Tài liệu môn toán chuyên đề lượng giác

Gia sư Tài Năng Việt



CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LƯỢNG GIÁC
I. CÔNG THỨC
I. 1. Công thức lượng giác cơ bản

1

, a   k ( k  )
2
cos a
2

1
tan a.cot a  1, a   k (k  )
1  cot 2 a 
, a  k  k  
2
sin 2 a
I. 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
sin 2 a  cos 2 a  1

1  tan 2 a 

a. Cung đối:  và  
cos     cos

tan      tan 

sin      sin 

cot      cot 

b. Cung bù:  và   
sin      sin 

tan       tan 

cos      cos

c. Cung phụ:  và


2

cot       cot 





sin      cos
2




tan      cot 
2







cos      sin 
cot      tan 
2

2

d. Cung hơn kém  :  và    
sin       sin 

tan      tan 

cos      cos

cot      cot 

Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot
I. 3. Công thức cộng
sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b
sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b
cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b
cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b
tan a  tan b
1  tan a.tan b
tan a  tan b

tan  a  b  
1  tan a.tan b

tan  a  b  

Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia
1 trừ tích tan.
I. 4. Công thức nhân đôi

Trang 1


Gia sư Tài Năng Việt
sin 2a  2sin a.cos a



cos2a  cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a

tan 2a 

2 tan a
1  tan 2 a

I. 5. Công thức hạ bậc
1  cos2a
1  cos2a
1  cos2a
sin 2 a 
cos 2 a 

tan 2 a 
2
2
1  cos2a

I. 6. Công thức tính theo t  tan
2
2
2t
1 t
2t
a 

sin a 
cos a 
tan a 
   k , k  
2
2
2
1 t
1 t
1 t
2 2

I. 7. Công thức nhân ba
3 tan a  tan 3 a
sin 3a  3sin a  4sin 3 a
cos3a  4 cos 3 a  3cos a
tan 3a 

1  3 tan 2 a
I. 8. Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
ab
a b
cos a  cos b  2 cos
cos
cos a  cos b  2sin
sin
2
2
2
2
ab
a b
ab
a b
sin a  sin b  2sin
cos
sin a  sin b  2cos
sin
2
2
2
2
sin  a  b  
sin  a  b  





tan a  tan b 
tan a  tan b 
 a, b   k , k  
 a, b   k  , k  
cos a.cos b 
2
cos a.cos b 
2


I. 9. Công thức biến đổi tích thành tổng

1
cos  a  b   cos  a  b  
2
1
sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b  
2
1
sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b  
2
I. 10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
cos a.cos b 

Cung

00  0 

sin

0

cos

1

tan

0

cot

║

 
300  
6
1
2
3
2
1
3
3

 
450  
4

 
600  
3

2
2
2
2

3
2
1
2

1

3

1

1
3

 2 
1200 

 3 

 3 

1350  
 4 

3
2
1

2

2
2
2

2

║

 3

1

0



1
3

1

 
900  
2
1

0

 5 
1500  
 6 
1
2

1800  

3
2
1

3

1

 3

║



0

0

Chú ý:
 sin  

n
với   00 ; 300 ; 450 ; 600 ; 900 ứng với n = 0; 1; 2; 3; 4 .
2

Trang 2


Gia sư Tài Năng Việt



 Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại:

a0


0
180


I. 11. Đường tròn lượng giác

sin
1

π
2

3π

π

4

4

2π

π

cos

1

O

-1

0

7π

5π

4

4
-1

3π
2

Trang 3


Gia sư Tài Năng Việt



II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
II. 1. Phương trình lượng giác cơ bản:
II.1.1. Phương trình

sin x  a

 a  1 : Phương trình vô nghiệm
 a 1

 x    k 2
 sin x  sin   
k  
 x      k 2
 x   0  k 3600
 sin x  sin  0  

k 
0
0
0
 x  180    k 360



 x  arc sin a  k 2
 sin x  a  
k  
 x    arc sin a  k 2
 f  x   g  x   k 2
Tổng quát: sin f  x   sin g  x   
k 
 f  x     g  x   k 2
* Các trường hợp đặc biệt
 sin x  1  x 



