Giáo trình thủy lực cấp thoát nước - Chương 3

26
Chơng III
Động lực học chất lỏng

3.1. Khái niệm chung.

Thuỷ động lực học (hay là động lực học của chất lỏng).Nghiên cứu các qui
luật đặc trng chuyển động của chất lỏng và ứng dụng các quy luật ấy vào thực tiễn
sản xuất.
Nhiệm vụ chủ yếu của thuỷ động lực học là xác lập liên hệ giữa những trị số
cơ bản đặc trng cho chuyển động nh vận tốc dòng chảy U, độ sâu h và áp suất
thuỷ động p sinh ra trong chất lỏng chuyển động . Cần chú ý rằng áp suất thuỷ động
có hớng khác nhau tuỳ theo chất lỏng ta nghiên cứu là chất lỏng thực hay chất lỏng
lý tởng. Trong chất lỏng lý tởng áp suất thuỷ động hớng theo pháp tuyến của mặt
chịu tác dụng ; còn trong chất lỏng thực áp suất thuỷ động vẫn hớng vào mặt tác
dụng, nhng không hớng theo pháp tuyến, vì nó là tổng hợp của thành phần ứng
suất pháp tuyến và thành phần ứng suất tiếp tuyến do lực nhót gây ra.
Khi nghiên cứu chuyển động của chất lỏng, có thể dùng phơng pháp Lagrangiơ
hoặc phơng pháp Ơle.
- Phơng pháp Lagrangiơ khảo sát chuyển động từng phần tử chất lỏng riêng
biệt. Giả sử ở thời điểm ban đầu t
o
, phần tử chất lỏng có vị trí A
o
(a,b,c) ; ở thời điểm
t, nó chuyển sang toạ độ A(x,y,z).Gọi
r

là véc tơ bán kính chuyển động của mỗi
phần tử ở thời điểm t :

r

(a,b,c,t) ; (3-1)
hay là hình chiếu lên các trục toạ độ (hình 3-1) :
x = x
1
(a,b,c,t) ;
y = y
1
(a,b,c,t) ; (3-2)
z = z
3
(a,b,c,t).
Nếu biết x
1
, y
1
, z
1
ta sẽ biết chuyển động của phần tử chất lỏng và quỹ đạo của nó và
từ đó suy ra vận tốc
u
d r
dt


= , gia tốc w
d r
dt

=
2
2
a,b,c,t -gọi là biến số Lagrangiơ.
- Phơng pháp Ơle nghiên cứu vận tốc của các phần tử chất lỏng tại nhiều
điểm trong dòng chảy ở những thời điểm khác nhau.


27


Hình 3-1 Hình 3-2

Ví dụ ta xét một điểm M cố định trong không gian xác định bởi véc tơ bán
kính
r

(x,y,z). Tại thời điểm T ta xác định đợc véc tơ vận tốc của phần tử chất lỏng
đi qua điểm đó (hình 3-2):

u u x y z t

= ( , , , )
(3-3)
Khảo sát chuyển động của nhiều phần tử chất lỏng tại các điểm cố định trong
dòng chảy.ứng với thời điểm t xác định, ta có các véc tơ vận tốc phân bố tại các
điểm trong không gian, nghĩa là ta có trờng vận tốc.
Hình chiếu của

u

lên các trục toạ độ
u
x
= u(x,y,z,t)
u
y
= V(x,y,z,t) (3-4)
u
z
= W(x,y,z,t)
Gia tốc :
W
d u
dt
u
t
u
x
dx
dt
u
u
dy
dt
u
z
dz
dt

= = + + +










= + + +









u
t
u
x
u
u
y

u
u
z
u
x y z
(3-5)
x,y,z,t gọi là biến số Ơle.
So sánh hai phơng pháp : Phơng pháp Lagrangiơ nghiên cứu chuyển động
bằng cách gắn chặt vào một phần tử chất lỏng, do đó tìm đợc quĩ đạo của nó (nh
chuyển động sóng). Còn phơng pháp Ơle xác định đợc trờng vận tốc và sẽ tìm
đợc dòng của các phần tử chất lỏng. Có thể chuyển từ biến số Lagrangiơ sang biến
số Ơle và ngợc lại.


28
3.2. các đặc trng động học của chất lỏng.

3.2.1. Phân loại chuyển động
- Căn cứ vào tính chất chảy, ngời ta phân ra chuyển động dừng và không dừng :
+ Chuyển động dừng (chảy ổn định) : các yếu tố chuyển động không biến đổi theo
thời gian :
u = u(x,y,z) ; p = p(x,y,z) ; h = h(x,y,z) ...
+ Chuyển động không dừng (chảy không ổn định) : Các yếu tố chuyển động biến
đổi theo thời gian :
u = u(x,y,z,t) ; p = p(x,y,z,t) ; h = h(x,y,z,t) ...
Trong chuyển động dừng đợc chia ra chảy đều (sự phân bố vận tốc trên mọi mặt
cắt dọc theo dòng chảy không đổi -


u

x
const= và chảy không đều


u
x
const ).
Theo điều kiện và nguyên nhân chảy ngời ta phân ra chảy có áp (chảy không có
mặt thoáng) và chảy không có áp (chảy có mặt thoáng)

