Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao phạm minh tuấn file word có lời giải chi tiết image marked

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 1: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = z + 1 + z 2 − z + 1 . Tính giá trị của M.n
A.

13 3
4

B.

39
4

C. 3 3

D.

13
4

➢ Cách 1:
Re(z) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z = 1  z.z = 1
❖ Đặt t = z + 1 , ta có: 0 = z − 1  z + 1  z + 1 = 2  t  0;2

(

)

❖ t 2 = (1 + z ) 1 + z = 1 + z.z + z + z = 2 + 2 Re( z )  Re( z ) =

t2 − 2

2

❖ z 2 − z + 1 = z 2 − z + z.z = z z − 1 + z = t 2 − 3
❖ Xét hàm số: f (t ) = t + t 2 − 3 , t   0; 2 . Xét 2 TH:

 Maxf (t ) =

13
13 3
; Minf (t ) = 3  M .n =
4
4

➢ Cách 2:
❖ z = r (cos x + i s inx) = a + bi

 z.z = z 2 = 1
❖ Do z = 1  
r = a 2 + b2 = 1
❖ P = 2 + 2cos x + 2cos x − 1 , dặt t = cos x   −1;1  f (t ) = 2 + 2t + 2t − 1
 1
❖ TH1: t   −1; 
 2

max f (t ) = f (1) = 3
1

f '(t ) =
+20
1

2 + 2t
min f (t ) = f  2  = 3
 

1 
❖ TH2: t   ;1
2 

1
7
 7  13
− 2 = 0  t = −  max f (t ) = f  −  =
8
2 + 2t
 8 4

f '(t ) =

 Maxf (t ) =

13
;
4

Minf (t ) = 3  M .n =

13 3
4

Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z − 3 − 4i = 5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỉ nhất của

biểu thức P = z + 2 − z − i . Tính module số phức w = M + mi.
2

2

1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
A. w = 2 314

C. w = 3 137

B. w = 1258

D. w = 2 309

➢ Cách 1:
❖ P = 4x + 2 y + 3  y =

P − 4x − 3
2

2
2
2
 P − 4x − 3


❖ z − 3 − 4i = 5  ( x − 3) + ( y − 4 ) = 5  ( x − 3) + 
− 4  − 5 = f ( x)
2


2

❖ f '( x) = 8( x − 3) − 8( P − 4 x − 11) = 0  x = 0, 2 P − 1, 6  y = 0,1P + 1, 7

 P = 33
2
❖ Thay vào f ( x ) ta được: ( 0, 2 P − 1, 6 − 3) + (0,1P + 1, 7 − 4) 2 − 5 = 0  
 P = 13
➢ Cách 2:
❖ z − 3 − 4i = 5  ( x − 3) + ( y − 4 ) = 5 : (C )
2

❖

2

(  ) : 4x + 2 y + 3 − P = 0

❖ Tìm P sao cho dường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung

 d ( I ; )  R  23 − P  10  13  P  33
❖ Vậy MaxP = 33; MinP = 13
❖ w = 33 + 13i  w = 1258
Bài 3: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + 1 + 2 z − 1
B. Pmax = 2 10

A. Pmax = 2 5

D. Pmax = 3 2

C. Pmax = 3 5

➢ Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:

(

❖ P = z + 1 + 2 z − 1  (12 + 22 ) z + 1 + z − 1
2

2

) = 10 ( z + 1) = 2
2

5

Bài 4: Cho số phức z = x + yi ( x, y  R) thoả mãn z − 2 − 4i = z − 2i và m = min z . Tính module số
phức w = m − ( x + y )i.
B. w = 3 2

A. w = 2 3

C. w = 5

D. w = 2 6

➢ Cách 1:
❖ z − 2 − 4i = z − 2i  x + y = 4
❖ z = x +y 
2

2

( x + y)
2

2

=

42
=2 2
2

x + y = 4 x = 2

 w = 2 2 − 4i  w = 2 6
❖ min z = 2 2 , Dấu “=” xảy ra khi 
y = 2
x = y

2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2 + y 2 

( x + y)2
2

Dấu “=” xảy ra khi x = y
➢ Cách 2:
❖ z − 2 − 4i = z − 2i  y = 4 − x
❖ z = x2 + y 2 = x 2 + (4 − x)2 = 2( x − 2)2 + 8  2 2

x + y = 4 x = 2
❖ min z = 2 2 . Dấu “=” xảy ra khi 

 w = 2 2 − 4i  w = 2 6
y = 2
x = 2
Bài 5: Cho số phức z = x + yi ( x, y  R) thoả mãn z + i + 1 = z − 2i . Tìm môđun nhỏ nhất của z.
C. min z = 0

