1TOM TAT LY THUYET DANG TOAN CHUONG 3 HH LOP 12 OXYZ (2)

Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018

GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201

TÓM TẮT LÝ THUYẾT – DẠNG TOÁN CHƯƠNG 3 HH LỚP 12
I. TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

1. M ( xM ; yM ; zM )  OM  xM i  yM j  zM k

1. a  (a1; a2 ; a3 )  a  a1 i  a2 j  a3 k

2. Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB)

2. Các tính chất:
Cho hai vecto a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) ta có:



AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )



AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A ) 2  ( zB  z A ) 2

3. M là trung điểm AB thì :

 x  x B  x C y A  y B  yC z A  z B  z C 
G A

;
;

3
3
3


5. G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì:
G  xA  xB  xC  xD ; yA  yB  yC  yD ; z A  zB  zC  zD 
4
4
4



6. Ứng dụng của tích có hướng:

SABC 

1
AB, AC 

2

b) Diện tích h b hành ABCD: SABCD   AB, AD 


c) Thể tích tứ diện ABCD: VABCD 

1
AB, AC  . AD

6

d) Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ = [ AB, AD]. AA '
7. Tọa độ các điểm đặc biệt:
M  Ox  M ( x;0;0)
M  Oy  M (0; y;0)
M  Oz  M (0;0; z )

 ka  (ka1; ka2 ; ka3 )

z

 a.b  a1b1  a2b2  a3b3

 x  x y  yB z A  z B 
M A B ; A
;

2
2 
 2
4. G là trọng tâm của ABC thì:

a) Diện tích tam giác ABC:

 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )

M  (Oxy )  M ( x; y;0)
M  (Oxz )  M ( x;0; z )
M  (Oyz )  M (0; y; z )

k  (0;0;1)
O j  (0;1;0)

a1  b1

 a  b  a2  b2
a  b
 3 3

y

i  (1;0;0)

 | a | a  a2  a3
2
1

2

x

2

 a  b  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0
a1.b1  a2 .b2  a3 .b3
 cos(a, b) 

a12  a22  a32 . b12  b22  b32
(với a  0 , b  0 )
3. Tích có hướng của 2 vectơ:
a
a  b   a, b    2
 b2
Độ dài tích có hướng :

a
 a, b    2
 
 b2


2

a3 a3
;
b3 b3

a3 a3
;
b3 b3
2

a1 a1
;
b1 b1

 

a1 a1
;
b1 b1

a2 

b2 

2
a2 

b2 


Hoặc u , v   u . v sin u , v
4. Điều kiện 2 vectơ cùng phương:
 a cuøng phöông b 

a1 a2 a3
 
(b , b , b  0)
b1 b2 b3 1 2 3

 a cuøng phöông b   a, b   0
 
5. Điều kiện 3 vectơ đồng phẳng:

a, b, c đồng phẳng   a, b  .c  0
 

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: Cho 2mp
(  1 ): A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
(  2 ): A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

6. A, B, C thẳng hàng AB, AC cùng phương.
KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm Mo (xo ;yo ;zo ) đến mặt phẳng

 A2 ; B2 ; C2  0

A B C
 (  1 ) cắt (  2 )  1 ; 1 ; 1 có một cặp khác nhau
A2 B2 C2

(  ): Ax + By + Cz + D = 0:

d ( M o ,( )) 

Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 1

Axo  Byo  Czo  D
A2  B 2  C 2


Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018

 (  1 ) // (  2 )



A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2

 ( 1 ) ≡ (  2 )



A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2

GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Khoảng cách từ điểm M0 đến đt d (d đi qua M1 và
 a, M 0 M 

có VTCP a ): d ( M 0 , d )  
a

 (  1 )  (  2 )  n1.n2  0  A1. A2  B1.B2  C1.C2  0
2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho 2 đt