3.2.2. Đờng dòng, dòng nguyên tố.
1) Trong một trờng véc tơ vận tốc, ta có thể tìm đợc một đờng cong sao cho nó
tiếp tuyến với các véc tơ vận tốc qua các điểm của nó. Đờng cong đó gọi là đờng
dòng (hình3-3).
Nếu gọi dr là một phân tố của đờng dòng và u là véc tơ vận tốc tiếp tuyến với phân
tố đó, ta có phơng trình đờng dòng :

u d r u
dy
v
dz
w

= = = / / d r
dx
u
0
(3-6)

M

M
1
M
2
u
u
1
u
2
ds

Hình 3-3 Hình 3-4

*Chú ý : - Tại mỗi điểm trong không gian, ở mỗi thời điểm chỉ đi qua một đờng
dòng, nghĩa là các đờng dòng không cắt nhau.

29
- Cần phân biệt quĩ đạo với đờng dòng : Quỹ đạo đặc trng cho sự biến
thiên vị trí của phần tử chất lỏng theo thời gian, còn đờng dòng biểu diễn phơng
vận tốc của các phần tử chất lỏng tại thời điểm.
Trong chuyển động dừng thì chúng trùng nhau.
2) Các đờng dòng tựa lên một vòng kín vô cùng nhỏ ta đợc một ống dòng
(hình 3-4). Chất lỏng không thể xuyên qua ống dòng.
3) Dòng chất lỏng chảy đầy trong ống dòng gọi là dòng nguyên tố. Dòng nguyên tố
có những đặc tính sau :
- Dạng của dòng nguyên tố không thay đổi theo thời gian vì dạng của đờng dòng
tạo thành dòng nguyên tố trong chuyển động dừng.
- Bề mặt của những dòng nguyên tố do những đờng dòng tạo thành là không xuyên
qua đợc. Những chất điểm của chất lỏng trong các dòng lân cận trợt theo bề mặt
các dòng chứ không xuyên vào trong dòng đợc.

- Vì mặt cắt của dòng nguyên tố vô cùng nhỏ nên vận tốc của các điểm trong mặt
cắt đều bằng nhau.

3.2.3. Các yếu tố thuỷ lực của dòng chảy.
1) Mặt cắt ớt là mặt cắt vuông góc với véc tơ vận tốc của dòng chảy.
Chu vi ớt () là phần chu vi của mặt cắt ớt tiếp xúc với thành rắn giới hạn dòng
chảy (ví dụ cung ABC, hình 3-5)
Bán kính thuỷ lực (R) là tỷ số giữa diện tích mặt cắt ớt và chu vi ớt.

R =


(3-7)
Lu lợng (Q) là lợng chất lỏng chảy qua mặt cắt ớt trong một đơn vị thời gian:

Q ud=



(m
3
/s) (3-8)
A
D
C
B

B

c

A

Hình 3-5 Hình 3-6
Nh ta đ biết, các vận tốc điểm trên mặt cắt ớt của dòng chảy không bằng nhau.
Để thuận tiện cho việc nghiên cứu và giải quyết những vấn đề kỹ thuật, ta đa vào
khái niệm vận tốc trung bình mặt cắt v, tức là coi mọi điểm trên mặt cắt ớc có vận

30
tốc bằng nhau. Lu lợng tính theo vận tốc trung bình mặt cắt v cũng bằng lu
lợng tính theo sự phân bố vận tốc thực của dòng chảy (hình3-6)

Q ud vd v d v= = = =



(3-9)
Suy ra vận tốc trung bình :

v
Q
=

(3-10)
Nh vậy vận tốc trung bình của dòng chảy bằng lu lợng chia cho mặt cắt ớt.

3.3. Phơng trình liên tục của dòng chảy.

Đây là một dạng của định luật bảo toàn khối lợng : Khối lợng m của hệ cô lập
không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động

dm
dt
= 0

3.3.1. Phơng trình liên tục của dòng nguyên tố.
Xét một dòng nguyên tố chuyển động dừng (hình 3-7) xét đoạn giới hạn giữa
hai mặt cắt 1-1 và 2-2.
Tại mặt cắt 1-1, có mặt cắt ớt d
1

, vận tốc u
1
Tại mặt cắt 2-2 , có mặt cắt
ớt d
2
, vận tốc u
2
Trong thời gian dt,
thể tích chất lỏng chảy vào qua 1-1 là u
1

d
1
dt , đồng thời thể tích chất lỏng chảy
qua 2-2 là u
2
d
2
dt.
1

1
2
2
u
1
u
2


d
d
1
2

Hình 3-7

Theo tính chất của dòng nguyên tố trong chuyển động dừng : vì hình dạng
của đoạn dòng nguyên tố không thay đổi theo thời gian, bề mặt của chất lỏng không
xuyên qua đợc và chất lỏng không ép đợc nên trong thời gian dt, nên thể tích chất
lỏng chảy qua mặt cắt 1-1 phải bằng thể tích chất lỏng chảy cùng thời gian ấy qua
mặt cắt 2-2.
Vậy ta có : u
1
d

