NGUYÊN hàm, TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG image marked

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (979.54 KB, 23 trang )

Chương III.
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT
1. Kiến thức
Theo yêu cầu của chuẩn kiến thức môn Toán lớp 12 THPT hiện hành, học sinh cần hiểu, nhớ
các khái niệm và kết quả dưới đây.
•
Các khái niệm:
−
Định nghĩa nguyên hàm của hàm số (trên một khoảng K ).
−
Định nghĩa tích phân
−
Ký hiệu nguyên hàm, ký hiệu tích phân, cận trên, cận dưới của tích phân,
−
Khái niệm diện tích hình thang cong
−
Khái niệm thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình thang
cong quanh trục Ox
•
Các kết quả:
−

 f ( x ) dx = F ( x ) + C  F ( x ) = f ( x )
'

Chú ý: Khoảng K là khoảng xác định của f ( x) . Vì vậy, một cách chính xác, phải có

F' ( x) = f ( x) , x  K . Do đó,
−

1

 xdx = ln x + C là một kết quả sai.

 f ( x ) dx = f ( x ) + C
'

. Kết quả này cũng có nghĩa là f ( x) là một

nguyên hàm của f ' ( x) (nếu f ( x) và f ' ( x) có cùng tập xác định).
−
−
−
−
−
−

Các tính chất của nguyên hàm
Công thức đổi biến số nguyên hàm. Công thức nguyên hàm từng phần
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
Các tính chất của tích phân.
Công thức đổi biến số tích phân. Công thức tích phân từng phần.
Công thức tính diện tích hình thang cong. Công thức tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường cong
−
Công thức tính thể tích khối trong xoay tạo thành khi quay một hình
thang cong quanh trục Ox .
2. Kỹ năng
Theo yêu cầu của Chuẩn kỹ năng môn Toán lớp 12 THPT hiện hành, học sinh cần luyện tập
để thành thục các kỹ năng dưới đây:

• Có khả năng tái hiện các khái niệm, các két quả nêu ở mục 1 trên đây, trong các tình
huống cụ thể;
• Biết kiểm tra một hàm số F ( x ) có phải là nguyên hàm của hàm số f ( x) hay không.
•

Biết kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định

 f ( x ) dx = F ( x ) + C

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

•

Biết tính đạo hàm các hàm số đơn giản ( đã học trong chương trình Toán 11) phục vụ yêu
cầu kiểm tra xem một hàm số F ( x ) có phải là nguyên hàm của hàm số f ( x) hay không
( hoặc kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định

•
•

•

 f ( x ) dx = F ( x ) + C ).

Biết dùng các tính chất của nguyên hàm và các công thức nguyên hàm của các hàm số
thường gặp để tính nguyên hàm của những hàm số đơn giản.
Biết tính tích phân bằng hai cách: sử dụng định nghĩa tích phân đưa bài toán về tìm
nguyên hàm; sử dụng các phương pháp tính tích phân: phương pháp khai triển, phương
pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần.

Biết một số dạng hàm số có thể tích phân từng phần: x . f ( x ) , trong đó f ( x) là một
trong các hàm số ekx + b , cos( kx + b) , sin ( kx + b) , ln ( kx + b) .

•

Biết biến đổi các biểu thức lượng giác, biết giải các phương trình lượng giác đơn giản (
đã học trong chương trình Toán 10 và Toán 11) .
• Biết tính diện tích hình thang cong và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
cong.
• Biết tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh trục Ox
• Vơi các bài toán tính tích phân những hàm số chưa dấu giá trị tuyệt đối , các bài toán tính
diện tích hình phẳng, học sinh cần nắm vững kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối, biết xét
dấu một biểu thức. Đặc biệt, học sinh nên nắm được tính chất: Nếu hàm số liên tục và
không triệt tiêu tại điểm nào trên một khoảng thì có dấu không đổi trên khoảng đó đã học
ở lớp 11.
3. Một số ví dụ
Ví dụ 1. (Câu 23 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2x − 1
2

A.

 f ( x ) dx = 3 ( 2x − 1)

C.

 f ( x ) dx = − 3

1

2x − 1 + C

2x − 1 + C

1

B.

 f ( x ) dx = 3 ( 2x − 1)

D.

 f ( x ) dx = 2

1

2x − 1 + C

2x − 1 + C

Hướng dẫn giải:
− Cách 1: Học sinh cần nắm vững kỹ năng kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định

 f ( x ) dx = F ( x ) + C và phải nhứ cách tính đạo hàm của căn thức, của tích hai hàm số.

