lỹ thuyết hay về dãy số

TỔNG ÔN TOÁN 11

VIP

CHỦ ĐỀ 10. DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực
hiện như sau:
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), chứng minh rằng mệnh đề
đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ≥ p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh
mệnh đề đúng với n = k + 1.
2. Dãy số
u : * → 

Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …

n  u ( n)

3. Dãy số tăng, dãy số giảm
• (un) là dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N*.
⇔ un+1 – un > 0 với ∀ n ∈ N* ⇔

un +1
> 1 với ∀n ∈ N* ( un > 0).
un

• (un) là dãy số giảm ⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N*.
⇔ un+1 – un< 0 với ∀ n ∈ N* ⇔

un +1
< 1 với ∀n ∈ N* (un > 0).
un

4. Dãy số bị chặn
• (un) là dãy số bị chặn trên ⇔ ∃M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N*.
• (un) là dãy số bị chặn dưới ⇔ ∃m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N*.
• (un) là dãy số bị chặn ⇔ ∃m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N*.

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: −1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
B. u10 = 71

A. u10 = 97

Câu 2: Cho dãy số ( un ) với un =

a. ( n + 1)
A. un +1 =
.
n+2
2

C. u10 = 1414

D. u10 = 971

an 2
(a: hằng số). un +1 là số hạng nào sau đây?
n +1

a. ( n + 1)
B. un +1 =
.
n +1

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

2

a.n 2 + 1
C. un +1 =
.
n +1

an 2
D. un +1 =
.
n+2
1


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

un 5(n − 1) .
A. =

B. un = 5n .

C. un = 5 + n .

5.n + 1 .
D. u=
n

Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

7n + 7 .
A. u=
n

B. un = 7.n .

7.n + 1 .
C. u=
n

D. un : Không viết được dưới dạng công thức.

1 2 3 4
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

2 3 4 5
n +1
n
n −1
n2 − n
.
B. un =
.
C. un =
.
D. un =
.
n
n
n +1
n +1
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0, 001;0, 0001;... . Số hạng tổng quát của dãy số này
A. un =

có dạng?

1
1
u
0,
00...01
=
0,
00...01
.

B.
.
C.
.
D.
.
u
=
u
=
n
n
n
−
1
n






10
10n +1
n chöõ soá 0
n−1 chöõ soá 0
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1;1; −1;1; −1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
A. un =

B. un = −1 .

A. un = 1 .

C. un = (−1) n .

D. un =

( −1)

n +1

.

Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −2;0; 2; 4;6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. un = −2n .

B. un =( −2 ) + n .

C. un =
( −2 ) (n + 1) .

D. un =( −2 ) + 2 ( n − 1) .

Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A. un =

1 1
.
3 3n +1

B. un =

1
.
3n +1

1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
3 32 33 34 35
C. un =

1
.
3n

D. un =

1
.
3n −1

u = 5
Câu 10: Cho dãy số ( un ) với  1
.Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un + n
1
un +=

A. un =

(n − 1)n
.
2

C. un = 5 +

(n + 1)n
.
2

B. un = 5 +

(n − 1)n
.
2

D. un = 5 +

(n + 1)(n + 2)
.
2

u1 = 1
Câu 11: Cho dãy số ( un ) với 
2 n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
un +1 = un + ( −1)

đây?
A. un = 1 + n .

B. un = 1 − n .

C. un = 1 + ( −1) .
2n

D. un = n .

u1 = 1
Câu 12: Cho dãy số ( un ) với 
2 n +1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
un +1 = un + ( −1)

đây?
A. un= 2 − n .

2

B. un không xác định.
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
C. un = 1 − n .

D. un = −n với mọi n .

Chủ đề 10. Dãy số

u1 = 1
Câu 13: Cho dãy số ( un ) với 

. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un + n 2
1
un +=

A. un = 1 +

n ( n + 1)( 2n + 1)
.
6

B. un = 1 +

n ( n − 1)( 2n + 2 )
.
6

C. un = 1 +

n ( n − 1)( 2n − 1)
.
6

D. un = 1 +

n ( n + 1)( 2n − 2 )
.
6

Câu 14: Cho dãy số ( un )

u1 = 2
với un +1 − un = 2n − 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới

đây?
A. un =2 + ( n − 1) .
2

C. un =2 + ( n + 1) .

B. un= 2 + n 2 .

2

D. un =2 − ( n − 1) .
2

u1 = −2

Câu 15: Cho dãy số ( un ) với 
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
2
u
=−
−
1
n
+

un



A. un = −

n −1
.
n

B. un =

Câu 16: Cho dãy số ( un )

1
A. un = + 2 ( n − 1) .
2
Câu 17: Cho dãy số ( un )
1
( −1) .   .
2

C. un = −

n +1
.
n

D. un = −

n
.

n +1

1

u1 =
với 
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
2
un +=
un − 2
1

1
B. un = − 2 ( n − 1) .
2

C. un=

1
− 2n .
2

D. un=

1
+ 2n .
2

u1 = −1


với 
un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un +1 = 2

n

A. un =

n +1
.
n

B. un =

1
( −1) .  
2

n +1

.

1
C. un =  
2

n −1

.