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

d1 qua M1 và có VTCP a1 ;

d1 qua M1 và có VTCP a1 ; d2 qua M2 và có VTCP a2

d2 qua M2 và có VTCP a2
  a1 , a2   0  d1 cắt d2

 d1 //d2   
  a1 , a2   0


 M1  d 2

  a1 , a2   0
  a1 , a2  .M 1M 2  0

 d1  d2   
 M1  d 2
 d1 chéo d2  a1 , a2  .M1M 2  0
 d1  d 2
 a1.a2  0

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
a) Cách 1:
 x  x0  a1t

Cho d:  y  y0  a2t và (  ): Ax  By  Cz  D  0

z  z  a t
0
3

+ Thay ptts của d vào pt (  ) ta có:
A(xo + a1 t) + B(yo + a2 t) + C(z0 + a3 t) + D = 0 (1)
 Phương trình (1) có 1 nghiệm  d cắt (  )
 Phương trình (1) vô nghiệm  d // (  )
 Phương trình (1) vô số nghiệm  d  (  )
* Tìm tọa độ giao điểm I của d và (  ):



Thay ptts của d vào pt (  ), giải tìm t
Thay t vừa tìm được vào ptts của d tìm x,y,z
 I(x;y;z)

b) Cách 2:
Đt d đi qua M và có VTCP a ; mp (  ) có VTPT n
 d cắt (  )  a.n  0

a.n  0
 d // (  )  

 M  ( )




a.n  0

d  ( )  

 M  ( )
d  ( )  a; n cùng phương.

 a1 , a2  .M 1M 2


 a1 , a2 


4. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:
d  d1 , d 2  

d  d1 , d 2   d  M , d 2  (lấy M  d1 )
5. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:
d  (1 ),( 2 )   d  M ,( 2 )  (lấy M  (1 ) )
6. Khoảng cách giữa đt và mp song song:
d  d , ( )   d  M , ( )  (lấy M  d )
GÓC
1. Góc giữa 2 mặt phẳng:
Cho (1 ) có VTPT n1 , ( 2 ) có VTPT n2 , ta có :

cos  

n1.n2
n1 . n2

2. Góc giữa 2 đường thẳng:
Cho d1 có VTCP a1 , d2 có VTCP a2 , ta có :

cos  

a1.a2
a1 . a2

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho d có VTCP a , ( ) có VTPT n , ta có :

sin  

n.a
n.a

4. Góc trong tam giác ABC :

cos A 

AB.AC
AB.AC

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1. Muốn viết phương trình mặt cầu (S) ta cần tìm 2 yếu tố: tâm và bán kính
Mặt cầu (S) có:
+ Tâm I(a;b;c)
Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 2

r I

Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018

GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201

+ Bán kính r
Vậy ptmc (S): ( x  a) 2  ( y  b)2  ( z  c) 2  r 2
2. Mặt cầu (S): x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0

có tâm I (a;b;c) , bán kính

r  a 2  b2  c 2  d , (với a 2  b 2  c 2  d  0 ).

1/ Bài toán 1: Viết phương trình mặt cầu dạng cơ bản
Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A( x A ; y A ; z A ) :
Mặt cầu (S) có:
+ Tâm I(a;b;c)

A
 x A  xI    y A  y I    z A  z I 

+ Do (S) đi qua A nên có bán kính: r  IA 

2

2

r I

2

r  IA

Vậy ptmc (S): ( x  a) 2  ( y  b)2  ( z  c) 2  r 2
Dạng 2: Mặt cầu (S) có đường kính AB:
Mặt cầu (S) có:
 x  x y  yB z A  z B 
+ Gọi I là trung điểm của AB  Tâm I  A B ; A
;

2
2 
 2

A

 xB  xA    yB  yA    zB  z A 
+ Do (S) có đkính AB nên có bkính: r  AB 
2

2

2

B

2

AB
2

(r  IA  IB)
r

2

(Ta có thể tính bán kính r = IA hay r = IB)
Vậy ptmc (S): ( x  a) 2  ( y  b)2  ( z  c) 2  r 2

r I

Dạng 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc với mp(P): Ax+By+Cz+D = 0:
Mặt cầu (S) có:
+ Tâm I(a;b;c)
Aa  Bb  Cc  D
+ Do (S) tiếp xúc với mp(P) nên có bán kính: r  d  I ,( P)  
A2  B 2  C 2
Vậy ptmc (S): ( x  a) 2  ( y  b)2  ( z  c) 2  r 2