( )

'

Cách giải: Áp dụng công thức

(

)

'

2x − 1 =

(( 2x − 1)

( 2x − 1)

'

2 2x − 1

)

=

u =

2
2 2x − 1

=

u'
2 u

và ( uv) = u' v + uv' ta có:

1
2x − 1

2x − 1 = ( 2x − 1) . 2x − 1 + ( 2x − 1) .
'

'

'

(

2x − 1

)

'

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

1

= 2 2x − 1 + ( 2x − 1)

= 3 2x − 1
2x − 1

Do đó với mọi số thực k :
'
k
k 2x − 1 =
 2x − 1
2x − 1

(

)

( k ( 2x − 1)
( k ( 2x − 1)

)
2x − 1 ) =
'

2x − 1 = 3k 2x − 1
'

2x − 1  3k = 1  k =

1
.
3

Vậy B là đáp án đúng.
1

− Cách 2: Học sinh có thể viết f ( x ) = ( 2x − 1) 2 và tính

 f ( x ) dx

bằng phương pháp đổi

biến số.
Ví dụ 2. (Câu 25 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):


Tính tích phân I =  cos3 x sin xdx .
0

1
B. I = − 4
A. I = −  4
4
1
D. I = −
C. I = 0
4
Hướng dẫn giải: Hàm số lấy tích phân là những hàm lượng giác của x . Có hai cách tính các tích
phân loại này: biến đổi lượng giác tích thành tổng để đưa về tích phân của coskx , sinkx hoặc
đổi biến số để đưa về tính tích phân hàm lũy thừa.
Cách giải 1: Áp dụng công thức biến tích thành tổng, ta có:
1 + cos2x
1
cos2 x =
, cos x sin x = sin2x
2

2
1
1
 cos3 x sin x = sin2x (1 + cos2x ) = ( sin2x + sin2x cos2 x )
4
4
1
1
= sin2x + sin4x
4
8






1
1
1
1

Do đó, I =   sin2x + sin4x dx =  sin2xdx +  sin4xdx
4
8
40
80

0

Áp dụng công thức  sin kxdx = cososcoskx + C và cos2n = 1 , ta được :





1
1
0 sin4xdx = − 4 cos4x = − 4 (1 − 1) = 0 . Tương tự 0 sin2xdx = 0
0

Do đó I = 0 , C là đáp án đúng.
Cách giải 2: Đặt t = cos x thì sin x = − ( cos x ) nên sinxdx = −dt
'

Đổi cận: x = 0  t = 1 , x =   t = −1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

−1

1

t4
Do đó, I = −  t dt =  t dt =
4
1
−1
3

1

=0

3

−1

Ví dụ 3. (Câu 26 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
e

Tính tích phân: I =  x ln xdx
1

e2 − 2
e2 + 1
e2 − 1
C. I =
D. I =
4
4
2
Hướng dẫn giải: Hàm số dươi dấu tích phân có thể tích phân được bằng phương pháp tích phân
từng phần.
A. I =

1
2

B. I =

Đặt u = ln x , dv = xdx thì du =

x2
1
dx , v =
. Do đó áp dụng công thức tính tích phân từng
x
2

phần, ta có:
e

e

x2
x2 1
e2 1
e2 1 x2
e2 e2 − 1 e2 + 1
I = ln x −  . dx = −  xdx = − .
= −
=
2
2
x
2
2
2

2
2
2
4
4
1
1
1
1
e

e

D là đáp án đúng.
Ví dụ 4. (Câu 27 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 − x và đồ thị hàm số y = x − x2 .
D. 13
9
37
81
B.
C.
4
12
12
Hướng dẫn giải: Học sinh cần nắm được kỹ năng tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong. Trước tiên, cần tìm giao điểm của hai đồ thị, học sinh cần biết cách viết phương
trình xác định hoành độ giao điểm hai đường, biết giải phương trình (bậc 3). Sau đó cần viết
được công thức tính diện tích bằng tích phân (có chứa giá trị tuyệt đối) và cuối cùng phải tính
được tích phân đó.

ở đây, phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
A.

(

)

x3 − x = x − x2  x3 + x2 − 2x = 0  x x2 + x − 2 = 0

(1)

Phương trình này có 3 nghiệm phân biệt, viết theo thứ tự tăng là −2;0;1. Từ đó, diện tích cần tính
1

là S =



x3 + x2 − 2x dx . Chú ý rằng (1) không có nghiệm nào trong các khoảng ( −2;0) , ( 0;1)

−2

, suy ra x3 + x2 − 2x không đổi dấu trong các khoảng đó, do đó
1



0

x3 + x2 − 2x dx =

−2

0

=



−2

(

−2

)

1

x3 + x2 − 2x dx +  x3 + x2 − 2x dx

x3 + x2 − 2x dx +

0

1

(x

3

)

+ x2 − 2x dx .

