi H là hình chiếu của B lên ( P )

nP ( 3;5; −1)
( P ) có vectơ pháp tuyến=

 
BH đi qua B (12;9;1) và có vectơ chỉ phương a BH= n=
P

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

( 3;5; −1)
11


x 12 + 3t
=

BH :  y= 9 + 5t
 z= 1 − t


H ∈ BH ⇒ H (12 + 3t;9 + 5t;1 − t )
H ∈ ( P ) ⇒ t =−

78
 186 15 113 
;− ;
⇒H


35
7 35 
 35

  186 15 183 
;− ;
AH 
=

7 35 
 35

ad '
d ' đi qua A ( 0;0; −2 ) và có vectơ chỉ phương =

( 62; −25;61)

 x = 62t

Vậy phương trình tham số của d ' là  y = −25t
 z =−2 + 61t


Cách 2:
• Gọi (Q ) qua d và vuông góc với ( P )


d đi qua điểm B (12;9;1) và có vectơ chỉ phương ad = ( 4;3;1)

nP ( 3;5; −1)

( P ) có vectơ pháp tuyến=



 

(Q ) qua B (12;9;1) có vectơ pháp tuyến nQ =  ad , nP  =
•

( −8;7;11)

0
(Q ) : 8 x − 7 y − 11z − 22 =
d ' là giao tuyến của (Q ) và ( P )

Tìm một điểm thuộc d ' , bằng cách cho y = 0
=
3 x − z 2 =
x 0
⇒
⇒ M ( 0;0; −2 ) ∈ d '
Ta có hệ 
22  y =
−2
8 x − 11z =
  

ad  nP ; n=
d ' đi qua điểm M ( 0;0; −2 ) và có vectơ chỉ phương =
Q

 x = 62t

Vậy phương trình tham số của d ' là  y = −25t
 z =−2 + 61t

Câu 33.

 x = 1 + 2t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−2 + 4t . Hình chiếu song

 z= 3 + t

song của d lên mặt phẳng (Oxz ) theo phương ∆ :

x +1 y − 6 z − 2
có phương trình là:
=
=
−1
−1
1

 x= 3 + 2t
 x =−1 − 2t
 x= 3 + t



.

.
A.  y = 0
B.  y = 0 .
C.  y = 0
 z = 1 − 4t
 z= 5 − 4t
 z = 1 + 2t



Hướng dẫn giải
Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxz ) là : M 0 (5;0;5) .

12

( 62; −25;61)

 x= 3 − 2t

.
D.  y = 0
z = 1+ t


Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


 x = 1 + 2t

Trên d :  y =−2 + 4t chọn M bất kỳ không trùng với M 0 (5;0;5) ; ví dụ: M (1; −2;3) . Gọi A là

 z= 3 + t

x +1 y − 6 z − 2
hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (Oxz ) theo phương ∆ :
.
=
=
1
−1
−1
x +1 y − 6 z − 2
+/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với ∆ :
.
=
=
−1
−1
1
+/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và (Oxz )
+/ Ta tìm được A(3;0;1)

 x = 1 + 2t

Hình chiếu song song của d :  y =−2 + 4t lên mặt phẳng (Oxz ) theo phương

 z= 3 + t
x +1 y − 6 z − 2
là đường thẳng đi qua M 0 (5;0;5) và A(3;0;1) .
∆:
=

=
−1
−1
1
 x= 3 + t

Vậy phương trình là:  y = 0

 z = 1 + 2t
x − 2 y −1 z −1
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = =
và
−1
3
2
 x = 1 − 3t

0 và cắt hai đường
d 2 :  y =−2 + t . Phương trình đường thẳng nằm trong (α ) : x + 2 y − 3z − 2 =
 z =−1 − t

thẳng d1 , d 2 là:

x + 3 y − 2 z −1
.
A. = =
−1
5
1
x − 3 y + 2 z +1

.
C. = =
−5
−1
1
Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cần tìm
• Gọi A= d1 ∩ (α )

x + 3 y − 2 z −1
.
B. = =
−5
1
−1
x +8 y −3 z
.
D. = =
1
3
−4

A ∈ d1 ⇒ A ( 2 − a;1 + 3a;1 + 2a )
A ∈ (α ) ⇒ a =−1 ⇒ A ( 3; −2; −1)
•

= d 2 ∩ (α )
Gọi B
B ∈ d 2 ⇒ B (1 − 3b; −2 + b; −1 − b )
B ∈ (α ) ⇒ b = 1 ⇒ B ( −2; −1; −2 )

•


d đi qua điểm A ( 3; −2; −1) và có vectơ chỉ phương AB =
( −5;1; −1)

x − 3 y + 2 z +1
.
Vậy phương trình chính tắc của d là = =
−5
1
−1

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

13


Câu 35.

(ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

x+2 y−2 z
=
=
−1
1
1

0 . Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong ( P ) ,
và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3 z + 4 =
cắt và vuông góc đường thẳng
 x = 1 − 3t

A.  y =−2 + 3t .
B.
 z =−1 + t

Hướng dẫn giải
Gọi M = ∆ ∩ ( P )

∆ là:
 x =−3 + 2t

 y = 1− t .
z = 1+ t


 x =−3 − 3t

C.  y = 1 + 2t .
z = 1+ t


 x =−3 + t

D.  y = 1 − 2t .
 z= 1 − t


M ∈ ∆ ⇒ M ( −2 + t;2 + t; −t )
M ∈ ( P ) ⇒ t =−1 ⇒ M ( −3;1;1)

nP (1;2; −3)
( P ) có vectơ pháp tuyến=

a∆ (1;1; −1)
∆ có vectơ chỉ phương =
 
d ⊂ ( P) ⇒ ad ⊥ nP    
   ⇒ ad =  nP , a∆  = (1; −2; −1)
Có d ⊥ ∆ ⇒ ad ⊥ a∆ 



d đi qua điểm M ( −3;1;1) và có vectơ chỉ phương là ad

 x =−3 + t

Vậy phương trình tham số của d là  y = 1 − 2t .
 z= 1 − t


Câu 36.

(ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x−2 y +2 z−3
x −1 y −1 z +1

d1 : = =
và d 2 : = =
. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
2
1
−1
−1
2
1

A (1;2;3) vuông góc với d1 và cắt d 2 là:
x −1 y − 2 z − 3
.
A. = =
−3
−5
1
x +1 y + 2 z + 3
.
C. = =
−1
3
5
Hướng dẫn giải
Gọi B = ∆ ∩ d 2

x −1 y + 2 z + 3
.
B. = =
1

−3
−5
x −1 y + 3 z + 5
.
D. = =
−2
−3
1

B ∈ d 2 ⇒ B (1 − t;1 + 2t; −1 + t )

AB =−
( t; 2t − 1; t − 4 )

d1 có vectơ chỉ phương a=
( 2; −1;1)
1
 
∆ ⊥ d1 ⇔ AB ⊥ a1
 
⇔ AB.a1 =
0
⇔ t =−1

∆ đi qua điểm A (1;2;3) và có vectơ chỉ phương AB =

(1; −3; −5)

x −1 y − 2 z − 3
.

Vậy phương trình của ∆ là = =
1
−3
−5

14

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Câu 37.

 x =−3 + 2t

(ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = 1 − t
.
 z =−1 + 4t


Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A ( −4; −2;4 ) , cắt và vuông góc với d là:

x − 3 y − 2 z +1
A. = =
4
−4
−2
x−4 y−2 z+4
C. = =
−3
−2

1
Hướng dẫn giải
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi B = ∆ ∩ d
B ∈ d ⇒ B ( −3 + 2t;1 − t; −1 + 4t )

AB = (1 + 2t;3 − t; −5 + 4t )

d có vectơ chỉ phương a=
( 2; −1; 4 )
d
 
∆ ⊥ d ⇔ AB ⊥ ad
 
0
⇔ AB.ad =

x−4 y−2 z+4
B. = =
3
2
−1
x+4 y+2 z−4
D. = =
−1
3
2

1
⇔t =


AB
∆ đi qua điểm A ( −4; −2;4 ) và có vectơ chỉ phương =

Câu 38.