I
r
P) r  d(I,(P)

Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D:
+ Gọi ptmc (S): x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (đk: a 2  b 2  c 2  d  0 )
+ Do (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D nên: (Thay lần lượt tọa độ A,B,C,D vào ptmc (S) có hệ 4 pt, giải hệ tìm
a,b,c,d)
+ Vậy ptmc (S): x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Phương trình tổng quát: Muốn viết phương trình tổng
quát của mp(P) ta cần tìm 2 yếu tố:

+ Điểm thuộc mp(P) là: M0 (x0 ;y0 ;z0 )



+ VTPT của mp(P) là: n  ( A; B; C ) , n  0

VTPT n  (A; B;C)



(VTPT là vectơ vuông góc với mp(P))
 Ptmp (P) có dạng: A(x - x0 ) + B(y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0
2. Chú ý
* Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = 0 thì có

M 0  x 0 ; y0 ; z 0 

P)

3. Các trường hợp đặc biệt:
 ( ) / /Ox  ( ) : By  Cz  D  0  D  0  ( )  Ox 

Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 3


Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018

GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201

véctơ pháp tuyến là n  ( A; B; C ) .

 ( ) / /Oy  ( ) : Ax  Cz  D  0  D  0  ( )  Oy 

* Ptmp theo đoạn chắn: Nếu mp(P) cắt các
trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0),
B(0;b;0), C(0;0;c) thì:

 ( ) / /Oz  ( ) : Ax  By  D  0  D  0  ( )  Oz 

(P):

(Oxy ) : z  0; (Oxz ) : y  0; (Oyz ) : x  0 .

x y z
   1 ( a, b, c  0) .
a b c

1/ Bài toán 1: (P) có điểm thuộc và có 1 VTPT
* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một
điểm thuộc (P) và một VTPT vuông góc với (P)
+ Điểm thuộc mp(P) là: M0 (x0 ;y0 ;z0 )



+ VTPT của mp(P) là: n  ( A; B; C ) , n  0



 Ptmp (P) là: A(x - x0 ) + B(y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0

VTPT n  (A; B;C)

M 0  x 0 ; y0 ; z 0 

P)

* Một số cách xác định VTPT thường gặp:
1/ (P) // (Q): Ax + By + Cz + D = 0
+ VTPT của (Q) là: n(Q)  (A;B;C)

n P  n Q

P)

+ Do (P) // (Q) nên (P) có VTPT là: n(P)  n(Q)  (A;B;C)

Q)

 x  x0  a1t
x  x0 y  y0 z  z0

2/ (P)  d:  y  y0  a2t (hay d:
)


a
a
a
1

2
3
z  z  a t
0
3


nP  a d

d

P)

+ VTCP của d là: a d  (a1;a 2 ;a 3 )
+ Do (P) // (Q) nên (P) có VTPT là: n (P)  a d  (a1;a 2 ;a 3 )
3/ (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB
 x  x y  yB z A  z B 
+ Gọi I là trung điểm của AB  I  A B ; A
;
  ( P)
2
2 
 2

B n  P   AB
I

P)

+ Do (P)  AB nên (P) có VTPT: n  AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  zA 

A
B n  P   AB

4/ (P)  AB thì (P) có VTPT: n  AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  zA 

P)
A
2/ Bài toán 2: (P) có điểm thuộc và có 2 VTCP
* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một
điểm thuộc (P) và 2 VTCP u, v của (P) (VTCP là vectơ nằm trong
(P) hay song song với (P))

VTPT n   u, v 
v

+ Điểm thuộc mp(P) là: M0 (x0 ;y0 ;z0 )
+ VTPT của mp(P) là: n  u, v   ( A; B; C )

 Ptmp (P) là: A(x - x0 ) + B(y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0
* Một số cách xác định VTCP của mp(P):

Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 4

u

P)

M0

Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018

GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201

1/ (P) // d hay (P) chứa d thì VTCP a d của d là 1 VTCP của (P)

ad

d

P)

d

ad

2/ (P) // AB hay (P) chứa AB thì AB là 1 VTCP của (P)