0

Tính các tích phân trong dấu giá trị tuyệt đối, ta được

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

0

(

−2

0

 x4 x3

8
x + x − 2x dx =  + − x2  =
 4 3
 −2 3
3

)

2

1

 x 4 x3
5
2
x
+
x
−
2
x
dx
=
 + −x  =−
0
12
 4 3
0
8 5 37
Từ đó S= + =
. Đáp án đúng là A.
3 12 12
Ví dụ 5. (Câu 28 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2( x − 1) ex , trục tung và trục hoành.
1

(

3

)

2

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H ) xung quanh trục Ox .
D. V = ( e2 − 5) 

A. V = 4 − 2e
C. V = e2 − 5
B. V = ( 4 − 2e) 

Hướng dẫn giải: Học sinh thường lúng túng khi muốn vẽ đồ thị hàm số y = 2( x − 1) ex . Thực ra,
ta không cần vẽ hình H mà chỉ cần giải phương trình tìm hoành độ giao điểm hai đường
y = 2( x − 1) ex và y = 0 (trục hoành), phương trình đó là 2( x − 1) ex = 0 . Phương trình có
1

nghiệm duy nhất x = 1 . Do đó, công thức tính V là V =   ( 2 ( x − 1) ex ) dx . Tính tích phân
2

0

này, ta tìm được V .
Ở đây, phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường y = 2( x − 1) ex và y = 0 là

2( x − 1) ex = 0 . Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 . Do đó,
1

(

V =   2 ( x − 1) e

x

)

2

0

1

dx =   ( x − 1) 4e2 x dx .
2

0

Đặt u = ( x − 1) , dv = 4e dx thì du = 2( x − 1) dx , v = 2e2 x .
2

2x

Do đó
1

1

1

1

2x
2x
2x
2x
 ( x − 1) .4e dx = ( x − 1) .2e −  2.e .2 ( x − 1) dx = −2 −  4e .( x − 1) dx (1)
2

2

0

0

0

0

Lại đặt u = x − 1 , dv = 4e dx thì du = dx , v = 2e

2x

2x

1

Do đó  4e . ( x − 1) dx = ( x − 1) 2e

2x 1

2x

0

1

Từ (1) và (2) suy ra

 ( x − 1)

2

0

1

1

(

)

−  2e2 x dx = 2 − e2 x = 2 − e2 − 1 = 3 − e2 (2)
0

0

(

)

.4e2 x dx = −2 − 3 − e2 = e2 − 5 . Suy ra V = ( e2 − 5)  . Đáp án

0

đúng là D.
II. MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

NGUYÊN HÀM
1

1. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

 f ( x ) dx =

C.

 f ( x ) dx = 2

2x + 1

2x + 1 + C

1

2x + 1 + C

2. Tìm hàm số F ( x ) , biết rằng F ' ( x ) =

2

( 2x − 1)

2

−

A. f ( x ) =

sin x

( 2 + cos x )

2

 f ( x ) dx = 2

2x + 1 + C

D.

 f ( x) dx =

1
2x + 1

+C

1

( x − 1)

2

1
1
−
+C
x − 1 2x − 1
1
C
−
D. F ( x ) =
x − 1 2x − 1

1
1
−
+C
2x − 1 x − 1
1
2
−
+C
C. F ( x ) =

x − 1 2x − 1

B. F ( x ) =

A. F ( x ) =

3. Tìm các hàm số f ( x) , biết f ' ( x ) =

B.

cos x

( 2 + sin x )

2

+C

−1
+C
2 + sin x
sin x
+C
B. f ( x ) =
2 + sin x
1
+C
D. f ( x ) =
2 + cos x

C. f ( x ) =

4. Tìm các hàm số F ( x ) thỏa mãn điều kiện F ' ( x ) = x +
1
+C
x2

B. F ( x ) =

x2
+ ln x
2

x2
+ ln x + C
2

D. F ( x ) =

x2
+ ln x + C
2

A. F ( x ) = 1 −
C. F ( x ) =

5. Tìm nguyên hàm của f ( x) = 2017x
2017x
+C


ln2017
1
2017x+1 + C
C.  f ( x ) dx =
x +1
f ( x ) dx =

A.

1
x

B.

 f ( x ) dx = 2017

D.

 f ( x ) dx = 2017

x

x

+C
ln2017 + C

6. Tìm nguyên hàm của f ( x) = xe
A.



xe
f ( x ) dx =
+C
ln x

xe+1
B.  f ( x ) dx =
+C
e+ 1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

C.

 f ( x ) dx = e.x

e−1

D.  f ( x ) dx = xe + C

+C

7. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

x2 − x − 1
x +1

B. F ( x ) =

x2 + 2 x

( x + 1)

2

?

x2 + x + 1
x +1

x2 − 3x − 3
x +1
1
  
8. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = − 2 biết F   =
sin x
2 2

C. F ( x ) =

x2 + 1
x +1

D. F ( x ) =

A. F ( x) = x

B. F ( x ) = sin x +



C. F ( x) = cot x

D. F ( x ) = cot x +



2

−1

2

9. Tìm hàm số F ( x ) biết F ( x) = 3x + 2x + 1 và đồ thị y = F ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung
'

2

độ bằng e .
A. F ( x) = x2 + x + e

B. F ( x) = cos2x + e− 1

C. F ( x) = x3 + x2 + x + 1

D. F ( x) = x3 + x2 + x + e

10. Biết

 f ( u) du = F ( u) + C . Tìm khằng định đúng

 f ( 2x − 3) dx = 2F ( x ) − 3 + C
B.  f ( 2x − 3) dx = F ( 2x − 3) + C
A.

