Giáo án bồi dưỡng HSG 12

GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số
I-Bất đẳng thức cô si
1.Chứng minh rằng
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
với a,b,c>0
2.Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
2
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
với a,b,c>0 và abc =1
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
a 3
1 1 1 1 1 1 4
b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + + + + +
4.Cho k số không âm
1 2

, ,...,
k
a a a
thoả
1 2
... 1
k
a a a =

Cm:
1 2 1 2
... ...
m m m n n n
k k
a a a a a a+ + + ≥ + + + với
; ,m n m n N≥ ∈
5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn:
2004 2004 2004
3x y z+ + = .Tìm GTLN của biểu thức
3 3 3
A x y z= + +
6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng
8 8 8 2 2 2
a b c a b c
+ + ≥ + +
7.Cho số tự nhiên
2k ≥
.
1 2
, ,...,

k
a a a
là các số thực dương
Cmr:
1 2
1 2
2 3 1
... ...
m
m m
m n m n m n
k
n
n n n
aa a
a a a
a a a
− − −
+ + + ≥ + + +
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn
1 1 1
1
x y z
+ + =
.Tìm GTNN của biểu thức
2006 2006 2006
2007 2007 2007
x y z
A
y z x

= + +
9.Tìm GTNN của
20 20 20
11 11 11
x y z
A
y z x
= + +
với
1x y z+ + =
10.Cho n số thực
1 2
, ,...,
n
x x x
thuộc đoạn
[ ]
, , 0a b a >
Cmr:
( )
( )
( )
2
1 2
1 2
1 1 1
... ...
4
n
n

n a b
x x x
x x x ab
+
 
+ + + + + + ≤
 ÷
 
11.Cho n là số nguyên dương;lấy
[ ]
2000;2001
i
x ∈
với mọi i=1,2…,n
Tìm GTLN của
( ) ( )
1 2 1 2
2 2 ... 2 2 2 ... 2
n n
x x
x x x x
F
−
− −
= + + + + + +
12.Xét các số thực
1 2 2006
, ,...,x x x
thoả
1 2 2006

, ,...,
6 2
x x x
π π
≤ ≤
Tìm GTLN của biểu thức
( )
1 2 2006
1 2 2006
1 1 1
sin sin ... sin ...
sin sin sin
A x x x
x x x
 
= + + + + + +
 ÷
 
13.Cho n số dương
1 2
, ,...,
n
a a a
Đặt :
{ } { }
1 2 1 2
min , ,..., , ax , ,...,
n n
m a a a M M a a a= =
1 1

1
,
n n
i
i i
i
A a B
a
= =
= =
∑ ∑
.Cmr:
( )
1
B n m M A
mM
≤ + − 
 
Năm học 2006-2007
GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số
14.Cho
0, 0, 1,
i i
a b i n≥ ≥ ∀ =
.Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2 1 2
... ... ...
n n
n

n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≥ +
15.Cho
0, 1,
i
a i n≥ ∀ =
.Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
1 1 ... 1 1 ...
n
n
n n
a a a a a a+ + + ≥ +
16.Chứng minh
( )
1.2... 1 1 1.2...
n
n
n n+ ≥ +
với
2,n n N≥ ∈
17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có :
1/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
sin sin sin
3

A B C
 
   
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
   
 
2/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
B C
3
os os os
2 2 2
A
c c c
   
 ÷ ÷ ÷
 
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
 
 ÷ ÷ ÷
   
3/
3
1 1 1 2

1 1 1 1
3
a b c
m m m R
   
 
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
 
   
18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh:
( )
4
4 4
4
3 3
b b c
a a a a b
x y z
 
   
+ + + + + ≥ +
 ÷
 ÷  ÷
   
 
19.Cho
1
, 0, 0 1,.. ; 1

n
i i
i
a b x i n x
=
> > ∀ = =
∑
. Cmr:

( )
1 2
...
m
m m
m
n
b b b
a a a n a nb
x x x
 
   
+ + + + + + ≥ +
 ÷
 ÷  ÷
   
 
với m > 0
20.Cho
, , 0, 1a b c a b c> + + =
.Chứng minh rằng:

3
1 1 1
1 1 1 8
ab bc ca
   
− − − ≥
 ÷ ÷ ÷
   
21.Cho
[ ]
;∈x a b
.Tìm GTLN của biểu thức
( ) ( ) ( )
m n
F x x a b x= - -
với
*
,Νm n Î
22.Cho
0
2
;x
π
é ù
ê ú
Î
ê ú
ë û
.Tìm GTLN của biểu thức
( )

p
sin . os
q
F x x c x=
với
*
,Νp q Î
23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức
( )
30 4 2004
, ,F a b c a b c=
24.Cho
, 0, 6x y x y+³ £
.Tìm GTLN của các biểu thức sau :
1/
( ) ( )
2002
, . . 6F x y x y x y= - -
2/
( ) ( )
2002
, . . 4F x y x y x y= - -
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
1 1 1 1
P
ab bc ca
a b c
= + + +
+ +

26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2 2
1 1 1 1 1
P
acd abd abc bcd
a b c d
= + + + +
+ + +
27.Giả sử
1 2
, ,...,
n
x x x
>0 thỏa mãn điều kiện
1
1
1
n
i
i
i
x
x
=
=
å
+
. Cmr:
( )
1

1
1
n
i
n
i
x
n
=
£
Õ
-
28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn
2 3
1
1 1 1
a b c
a b c
+ + =
+ + +
. Cmr:
2 3
6
1
5
ab c £
Năm học 2006-2007
GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số
29. Giả sử
1 2

, ,...,
n
x x x
>0 thỏa mãn điều kiện
1
1
n
i
i
x
=
=
å
.Cmr:
( )
1
1
1
1
n
i
n
i
i
x
x
n
=
£
Õ

-
-
30. (QG-98) Giả sử
1 2
, ,...,
n
x x x
>0 thỏa mãn điều kiện
1
1 1
1998 1998
n
i
i
x
=
=
å
+
Cmr:
1 2
. ...
1998
1
n
n
x x x
n
³
-

31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện
1
1
n
i
i
a
=
<
å
Cmr:
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1 2 1 2
1 2 1 2
... 1 ...
1
... 1 1 ... 1
n
n n
n n
a a a a a a
a a a a a a n
+
é ù
- + + +
æö

ë û
÷
ç
£
÷
ç
÷
ç
è ø
+ + + - - -
33.Cmr:
, 2n N n" γ
ta có
1 1 2
n n
n n
n n
n n
- + + <
34.Cho
[ ]
, , 0;1x y z Î
.Cmr:
( ) ( )
3 3 3 2 2 2
2 3x y z x y y z z x+ + - + + £
35. Cho
[ ]
, , 0;2x y z Î
.Cmr:

( ) ( )
6 6 6 4 2 4 2 4 2
2 192x y z x y y z z x+ + - + + £
36.Cho
[ ]
1;2
i
x Î
với i=1,…,2000.Thỏa mãn
2000
1
2005
i
i
x
=
=
å
Tìm GTLN của
2000
3
1
i
i
A x
=
=
å
37.Chứng minh :
2 2 2

1 1 1
3.2a b c
ab bc ca
α α α
α
     
+ + + + + ≥
 ÷  ÷  ÷
     
Trong đó
, , , 0a b c
α
>
38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
Tìm GTNN của biểu thức
( )
2 2 2
P a x y z= + +
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn :
2 2 2 2
16
25
x y z xy a+ + + =
.Trong đó a là một số dương
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn :
2 2 2 2
1
1
2

a b c d≤ + + + ≤
Tìm GTLN và GTNN của :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2P a b c b c d b a c d= − + + − + + − + −
41.Cho hàm số
( )
f x
thỏa mãn pt
( )
4 4
2 cotf tg x tg x g x= +
Cmr:
( ) ( )
sinx cosx 196f f+ ³
( OLP-30-4-99)
II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Cho
a,b,c,d
là các số thực thoả mãn
2 2
4a b+ =
và
c+d=4
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=ac+bd+cd
2.Cho
a,b,c,d
là các số thực thoả mãn