P)

A

B
AB

3/ (P)  (Q) thì VTPT n  Q  của Q là 1 VTCP của (P)

n Q

P)
Q)

 x  x0  a1t
x  x0 y  y0 z  z0

4/ Chú ý: Nếu (P) chứa d:  y  y0  a2t (hay d:
)


a1
a2
a3
z  z  a t
0
3

thì (P) chứa luôn điểm M thuộc d
Lấy M  x 0 ; y0 ; z 0   d  M  x 0 ; y0 ; z 0   (P)

d
P)

M

3/ Bài toán 3: (P) có 1 VTPT (hoặc 2 VTCP) nhưng chưa có điểm thuộc
* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định 1 VTPT hay 2 VTCP của (P)
+ VTPT của mp(P) là: n  ( A; B; C )

 Ptmp (P) là: Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó D là ẩn chưa biết, đặt đk cho D nếu cần)
+ Sử dụng dữ kiện còn lại để tìm D, các dữ kiện thường gặp là:
+ d ( M ,( P)) 

Axo  Byo  Czo  D

D
A2  B 2  C 2
+ mp(P) tiếp xúc mặt cầu  d(I, (P))  R  D (I và R là tâm và bán kính của mặt cầu (S))
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số: Muốn viết phương trình 2. Phương trình chính tắc: Muốn viết phương
tham số của đt d ta cần tìm 2 yếu tố:
trình chính tắc của đt d ta cần tìm 2 yếu tố:
+ Điểm thuộc d là: M0 (x0 ;y0 ;z0 )
+ Điểm thuộc d là: M0 (x0 ;y0 ;z0 )



+ VTCP của d là: a  (a1;a 2 ;a 3 ) , a  0



(VTCP là vectơ nằm trên d hay song song với d)
 Ptts của d:

+ VTCP của d là: a  (a1;a 2 ;a 3 ) ,  a1; a2 ; a3  0 

 Ptct của d:

x  x0 y  y0 z  z0



a1
a2
a3

 x  x0  a1t

 y  y0  a2t (t  )
z  z  a t
0
3

3. Chú ý:
 VTCP của trục Ox là : i  (1;0;0)

VTCP a
a

d
M0



VTCP của trục Oy là : j  (0;1;0)



VTCP của trục Oz là : k  (0;0;1)

4. Cách tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 5


Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018

 x  x0  a1t

Cho d:  y  y0  a2t và (P): Ax  By  Cz  D  0
z  z  a t
0
3

+ Tọa độ giao điểm I của d và (P) là nghiệm của hệ:
 x  x0  a1t
y  y  a t

0
2

z

z

a
0
3t

 Ax  By  Cz  D  0

+ Thay ptts của d vào pt (P) ta có:
A(xo + a1 t) + B(yo + a2 t) + C(z0 + a3 t) + D = 0 (1)
+ Giải pt(1) tìm t
+ Thay t vừa tìm được vào ptts của d tìm x,y,z
+ Giao điểm của d và (P) là : I(x;y;z)

GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201

x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3
và (P): Ax  By  Cz  D  0
+ Tọa độ giao điểm I của d và (P) là nghiệm của
hệ
 x  x0 y  y0 z  z0



a2
a3
 a1
 Ax  By  Cz  D  0

+ Chuyển hệ trên về hệ 3 pt 3 ẩn tìm x,z,y
+ Giao điểm của d và (P) là : I(x;y;z)
* Chú ý: Nếu d:

1/ Bài toán 1: d có điểm và có VTCP
* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một điểm thuộc d và một VTCP nằm
trên d hay song song với d
+ Điểm thuộc d là: M0 (x0 ;y0 ;z0 )



