he thong ly thuyet mon toan lop 12 cho hoc sinh trung binh kha
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.21 MB, 19 trang )
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website
www.tailieupro.com
nhậnĐẠO
thêm HÀM
nhiều tài liệu hơn
Chuyên
đề 1: ỨNG DỤNGđểCỦA
/> /> /> /> /> />VẤN ĐỀ 1: SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Nếu f / (x) > 0, x (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
Nếu f / (x) < 0, x (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)
@ Điều kiện cần:
Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f / (x) 0 x (a;b)
Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f / (x) 0 x (a;b)
(trong điều kiện đủ nếu đạo hàm bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì kết luận vẫn
đúng)
@ Phƣơng pháp tìm các khoảng đồng biến_nghịch biến của một hàm số
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Tính f '(x) .Tìm các điểm xi ( i = 1,2,…,n) mà tại đó f '(x) = 0 hoặc f '(x) không xác định.
3. Lập bảng xét dấu của f '(x)
4. Sử dụng điều kiện đủ để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.
VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
@ Nếu qua điểm x 0 mà f (x ) đổi dấu thì x 0 là điểm cực trị
@ Điều kiên đủ:
/> /> /> />@ Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x
x 0 thì
f (x 0 )
0
f (x 0 )
0
CHÚ Ý: f (x ) đổi dấu từ dƣơng sang âm khi qua điểm x
@ Để hàm số đạt cực đại tại điểm x
x 0 thì
f (x 0 )
0
f (x 0 )
0
x0
CHÚ Ý: f (x ) đổi dấu từ âm sang dƣơng khi qua điểm x x 0
@ Qui tắc tìm cực trị của một hàm số
Quy tắc 1
Quy tắc 2
1) Tìm tập xác định.
1) Tìm tập xác định.
2) Tính f '(x). Giải f '(x) 0
2) Tính f '(x) . Giải f '(x) = 0 tìm nghiệm xi
3) Lập bảng biến thiên. Kết luận
3) Tính f ''(x) và f ''(x i ). Kết luận.
/> /> /> /> /> />VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT_GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Trên đoạn [ a; b]
Trên khoảng ( a; b )
1) Hàm số liên tục trên đoạn [a;b]
1) Tính f '(x). Giải pt f '(x) = 0
2) Tính f '(x). Giải f '(x) 0 tìm nghiệm
2) Lập bảng biến thiên
3) Dựa vảo BBT để kết luận :
x
(a ;b )
i
3) Tính f(a), f(b), f(xi)
4) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các
số trên. Ta có max f (x) M , min f (x) m
max f (x)
(a;b)
y CD , min f (x)
(a;b)
y CT
[a;b]
[a;b]
VẤN ĐỀ 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN
+ Nếu lim f (x)
x
y 0 hoặc lim f (x)
x
y0
Thì y = y0 là tiệm cận ngang của (C): y = f(x)
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 1
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
+ Nếu lim f (x)
hoặc lim f (x)
thì x = x0 là tiệm cận đứng của (C): y = f(x).
/> /> /> /> /> />x
x0
x
x0
VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
Tìm giới hạn tiệm cận (nếu có)
Tính đạo hàm y’. Giải phương trình y’ = 0
Lập bảng biến thiên
Kết luận về đồng biến - nghịch biến và cực trị.
3. Đồ thị: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu dễ), tìm thêm vài điểm đặc biệt rồi
vẽ đồ thị
Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0 )
a>0
A<0
Ph.trình y’ = 0
có hai nghiệm phân biệt.
Ph.trình y’ = 0
Có nghiệm kép.
/> /> /> />Ph.trình y’ = 0
vô nghiệm.
Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 đối xứng qua điểm uốn I ( x0 ; y0 ), với x0 là nghiệm pt y 0 và
y0 f ( x0 ).
Dạng của đồ thị hàm trùng phƣơng y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0 )
a>0
a<0
Ph.trình y’ = 0
có ba nghiệm phân biệt.
/> /> /> /> /> />Ph.trình y’ = 0
có một nghiệm .
Chú ý: Đồ thị hàm trùng phương đối xứng qua Oy
ax
Dạng của đồ thị hàm số y
cx
D = ad – bc > 0
b
(c
d
0, ad
bc
0)
D = ad – bc < 0
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 2
GV : Thân Thị Hạnh
Truy ycập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều ytài liệu hơn
/> /> /> /> /> />x
O
O
x
Chú ý: Đồ thị hàm b1/b1 đối xứng qua giao điểm của 2 đường tiệm cận
VẤN ĐỀ 6: SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐƢỜNG CONG
Cho hai đường cong (C1): y = f (x) và (C2): y = g (x) .
Ph.trình: f (x) = g (x) (*) gọi là ph.trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2).
Số nghiệm ph.trình (*) chính là số giao điểm của (C1 ) và (C2).
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PH.TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Dùng đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình F (x,m ) = 0
B1)Biến đổi ph.trình F(x,m ) = 0
f (x)=g(m) (*)
B2)Pt (*) là ph.trình hoành độ giao điểm của (C): y = f (x) và đ.thẳng d: y = g (m)
Số
nghiệm ph.trình đã cho chính là số giao điểm của (C) và d.
B3)Dựa vào đồ thị (C) để biện luận (Lưu ý các giá trị cực trị ( nếu có) của hàm số).