D. un =

1
( −1) .  
2

n −1

.

u = 2
Câu 18: Cho dãy số ( un ) với  1
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
un +1 = 2un

A. un = n n −1 .
Câu19 : Cho dãy số ( un )
A. un = −2n −1 .

B. un = 2n .

C. un = 2n +1 .

D. un = 2 .

1

u1 =
với 
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:

2
un +1 = 2un

B. un =

−1
.
2n −1

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. un =

−1
.
2n

D. un = 2n − 2 .

3


Tổng ôn Toán 11

Câu 20: Cho dãy số (un ) được xác định bởi un =
A.

11 17 25 47
; ; ;7;
2 3 4

6

13 17 25 47
; ; ;7;
2 3 4
6

B.

Chủ đề 10. Dãy số

n 2 + 3n + 7
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
n +1
C.

11 14 25 47
; ; ;7;
2 3 4
6

D.

Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2
B. 4
C. 1

11 17 25 47
; ; ;8;

2 3 4
6

D. Không có

u = 1
Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định bởi:  1
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2un −1 + 3 ∀n ≥ 2
n
u=

A. 1;5;13;28;61

B. 1;5;13;29;61

C. 1;5;17;29;61

D. 1;5;14;29;61

u = un2 + 2vn2
u1 3,=
v1 2 và  n +1
Câu 23: Cho hai dãy số (un ), (vn ) được xác định như sau=
với n ≥ 2 .
vn +1 = 2un .vn

Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) .

) (

(

)

2
2

2 +1 + 2 −1
un =
A. 
2n
1 
vn
=
+
− 2 −1
2
1

2 2 
n

(

n

) (

)

2n





2n
2n 

1
2 +1 + 2 −1 
n
u=
2 


C. 
n
2
2n 
1 

=
2 +1 − 2 −1 
v
 n 3 2 


(

) (

(

4

) (

)

)


n
u=

B. 
v=
 n

1
4 
1
2 

(

(

) +(

2 +1

2n

) −(

2 +1

2n

)




n
2 
2 −1 

2 −1

2n

)

2n
2n 


1
2 +1 + 2 −1 
n
u=
2 


D. 
n
2
2n 
1 

=
2 +1 − 2 −1 
v
 n 2 2 


(

) (

(

) (

)

)

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN
3n 2 − 2n + 1
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un =
n +1
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un =−
n
n2 − 1
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un =
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

3n − 1

2n
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai

n + ( −1)
Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un =
n2
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
n

2n − 13
3n − 2
B. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un =
A. Dãy số tăng, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

n 2 + 3n + 1
Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un =
n +1
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un =

A. Dãy số tăng, bị chặn trên
C. Dãy số giảm, bị chặn

1
1 + n + n2

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai

2n
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un =
n!
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
1 1
1
+ 2 + ... + 2 .
2
2 3
n
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un =1 +
A. Dãy số tăng, bị chặn
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un =
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

2n + 1
n+2
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

5


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un = (−1) n
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

3n − 1
Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u=
n
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un =4 − 3n − n 2
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un =
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un =
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un =
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un =
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

n2 + n + 1
n2 − n + 1
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

n +1
n2 + 1
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

1
1
1
+
+ ... +
n.(n + 2)
1.3 2.4
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

1
1
1
+
+ ... +
1.3 3.5
( 2n − 1)( 2n + 1)
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

u1 = 1


Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 
un −1 + 2
=
, n≥2
un u + 1
n −1


A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

u1 = 1

Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 
3
un +1 = 3 un + 1, n ≥ 1

A. Tăng
C. Không tăng, không giảm

B. Giảm
D. A, B, C đều sai

u1 = 2


Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 
un2 + 1
=
u
 n +1
4


A. Tăng
C. Không tăng, không giảm
Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi=
un
đây là đúng?
A. Tăng
C. Không tăng, không giảm

n ≥1

B. Giảm
D. A, B, C đều sai
2010 + 2010 + ... + 2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau

B. Giảm
D. A, B, C đều sai

u1 1,=
u2 2
=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 22: Cho dãy số (un ) : 
3 u
3 u
+
,
n
≥
3
un =
n −1
n−2

A. Tăng, bị chặn
6

B. Giảm, bị chặn

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

C. Không tăng, không giảm

Câu 23: Cho dãy số=
(un ) : un

Chủ đề 10. Dãy số

D. A, B, C đều sai

an + 2
, n ≥ 1 . Khi a = 4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy
2n − 1

u1 2,=
u2
A.=

10
14
18
22
=
, u3
=
, u4

=
, u5
3
5
7
9

u1 6,=
u2
B.=

10
14
18
22
=
, u3
=
, u4
=
, u5
3
5
7
9

u1 6,=
u2
C.=

1
1
18
22
=
, u3
=
, u4
=
, u5
3
5
7
9

10
4
8
22
=
, u3
=
, u4
=
, u5
3
5
7
9
Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.

u1 6,=
u2
D.=
A. a < 2

B. a < −2

C. a < 4

D. a < −4

u = 2
Câu 25: Cho dãy số (un ) :  1
Viết 6 số hạng đầu của dãy
un = 3un −1 − 2, n = 2,3..