2 2
1a b+ =
và
c+d=3
Cmr:
9 6 2
ac+bd+cd
4
+
≤
3(HSG-NA-2005)
a,b,c,d
là các số thực thoả mãn
2 2
1a b+ =
và
c-d=3
Cmr:
9 6 2
ac+bd-cd
4
+
≤
4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn :
2 2 2 2
40 8 10 ; 12 4 6 ;3 2 13a b a b c d c d x y+ + = + + + = + = +
Tìm GTNN của
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
P x a y b x c y d= − + − + − + −

Năm học 2006-2007
GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số
5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0
Chứng minh rằng :
2 2 2 2
6 10 34 10 14 74 6a b a b a b a b+ − − + + + − − + ≥
6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4
Cmr:
2 2 2 2 2 2 2 2
12 8 52 2 2 4 8 20 4 5a b a b a b c d ac bd c d c d+ − − + + + + + − − + + − + + ≥
7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn :
2 2
6; 1c d a b+ = + =
Cmr:
2 2
2 2 18 6 2c d ac bd+ − − ≥ −
8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện :
( ) ( )
2 2 2 2
2 ; 4 1a b a b c d c d+ = + + = + −
Cmr:
( )
4 2 2 2 4 2 2a b c d− ≤ + + + ≤ +
9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện :
2 2 2 2
5a b c d+ = + =
Cmr:
3 30
5 2 5 2 5
2

a b c d ac bd− − + − − + − − ≤ .Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
10.Cmr với mọi x,y ta đều có:
2 2 2 2
4 6 9 4 2 12 10 5x y x x y x y+ + + + + − − + ≥
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 ; 36 12a b a b c d c d+ + = + + + = +
Cm:
( )
( ) ( )
( )
6 6
2 2
2 1 2 1a c b d− ≤ − + − ≤ +
12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :
2 3 2
3 9
0, 0
x y
x y
x y
+ ≥


+ ≤


≥ ≥


Cmr:
2 2
35
4 8 45
2
x y x y− ≤ + − − ≤
13.Cho các số x,y thỏa mãn :
2 8 0
2 0
2 4 0
x y
x y
y x
− + − ≤


+ + ≥


− − ≥

Cm:
2 2
16
20
5
x y≤ + ≤
III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1Chứng minh rằng với mọi
α

ta có
2 2
17 os 4 os +6 os 2 os +3 2 11c c c c
α α α α
≤ + + − ≤ +
2.Tìm GTNN của hàm số
2 2
4 12 2 3y x x x x= − + + − − + +
3.a)Chứng minh bất đẳng thức:
sin 2 ; 0;
2
tgt t t t
π
 
+ ≥ ∀ ∈
÷

 
b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
Chứng minh :
A B C
1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A B C
c c c+ + +
+ + >
( A,B,C đo bằng rađian)
4.Cho
[ ]

, 0;1a b∈
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1
x b a
x a b
a b x a x b
+ + + − − − ≤
+ + + + + +
với
[ ]
0;1x∀ ∈
5.Cho hàm số
2
2
os -2x+cos
x 2 os +1
x c
y
xc
α α
α
=
−
với
( )
0;
α π
∈

Chứng minh :
1 1;y x− ≤ ≤ ∀
Năm học 2006-2007
GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số
6.Chứng minh
sin sin sin 2A B C tgA tgB tgC
π
+ + + + + >
.với A,B,C là ba góc
của một tam giác.
7.Chứng minh
sinx 1
2 2 2 ;0
2
tgx x
x
π
+
+ > < <
8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện
( )
0,f x x≥ ∀
Cmr:
( ) ( ) ( )
( )
( )
, ,,
... 0,
n
f x f x f x f x x+ + + + ≥ ∀

9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
1 1 1
cot cot cot 3 3 2
sin sin sin
gA gB gC
A B C
 
+ + + ≤ + +
 ÷
 
10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:
( ) ( )
1 1 5
os3A+cos3B os2A+cos2B osA+cosB=
3 2 6
c c c− +
.Chứng minh tam giác ABC đều
11.Cho
0
2
a b
π
< < <
.Chứng minh rằng :
( )
a.sina-bsinb>2 cosb-cosa
12.Cho
a 1
0 q p q+1
≥