Chuyên đề 2: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC LUỸ THỪA-LÔGARIT
/> /> /> />LŨY THỪA
0
a =1
n
a
a
a .a
1
an
a
a
a
a
a
khi
a
1
khi
0
a
a
a
a
b
a
b
.
a .b
ab
m
n
an
am
1
Căn bậc n
n
a.b
n
a .n b ;
n
a
n
b
n
a
n
n
am
m
m n
a
a
mn
a
/> /> /> /> /> />b
LOGARIT
* Định nghĩa: Cho a, b
0; a
1 : loga b
a
b
* Tính chất:
loga 1
0;
loga a
1;
loga a
;
a
loga b
b
* Quy tắc tính:
loga b1.b2
loga b1
loga b2
loga
b1
b2
loga b1
loga b2
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 3
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
/> /> /> /> /> />loga b
loga b
loga b
1
loga b
* Công thức đổi cơ số:
loga c
logb c
loga b
1
loga b
logb a
hay
loga b. logb c
loga c
hay
loga b. logb a
1;
Khi cơ số a = 10 thì log10 b (logarit thập phân) thường được viết là log b hay lg b
Khi cơ số a = e thì loge b (logarit tự nhiên) được viết là ln b
VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT HÀM SỐ MŨ-HÀM SỐ LUỸ THỪA
HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ
HÀM SỐ LOGARIT
/> /> /> />y
Đặc điểm
y
x (
ax ( 0
tùy ý)
1)
y
Chú ý:
0 : ax
a
loga x ( 0
a
1)
0, x
Z * : có nghĩa với
+
mọi x.
Tập xác định
Điều kiện của
x để hs có
nghĩa:
a
Z : có nghĩa với
+
x
có nghĩa
có nghĩa với x
x
0
0.
Z : có nghĩa với
x
0
+
/> /> /> /> /> />Đạo hàm
x
'
0
Sự biến thiên
Đồ thị
Hàm số đb
trên
(0;
)
.x
1
ax
0
Hàm số
nb trên
(0;
)
Luôn qua điểm 1;1 .
a
'
1
a x . ln a
0
Hàm số đb
trên D
a
loga x
1
Hàm số nb
trên D
Nằm hoàn toàn phía trên
trục hoành và luôn qua
hai điểm A(0;1) và
B(1; a ) .
a
1
Hàm số đb
trên D
1
'
x . ln a
0
a
1
Hàm số nb trên
D
Nằm hoàn toàn phía bên phải
trục tung và luôn qua hai điểm
A(1; 0) và B(a;1) .
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 4
GV : Thân Thị Hạnh
TruyHÀM
cập website
www.tailieupro.com
nhận
thêm
nhiều tài liệu hơn
VẤN ĐỀ 3: ĐẠO
CỦA HÀM
SỐ MŨ-HÀMđể
SỐ
LUỸ
THỪA
/> /> /> /> /> />BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
Đạo hàm của hàm số sơ cấp thƣờng gặp
x
,
1
1
.x
'
x
u
1
1
2
u
x
1
'
x
'
'
.u '
u'
u2
u'
'
cos x
1
.u
'
u
2 x
sin x
Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x)
2 u
'
sin u
u '. cos u
/> /> /> />cos x
'
cos x
1
cot u
2
sin x
'
'
ex
eu
'
u '. sin u
u'
'
tan u
2
'
cot x
cos u
1
'
tan x
ex
sin x
cos2 u
u'
'
sin 2 u
u '.e u
/> /> /> /> /> />ax
'
ln x
a x . ln a
1
'
loga x
au
ln u
x
'
'
1
u '.a u . ln a
loga u
x . ln a
u'
'
u
'
u'
u . ln a
VẤN ĐỀ 4: PHƢƠNG TRÌNH , BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ_LOGARIT
PHƢƠNG TRÌNH MŨ_LOGARIT
a. Phƣơng trình mũ cơ bản : ax = b
a. Phƣơng trình lôgarit cơ bản: loga x = b
b > 0 : Pt có nghiệm duy nhất x log a b
Pt luôn có nghiệm duy nhất x a b
b ≤ 0 : Phương trình vô nghiệm.
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 5
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
b. Phƣơng trình mũ đơn giản
b. Phƣơng trình logarit đơn giản
+ Đưa về cùng cơ số:
+ Đưa về cùng cơ số:
f (x)
g(x)
f (x)
a
a
f (x) g(x)
/> /> /> /> /> />log a f (x)
log a g(x)
0
g(x)
0
f (x)
g(x)
+ Đặt ẩn phụ:
+ Đặt ẩn phụ:
x
Đặt t a (đk t> 0), biến đổi phương trình mũ Đặt t log a x đưa về phương trình ẩn t
thành phương trình đại số theo t
Giải phương trình theo t
Giải phương trình theo t và chọn t > 0
Tìm x từ t log a x
x at
x
Tìm x từ a
t
x log a t
+ Lôgarit hóa: Lôgarit 2 vế của pt cùng 1 cơ số + Mũ hóa: Mũ 2 vế của pt cùng 1 cơ số
c. Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit:
Cơ số
Bất phương trình mũ
Bất phương trình lôgarit
f
(x)
g(x)
a>1
log a f (x) log a g(x)
f (x) g(x)
a
a
f (x) g(x)
0
f (x) g(x)
af (x) ag(x)
f (x) g(x)
Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM_TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 1: ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM VÀ BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
NGUYÊN HÀM
@ Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x)
trên K nếu F '(x) f (x), x K .
