Ôn thi vào 10 ( Các bài toán hình học)

Hình học phẳng
1. Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng tròn
(A khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng
kính HC cắt AC tại F.
a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao?
b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất.
Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi.
Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của đờng tròn
(O) tại A. Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B và C theo thứ tự cắt d ở D và
E.
a. Chứng minh rằng đờng tròn đờng kính DE luôn đi qua điểm O.
b. Chứng minh rằng đờng thẳng BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính DE.
c. Chứng minh rằng khi tứ giác BCED có chu vi nhỏ nhất thì tứ giác đó nội tiếp
đợc đờng tròn.
3. Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đờng vuông góc
với AB kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lợt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ
BC của đờng tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng MB với đờng tròn
(O') là N và giao điểm của hai đờng thẳng CM, DN là P.
a. Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao?
b. Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn.
c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đờng tròn (O') là Q, chứng minh rằng BQ //
CP.
4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O và P là trung điểm của
cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F.
Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại
K. Chứng minh rằng:
a. Góc CID bằng góc CKD.
b. Tứ giác CDFE nội tiếp đợc một dờng tròn.

c. IK // AB.
5. Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB, điểm C cố định trên OA (C không trùng
với O, A), điểm M di động trên đờng tròn, tại M vẽ đờng thẳng vuông góc với
MC cắt các tiếp tuyến kẻ từ A và B lần lợt tại D và E.
a. Chứng minh tam giác DCE vuông.
b. Chứng minh tích AD.BE không đổi.
c. Tìm vị trí M sao cho diện tích tứ giác ABED nhỏ nhất.
______________________________________________________________
6. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đờng
tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm
O tại B và D cắt nhau tại điểm K.
a. Chứng minh các tứ giác OBID và OBKD là các tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh IK song song với BC.
c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình
hành.
7. Trên đờng tròn (O; R), đờng kính AB, lấy điểm M sao cho MA > MB. Các
tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M và B cắt nhau tại một điểm P; Các đờng
thẳng AB, MP cắt nhau tại điểm Q; Các đờng thẳng AM, OM cắt đờng thẳng
BP lần lợt tại các điểm R, S.
a. Chứng minh tứ giác AMPO là hình thang.
b. Chứng minh MB // SQ.
8. Cho tam giác vuông ABC (góc A= 90
0
); trên đoạn AC lấy điểm D (D không
trùng với các điểm A và C). Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại điểm thứ hai
E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại điểm F (F không trùng với
D). Chứng minh:
a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC.
b. Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn.
c. AC là tia phân giác của góc EAF.

9. Cho đờng tròn tâm O. Từ một điểm P ở ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến
phân biệt PA, PC (A, C là tiếp điểm) với đờng tròn (O).
a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đờng tròn.
b. Tia AO cắt đờng tròn (O) tại B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC
tại D. Tứ giác AODP là hình gì?
c. Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm của PC và DO; K là trung
điểm của AD. Chứng tỏ rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.
10. Cho tam giác cân ABC (AB = AC;
0
45B >
), một đờng tròn (O) tiếp xúc
với AB và AC lần lợt tại B và C. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M không
trùng với B và C) rồi hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng
ứng BC, CA, AB.
a. Chỉ ra cách dựng đờng tròn (O).
b. Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp.
c. Gọi P là giao điểm của MB và IK; Q là giao điểm của MC và IH. Chứng minh
PQ MI
.
11. Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại
A và tiếp tuyến tại D của đờng tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của
AC và BD. Chứng minh:
a.
1
2
CAB AOD =
.
______________________________________________________________
b. Tứ giác AEDO nội tiếp.
c. EI // AB.

12. Cho đờng tròn (O) đờng kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng
với O và B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC. Đờng tròn đi qua trung điểm M
của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E. Gọi F là
giao điểm thứ hai của CD với đờng tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với
đờng tròn (O'). Chứng minh:
a. Tứ giác ADBE là hình thoi.
b. AF // BD.
c. Ba điểm E, A, F thẳng hàng.
d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đờng tròn.
e. Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy.
13. Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đờng
tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua điểm P cắt đờng tròn (O) tại
hai điểm E và F. Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN tại Q. Gọi H là
trung điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn.
b. Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đờng tròn.
c. Tam giác PQO cân.
d. PM
2
= PE.PF.
e.
PHM PHN
=
.
14. Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB. Trên tiếp tuyến của đờng tròn
O tại A lấy điểm M (M không trùng với A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm
giữa M và D; tia MC nằm giữa tia MA và tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I
là tiếp điểm) với đờng tròn (O). Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM lần l-
ợt tai E và F. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đờng tròn.

