phương trình lượng giác cơ bản, pt bậc nhất hàm lượng giác

TỔNG ÔN TOÁN 11

VIP

CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
PT BẬC NHẤT VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Phương trình sinx = sinα
a)

 x= α + k 2π
sin x =
sin α ⇔ 
(k ∈ Z )
 x = π − α + k 2π

sin x a. Ñieàu kieän : − 1 ≤ a ≤ 1.
=
b)
 x arcsin a + k 2π
=
sin x =
(k ∈ Z )
a ⇔ 
π − arcsin a + k 2π
x =

c)

sin u =
− sin v ⇔ sin u =

sin(− v)

d)

π

sin u = cos v ⇔ sin u = sin  − v 
2


e)

 π
sin u =
− cos v ⇔ sin u =
sin  v − 

2

Các trường hợp đặc biệt:
sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )
sin x = 1 ⇔ x =
sin x =− 1 ⇔ x =−

π
2

π
2

+ k 2π (k ∈ Z )

+ k 2π (k ∈ Z )

π

sin x =± 1 ⇔ sin2 x =1 ⇔ cos2 x =0 ⇔ cos x =0 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z )
2

2. Phương trình cosx = cosα
a)

cos x =cos α ⇔ x =± α + k 2π (k ∈ Z )

=
cos x a. Ñieàu kieän : − 1 ≤ a ≤ 1.
b)
cos x =
a ⇔ x=
± arccos a + k 2π (k ∈ Z )

c)

cos u =
− cos v ⇔ cos u =
cos(π − v)

d)

π


cos u = sin v ⇔ cos u = cos  − v 
2


e)

π

cos u =
− sin v ⇔ cos u =
cos  + v 
2


Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

1


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

Các trường hợp đặc biệt:

π

cos x = 0 ⇔ x =

+ kπ (k ∈ Z )
2
cos x = 1 ⇔ x = k 2π (k ∈ Z )
cos x =− 1 ⇔ x =π + k 2π (k ∈ Z )
cos x =± 1 ⇔ cos2 x =
1 ⇔ sin 2 x =0 ⇔ sin x =0 ⇔ x =
kπ (k ∈ Z )

3. Phương trình tanx = tanα
a)

tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z )

b)

tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ (k ∈ Z )

c)

tan u =
− tan v ⇔ tan u =
tan(− v)

d)

π

tan u = cot v ⇔ tan u = tan  − v 
2


π

e) tan u =
tan  + v 
− cot v ⇔ tan u =
2

Các trường hợp đặc biệt:
tan x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )
tan x =± 1 ⇔ x =±

π
4

+ kπ (k ∈ Z )

4. Phương trình cotx = cotα
cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z )
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ (k ∈ Z )

Các trường hợp đặc biệt:
cot x = 0 ⇔ x =

cot x =
±1 ⇔ x =
±

π
2

+ kπ

(k ∈ Z )

π

+ kπ (k ∈ Z )
4
5. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

0 với a, b ∈ , a ≠ 0 với t là một hàm số lượng giác nào đó
Có dạng at + b =
Cách giải: at + b =0 ⇔ t =−

b
đưa về phương trình lượng giác cơ bản
a

6. Một số điều cần chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất
thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.

2

π

+ kπ (k ∈ Z ).

*

Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x ≠

*

Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x ≠ kπ (k ∈ Z )

*

Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x ≠ k

2

π
2

(k ∈ Z )

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình có mẫu số:

*

• sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z )

π

•

cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

+ kπ (k ∈ Z )

•

tan x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

•

cot x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

2

π
2

π
2

(k ∈ Z )
(k ∈ Z )

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra
điều kiện:

1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm
3. Giải các phương trình vô định.
c) Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm
Học sinh không lệ thuộc vào việc sử dụng mtct để thử lại các đáp án trắc nghiệm.
Học sinh cần nắm được mấu chốt của việc giải tự luận
Các câu hỏi hạn chế mtct chẳng hạn:
+ số nghiệm của phương trình trên một đoạn hay khoảng
+ số điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
+ tổng của các nghiệm trên một đoạn hay khoảng
+ tổng, hiệu, tích…của các nghiệm dương hoặc âm nhỏ nhất (lớn nhất)…

Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

 x= y + kπ
sin y ⇔ 
A. sin x =
(k ∈ ) .
 x = π − y + kπ
 x= y + k 2π
sin y ⇔ 
B. sin x =
(k ∈ ) .
x
π
y
k
π
2
=

−
+

 x= y + k 2π
sin y ⇔ 
C. sin x =
(k ∈ ) .
 x =− y + k 2π
 x= y + kπ
sin y ⇔ 
D. sin x =
(k ∈ ) .
x
=
−
y
+
k
π

Câu 2: Phương trình s inx = sin α có nghiệm là

 x= α + k 2π
;k ∈
A. 
 x = π − α + k 2π

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

 x= α + kπ

;k ∈ .
B. 
 x = π − α + kπ

3


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

 x= α + kπ
;k ∈ .
C. 
 x =−α + kπ

 x= α + k 2π
;k ∈ .
D. 
 x =−α + k 2π

Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau:

π

A. sin x =1 ⇔ x = + k 2π , k ∈  .
2

B. sin x =1 ⇔ x =π + k 2π , k ∈  .

C. sin x =1 ⇔ x =k 2π , k ∈  .

D. sin x =1 ⇔ x = + kπ , k ∈  .
2

π

Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x = −1 là:

π

− + kπ .
A. x =
2

−
B. x =

π
2

+ k 2π .

C. x = kπ .

x
D. =

3π
+ kπ .

2

C. x = k 2π .

D. x=

π
+ kπ .
2

Câu 5: Phương trình sin x = 0 có nghiệm là:
A. x=

π
+ k 2π .
2

B. x = kπ .

Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
A. sin x =−1 ⇔ x =−

π
+ k 2π .
2

B. sin x = 0 ⇔ x = kπ .

π

C. sin x = 0 ⇔ x = k 2π .

D. sin x =1 ⇔ x = + k 2π .
2

 2x π 
− =
0 (với k ∈  ) có nghiệm là
Câu 7: Phương trình sin 
 3 3
A. x = kπ .
C. x=

π
3

+ kπ .

Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x =
A. x=

π
+ k 2π .
3

B. x=

Câu 9: Phương trình sin x =

x

A. =

5π
+ k 2π
6

4

2π k 3π
+
.
3
2

D. x=

π k 3π
+
.
2
2

1
là:
2

π
+ kπ .
6

C. x = kπ .

D. x=

π
+ k 2π .
6

π
π
1
có nghiệm thỏa mãn − ≤ x ≤ là :
2
2
2
B. x =

π
6

(k ∈ ) .

C. x=

.

Câu 10: Nghiệm phương trình sin 2 x =

π


 x= 4 + k 2π
A. 
3π
=
+ k 2π
x

4

x
B.=

π
+ k 2π .
3

D. x =

π
3

.

2
là:
2

π

 x= 4 + kπ

B. 
3π
=
+ kπ
x

4

(k ∈ ) .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

π

 x= 8 + kπ
C. 
3π
=
+ kπ
x

8

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

π


 x= 8 + k 2π
D. 
3π
=
+ k 2π
x

8

(k ∈ ) .