@ Sự tồn tại nguyên hàm: Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
/> /> /> /> k.f (x)dx k. f (x)dx (k là hằng số khác 0)
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx
@ Chú ý:
STT
1
Bảng công thức nguyên hàm
Nguyên hàm theo biến số x
Nguyên hàm theo biến số u
1dx
x
2
u
1
x
x dx
1du
C
C (
1
1)
C
1
u
u du
C (
1
1)
/> /> /> /> /> />3
1
dx
x
ln x
4
e x dx
ex
a x dx
ax
ln a
5
6
cos xdx
7
s inxdx
8
C
C
C
s inx
co s x
C
1
du
u
ln u
eu du
eu
a u du
au
ln a
cos udu
C
1
dx tan x C
cos 2 x
9
1
dx
co t x C
sin 2 x
@ Một số công thức nguyên hàm bổ sung
sin udu
1
du
cos 2u
1
du
sin 2u
C
C
C
s inu
C
co s u
C
tan u
C
co t u
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
C
Page 6
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website
www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
1
1 (ax b) 1
sin(ax b)dx a co s (ax b) C
(ax b) dx a . 1 C
1
1
1
ax b dx a ln ax b C
cos(ax b)dx a s in(ax b) C
1 ax b
1
1
ax b
e dx a e C
cos 2 (ax b) dx a tan(ax b) C
1
1
t anxdx ln cos x C,
sin 2 (ax b) dx a cot(ax b) C
co t xdx ln sin x C
/> /> /> /> /> />
VẤN ĐỀ 2: PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
@ Phƣơng pháp đổi biến số
Nếu
F(u) C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
f (u)du
f[u(x)]u '(x)dx
F[u(x)] C
@ Phƣơng pháp tính nguyên hàm từng phần:
udv
u.v
Nhớ:
vdu
/> /> /> />u
dv
dao ham
du
nguyen ham
v
Lưu ý:Thứ tự đặt u: Nhất:lnx , Nhì: Đa thức , Tam: lƣợng giác , Tứ : mũ, luỹ thừa
Cho P (x) là một đa thức, cách đặt u và dv của một số nguyên hàm:
Đặt
P(x).e x dx
P(x).s inxdx
P(x).co s xdx
P(x). ln xdx
P (x)(3)
u=
exdx
dv =
VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN
P (x)(2)
sinxdx
P (x)(2)
cosxdx
Lnx (1)
P (x)dx
TÍCH PHÂN
@ Công thức Newton_Leibniz :
b
a
b
f (x)dx F(x) a F(b) F(a)
@ Phƣơng pháp đổi biến số
đổi biến; đổi cận; tính tích phân mới với biến số mới và cận mới.
1
dx ; (a 2 x 2 )dx
Lưu ý :
Khi gặp dạng: 2
đặt x = atant
2
a x
1
dx đặt x = asint
Khi gặp dạng: a 2 x 2 dx ;
2
a x2
@ Phƣơng pháp tích phân từng phần: Cách đặt u và dv tƣơng tự nhƣ bài nguyên hàm.
/> /> /> /> /> />Công thức:
b
a
b
b
udv uv vdu
a
a
Nhớ:
u
dv
dao ham
nguyen ham
du
v
VẤN ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
@ Diện tích hình phẳng
b
1. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x);y 0;x a;x b là S
f (x)dx
a
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 7
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm
c nhiều tài liệu
b hơn
Lưu ý : Nếu f (x) 0 có nghiệm x c a, b thì S f (x) .dx f (x) .dx
/> /> /> /> /> />a
2. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x); y 0 là S
x2
x1
c
f (x) dx với x1, x2 ( x1 < x2) là hai
nghiệm của phương trình f ( x ) 0. (Lập phƣơng trình hoành độ giao điểm)
b
3. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x);y g(x);x a;x b là S
f (x) g(x)dx
a
Lưu ý: Nếu f (x) g(x) 0 có nghiệm x c (a;b) thì
S
c
b
a
c
f (x) g(x)dx f (x) g(x)dx
x2
4. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x); y g(x) là S
f (x) g(x)dx
với x1, x2 ( x1 <
x1
x2) là hai nghiệm của phương trình f ( x ) 0. (Lập phƣơng trình hoành độ giao điểm)
@ Thể tích khối tròn xoay khi hình (H) quay quanh Ox
y f (x); y 0
1. (H) :
b
V f (x) dx
2
x a; x b
a
x2
y f (x)
2
2. (H ) :
V f (x) dx với x1, x2 ( x1 < x2) là hai nghiệm của phương trình
y 0
x1
/> /> /> />f ( x ) 0.