b.
IAB AMO
=
.
c. O là trung điểm của FE.
15. Cho tam giác vuông ABC (
0
90A =
; AB > AC) và một điểm M nằm trên
đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai
của BC và MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD
với đờng tròn đờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn.
b. CM là phân giác của góc
BCS
.
c.
TA TC
TD TB
=
.
16. Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và
O sao cho AI =
2
3
AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý
______________________________________________________________
thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại
E.
a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một đờng tròn.

b. Chứng minh
V
AME đồng dạng với
V
ACM và AM
2
= AE.AC.
c. Chứng minh AE.AC

AI.IB = AI
2
.
d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
17. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt
phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E và nửa đờng
tròn đờng kính CH cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác àEH là hình chữ nhật.
b. EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn đờng kính BH và CH.
c. Tứ giác BCFE nội tiếp.
18. Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O và cắt đờng tròn
tại hai điểm A, B . Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đờng tròn), kẻ hai tiếp
tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đ-
ờng thẳng OH cắt tia CN tại K.
a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Chứng minh KN.KC = KH.KO.
c. Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và
MN.
d. Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lợt tại
E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất.

19. Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M,
E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D.
a. Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB.
b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA.
c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại một
điểm nằm trên đờng thẳng CD.
d. Cho biết
0
45BAM =
và
0
30BAE =
. Tính diện tích tam giác ABC theo R.
20. Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là
trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đói của tia AB lấy
điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H.
a. Chứng minh:
BMD
=
BAC
, từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp.
b. Chứng minh: HK // CD.
c. Chứng minh: OK.OS = R
2
.
21. Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đờng tiếp tuyến với (O')
vẽ từ A cắt (O) tại điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') tại N. Đờng
tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài tại P.
a. Chứng minh rằng tứ giác OAO'I là hình bình hành.
b. Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đờng tròn.

______________________________________________________________
c. Chứng minh rằng: BP = BA.
22. Cho đờng tròn (O; R) và dây cung BC = R
3
. A là một điểm bất kì trên
cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam
giác ABC, tia BH cắt AC tại E, tia CH cắt AB tại F.
a. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AH, D là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Chứng minh đờng thẳng ID là đờng trung trực của đoạn thẳng EF.
b. Tính đọ dài của đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF theo R.
c. Xác định điểm Q thuộc đoạn thẳng BC sao cho BQ =
3
CQ.
23. Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đờng cao AH. Trên nửa mặt
phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa
đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F.
a. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b. Chứng minh AE.AB = AF.AC
c. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
24. Cho đờng tròn tâm O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đờng tròn, từ
M kẻ MH vuông góc với AB (H

AB), gọi E và F là hình chiếu vuông góc của
H trên MA và MB. Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với EF cắt dây Ab tại D.
a. Chứng minh rằng đờng thẳng MD luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi
trên đờng tròn.
b. Chứng minh:
2
2
.

MA AH AD
MB BD BH
=
25. Cho hai đờng tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai
đờng tròn (O
1
) và (O
2
) về phía nửa mặt phẳng bờ O
1
O
2
chứa điểm B, có tiếp
điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O
1
),
(O
2
) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I.
a. Chứng minh IA vuông góc với CD.
b. Chúng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp.
c. Chứng minh đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF.
26. Cho tam giác vuông ABC (

A
= 90

0
). Từ B dựng đoạn thẳng BD về phía
ngoài tam giác ABC sao cho BC = BD và

ABC =

CBD; gọi I là trung điểm
của CD; AI cắt BC tại E.
a. Chứng minh

CAI =

DBI.
b. Chứng minh ABE là tam giác cân.
c. Chứng minh AB.CD = BC.AE
27. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đờng cao AH và trung tuyến
AM. Vẽ đờng tròn tâm H bán kính AH, cắt AB ở điểm D, cắt AC ở điểm E (D
và E khác điểm A).
a. Chứng minh D, H, E thẳng hàng.
b. Chứng minh
MAE ADE =
và MA

DE.
______________________________________________________________