≤ ≤ ≤

.Chứng minh rằng
( )
( )
1
p q p q
a p q a a
+
− ≥ + −
13.Cho
π
< <0
2
x
.Chứng minh rằng :
3
sinx
osx
x
c
 
>
 ÷
 
14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr:
( )
6 sin sin sin 12 3tgA tgB tgC A B C+ + + + + ≥

15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa
2 2 2
1a b c+ + =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có
( ) ( )
2 1
sin sin sin
3 3
A B C tgA tgB tgC
π
+ + + + + >
17.Cho
π
< <0
2
x
.Cmr:
3
1
2s inx
2

2 2 2
x
tgx
+
+ >
18Cho số nguyên lẻ
3n ≥
.Cmr:
0x∀ ≠
ta luôn có :
2 3 2 3
1 ... 1 ... 1
2! 3! ! 2! 3! !
n n
x x x x x x
x x
n n
  
+ + + + + − + − + − <
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
19.với giá trị nào của m thì
3 3
sin os ,x c x m x+ ≥ ∀
20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng :
2
3
2 2
4 1

8
4
xy
x x y
≤
 
+ +
 ÷
 
21.Cho
0, 0x y≠ ≠
là hai số thực thay đổi thỏa mãn
( )
2 2
x y xy x y xy+ = + −
Tìm GTLN của biểu thức
3 3
1 1
A
x y
= +
22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện
3
, ,
4
a b c ≥ −
Chứng minh ta có bất đẳng thức
2 2 2
9
10

1 1 1
a b c
a b c
+ + ≤
+ + +
23.(HSG Bà Rịa12-04-05)
Năm học 2006-2007
GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số
1/Tìm cực trị của hàm số
2
1
1
x
y
x x
+
− +
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của
2 2 2
1 1 1P x x y y z z= − + + − + + − +
24.Tìm GTNN của
( )
2 2 2
3 1 1 1 2P x y z x y z
 
= + + + + + − + +
 ÷
 
25. Cho

, , 0a b c >
và
6a b c+ + =
. Cmr:
4 4 4 3 3 3
2( )a b c a b c+ + ≥ + +
26. Cho
, , 0a b c >
và
2 2 2
1a b c+ + =
. Cmr:
1 1 1
( ) ( ) 2 3a b c
a b c
+ + − + + ≥
27Cho a,b,c>0 .Cmr :
2 2 2
9
4( )
( ) ( ) ( )
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ +
+ + +
28. (Olp -2006)Cho
, , 0a b c >
.Cmr:

2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
5
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ + +
+ + ≤
+ + + + + +
39.(Olp nhật 1997)Cho
, , 0a b c >
.Cmr:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
+ − + − + −
+ + ≥
+ + + + + +
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :
4
2
x y z
xyz
+ + =



=

.
Tìm GTLN và NN của biểu thức
4 4 4
P x y z= + +
(QG -B-2004)
41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện
( )
3
32x y z xyz+ + =
Tìm GTLN và GTNN của
( )
4 4 4
4
x y z
P
x y z
+ +
=
+ +
(QG-A-2004)
42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn
a b c d≤ ≤ ≤
và
bc ad≤
.Chứng minh rằng
b c d a d a b c
a b c d a b c d≥
43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện:

3 1 3 2x x y y− + = + −
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B-2005)
44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn
( )
cotgx sin 2 os2xf x c= +
,
( )
0;x πÎ
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( )
( ) ( )
2 2
sin osg x f x f c x=
QG –B-2003 )
45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn
( )
cotgx sin 2 os2xf x c= +
,
( )
0;x πÎ
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( ) ( ) ( ) [ ]
1 , 1;1g x f x f x x= - -Î
( QG –A-2003)
46.Cho x>0 và
, 0; ;
2
π
a b a b
æ ö

÷
ç
Î ¹
÷
ç
÷
ç
è ø
Cmr:
sin sin
sina sin
sin sin
x b b
x a
x b b
+
æ ö æ ö
+
÷ ÷
ç ç
>
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
+
IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG
1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì
ln

a b a a b
a b b
− −
< <
2.Chứng minh rằng nếu
0
2
a b
π
< < <
thì
2 2
os os
b a b a
tgb tga
c a c b
− −
< − <
Năm học 2006-2007