2

 k 2

 sin x  1  x  
 sin x  0  x  k


2



k  

 k 2

k  

k  

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a ) sin x  sin



12

b)sin 2 x   sin 360

c) sin 3 x 

1
2

d ) sin x 

2
3

Giải




x   k 2
x   k 2



12
12
a)sin x  sin  

k  

11

12
 x     k 2
x 
 k 2


12
12
 2 x  360  k 3600
 2 x  360  k 3600
0
0

b) sin 2 x   sin 36  sin 2 x  sin  36   


0
0
0
0
0
 2 x  180   36   k 360
 2 x  216  k 360
 x  180  k1800

k 
0
0
 x  108  k180



2


3x   k 2
x  k


1

6
18

3
c)sin 3x   sin 3x  sin  

k 
2
6
3x  5  k 2
 x  5  k 2


6
18
3





Trang 4


Gia sư Tài Năng Việt



2

x  arcsin  k 2

2

3
d )sin x   
k 
3
 x    arcsin 2  k 2

3
II.1.2. Phương trình cos x  a



 a  1 : Phương trình vô nghiệm
 a 1

 cosx  cos  x    k 2  k 



 cosx  cos  x     k 360  k 
0

0



0

 cosx  a  x   arccosa  k 2  k 



Tổng quát: cosf  x   cosg  x   f  x    g  x   k 2  k  
* Các trường hợp đặc biệt

k  
cosx  1  x    k 2  k  

 cosx  1  x  k 2




 k  k  
2
Ví dụ: Giải các phương trình sau:

2
a ) cos x  cos
b) cos x  450 
4
2
 cosx  0  x 



Giải
a) cos x  cos



b) cos x  45


4

0



x


4



 k 2  k 

c)cos4 x  

2
;
2

d ) cos x 

3
4



 x  450  450  k 3600
 x  450  k 3600
2
0
0

 cos x  45  cos45  

k 
0
0
0
0
0
2
 x  90  k 360
 x  45  45  k 360





2
3
3
3

 cos4 x  cos
 4x  

 k 2  x  
 k , k 
2
4
4
16
2
3
3
d ) cos x   x   arccos  k 2 , k 
4
4
II.1.3. Phương trình tan x  a
c)cos4 x  





k  
 tan x  t an 0  x = 0  k1800  k  
 tan x  a  x = arctan a  k  k  
Tổng quát: tan f  x   tan g  x   f  x   g  x   k  k  
 tan x  t an  x =   k

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) tan x  tan



3

b) tan 4 x  

1
3





c) tan 4 x  200  3

Giải

Trang 5


Gia sư Tài Năng Việt







 k ,  k  
3
3
1

1

 1
 1
b) tan 4 x    4 x  arctan     k  x  arctan     k ,  k  
3
4
4
 3
 3
0
0
0
0
0
c) tan 4 x  20  3  tan 4 x  20  tan 60  4 x  20  60  k1800  4 x  800  k1800
a) tan x  tan



x



II.1.4. Phương trình





 x  200  k 450 ,  k 

cot x  a



k  
 cot x  cot   x =  + k1800  k  
 cot x  a  x = arc cot a + k  k  

 cot x  cot   x =  + k
0

0

Tổng quát: cotf  x   cotg  x   f  x   g  x   k  k  
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a ) cot 3 x  cot

3
7

 1

c) cot  2 x   
6
3


b) cot 4 x  3

Giải

3
3


 3x 
 k  x   k ,  k  
7
7
7
3
1

b) cot 4 x  3  4 x  arctan  3  k  x  arctan  3  k ,  k  
4
4
 1


 





c) cot  2 x   
 cot  2 x    cot  2 x    k  2 x   k  x   k ,  k 
6

6
6
6 6
3
6
2
3


a) cot 3x  cot

Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sin  2 x  1  sin  3x  1





4) cot 450  x 

3
3





2) cos  x    cos  2 x  
4

2


5) sin2x 

3) tan  2 x  3  tan



3
2



6) cos 2x  250 






3

 2
2

7) sin3x  sin x

8) cot  4x  2   3

10) sin  8 x  600   sin 2 x  0

11) cos



13) tan x  cot   2 x 
4


14) sin2x  cos3x

16) sin4x   cos x

17) sin5x   sin2x


2 
15) sin  x 
  cos2x
3 

18) sin2 2x  sin2 3x

20) sin4x  cos5x  0

21) 2sin x  2sin2x  0

19) tan  3x  2  cot 2x  0
22) sin2 2x  cos2 3x  1

x
24) cos x  2sin2  0
2



x
  cos 2 x  300
2

9) tan x  150 



23) sin5x.cos3x  sin6x.cos2x


25) tan  3x   cot  5x     1
2


3
3

12) sin x  cos 2 x  0

26) tan5x.tan3x  1

Trang 6




Gia sư Tài Năng Việt





2


27) sin  cos x  
28) tan   sin x  1   1
4

4
 2
 
Bài 2: Tìm x   ;  sao cho: tan  3x  2  3 .
 2 2


Bài 3: Tìm x   0;3  sao cho: sin  x    2cos x    0 .
3
6



HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Giải các phương trình sau:
18)

