phương trình bậc nhất với sin và cosin

TỔNG ÔN TOÁN 11

VIP

CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
a2  b2 ta được:

 Chia hai vế phương trình cho
(1) 
 Đặt: sin  

a
2

a b

2

a
a2  b2

, cos 

phương trình trở thành:

sin x 

b
2

a b

2

b
a2  b2

c
a2  b2

  0, 2 

sin  .sin x  cos  .cos x 
 cos( x   ) 

cos x 

c
a2  b2

c
a2  b2
 cos  (2)

 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

c
a2  b2

 1  a2  b2  c 2 .

 (2)  x      k 2 (k  Z )
Lưu ý:

1

3

cos x   2sin( x  )
 sin x  3 cos x  2  sin x 
2
3
2




 3

1

3 sin x  cos x  2  sin x  cos x   2sin( x  )
2
6
 2


1


 1

cos x   2 sin( x  ) .
 sin x  cos x  2  sin x 
4
2
 2

Cách 2:
a) Xét x    k 2 

x 
  k có là nghiệm hay không?
2 2

b) Xét x    k 2  cos

x
 0.
2

x
2t
1  t2
Đặt: t  tan , thay sin x 
, cos x 
, ta được phương trình bậc hai theo t:
2
1  t2
1  t2

(b  c)t 2  2at  c  b  0 (3)
Vì x    k 2  b  c  0, nên (3) có nghiệm khi:

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

1


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

 '  a 2  (c 2  b 2 )  0  a 2  b 2  c 2 .
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan

x
 t0 .
2

Ghi chú:
1)
Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2)

Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2  b2  c2 .

3)

Bất đẳng thức B. C. S:

y  a.sin x  b.cos x 

a2  b2 . sin 2 x  cos2 x 

 min y   a2  b2 vaø max y 

Câu 1:

a2  b2 

a2  b2

sin x cos x
a

 tan x 
a
b
b

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x

A. sin 2 x  cos x 1  0 .

B. sin 2x  cos x  0 .

C. 2cos x  3sin x  1 .
D. 2cos x  3sin 3x  1.
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:

A. 2cos x  3  0 .

B. 3sin 2 x  10  0 .

C. cos2 x  cos x  6  0 .

D. 3sin x  4cos x  5 .

Câu 3:

Phương trình nào sau đây vô nghiệm

1
A. sin x  .
3
C.
Câu 4:

3 sin 2 x  cos 2 x  2 .

Câu 5:

3 sin 2 x  cos 2 x  2 .

Câu 6:

3 sin 2 x  cos 2 x  2 .

Câu 7:
A.

1
.
4

3 sin 2 x  cos 2 x  4 .

2

3 sin x  cos x  1.

D. 3sin x  4cos x  6 .
B. tan x  1 .
D. 3sin x  4cos x  5 .

B.

3 sin x  cos x  1 .

D. 3sin x  4cos x  5 .

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

3 sin x  2

C. 2sin x  3cos x  1
Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A.

B.

Phương trình nào sau đây vô nghiệm.

A. sin x 
C.

D. 3sin x  4cos x  5 .

Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. 2sin x  cos x  3 .
C.

3 sin x  cos x  3 .

Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

1
A. cos x  .
3
C.

B.

3 sin 2 x  cos 2 x  2

B.

1
1

cos 4 x 
4
2

D. cot 2 x  cot x  5  0
B. 3sin x  4cos x  5
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
C. sin x  cos

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos



4
Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

Câu 9:

A. sin x  cos x  3
C.

3 sin x  cos x  3

D.

B. cosx  3sinx  1

3 sin 2 x  cos 2 x  2

D. 2sinx  3cosx  1

Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:.
A. sin x  2cos x  3 .

2 sin x  cos x  2 .

B.

D. 3 sin x  cos x  3 .
2 sin x  cos x  1.
Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
C.

A. sin x  cos x  3 .
C.

2 sin x  cos x  1.

B.

2 sin x  cos x  1 .

D.

3 sin x  cos x  2 .

Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

A.

3 sin x  2 .

B.

C. 2sin x  3cos x  1 .
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?

D. cot 2 x  cot x  5  0 .
B. cos3x  3 sin 3x  2 .

A. cos3x  3 sin 3x  2 .
C. sin x 

1
1
cos 4 x  .
4
2


.
3





D. 3sin  x    4 cos  x    5  0 .

3
3



Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:
A. x  k 2 ; x 
C. x 




2

B. x  k ; x  

 k 2 .

 k ; x  k 2 .

6
Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:
A. x    k 2 ; x  
C. x  


3


2

 k 2 .

D. x 


4


2

 k 2 .

 k ; x  k  .

B. x    k 2 ; x 

 k ; x  k 2 .

D. x 


6


2

 k 2 .

 k ; x  k  .

Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:
A. x  
C. x 
Câu 17:
A. x 


3


12

 k 2 ; x 

 k 2 ; x 

5
 k 2 .
12

B. x  

2
 k 2 .
3

D. x  



4


4

 k 2 ; x 

3
 k 2 .
4

 k 2 ; x  

5
 k 2 .
4

Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x  0 là:


 k 2 .
6

B. x 


 k 2 .
3

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. x 


 k .
6

D. x 


 k .
3

3


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x  3 sin x  0 có nghiệm là
A. x 


 k .
6

C. x  

B. Vô nghiệm.


 k .
6

D. x 


 k .
2

Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng  0;   là
A. 0 .

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .

Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 là :

 x  k 2
B. 
.
 x    k 2

2

A. x  k 2 .

C. x 



x

 k 2

4
D. 
.
 x     k 2

4


 k 2 .
4

Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:
A. x 

5
 k .
6

B. x 



Câu 22: Phương trình



5
 k 2 .
6

3  1 sin x 



C. x  





 k .