u1 2,=
u2 5,=
u3 10,=
u4 28,=
u5 82,=
u6 244
A.=

u1 2,=
u2 4,=
u3 10,=
u4 18,=
u5 82,=
u6 244

B.=
u1 2,=
u2 4,=
u3 10,=
u4 28,=
u5 72,=
u6 244
C.=

u1 2,=
u2 4,=
u3 10,=
u4 28,=
u5 82,=
u6 244
D.=
Câu 26: Cho dãy số un =−5.2n −1 + 3n + n + 2 , n = 1, 2,... Viết 5 số hạng đầu của dãy

u1 1,=
u2 3,=
u3 12,=
u4 49,=
u5 170
A.=

u1 1,=
u2 3,=
u3 12,=
u4 47,=
u5 170

B.=
u1 1,=
u2 3,=
u3 24,=
u4 47,=
u5 170
C.=
u1 1,=
u2 3,=
u3 12,=
u4 47,=
u5 178
D.=
Câu 27:
1. Cho dãy số (un ) : un = (1 − a ) n + (1 + a ) n ,trong đó a ∈ (0;1) và n là số nguyên dương.
a)Viết công thức truy hồi của dãy số

u1 = 2

A. 
n
n
u = un + a (1 + a ) + (1 − a ) 


 n +1

u1 = 2

B. 

n
n
u = un + 2a (1 + a ) − (1 − a ) 


 n +1

u1 = 2

C. 
n
n


un +1 = 2un + a (1 + a ) − (1 − a ) 

u1 = 2

D. 
n
n


un +1 = un + a (1 + a ) − (1 − a ) 

b)Xét tính đơn điệu của dãy số
A. Dãy (un ) là dãy số tăng.

B. Dãy (un ) là dãy số giảm.

C. Dãy (un ) là dãy số không tăng, không giảm

D. A, B, C đều sai.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

7


Tổng ôn Toán 11

u1 = 1

Câu 28: Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 
.
1
un = 3un −1 + 2u − 2, n ≥ 2
n −1


Chủ đề 10. Dãy số

Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un > 0, ∀n

u1 1,=
u2
A.=

3
47

227
, u3
,=
=
u4
2
6
34

u1 1,=
u2
B.=

3
17
227
=
u4
, u3
,=
2
6
34

u1 1,=
u2
C.=

3
19

227
u4
=
, u3
,=
2
6
34

u1 1,=
u2
D.=

3
17
2127
=
, u3
,=
u4
2
6
34

u0 = 2011

Câu 29: Cho dãy số (un ) được xác định bởi : 
un2
u
=

∀n 1, 2,...
 n +1 u + 1 ,=
n


a) Khẳng định nào sau đây đúng
A. Dãy (un ) là dãy giảm

B. Dãy (un ) là dãy tăng

C. Dãy (un ) là dãy không tăng, không giảm

D. A, B, C đều sai

b) Tìm phần nguyên của un với 0 ≤ n ≤ 1006 .
A. =
[un ] 2014 − n

un ] 2011 − n
B. [=

un ] 2013 − n
C. [=

D. =
[un ] 2012 − n

=
u2 6
u 2,=

Câu 30: Cho dãy số (un ) được xác định bởi:  1
un + 2 = un + 2un +1 , ∀n = 1, 2,...

a n + bn
a) Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 − 2 x − 1 =0 . Chứng minh rằng: u=
n
(−1) n −1.8 .
b) Chứng minh rằng: un2+1 − un + 2un =
n +1
n+2
C. Tăng, chặn dưới

Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un =
A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

D. Giảm, chặn trên

Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un = n3 + 2n + 1
A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

u1 = 2


Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : 
un + 1
, ∀n ≥ 2
un +1
=
2

A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

u2 3
=
u1 2,=
Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau: 
.
un + un −1 , ∀n ≥ 2
un +=
1

A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

 x0 = 1

yn xn +1 − xn . Khẳng định nào
Câu 35: Cho dãy số ( xn ) : 
. Xét dãy số =
2n n −1
=
x
=
x
,
n
2,3,...
∑
n
i

(n − 1) 2 i =1


đúng về dãy ( yn )
A. Tăng, bị chặn
8

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Câu 36: Cho dãy số (Un ) với Un =

Chủ đề 10. Dãy số

−n
.Khẳng định nào sau đây là đúng?
n +1

−1 −2 −3 −5 −5
; ; ; ; .
2 3 4 5 6
−1 −2 −3 −4 −5
B. 5 số số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ;
2 3 4 5 6 .
A. Năm số hạng đầu của dãy là :

C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
Câu 37: Cho dãy số ( un ) với un =

1
.Khẳng định nào sau đây là sai?
n +n

2

1 1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ;
2 6 12 20 30
B. Là dãy số tăng.
C. Bị chặn trên bởi số M =

1
.
2

D. Không bị chặn.

−1
.Khẳng định nào sau đây là sai?
n
−1 −1 −1 −1
A. Năm số hạng đầu của dãy là : −1; ; ; ;
2 3 4 5 .

Câu 38: Cho dãy số ( un ) với un =

B. Bị chặn trên bởi số M = −1 .
C. Bị chặn trên bởi số M = 0 .
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M = −1 .
Câu 39: Cho dãy số ( un ) với un = a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số có un +1 = a.3n +1 .

3.a .