sin2 2x  sin2 3x 

1 cos4x 1  cos6x

 cos4x   cos6x  cos4x  cos  6x 
2
2

.....
22)

sin2 2x  cos2 3x  1 

1 cos4x 1  cos6x

 1  cos4x  cos6x
2
2

.....
23)

sin5x.cos3x  sin6x.cos2x 

1
1

sin2x  sin8x   sin4x  sin8x   sin2 x  sin4x

2
2

....
24)

cos x  2sin2

x
1
 0  cos x  1  cos x   0  cos x 
2
2

....


25) tan  3x   cot  5x     1 25
2



Vì tan  3x    0 hoặc cot  5x     0 không là nghiệm của pt (25) nên ta có:
2







1

tan  3x   cot  5x     1  tan  3x   
 tan  3x    tan  5x   
2
2  cot  5x   
2



...
26) tan5x.tan3x  1 26

Vì tan5x  0 hoặc tan3x  0 không là nghiệm của pt (26) nên ta có:


1
tan5x.tan3x  1  tan5x 
 tan5x  cot 3x  tan5x  tan   3x 
tan3x
2

....

Trang 7


Gia sư Tài Năng Việt

II.2. Một số phương trình lượng giác thường gặp:
II.2.1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
II.2.1.1. Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at  b  0 t trong đó a,b là các hằng số  a  0  và t là một trong các hàm số lượng giác.
1
 0; 3 tan x  1  0; 3 cot x  1  0
2
II.2.1.2. Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ: 2sin x  1  0; cos2 x 

Giải


x   k 2

1

6
a) 2sin x  1  0  sin x   sin x  sin  
k  
2
6
 x  5  k 2

6
1

1
2
2

b) cos2 x   0  cos2 x 
 cos2 x  cos
 2x  
 k 2  k    x    k  k 
2
2
3
3
3
1
1
c) 3 tan x  1  0  tan x   x  arctan  k  k  
3
3
1
2
2
d)
3 cot x  1  0  cot x 
 cot x  cot
x
 k  k  
3
3
3
II.2.1.3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:



Ví dụ: Giải phương trình sau: 2cos x  sin 2 x  0
Giải
cos x  sin 2 x  0  cos x  2sin x cos x  0  cos x 1  2sin x   0



 x  2  k

cos x  0
cos x  0




  x   l  k , l 
1

sin x 
6
1  2sin x  0

2

 x  5  l

6
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

29) 2cos x  3  0
30) 3 tan 3x  3  0



II.2.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Trang 8


Gia sư Tài Năng Việt



II.2.2.1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at  bt  c  0 , trong đó a, b, c là các hằng số  a  0  và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ:
a) 2sin 2 x  sin x  3  0 là phương trình bậc hai đối với sin x .
b) cos 2 x  3cosx  1  0 là phương trình bậc hai đối với cos2 x .
c) 2 tan 2 x  tan x  3  0 là phương trình bậc hai đối với tan x .
d) 3cot 2 3x  2 3 cot 3x  3  0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x .
2

II.2.2.2. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai
theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện 1  t  1 nếu đặt t bằng sin hoặc
cos).

Giải
a) 2sin x  sin x  3  0(1)
Đặt t  sin x , điều kiện t  1 . Phương trình (1) trở thành:
2

t  1  nhân 
2t  t  3  0   3
t   loai 
 2
Với t=1, ta được sin x  1  x  k 2  k 
2



b) cos x  3cosx  1  0  2 
2

Đặt t  cosx , điều kiện t  1 . Phương trình (2) trở thành:
 3  13
 nhân 
t 
2
2

t  3t  1  0 
 3  13
 loai 
t 

2
3  13
3  13
3  13
Với t 

ta được cosx 
 x   arccos
 k 2  k 
2
2
2
Các câu còn lại giải tương tự



II.2.2.3. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)3sin 22 x  7 cos 2 x  3  0
b)7 tan x  4cot x  12
Giải
a)3sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0  3 1  cos 2 2 x  7 cos 2 x  3  0