+ VTCP của d là: a  (a1;a 2 ;a 3 ) , a  0



(VTCP là vectơ nằm trên d hay song song với d)

 x  x0  a1t

 Ptts của d:  y  y0  a2t (t  )
z  z  a t
0
3

* Một số cách xác định VTCP thường gặp:
1/ d  (P): Ax + By + Cz + D = 0
+ VTPT của (P) là: n (P)  (A;B;C)

d

+ Do d  (P) nên d có VTCP là: a d  n (P)  (A;B;C)

a d  nP

P)

 x  x0  a1t
x  x0 y  y0 z  z0

2/ d //  :  y  y0  a2t (hay  :
)


a1
a2
a3
z  z  a t
0
3


ad  a



+ VTCP của  là: a   (a1;a 2 ;a 3 )

d

+ Do d //  nên d có VTCP là: a d  a   (a1;a 2 ;a 3 )
3/ d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP: ad  AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  zA 

a d  AB

d A

B

2/ Bài toán 2: d có điểm và có 2 VTPT
* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một
điểm thuộc d và 2 VTPT u, v của d (VTPT là vectơ vuông góc với d)
+ Điểm thuộc d là: M0 (x0 ;y0 ;z0 )
+ VTCP của d là: a d  u, v   (a1; a2 ; a3 )

VTCP a   u, v 
u
d
M0

Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 6

v


Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018

GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201

 x  x0  a1t

 Ptts của d:  y  y0  a2t (t  )
z  z  a t
0

3

* Một số cách xác định VTPT của đt d:
1/ d   thì VTCP a  của  là 1 VTPT của d



a

d
2/ d // (P) hay d nằm trong (P) thì VTPT n  P  của (P) là 1 VTPT của d

n P

d

P) d
3/ d  AB thì AB là 1 VTPT của d

B AB

d A
3/ Bài toán 3: d có điểm thuộc, chưa có 1 VTCP hoặc d có 1 VTCP, chưa có điểm thuộc (bài toán
này thường cho đt d “cắt” đường thẳng  cho trước)
 x  x0  a1t

1/ PP chung: Giả sử d đi qua A và cắt  :  y  y0  a2t tại M
z  z  a t
0
3



+ Gọi M  d   M  x0  a1t; y0  a2t ; z0  a3t   

+ Tính AM   A; B;C  (ẩn là t)
+ Dựa vào dữ kiện còn lại để tìm ẩn t, các dữ kiện hay gặp là:
+ AM  a  (a1; a2 ; a3 )  n  P .a  0  A.a1  B.a 2  C.a 3  0

a

b
M

d
A

A B C
+ AM cùng phương với b  (b1;b2 ;b3 )  


b1 b2 b3
+ Khi có t ta tìm tọa độ điểm M
+ Viết phương trình đường thẳng d cần tìm đi qua A và M.
*Lưu ý: Nếu đt d cắt 2 đt 1 ,  2 cho trước thì ta gọi hai điểm
M  d  1 , N  d   2 theo 2 ẩn t 1 , t 2 . Sử dụng dữ kiện đề bài tìm t 1 , t 2
2/ Chú ý:
+ M  d  Ox  M(x 0 ;0;0)  Ox ; M  d  Oy  M(0; y 0 ;0)  Oy; M  d  Oz  M(0;0; z 0 )  Oz

B  0
+ AM   A; B;C  cùng phương với i  (1;0;0)  

C  0
3/ Đt d là đường vuông góc chung của 2 đt d1 và d2
 x  x0  a1t
 x  x1  b1t '


;
d1 :  y  y0  a2t d 2 :  y  y1  b2t '
z  z  a t
z  z  b t '
1
3
0
3



d2 B

+ VTCP của đt d1 là : ad1  (a1 ; a2 ; a3 )
+ VTCP của đt d1 là : ad2  (b1 ; b2 ; b3 )
+ Gọi A, B là chân đường vuông góc chung của d 1 , d2
+ Ta có: A  d1  A( x0  a1t ; y0  a2t ; z0  a3t )
B  d 2  B( x1  b1t '; y1  b2t '; z1  b3t ')
+ AB là đường vuông góc chung
Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 7

d1

A

a d2

AB
a d1


Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018

GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201



 AB  ad1
 AB.ad1  0
 Giải hệ tìm t, t’


AB

a
AB
.
a

0


d

d

2

2
+ Suy ra tọa độ A, B
+ Viết ptđt d đi qua 2 điểm A, B.
V. TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG THỎA ĐIỀU KIỆN
 x  x0  a1t

1/ PP chung: Giả sử cần tìm điểm M thuộc đt d :  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3

+ Gọi M  x0  a1t; y0  a2t ; z0  a3t   d
+ Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm ẩn t  M(...;...;...)