(k ∈ ) .

Câu 11: Nghiệm của phương trình sin ( x + 10° ) =−1 là
A. x = −100° + k 360° .

B. x = −80° + k180° .

x 100° + k 360° .
C. =

D. x = −100° + k180° .

 x +π
Câu 12: Phương trình sin 
 5

1

 = − có tập nghiệm là

2


11π

=
+ k10π
x
6
A. 
( k ∈ ) .
29π
x =
−
+ k10π

6

11π

−
+ k10π
x =
6
B. 
(k ∈ ) .
29π

=
+ k10π

x

6

11π

−
+ k10π
x =
6
C. 
(k ∈ ) .
29π
x =
−
+ k10π

6

11π

=
+ k10π
x
6
D. 
(k ∈ ) .
29π

=

x
+ k10π
6


Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 2 x =

3
trong khoảng ( 0;3π ) là
2
C. 6 .

B.  2 .

A. 1 .

D. 4 .

π

1 là
Câu 14: Nghiệm phương trình sin  x +  =
2

A. x=

π
+ k 2π .
2

−
B. x =

π
2

+ k 2π .

C. x = kπ .

D. x = k 2π .

0 có nghiệm là:
Câu 15: Phương trình: 1 + sin 2 x =
−
A. x =

π
2

+ k 2π .

−
B. x =

π
+ kπ .
4

−

C. x =

π
4

+ k 2π .

−
D. x =

π
+ kπ .
2

π

1 với π ≤ x ≤ 5π là
Câu 16: Số nghiệm của phương trình: sin  x +  =
4

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

π


Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin  4 x −  –1 =
0 là:
3

7π
π
π
π
A. x =+ k ; x =+ k .
8
2
24
2
C. x= kπ ; x= π + k 2π .
Câu 18: Phương trình

π

π
+ k 2π .
2
π
π + k 2π ; x =
k .
D. x =
2
B. x= k 2π ; x=

3 + 2sin x =
0 có nghiệm là:

π

− + k 2π .
A. x = + k 2π ∨ x =
3
3

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

−
B. x =

π
2π
+ k 2π ∨ x = + k 2π .
3
3

5


Tổng ôn Toán 11

π
2π
+ k 2π ∨ x =
+ k 2π .
3
3

Câu 19: Nghiệm của phương trình sin 3 x = sin x là:
π
+ kπ .
A. x=
2
C. x =

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

−
D. x =

π
4π
+ k 2π ∨ x = + k 2π .
3
3

B. x= kπ ; x=

π
π
+k .
4
2

π

C. x = k 2π .

k 2π .
D. x =+ kπ ; k =
2

Câu 20: Phương trình sin 2 x = −

1
có bao nhiêu nghiệm thõa 0 < x < π .
2

B. 3 .

A. 1 .

C. 2 .

D. 4 .

π

Câu 21: Số nghiệm của phương trình sin  x +  =
1 với π ≤ x ≤ 3π là :
4

B. 0 .

A. 1 .

D. 3 .

C. 2 .

π

Câu 22: Nghiệm của phương trình 2sin  4 x −  − 1 =0 là:
3


π
7π
π
π
x
+k .
+ k ;=
24
2
8
2
π
D. x= π + k 2π ; x = k .
2

A. x = kπ ; x= π + k 2π .
C. x = k 2π ; x=

B. x=

π
+ k 2π .

2

 x +π
Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin 
 5
11π

=
+ k10π
x
6
A. 
 x −29π + k10π
=

6
11π

−
+ k10π
x =
6
C. 
29π
x =
−
+ k10π

6

1

 = − là
2


(k ∈ )

11π

−
+ k10π
x =
6
B. 
 x 29π + k10π
=

6

(k ∈ ) .

11π

=
+ k10π
x
6
D. 
 x 29π + k10π

=
6


(

)

(

(k ∈ )

(k ∈ )

)

3 có số nghiệm thuộc −180ο ;180ο là:
Câu 24: Phương trình 2sin 2 x − 40ο =
A. 2 .

C. 6 .

B. 4 .

D. 7 .

)

(

π

2
0.
Câu 25: Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau sin  3 x − 9 x − 16 x − 80  =
4

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 26: Nghiệm của phương trình sin 2 x = 1 là:
A. x = k 2π .

B. x=

π
+ kπ .
2

C. x= π + k 2π .

D. x=

π
+ k 2π .

2

Câu 27: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x = m có nghiệm:
A. m ≤ 1 .

B. m ≥ −1 .

C. −1 ≤ m ≤ 1 .

D. m ≤ −1 .

0 vô nghiệm khi m là
Câu 28: Phương trình 2sin x − m =
6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
A. −2 ≤ m ≤ 2 .

B. m < −1 .

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

C. m > 1 .

D. m < −2 hoặc m > 2

C. x = k 2π .

D. x=

Câu 29: Nghiệm của phương trình cos x = 1 là:
A. x = kπ .

B. x=

π
+ k 2π .
2

π
+ kπ .
2

Câu 30: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng

π
+ kπ .
2
π
C. cos x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k 2π .
2
Câu 31: Phương trình: cos 2 x = 1 có nghiệm là:
π
+ k 2π .
A. x=
B. x = kπ .
2

Câu 32: Nghiệm của phương trình cos x = −1 là:
π
− + k 2π .
A. x= π + kπ .
B. x =
2
A. cos x ≠ 1 ⇔ x ≠

Câu 33: Nghiệm phương trình cos x =

π

x
=
+ k 2π

6
A. 
5π
=
+ k 2π
x

6
π

 x= 3 + k 2π
C. 
2π
=

+ k 2π
x

3

π
+ kπ .
2
π
D. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k 2π .
2
B. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

C. x = k 2π .

D. x=

π
+ kπ .
2

C. x= π + k 2π .

x
D. =

3π
+ kπ .
2

1
là:
2

(k ∈ ) .

π

x
=
+ k 2π

6
B. 
π
x =
− + k 2π

6

(k ∈ ) .

(k ∈ ) .

π

 x= 3 + k 2π
D. 
π
x =

− + k 2π

3

(k ∈ ) .

0 là:
Câu 34: Nghiệm của phương trình 2 cos 2 x + 1 =
2π
π
+ k 2π ; x = + k 2π .
6
3
π
π
− + kπ .
D. x = + kπ ; x =
3
3

π
π
+ k 2π ; x = + k 2π .
3
3
2π
2π
−
+ k 2π .
C. x = + k 2π ; x =

3
3
−
A. x =

−
B. x =

π

0 có nghiệm là
Câu 35: Phương trình cos  2 x −  =
2

A. x=

π kπ
+ .
2 2

B. x= π + kπ .

C. x = kπ .

D. x = k 2π .

C. x = kπ .

D. x = k 2π .

π

1 là:
Câu 36: Nghiệm phương trình cos  x +  =
2

A. x=

π
+ k 2π .
2

−
B. x =

π
2

+ k 2π .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

7


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

0 có nghiệm là

Câu 37: Phương trình lượng giác: 2 cos x + 2 =
3π

+ k 2π
x
=
4
B. 
.
−3π

=
+ k 2π
x

4

π

 x= 4 + k 2π
A. 
.
3π
=
+ k 2π
x

4

Câu 38: Nghiệm phương trình: cos 2 x =

5π

+ k 2π
x
=
4
C. 
.
−5π

=
+ k 2π
x

4

2
là
2

π

 x= 4 + k 2π
.
A. 
π
x =
− + k 2π


4

π

 x= 4 + kπ
B. 
.
π
x =
− + kπ

4

π

 x= 8 + kπ
C. 
.
π
x =
− + kπ

8

π

 x= 8 + k 2π
D. 
.
π

x =
− + k 2π

8

Câu 39: Nghiệm của phương trình cos x = −

±
A. x =

π
3

+ k 2π .