( 3; 2; −1)

x+4 y+2 z−4
Vậy phương trình của ∆ là = =
3
2
−1
(ĐH A2005). Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz,

cho đường thẳng

x −1 y + 3 z − 3
0 . Gọi A là giao điểm của d và ( P )
d:= =
và mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z + 9 =
−1
2
1
. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong ( P ) , đi qua điểm A và vuông góc với d là:
x = 1

A.  y =−1 + t .

 z =−4 + t


Hướng dẫn giải
Gọi A= d ∩ ( P )

x = t

B.  y = −1.
z = t


x = t

C.  y = −1 .

 z= 4 + t

 x= 1 + t

D.  y = 1 .

z = t

A ∈ d ⇒ A (1 − t; −3 + 2t;3 + t )
A ∈ ( P ) ⇒ t = 1 ⇒ A ( 0; −1; 4 )

nP ( 2;1; −2 )
( P ) có vectơ pháp tuyến=


d có vectơ chỉ phương ad = ( −1; 2;1)

Gọi vecto chỉ phương của ∆ là a∆
Ta có :
 
 
∆ ⊂ ( P) ⇒ a∆ ⊥ nP  
a∆  nP , =
ad  ( 5;0;5 )
   ⇒=
d ⊥ ∆ ⇒ ad ⊥ a∆ 

∆ đi qua điểm A ( 0; −1;4 ) và có vectơ chỉ phương là a∆ = ( 5;0;5 )

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

15


x = t

Vậy phương trình tham số của ∆ là  y = −1
 z= 4 + t


Câu 39.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2; −1) và đường thẳng

x−3 y −3 z

d: = =
. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng
1
3
2

(Q ) : x + y − z + 3 =0 là:
x −1 y − 2 z +1
.
A. = =
1
−2
−1
x +1 y + 2 z −1
.
C. = =
2
1
−1
Hướng dẫn giải
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi B = ∆ ∩ d
B ∈ d ⇒ B ( 3 + t;3 + 3t; 2t )

AB =
( t + 2;3t + 1; 2t + 1)

nQ (1;1 − 1)
(Q ) có vectơ pháp tuyến =
 

∆ / / ( Q ) ⇒ AB ⊥ nQ
 
⇔ AB.nQ =
0

x +1 y + 2 z −1
.
B. = =
1
2
1
x −1 y − 2 z +1
.
D. = =
1
2
−1

⇔ t =−1

∆ đi qua điểm A (1;2; −1) và có vectơ chỉ phương AB = (1; −2; −1)

x −1 y − 2 z +1
Vậy phương trình của ∆ là = =
1
−2
−1

Câu 40.

x +1 y − 2 z −1
=
=
và
3
1
2
x = 3
x −1 y z +1

∆2 :
=
= . Phương trình đường thẳng song song với d :  y =−1 + t và cắt hai đường
1
2
3
 z= 4 + t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 :

thẳng ∆1; ∆ 2 là:

x = 2

A.  y= 3 − t .
 z= 3 − t


 x = −2


B.  y =−3 − t .
 z =−3 − t


Hướng dẫn giải
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi A = ∆ ∩ ∆1 , B = ∆ ∩ ∆ 2

 x = −2

C.  y =−3 + t .
 z =−3 + t


x = 2

D.  y =−3 + t .
 z= 3 + t


A ∈ ∆1 ⇒ A ( −1 + 3a;2 + a;1 + 2a )

B ∈ ∆ 2 ⇒ B (1 + b;2b; −1 + 3b )

AB = ( −3a + b + 2; −a + 2b − 2; −2a + 3b − 2 )

d có vectơ chỉ phương ad = ( 0;1;1)
 
∆ / / d ⇔ AB, ad cùng phương



⇔ có một số k thỏa AB = kad

16

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


0
−2
1
 −3a + b + 2 =
 −3a + b =
a =



⇔  − a + 2b − 2 = k ⇔  − a + 2b − k = 2 ⇔  b = 1
 −2a + 3b − 2 =
 −2a + 3b − k =
k =
k
2
−1




Ta có A ( 2;3;3) ; B ( 2;2;2 )


∆ đi qua điểm A ( 2;3;3) và có vectơ chỉ phương AB =

( 0; −1; −1)

x = 2

Vậy phương trình của ∆ là  y= 3 − t
 z= 3 − t

Câu 41.
(ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x y −1 z + 2
d=
=
1:
2
1
−1

và

 x =−1 + 2t

d 2 :  y = 1 + t . Phương trình đường thẳng vuông góc với
z = 3


0 và cắt hai đường thẳng d1 , d 2

( P ) : 7x + y − 4z =
x−7 y z+4
= =
.
2
1
1
x + 2 y z −1
= =
.
C.
−7
−1
4
Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cần tìm
d ∩ d1 , B =
d ∩ d2
Gọi A =
A.

là:

x−2
=
7
x−2
=
D.
7

B.