Chuyên đề 4: SỐ PHỨC
1. Số phức: là biểu thức có dạng a+bi trong đó a, b R ; i2= -1
Kí hiệu: z = a+bi trong đó a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo; i gọi là đơn vị ảo
Chú ý: + Tập số phức kí hiệu là C (Complex)
+ Mỗi số thực a được coi là số phức với phần ảo bằng 0 (số thực cũng là số phức tức R
+ Số 0 + bi gọi là số thuần ảo
2. Biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong hệ trục tọa độ Oxy
3. Mô đun của số phức: Độ dài của OM được gọi là mô đun của số phức Z. Kí hiệu:
C)
/> /> /> /> /> />z a bi a 2 b 2
4. Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z
zz ;
a
bi là z a bi
Chú ý:
z z
5. Các phép toán về số phức:
Số phức bằng nhau
(thực = thực; ảo = ảo)
Cộng, trừ số phức
(tƣơng ứng)
Nhân 2 số phức
Chia số phức cho số phức
cho z1 a1 b1i ; z 2 a 2 b 2i
a1 a 2
z 1 z 2 a1 b 1i a 2 b 2 i
b1 b 2
z 1 z 2 a1 b 1 i a 2 b 2 i a 1 a 2 b 1 b 2 i
z 1 z 2 a1 b 1 i a 2 b 2 i a1 a 2 b 1 b 2 i
z 1 .z 2 a1 b1i . a 2 b 2 i a1 .a 2 b 1b 2 a1b 2 a 2b 1 i
z1
z2
z 1 .z 2
z2 z2
z 1 .z 2
z2
2
hay
z1
z2
a1 b 1i
a 2 b 2i
a1 b 1i a 2 b 2 i
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
a 22 b 22
Page 8
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
/> /> /> /> /> />1
z
2
z
z
Nghịch đảo của số phức
6. Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực ax 2
Tính
b
2
bx
c
0 (a
0) a, b, c
R
4ac
b
2a
+ Nếu
>0 thì ph.trình có 2 nghiệm thực phân biệt x1,2
+ Nếu
=0 thì ph.trình có 1 nghiệm thực x
+ Nếu
< 0 thì ph.trình có 2 nghiệm phức phân biệt x 1,2
b
2a
b i
2a
Chú ý: trên tập số phức C mọi ph.trình bậc hai đều có nghiệm (không nhất thiết phân biệt)
Chuyên đề 5: ĐA DIỆN-MẶT CẦU-MẶT NÓN- MẶT TRỤ
KHỐI ĐA DIỆN
KHỐI CHÓP
KHỐI LĂNG TRỤ
V B.h
Trong đó: B,B’ là diện tích đáy và h là chiều
cao.
○Thể tích của khối hộp chữ nhật. V = abc
( a, b, c là 3 kích thước)
○ Thể tích của khối lập phương.
V = a3
KHỐI CHÓP CỤT
/> /> /> />h
B
V
1
V (B B ' BB ').h
3
1
B.h
3
/> /> /> /> /> />h
h
B
B
NÓN
S xq .R.l
MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
TRỤ
S tp S xq S day
1
R 2h ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường
3
sinh, h : đường cao)
V
S xq 2R.l
S tp S xq 2S day
V R 2 h
CẦU
S 4 R 2
4
V R 3
3
Hình
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 9
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
/> /> /> /> /> />S
B
O
R
A
h
R
A
B
O
B'
2
h R
2
O'
2
A'
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN NẮM
Tam giác ABC vuông tại A
Tam giác ABC
vuông cân tại A
Pitago BC 2 AB2 AC 2
1
1
1
2
2
AH
AB
AC 2
BC
AH 2 BH.CH ; AM
2
2
2
AB AB.BH ; AC AC.CH
1
1
S AB.AC BC.AH
2
2
Tam giác ABC đều
AB=AC=BC
AB=AC
ˆ Cˆ 450
B
ˆ B
ˆ Cˆ 60 0
A
3
2
/> /> /> />AH AB
AH AB
2
2
1
AB 2
S BC.AH
2
2
1
S AB.AC.sin A
2
Hình chữ nhật ABCD
BD 2 AB2 AD 2
1
AB 2 3
BC.AH
2
4
1
S AB.AC.sin A
2
S
Hình vuông ABCD
Hình thang ABCD
AD BC
AC BD AB 2
S
AH
2
S AB.AD
2
S AB
CHUYÊN ĐỀ 6: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
VẤN ĐỀ 1: CÁC CÔNG THỨC TOẠ ĐỘ CẦN NẮM
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM & VECTƠ
Vectơ
* M là trung điểm của AB:
a (x a ;y a ;z a ) a x a i y a j z a k.