1

C.

 f ( 2x − 3) dx = 2 F ( 2x − 3) + C

D.

 f ( 2x − 3) dx = 2F ( 2x − 3) + C

 
11. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn các điều kiện f ' ( x) = 2 + cos2x và f   = 2
2
Tìm khẳng định sai?
1
B. f ( x) = 2x − sin2x + 
A. f ( x ) = 2x + sin2x + 
2
 
D. f  −  = 0
C. f ( 0) = 

 1

2x − 1
12. Tìm nguyên hàm F ( x ) của f ( x ) = x biết F ( 0) = 1
e
x
2 + ln2 − 1
2x + ln2
A. F ( x ) = x
C. F ( x ) = x
e ( ln2 − 1)
e ( ln2 − 1)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

x

x

1  2   1
1
+  −


ln2 − 1  e   e  ln2 − 1
TÍCH PHÂN

B. F ( x ) =

13. Cho a  b  c ,

b

b

a

c

 2
D. F ( x ) =  
 e
c

 f ( x) dx = 5 ,  f ( x) dx = 2 . Tính  f ( x) dx
a

c

A.

c

 f ( x) dx = −2

B.

a

 f ( x) dx = 3
a

c

c

C.

D.  f ( x ) dx = 0

 f ( x) dx = 8

a

a

14. Biết rằng f ( x) là hàm liên tục trên

9

và

3

 f ( x ) dx = 9 , tính  f ( 3x ) dx
0

0

3

3

A.

 f ( 3x ) dx = 1

B.

C.



 f ( 3x ) dx = 2
0

0

3

x

3

f ( 3x ) dx = 3

D.

 f ( 3x ) dx = 4

0

0

và f ( 0) =  ,

15. Biết hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) liên tục trên
'



 f ( x ) dx = 3 . Tính
'

0

f ( ) .
B. f ( ) = −

A. f ( ) = 0
2

16. Xét tích phân I = 
1

xdx
1+ x − 1

C. f ( ) = 4

D. f ( ) = 2

và đặt t = x − 1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào

sai ?
2t 3 + 2t
dt
t
+
1
0

1

A. dx = 2tdt

B. I = 

4 

C. I =   2t 2 − 2t + 4 −
 dt
t
+
1


0

D. I =

1

6

17. Đặt I =


3 2

A. dx =

dx
x x −9

3sin t
dt
cos2 t

2

và x =

7
− 3ln2
3

3
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
cost

B.

dx
x x2 − 9

=

sin tdt
3cost tan t

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


3

C. I = 


sin tdt
3cost tan t

D. I =


36

4
2

dx
và x = 2tan t . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
4 + x2
0

18. Đặt I = 

B. dx = 2 (1 + tan2 t ) dt

A. 4 + x2 = 4 (1 + tan2 t )

4
1
C. I =  dt
2
0

D. I =
8

19. Xét tích phân I = 

xdx

x +1
3 1+

3
4

. Nếu đặt t = 1 + x + 1 thì khẳng định nào trong các khẳng

định sau đúng?
3

3

B. I = 2 ( t 2 − 3t + 2) dt

A. I =  ( t − t 2 ) dt
4

4

8

3

C. I = 2 ( t 2 − 3t + 2) dt

D. I =  ( t + t 2 ) dt
8

3

20. Khẳng định nào đúng ?






2

2

2

2

B.  sin xdx   cos2 xdx

A.  sin xdx   cos xdx
2


2

2

0

0

0









2

2

2

2

0

0

0

0

0

D.  sin2 xdx = 2 cos2 xdx

C.  sin2 xdx =  cos2 xdx
21. Khẳng định nào sai ?
A. ( tan x − x ) = tan2 x
'






4

B.

0

0





4

C.

4

2
 x tan xdx = x ( tan x − x ) 04 −  ( tan x − x ) dx

2
 x tan xdx =
0





  d cos x 4
1
−
+
+ xdx
4 
4  0 cos x 0
4


4

D.

 x tan

2

xdx =

0


4

+

2

1
− ln2 .
32 2

22. Tìm khẳng định sai ?
'

sin x
 1 
=
A. 

2
 cos x  cos x

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất



B.





3

x sin x
x 3 3 1
dx
=
−
dx
0 cos2 x
cos x 0 0 cos x




1
1  1 + sin x  3
dx = ln 
C. 
cos x
2  1 − sin x  0
0
3


3

D.

x sin x
2
dx =

− ln 2 − 3
2
x
3

(

 cos
0

)

23. Khẳng định nào sai ?
A. Với t = 4 − 3cos x thì cos x =

2tdt
4 − t2
và sin xdx =
3
3



B. Nếu đặt t = 4 − 3cos x thì

2

 cos x +
0

sin x
4 − 3cos x

2  4
1 
−
dt


5 1  4 − t 1 + t 
2

dx =

1 
2
 4
−
dt = − ( 4ln ( t − 4) + ln ( t + 1) )
C.  