6

D. x 


 k 2 .
6

3  1 cos x  3  1  0 có các nghiệm là



 x   4  k 2
A. 
,k  .
 x    k 2

6



 x   2  k 2
,k  .
B. 
 x    k 2

3



 x   6  k 2
,k  .
C. 
 x    k 2

9




 x   8  k 2
,k  .
D. 
 x    k 2

12

Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là
A. x  
C. x 


3


4

 k 2 , x 

 k 2 , x 

3
 k 2 , k  .
4

2
 k 2 , k  .
3

B. x  

D. x  


12


4

 k 2 , x 

5
 k 2 , k  .
12

 k 2 , x  

5
 k 2 , k  .
4

Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  0 là
A. x 
C. x 


3



k


2

,k  .

 k , k  .

B. x 
D. x 


6



 k , k  .

k



6
3
2
Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 .

4

,k  .

A. x  k 2 , k  .

 x  k 2
,k  .
B. 
 x    k 2

2


C. x   k 2 , k  .
4



 x  4  k 2
,k  .
D. 

 x    k 2

4
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

3.sin 3x  cos3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây:

Câu 26: Phương trình:




B. sin  3x    
6
6



1

A. sin  3x    
6
2

Câu 27: Phương trình
A. x 


1

C. sin  3x    
6
2


 1

D. sin  3x   
6 2


1
3
sin x 
cos x  1 có nghiệm là
2
2

5
 k 2 , k  .
6

5
B. x    k , k 
6

.



 k 2 , k  .
D. x   k 2 , k  .
6
6
Câu 28: Phương trình 3cos x  2 | sin x | 2 có nghiệm là:

C. x 

A. x 


 k .
8

B. x 


 k .
6

C. x 


 k .
4

D. x 


 k .
2

Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình (m  1) sin x  cos x  5 có nghiệm.
A. 3  m  1 .

B. 0  m  2 .

m  1
C. 
.
 m  3

D.  2  m  2 .

Câu 30: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  5 có nghiệm là :
A. m  4 .

B. 4  m  4 .

C. m  34 .

 m  4
D. 
.
m  4

Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x  cos x  m có nghiệm:
A.  2  m  2 .

B. m  2 .

C. 1  m  1 .

D. m  2 .

Câu 32: Cho phương trình:  m  2  cos x  2m sin 2 x  1  0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị

2

2

thích hợp của tham số m là
A. 1  m  1 .

B. 

1
1
m .
2
2

Câu 33: Tìm m để pt sin 2 x  cos 2 x 

C. 

1
1
m .
4
4

D. | m | 1 .

m
có nghiệm là
2

A. 1  3  m  1  3 .

B. 1  2  m  1  2 .

C. 1  5  m  1  5 .

D. 0  m  2 .

Câu 34: Điều kiện có nghiệm của pt a sin 5x  b cos5x  c là
A. a2  b2  c2 .

B. a2  b2  c2 .

C. a2  b2  c2 .

D. a2  b2  c2 .

Câu 35: Điều kiện để phương trình m sin x  8cos x  10 vô nghiệm là
A. m  6 .

 m  6
B. 
.
m  6

C. m  6 .

D. 6  m  6 .

Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x  m cos x  13 có nghiệm là
A. m  5 .

 m  5
B. 
.
m  5

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. m  5 .

D. 5  m  5 .

5


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình m sin x  12cos x  13 vô nghiệm.

 m  5
B. 
.
m  5

A. m  5 .
Câu 38:

D. 5  m  5 .

C. m  5 .

Tìm điều kiện để phương trình 6sin x  m cos x  10 vô nghiệm.

 m  8
A. 
.
m  8

D. 8  m  8 .

C. m  8 .

B. m  8 .

Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x  m sin x  m  1 có nghiệm
A. m  13 .

C. m  24 .

B. m  12 .

D. m  24 .

Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm.

 m  4

A. 
.
m  4

D. 4  m  4 .

C. m  4 .

B. m  4 .

Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là

 m  4
D. 
.
m  4

C. m  34 .

B. 4  m  4 .

A. m  4 .

 
Câu 42: Tìm m để phương trình 2sinx  mcosx  1  m (1) có nghiệm x    ;  .



B.  2  m  6

A.  3  m  1

2 2 

D.  1  m  3

C. 1  m  3

Câu 43: Tìm m để phương trình msinx  5cosx  m  1 có nghiệm.
A. m  12

C. m  24

B. m  6

D. m  3

Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là :

 m  4
A. 
.
m  4

C. m  34 .

B. m  4 .

D. 4  m  4 .

Câu 45: Để phương trình cos x  sin x  m có nghiệm, ta chọn:
B. 0  m  2 .

A. 1  m  1 .

D.  2  m  2 .

C. m tùy ý.

Câu 46: Phương trình m cos 2 x  sin 2 x  m  2 có nghiệm khi và chỉ khi




3

A. m   ;  .
4






4

B. m   ;  .
3



4
3




C. m   ;   .

3
4




D. m   ;   .

Câu 47: Cho phương trình 4sin x  (m 1)cos x  m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương
trình có nghiêm:

17
17
17
.
B. m   .
C. m  .
2
2
2
Câu 48: Phương trình 3sinx – 4cosx  m có nghiệm khi

A. m 

A. 5  m  5

A. m 5 hoặc m –5

C. m 5

D. m 

17
.
2

D. m –5

Câu 49: Cho phương trình lượng giác: 3sinx   m  1 cosx  5 . Định m để phương trình vô nghiệm.
A. 3  m  5

B. m  5

C. m  3 hay m  5

D. 3  m  5

Câu 50: Cho phương trình m sin x  1  3m cos x  m  2 . Tìm m để phương trình có nghiệm.

1
m3
3

C. Không có giá trị nào của m
A.

6

1
3
D. m  3
B. m 

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin 2 x  m sin 2x  2m vô nghiệm.