±
B. x =

π
6

5π
+ kπ .
6

−
B. x =

π
3

2π
±
+ k 2π .
C. x =
3

π

± + kπ .
D. x =
6

3
=
0 là:
2

+ k 2π .

C. x=

2π
±
+ k 2π .
D. x =
3

π
+ k 2π .

6

π

2 cos  x +  =
1 với 0 ≤ x ≤ 2π là
3


Câu 41: Số nghiệm của phương trình:
A. 0 .

1
là:
2

+ k 2π .

Câu 40: Nghiệm của phương trình cos x +

x
A. =

π

 x= 4 + k 2π
D. 
.
−π
=

+ k 2π
x

4

B. 2 .

D. 3 .

C. 1 .

0 có họ nghiệm là
Câu 42: Phương trình 2cos x − 3 =
π
+ kπ ( k ∈  ) .
3
π
± + k 2π ( k ∈  ) .
C. x =
6

±
B. x =

±
A. x =

±
D. x =

π
3

+ k 2π ( k ∈  ) .

π
+ kπ ( k ∈  ) .
6

0 có nghiệm là
Câu 43: Giải phương trình lượng giác : 2 cos 2 x − 3 =
±
A. x =

π
+ k 2π .
6

π

± + k 2π .
B. x =
12

π

± + kπ .
C. x =
12

±
D. x =

π
+ k 2π .
3

x
0 có nghiệm là
Câu 44: Giải phương trình lượng giác: 2 cos + 3 =
2
5π
±
+ k 4π .
A. x =
6

5π
±
+ k 4π .
B. x =
3

Câu 45: Giải phương trình cos x = cos

8

5π
±
+ k 2π .

C. x =
6

5π
±
+ k 2π .
D. x =
3

3
.
2
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

3
±
+ k 2π ; k ∈  .
A. x =
2

± arccos
C. x =

± arccos
B. x =

π
+ k 2π ; k ∈  .
6

±
D. x =

Câu 46: Nghiệm của phương trình cos

± 2 + kπ .
A. x =

3
+ k 2π ; k ∈  .
2

π
+ k 2π ; k ∈  .
6

x
= cos 2 (với k ∈  ) là
3

x 3 2 + k 6π .
B.=

`

±3 2 + k 6π .
D. x =

± 2 + k 4π .
C. x =
Câu 47: Nghiệm của phương trình cos 3 x = cos x là:

π
+ k 2π .
2
π
+ k 2π .
D. x= kπ ; x=
2

A. x = k 2π .
C. x = k

B. x= k 2π ; x=

π
.
2

0 có các nghiệm là:
Câu 48: Phương trình 2 2 cos x + 6 =
5π
±
+ k 2π ( k ∈  ) .
A. x =

6

±
B. x =

5π
±
+ k 2π ( k ∈  ) .
C. x =
3

±
D. x =

Câu 49: Phương trình cos 4 x = cos

π
6

π
3

+ k 2π ( k ∈  ) .
+ k 2π ( k ∈  ) .

π
có nghiệm là
5

π


=
+ k 2π
x

5
A. 
 ( k ∈  ) .
π
x =
− + k 2π

5

π

=
x
+ k 2π

20
B. 
 ( k ∈  ) .
π
x =
− + k 2π

20

π

π

 x= 5 + k 5
C. 
  ( k ∈  ) .
π
π
x =
− +k

5
5

π
π

+k
x
=
20
2
D. 
  ( k ∈  ) .
π
π
x =
− +k

20
2

x
0 có nghiệm là:
Câu 50: Giải phương trình lượng giác 2 cos   + 3 =
2
5π

x
+ k 2π
=
3
A. 
5π
x =
−
+ k 2π

3
5π

x
+ k 4π
=
6
C. 
5π
x =
−
+ k 4π


6

(k ∈ ) .

5π

x
+ k 2π
=
6
B. 
5π
x =
−
+ k 2π

6

(k ∈ ) .

(k ∈ ) .

5π

x
+ k 4π
=
3
D. 
5π

x =
−
+ k 4π

3

(k ∈ ) .

Câu 51: Số nghiệm của phương trình
A. 3 .

π

2 cos  x +  =
1 với 0 ≤ x ≤ 2π là
3


B. 2 .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. 0 .

D. 1 .
9


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

x π
Câu 52: Số nghiệm của phương trình cos  +  =
0 thuộc khoảng (π ,8π ) là
2 4
A. 2 .

C. 3 .

B. 4 .

D. 1 .

 π π
− ; 
π

0 trong khoảng  2 2  là
Câu 53: Nghiệm của phương trình 2 cos  x −  − 2 =
3

 −π −7π 
A.  ;
.
 12 12 

π 
C.   .
12 

 7π 
B.   .
 12 

 π 7π 
D.  ;  .
12 12 

Câu 54: Phương trình 2 cos 2 x = 1 có nghiệm là
A. x = k

π
.
4

±
B. x =

π
+ kπ .
4

C. x = k

π
.
2

D. vô nghiệm.

π
Câu 55: Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2 cos( x − ) =
1 trên ( −π; π)
3

A.

2π
3

B.

π
3

C.

4π
3

D.

7π
3

Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos π(3 − 3 + 2 x − x 2 ) =
−1 .
A. 1

B. 2

Câu 57: Giải phương trình cos 2 2 x =

C. 3

D. 4

1
.
4

π
2π
π
π
± + kπ , x =
±
+ kπ ; k ∈  .
+ k 2π , x =
± + kπ ; k ∈  .
B. x =
6
3
6
3
π
π
π
π

± + kπ , x =
± + kπ ; k ∈  .
± + kπ , x =
± + kπ ; k ∈  .
C. x =
D. x =
6
3
6
2
0 vô nghiệm khi m là:
Câu 58: Phương trình cos x − m =
±
A. x =

 m < −1
A. 
.
m > 1

B. m > 1 .

C. −1 ≤ m ≤ 1 .

D. m < −1 .

Câu 59: Cho phương trình: √3 cos 𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 − 1 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:
A. m < 1 − 3 .

B. m > 1 + 3 .

C. 1 − 3 ≤ m ≤ 1 + 3 .

D. − 3 ≤ m ≤ 3 .

Câu 60: Phương trình m cos x + 1 =0 có nghiệm khi m thỏa điều kiện

 m ≤ −1
A. 
.
m ≥ 1

B. m ≥ 1.

C. m ≥ −1.

m ≤ 1
D. 
 m ≥ −1

Câu 61: Phương trình cos x= m + 1 có nghiệm khi m là
A. −1 ≤ m ≤ 1 .
Câu 62: Cho x=
A. sin x = 1 .