5
 4 − t 1+ t 

2

D.

 cos x +

sin x
4 − 3cos x

0

ln3



24. Tính I =

0

A. I = 6e −

dx =

3e2 x+1 − 2
dx
ex

4
3

B. I = 4e +

ln2

25. Tính I =

6 3
ln .
5 2


0

3
4

1
+ ln2
2
1
C. I = + 2ln2
2

A. I =
C. I =

1
− 3ln2
2
1
D. I = − − ln2
2
1
x +1+ x

1

e+ 1 + e

(

D. I = 5e −

B. I =

e

0

4
3

e3x + 1
dx
ex + 1

A. I =

26. Tính I = 

C. I = 6e +

dx

1



− 1
B. I = 2 
 e+ 1 + e 
2
D. I = ( e + 1) e + 1 − e e + 1
3

−2

)

(

2
( e + 1) e + 1 − e e − 1
3

)

a

27. Giải phương trình ẩn a sau đây  cos xdx = 0
0

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

4
3

A. a =
C. a =


3


6

+ k2 , k
3

2+

28. Biết a = e

dx

 ex −1
1



+ k2 , k
3
D. a = k , k

B. a =

− e2 − e . Khẳng định nào đúng ?

B. a  1

A. a = 1

D. a =

C. a  1

1
2


2

(

)

29. Biết a =  ecosx + cos x cos xdx − e + 1. Tìm khẳng định sai ?
0

 3

+ a −   = − sin , 
A. sin 
 4

 3


+ a −   = − cos , 
B. cos
 4


 3

+ a −   = − tan , 
C. tan 
 4

 3

+ a −   = − cot  , 
D. cot 
 4




a − 2a sin2 x
0 1+ sin2x dx , trong đó a là một số đã cho
4

30. Tính




a − 2a sin x

A. 
dx = 2a − a 2
1 + sin2x
0
2

4

a − 2a sin2 x
a 2
B. 
dx =
−1
1 + sin2x
2
0
4





a − 2a sin x
a
0 1 + sin2x dx = ln 2
2

4

C.

a − 2a sin2 x
1
0 1+ sin2x dx = 2 ln a
4

D.

31. Tìm khẳng định sai ?




10 + 2 4
sin2xdx
2
.
=
3
cos2 x + 4sin2 x 3
0

A.

B.



2



sin2xdx
C. 
 =1
2
2
cos
x
+
4sin
x


e

32. Biết


1

10 + 2 4
sin2xdx
4
−
=
3
cos2 x + 4sin2 x 3
0

4

D.


0

3sin2xdx
cos2 x + 4sin2 x

2

+  dx = 10
0

a
1 + 3ln x ln x
a
dx = , trong đó a, b là hai số nguyên dương và
là phân số tối giản.
b
x
b

Khẳng định nào sai ?

2



A.  (1 − cos x ) sin xdx =
0

n

1
2n

2

B.

 (1 − cos x)
0

n

sin xdx =

1
n+1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất




2

C.

 (1 − cos x )

n

sin xdx =

0

2

1
n−1

D.  (1 − cos x ) sin xdx =
n

0

1
2n − 1


3

34. Trong các giá trị của n cho sau đây, tìm n để

 cos

n

x sin xdx =

0

B. n = 2

A. n = 1
1

35. Biết

( 3x − 1) dx = 3ln a − 5

x
0

2

+ 6x + 9

b 6

15
64

D. n = 4

C. n = 3

, trong đó a, b nguyên dương và

a
là phân số tối giản. Hãy
b

tính ab .
B. ab = 12

A. ab = −5

4

36. Cho


0

(1 + tan x )
2

cos x

5

dx =

D. ab =

C. ab = 6

5
4

a
a
,trong đó a, b nguyên dương và
là phân số tối giản. Khẳng định
b
b

nào đúng ?
A. a  b
B. ab = 1
37. Khẳng định nào sai ?

C. a − 10b = 1



A. sin   ( − x ) sin xdx  = 0
0


1

B. cos  ( − x ) sin xdx  = 0
20


 3

C. tan   ( − x ) sin xdx  = −1
40


 

D. cos 2 ( − x ) sin xdx  = −1
 0


D. a2 + b2 = 1



38. Tính sin    x cos xdx 
0




A. sin    x cos xdx  = 1
0




B. sin    x cos xdx  = 0
0





C. sin    x cos xdx  = 
0

39. Tìm khẳng định sai ?



3
D. sin    x cos xdx  =
0
 2

1x x

e dx −   = cos , 
A. sin  
0 2


1x x

e dx −   = sin , 
B. cos 
0 2


1

C. sin    xex dx −   = sin , 
0


1

D. cos   xex dx −   = cos , 
0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

1



1



1

B.

a b
+ =7
9 4

1

a

  2x + 1 − 3x + 1  dx = 6 ln b , trong đó

40. Biết

a
là phân số tối giản.
b

a, b nguyên dương và

0

Khẳng định nào sai ?
A. a − b = 11
41. Biết F ' ( x ) =

C. a + b  22

D.