x xB y A y B z A z B
M A
;
;
2
2
2
0 (0;0;0) (vec tơ không)
/> /> /> /> /> />* G là trọng tâm tam giác ABC
x xB xC y A y B y C z A z B z C
G A
;
;
3
3
3
AB (x B x A ; y B y A ; z B z A ) (sau – trước)
Độ dài
AB (x B x A ) 2 (y B y A ) 2 (z B z A ) 2
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Trong không gian Oxyz cho a
xa
a
b
(x a ; y a ; z a )
xb
ya
yb ;
za
zb
a
x
2
a
y
2
a
z
2
a
Nhân vectơ với 1số (kq là 1vectơ cùng hướng nếu
k>0 và ngược hướng nếu k<0)
b
(x b ; y b ; z b )
a
b
(x a
xb ; y a
yb; za
zb )
a
b
(x a
xb ; y a
yb; za
zb )
Tích có hướng(kq là 1 vectơ vuông góc
với cả 2 vectơ thành phần)
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 10
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
y a z a z a xa xa y a
R
a, b
;
;
Ứng dụng: chứng minh 2 vectơ cùng phương
y b z b z b xb xb y b
Với b 0, a cùng phƣơng b
Ứng dụng: chứng minh 2 vec tơ cùng
phương
x
kx , y
ky , z
kz
a kb
/> /> /> /> /> />k .a
(kx a ;ky a ;kz a ), k
a
b
Tích vô hướng: a.b
a
b
xa xb
a
yayb
b
a cp b
zazb
a, b
0 (sgk HH12 nâng cao)
Ứng dụng: tính diện tích tam giác
1
S ABC
AB, AC
Góc giữa 2 vec tơ a 0 , b 0
2
Ứng dụng: tính thể tích tứ diện ABCD
xa xb y a y b z a z b
a.b
cos(a, b)
1
VABCD
AB, AC .AD
x a2 y a2 z a2 . x b2 y b2 z b2
a.b
6
@Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x;y;z) trên các trục và mặt phẳng tọa độ
Hình chiếu
Hình chiếu
Hình chiếu
Hình chiếu
Hình chiếu
Hình chiếu
trên Ox
trên Oy
trên Oz
trên (Oxy)
trên (Oyz)
trên
(Oxz)
M1(x ; 0 ; 0)
M2(0 ; y ; 0)
M3(0 ; 0 ; z)
M4(x ; y ; 0)
M5(0 ; y ; z)
M6(x ; 0 ; z)
( khi chiếu vuông góc một điểm lên trục nào(mp tọa độ nào) thì tọa độ hình chiếu của nó chỉ còn
thành phần tương ứng với trục đó(mp tọa độ đó))
@Tọa độ điểm đối xứng của điểm M(x;y;z) qua các trục, mặt phẳng tọa độ, gốc tọa độ
Đối xứng
Đối xứng
Đối xứng
Đối xứng
Đối xứng
Đối xứng
Đối xứng
qua Ox
qua Oy
qua Oz
qua (Oxy)
qua (Oyz) qua (Oxz)
qua O
M1(x; -y; - M2(-x; y; - M3(-x; -y;
M4(x; y; M5(-x; y;
M6(x; -y; M7(-x; -y; z)
z)
z)
z)
z)
z)
z)
@ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng (hay là 3 đỉnh của 1 tam giác)
Ứng dụng: a
b
a.b
0
/> /> /> />o A, B, C không thẳng hàng AB, AC 0
B
o Hoặc viết ptts đ.thẳng BC, kiểm tra thấy A không thuộc BC (tức
là khi thay tọa độ của A vào ph.trình đường BC thấy không thỏa)
@ Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng (hay là 4 đỉnh của 1 tứ diện)
A
o A, B, C, D không đồng phẳng AB, AC .AD 0
o Hoặc viết pttq của mp (BCD)
D
B
Kiểm tra thấy A không thuộc mp (BCD). (tức là thay tọa độ điểm
C
A vào ph.trình mp (BCD) thấy không thỏa )
VẤN ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A
C
/> /> /> /> /> />MẶT PHẲNG
@ Phƣơng trình tổng quát của mp (P): Ax By Cz
D
0 trong đó A 2
B2
C2
0
@ Công thức viết pttq mp (P) khi biết 1 điểm thuộc M 0 x 0 ; y 0 ; z 0 và 1 vectơ pháp tuyến
n
A;B;C là
A x
x0
B y
y0
C z
z0
0 (*)
(Chú ý: vectơ pháp tuyến có thể tìm từ tích có hướng của 2 vec tơ không cùng phương với mặt
phẳng)
@ Phƣơng trình các mp tọa độ
Mp Oxy
Mp Oxz
Mp Oyz
z=0
y=0
x=0
@ Một số trƣờng hợp đặc biệt của mặt phẳng
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 11
GV : Thân Thị Hạnh
cập website
www.tailieupro.com
để=nhận
- Phương trình Truy
mặt phẳng
qua gốc
toạ độ là Ax+By+Cz
0 thêm nhiều tài liệu hơn
- Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(a ; 0; 0), B(0;b; 0),C (0; 0; c), với abc 0 là
/> /> /> /> /> />x
y
z
a
b
c
1
@ Tính khoảng cách: từ điểm M 0 x 0 ; y 0 ; z 0 đến mặt phẳng (P): Ax
Ax 0
d M0 , P
By 0
A2
Cz 0
B2
By
Cz
D
0
D
C2
@ Vị trí tƣơng đối giữa 2 mặt phẳng (P): A1x B1y C1z D1
0 và (Q): A 2 x B 2 y C2 z D2
0
VTPT của (P) là
VTPT của (Q) là
D1=kD2
(P) cắt (Q)
(P) // (Q)
Lƣu ý: (P)
(P)
(Q)
(Q)
/> /> /> />a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d 2
thì (P) song song (Q)
a1 b1 c1 d1
thì (P) trùng với (Q
a2 b2 c2 d 2
CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƢỜNG GẶP:
DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết ph.trình mp
đi qua 3 điểm A, B, C
không thẳng hàng
CÁCH GIẢI
o A (P) (hoặc B, hoặc C) ; VTPT là
nP
P
A
B C
n
P
= AB, AC
/> /> /> /> /> />Dạng 2 : Viết ph.trình
mp(P) đi qua điểm
M0(x0;y0;z0) và song
song với mp
(Q):Ax+By+Cz+D=0.