1
dt = u
2
d

2
dt
u
1
d

1
= u
2
d

2
(3-11)
hay : dQ
1
= dQ
2
(3-12)



31
3.3.2. Phơng trình liên tục của toàn dòng chảy.
Muốn lập phơng trình liên tục của toàn dòng chảy trong khoảng xác định ứng với
mặt cắt

ta mở rộng phơng trình liên tục của dòng nguyên tố cho toàn dòng bằng
cách tích phân phơng trình đó trên toàn mặt cắt

.

u d u d
1 1 2 2
21


=


Rút ra : Q
1
= Q
2
(3-13)
hay : v
1

1
= v
2

2
(3-14)
Đó là phơng trình liên tục của dòng chảy ổn định có kích thớc xác định.
Chú ý mặt cắt 2-2 ta chọn tuỳ ý trong dòng nguyên tố và trong toàn dòng, do đó có
thể kết luận rằng :
Trong dòng chảy ổn định, lu lợng qua mọi mặt cắt ớt đều bằng nhau, và vận tốc
trung bình v tỷ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ớt.

3.3.3. Phơng trình vi phân liên tục của dòng chảy (Dạng Ơle)

Trong môi trờng chất lỏng chuyển động ta tởng tợng tách ra một phân tố hình
hộp có thể tích

V = dxdydz (hình 3-8).
C
G
B
U
x
U
x
H
E
A
F
D
1
2
+
x
x
x
d
u


y
O
z
x

Hình 3-8

Theo định luật bảo toàn khối lợng :

( )
d V
dt


= 0


32

=

(x,y,z,t) -Khối lợng riêng của chất lỏng.


Lấy đạo hàm theo t :

1 1
0


d
dt V
d V
dt

+ =



d V
dt

- Vận tốc biến dạng tơng đối của thể tích phân tố chất lỏng
Xét theo phơng X : vận tốc tại mặt ABCD : u
x

vận tốc tại mặt EFGH :
u
u
x
dx
x
x
+



Sau thời gian dt : mặt ABCD di chuyển sang phải : u
x
dt
mặt EFGH :
u
u
dx dt
x

x
+








x

Thể tích của phân tố chất lỏng thay đổi theo hớng trục X một lợng tuyệt đối bằng:

u
u
x
dx dydzdt u dydzdt
u
x
dxdydzdt
x
x
x
x
+

=





Tơng tự viết cho hai phơng y,z, tổng hợp lại ta có :

d V
u
x
u
y
u
z
dxdydzdt
x
y
z
= + +

hay :
1


V
d V
dt
u
x
u
y
u
z
x
y
z
. = + +







Vậy :

1
0







d
dt
u
x
u
y
u
z
x
y
z
+ + + =

Đó chính là phơng trình liên tục dạng tổng quát. có thể viết gọn hơn :

1
0


d
dt

diV u+ =

(3-15)
Trong chuyển động dừng (dòng chảy ổn định)


t
= 0
nên diV(

u

) = 0
Đối với chất lỏng không nén đợc (

= const ) ta đợc
diV
u

= 0




33
3.4. phơng trình vi phân đối với chuyển động của chất
lỏng thực (phơng trình navie-stokes)

Ta xét một khối hình hộp chất lỏng thực đợc tách ra từ một thể tích chất lỏng
chuyển động có các cạnh là dx, dy và dz song với các trục toạ độ x, y, z (hình 3-9),

chuyển động với vận tốc u và gia tốc du/dt.
P
x
z
y
dz
z
zx
zx


+


dy
y
yx
yx


+


dx
x
p
p


+

dx
x
xx
xx


+



yx

zx

xx

Hình 3-9

Các lực tác dụng lên hình hộp bao gồm :
- Lực khối
với các hình chiếu lên các trục x, y, z lần lợt là :
F
kx
=

X dx dy dz
F
ky
=

Y dx dy dz (3-16)
F
kZ
=

Z dx dy dz
trong đó X, Y, Z là hình chiếu của lực khối trên một đơn vị khối lợng chất lỏng.
- Lực bề mặt đợc xác định dựa theo các đại lợng áp suất và 9 thành phần ứng
suất của lực nhớt lập thành tenxơ ứng suất :
(-p +

xx
)

yx


zx



xy
(-p +

yy
)

zy

xz


yz
(-p +

zz
)
trong đó áp suất đợc ký hiệu là p và các ứng suất nhớt là

ij
; với ij trong

ij
chỉ
ra rằng thành phần ứng suất tác dụng theo phơng j tại tiết diện vuông góc với
phơng i.
Phân tích hình chiếu của các lực mặt lên các trục toạ độ, chẳng hạn nh hình chiếu
các lực mặt lên trục x có dạng :


F
m

F
k