y z +1
=
.
1
−4
y z +1
=
.
1
4

A ∈ d1 ⇒ A ( 2a;1 − a; −2 + a )

B ∈ d 2 ⇒ B ( −1 + 2b;1 + b;3)

AB = ( −2a + 2b − 1; a + b; −a + 5)

nP ( 7;1; −4 )
( P ) có vectơ pháp tuyến=
 
d ⊥ ( P ) ⇔ AB, n p cùng phương


⇔ có một số k thỏa AB = kn p
− 1 7k
7k 1 =
 −2a + 2b=

 −2a + 2b −=
a 1



⇔ a + b =
⇔ a + b − k =
⇔ b =
−2
k
0
 −a + 5 =−4k
 −a + 4k =−5
k =−1



 
n=
d đi qua điểm A ( 2;0; −1) và có vectơ chỉ phương a=
( 7;1 − 4 )
d
P
Vậy phương trình của d là

x − 2 y z +1
= =
7
1 −4

x −1 y − 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
. Viết phương
1
2
−1
trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2;3; −1) cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng

Câu 42.

(α ) : x + y + z − 1 =0 bằng 2

3.

x−3 y−6 z+2
.
A. = =
1
3
−1
x−7 y z+4
= =
.
B.
2
1
1
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

17

x −3 y −6 z + 2
.
C. = =
−2
−3
2
x+3 y+6 z−2
x−3 y −6 z+2
.
D. = =
và = =
−1
5
1
3
−5
−9
Hướng dẫn giải

B ∈ d ⇒ B (1 + t ; 2 + 2t ; −t )


 B ( 3;6; −2 ) , AB =
(1;3; −1)
t = 2
d ( B , (α ) ) =
2 3⇔
⇒


t = −4  B ( −3; −6; 4 ) , AB =( −5; −9;5 )

∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB
x+3 y+6 z −2
x−3 y−6 z+2
.
Vậy phương trình của ∆ là = =
và = =
1
3
−1
−5
−9
5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm

Câu 43.

A ( −2;2;1) cắt trục tung tại B sao cho OB = 2OA.

x y −6 z
= =
.
B.
2
4
−1
x y −6 z

x y+6 z
= =
= =
.
D.
và
2
−8
−1
2
4
−1

x y+6 z
.
= =
A.
−8
−1
2
x+3 y+6 z−2
.
C. = =
3
−5
−9
Hướng dẫn giải

B ∈ Oy ⇒ B ( 0; b;0 )


 B ( 0;6;0 ) , =
AB ( 2;4; −1)
b = 6
2OA ⇔ 
OB =
⇒

b = −6  B ( 0; −6;0 ) , AB = ( 2; −8; −1)

∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB
x y −6 z
x y+6 z
=
= =
.
Vậy phương trình của ∆ =
là
và
2
4
−1
2
−8
−1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm

Câu 44.

x−2
1

B (1;1;2 ) cắt đường thẳng d : =

y − 3 z +1
=
tại C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng
1
−2

83
.
2

x −1 y −1 z − 2
.
A. = =
3
−2
−1
x y −6 z
.
= =
B.
2
4
−1
x −1 y −1 z − 2
x −1 y −1 z − 2

.
C. = =
và = =
3
−2
−1
31
78
−109
x −1 y −1 z − 2
.
D. = =
31
78
−109
Hướng dẫn giải

18

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


C ∈ d ⇒ C ( 2 + t;3 − 2t; −1 + t )

OC = ( 2 + t;3 − 2t; −1 + t )

OB = (1;1;2 )
 
OB, OC  = ( 5t − 7; t + 5;1 − 3t )





t = 2 ⇒ BC = ( 3; −2; −1)
1  
OB, OC  ⇔  −4   31 78 109 
=
S∆OBC
t = ⇒ BC =

2
 ; ;−

 35
 35 35 35 

∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương BC
x −1 y −1 z − 2
x −1 y −1 z − 2
.
Vậy phương trình của ∆ là = =
và = =
3
−2
−1
31
78
−109
x − 2 y −1 z − 2
Câu 45.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = =
và
1
−1
−1
x = t

d2 :  y = 3
. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 là.
 z =−2 + t


 x= 2 + t
 x= 3 + t


A.  y = 1 + 2t .
B.  y= 3 − 2t .
 z= 2 − t
z = 1− t


Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi A =
d ∩ d1 , B =
d ∩ d2

 x= 2 + 3t


C.  y = 1 − 2t .
 z= 2 − 5t


 x= 3 + t

D.  y = 3 .
z = 1− t


A ∈ d1 ⇒ A ( 2 + a;1 − a;2 − a )