Cách 1:
P
M0
nQ
Q
Dạng 3: Viết ph.trình mp(P) đi qua điểm
A x A ; y A ; z A và vuông góc với đ.thẳng d:
o M 0 (P) ; VTPT là n P = n Q = (A;B;C)
Cách 2:
o Vì (P) // (Q) nên ph.trình (P) có dạng:
Ax+By+Cz+D’=0
M 0 (P) . Thế tọa độ M 0 vào pt (P) tìm D’
o A (P) ; VTCP của d cũng là VTPT của
mp (P): n P = u d = (a; b; c)
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 12
GV : Thân Thị Hạnh
x x 0 a.t
y y 0 b.t
z z c.t
0
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
/> /> /> /> /> />Dạng 4: Viết ph.trình mp
trung trực của đoạn AB
với
I
A
A x A ; yA ; zA
o Gọi I là trung điểm của AB, ta có
x xB y A y B z A z B
I A
;
;
(P)
2
2
2
VTPT là n P = AB
B
P
B x B ; yB ; zB
Dạng 5: Viết ph.trình mp
(P) tiếp xúc mặt cầu (S)
tại M 0 x 0 ; y 0 ; z 0
o Tìm tâm I của mặt cầu (S)
o M 0 (P) ; VTPT là M 0 I (hay IM 0 )
I
(p): Mặt phẳng tiếp diện
M0
P
Dạng 6: Viết ph.trình mp
(P) qua 2 điểm phân biệt
A, B và song song với
o A (P) (hoặc là B); VTPT n P = u d , AB
d
/> /> /> />nP
B
x x 0 a.t
đ.thẳng d y y 0 b.t
z z c.t
0
Dạng 7: Viết ph.trình
mp(P) qua 2 điểm phân
biệt A, B và vuông góc
với mp
(Q):Ax+By+Cz+D=0.
P
A
ud
o A (P) (hoặc là B); VTPT n
nP
nQ
AB
nQ
= n Q , AB
o Thay vào pt (*)
B
Q
P
P
A
/> /> /> /> /> />VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
ĐƢỜNG THẲNG
@ Đƣờng thẳng d đi qua điểm M 0 x 0 ; y 0 ; z 0 và có 1 vectơ chỉ phƣơng u = (x u ; y u ; z u )
x x0 xut
có ph.trình tham số y y 0 y u t
z z z t
0
u
t R
@ Phƣơng trình các trục tọa độ
Trục Ox
x t; y 0; z 0
(*) và ph.trình chính tắc
x x0
xu
y y0
yu
Trục Oy
Trục Oz
x 0; y t; z 0
x 0; y 0; z t
z z0
zu
@ Vị trí tƣơng đối của 2 đ.thẳng
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 13
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu/ hơn/ /
x x 0 x u t
x x0 x u t
Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d y y 0 y u t (t R ) và d’ y y 0/ y u/ t / (t / R)
z z z t
/
/ /
0
u
z z0 z u t
/> /> /> /> /> />VTCP của d là
,
VTCP của d’ là
d trùng d’
,
d // d’
xo a1t xo' a1' t '
XÉT HỆ PHƢƠNG TRÌNH : yo a2t yo' a2' t '
'
'
z 0 a3 t z o a 3 t '
Quan hệ giữa u và u '
Hpt (I)
Hệ {d,d’} VN
Hệ {d,d’} có
nghiệm duy I
d chéo d’
d cắt d’
(I)
Vị trí giữa d và d’
/> /> /> />Cùng phƣơng
Không cùng phƣơng
Có nghiệm
d d'
Vô nghiệm
d //d’
Có nghiệm duy I
d cắt d’
Vô nghiệm
d và d’ chéo nhau
Một số bài toán thƣờng gặp về phƣơng trình đƣờng thẳng
DẠNG
CÁCH GIẢI
Dạng 1: Viết ph.trình đ.thẳng d đi qua 2 điểm
o A d (hoặc B) ; VTCP u = AB .
A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB)
o Thế vào phương trình (*)
Có thể dùng pt:
d
A
B
x xA
y yA
z zA
xB x A y B y A z B z A
Dạng 2: Viết ph.trình đ.thẳng d đi qua điểm
o M 0 d ; VTCP
/
/
x x 0 x u t
u d = u d ' = (x u/ ; y u/ ; z u/ ) .