B. m ≤ 0 .

π
+ kπ là nghiệm của phương trình nào sau đây:
2

B. sin x = 0 .
C. cos 2 x = 0 .

Câu 63: Cho phương trình:
10

C. m ≥ −2 .

D. −2 ≤ m ≤ 0 .

D. cos 2 x = −1 .

3 cos x + m − 1 =0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

A. m < 1 − 3 .

B. m > 1 + 3 .

C. 1 − 3 ≤ m ≤ 1 + 3 .

D. − 3 ≤ m ≤ 3 .

π


Câu 64: Cho phương trình cos  2 x −  − m =
2 . Tìm m để phương trình có nghiệm?
3

A. Không tồn tại m.

B. m ∈ [ −1;3] .

C. m ∈ [ −3; −1] .

D. mọi giá trị của m.

x π
Câu 65: Để phương trình cos 2  −  =
m có nghiệm, ta chọn
2 4
A. m ≤ 1 .

C. −1 ≤ m ≤ 1 .

B. 0 ≤ m ≤ 1 .

D. m ≥ 0 .

2π
±
+ k 2π là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?
Câu 66: Cho biết x =
3
A. 2cos x − 1 =0.

B. 2cos x + 1 =0.

±
Câu 67: Cho biết x =

π
3

0.
C. 2sin x + 1 =

0.
D. 2sin x − 3 =

+ k 2π là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?
B. 2cos x − 1 =0.

0.
A. 2 cos x − 3 =

0.
C. 2sin x + 1 =

0.
D. 2sin x − 3 =

Câu 68: Nghiệm của phương trình sin 3 x = cos x là:

π

π

π

π
+ k 2π .
2
π
=
x k=
π ;x k .
D.
2

A. x =+ k ; x =+ kπ .
8
2
4
C. x= kπ ; x=

B. x= k 2π ; x=

π
+ kπ .
4

0 là:
Câu 69: Nghiệm của phương trình cos x + sin x =
π

+ kπ .
6

π
+ kπ .
4
0 theo thứ tự là:
Câu 70: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4 x + cos 5 x =
π
2π
π
π
− ; x=
− ; x=
A. x =
.
B. x =
.
18
9
18
2
π
π
π
π
− ; x=
− ; x=
C. x =
.

D. x =
.
18
6
18
3
π

− + kπ .
A. x =
4

B. x=

C. x = kπ .

D. x=

π
π
Câu 71: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5 x + =
) cos(2 x − ) trên [0; π]
3
3

A.

7π
18

B.

4π
18

C.

47 π
8

D.

47 π
18

x

Câu 72: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos  + 15  =
sin x . Khi đó
2

A. 290 ∈ X .

B. 250 ∈ X .

C. 220 ∈ X .

D. 240 ∈ X .

0 có tập nghiệm là

Câu 73: Trong nửa khoảng [ 0; 2π ) , phương trình cos 2 x + sin x =
 π π 5π 
A.  ; ;  .
6 2 6 

 −π π 7π 11π 
;
B.  ; ;
.
 6 2 6 6 

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

 π 5π 7π 
C.  ; ;  .
6 6 6 

 π 7π 11π 
;
D.  ;
.
2 6 6 

11


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

Câu 74: Số nghiệm của phương trình sin x = cos x trong đoạn [ −π ; π ] là
A. 2.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

C. x = k 2π .

D. x=

Câu 75: Nghiệm của phương trình sin x.cos x = 0 là:
A. x=

π
+ k 2π .
2

B. x = k

π
.
2

π
+ k 2π .
6

0 là
Câu 76: Các họ nghiệm của phương trình sin 2 x − cos x =
2π π
π
; + k 2π ; k ∈  .
+k
6
3 2
π
2π −π
;
+ k 2π ; k ∈  .
C. + k
6
3 2
0 là
Câu 77: Nghiệm phương trình: 1 + tan x =
A.

A. x=

π
+ kπ .
4

−
B. x =

π
+ kπ .

4

B.

−π
2π π
+k
; + k 2π ; k ∈  .
6
3 2

D.

−π
2π −π
+k
+ k 2π ; k ∈  .
;
6
3 2

π
+ k 2π .
4

C. x=

−
D. x =

π
4

+ k 2π .

π

Câu 78: Họ nghiệm của phương trình tan  x +  + 3 =
0 là
5

A.

8π
+ kπ ; k ∈  .
15

8π
+ kπ ; k ∈  .
15

B. −

Câu 79: Phương trình tan x = tan

π
+ kπ .
3

B. x=

3 + 3 tan x =
0 là:
π
+ k 2π .
2

π

− + kπ .
C. x =
6

π
+ kπ .
3
π
2π
+ k 2π ; x =+ k 2π .
C. x =
3
3
Câu 82: Phương trình lượng giác:

π
+ kπ .
3

Câu 83: Phương trình tan

π
+ kπ .
3
π
4π
− + k 2π ; x = + k 2π .
D. x =
3
3
3.tan x + 3 =
0 có nghiệm là

−
B. x =

π
+ k 2π .
3

C. x=

π
+ kπ .
6

−
D. x =

π
3

+ kπ .

x
= tan x có nghiệm là
2

=
x kπ , k ∈  .
B.

π + k 2π , k ∈  .
C. x =

D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 84: Nghiệm của phương trình

12

π
+ kπ .
2

−
B. x =

=
A. x k 2π , k ∈  .

π kπ
+
.
9 9

D. x=

3 + tan x =
0 có nghiệm là

A. x=

A. x=

8π
+ k 2π ; k ∈  .
15

D. x =−π + k 2π ( k ∈  ) .

Câu 80: Nghiệm của phương trình

A. x=

D.

B.
=
x kπ ( k ∈  ) .

C. x =
π + k 2π ( k ∈  ) .

Câu 81: Phương trình

8π
+ k 2π ; k ∈  .
15

x
có họ nghiệm là
2

A. x k 2π ( k ∈  ) .
=

A. x=

C. −

B. x=

3 tan 3x − 3 =
0 (với k ∈  ) là
π kπ
+
.
3 3

C. x=

π kπ
+
.
3 9

D. x=

π kπ
+
.
9 3

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

Câu 85: Nghiệm của phương trình tan x = 4 là

=
B. x arctan 4 + k 2π .
π
+ kπ .
D. x=

=
A. x arctan 4 + kπ .

C. x= 4 + kπ .

4

0 là:
Câu 86: Họ nghiệm của phương trình tan 2 x − tan x =
A.

−π
+ kπ , k ∈ .
6

B.

π
+ kπ , k ∈ .
3

Câu 87: Phương trình lượng giác:
A. x=

π
+ kπ .
3

Câu 88: Giải phương trình

π

C.

D. kπ , k ∈ .

3.tan x − 3 =
0 có nghiệm là

−
B. x =

π
3

+ k 2π .