B. Hiệu số un +1 − un =

C. Với a > 0 thì dãy số tăng

D. Với a < 0 thì dãy số giảm.

Câu 40: Cho dãy số ( un ) với un =
A. Dãy số có un +1 =

a −1
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
n2

a −1
.
n2 + 1

B. Dãy số có : un +1 =

C. Là dãy số tăng.

2

.

a −1
( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
n2

a −1

.
(n + 1) 2

C. Hiệu un +1 − un = ( a − 1) .

( n + 1)

D. Là dãy số tăng.

Câu 41: Cho dãy số ( un ) với un =
A. un +1 =

a −1

B. Hiệu un +1 − un =(1 − a ) .
2n − 1

( n + 1)

2

n2

.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

2n − 1

( n + 1)

2

n2

.

D. Dãy số tăng khi a < 1 .

9


Tổng ôn Toán 11

an 2
( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
n +1

Câu 42: Cho dãy số ( un ) với un =

Chủ đề 10. Dãy số

a. ( n + 1)
A. un +1 =
.
n+2

a. ( n 2 + 3n + 1)
B. un +1 − un =
.

(n + 2)(n + 1)

C. Là dãy số luôn tăng với mọi a .

D. Là dãy số tăng với a > 0 .

2

Câu 43: Cho dãy số ( un ) với un =
A. Số hạng thứ 5 của dãy số là

k
( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
3n

k
.
35

k
.
3n +1

D. Là dãy số tăng khi k > 0 .

C. Là dãy số giảm khi k > 0 .
Câu 44: Cho dãy số ( un ) với un =
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là

B. Số hạng thứ n của dãy số là

(−1) n −1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n +1

1
.
10

C. Đây là một dãy số giảm.
Câu 45: Cho dãy số ( un ) có u=
n

B. Số hạng thứ 10 của dãy số là

−1
11

.

D. Bị chặn trên bởi số M = 1 .

n − 1 với n ∈ N * . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. 5 số hạng đầu của dãy là: 0;1; 2; 3; 5 .

B. Số hạng un +1 = n .

C. Là dãy số tăng.

D. Bị chặn dưới bởi số 0 .

Câu 45: Cho dãy số ( un ) có un =−n 2 + n + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 5 số hạng đầu của dãy là: −1;1;5; −5; −11; −19 .
B. un +1 =−n 2 + n + 2 .

1.
C. un −1 − un =
D. Là một dãy số giảm.
Câu 46: Cho dãy số ( un ) với un =
A. un +1 =

−1

( n + 1)

2

+1

−1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n +1
2

.

C. Đây là một dãy số tăng.

B. un > un +1 .

D. Bị chặn dưới.

π
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n +1
π
A. Số hạng thứ n + 1 của dãy: un +1 = sin
B. Dãy số bị chặn.
n+2

Câu 47: Cho dãy số ( un ) với un = sin

C. Đây là một dãy số tăng.

10

D. Dãy số không tăng không giảm.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

C – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: −1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

C. u10 = 1414

B. u10 = 71

A. u10 = 97

D. u10 = 971

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Xét dãy (un ) có dạng: un = an3 + bn 2 + cn + d
a + b + c + d =−1
8a + 4b + 2c + d =
3

Ta có hệ: 
19
27 a + 9b + 3c + d =
64a + 16b + 4c + d =
53
Giải hệ trên ta tìm được: a =
1, b =
0, c =
−3, d =
1

⇒ un = n3 − 3n + 1 là một quy luật.
Số hạng thứ 10: u10 = 971 .
Câu 2: Cho dãy số ( un ) với un =

a. ( n + 1)
A. un +1 =
.
n+2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2

an 2
(a: hằng số). un +1 là số hạng nào sau đây?
n +1

a. ( n + 1)
B. un +1 =
.
n +1
2

a.n 2 + 1
C. un +1 =
.
n +1

an 2
D. un +1 =
.
n+2

a. ( n + 1)
a ( n + 1)

Ta
có un +1 =
.
=
( n + 1) + 1 ( n + 2 )2
2

2

Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

un 5(n − 1) .
A. =

B. un = 5n .

C. un = 5 + n .

5.n + 1 .
D. u=
n

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
5 = 5.1
10 = 5.2
15 = 5.3

20 = 5.4

25 = 5.5

Suy ra số hạng tổng quát un = 5n .
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

7n + 7 .
A. u=
n

B. un = 7.n .

7.n + 1 .
C. u=
n

D. un : Không viết được dưới dạng công thức.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

11


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
=

8 7.1 + 1
15
= 7.2 + 1
= 7.3 + 1
22
= 7.4 + 1
29

= 7.5 + 1
36

7n + 1 .
Suy ra số hạng tổng quát u=
n
1 2 3 4
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
2 3 4 5
n +1
.
n
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
A. un =

0=

B. un =

n

.
n +1

C. un =

n −1
.
n

D. un =

n2 − n
.
n +1

0
0 +1

1
1
=
2 1+1
2
2
=
3 2 +1
3
3
=
4 3 +1

4
4
=
5 4 +1
n
.
n +1
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0, 001;0, 0001;... . Số hạng tổng quát của dãy số này
Suy ra un =

có dạng?
A. un =

0,
00...01



 .
n chöõ soá 0
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:

B. un =

1
0,
00...01
. C. un = n −1 .