3

a+ b =7

a sin2 x cos2 x + b 3


 
 
  
, F  = − , F  = , F  = .
2
2
sin x cos x
2
6
 3
 4 4

Tìm hàm số F ( x ) /
A. F ( x ) = x +



B. F ( x ) = x +



( tan x − cot x ) −

3
3


12

( tan x − cot x )

C. F ( x) = 9x − 2
D. F ( x ) = x −


3

( tan x − cot x ) +


6


4

42. Tính

sin x − cos x

 (1 + sin x + cos x )

2

dx

0




4

sin x − cos x

3
A. 
dx = − + 2
2
2
0 (1 + sin x + cos x )

4

B.

4

2

dx = −1 + 2

0



C.

sin x − cos x

 (1 + sin x + cos x )


sin x − cos x

 (1 + sin x + cos x )

dx = 1 + 2
2

4

D.

0

sin x − cos x

 (1 + sin x + cos x )

2

dx = 2

0

2

43. Tính

ln x
dx .
x3
1



ln x
2 + ln2
1 x3 dx = 16

ln x
3 + ln2
C.  3 dx =
x
16
1

ln x
3 − 2ln2
dx =
3
x
16
1

2

2

A.

B.



ln x
3 + 2ln2
dx =
3
x
16
1

2

2

D.




2

44. Tính

sin2x cos xdx
.
1

+
cos
x
0






2

2

sin2x cos xdx
A. 
= −1 + ln2
1 + cos x
0

B.

sin2x cos xdx
= −1 + 3ln2
1 + cos x
0



– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất





2

C.

sin2x cos xdx
0 1 + cos x = −1 + 2ln2

2

sin2x cos xdx
= 2 + 2ln2
1 + cos x
0

D. 


6

45. Tính

dx

 cos2x

0





(

6

dx
1
A. 
= ln 2 − 3
cos2x 2
0

)

B.

dx
C. 
= ln 2 + 3
cos2
x
0
4

46. Tính


0

4

0


0

)

 cos2x = 3 ln ( 2 +
6

D.

dx

1

3

)

0

dx
2x + 1 + 1

4

dx
2x + 1 + 1

4

C.

3



6



dx

0



A.

 cos2x = ln ( 2 −
6

= 2 − ln3

B.


0

4

dx

2 − ln2
2x + 1 + 1

D.


0

dx
2x + 1 + 1

dx
2x + 1 + 1

= 2 − 2ln2

= 4 − ln2


2

47. Tính


0

sin x
1 + 3cos x

dx





2

A.


0

sin x
1 + 3cos x

dx = −

3
2

2

B.

0

2


0

sin x
1 + 3cos x

dx =

3
2





C.



sin x
1 + 3cos x

dx =

2
3

2

D. 
0

sin x
1 + 3cos x

dx = −

2
3

1

48. Tính

 ( x − 2) e

2x

dx .

0

1

A.

2x
 ( x − 2) e dx =
0

1

C.

2x
 ( x − 2) e dx =
0

5 + 3e2
4

B.

5 − 3e2
4

D.

1

2x
 ( x − 2) e dx =
0

1

2x
 ( x − 2) e dx =
0

−5 − 3e2
4
5 − 3e2
2



sin  x − 
4

dx
49. Tính 
sin2x + 2 (1 + sin x + cos x )
0


4

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất




sin  x − 
4+ 3 2
4

dx =
A. 
sin2x + 2 (1 + sin x + cos x )
4
0


4



sin  x − 
−4 + 3 2
4

dx =
B. 
sin2x + 2 (1 + sin x + cos x )
4
0


4




sin  x − 
4−3 2
4

dx =
C. 
sin2x + 2 (1 + sin x + cos x )
4
0


4



sin  x − 
−4 − 3 2
4

dx =
D. 
sin2x + 2 (1 + sin x + cos x )
4
0


4

e

x

50. Tính

3

ln2 xdx .

1

5e2 − 1
B.  x ln xdx =
32
1

5e3 − 1
A.  x ln xdx =
32
1

e

e

3

e

C.

3

2

3
2
 x ln xdx =
1

5e4 − 1
32

2

e

D.

x

3

ln2 xdx =

1

5e − 1
32



tan4 x
0 cos2x dx
6

51. Tính




A.

(

4

6

tan x
5 3 1
0 cos2x dx = − 9 + 2 ln 2 + 3

)


6



(

4

tan x
10 3 1
C. 
dx =
+ ln 2 + 3
cos2x
9
2
0
4x − 1

4

52. Tính


0

4

A.


0

4

C.


0

(

tan4 x
10 3 1
0 cos2x dx = − 27 + 2 ln 2 + 3
6

B.

2x + 1 + 1

4x − 1
2x + 1 + 1
4x − 1
2x + 1 + 1

)

(

tan4 x
10 3
D. 
dx = −
+ ln 2 + 3

cos2x
9
0
6

)

dx

dx =

10
+ ln2
3

dx =

−22
+ ln2
3

4

B.


0

4

D. 
0

4x − 1

dx =

22
+ ln2
3

dx =

22
+ ln3
3

2x + 1 + 1
4x − 1
2x + 1 + 1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

)


2

53. Tính



sin2x + sin x
1 + 3cos x

0

dx .


2

A.





sin2x + sin x
1 + 3cos x

0

dx =

2
5

2

B.