4
A. 0  m  .
3

m  0
B. 
.
m  4
3


4
C. 0  m  .
3

m  0
D. 
.
m  4
3


Câu 52: Tìm m để phương trình m sin x  5cos x  m  1 có nghiệm:
A. m  12 .

B. m  6 .

C. m  24 .

D. m  3 .





Câu 53: Cho phương trình sin  x    3 cos  x    2m . Tìm m để phương trình vô nghiệm.
3
3


A.  ; 1  1;   .

B.  ; 1  1;   .

C.  1;1 .

D. m  .

Tài liệu này thuộc Series Tổng ôn Toán 11
DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP

VIP
KYS







Nhận toàn bộ tài liệu tự động qua email
Nhận toàn bộ các Series giải chi tiết 100%
Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K
Được nhận những tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP

Đăng kí VIP tại bit.ly/vipkys

Contact us:
Hotline: 099.75.76.756
Admin: fb.com/khactridg
Email:

Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys
Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

7


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
2
Câu 1: Giải phương trình 5sin 2 x  6cos x  13 .

A. Vô nghiệm.

B. x  k , k  .

C. x    k 2 , k  .

D. x  k 2 , k  .

Câu 2: Phương trình sin x  cos x  2 sin 5x có nghiệm là




x  4  k 2
,k  .

A. 
x    k 

6
3




 x  12  k 2
,k  .
B. 
x    k 

24
3




 x  16  k 2
,k  .
C. 
x    k 

8
3





 x  18  k 2
,k  .
D. 
x    k 

9
3

Câu 3: Phương trình 2sin 2 x  3 sin 2 x  3 có nghiệm là
A. x 
C. x 
Câu 4:



 k , k  .

B. x 

2
 k , k  .
3

4
 k , k  .
3

D. x 

5
 k , k  .
3

3

Phương trình sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8 x  có các họ nghiệm là:



 x  4  k
A. 
.
x    k 

12
7
Câu 5:



 x  5  k
C. 
.
x    k 

7
2




 x  8  k
D. 
.
x    k 

9
3

Phương trình: 3sin 3x  3 cos9 x  1  4sin3 3x có các nghiệm là:


2

x   6  k 9
A. 
.
 x  7  k 2

6
9


2

x   9  k 9
B. 
.
 x  7  k 2


9
9


2

 x   12  k 9
C. 
.
 x  7  k 2

12
9




 x   54  k 9
D. 
.
 x    k 2

18
9

Câu 6:

Phương trình 8cos x 





x


k

16
2
A. 
.
4

x 
 k

3

8



 x  3  k
B. 
.
x    k 

6
2

3
1
có nghiệm là:

sin x cos x




 x  12  k 2
B. 
.

 x   k

3




x


k

8
2
C. 
.


 x   k

6




x


k

9
2
D. 
.
2

x 
 k

3

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
Câu 7:

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Phương trình sin 4 x  cos7 x  3(sin 7 x  cos4x)  0 có nghiệm là

A. x 



 k2 ,k  .
6
3




x  6  k2 3
(k  Z ) .
B. 
 x  5  k 2 

66
11

C. x 

5

 k2 ,k  .
66
11

D. khác
2

Câu 8:

x
x

Phương trình:  sin  cos   3cosx = 2 có nghiệm là:
2
2




 x   6  k 2
B. 
k  Z 
 x    k 2

2



 x   6  k
A. 
k  Z 
 x    k

2

C. x  
Câu 9:


6

 k 2 , k 

D. x 


2

 k , k 

 




Phương trình: 2 3 sin  x   cos  x    2 cos2  x    3  1 có nghiệm là:
8
8
8




3


x

 k

8
A. 
.
 x  5  k

24

3

x

 k

4
B. 
.
 x  5  k

12


2


Câu 10: Phương trình: 4sin x.sin  x   .sin  x 
3

3




2

x  6  k 3
A. 
.
 x  k 2

3



x

 k

4
B. 
.
x  k 

3

5

x


 k

4
C. 
.
 x  5  k

16

5

x

 k

8
D. 
.
 x  7  k

24


  cos 3x  1 có các nghiệm là:




x   k 2


C.
.
3

 x  k



x

 k 2

2
D. 
.
x  k 

4

Câu 11: Phương trình 2 2  sin x  cos x  .cos x  3  cos 2 x có nghiệm là:
A. x 


 k .
6

B. x  



6

 k .


 k 2 .
3

2

C. x 

D. Vô nghiệm.

  

Câu 12: Phương trình 2 3 sin  x   cos  x    2 cos  x    3  1 có nghiệm là:
8
8
8



3

x

 k

8

,k  .
A. 
 x  5  k

24

3

x

 k

4
,k  .
B. 
 x  5  k

12

5

 x  4  k
,k  .
C. 
 x  5  k

16

5


 x  8  k
,k  .
D. 
 x  7  k

24

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

9


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Giải phương trình

Câu 13:

A. x  k , x 

1
1
2


sin 2 x cos 2 x s in4x



 k , k  .
4

B. x  k , k  .
D. x 

C. Vô nghiệm.


 k , k  .
4

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH
Câu 1: Phương trình 1  cosx  cos2 x  cos3x  sin2 x  0 tương đương với phương trình.
A. cosx  cosx  cos3 x   0 .