3π

3 tan  3 x +
5


C. x=

π
+ kπ .
6

−
D. x =

π

+ kπ .
3


0.
=


π

π
π
+ k ;k ∈.
5
4
π
π
− + k ;k ∈.
D. x =
5
3

A. x =+ k ; k ∈  .
8
4

−
C. x =

π

+ kπ , k ∈ .
6

−
B. x =

π
π
+ k ;k ∈.
5
2

x
0 trong nửa khoảng [ 0; 2π ) là
Câu 89: Nghiệm của phương trình 3 tan − 3 =
4
 π 2π 
A.  ;  .
3 3 

 3π 
B.   .
 2 

 π 3π 
C.  ;  .
2 2 

 2π 
D.   .

 3 

Câu 90: Phương trình tan ( 2 x + 12° ) =0 có nghiệm là
A. x = −6° + k 90°, ( k ∈  ) .

B. x = −6° + k180°, ( k ∈  ) .

C. x = −6° + k 360°, ( k ∈  ) .

D. x = −12° + k 90°, ( k ∈  ) .

0
1 , với −900 < x < 900 là
Câu 91: Nghiệm của phương trình tan(2 x − 15 ) =

A. x = −300

B. x = −600

C. x = 300

D. x = −600 , x = 300

Câu 92: Số nghiệm của phương trình tan x = tan
A. 1.

3π
π

trên khoảng  ; 2π 

11
4


B. 2.

C. 3.

D. 4.

C. vô nghiệm.

D. x=

Câu 93: Giải phương trình: tan 2 x = 3 có nghiệm là

−
A. x =

π
3

+ kπ .

±
B. x =

π
3

+ kπ .

π
+ kπ .
3

0 là:
Câu 94: Nghiệm phương trình 1 + cot x =
A. x=

π
+ kπ .
4

−
B. x =

π
+ kπ .
4

C. x=

π
+ k 2π .
4

−
D. x =

C. x=

π
+ k 2π .
3

D. x=

π
4

+ k 2π .

=là:
Câu 95: Nghiệm của phương trình cot x + 3 0 
−
A. x =

π
+ kπ .
3

−
B. x =

π
+ kπ .
6

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

π
+ kπ .
6
13


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

0 có nghiệm là
Câu 96: Phương trình lượng giác: 3cot x − 3 =
A. x=

π
+ kπ .
6

B. x=

π
+ kπ .
3

π
+ k 2π .
3

C. x=

D. Vô nghiệm.

0 có nghiệm là
Câu 97: Phương trình lượng giác: 2 cot x − 3 =

π

 x= 6 + k 2π
A. 
 x −π + k 2π .
=

6

=
B. x arc cot

3
+ kπ .
2

C. x=

π
+ kπ .
6

D. x=

π
+ kπ .
3

D. x=

π
+ kπ .
6

π

3 là
Câu 98: Nghiệm của phương trình cot  x +  =
4


π

π
π
+ kπ .
− + kπ .
C. x =
12
3
12
π
0.
Câu 99: Giải phương trình 3 cot(5 x − ) =

8
π
π
π
π
π
A. x =+ kπ ; k ∈  .
B. x =+ k ; k ∈  .
C. x =+ k ; k ∈  .
8
5
8
4
8
x
− 3 (với k ∈  ) là
Câu 100: Nghiệm của phương trình cot( + 100 ) =
4
x
A. =

+ kπ .

B. x=

−2000 + k 3600 .
A. x =

−2000 + k 7200 .
B. x =

−200 + k 3600 .
C. x =

−1600 + k 7200 .
D. x =

π

π

π

π

D. x =+ k ; k ∈  .
8
2

Câu 101: Giải phương trình tan x = cot x

π

π

B. x =
−

A. x =+ k ; k ∈  .
4

2

π
4

+ kπ ; k ∈  .

π

π

C. x =+ kπ ; k ∈  .
4

π

D. x =+ k ; k ∈  .
4
4

Câu 102: Phương trình tan x.cot x = 1 có tập nghiệm là

 kπ

=
A. T  \  ; k ∈   .
 2


π


B. T =  \  + kπ ; k ∈   .
2


C. T =  \ {π + kπ ; k ∈ }.

D. T = .

Câu 103: Giải phương trình tan 3 x tan x = 1 .

π

π

A. x =+ k ; k ∈  .
8
8

π

π

B. x =+ k ; k ∈  .
4
4

π

π

C. x =+ k ; k ∈  .
8
4

D. x =+ k ; k ∈  .
8
2

Câu 104: Nghiệm của phương trình tan 3 x.cot 2 x = 1 là

π
, k ∈ .
2
C. kπ , k ∈ .
A. k

B. −

π
π
+ k , k ∈ .
4
2

D. Vô nghiệm.

Câu 105: Nghiệm của phương trình tan 4 x.cot 2 x = 1 là
A. kπ , k ∈ .

14

B.

π
4

+k

π
2

, k ∈ .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
C. k

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

π
, k ∈ .
2

D. Vô nghiệm.

Câu 106: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
A. tan x = 3 .

B. cot x = 1 .

C. cos x = 0 .

D. sin x =

4
.
3

π
π


Câu 107: Phương trình: tan  − x  + 2 tan  2 x +  =
1 có nghiệm là:
2
2



π

+ k 2π ( k ∈  )
A. x =
4

π

π

C. x =+ k ( k ∈  )
4
2

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

π

B. x =+ kπ ( k ∈  )
4

±
D. x =

π
+ kπ ( k ∈  )
4

15


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

(

)

0 có nghiệm là:
Câu 1: Phương trình ( sin x + 1) sin x − 2 =

−
A. x =
C. x=

π
+ k 2π ( k ∈  ) .
2

π
+ k 2π .
2

±
B. x =
±
D. x =

(

)

π

π

+ k 2π , x =
− + kπ ( k ∈  ) .
4
8

π
2

+ k 2π .

0 có nghiệm là
Câu 2: Phương trình s in2x. 2sin x − 2 =

π

x = k 2

π
A.  x=
+ k 2π .

4

3π
=
x
+ k 2π

4

π

x = k 2

π
B.  x=
+ kπ .

4

3π
=
+ kπ
x
4



 x = kπ

π
+ k 2π .
C.  x=

4

3π
=
x

+ k 2π

4

π

x = k 2

π
D.  x=
+ k 2π .

4

π
x =
− + k 2π

4

Câu 3: Nghiệm của phương trình 2.sin x.cos x = 1 là:

π
+ kπ .
4
0
Câu 4: Giải phương trình 4sin x cos x cos 2 x + 1 =
π
− + k 2π ; k ∈  .
A. x =

8
π
π
− + k ;k ∈.
C. x =
8
4
A. x = k 2π .