 3cos 2 2 x  7 cos 2 x  0  cos 2 x  3cos 2 x  7   0
cos 2 x  0

3cos 2 x  7  0
*) Giải phương trình: cos 2 x  0  2 x 


2

 k  x 

*) Giải phương trình: 3cos 2 x  7  0  cos 2 x 
Vì


4

k


2

,k 



7
3

7
 1 nên phương trình 3cos 2 x  7  0 vô nghiệm.
3

Trang 9


Gia sư Tài Năng Việt

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 



b)7 tan x  4cot x  12 1

4

k


2

,k 



Điều kiện: sin x  0 và cos x  0
Khi đó:
1
 12  0  7 tan 2 x  12 tan x  4  0
1  7 tan x  4.
tan x
Đặt t  tan x , ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t 2  4t  12  0

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
32) cos2 x  sin x  1  0
35) 2cos2x  2cosx - 2  0
38) 24 sin 2 x  14cosx 21  0

31) 2cos2 x  3cos x  1  0
34) 2sin 2 x  5sinx – 3  0
37) 3 tan 2 x  (1  3) tan x=0



39) sin 2  x    2cos
3




 x   1
3


33) 2cos2x  4cos x  1
36) 6 cos2 x  5 sin x  2  0

40) 4cos2 x 2( 3 1)cosx  3  0

II.2.3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:
II.2.3.1. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng
a.sin 2 x  b.sin x cos x  c.cos 2 x  d  a, b, c  0 
II.2.3.2. Phương pháp:
 Kiểm tra cos x  0 có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.
 cos x  0 chia cả hai vế cho cos 2 x đưa về phương trình bậc hai theo tan x :
 a  d  tan 2 x  b tan x  c  d  0
Ví dụ: Giải phương trình sau

Bài tập đề nghị:
41) 3sin 2 x  4sin x cos x+5cos2 x  2

42) 2cos 2 x  3 3 sin 2 x  4sin 2 x  4
44) 4sin 2 x  5sin x cos x  6cos 2 x  0
46) 4sin 2 x  6cos 2 x  0

43) 25sin 2 x  15sin 2 x  9cos 2 x  25
45) 4sin 2 x  5sin x cos x  0
II.2.4. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :

II.2.4.1. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng
a sin x  b cos x  c trong đó a, b, c  và a 2  b2  0
Ví dụ: sin x  cos x  1; 3cos 2 x  4sin 2 x  1;
II.2.4.2. Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho
a
b
c
sin x 
cos x 
2
2
2
2
2
a b
a b
a  b2
c

 1 : Phương trình vô nghiệm.
 Nếu
2
a  b2
 Nếu

c
a b
2

2

 1 thì đặt cos 

a
a b
2

2

 sin  

a 2  b 2 ta được:

b
a  b2
2

Trang 10

Gia sư Tài Năng Việt
(hoặc sin  

a

 cos 


b

)
a  b2
c
c
Đưa phương trình về dạng: sin  x    
(hoặc cos  x    
) sau đó giải phương trình
a 2  b2
a 2  b2
lượng giác cơ bản.
a b
2

2

2

Chú ý: Phương trình a sin x  b cos x  c trong đó a, b, c 

và a 2  b2  0 có nghiệm khi c2  a 2  b2 .

Giải
Ví dụ: giải các phương trình sau:
a) sin x  cos x  1;

b) 3cos 2 x  4sin 2 x  1;

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
47) 2sin x  2cos x  2

48) 3sin x  4cos x  5

50) 3cos x  4sin x  5
51) 2sin 2 x  2 cos 2 x  2

 1
53) sin4 x  cos4  x    (*)
4 4


49) 3sin  x  1  4cos x  1  5
52) 5sin 2 x  6cos 2 x  13;(*)
54) sin x  3 cos x

III. BÀI TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1
3
55. sin 2 x 

56. cos2 x  
2
2



 1
58. cot   5 x  
59. sin 2 x  sin  x  
4
8

 5
61. cos  2 x  200   sin  600  x 





62. tan  x     cot  2 x  
6
3



Bài 2. Giải các phương trình sau:


64. 2sin  3x    3  0
65. cos2 2 x  cos2x=0

6

2
67. 2sin x  sin x  3  0
68. 4sin 2 x  4cos x  1  0
70. 2cot 4 x  6cot 2 x  4  0