B. cosx  cosx  cos2 x   0 .

C. sinx  cosx  cos2 x   0 .

D. cosx  cosx  cos2 x   0 .

Câu 2:

Phương trình sin 3x  4sin x.cos 2 x  0 có các nghiệm là:

 x  k 2
A. 
, k, n  .
 x     n

3


 x  k
B. 
, k, n  .
 x     n
6




x  k 2
C. 
, k, n  .
 x     n

4

2

x  k 3
D. 
, k, n  .
 x   2  n

3

  69 
2

Câu 3: Số nghiệm thuộc  ;
 của phương trình 2sin 3 x 1  4sin x   0 là:
14 10 

B. 34 .

A. 40 .

D. 46 .

C. 41 .

Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt  2sin x  cos x 1  cos x   sin x là:
2

A. x 
Câu 5:



B. x 

6

5
6

C. x  

D. x 


12

[1D1-2] Nghiệm của pt cos2 x  sin x cos x  0 là:



 k ; x   k 
4
2

C. x   k
2
A. x 


 k
2
5
7
 k ; x 
 k
D. x 
6
6
B. x 

Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x  2 2 sin x cos x  0 là:

3


B. x 
C. x 
4
4
3
Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng (; ) của phương trình :

D. x  

A. x 

2( sinx  1)( sin2 2 x  3sinx  1)  sin4 x.cosx

A. 1
Câu 8:

B. 2

D. 4

2
2
Giải phương trình sin 2 x  cos 3x  1 .

A. x  k 2π, k 

10

C. 3

B. x  k

2π
,k 
5

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos
D. x  kπ  x  k

C. x  π  kπ, k 

π
,k 
5

Câu 9: Phương trình 4cos x  2cos 2 x  cos 4 x  1 có các nghiệm là:



x   k

A.

,k  .
2

 x  k 2




x  k

B.
4
2 ,k  .

 x  k


2

x  3  k 3
,k  .
C. 
x  k 

2




x  6  k 3

,k  .
D. 
x  k 

4

Câu 10: Phương trình 2sin x  cos x  sin 2 x 1  0 có nghiệm là:



 x  6  k

5
A.  x 
 k , k  .

6

 x  k




 x  6  k 2

5
B.  x 
 k 2 , k  .

6


 x  k 2




 x  6  k 2


C.  x    k 2 , k  .

6

x

k
2






 x  6  k 2


D.  x    k 2 , k  .

6


x

k




Câu 11: Phương trình sin 3x  cos 2 x  1  2sin x cos 2 x tương đương với phương trình

sin x  0
A. 
.
sin x  1

2

sin x  0
B. 
.
sin x  1

sin x  0
D. 
.
sin x   1

2

sin x  0
C. 

.
sin x  1

Câu 12: Giải phương trình sin 2 x  cot x  tan 2 x   4 cos 2 x .
A. x 
C. x 


2


2



 k , x    k , k  .
6



 k , x    k 2 , k  .
3

B. x 
D. x 


2



2



 k , x    k 2 , k  .
6



 k , x    k , k  .
3

Câu 13: Giải phương trình cos3 x  sin3 x  cos 2 x .



 k , x   k , k  .
2
4


C. x  k 2 , x   k  , x   k , k  .
2
4
A. x  k 2 , x 



 k  , x   k 2 , k  .
2

4


D. x  k , x   k , x   k , k  .
2
4
B. x  k 2 , x 

Câu 14: Giải phương trình 1  sin x  cos x  tan x  0 .
A. x    k 2 , x 
C. x    k 2 , x 


4


4



 k , k  .

B. x    k 2 , x    k 2 , k  .

 k 2 , k  .

D. x    k 2 , x    k , k  .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

4



4

11


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Câu 15: Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin2 3x  cos x  0 là :
A. 



k .
6
3

B.



k .
6
3

C. k


.
2

D. k


.
4

Câu 16: Phương trình 2sin x  cot x  1  2sin 2 x tương đương với phương trình

 2sin x  1
A. 
.
sin x  cos x  2sin x cos x  0

 2sin x  1
B. 
.
sin x  cos x  2sin x cos x  0

 2sin x  1
C. 
.
sin x  cos x  2sin x cos x  0

 2sin x  1

D. 
.
sin x  cos x  2sin x cos x  0

Câu 17: Giải phương trình sin 3 x  cos3 x  2  sin 5 x  cos5 x  .
A. x 
C. x 


4


4



k

 k , k  .

B. x 

 k 2 , k  .

D. x    k 2 , k  .



4

2

, k .



4

Câu 18: Giải phương trình tan x  tan 2x   sin 3x.cos 2 x
A. x 
C. x 

k
3

k



, x    k 2 , k  .

B. x 

, k .

D. x  k 2 , k  .

k
3

3

,x 

2

 k 2 , k  .


x
x 
Câu 19: Cho phương trình sin 2    tan 2 x  cos 2  0 (*) và x    k (1), x    k 2 (2),
4
2
2 4
x


 k 2 (3), với k  . Các họ nghiệm của phương trình (*) là:
2

A. (1) và (2).

B. (1) và (3).

C. (1), (2) và (3).

D. (2) và (3).

Câu 20: Phương trình 2 3 sin 5x cos3x  sin 4 x  2 3 sin 3x cos5x có nghiệm là:

A. x 

k
1
3 k
, x   arccos

,k  .
4
4
12
2

C. Vô nghiệm.

B. x 

k
3 k
, x   arccos

,k  .
4
48 2

D. x 

k
,k  .
2

Câu 21: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x  sin 2 x  cos x  2cos2 x là :
A.


.
6

B.

2
3 .

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x 

C.


4


.
4

D.


.
3

.

Câu 22: Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin2 x  sin2 2 x  sin2 3x  2 là.
A.


3

B.



C.

12


6

D.


.
8

Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos2 x  cos x  sin x  sin 2 x là?
A. x 

12


6

.

B. x 


4

.

C. x 


3

.

D. x 

2
.
3

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và có giá trị nhỏ nhất thì
nhận.
Câu 25: Phương trình sin 3x  cos2 x  1  2sin x cos2 x tương đương với phương trình:

sin x  0
A. 
.
 sin x  1

sin x  0
B. 
.
sin x  1

 sin x  0
C. 
1.
sin x 
2


sin x  0
C. 
1.
sin x  
2


Câu 26: Phương trình sin 3x  4sin x.cos2 x  0 có các nghiệm là:
 x  k 2
A. 
.

 x    n
3


 x  k
B. 
.

 x    n
6




x  k 2
C. 
.
 x     n

4

2

x  k 3
D. 