B. x=

C. x = k

π
.
2

D. x = kπ .

π
+ kπ ; k ∈  .
8
π
π
− + k ;k ∈.
D. x =
8
2
−
B. x =

0.
Câu 5: Giải phương trình cos x(2 cos x + 3) =

π
5π
±
+ kπ ; k ∈  .
A. x =+ kπ , x =
2
6

π
5π
B. x =+ kπ , x = + k 2π ; k ∈  .
2
6

π
5π
±
+ k 2π ; k ∈  .
C. x =+ kπ , x =
2
6

π
2π
±
+ k 2π ; k ∈ 

D. x =+ kπ , x =
2
3

0 là
Câu 6: Nghiệm của phương trình sin 4 x − cos 4 x =
−
A. x =

π
+ kπ .
4

B. x=

π
π
+k .
4
2

x
C. =

3π
+ k 2π .
4

±
D. x =

π
+ k 2π .
4

Câu 7: Phương trình nào tương đương với phương trình sin 2 x − cos 2 x − 1 =0 .
A. cos 2 x = 1 .
Câu 8:

B. cos 2 x = −1 .

C. 2 cos 2 x − 1 =0 .

2
1.
D. (sin x − cos x) =

0 tương đương với phương trình nào sau đây?
Phương trình 3 − 4 cos 2 x =

A. cos 2 x =

1
.
2

1
B. cos 2 x = − .
2

(

C. sin 2 x =

)

1
.
2

1
D. sin 2 x = − .
2

0 là :
Câu 9: Nghiệm của phương trình sin x. 2 cos x − 3 =
 x = kπ
A. 
. (k ∈ )
π
x =
± + k 2π
6

16

 x = kπ
B. 
(k ∈ ) .
π

x =
± + kπ
6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

 x = k 2π
C. 
(k ∈ ) .
π
x =
± + k 2π
3


±
D. x =

π

6

+ k 2π ( k ∈  ) .

Câu 10: Phương trình (sin x + 1)(2 cos 2 x − 2) =

0 có nghiệm là

−
A. x =

π
+ k 2π , k ∈  .
2

−
B. x =

π

C. x =+ kπ , k ∈  .
8

π
+ kπ , k ∈  .
8

D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos 2 x = 0 là:

π
π
.
C. x = k .
2

8
Câu 12: Cho phương trình cos x.cos 7 x = cos 3 x.cos 5 x (1)
A. x = kπ .

D. x = k

B. x = k

π
.
4

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình (1)
A. sin 5 x = 0 .

B. cos 4 x = 0 .

Câu 13: Số nghiệm của phương trình

C. sin 4 x = 0 .

sin 3x
= 0 thuộc đoạn [2π ; 4π ] là
cos x + 1

B. 6 .

A. 2 .

D. cos 3 x = 0 .

C. 5 .

Câu 14: Tất cả các nghiệm của phương trình

D. 4 .

sin 2 x − 1
= 0 là
2.cos x − 1

π

+ k 2π , k ∈ 
 x=
4
B. 
.
3π
x =
+ k 2π , k ∈ 

4

3π
−
+ k 2π , k ∈  .
A. x =
4

π

π

C. x =+ kπ , k ∈  .
4

+ k 2π , k ∈  .
D. x =
4

(

) (

)

8 − 4 cos 2 2 x
Câu 15: Giải phương trình 4 sin 6 x + cos 6 x + 2 sin 4 x + cos 4 x =

x ±
A.=

x ±
C.=

π
3

+

kπ
, k ∈ .
2

π kπ
+
, k ∈ .
24 2
π kπ
x ± +
D.=
, k ∈ .
6 2
x ±
B.=

π kπ
+
, k ∈ .
12 2

0
Câu 16: ìm số nghiệm x ∈ 0;14  nghiệm đúng phương trình : cos 3 x − 4 cos 2 x + 3 cos x − 4 =
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 17: Giải phương trình sin x.cos x (1 + tan x )(1 + cot x ) =
1.
A. Vô nghiệm.

B. x = k 2π , k ∈  .

C. x =

kπ
2

D. x = kπ , k ∈  .

, k ∈ .

 π 69π 
2
1 là:
Câu 18: Số nghiệm thuộc  ;
 của phương trình 2sin 3 x. 1 − 4sin x =
14
10



(

A. 40 .

B. 32 .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. 41 .

)

D. 46 .

17


Tổng ôn Toán 11

π
2π


Câu 19: Phương trình tan x + tan  x +  + tan  x +
3
3



A. cot x = 3.

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản


3 3 tương đương với phương trình:
=

C. tan x = 3.

B. cot 3 x = 3.

D. tan 3 x = 3.

1
Câu 20: Giải phương trình : sin 4 x + cos 4 x =

π

A. x=

4

±
C. x =

+k

π
2

π
+ kπ , k ∈  .
4

π
D. x = k , k ∈  .
2

, k ∈ .

−
B. x =

π
+ k 2π , k ∈  .
4

Câu 21: Giải phương trình sin x. cos x. cos 2 x = 0
A. kπ .

B. k

π
.
2

C. k

Câu 22: Nghiệm của phương trình cos x cos5 x =

π
+ kπ .
8

A. x=

B. x =

kπ
.
2

π
.
4

D. k

π
.
8

1
cos 6 x (với k ∈  ) là
2
C. x =

kπ
.
4

D. x=

π

8

+

kπ
.
4

7
có nghiệm là:
Câu 23: Phương trình sin 6 x + cos6 x =
16

π
π
+k .
3
2

π
π
π
π
+k .
± +k .
C. x =
4
2
5
2

x
x
=
2 x cos4 − sin 4 có các nghiệm là;
Câu 24: Phương trình sin
2
2
π
2π
π
π
π



x
x
=
+
k
=
+ kπ
x
k
=
+



±

A. x =

6
3
A. 
.
π
 x=
+ k 2π

2

π
π
+k .
6
2

±
B. x =

±
D. x =

4
2
B. 
.
π
 x=

+ kπ

2

π
π

x
k
=
+

12
2
D. 
.
π
3
=
x
+ kπ

4

3
C. 
.
π
=
x 3 + k 2π


2

3
 π
Câu 25: Các nghiệm thuộc khoảng  0;  của phương trình sin 3 x.cos 3x + cos3 x.sin 3x =
là:
8
 2
A.

π 5π
,
.
6 6

B.

π 5π
,
.
8 8

C.

π 5π
,

12 12

Câu 26: Các nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) của phương trình: sin 4
A.

π 5π 9π
;

6 6

;

6

;.

B.

π 2π 4π 5π
; ; ; .
3 3 3 3

C.

.

D.

π 5π

,
.

24 24

x
x 5
+ cos4 =
là:
2
2 8

π π 3π
; ;
.
4 2 2

D.

π 3π 5π 7π

; ; ;
.
8 8 8 8

π

Câu 27: Phương trình 2sin  3x +  = 1 + 8sin 2 x.cos2 2 x có nghiệm là:
4


π


 x= 6 + kπ
A. 
.
5π
=
+ kπ
x

6
Câu 28: Phương trình

18


x
=
B. 
=
x


π

+ kπ

12
.
5π
+ kπ
12


x
=
C. 
=
x


π
+ kπ
18
.
5π
+ kπ
18


x
=
D. 
=
x


π

+ kπ
24
.

5π
+ kπ
24

sin 3x cos 3x
2
+
= có nghiệm là:
cos 2 x sin 2 x sin 3x
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
A. x=

π
π
+k .
8
4

B. x=

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

π
π
+k .
6
3

π
π
+k .
3
2

C. x=

D. x=

π
+ kπ .
4

3
3
3
3
2sin 2 x có nghiệm là:
Câu 29: Phương trình sin x + cos x + sin x.cot x + cos x. tan x =

A. x=

π
+ kπ .
8

Câu 30: Phương trình

B. x=

π
+ kπ .
4

π
+ k 2π .
4

C. x=

x
D. =

3π
+ k 2π .
4

sin 4 x + cos4 x 1
=
( tan x + cot x ) có nghiệm là:
sin 2 x
2

π
π
π
+k .
+ k 2π .