57. tan  x  300   

1
3




60. cot  2 x    cot   5 x 
3

4

1
63. tan 2 5 x 
3

66.  tan x  1 cos x  0
69. tan x  2cot x  3  0

71. sin 4 x  cos4 x  cos x  2

72. 1  cos4 x  sin 4 x  2 sin 2 2 x (*)

73. 3sin 2 x  2sin x cos x  cos 2 x  0

74. cos2 x  sin 2 x  3 sin 2 x  1

75. sin 2 2 x  sin 4 x  2 cos 2 2 x 

Bài 3. Giải các phương trình sau:
76. 3sin x  4cos x  5
77. 2 sin 2 x  2 cos 2 x   2
1
79. sin 2 x  sin 2 x 
80. cos 2 x  9cos x  5  0
2
Bài 4. Giải các phương trình sau:
81) sin 6 x  3 cos 6 x  2

78.

1
2

3 cos x  sin x  2

Trang 11


Gia sư Tài Năng Việt
82)

cos 2 x  sin x  1  0

83)
84)

3sin x  3 cos x  1
5cos 2 x  12sin 2 x  13
1
sin 2 x  sin 2 x 
2
2
cos x  sin x  2

85)
86)
87)
88)
89)
90)
91)
92)
93)
94)



4sin 2 x  3 3sin 2x 2cos2 x  4
24sin 2 x  14cosx  21  0





tan   2 x   cot   2 x   3  0
6

6





sin 2  x    2 cos  x    1
3
3


2
3sin x  8sinxcosx  8 3  9 cos 2 x  0





2sin 3x  2 sin 6 x  0
3 cos 2 x  5 sin 2 x  1




sin  x    3cos  x    1

3
3







95)

4cos 2 x 2

96)

sin x –10sinxcosx  21cos 2 x  0

97)
98)

cos2 x  sin 2 x  2sin 2x  1
cos 4x  sin3x.cosx  sinx.cos 3x
1
sinx  cosx 
sinx

99)

3  1 cosx  3  0

2

Dành cho HS khá – giỏi
100)

cos x  3 sin x  2cos3x

101)
HD:

tanx  tan 2x  tan 3x

tanx  tan 2x  tan 3x 

sin 3x
sin 3x
1
1 


 sin 3x 

0
cos x.cos 2 x cos 3x
 cos x.cos 2 x cos 3x 

Giải phương trình

Trang 12

Gia sư Tài Năng Việt



1
1

0
cos x.cos 2 x cos 3 x
 cos 3 x  cos x.cos 2 x  0





 4 cos3 x  3cos x  cos x. 2 cos 2 x  1  0
 2 cos x  2 cos x  0
3





 cos x cos 2 x  1  0
...
102)

 2sinx  cosx 1

 cosx   sin 2 x

(1  cos 2x)sin 2x  sin 2 x
Hướng dẫn:
(1  cos 2x)sin 2x  sin 2 x
104) cosx 1  tanx  sinx  cosx   sinx

103)

105)

cot x  tan x  sin x  cos x
Hướng dẫn
cot x  tan x  sin x  cos x , (điều kiện sin x  0 và cos x  0 )
cos x sin x


 sin x  cos x
sin x cos x
cos 2 x  sin 2 x

 sin x  cos x
sin x cos x
  cos x  sin x  cos x  sin x    sin x  cos x  sin x cos x  0
  cos x  sin x  cos x  sin x  sin x cos x   0
cos x  sin x  0  91a 

cos x  sin x  sin x cos x  0  91b 
HD giải pt 91b):
cos x  sin x  sin x cos x  0

Đặt t  cos x  sin x  t 2   cos x  sin x   1  2sin x cos x   sin x cos x 
2

t 2 1
2

Thay vào phương trình, ta được:
t 2 1
t
 0  t 2  2t  1  0  t  1  2  t  1  2
2
Ta giải 2 phương trình: cos x  sin x  1  2 ; cos x  sin x  1  2
106) sin 2 2x  2 cos 2 x 

3
 0
4

3
3
 0  1  cos 2 2 x  1  cos 2 x    0
4
4
Giải phương trình bậc hai đối với hàm số cos 2x
2sin 17x  3cos 5x  sin 5x  0
HD:

HD: sin 2 2x  2 cos 2 x 
107)

Trang 13


Gia sư Tài Năng Việt



2sin17x  3cos 5x  sin 5x  0
3
1
cos 5x  sin 5x  0
2
2


 sin17x  sin   5 x   0
3

...
cos 7x  sin 5x  3  cos 5x  sin 7x 
 sin17x 

108)

x

tan 2x  450 . tan 1800    1
2


1  cos 2 x
sin 2 x

200)
cos x
1  cos 2 x
b) cos 2 x  sin x  cos x  0



109)