B ∈ d 2 ⇒ B ( b;3; −2 + b )

AB =( −a + b − 2; a + 2; a + b − 4 )

d1 có vectơ chỉ phương a1 = (1; −1; −1)

d 2 có vectơ chỉ phương a2 = (1;0;1)
 
 
0
 d ⊥ d1
a = 0
 AB ⊥ a1
 AB.a1 =
⇔    ⇔   
⇔
⇒ A ( 2;1;2 ) ; B ( 3;3;1)


3
0 b =
d ⊥ d 2
 AB ⊥ a2
 AB.a2 =
 
ad AB
= (1;2; −1)
d đi qua điểm A ( 2;1;2 ) và có vectơ chỉ phương =

 x= 2 + t

Vậy phương trình của d là  y = 1 + 2t .
 z= 2 − t


x +1 y z − 2
,
= =
2
1
1
0 và A (1; −1; 2 ) . Đường thẳng ∆ cắt d và ( P ) lần lượt tại M và
mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 5 =

Câu 46.

(ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là.

x −1 y +1 z − 2
.
A. = =
2
3
2

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

x +1 y −1 z + 2
.
B. = =
2
3
2

19


x +1 y + 4 z + 2
.
C. = =
−2
3
2
Hướng dẫn giải
M ∈ d ⇒ M ( −1 + 2 t ; t ; t + 2 )

x −2 y −3 z −2

.
D. = =
1
−1
2

A là trung điểm MN ⇒ N ( 3 − 2t; −2 − t; 2 − t )

N ∈ ( P ) ⇒ t = 2 ⇒ M ( 3; 2; 4 )

 
a∆ AM
=
∆ đi qua điểm M ( 3; 2; 4 ) và có vectơ chỉ phương=

( 2;3; 2 )

x −1 y +1 z − 2
Vậy phương trình của ∆ là = =
2
3
2
Câu 47.

x − 2 y −1 z −1
, mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
1
2
−1

( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z + 1)
2

2

2

=
29 và A (1; −2;1) . Đường thẳng ∆ cắt d và ( S ) lần lượt tại M

và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là
x −1 y + 2 z −1
x +1 y − 2 z +1
và = =
A. = =
.
2
5
−1
−10
7
11
x +1 y − 2 z +1
x −1 y + 2 z −1
B. = =
và = =
.
2
5

−1
7
11
−10
x −1 y + 2 z −1
x −1 y + 2 z −1
và = =
C. = =
.
2
5
−1
7
11
−10
x +1 y − 2 z +1
x +1 y − 2 z +1
D. = =
và = =
.
2
5
−1
−10
7
11
Hướng dẫn giải
M ∈ d ⇒ M ( 2 + t;1 + 2t;1 − t )
A là trung điểm MN ⇒ N ( −t; −5 − 2t;1 + t )


t =1 ⇒ MN =−
( 4; −10;2 ) =−2 ( 2;5; −1)

2
N ∈ ( S ) ⇒ 6t + 14t − 20 =0 ⇒ 
10   14 22 20  2
=
−
⇒ MN =
t
 ; ; −  =( 7;11; −10 )

3
3 3
 3 3
 
∆ đi qua điểm A (1; −2;1) và có vectơ chỉ phương a∆ = MN

Câu 48.

x −1 y + 2 z −1
x −1 y + 2 z −1
Vậy phương trình của ∆ là = =
và = =
2
5
−1
7
11
−10

0
(ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 =

và hai điểm A ( −3;0;1) , B (1; −1;3) . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( P ) , đường
thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.
x + 3 y z −1
x − 2 y +1 z − 3
= =
.
.
A.
B. = =
26 11 −2
26
11
−2
x − 3 y z +1
x + 2 y −1 z + 3
= =
.
.
C.
D. = =
26 11 −2
26
11
−2
Hướng dẫn giải
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
0

Gọi mặt phẳng (Q ) qua A ( −3;0;1) và song song với ( P ) . Khi đó: (Q ) : x − 2 y + 2 z + 1 =
Gọi K , H lần lượt là hình chiếu của B lên ∆, (Q ) . Ta có d ( B, ∆=
) BK ≥ BH . Do đó AH là
đường thẳng cần tìm.