C.



sin2x + sin x
1 + 3cos x

0


2



dx =

27
23

dx =

35
29



sin2x + sin x

34
dx =
27
1 + 3cos x

0

3

54. Tính

3 + ln x

 ( x + 1)

2

2

D.



sin2x + sin x
1 + 3cos x

0

dx .

1

3 + ln x

−3 + ln27 − ln16
A. 
dx =
2
4
1 ( x + 1)
3

3

C.

3 + ln x

 ( x + 1)

dx =
2

1

3 + ln27 + ln16
4

3

B.

3 + ln x

 ( x + 1)

2

dx =

3 + ln27 − ln16
4

dx =

3 − ln27 − ln16
4

1

3

D.

3 + ln x

 ( x + 1)

2

1

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
55. Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f ( x) , trục
hoành và hai đường thẳng x = a , x = b như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sai ?
(hình vẽ 1 trang 67)
b

A. S =  f ( x ) dx
a

b

B. S =  − f ( x ) dx
a

b

C. S =  f ( x ) dx

b

D. S =

a

 f ( x ) dx
a

56. Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x) liên tục, trục
hoành và hai đường thẳng x = a , x = b như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào đúng ?
(hình vẽ 2 trang 67)
b

A. S =  f ( x ) dx
a

b

B. S =  − f ( x ) dx
a

b

C. S =  f ( x ) dx

b

D. S =

a

 f ( x ) dx
a

57. Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x3 , trục hoành và
hai đường thẳng x = −1 , x = 2 như trong hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng?
(hình vẽ 3 trang 67)
2

A. S =

3
 x dx

−1

2

C. S =

 x dx
3

−1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

0

2

−1

0

B. S = −  x3dx +  x3dx

D. Không có khẳng định nào đúng.

58. Kí hiệu S( t ) là diện tích hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1 , trục hoành
và hai đường thẳng x = 1 , x = t (1  t  5) . Khẳng định nào sai ?
A. S( t ) = ( t + 2)( t − 1)
B. S( t ) là một nguyên hàm của f ( t ) = 2t + 1 , t  1;5
C. Hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 ,
5

x = 5 có diện tích là S =  ( 2x + 1) dx .
1

D. Hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1 , trục hoành và hai đường thẳng

x = 1 , x = 3 có diện tích là 30.
59. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = cos x , y = sin x và hai đường
thẳng x = 0 , x =
A. S= 2

(

)

2 −1


.
2

(

B. S= 2 1 − 2

)

D. S= 2 2 − 1

C. S= 2 2

60. Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2x2 + 3x + 1 và parabol
 
y = x2 − x − 2 . Tính cos  .
 S
 
A. cos  = 0
 S

2
 
B. cos  = −
2
 S

2
 
C. cos  =
 S 2

3
 

D. cos  =
 S 2
61. Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường y = x sin x , trục hoành và hai
đường thẳng x = 0 , x =  . Khẳng định nào sai ?
B. cos2S= 1
D. sin S= 1
S
S
=1
C. tan = 1
2
4
62. Kí hiệu S1, S2 lần lượt là diện tích hình vuông cạnh bằng 1 và diện tích hình phẳng giới hạn
A. sin

bởi các đường y = x2 + 1 , y = 0 , x = −1 , x = 2 . Chọn khẳng định đúng
A. S1 = S2

B. S1  S2

C. S1 =

1
S2
2

D.

S2
=6

S1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

63. Biết rằng diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x , y = 0 , x =

1
, x=e .
e

 1
có thể viết dưới dạng S = a  1 −  . Tìm khằng định sai.
 e

A. a2 − 3a + 2 = 0

B. a2 − a − 2 = 0

C. a2 + 3a − 4 = 0
D. 2a2 − 3a − 2 = 0
64. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường parabol y = x2 − 3x + 2 và hai đường
thẳng y = x − 1, x = 0 .
D. S= 2
799
111
4
B. S=
C. S=
300

42
3
65. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường y2 + x − 5 = 0 , x + y − 3 = 0 .
A. S=

A. S= 3
B. S= 4
C. S= 4,5
D. S= 5
66. Hình phẳng H có diện tích S gấp 30 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y2 = 2x , x − 2y + 2 = 0 , y = 0 . Tính S.
A. S= 20
B. S= 30
C. S= 40
D. S= 50
67. Kí hiệu S1, S2 , S3 lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng đơn vị), hình tròn đơn
vị (có bán kính bằng đơn vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = 2 1 − x2 , y = 2(1− x) .
Tính tỉ số

S1 + S3
.
S2

A.

S1 + S3 1
=
S2
3

B.

S1 + S3 1
=
S2
4

C.

S1 + S3 1
=
S2
2

D.

S1 + S3 1
=
S2
5

68. Kí hiệu V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b (như trong hình vẽ bên) xung quanh
trục Ox . Khẳng định nào đúng ? ( hình vẽ trang 69)
b

b

B. V =   f ( x ) dx

A. V =  f ( x ) dx

a

a

b

C. V =    f ( x ) dx 
a


2

b

D. V =   f 2 ( x ) dx
a

69. Gọi V là thể tích hình cầu bán kính R . Khẳng định nào sai ?
A. Hình cầu bán kính R là khối tròn xoay thu được khi quay nửa hình trong giới hạn bởi đường
y = R2 − x2

( −R  x  R)

và đường thẳng y = 0 xung quang trục Ox .

