2D3 5 2 3c48 03 SGD THANH hóa 2018 copy

Câu 48. [2D3-5.2-3] (SGD THANH HÓA-2018-LẦN 1) Một cái ao có hình (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh
vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài
tối thiểu của cây cầu biết:
- Hai bờ và nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm
- Bờ là một phần của một parabol có đỉnh là điểm và có trục đối xứng là đường thẳng ;
- Độ dài đoạn và lần lượt là 40m và 20m;
- Tâm của mảnh vườn cách đường thẳng và lần lượt là 40m và 30m.

A. l �27, 7 m.

B. l �17, 7 m.

C. l �15, 7 m.
Lời giải.

D. l �25, 7 m.

Đáp án B
Ta coi một đơn vị bằng 10m và gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A, B lần lượt thuộc các tia Oy , Ox.
2
2
2
Khi đó bờ của mảnh vườn là hình tròn (C ) : ( x  4)  ( y  3)  1 , bờ AB của ao là phần parabol y  4  x
ứng với x �[0; 2] . Bài toán trở thành tìm M �(C ) và N �( P) sao cho MN ngắn nhất.
Ta thấy rằng để MN ngắn nhất thì M , N , I phải thẳng hàng với I (4;3) là tâm của (C ).
Khi đó MN  IN  IM  IN  1 , vì vậy ta chỉ cần tìm N �( P) sao cho IN ngắn nhất.
2
Do N �( P) nên N ( x; 4  x ) với x �[0; 2]
IN 2  ( x  4) 2  (1  x 2 ) 2  x 4  x 2  8 x  17
4
2

3
2
Xét f ( x )  x  x  8 x  17 với x �[0; 2] , f '( x)  4 x  2 x  8
Giải phương trình ta được duy nhất một nghiệm, .

f ( x ) �7,68
x0 �1,392768772 f (0)  17 , f (2)  13, f ( x0 ) �7, 68 suy ra min
[0;2] n
Vậy min IN �2, 77 tức là l �17, 7 m.