(1; −2; 2 )
(Q ) có vectơ pháp tuyến n=
Q
20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


 
BH qua B và có vectơ chỉ phương a BH= n=
Q

(1; −2; 2 )

 x= 1 + t

BH :  y =−1 − 2t
 z= 3 + 2t


H ∈ BH ⇒ H (1 + t; −1 − 2t;3 + 2t )
H ∈ ( P ) ⇒ t =−

10
 1 11 7 

⇒ H − ; ; 
9
 9 9 9

   26 11 2  1
∆ đi qua điểm A ( −3;0;1) và có vectơ chỉ phương a∆ = AH =  ; ; −  =
( 26;11; −2 )
 9 9 9 9
Vậy phương trình của ∆ là ∆ :
Câu 49.

x + 3 y z −1
==
26 11 −2

x − 3 y + 2 z +1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
, mặt phẳng
−1
2
1

( P ) : x + y + z + 2 =0 . Gọi

M là giao điểm của d và ( P ) . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong ( P )

vuông góc với d và cách M một khoảng bằng 42 . Phương trình đường thẳng ∆ là.
x +3 y + 4 z −5
x −5 y +2 z +5
.

và = =
A. = =
−3
2
1
2
1
−3
x −5 y + 2 z +5
.
B. = =
−3
2
1
x +3 y + 4 z −5
.
C. = =
−3
2
1
x +3 y + 4 z −5
x +3 y +4 z −5
.
D. = =
và = =
2
3
1
2
3

1
Hướng dẫn giải
Gọi M= d ∩ ( P )

M ∈ d ⇒ M ( 3 + 2 t ; −2 + t ; −1 − t )
M ∈ ( P ) ⇒ t =−1 ⇒ M (1; −3;0 )

( P ) có vecttơ pháp tuyến nP = (1;1;1)

ad ( 2;1; −1)
d có vecttơ chỉ phương=

 
 ad , nP=
 ( 2; −3;1)
∆ có vecttơ chỉ phương a=
∆



Gọi N ( x; y; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ , khi đó MN =( x − 1; y + 3; z ) .
 
 2 x − 3 y + z − 11 =
 MN ⊥ a∆
0


Ta có:  N ∈ ( P ) ⇔  x + y + z + 2 =
0



2
2
2
42
 MN = 42
( x − 1) + ( y + 3) + z =
Giải hệ ta tìm được hai điểm N ( 5; −2; −5) và N ( −3; −4;5)

x −5 y +2 z +5
=
=
2
−3
1
x +3 y +4 z −5
=
=
Với N ( −3; −4;5) , ta có ∆ :
2
−3
1

Với N ( 5; −2; −5) , ta có ∆ :

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

21

 x= 3 + t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1;1;2 ) , hai đường thẳng ∆1 :  y =−1 + 2t
z = 4


Câu 50.

x+2 y z−2
=
= . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng
1
1
2
∆1 , ∆ 2 là.

và ∆ 2 :

x −1 y −1 z − 2
.
A. = =
1
1
−1

 x = 1 + 2t

B.  y = 1 − t .
 z= 2 + t


x −1 y −1 z − 2
.
C. = =
1
1
−1

 x = 1 + 2t

D.  y = 1 + t .
 z= 2 + t


•

Hướng dẫn giải
Gọi (α1 ) là mặt phẳng qua I và ∆1


∆1 đi qua M 1 ( 3; −1;4 ) và có vectơ chỉ phương a1 = (1;2;0 )

IM=
( 2; −2;2 )
1

 
(α1 ) có vectơ pháp tuyến n1 = a1 , IM 1  = ( 4; −2; −6)
• Gọi (α 2 ) là mặt phẳng qua I và ∆ 2


∆ 2 đi qua M 2 ( −2;0;2 ) và có vectơ chỉ phương a2 = (1;1;2 )

IM 2 = ( −3; −1;0 )

 
 ( 2; −6;2 )
(α 2 ) có vectơ pháp tuyến n=2  a2 , IM 2=


 
• d đi qua điểm I (1;1;2 ) và có vectơ chỉ phương ad = n1 , n2  =−
( 40; −20; −20)
 x = 1 + 2t

Vậy phương trình đường thẳng d là  y = 1 + t
 z= 2 + t


Câu 51.