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

(
R

B. V = 

−R

R2 − x2

) dx
2

R


x3 
C. V =   R2 x − 
3  −R


D. Không có khẳng định nào đúng .
70. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = 3 x , y = 0 , x = 1 , x = 8 xung quanh trục Ox

A. V =  2

B. V =

9
4

C. V = 18,6

D. V =

93
5

71. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = tan x , y = 0 , x = 0 , x =
xung quanh trục Ox
4
A. V =


4

B. V =

2

C. V =

4



D. V =

4

 ln2
2

72. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = 4 − x2 , y = 0 xung quanh trục Ox
A. V = 2

B. V =

71
82

C. V =

512
15

8
D. V =  2
3

73. Kí hiệu V1, V2 lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra
khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = −2x + 2 và đường cong y = 2 1 − x2 xung
quanh trục Ox . Hãy so sánh V1 , V2 .
A. V1  V2

C. V1  V2

B. V1 = V2

D. V1 = 2V2

74. Kí hiệu V1, V2 lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra
khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đường cong y =
xung quanh trục Ox . Hãy tính tỉ số

A.

V1 3
=
V2 2

B.

V1 2
=
V2 3

2
và các đường y = 0 , x = 0 , x = 1
2− x

V1
.
V2
C.

V1 1

=
V2 2

D.

V1
=2
V2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

III. GỢI Ý – HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN
Gợi ý – Hướng dẫn giải
Câu 1. Để kiểm tra đẳng thức

( u) = 2

'

u'

'

Dùng công thức

 f ( x ) dx = F ( x ) + C cần kiểm tra đẳng thức F ( x) = f ( x) .

u
'

'
 1  −u
Câu 2. Dùng công thức   = 2
 u u

Câu 7. Cần nhớ sin ( n ) = 0, n 

.

Câu 10. Đặt u = 2x − 3 thì u' = 2 và
1
1
I =  f ( 2x − 3) dx =  f ( u) dx =  f ( u) .u' .dx =  f ( u ( x ) ) .u' ( x ) dx .
2
2
Áp dụng công thức đổi biến số, ta được
I=

1
1
F ( u ( x ) ) + C = F ( 2x − 3) + C
2
2
x

 2
Câu 12. f ( x ) =   − e− x
 e

Câu 14. Đặt t = 3x
Câu 15. Vì f ( x) là một nguyên hàm của f ' ( x) nên



 f ( x ) dx = f ( ) − f ( 0)
'

0

Câu 20. Đổi biến số t =


2

−x

Câu 28. Đặt t = ex − 1 , ta tính được

3

e
1

(

(

)

dx
= ln e2 + e + 1 − 2
−1

x

) − e2 − e = e2 + e+ 1 − e2 − e = 1
(
)

ln e2 + e+1

Từ đó, a = e

Vậy đáp á đúng là A.

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


2

Câu 29. Tính

 (e

cosx

)

+ cos x cos xdx ta được kết quả là e − 1 +

0


4

, từ đó a =


4

Câu 30. Đưa thừa số a ra ngoài dấu tích phân.

4

Câu 31. B và D cùng cho

sin2xdx



cos x + 4sin x
2

0

2

=

10 − 2
trái với C.
3

Vậy C là khẳng định sai.
Câu 32. Đặt t = 1 + 3ln x
Câu 33. Đặt t = 1− cosx
Câu 34. Đặt t = cos x
Câu 36. Đặt t = 1+ tan x
Câu 37. Xem lại các công thức quy gọn góc (giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt)
Câu 41. Áp dụng tính chất

'
 f ( x ) dx = f ( x ) + C ( f ( x) là một nguyên hàm của f ( x) ).
'

Câu 42. Đặt t = 1+ sin x + cosx
Câu 43. Đặt u = ln x , dv =

1
dx
x3

Câu 44. Đặt t = 1+ cosx
Câu 47. Đặt t = 1 + cos3x

 1

Câu 49. sin  x −  =

( sin x − cos x )
4
2

sin2x + 2 (1 + sin x + cos x ) = ( sin x + cos x + 1)

2

Đặt t = sin x + cosx + 1
Câu 51. cos2x = cos2 x (1 − tan2 x ) . Đặt t = tan x
Câu 53. Đặt t = 1 + 3cos x

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

3

ln x

 ( x + 1)

Câu 54. Tính

2

dx bằng phương pháp tích phân từng phần.

1

−1

Câu 60. S =



x2 + 4x + 3 dx =

−3

4
3



Câu 61. S =  x sin x dx = 
0

 1
Câu 63. S =  ln x dx = 2  1 −  , suy ra a = 2 . Khẳng định C sai.
 e
1
e

e

Câu 66. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x , x − 2y + 2 = 0 , y = 0 có diện tích
2

S1 = 
0