M0(x0;y0 ;z0) và song song với đ.thẳng d ' : y y 0/ y u/ t o Thế vào phương trình (*)
(Nếu d song song với trục tọa độ thì có
/
/
z z 0 z u t thể dùng vectơ đơn vị làm VTCP cho d)
d
Dạng 3: Viết ph.trình đ.thẳng
o M 0 d ; VTPT của (P) cũng là
M0
d đi qua 1 điểm M0(x0 ;y0 ;z0)
nP
VTCP của d n P u d = (A;B;C)
và vuông góc với mặt phẳng
o Thế vào phương trình (*)
(P): Ax+By+Cz+D=0
P
/> /> /> /> /> />LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 14
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập
website www.tailieupro.com để nhận
liệuMhơn
Dạng 4: Viết ph.trình
đ.thẳng
o Viếtthêm
pttq nhiều
mp (P)tàiqua
0 và vuông góc
d'
ud'
d qua điểm M0, vuông góc và
với d’
d M0
cắt d’
o Xác định M d / (P) (giải hpt
M
P
{d’,(P)})
o Viết ptts của d qua 2 điểm M0, M
d'
Dạng 5: Viết ph.trình đ.thẳng
o Viết pttq mp (Q) qua M0 và song song
M
d qua điểm M0, song song với
mp (P)
d
M
Q
mp (P) và cắt đ.thẳng d’
o Tìm M d / (Q)
o Viết ptts của d qua 2 điểm M0, M
P
/> /> /> /> /> />0
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA ĐƢỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG
@ Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng
x x 0 x u t
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d y y 0 y u t và mặt phẳng (P):Ax + By + Cz +D =0
z z z t
0
u
Xét phương trình A x 0 x u t B y 0 y u t C z 0 z u t D 0 (*) (t là ẩn)
Nếu (*) vô nghiệm thì d // (P)
Nếu (*) có đúng 1 nghiệm t = t0 thì d
cắt (P) tại 1 điểm là
Nếu (*) có vô số
nghiệm thì d (P)
/> /> /> />M 0 x0 xu t 0 ; y 0 y u t 0 ; z 0 z u t 0
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA ĐƢỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG
Dạng 1 : Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên mp (P)
o Viết ptts của đ.thẳng d qua M và vuông góc mp (P)
o Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P), H là giao điểm của
d
d và (P). Giải hpt
(P)
tìm H
Giải nhanh : Trong không gian Oxyz cho mp( ) : Ax + By + Cz +
D = 0. Hình chiếu H ( x; y; z ) của điểm M ( xM ; yM ; zM ) lên mặt
/> /> /> /> /> />phẳng ( ) được xác định theo công thức :
d
M
P
x x M A .k
A.x M B.y M C.z M D
y y M B.k Với k
A 2 B2 C 2
z z C.k
M
H
M'
(Nếu M’ là điểm đối xứng với M qua (P) thì H là trung điểm của
MM’, áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta tìm tọa độ của M’)
Giải nhanh : Trong không gian Oxyz cho mp( ) : Ax + By + Cz
+ D = 0. Tọ độ của Điểm M ( x; y; z ) đối xứng vói M ( xM ; yM ; zM )
qua mặt phẳng ( ) được xác định theo công thức :
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 15
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
x x M 2A .k
A.x M B.y M C.z M D
y y M 2B.k Với k
A 2 B2 C 2
z z 2C.k
M
/> /> /> /> /> />Dạng 2: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đ.thẳng d
PHƢƠNG PHÁP: Giống nhƣ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp (P)
o Viết pttq của mp (P) qua M và vuông góc đ.thẳng d
o Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, H là giao điểm của d
M
d
d
và (P). Giải hpt
H
(P)
M'
tìm H
P
VẤN ĐỀ 4 : GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
/> /> /> /> GÓC:
1. Góc giữa hai đường thẳng : Góc giữa hai VTCP
Cho u1 là VTCP của đường thẳng 1 và u 2 là VTCPcủa đường thẳng 2
Cos( 1 : 2 ) = /Cos( u1 ; u 2 )/ =
u1 .u2
u1 . u2
2. Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai VTPT
Cho n1 là VTPT của mp và n 2 là VTPT của mp
Cos ; = /Cos( n1 ; n 2 )/ =
n1 .n 2
(Tích vô hướng chia tích độ dài )
/> /> /> /> /> />n1 . n 2
3.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Là góc giữa làVTCP u của đường thẳng và
VTPT n của mp
Sin ; = /Cos( u ; n )/ =
u .n
u.n
KHOẢNG CÁCH :
LOẠI 1 : KHOẢNG CÁCH CỦA MẶT PHẲNG .
1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Cho điểm M(x0;y0;z0) và mặt phẳng ( ): A.x + B.y + Cz + D = 0
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 16
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Ax 0 By 0 Cz 0 D
d(M; ( )) =
/> /> /> /> /> />A2 B 2 C 2
2. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song
Cho đường thẳng : Ax By Cz D 0 , M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) là một điểm thuộc
d , d M 0 ;
Ax0 By0 Cz 0 D
A2 B 2 C 2
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :Bằng khoảng cách từ một điểm nằm trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng còn lại
Cho hai mặt phẳng song song : Ax By Cz D 0 và : A' x B ' y C ' z D ' 0 ,
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) là một điểm . Khi đó
d , d M 0 ;
A' x0 B ' y0 C ' z0 D '
A'2 B '2 C '2
/> /> /> />LOẠI 2 : KHOẢNG CÁCH CỦA ĐƢỜNG THẲNG .
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M xM ; y M ; z M đến
x x0 at
đường thẳng : y y0 bt ; M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) , VTCP u ( a ; b; c ) ; được tính bởi CT:
z z ct
0
d M ,
u , M 0 M
u
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song :
Bằng khoảng cách từ một điểm nằm trên đường thẳng này đến đường thẳng còn lại, nghĩa là
/> />
/> /> /> />d , ' d M 0 , '
u ' , M M '
0
0
u'
, M0 .