x −1 y +1 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = =
,
2
1
1
x −1 y − 2 z
d2 : = =
và mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 3 =
0 . Gọi ∆ là đường thẳng song song với

1
2
1

( P)

và cắt d1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB = 29 . Phương trình tham số của đường

thẳng ∆ là
 x =−1 + 2t
 x= 3 + 4t


A. ∆ :  y = 2t hoặc ∆ :  y =−2 + 4t .
 z =−1 + 3t

 z = 1 + 3t

 x= 3 + 4t

C. ∆ :  y = −2t .
 z = 1 + 3t

Hướng dẫn giải

22

 x= 3 + 4t

B. ∆ :  y = 2t .

 z = 1 + 3t

 x =−1 + 2t

D. ∆ :  y =−2 + 4t .
 z =−1 + 3t


Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


A ∈ d1 ⇒ A (1 + 2a; −1 + a; a )
B ∈ d 2 ⇒ B (1 + b;2 + 2b; b )


∆ có vectơ chỉ phương AB = ( b − 2a;3 + 2b − a; b − a )

nP (1;1; −2 )
( P ) có vectơ pháp tuyến =

 
Vì ∆ / / ( P ) nên AB ⊥ nP ⇔ b = a − 3 .Khi đó AB = ( −a − 3; a − 3; −3)

 A ( 3;0;1) , AB =( −4; −2; −3)
a = 1
⇒
Theo đề bài: AB =29 ⇔ 

 a = −1  A ( −1; −2; −1) , AB =( −2; −4; −3)
 x =−1 + 2t

 x= 3 + 4t


Vậy phương trình đưởng thẳng ∆ là  y = 2t
và  y =−2 + 4t
 z =−1 + 3t
 z = 1 + 3t


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

Câu 52.

x −1 y z + 2
= =
2
1
−1

và

x −1 y + 2 z − 2
d2 : = =
0 và cắt d1 , d 2
. Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( P ) : x + y + z − 7 =
1
3
−2
lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng ∆ là.


 x= 6 − t

5

B.  y =
.
2

9

 z =− 2 + t

x 12 − t
=

A.  y = 5
.
 z =−9 + t


Hướng dẫn giải
A ∈ d1 ⇒ A (1 + 2a; a; −2 − a )


x = 6

5

C.  y=
−t .

2

9

 z =− 2 + t


 x= 6 − 2t

5

D.  y=
+t .
2

9

 z =− 2 + t

B ∈ d 2 ⇒ B (1 + b; −2 + 3b; 2 − 2b )

∆ có vectơ chỉ phương AB = ( b − 2a;3b − a − 2; −2b + a + 4 )

( P ) có vectơ pháp tuyến nP = (1;1;1)

 
 
Vì ∆ / / ( P ) nên AB ⊥ nP ⇔ AB.nP = 0 ⇔ b = a − 1 .Khi đó AB = ( −a − 1;2a − 5;6 − a )
AB =
=

( −a − 1)

2

+ ( 2 a − 5) + ( 6 − a )
2

2

6a 2 − 30a + 62
2

=

5  49 7 2

6 a −  +
; ∀a ∈ 
≥
2
2
2


5
7
 5 9    7
Dấu " = " xảy ra khi a =
⇒ A  6; ; −  , AB =

 − ;0; 
2
2
 2 2
 2


5 9
Đường thẳng ∆ đi qua điểm A  6; ; −  và vec tơ chỉ phương ud =
 2 2

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

( −1;0;1)

23



 x= 6 − t

5

Vậy phương trình của ∆ là  y =
2

9

 z =− 2 + t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 :

Câu 53.

x +1 y + 2 z
=
= và
1
2
1

x − 2 y −1 z −1
=
= . Đường thẳng d song song với ( P ) : x + y − 2 z + 5 =
0 và cắt hai đường
2
1
1
thẳng ∆1; ∆ 2 lần lượt tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là
∆2 :

x −1 y − 2 z − 2
.
B. = =
2
1
1
x +1 y + 2 z + 2
.
D. = =
2

1
1

A. x − 1 = y − 2 = z − 2.
C. x + 1 = y + 2 = z + 2.
Hướng dẫn giải
Gọi A= d ∩ ∆1 , B= d ∩ ∆ 2

A ∈ ∆1 ⇒ A ( −1 + a; −2 + 2a; a )