C. x=
D. Vô nghiệm.
3
4
2
Câu 31: Cho phương trình cos 2 x.cos x + sin x.cos 3 x =sin 2 x sin x − sin 3 x cos x và các họ số thực:.
π
π
+ kπ , k ∈  .
− + k 2π , k ∈  .
I. x=
II. x =
2
4
π
4π
π
2π
+k
− +k
III. x =
, k ∈  . IV. x=
, k ∈ .
7
7
14
7
A. x=

π

+ kπ .
2

B. x=

Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là
A. I, II.
B. I, III.

(

)

(

C. II, III.

)

(

D. II, IV.

)

Câu 32: Cho phương trình cos 2 x − 300 − sin 2 x − 300 = sin x + 600 và các tập hợp số thực:

x 300 + k1200 , k ∈  .
I.=

x 600 + k1200 , k ∈  .
II.=

x 300 + k 3600 , k ∈  . IV.=
x 600 + k 3600 , k ∈  .
III.=
Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình
A. Chỉ I.
B. Chỉ II.

C. I, III.

D. I, IV.

π
x
x

Câu 33: Phương trình sin 4 x − sin 4  x +  =
4sin cos cos x có nghiệm là
2
2
2

x
A. =

3π
+ kπ , k ∈  .
4

x
B. =

3π
π
+ k , k ∈ .
8
2

x
C. =

3π
+ kπ , k ∈  .
12

x
D. =

3π
π
+ k , k ∈ .
16
2

7
Câu 34: Phương trình sin 6 x + cos 6 x =
có nghiệm là:
16

π
π
π
π
± + k , k ∈ .
+ k , k ∈ .
B. x =
4
2
3
2
π
π
π
π
± + k , k ∈ .
± + k , k ∈ .
C. x =
D. x =
6
2
5
2
1.
Câu 35: Giải phương trình sin x.cos x(1 + tan x)(1 + cot x) =
±
A. x =

A. Vô nghiệm.

B. x = k 2π , k ∈  .

C. x =

kπ
, k ∈ .
2

D. x = kπ , k ∈  .

0 có số nghiệm là:
Câu 36: Trong nửa khoảng [ 0; 2π ) , phương trình sin 2 x + sin x =
A. 4.

B. 3.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. 2.

D. 1.

19


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

sin 6 x + cos 6 x
= m có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện:
Câu 37: Để phương trình
π  π

tan  x +  tan  x − 
4 
4

1
A. −1 ≤ m < − .
4

B. −2 ≤ m ≤ −1.

C. 1 ≤ m ≤ 2.

D.

1
≤ m ≤ 1.
4

π
π


Câu 38: Để phương trình: 4sin  x +  .cos  x −  =a 2 + 3 sin 2 x − cos 2 x có nghiệm, tham số a phải
3
6



thỏa điều kiện:
A. −1 ≤ a ≤ 1 .

B. −2 ≤ a ≤ 2 .

C. −

1
1
≤a≤ .
2
2

D. −3 ≤ a ≤ 3 .

a2
sin 2 x + a 2 − 2
Câu 39: Để phương trình
có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
=
1 − tan 2 x
cos 2 x


a >1
A. 
.


a ≠ 3

20


a > 2
B. 
.

a ≠ 3


a >3
C. 
.

a ≠ 3


a > 4
D. 
.

a ≠ 3

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

 x= y + kπ
sin y ⇔ 
A. sin x =
(k ∈ ) .
 x = π − y + kπ
 x= y + k 2π
sin y ⇔ 
B. sin x =
(k ∈ ) .
=
−
+
2
x
π
y
k
π

 x= y + k 2π
sin y ⇔ 
C. sin x =
(k ∈ ) .
 x =− y + k 2π

 x= y + kπ
sin y ⇔ 
D. sin x =
(k ∈ ) .
 x =− y + kπ
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

 x= y + k 2π
Áp dụng công thức nghiệm sin x = sin y ⇔ 
(k ∈ )
 x = π − y + k 2π
Câu 2: Phương trình s inx = sin α có nghiệm là

 x= α + k 2π
;k ∈
A. 
 x = π − α + k 2π

 x= α + kπ
;k ∈ .
B. 
 x = π − α + kπ

 x= α + kπ
;k ∈ .
C. 
 x =−α + kπ

 x= α + k 2π

;k ∈ .
D. 
 x =−α + k 2π

Hướng dẫn giải:
Chọn A

 x= α + k 2π
s=
inx sin α ⇔ 
(k ∈ ) .
 x = π − α + k 2π
Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
π
A. sin x =1 ⇔ x = + k 2π , k ∈  .
2

B. sin x =1 ⇔ x =π + k 2π , k ∈  .

π

D. sin x =1 ⇔ x = + kπ , k ∈  .
2

C. sin x =1 ⇔ x =k 2π , k ∈  .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đáp án đúng là A, các đáp án còn lại sai vì thiếu họ nghiệm hoặc sai họ nghiệm.
Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x = −1 là:

π

− + kπ .
A. x =
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A

−
B. x =

π
2

+ k 2π .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. x = kπ .

x
D. =

3π
+ kπ .
2

21

Tổng ôn Toán 11

sin x =−1 ⇔ x =−

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

π
+ k 2π , k ∈  .
2

Câu 5: Phương trình sin x = 0 có nghiệm là:
A. x=

π
+ k 2π .
2

B. x = kπ .

C. x = k 2π .

D. x=

π
+ kπ .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
A. sin x =−1 ⇔ x =−

π
+ k 2π .
2

B. sin x = 0 ⇔ x = kπ .

π

C. sin x = 0 ⇔ x = k 2π .

D. sin x =1 ⇔ x = + k 2π .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
sin x = 0 ⇔ x = kπ , ( k ∈  ) .

 2x π 
Câu 7: Phương trình sin 
− =
0 (với k ∈  ) có nghiệm là
 3 3
A. x = kπ .
C. x=

π

+ kπ .

3
Hướng dẫn giải:
Chọn D

x
B.=

2π k 3π
+
.
3
2

D. x=

π k 3π
+
.
2
2

π k 3π
2x π
2x π
 2x π 
(k ∈ )
− = 0⇔
− = kπ ⇔

= + kπ ⇔ x = +
sin 
3 3
3
3
2
2
 3 3
Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x =
A. x=

π
+ k 2π .
3

B. x=

1
là:
2

π
+ kπ .
6

C. x = kπ .

D. x=

π

+ k 2π .
6

Hướng dẫn giải:
Chọn D

π
π


+ k 2π
+ k 2π
x=
x=


π
1
6
6
⇔
sin x =⇔ sin x =
sin ⇔ 
(k ∈ ) .
2
6
 x = π − π + k 2π
 x = 5π + k 2π

6

6

Câu 9: Phương trình sin x =

5π
+ k 2π
6
Hướng dẫn giải:
x
A. =

22

1
π
π
có nghiệm thỏa mãn − ≤ x ≤ là :
2
2
2
B. x =

π
6

.

