Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán tp HCM 20152016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015

(Đề thi gồm 01 trang)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (1,5 điểm)
Cho hai số thực a, b thỏa điều kiện ab = 1, a  b  0 . Tính giá trị của biểu thức:

P 

 1 1
3  1 1
6  1 1
 2
 
 3  3
4  2
5 
a
b
a
b
a

b





a b
a b
a b
1







3







Câu 2. (2,5 điểm)
a) Giải phương trình: 2x 2  x  3  3x x  3









b) Chứng minh rằng: abc a 3  b3 b3  c 3 c 3  a 3  7 với mọi số nguyên a , b , c .
Câu 3. (2 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua Cvuông góc với CD cắt đường thẳng qua A
vuông góc với BD tại F. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường trung trực của
AC tại E. Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K. Tính tỉ số

KE
.
KF

Câu 4. (1 điểm)
Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện: a  b  1 .
Chứng minh rằng: a 2 

3 a
9
 
4a b
4

Câu 5. (2 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi Mlà trung điểm của cạnh
BCvà N là điểm đối xứng của M qua O. Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường
thẳng qua B vuông góc với BC tại D. Kẻ đường kính AE. Chứng minh rằng:

a) Chứng minh BA.BC = 2BD.BE
b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC.
Câu 6. (1 điểm)
Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau
đúng một trận. Người thứ nhất thắng x1 trận và thua y1 trận, người thứ hai thắng x2 trận và
thua y2 trận, ..., người thứ mười thắng x10 trận và thua y10 trận. Biết rằng trong một trận đấu
quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng:
2
2
x12  x22  ...  x10
 y12  y22  ...  y10

HẾT


Hướng dẫn giải
Câu 1.
Với ab  1 , a  b  0 , ta có:

P

a 3  b3

a  b ab



3 a 2  b2 





6 a  b

a


a


a


2

4

5

 b2  1a 2  b2  2  3 a 2  b2   6

a  b
2

2

 b2  2ab

a  b

4

2

4

a  b



3 a 2  b2 

2
2
a 2  b2  1 3 a  b 
6



2
4
4
a  b
a  b a  b

3

a  b ab

a 3  b3

a  b
a  b
2
a 2  b2  1 a  b  3 a 2  b2   6


4
a  b

3

a  b ab



6 a  b

2

3

4

 b2   4 a 2  b2   4
2

a  b

4

5

a


2

 b2  2

a  b

2

4

2

a  b2 
 1

4
a  b

Vậy P  1 , với ab  1 , a  b  0 .
Câu 2a.
Điều kiện: x  3
Với điều kiện trên, phương trình trở thành:

   0
 2 x   2 x   x  3   x   x  3    x  3   0
 2x  x  x  3   x  3  x  x  3   0
 x  3  x (1)
  x  x  3  2x  x  3   0  
 x  3  2x (2)
 

2 x

2

 

3 x

x3 

x3

2

2

2



x  0



x  0
x  0
1  13
 x  1  13


x

 (1) : x  3  x  
2   2
2
2
x  3  x
x  x  3  0


1

13
 x
 
2
x  0

x  0
x  0

  x  1  x  1
 (2) : x  3  2x  

2  
2
x  3  4x
4x  x  3  0
3



 x   4
So với điều kiện ban đầu, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là:
 1  13 
S  1;

2 



Câu 5.
F
a) Chứng minh BA . BC = 2BD . BE
  ABC
  900 , EBM
  ABC
  900
 Ta có: DBA
  EBM
 (1)
 DBA
 Ta có: ONA  OME (c-g-c)
  MEO


 EAN
  BAE
  EAN
  900 ,
Ta lại có: DAB
  BAE
  MEO
  900
và BEM
D
  BEM
 (2)
 DAB
 Từ (1) và (2) suy ra BDA # BME (g-g)
BD BA
BC


 BD .BE  BA.BM  BA.
BM BE
2
 2BD .BE  BA.BC
b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của  ABC
 Gọi F là giao của BD và CA .
Ta có BD .BE  BA.BM (cmt)
B
BD BM



 BDM # BAE (c-g-c)
BA BE
  BEA
 . Mà BCF
  BEA
 (cùng chắn AB
)
 BMD
  BCF
  MD / /CF  D là trung điểm BF .
 BMD
 Gọi T là giao điểm của CD và AH .
T H CT
(HQ định lí Te-let)
BCD có T H / /BD 

BD CD
T A CT
FCD có T A / /FD 

(HQ định lí Te-let)
FD CD
Mà BD  FD ( D là trung điểm BF )
 Từ (3), (4) và (5) suy ra T A  T H  T là trung điểm AH .

A

N
T
O

H

M

C

E

(3)
(4)
(5)


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào
lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những
năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh
giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 1