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nếu đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u (a; b; c )
Đường thẳng ' đi qua điểm M 0' ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) và có VTCP u ' ( a ' ; b ' ; c ' ) thì
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 17
GV : Thân Thị Hạnh
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
/> /> /> /> /> /> u , u ' .M M '
0 0
d ,
u , u '
'
VẤN ĐỀ 5: MẶT CẦU
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và bán kính R có phương trình là
2
2
2
Dạng 1: x a y b z c R 2
Dạng 2: x 2 x 2 z 2 2Ax 2By 2Cz D 0 với A 2 B 2 C 2 D 0
Tâm I A; B; C ; bán kính R A 2 B 2 C 2 D
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1: Nếu có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc
Phƣơng trình mặt cầu có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
2: Nếu không có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc
/> /> /> /> Phƣơng trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0
Dạng
Cách giải
Dạng 1: (S) có tâm I (a; b; o Bán kính R IM (x a)2 (y b) 2 (z c) 2
M
M
M
c) và đi qua điểm M(xM;
o
Viết
phương
trình
dạng
1.
yM; zM)
x xB y A y B z A z B
;
;
o Tâm I là trung điểm của AB I A
2
2
2
Dạng 2: (S) có đường
kính AB với A(xA; yA;
(x B x A ) 2 (y B y A ) 2 (z B z A ) 2
AB
o Bán kính R
zA), B(xB; yB; zB)
2
2
o Viết phương trình dạng 1.
Dạng 3: (S) có tâm
I(a;b;c), tiếp xúc với
mp(P) Ax+By+Cz+D=0
o Bán kính R d I, (P)
Aa Bb Cc D
A 2 B 2 C2
/> /> /> /> /> />o Viết phương trình dạng 1.
Dạng 4: (S) đi qua 4 điểm o Viết phương trình mặt cầu (S) dạng 2.
A, B, C, D không đồng
o Lần lượt thay các điểm vào phƣơng trình mặt cầu, ta được hệ
phẳng
phương trình với các ẩn cần tìm là A, B, C, D.
(hay (S) ngoại tiếp tứ diện o Thay A, B, C, D vào phương trình của (S)
ABCD)
o Nhận dạng tọa độ tâm I
Dạng 5: (S) có tâm thuộc Nếu I Ox thì I(A;0;0); I Oy thì I(0;B;0); I Oz thì I(0;0;C)
trục tọa độ và qua 2 điểm o Thay tọa độ các điểm vào ph.trình (S) ta được hệ 2 ph.trình 2 ẩn
o Giải hpt tìm 2 ẩn thay vào ph.trình (S)
o Nhận dạng tọa độ tâm I
Nếu I (Oxy) thì I(A;B;0); I (Oyz) thì I(0;B;C); I (Oxz) thì
Dạng 6: (S) có tâm thuộc
I(A;0;C)
mp tọa độ và qua 3 điểm
o Thay tọa độ các điểm vào ph.trình (S) ta được hệ 3 ph.trình 3 ẩn
o Giải hpt tìm 3 ẩn thay vào ph.trình (S)
Dạng 7: Tìm tọa độ tâm I o Nếu phương trình mặt cầu dạng 1:
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 18
GV : Thân Thị Hạnh
www.tailieupro.com
thêm nhiều tài liệu hơn
và bán kính R. Truy cập website
Xác
định các số a, b, c,đểRnhậnTâm
I(a; b; c) ; bán kính là R
o Nếu phương trình mặt cầu dạng 2:
So sánh hệ số x,y,z tìm A, B, C, D
/> /> /> /> /> />Tâm I(A; B;C)
A2
BK R
B2
C2
D
1. Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
2
2
2
Cho mặt phẳng : Ax By Cz D 0 và mặt cầu ( S ) : x a y b z c R 2
(S) có tâm I a; b; c , bán kính R . Gọi d d I ;
A.a B.b C .c D
A2 B 2 C 2
.
+ Nếu d R và (S) không giao nhau.
+ Nếu d R và (S) tiếp xúc nhau tại một điểm H. ( gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)).
+ Nếu d R và (S) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính
/> /> /> />r
R 2 d 2 và có tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên .
2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt cầu
x x0 at
2
2
2
Cho đường thẳng thẳng : y y0 bt và mặt cầu (S): x a y b z c R 2
z z ct
0
u, M 0 I
Gọi d d I ,
, trong đó M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , u ( a; b; c ) là VTCP của
u
+ Nếu d R và (S) không có điểm chung
/> /> /> /> /> />+ Nếu d R tiếp xúc với (S) ( là tiếp tuyến của mặt cầu (S))
+ Nếu d R cắt (S) tại hai điểm A, B ( gọi là cát tuyến của mặt cầu (S))
3. Vị trí tƣơng đối giữa một điểm và mặt cầu
2
2
2
Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt cầu (S): x a y b z c R 2 , tâm
I a; b; c , bán kính R thì MI
a x0
2
b y0 c z 0
2
2
+ Nếu MI R thì điểm M nằm ngoài mặt cầu (S)
+ Nếu MI R thì điểm M nằm trên mặt cầu (S)
+ Nếu MI R thì điểm M nằm trong mặt cầu (S)
LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12
Cảm
quí giáo
đã choluyện
ra đờithi
những
liệu
tuyệt11,
vời 12
<3
Toánơnthầy
Đạt viên
- chuyên
Đại tài
học
Toán
Page 19