.
 x   2  n

3

Câu 27: Phương trình 2cot 2 x  3cot 3x  tan 2 x có nghiệm là:
A. x  k


.
3

C. x  k 2 .

B. x  k .

D. Vô nghiệm.

Câu 28: Phương trình cos4 x  cos2 x  2sin6 x  0 có nghiệm là:
A. x 


 k .
2

B. x 


4

k


2

.

C. x  k .

D. x  k 2 .

Câu 29: Phương trình: 4cos5 x.sin x  4sin5 x.cos x  sin2 4 x có các nghiệm là:



x

k

4
A. 
.

x   k 

8
2




x

k

2
B. 
.

x   k 

4
2

 x  k
C. 
.
3
x 
 k
4


 x  k 2
D. 
.

 x   k 2
3


Câu 30: Phương trình:  sin x  sin 2 x  sin x  sin 2 x   sin 2 3x có các nghiệm là:



x  k 3
A. 
.
x  k 

2



x  k 6
B. 
.
x  k 

4

Câu 31: Phương trình cos x  sin x 



 x   4  k 2


A.  x   k
.


8


x  k
2


A. x 


 k .
4

 x  k 3
D. 
.
 x  k 2

cos 2 x
có nghiệm là:
1  sin 2 x



 x  4  k 2


B.  x   k .

2

 x  k



Câu 32: Phương trình 2sin 3x 

2

xk

C.
3 .

 x  k

3

 x  4  k


C.  x    k 2 .

2
 x  k 2



5

 x  4  k


3
D.  x 
 k .

8


x  k
4


1
1
 2cos3x 
có nghiệm là:
sin x
cos x

B. x  


4

 k .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. x 

3
 k .
4

D. x  

3
 k .
4

13


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Câu 33: Phương trình sin2 3x  cos2 4 x  sin2 5x  cos2 6 x có các nghiệm là:



x

k

9.
B. 

x  k


2



x

k

12 .
A. 
x  k 

4
Câu 34: Phương trình
A. x 
B. x 


3


6

k
k


2



2



xk

C.
6.

 x  k



xk

D.
3 .

 x  k 2

sin x  sin 2 x  sin 3x
 3 có nghiệm là:
cos x  cos 2 x  cos3x

.
.

C. x 

2


k .
3
2

D. x 


7
5
 k 2 , x 
 k 2 , x 
 k 2 ,  k 
6
6
3

.

Câu 35: Các nghiệm thuộc khoảng  0;   của phương trình:

tan x  sin x  tan x  sin x  3tan x

là:
A.

 5
, .
8 8

B.

 3
, .
4 4

C.

 5
,
.
6 6

D.


.
6

Câu 36: Phương trình  2sin x  1 3cos 4 x  2sin x  4   4 cos 2 x  3 có nghiệm là:



 x   6  k 2

7
A.  x 
 k 2 .

6



x  k
2




 x  6  k 2

5
B.  x 
 k 2 .

6
 x  k



Câu 37: Phương trình 2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x 
A. x  



k .
12
2

B. x  


6

 k .



 x   3  k 2

4
C.  x 
 k 2 .

3
 x  k 2





 x  3  k 2

2
D.  x 
 k 2 .

3

2
x  k

3


1
có nghiệm là:
sin 2 x
C. x  


3

 k .

D. x  


9

 k .

Câu 38: Phương trình: 5  sin x  cos x   sin 3x  cos 3x  2 2  2  sin 2 x  có các nghiệm là
A. x 
C. x 


4


2

 k 2 , k  .

B. x  

 k 2 , k  .

D. x  


4


2

 k 2 , k  .
 k 2 , k  .

Câu 39: Một nghiệm của phương trình cos2 x  cos2 2 x  cos2 3x  1 có nghiệm là
A. x 

14


8

.

B. x 



12

.

C. x 


3

.

D. x 


6

.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

 x  7
Câu 40: Phương trình: sin x.cos 4 x  sin 2 2 x  4sin 2     có nghiệm là
 4 2 2




 x   6  k
A. 
, k .
 x  7  k

6



 x   6  k 2
B. 
, k .
 x  7  k 2

6



 x   6  k 2
C. 
, k .
 x    k 2

6



 x   6  k
D. 

, k .
 x    k

6

Câu 41: Giải phương trình sin 2 x  sin 2 3x  cos2 x  cos2 3x


 k 2 , k  .
4
 k
 k
,x  
C. x  
, k .
4 2
8 4

B. x  

A. x  

D. x  


4


4



k
 k
,x  
, k .
2
8 4



k
 k
,x  
, k .
2
4 2

3

Câu 42: Phương trình: sin12 x  cos12 x  2(sin14 x  cos14 x)  cos2 x có nghiệm là
2

A. x 
C. x 


4



4


4



B. x 

 k 2 , k  .

D. Vô nghiệm.

Câu 43: Giải phương trình 4 cot 2 x 
A. x 



 k , k  .

 k 2 .

B. x 



4

2

, k .

cos 2 x  sin 2 x
.
cos6 x  sin 6 x


4

 k .

 cos
Câu 44: Giải phương trình 8cot 2 x 
A. x    k .

4

k

B. x  


4



2

C. x  

x  sin 2 x  .sin 2 x

cos6 x  sin 6 x
k

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

2

.


4

 k 2 .

D. x 


4



k
2

.

.

C. x 


4

 k .

D. x 


4



k
2

.

15


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG THƯỜNG GẶP
Câu 1:

Giải phương trình  tan x  cot x   tan x  cot x  2 .