10
n−1 chöõ soá 0

D. un =

1
.
10n +1

Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0
Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0
Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0
…………………………….
Suy ra un có n chữ số 0 .
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1;1; −1;1; −1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
12

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

C. un = (−1) n .

B. un = −1 .

A. un = 1 .

Chủ đề 10. Dãy số

D. un =

( −1)

n +1

.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
Các số hạng đầu của dãy là ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ;... ⇒ un =
( −1) .
1

2

3

4

n

5

Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −2;0; 2; 4;6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A. un = −2n .

B. un =( −2 ) + n .

C. un =
( −2 ) (n + 1) .

D. un =( −2 ) + 2 ( n − 1) .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là ( −2 ) nên un =( −2 ) + 2. ( n − 1) .
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là:

1 1
.
3 3n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. un =

5 số hạng đầu là

B. un =

1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
3 32 33 34 35

1

.
3n +1

C. un =

1
.
3n

D. un =

1
.
3n −1

1 1 1 1 1
1
; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;... nên un = n .
31 3 3 3 3
3

u = 5
Câu 10: Cho dãy số ( un ) với  1
.Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un + n
1
un +=

A. un =

(n − 1)n
.
2

(n + 1)n
.
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
C. un = 5 +

Ta có un = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n − 1 = 5 +

B. un = 5 +

(n − 1)n
.
2

D. un = 5 +

(n + 1)(n + 2)
.
2

n ( n − 1)
.
2

u1 = 1

Câu 11: Cho dãy số ( un ) với 
2 n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
un +1 = un + ( −1)

đây?
A. un = 1 + n .

B. un = 1 − n .

C. un = 1 + ( −1) .
2n

D. un = n .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: un +1 = un + ( −1) = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4;... Dễ dàng dự đoán được un = n .
2n

Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

13


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

+ Với n =1 ⇒ u1 =1 . Vậy (*) đúng với n = 1

+ Giả sử (*) đúng với mọi=
n k ( k ∈ * ) , ta có: uk = k . Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n= k + 1
, tức là: uk +1= k + 1
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số ( un ) ta có: uk +1 = uk + ( −1) = k + 1 . Vậy (*) đúng với mọi
2k

n ∈ * .
u1 = 1
Câu 12: Cho dãy số ( un ) với 
2 n +1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
un +1 = un + ( −1)

đây?
A. un= 2 − n .

B. un không xác định.

C. un = 1 − n .

D. un = −n với mọi n .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

0; u3 =
−1; u4 =
−2 ,.. Dễ dàng dự đoán được un= 2 − n .
Ta có: u2 =

u1 = 1
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Câu 13: Cho dãy số ( un ) với 
un + n 2
1
un +=

A. un = 1 +

n ( n + 1)( 2n + 1)
.
6

n ( n − 1)( 2n − 1)
.
6
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
C. un = 1 +

B. un = 1 +

n ( n − 1)( 2n + 2 )
.
6

D. un = 1 +

n ( n + 1)( 2n − 2 )
.

6

u1 = 1

2
u2= u1 + 1
n ( n − 1)( 2n − 1)
2

Ta có: u=
. Cộng hai vế ta được un =1 + 12 + 22 + ... + ( n − 1) =1 +
u2 + 2 2
3
6
...

u = u + ( n − 1)2
n −1
 n

Câu 14: Cho dãy số ( un )

u1 = 2
với un +1 − un = 2n − 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới

đây?
A. un =2 + ( n − 1) .
2

B. un= 2 + n 2 .

C. un =2 + ( n + 1) .
2

D. un =2 − ( n − 1) .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

14

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

u1 = 2
u= u + 1
1
 2
2
u
u
=
Ta có:  3
. Cộng hai vế ta được un = 2 + 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 3) = 2 + ( n − 1)
2 +3

...

un = un −1 + 2n − 3

u1 = −2

Câu 15: Cho dãy số ( un ) với 
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un +1 =−2 − u
n


n −1
.
n
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. un = −

B. un =

n +1
.
n

C. un = −

n +1
.
n

D. un = −

n
.
n +1

n +1
3
4
5
Ta có: u1 =
.
− ; u2 =
− ; u3 =
− ;... Dễ dàng dự đoán được un = −
2
3
4
n
1

u =
Câu 16: Cho dãy số ( un ) với  1 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un +=
un − 2
1

1

A. un = + 2 ( n − 1) .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

1
B. un = − 2 ( n − 1) .
2

C. un=

1
− 2n .
2

D. un=

1
+ 2n .
2

1

u1 = 2

u2= u1 − 2
1
1

u2 − 2 . Cộng hai vế ta được un = − 2 − 2... − 2 = − 2 ( n − 1) .

Ta có: u=
3
2
2
...

un un −1 − 2
=

Câu 17: Cho dãy số ( un )
n

1
A. un = ( −1) .   .
2

u1 = −1

với 
un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
=
u
 n +1 2
1
B. un = ( −1) .  
2

n +1

.

1
C. un =  
2

n −1

.