* Các dữ kiện hay gặp:
1/ AB  ( xB  xA )  ( yB  y A )  ( zB  z A )
2

2/ d (M ,( )) 

2

2

Axo  Byo  Czo  D

A2  B 2  C 2
 a, MM 0 


3/ d ( M , d ) 
M0  d 
a

1
AB, AC 

2
8/ A, B, C thẳng hàng
 AB  (a1; a2 ; a3 ), AC  (b1; b2 ; b3 )
a
a
a
cùng phương  1  2  3
b1 b2 b3

7/ SABC 

9/ a  (a1; a2 ; a3 ) vuông góc b  (b1; b2 ; b3 )

4/ ABC vuông tại A  AB  AC  AB. AC  0
5/ ABC cân tại A  AB  AC

 AB  BC
6/ ABC đều  
 AB  AC

2/ Chú ý: + M(x 0 ;0;0)  Ox

(Cần đưa ptđt d về ptts)

 a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0
a
a
a
10/ a cùng phương với b  1  2  3
b1 b2 b3

M(0; y 0 ;0)  Oy

M(0;0; z 0 )  Oz

+ Nếu đề bài yêu cầu tìm 2 điểm M  1 , N   2 thì ta gọi tọa độ điểm M, N lần lượt theo 2 ẩn t 1 , t 2 . Sử
dụng dữ kiện đề bài tìm t 1 , t 2
VI. TÌM ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG
1/ PP chung: Giả sử cần tìm điểm M thuộc mp(P): Ax + By + Cz + D = 0
+ Gọi M  a; b; c   ( P)  A.a  B.b  C.c  D  0 (ta được một phương trình chứa ẩn a,b,c)
+ Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm thêm 2 phương trình chứa ẩn a,b,c.
+ Giải hệ phương trình tìm a,b,c  M(...;...;...)
2/ Chú ý: M  (Oxy)  M(a; b;0) ; M  (Oyz)  M(0; b;c) ;

M  (Oxz)  M(a; 0;c)

VII. HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC - ĐỐI XỨNG – KHOẢNG CÁCH
1/ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
Dạng 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mp (P):
+ Lập ptđt d qua A và vuông góc với (P):

 A(x0 ;y0 ;z0 )  d
 VTCP: a  nP
(Do d  (P))

 x  x0  a1t

 ptts của d:  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3

+ Gọi H là hình chiếu của A lên (P), ta có: H  d  ( P )
+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 8

d
A

P)

H


Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018

GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201

Dạng 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đt d:
+ Lập ptmp (P) qua A và vuông góc với d:

 M0 (x0 ;y0 ;z0 )  (P)
 VTPT: n  ad (Do (P)  d)

 ptmp (P): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
+ Gọi H là hình chiếu của A lên d, ta có: H  d  ( P )
+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
Dạng 3: Tìm hình chiếu vuông góc d’ của đt d trên mp (P): (d cắt (P))
+ Gọi A  d  ( P ) ,thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ A
+ Lấy điểm M  d, viết ptđt  qua M và  (P)
+ Gọi B    ( P) ,thay ptts  vào pt (P) tìm tọa độ B
+ Viết ptđt d’ đi qua 2 điểm A, B là đt cần tìm.

d

P) A

H


A
P)

d
M
B d'

2/ ĐỐI XỨNG
Dạng 1: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua mp (P):
+ Lập ptđt d qua A và vuông góc với (P):
 A(x0 ;y0 ;z0 )  d

 VTCP: a  nP
(Do d  (P))

d

 x  x0  a1t

 ptts của d:  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3

+ Gọi H là hình chiếu của A lên (P), ta có: H  d  ( P )
+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P)
 H là trung điểm của AA’  A '  2 xH  xA ; 2 yH  y A ; 2 zH  z A 