2

A. Cả 3 đáp án.
C. x 
Câu 2:


 k , k  .
6
Giải phương trình

A. x  k 2 , x 
C. x 
Câu 3:


2


2

B. x 


 k , k  .
4

D. x 



 k , k  .
4

sin10 x  cos10 x
sin 6 x  cos6 x
.

4
4 cos 2 2 x  sin 2 2 x

 k 2 , k  .

B. x 

 k , k  .

k
2

, k .

D. x  k , x 


2

 k 2 , k  .

Cho phương trình: 4 cos2 x  cot 2 x  6  2  2 cos x  cot x  . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc

vào khoảng (0;2 ) ?
A. 3.
Câu 4:

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Cho phương trình: 4cos2 x  cot 2 x  6  2 3  2cos x  cot x  . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc

vào khoảng (0;2 ) ?
D. đáp số khác.

C. 1 .

B. 2 .

A. 3 .

Câu 5: Phương trình: sin 3x  cos x  2sin 3x   cos 3 x 1  sin x  2 cos 3 x   0 có nghiệm là:
A. x 


 k .
2

B. x 

Câu 6: Giải phương trình cos


 x  k 3


A.  x    k 3 .

4

5
x  
 k 3
4

Câu 7: Giải phương trình
A. x 


12

.


4

k


2

.

C. x 


 k 2 .
3

D. Vô nghiệm.

4x
 cos 2 x .
3


 x  k


B.  x    k .

4

5
x  
 k
4


 x  k 3

C. 
.
 x     k 3
4


 x  k 3
D. 
.
 x   5  k 3
4


1  sin x
1  sin x
4
 


x   0; 
1  sin x
1  sin x
3 với
 2 .
B. x 


4

.

C. x 


3

.

D. x 


6

.

Câu 8: Để phương trình: 2sin x  2cos x  m có nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là:
2

A. 1  m  2 .

16

B.

2

2 m2 2.

C. 2 2  m  3 .

D. 3  m  4 .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

HƯỚNG DẪN GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x

Câu 1:

A. sin 2 x  cos x 1  0 .

B. sin 2x  cos x  0 .

C. 2cos x  3sin x  1 .

D. 2cos x  3sin 3x  1.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Phương trình a sin x  b cos x  c 1 trong đó a, b, c 

và a2  b2  0 được gọi là phương trình bậc

nhất đối với sin x, cosx .

Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:

Câu 2:

A. 2cos x  3  0 .

B. 3sin 2 x  10  0 .

C. cos2 x  cos x  6  0 .

D. 3sin x  4cos x  5 .

Hướng dẫn giải::
Chọn D .
Câu D: 3sin x  4cos x  5 , đây là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x .
Phương trình trên có nghiệm vì 32  42  25  52 .
Câu A: 2cos x  3  0  cos x 
Câu B: sin 2 x 

3
 1  PT vô nghiệm.
2

10
 1  PT vô nghiệm.
3

cos x  3  1
Câu C: cos2 x  cos x  6  0  
 PT vô nghiệm.

cos x  2  1
Phương trình nào sau đây vô nghiệm

Câu 3:

1
A. sin x  .
3

B.

3 sin 2 x  cos 2 x  2 .

C.

3 sin x  cos x  3 .

D. 3sin x  4cos x  5 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

3 sin x  cos x  3 vô nghiệm vì không thoả ĐK a2  b2  c2

PT

Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

Câu 4:

1
A. cos x  .
3
C.

B.

3 sin 2 x  cos 2 x  2 .

3 sin x  cos x  1.

D. 3sin x  4cos x  6 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu A có nghiệm vì

1
1
3

Câu B có nghiệm vì a 2  b 2  3  1  4   1
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

2

17


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Câu C có nghiệm vì a 2  b 2  3  1  4   2  .
2

Câu D vô nghiệm vì a2  b2  32  42  25  62 .
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
B. tan x  1 .

A. 2sin x  cos x  3 .
C.

3 sin 2 x  cos 2 x  2 .

D. 3sin x  4cos x  5 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu A vô nghiệm vì a2  b2  22  12  5  32 .
Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm.
A. sin x 
C.

1
.
4

B.

3 sin 2 x  cos 2 x  4 .

3 sin x  cos x  1 .

D. 3sin x  4cos x  5 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu A có nghiệm vì

1
1
4

Câu B có nghiệm vì a 2  b 2  3  1  4   1

2

Câu C vô nghiệm vì a 2  b 2  3  1  4   4  .
2

Câu D có nghiệm vì a2  b2  32  42  25  52 .
Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
A.

3 sin x  2

B.

C. 2sin x  3cos x  1

1
1
cos 4 x 
4
2

D. cot 2 x  cot x  5  0

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Phương trình
Phương trình

3 sin x  2  s inx 

2
2
, mà
 1 nên phương trình vô nghiệm.
3
3

1
1
cos 4 x   cos 4 x  2 nên phương trình vô nghiệm.
4
2

Phương trình 2sin x  3cos x  1 có 22 +33 >1 nên phương trình có nghiệm.

2

1  19

Phương trình cot x  cot x  5  0   cot t     0 nên phương trình vô nghiệm.
2
4

2

Câu 8:
A.

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

3 sin 2 x  cos 2 x  2

C. sin x  cos


4

B. 3sin x  4cos x  5
D.

3 sin x  cos x  3

Hướng dẫn giải:
Chọn D
18

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
Ta có:

 3

2

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

  1  4   3 nên phương trình
2

2

3 sin x  cos x  3 vô nghiệm.

Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

Câu 9:

A. sin x  cos x  3
C.

B. cosx  3sinx  1

3 sin 2 x  cos 2 x  2

D. 2sinx  3cosx  1

Hướng dẫn giải:
Đáp án A

sin x  cos x  (12  (1)2 )(sin 2 x  cos2 x)  2  3 nên phương trình vô nghiệm
cosx  3sinx  (12  32 )(sin 2 x  cos2 x)  10  1 nên phương trình có nghiệm
3 sin 2 x  cos 2 x  (( 3) 2  ( 1) 2 )(sin 2 x  cos 2 x)  10  2 nên phương trình có nghiệm

2sinx  3cosx  (22  32 )(sin 2 x  cos2 x)  13  1 nên phương trình có nghiệm
Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:.
A. sin x  2cos x  3 .
C.

