2D3 4 0 3c43 DE SO 6 THPT chuyên đh vinh nghệ an lần 1 file word có lời giải chi tiết (1) copy

[ 0;1]

y = f ( x)
Câu 43. [2D3-4.0-3] (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH) Cho hàm số
1
1
1
π
2
f
x
dx
=
,
f ' ( x ) cosπ dx = .
(
)
∫
∫
f ( 0 ) + f ( 1) = 0
2 0
2
0
. Biết
Tính
3π
2
π
2
π
A.

.
B. .
C. .
Lời giải
Đáp án B
Phương pháp:

có đạo hàm liên tục trên đoạn
1

∫ f ( x ) dx
0

D.

1
π

.

1

∫ f ' ( x ) .cosπ xdx.
0

+) Sử dụng phương pháp từng phần đối với tích phân
1

∫  f ( x ) + k .sin π x 

2

dx = 0

f ( x)

0

+) Sử dụng kết quả

tính
1

∫ f ( x ) dx
0

+) Lấy tích phân từ 0 đến 1 cả 2 vế tính
Cách giải:
u = cosπ x
du = −π sin π xdx
⇒

 dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )
Đặt
1

∫
0

1

f ' ( x ) .cosπ xdx = f ( x ) . cosπ x 01 +π ∫ f ( x ) .sin π xdx
0

Ta có

π
1
= −  f ( 1) + f ( 0 )  + π ∫ f ( x ) .sin π xdx = ⇒ ∫ f ( x ) .sin π dx =
2
2
0
0
1

1

1

1

1

1

0

0

0

2
2
2
∫  f ( x ) + k .sin π x  dx = 0 ⇔ ∫ f ( x ) dx + 2k .∫ f ( x ) .sin π xdx + k .∫ sin ( π x ) dx = 0
2

0

Xét
1
1 1
2
⇔ k 2 + 2k . + = 0 ⇔ ( k + 1) = 0 ⇔ k = −1.
2
2 2
1

f ( x ) = sin π x ⇒ ∫
0

Vậy

2

1

∫  f ( x ) − sin π x  dx = 0
0

Suy ra
1
cosπ x
1 1 2
f ( x ) dx = ∫ sin π xdx = −
= + =
x 0 π π π
0
1

.

và