HƯỚNG DẪN GIẢI
52) 5sin 2 x  6cos x  13;(*)
 5sin 2 x  3 1  cos 2 x   13
2

 sin 2 x  3cos 2 x  16
.......
2



 
2
1  cos 2x   
2 


  1  1  cos2x  
1

53) sin4 x  cos4  x     

 

4 4
2
2
4







 1  cos2x   1  sin2 x   1
2

2

 1  2cos2x  cos2 2x  1  2sin2x  sin2 2 x  1
 1  cos2x  sin2x  0
 cos2x  sin2x  1


1

cos2x 

2
 sin

1

sin2 x 

2



1
2





cos2 x  cos sin2 x  sin
4
4
4



 sin   2x   sin
4
4



...
72) 1  cos4 x  sin 4 x  2 sin 2 2 x

1  cos4 x  sin 4 x 

2 sin 2 2 x



Trang 14


Gia sư Tài Năng Việt
85) sin 2 x  sin 2 x 



1
2

1
1
1  cos 2 x   sin 2 x 
2
2
 sin 2 x  cos 2 x  0
...
87) cos x  3 sin x  cos3x



cos x  3 sin x  cos3x

BÀI TẬP BỔ SUNG:
Giải các phương trình sau:
201) cos5x sin4x  cos3x sin2x
1
202) cos2 x  cos2 2x 
2
203) sin x  sin2x  sin3x  cos x  cos2x  cos3x
204) sin3x  sin5x  sin7x  0
205) cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  1 (*)
 3 
 3 x 
206) sin   x   2sin3 
  (*) (hay)
4 2 
 4 2
HD : t 

 3 
3 x  3
   x  3t  2  sin   x   sin3t
4 2
4 2
4 2 





3 
207) sin  3x    2sin  x 

4
4 



III. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM
1) cos 2 3x cos 2 x  cos 2 x  0
2) 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos2 x  0

 
 3

cos 4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0
4 
4 2

6
6
2 cos x  sin x  sin x cos x
4)
0
2  2sin x
x

5) cot x  sin x 1  tan xtan   4
2


6) cos3x  cos2 x  cos x 1  0
3)





(Khối A - 2005)
(Khối B - 2005)
(Khối D - 2005)
(Khối A - 2006)
(Khối B - 2006)
(Khối D - 2006)

7) 1  sin 2 x  cos x  1  cos 2 x  sin x  1  sin 2 x

(Khối A – 2007)

8) 2sin 2 2 x  sin 7 x  1  sin x

(Khối B – 2007)

2

x
x

9)  sin  cos   3 cos x  2
2

2


(Khối D – 2007)

Trang 15


Gia sư Tài Năng Việt
 7

 4sin 
 x
3 

 4

sin  x 

2


3
3
11) sin x  3 cos x  sin xcos 2 x  3 sin 2 xcosx

10)

1


sin x

1

12) 2sin x 1  cos2 x   sin 2 x  1  2cos x
13)

1  2sin x cos x
 3
1  2sin x 1  sin x 


(Khối A – 2008)

(Khối B – 2008)
(Khối D – 2008)
(Khối A – 2009)

14) sin x  cos x sin 2 x  3 cos 3x  2  cos 4 x  sin 3 x 

(Khối B – 2009)

15) 3 cos5 x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0

(Khối D – 2009)



1  sin x  cos2 x sin  x  
1

4

16)

cos x
1  tan x
2
17)  sin 2 x  cos 2 x  cos x  2 cos 2 x  sin x  0

(Khối A – 2010)
(Khối B – 2010)

18) sin 2 x  cos2 x  3sin x  cos x 1  0
1  sin 2 x  cos2 x
 2sin x.sin 2 x
19)
1  cot 2 x
20) sin 2 x cos x  sin x cos x  cos2 x  sin x  cos x
sin 2 x  2 cos x  sin x  1
0
21)
tan x  3
22) 3 sin 2 x  cos2 x  2cos x  1

(Khối D – 2010)

23) 2 cos x  3 sin x cos x  cos x  3 sin x  1

(Khối B - 2012)

24) sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x  2 cos 2 x

(Khối D - 2012)





(Khối A - 2011)
(Khối B - 2011)
(Khối D - 2011)
(Khối A và A1 - 2012)

Trang 16