A
H

P)

A'

Dạng 2: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua đt d:
+ Lập ptmp (P) qua A và vuông góc với d:
 M0 (x0 ;y0 ;z0 )  (P)
 VTPT: n  ad (Do (P)  d)
 ptmp (P): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
+ Gọi H là hình chiếu của A lên d, ta có: H  d  ( P )

+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d
 H là trung điểm của AA’  A '  2 xH  xA ; 2 yH  y A ; 2 zH  z A 
Dạng 3: Viết ptmp (P’) đối xứng với mp (P): Ax+By+Cz+D=0 qua
điểm A
+ Do (P’) đối xứng với (P) qua A nên (P’) // (P)
 (P) có pt dạng: Ax+By+Cz+D’= 0 (D’  D)
+ Do (P’) đối xứng với (P) qua A nên: d(A,(P’)) = d(A,(P))  D’
+ Vậy ptmp (P’): Ax+By+Cz+D’=0

d

A'

P) A H

P ')
A

P)

3/ KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng:
Khoảng cách từ điểm Mo (xo ;yo ;zo ) đến mặt

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
d1 qua M1 và có VTCP a1 ; d2 qua M2 và có VTCP a2

Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201

Trang 9


Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018

GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201

phẳng (  ): Ax + By + Cz + D = 0:

d ( M o ,( )) 

d  d1 , d 2  

Axo  Byo  Czo  D
A2  B 2  C 2

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng:
Khoảng cách từ điểm M0 đến đt d (d đi qua M1
và có VTCP a ):
 a, M 0 M 


d (M 0 , d ) 
a

 a1 , a2  .M 1M 2


 a1 , a2 




4. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:

d  d1 , d 2   d  M , d 2  (lấy M  d1 )
5. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:

d  (1 ),( 2 )   d  M ,( 2 )  (lấy M  (1 ) )
6. Khoảng cách giữa đt và mp song song:

d  d , ( )   d  M , ( )  (lấy M  d )

VIII. VỊ TRÍ GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
1/ Bài toán 1: Mặt phẳng cắt mặt cầu
+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r.
+ Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến
(C) (có tâm H và bán kính r’)  d(I, (P))  r

I

+ H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P).
+ IH = d(I,(P))
+ Tam giác IAH vuông tại H
+ r '  r 2  IH 2  r 2   d(I, (P)) 

2

r
A

r’

H

P)

2/ Bài toán 2: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r.
+ Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H  d(I, (P))  r
+ H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P).
+ r = IH = d(I,(P))

I
r
H

P)
r  IH  d(I,(P)

IX. VỊ TRÍ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU
1/ Bài toán 1: Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt
+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r.
+ Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A và B
 a d , IM 


 d(I, d) 
r
ad

+ H là hình chiếu vuông góc của I lên đt d.
+ H là trung điểm của AB
2

2
 AB 
+ r  AH  IH  
   d(I, d) 
 2 
+ Tam giác IAB cân tại I, tam giác IAH vuông tại H
*Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S):
2

2

Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 10

I
d

r
A

H

B


Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018

GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201

 x  x0  a1t

Giả sử d :  y  y0  a2t ; ( S ) : ( x  a)2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  r 2
z  z  a t
0
3

+ Thay pt tham số của d vào pt của mặt cầu (S) ta có phtrình bậc hai theo ẩn t: At 2  Bt  C  0 (1)  t
+ Nếu pt(1) có 2 nghiệm t thì d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B (Thay lần lượt nghiệm t vào ptts của d
để tìm tọa độ A, B)
+ Nếu pt(1) có nghiệm kép t thì d tiếp xúc (S) tại điểm H (Thay nghiệm t vào ptts của d để tìm tọa độ H)
+ Nếu pt(1) vô nghiệm d và (S) không có điểm chung.
2/ Bài toán 2: Đường thẳng tiếp xúc mặt cầu
+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r.
+ Đthẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H  d(I, d) 

 a d , IM 


r
ad

+ H là hình chiếu vuông góc của I lên đt d.

Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201
Trang 11

I
r
d

H