2 sin x  cos x  1.

B.

2 sin x  cos x  2 .

D.

3 sin x  cos x  3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Lần lượt thử các đáp án.

sin x  2cos x  3 vô nghiệm vì 12  22  32 nên loại đáp án A.

   1  2 nên loại đáp án B.
2 sin x  cos x  1 có nghiệm vì  2   1   1 . Vậy chọn C
2 sin x  cos x  2 vô nghiệm vì

2

2

2

2

2

2

2

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
A. sin x  cos x  3 .
C.

2 sin x  cos x  1.

B.

2 sin x  cos x  1 .

D.

3 sin x  cos x  2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Lần lượt thử các đáp án.

sin x  cos x  3 vô nghiệm vì 12  12  32 nên chọn đáp án A.
Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
A.

3 sin x  2 .

B.

1
1
cos 4 x  .
4
2

D. cot 2 x  cot x  5  0 .

C. 2sin x  3cos x  1 .
Hướng dẫn giải::
Chọn C .

Câu C: 2sin x  3cos x  1 là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x , phương trình có nghiệm khi

22  32  12 (đúng).

Câu A:

3 sin x  2  sin x 

2
 1  PTVN.
3

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

19


Tổng ôn Toán 11
Câu B:

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

1
1
cos 4 x   cos 4 x  2  1  PTVN.
4
4

Câu D: cot 2 x  cot x  5  0 vô nghiệm do   19  0 .
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
B. cos3x  3 sin 3x  2 .

A. cos3x  3 sin 3x  2 .
C. sin x 


.
3





D. 3sin  x    4 cos  x    5  0 .
3
3



Hướng dẫn giải:
Chọn C
Các phương trình ở đáp án A, B, D để có dạng A cos ax  B sin ax  C và A2  B2  C 2 nên các phương
trình này đều có nghiệm.
Phương trình ở đáp án C có dạng sin x  m với m 

 3,14

 1 nên phương trình này vô nghiệm.
3
3

Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:
A. x  k 2 ; x 
C. x 




2

 k 2 .

 k ; x  k 2 .

6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

B. x  k ; x  
D. x 


4


2

 k 2 .

 k ; x  k  .

  
 x  4  4  k 2



2



2
sin
x


1

sin
x



cos x  sin x  1





4
4 2


 x    3  k 2

4

4

 x  k 2

k 
 x    k 2

2

.

Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:
A. x    k 2 ; x  
C. x  


3


2

 k 2 .

 k ; x  k 2 .

B. x    k 2 ; x 
D. x 


6


2

 k 2 .

 k ; x  k  .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.


 
x     k 2



2


4
4

cos x  sin x  1  2 sin  x    1  sin  x    
4
4
2


 x    5  k 2


4
4



x   k 2


k 
2

 x    k 2
20

.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:
A. x  
C. x 




12

 k 2 ; x 

 k 2 ; x 

3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

5
 k 2 .
12

B. x  

2
 k 2 .
3

D. x  


4


4

 k 2 ; x 

3
 k 2 .
4

 k 2 ; x  

5
 k 2 .
4

1
3
2



sin x  3 cos x  2  sin x 
cos x 
 cos .sin x  sin .cos x  sin
2
2
2
3
3
4


  


x    k 2
x    k 2





3 4
12
 sin  x    sin  

k 
3
4

 x    3  k 2
 x  5  k 2


3
4
12
Câu 17:
A. x 

.

Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x  0 là:



 k 2 .
6

B. x 


 k 2 .
3

C. x 


 k .
6

D. x 


 k .
3

D. x 


 k .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1

3


Ta có sin x – 3 cos x  0  sin x –
cos x  0  sin  x    0
2
2
3


 x



 k  x   k  k 
3
3



Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x  3 sin x  0 có nghiệm là
A. x 


 k .
6

C. x  

B. Vô nghiệm.


 k .
6

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
cos x  3 sin x  0 

3
1


sin x  cos x  0  sin( x  )  0  x   k ,  k 
2
2
6
6

.

Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng  0;   là
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.



2


sin x  cos x  1  2 sin  x    1  sin  x   
4
4 2




x   k 2




 sin  x    sin 
,k 
2

4
4

 x  k 2

.

Trên khoảng  0;   phương trình có 1 nghiệm là x 

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học


2

.

21


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 là :

 x  k 2
B. 
.
 x    k 2

2

A. x  k 2 .

C. x 



 k 2 .

4



 x  4  k 2
D. 
.
 x     k 2

4

Hướng dẫn giải:
Chọn B.



2


sin x  cos x  1  2 sin  x    1  sin  x   
4
4 2





x   k 2




 sin  x    sin 
.
2

4
4

 x  k 2
Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:
A. x 

5
 k .
6

B. x 

5
 k 2 .
6

C. x  


6

 k .

D. x 


6

 k 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

1
3
sin x  3 cos x  2  sin x 
cos x  1
2
2


 


 sin  x    1  x    k 2  x   k 2 ,  k 
3
3 2
6

Câu 22: Phương trình





3  1 sin x 



.