C. x=

π

+ k 2π .
3

D. x =

π
3

.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

Chọn B.

Ta có sin x =

1
π 
⇔ sin x = sin  
2
6

π
π



=
+ k 2π
x
=
+
π
x
k
2


6
6
⇔ 
⇔ 
(k ∈ ) .
5π
=
 x = π − π + k 2π
+ k 2π
x


6
6

π π
π
1

1
π
π
π
+ kπ . Do − ≤ x ≤ nên − ≤ + k 2π ≤ ⇔ − ≤ k ≤ .
3
6
2 6
2
6
2
2
π
Vì k ∈  nên ta chọn được k = 0 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x = .
6
5π
2
1
π
π
π 5π
π
x
+ k 2π . Do − ≤ x ≤ nên − ≤
+ k 2π ≤ ⇔ − ≤ k ≤ − .
Trường hợp 2: =
2 6
2
6
3

6
2
2
Vì k ∈  nên ta không chọn được giá trị k thỏa mãn.
π
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .
6
Trường hợp 1: x=

Câu 10: Nghiệm phương trình

π

 x= 4 + k 2π
A. 
3π
=
+ k 2π
x

4

π

 x= 8 + kπ
C. 
3π
=
+ kπ
x


8

sin 2 x =

2
2 là:

π

 x= 4 + kπ
B. 
3π
=
+ kπ
x

4

(k ∈ ) .

π

 x= 8 + k 2π
D. 
3π
=
+ k 2π
x


8

(k ∈ ) .

(k ∈ ) .

(k ∈ ) .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

π
π


x=
+ kπ
+ k 2π
2 x=


2
π 
8
4
Ta có sin 2 x =
⇔ sin 2 x = sin   ⇔ 
⇔ 
(k ∈ ) .
3π

2
4
=
 2 x = π − π + k 2π
+ kπ
x


8
4
Câu 11: Nghiệm của phương trình sin ( x + 10° ) =−1 là
A. x = −100° + k 360° .

B. x = −80° + k180° .

x 100° + k 360° .
C. =

D. x = −100° + k180° .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: sin ( x + 10° ) =−1 ⇔ sin ( x + 10° ) =sin ( −90° )

⇔ x + 10° = −90° + k 360° ⇔ x = −100° + k 360°, k ∈  .
 x +π
Câu 12: Phương trình sin 
 5

1


 = − có tập nghiệm là
2


Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

23


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

11π

=
+ k10π
x
6
A. 
(k ∈ ) .
29π
x =
−
+ k10π

6

11π


−
+ k10π
x =
6
B. 
(k ∈ ) .
29π

=
+ k10π
x

6

11π

−
+ k10π
x =
6
C. 
(k ∈ ) .
29π
x =
−
+ k10π

6

11π

=
+ k10π
x
6
D. 
(k ∈ ) .
29π

=
+ k10π
x

6

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

π
11π
 x +π

=
−
+
=
−
+ k10π
π

2
k
x
 5

1
 x +π 
6
6
− ⇔
⇔
sin 
(k ∈ ).
=
7π
29π
2
 5 
 x +π =

+ k 2π
+ k10π
x=
 5

6
6
Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 2 x =

3

trong khoảng ( 0;3π ) là
2

B.  2 .

A. 1 .

C. 6 .

D. 4 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: sin 2 x =

π
π


+ k 2π
+ kπ
2x =
x=


3
3
6
⇔
,k ∈ ⇔ 

,k ∈ .
π
2π
2
2 x =

+ k 2π
+ kπ
x=


3
3

 Cách 1: Dựa vào đường tròn lượng giác ta có số nghiệm của phương trình là 6.
Cách 2: Giải lần lượt:

π
1
17
0,1, 2 .
+ kπ < 3π ⇔ − < k < ⇒ k =
6
6
6
1
8
π
0 < + kπ < 3π ⇔ − < k < ⇒ k =
0,1, 2 .

3
3
3
Mỗi họ nghiệm có 3 nghiệm thuộc ( 0;3π ) nên PT có 6 nghiệm thuộc ( 0;3π ) .
0<

π

sin  x +  =
1
2


Câu 14: Nghiệm phương trình
là
A. x=

π
+ k 2π .
2

−
B. x =

π
2

+ k 2π .

C. x = kπ .

D. x = k 2π .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

π π
π

1 ⇔ x + = + k 2π ⇔ x = k 2π .
Từ sin  x +  =
2 2
2


0 có nghiệm là:
Câu 15: Phương trình: 1 + sin 2 x =
−
A. x =

24

π
2

+ k 2π .

−
B. x =

π
+ kπ .
4

−
C. x =

π
4

+ k 2π .

−
D. x =

π
+ kπ .
2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 3. Phương trình lượng giác cơ bản

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

x

0 ⇔ 2=
Từ 1 + sin 2 x =

−π
π
+ k 2π ⇔ x =
− + kπ .
2
4

π

Câu 16: Số nghiệm của phương trình: sin  x +  =
1 với π ≤ x ≤ 5π là
4

A. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

π
π π
π


sin  x +  = 1 ⇔ x + = + k 2π ⇔ x = + k 2π ( k ∈  ) .
4
4 2
4

Mà π ≤ x ≤ 5π ⇒ π ≤

π
3
19
+ k 2π ≤ 5π ⇔ ≤ k ≤ ⇒ k ∈ {0;1; 2} .
4
4
8

Vậy phương trình có 3 nghiệm trong [π ;5π ] .

π

Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin  4 x −  –1 =
0 là:
3


π
+ k 2π .
2
π
π + k 2π ; x =
k .

D. x =
2

π
π
7π
π
A. x =+ k ; x =+ k .
8
2
24
2

B. x= k 2π ; x=

C. x= kπ ; x= π + k 2π .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

π π


4 x − = + k 2π

 x=
π
π 1


3 6

2sin  4 x −  –1 =
0 ⇔ sin  4 x −  = ⇔ 
⇔
3
3 2


 4 x − π = π − π + k 2π
=
x


3
6
Câu 18: Phương trình

π

+k

π

8
2
(k ∈ )
π
7π
+k
24
2

3 + 2sin x =
0 có nghiệm là:
π
2π
+ k 2π ∨ x = + k 2π .
3
3
π
4π
− + k 2π ∨ x = + k 2π .
D. x =
3
3

π

− + k 2π .
A. x = + k 2π ∨ x =
3
3
C. x =

π

−
B. x =

2π
π

+ k 2π ∨ x =
+ k 2π .
3
3

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

π

− + k 2π
x=

3
π


3
3 + 2sin x =
0 ⇔ sin x =
sin 
−
⇔ sin x =−
( k ∈ ).
⇔
2
4π
 3
=
+ k 2π

x

3
Câu 19: Nghiệm của phương trình sin 3 x = sin x là:
A. x=

π
+ kπ .
2

B. x= kπ ; x=

π
π
+k .
4
2

C. x = k 2π .

π

k 2π
D. x =+ kπ ; k =
2

.
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

25