1
D. un = ( −1) .  
2

n −1

.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

15


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

u1 = −1


u2 = u1
2

n −1

u1.u2 .u3 ...un −1
u2
1
1
⇔ un =−
Ta có: u3 =
. Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un =−
( 1) .
( 1) . n−1 =−
( 1) .  
2
2.2.2...2
2
2




n −1 lan
...

un = un −1

2

u = 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
Câu 18: Cho dãy số ( un ) với  1
un +1 = 2un

A. un = n n −1 .

B. un = 2n .

C. un = 2n +1 .

D. un = 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

u1 = 2
u = 2u
2
1

u1.u2 .u3 ...un 2.2n −1.u1.u2 =
...un −1 ⇔ un 2n
Ta có: u3 = 2u2 . Nhân hai vế ta được =
...

un = 2un −1
Câu19 : Cho dãy số ( un )
A. un = −2n −1 .

1

u1 =
với 
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
2
un +1 = 2un

B. un =

−1
.
2n −1

C. un =

−1
.
2n

D. un = 2n − 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

1

u1 = 2

u2 = 2u1

1 n −1

.2 .u1.u2=
...un −1 ⇔ un 2n − 2
Ta có: u3 = 2u2 . Nhân hai vế ta được=
u1.u2 .u3 ...un
2
...

un = 2un −1

Câu 20: Cho dãy số (un ) được xác định bởi un =
A.

11 17 25 47
; ; ;7;
2 3 4
6

B.

13 17 25 47
; ; ;7;
2 3 4
6

n 2 + 3n + 7
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
n +1
C.

11 14 25 47
; ; ;7;
2 3 4
6

D.

11 17 25 47
; ; ;8;
2 3 4
6

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có năm số hạng đầu của dãy
16

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

12 + 3.1 + 7 11
17
25
47
=

u2
=
, u3
=
, u4 7,=
u5
,=
1+1
2
3
4
6
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2
B. 4
C. 1
=
u1

D. Không có

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

5
5
, do đó un nguyên khi và chỉ khi
nguyên hay n + 1 là ước của 5. Điều đó
n +1
n +1

xảy ra khi n + 1 = 5 ⇔ n = 4
Ta có: un = n + 2 +

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4 = 7 .
u = 1
Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định bởi:  1
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2un −1 + 3 ∀n ≥ 2
n
u=

A. 1;5;13;28;61

B. 1;5;13;29;61

C. 1;5;17;29;61

D. 1;5;14;29;61

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

u1 = 1; u2 = 2u1 + 3= 5 ; u3= 2u2 + 3= 13; u4= 2u3 + 3= 29
u5= 2u4 + 3= 61 .
un +=
un2 + 2vn2
1
u1 3,=
v1 2 và 

Câu 23: Cho hai dãy số (un ), (vn ) được xác định như sau=
với n ≥ 2 .
vn +1 = 2un .vn

Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) .

) (

(

)

2
2

u
=
+
+
−
2
1
2
1
 n
A. 
2n
1 

vn

=
2 +1 − 2 −1

2 2 
n

(


n
u=

B. 
v=
 n

n

) (

)

2n





2n
2n 


1
=
+
+
−
2
1
2
1
u
 n 2




C. 
n
2
2n 
1 
v
=
+
−
−
2
1
2
1


 n 3 2 


(

) (

(

1
2 

(

2 +1

) (
2n

+

) −(
2n

)





n
2 
2 −1 

2 −1

2n

)

2n
2n 

1
=
+
+
−
2
1
2
1
u
 n 2




D. 
n

2
2n 
1 
v
=
+
−
−
2
1
2
1

 n 2 2 


)

) (

(

2 +1

1
4 

(

)

) (

(

) (

)

)

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

(

)

Chứng minh un − 2vn = 2 − 1

2n

(2)

(

Ta có: un − 2vn =un2−1 + 2vn2−1 − 2 2un −1vn −1 = un −1 − 2vn −1

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

)

2

17


Tổng ôn Toán 11

(

)

3 − 2 2 =2 − 1
• Ta có: u1 − 2v1 =

(

)

• Giả sử uk − 2vk = 2 − 1

2

Chủ đề 10. Dãy số

nên (2) đúng với n = 1

2k

, ta có:

(

uk +1 − 2vk +1 =
uk − 2vk

)=
( 2 − 1)
2

2k +1

Vậy (2) đúng với ∀n ≥ 1 .

(

)

Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: un + 2vn = 2 + 1

(

) ( )
( ) ( )

2
2

2

=
2
+
1
+
2
−
1
u
n

Do đó ta suy ra 
2n
2 2v =
2
+
1
− 2 −1
n

n

2n

n

2n

2n
2n 


1
u
=
+
+
−
2
1
2
1
 n 2




Hay 
.
n
2
2n 
1

v
=
2 +1 − 2 −1 
 n 2 2 


) (

(

(

18

) (

)

)

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un =
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

3n 2 − 2n + 1
n +1
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:=
un +1 − un

5n 2 + 10n + 2
> 0 nên dãy (un ) là dãy tăng
( n + 1)( n + 2 )

Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un =−
n
n2 − 1
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:
Ta có: un +1 − un
=

1

( n + 1) + ( n + 1)

2

−1

−

1
n + n2 − 1

<0

Chọn B.
Nên dãy (un ) giảm.
Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un =
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

3n − 1
2n
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: un +1 − un = un +1 − un =

3n + 1
> 0 ⇒ dãy (un ) tăng.
2n +1

n + ( −1)
Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un =
n2
A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
n

u > u1
1
2
Ta có: u1 =
0; u2 ==
; u3
⇒ 2
⇒ Dãy số không tăng không giảm.
2
9
u3 < u2

Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un =

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

2n − 13
3n − 2
19


Tổng ôn Toán 11

A. Dãy số tăng, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

B. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai

Chủ đề 10. Dãy số

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

2n − 11 2n − 13
34
−
=
> 0 với mọi n ≥ 1 .
3n + 1 3n − 2 (3n + 1)(3n − 2)

Ta có: un +1 −=
un

Suy ra un +1 > un ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un ) là dãy tăng.
Mặt khác: un =

2
35
2
−
⇒ −11 ≤ un <
∀n ≥ 1

3 3(3n − 2)
3

Vậy dãy (un ) là dãy bị chặn.

n 2 + 3n + 1
n +1
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un =
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

(n + 1) 2 + 3(n + 1) + 1 n 2 + 3n + 1
=
−
Ta có: un +1 − un
n+2
n +1

n 2 + 5n + 5 n 2 + 3n + 1
−
n+2
n +1

=

=
=

(n 2 + 5n + 5)(n + 1) − (n 2 + 3n + 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)
n 2 + 3n + 3
> 0 ∀n ≥ 1
(n + 1)(n + 2)

⇒ un +1 > un ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un ) là dãy số tăng.
n 2 + 2n + 1
un >
= n + 1 ≥ 2 ⇒ dãy (un ) bị chặn dưới.
n +1
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un =

1

1 + n + n2
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai

A. Dãy số tăng, bị chặn trên
C. Dãy số giảm, bị chặn
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: un > 0 ∀n ≥ 1
un +1
=
un

n2 + n + 1
=
(n + 1) 2 + (n + 1) + 1

n2 + n + 1
< 1 ∀n ∈  *
n 2 + 3n + 3

⇒ un +1 < un ∀ ≥ 1 ⇒ dãy (un ) là dãy số giảm.
20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

Mặt khác: 0 < un < 1 ⇒ dãy (un ) là dãy bị chặn.

2n
n!
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un =
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
Hướng dẫn giải:

Chọn C.
Ta có:

un +1
2n +1 2n
2n +1 n !
2
: =
.=
=
< 1 ∀n ≥ 1
n
(n + 1)! n ! (n + 1)! 2
un
n +1

Mà un > 0 ∀n ⇒ un +1 < un ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un ) là dãy số giảm.
Vì 0 < un ≤ u1 = 2 ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un ) là dãy bị chặn.

1 1
1
+ 2 + ... + 2 .
2
2 3
n
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un =1 +
A. Dãy số tăng, bị chặn

C. Dãy số giảm, bị chặn trên
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

− un
Ta có: un +1 =
Do un < 1 +

1
> 0 ⇒ dãy (un ) là dãy số tăng.
(n + 1) 2

1
1
1
1
+
+ ... +
= 2+
1.2 2.3
(n − 1)n
n

⇒ 1 < un < 3 ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un ) là dãy bị chặn.

Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un =
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

2n + 1
n+2
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có 0 < un < 2 ∀n nên dãy (un ) bị chặn
Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un = (−1) n
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: −1 ≤ un ≤ 1 ⇒ (un ) là dãy bị chặn

3n − 1
Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u=
n
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

21

Tổng ôn Toán 11
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

Chủ đề 10. Dãy số

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:
Ta có: un ≥ 2 ∀n ⇒ (un ) bị chặn dưới; dãy (un ) không bị chặn trên.
Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un =4 − 3n − n 2
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: un =

25
3
25
− (n + )2 <

⇒ (un ) bị chặn trên; dãy (un ) không bị chặn dưới.
4
2
4

n2 + n + 1
Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un = 2
n − n +1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: 1 < un < 2 ∀n ⇒ (un ) bị chặn
Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un =
A. Bị chặn

n +1
n2 + 1

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

Chọn A.
Ta có: 0 < un < 2 ∀n ⇒ (un ) bị chặn

Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un =
A. Bị chặn

1
1
1
+
+ ... +
1.3 2.4
n.(n + 2)

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: 0 < un <

1
1
1
1
+
+ ... +

=1 −
<1
1.2 2.3
n.(n + 1)
n +1

Dãy (un ) bị chặn.
Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un =
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

1
1
1
+
+ ... +
1.3 3.5
( 2n − 1)( 2n + 1)
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

un
Ta có: =
22

n
⇒ 0 < un < 1 , dãy (un ) bị chặn.
2n + 1
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

u1 = 1


Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 
un −1 + 2
=
, n≥2
un u + 1
n −1


A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

Chủ đề 10. Dãy số

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

Chọn A.
Bằng quy nạp ta chứng minh được 1 < un < 2 nên dãy (un ) bị chặn.
u1 = 1

Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 
3
un +1 = 3 un + 1, n ≥ 1

A. Tăng
C. Không tăng, không giảm

B. Giảm
D. A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: un +1 =

3

un3 + 1 ⇒ un +1 > 3 un3 = un ∀n ⇒ dãy số tăng

u1 = 2


Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 
un2 + 1
=
u
 n +1

4


A. Tăng
C. Không tăng, không giảm

n ≥1

B. Giảm
D. A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

u 2 − 4un + 1
Ta có: un +1 − un =n
4
Bằng quy nạp ta chứng minh được 2 − 3 < un < 2 ∀n

⇒ un +1 − un < 0 . Dãy (un ) giảm.

Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi=
un

2010 + 2010 + ... + 2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau

đây là đúng?
A. Tăng
C. Không tăng, không giảm

B. Giảm
D. A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

un2+1 2010 + un ⇒ un +1 − un =
−un2+1 + un +1 + 2010
Ta có =
Bằng quy nạp ta chứng minh được un <

1 + 8041
∀n
2

Suy ra un +1 − un > 0 ⇒ dãy (un ) là dãy tăng.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

23


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

u1 1,=
u2 2
=
Câu 22: Cho dãy số (un ) : 

. Khẳng định nào sau đây đúng?
3 u
3
un =
n −1 + un − 2 , n ≥ 3

A. Tăng, bị chặn
C. Không tăng, không giảm

B. Giảm, bị chặn
D. A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Chứng minh bằng quy nạp : uk +1 =3 uk + 3 uk − 2 > 3 uk −1 + 3 uk − 2 =uk
Ta chứng minh: 0 < un < 3 .

(un ) : un
Câu 23: Cho dãy số=

an + 2
, n ≥ 1 . Khi a = 4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy
2n − 1

u1 2,=
u2
A.=

10
14

18
22
=
, u3
=
, u4
=
, u5
3
5
7
9

u1 6,=
u2
B.=

10
14
18
22
=
, u3
=
, u4
=
, u5
3
5
7

9

C.=
u1 6,=
u2

1
1
18
22
=
=
=
, u3
, u4
, u5
3
5
7
9

u1 6,=
u2
D.=

10
4
8
22
=

=
=
, u3
, u4
, u5
3
5
7
9

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với a = 4 ta có: un =

4n + 2
. Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là
2n − 1

10
14
18
22
=
, u3
=
, u4
=
, u5
.
3

5
7
9
Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.
=
u1 6,=
u2

A. a < 2

B. a < −2

C. a < 4

D. a < −4

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có dãy số (un ) tăng khi và chỉ khi:

=
un +1 − un

−a − 4
> 0, ∀n ∈  * ⇔ −a − 4 > 0 ⇔ a < −4 .
(2n + 1)(2n − 1)

u = 2
Câu 25: Cho dãy số (un ) :  1
Viết 6 số hạng đầu của dãy

un = 3un −1 − 2, n = 2,3..

u1 2,=
u2 5,=
u3 10,=
u4 28,=
u5 82,=
u6 244
A.=
u1 2,=
u2 4,=
u3 10,=
u4 18,=
u5 82,=
u6 244
B.=
u1 2,=
u2 4,=
u3 10,=
u4 28,=
u5 72,=
u6 244
C.=
u1 2,=
u2 4,=
u3 10,=
u4 28,=
u5 82,=
u6 244
D.=

Hướng dẫn giải:
24

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 10. Dãy số

Chọn D.

u1 2,=
u2 4,=
u3 10,=
u4 28,=
u5 82,=
u6 244
Ta có:=
Câu 26: Cho dãy số un =−5.2n −1 + 3n + n + 2 , n = 1, 2,... Viết 5 số hạng đầu của dãy

u1 1,=
u2 3,=
u3 12,=
u4 49,=
u5 170
A.=
u1 1,=
u2 3,=
u3 12,=

u4 47,=
u5 170
B.=
u1 1,=
u2 3,=
u3 24,=
u4 47,=
u5 170
C.=
u1 1,=
u2 3,=
u3 12,=
u4 47,=
u5 178
D.=
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

u1 1,=
u2 3,=
u3 12,=
u4 47,=
u5 170
Ta có:=
Câu 27:
1. Cho dãy số (un ) : un = (1 − a ) n + (1 + a ) n ,trong đó a ∈ (0;1) và n là số nguyên dương.
a)Viết công thức truy hồi của dãy số

u1 = 2


A. 
n
n


un +1 = un + a (1 + a ) + (1 − a ) 

u1 = 2

B. 
n
n


un +1 = un + 2a (1 + a ) − (1 − a ) 

u1 = 2

C. 
n
n


un +1 = 2un + a (1 + a ) − (1 − a ) 

u1 = 2

D. 
n
n



un +1 = un + a (1 + a ) − (1 − a ) 

b)Xét tính đơn điệu của dãy số
A. Dãy (un ) là dãy số tăng.

B. Dãy (un ) là dãy số giảm.

C. Dãy (un ) là dãy số không tăng, không giảm

D. A, B, C đều sai.

Hướng dẫn giải:

u1 = 2

a) Ta có: 
n
n
u = un + a (1 + a ) − (1 − a ) 


 n +1
b) Dãy (un ) là dãy số tăng.
u1 = 1

Câu 28: Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 
.
1

3
2,
2
u
u
n
=
+
−
≥
1
n
n
−

2un −1


Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un > 0, ∀n

u1 1,=
u2
A.=

3
47
227
=
u4
, u3

,=
2
6
34

u1 1,=
u2
B.=

3
17
227
=
, u3
,=
u4
2
6
34

u1 1,=
u2
C.=

3
19
227
=
, u3
,=

u4
2
6
34

u1 1,=
u2
D.=

3
17
2127
=
, u3
,=
u4
2
6
34

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

25