3  1 cos x  3  1  0 có các nghiệm là



x


 k 2

4
A. 
,k  .
 x    k 2

6




x


 k 2

2
,k  .
B. 
 x    k 2

3



 x   6  k 2
,k  .
C. 
 x    k 2

9



 x   8  k 2
,k  .
D. 
 x    k 2

12

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có tan

5
3 1

. Chia hai vế PT cho
12
3 1

PT: sin x  tan

3  1 được

5
5
5
5
5 
5

.cos x  1  0  sin x.cos
 cos x.sin
 cos
 0  sin  x 
   cos

12 

12
12
12
12
12






 5
x   k 2
x   k 2
x
   k 2



5 

  
3
3
12
12
 sin  x 


(k  )

  sin     

12 
 12 
 x  3  k 2
 x     k 2
 x  5      k 2



12
12
2
2
22

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos

Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là
A. x  
C. x 





4

 k 2 , x 

 k 2 , x 

3
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

3
 k 2 , k  .
4

2
 k 2 , k  .
3

Chia hai vế PT cho 2 ta được

B. x  


12

D. x  


4

 k 2 , x 

5
 k 2 , k  .
12

 k 2 , x  

5
 k 2 , k  .
4



1
3
2

 sin  x    sin
sin x 
cos x 
3
4
2
2
2



  


 x  3  4  k 2
 x   12  k 2


(k  )
 x        k 2
 x  5  k 2


3
4
12
Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  0 là
A. x 
x



k


3

k


2

,k  .

B. x 


6

 k , k  .

C. x 


3

 k , k  .

D.



,k  .
6
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Chia hai vế PT cho 2 ta được

x



6

k


2



1
3

sin 2 x 
cos 2 x  0  sin  2 x    0  2 x   k 
3
3
2
2


(k  )

Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 .

 x  k 2
,k  .
B. 
 x    k 2

2

A. x  k 2 , k  .

C. x 



 x  4  k 2
,k  .
D. 
 x     k 2

4


 k 2 , k  .
4

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Phương trình đã cho tương đương với


 1


2 sin  x    1  sin  x   
4
4
2




  
 x  k 2
 x  4  4  k 2

(k  )

 x    k 2


 x      k 2

2

4
4
Câu 26: Phương trình:

3.sin 3x  cos3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây:

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

23


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos


1

A. sin  3x    
6
2





B. sin  3x    
6
6



1

C. sin  3x    
6
2


 1

D. sin  3x   
6 2


Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3 sin 3x  cos 3x  1 

Câu 27: Phương trình
A. x 

3
1
1

1

sin 3 x  cos 3 x    sin  3x    
2
2
2
6
2


1
3
sin x 
cos x  1 có nghiệm là
2
2

5

 k 2 , k  .
6

5
B. x    k , k 
6


 k 2 , k  .
6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
C. x 

D. x 

.


 k 2 , k  .
6

1
3




sin x 
cos x  1  sin  x    1  sin  x    1

2
2
3
3



 
5
  k 2  x 
 k 2 (k  )
3 2
6
Câu 28: Phương trình 3cos x  2 | sin x | 2 có nghiệm là:
 x

A. x 


 k .
8

B. x 


 k .
6

C. x 


 k .
4

D. x 


 k .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

3cos x  2 | sin x | 2  2 | sin x | 2  3cos x
4 1  cos 2 x   4  12 cos x  9 cos 2 x
4sin 2 x  4  12 cos x  9 cos 2 x




2
2
cos x 
cos x 
3

3


13cos 2 x  12cos x  0

cos x  0


 x   k  k 


12
2
cos x  (L)
2
cos x 
13

3


.

Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình (m  1) sin x  cos x  5 có nghiệm.
A. 3  m  1 .

B. 0  m  2 .

m  1
C. 
.
 m  3

D.  2  m  2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :

m  1  2
m  1
2
2

a 2  b 2  c 2   m  1  1  5   m  1  4  
.
 m  1  2  m  3
Câu 30: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  5 có nghiệm là :

24

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
A. m  4 .

Chuyên đề 2. Phương trình bậc nhất Sin và Cos
C. m  34 .

B. 4  m  4 .

 m  4
D. 
.

m  4

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :

m  4
a 2  b2  c 2  m2  9  25  m2  16  
.
 m  4
Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x  cos x  m có nghiệm:
A.  2  m  2 .

B. m  2 .

C. 1  m  1 .

D. m  2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a2  b2  c2  1  1  m2  m2  2   2  m  2 .
Câu 32: Cho phương trình:  m 2  2  cos 2 x  2m sin 2 x  1  0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị
thích hợp của tham số m là
A. 1  m  1 .

B. 

1
1

m .
2
2

C. 

1
1
m .
4
4

D. | m | 1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Cách 1 (Chuyển PT về dạng a sin x  b cos x  c )
Áp dụng công thức hạ bậc cho cos2 x , PT trở thành  m2  2   m2  2 cos 2 x  4m sin 2 x  2  0 

4m sin 2 x   m2  2 cos 2 x  m2  4
2
ĐK PT có nghiệm  4m    m 2  2    m 2  4   m2  1  m  1
2

2

Cách 2 (Chuyển PT về dạng bậc hai theo một HSLG)
Ta có cos x  0 không là nghiệm PT. Chia hai vế PT cho cos2 x ta được

m2  2  4m tan x  1  tan 2 x  0  tan 2 x  4m tan x  m2  3  0

PT có nghiệm khi   0  4m2  m2  3  0  m2  1  m  1
Câu 33: Tìm m để pt sin 2 x  cos 2 x 

m
có nghiệm là
2

A. 1  3  m  1  3 .

B. 1  2  m  1  2 .

C. 1  5  m  1  5 .

D. 0  m  2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Áp dụng CT hạ bậc ta được sin 2 x 

1  cos 2 x m

 2sin 2 x  cos 2 x  m 1
2
2

2
ĐK PT có nghiệm là 22  12   m  1  m  1  5  1  5  m  1  5

Câu 34: Điều kiện có nghiệm của pt a sin 5x  b cos5x  c là
A. a2  b2  c2 .

B. a2  b2  c2 .

C. a2  b2  c2 .

D. a2  b2  c2 .

Hướng dẫn giải:
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

25