B ∈ ∆ 2 ⇒ B ( 2 + 2b;1 + b;1 + b )

AB = ( −a + 2b + 3; −2a + b + 3; −a + b + 1)
 
d / / ( P ) ⇒ AB.nP = 0 ⇔ b = a − 4

AB = ( a − 5; −a − 1; −3)
AB
=

2 ( a − 2 ) + 27 ≥ 3 3; ∀a ∈ 
2

Dấu " = " xảy ra khi a = 2 ⇒ A (1; 2; 2 ) , B ( −2; −1; −1)

AB =( −3; −3; −3)

d đi qua điểm A (1; 2; 2 ) và có vectơ chỉ phương ad = (1;1;1)
Vậy phương trình của d là x − 1 = y − 2 = z − 2

x−2
=
2
( P ) : 2 x − y − z + 5 =0 và M (1; −1;0 ) . Đường thẳng ∆ đi qua điểm M , cắt

Câu 54.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

góc 300 . Phương trình đường thẳng ∆ là.
x+2 y z−2
x+4 y+3
= =
A.
và = =
1
1
−2
5
2
x−2 y z+2
x −4 y −3
= =
B.
và = =
1
1
−2
5
2

x −1 y +1
x −1 y +1 z
C. = =
và = =
1
1
−2
23
14
x+2 y z−2
x −4 y −3
= =
D.
và = =
1
1
−2
5
2
Hướng dẫn giải
Gọi N = ∆ ∩ d
N ∈ d ⇒ N ( 2 + 2 t ; t ; −2 + t )
24

y z+2
=
, mặt phẳng
1
1
d và tạo với ( P ) một

z +5
.
5
z −5
.
5

z
.
−1
z −5
.
5

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦



∆ có vectơ chỉ phương MN = (1 + 2t;1 + t; −2 + t )

( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1)

 
t =
0 ⇒ MN =
(1;1 − 2 )
MN .nP

sin=

  23 14 1 
 d , ( P )    ⇔  9
MN . nP
=⇒
t
MN =
 ; ;− 
 5
 5 5 5
 
∆ đi qua điểm M (1; −1;0 ) và có vectơ chỉ phương ad = MN

x −1 y +1 z
và
Vậy phương trình của ∆ là = =
1
1
−2
Câu 55.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi
x
1

( P ) : x − y + z − 5 =0 , đồng thời tạo với ∆ : =

x −1 y +1 z
= =
23
14
−1

d đi qua A ( 3; −1;1) , nằm trong mặt phẳng

y−2 z
=
một góc 450 . Phương trình đường thẳng
2
2

d là
 x= 3 + 7t

A.  y =−1 − 8t .
 z =−1 − 15t


 x= 3 + t

B.  y =−1 − t .

z = 1

 x= 3 + 7t

C.  y =−1 − 8t .
 z = 1 − 15t


 x= 3 + 7t
 x= 3 + t



D.  y =−1 − t và  y =−1 − 8t .
 z = 1 − 15t
z = 1



Hướng dẫn giải

∆ có vectơ chỉ phương a∆ = (1;2;2 )

d có vectơ chỉ phương ad = ( a; b; c )

(1; −1;1)
( P ) có vectơ pháp tuyến n=
P
 
d ⊂ ( P ) ⇒ ad ⊥ nP ⇔ b = a + c; (1)

( ∆, d ) =

450 ⇔ cos ( ∆, d ) = cos 450
⇔

a + 2b + 2 c

2
=
2
3 a +b +c

2

2

2

⇔ 2 ( a + 2b + 2 c ) = 9 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ; ( 2 )
2

c = 0
0⇔
Từ (1) và ( 2 ) , ta có: 14c 2 + 30ac =
0
15a + 7c =
 x= 3 + t

Với c = 0 , chọn a= b= 1 , phương trình đường thẳng d là  y =−1 − t

z = 1

 x= 3 + 7t
0 , chọn a =7 ⇒ c =−15; b =−8 , phương trình đường thẳng d là 
Với 15a + 7c =
 y =−1 − 8t
 z = 1 − 15t


Câu 56.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A (1; −1;2 ) , song song với

( P ) : 2 x − y − z + 3 =0 ,

đồng thời tạo với đường thẳng ∆ :

x +1 y −1 z
=
= một góc lớn nhất.
1
−2
2

Phương trình đường thẳng d là.

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

25