B. min z = 1

A. min z = 2

D. min z =

1
2

➢ Cách 1:
❖ z + i + 1 = z − 2i  x − y = 1
❖ x2 + y 2 

( x − y)2 1
=
2
2

1
1
=
2
2

❖ z = x2 + y 2 

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2 + y 2 

( x − y )2
2

➢ Cách 2:
❖ z + i + 1 = z − 2i  y = x − 1
2

1 1
1
1


=
❖ z = x 2 + y 2 = x 2 + ( x − 1)2 = 2  x −  + 
2 2
2
2


❖ Vậy min z =

1
2

Bài 6 : Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

P = z 3 + 3z + z − z + z . Tính M + m
A.

7
4

B.

13
4

C.

3
4

D.

15
4
Sáng tác: Phạm Minh Tuấn

➢ Cách 1:
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
❖ Ta có: z = 1  z.z = 1
2

❖ Đặt t = z + z   0; 2  t 2 = ( z + z )( z + z ) = z 2 + 2 z.z + z = 2 + z 2 + z
2

2

2

❖ z 3 + 3z + z = z z 2 + 3 + z = t 2 + 1 = t 2 + 1
2

 1 3 3
❖ P = t − t +1   t −  + 
 2 4 4
2

3
❖ Vậy min P = ; max P = 3 khi t = 2
4
❖ M +n=

15
4

➢ Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại
❖

P = z + 3z + z − z + z =

❖

P = z + z +1− z + z 

3

2

z 3 + 3z + z
z

(

2

)

2

− z + z = z2 + 3 + z − z + z = z + z +1 − z + z

3
. Đến đây các bạn tự tìm max nhé
4

Bài 7: Cho các số phức a, b, c, z thoả az 2 + bz + c = 0(a  0) . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của
phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức P = z1 + z2 + z1 − z2 − 2 ( z1 − z2
2

A. P = 2
B. P =

c
a

C. P = 4

2

)

2

c
a

1 c
D. P = .
2 a

c
a

➢ Giải:

(

)

(

)

❖ Ta có: z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z1 − z2 ) z1 − z2 = 2 z1 + 2 z2
2

2

2

2

❖ Khi đó: P = 4 z1 z2
❖ Ta lại có: z1 z2 =

c

c
 P = 4 z1 z2 = 4
a
a

Bài 8: Cho 3 số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 + z2 + z3 = 0 và z1 = z2 = z3 = 1 . Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số thuần ảo
2

2

2

B. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số nguyên tố
2

2

2

C. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số thực âm
2

2

2

4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
D. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số 1
2

2

2

❖ Chứng minh công thức:
✓

z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3
2

2

2

2

2

2

2

❖ Ta có: z = z.z và z1 + z2 + ... + zn = z1 + z2 + ... + zn . Áp dụng tính chất này ta có vế trái :

2

(

)

(

)

(

= ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z2 + z3 ) z2 + z3 + ( z3 + z1 ) z3 + z1

)

= z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z3 + z3 z2 + z3 z1 + z1 z3

(

)

(

)

(

= z1 + z2 + z3 + z1 z1 + z2 + z3 + z2 z1 + z2 + z3 + z3 z1 + z2 + z3
2

2

2

(

= z1 + z2 + z3 + ( z1 + z2 + z3 ) z1 + z2 + z3
2

2

2

= z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3
2

2

2

)

)

2

❖ Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 3 là số nguyên tố
2

2

z
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn hai điều kiện z = 1 và  +
z
A. 5

B. 6

C. 7

2

z
 =1 ?
z

D. 8

➢ Giải:
❖ Ta có: z = 1 = z.z
2

❖ Đặt z = cos x + isin x, x 0;2   z 2 = cos 2 x + isin 2 x
z
❖  +
z

1


2
cos 2 x =
2


z
z +z
2
= 1  2 cos 2 x = 1  
 =1
z
z.z
cos 2 x = − 1

2

❖ Giải 2 phương trình lượng giác trên với x  0; 2  nên ta chọn được các giá trị
  5 7 11  2 4 5 
x= ; ;
;
; ;
;
; 
6 6 6 6 3 3 3 3 

❖ Vậy có 8 số phức thoả 2 điều kiện đề cho
Bài 10: Cho các số phức z1, z2, z3 thoả mãn đồng thời hai điều kiện z1 = z2 = z3 = 1999 và
z1 + z2 + z3  0 . Tính P =

z1 z2 + z2 z3 + z3 z1

.
z1 + z2 + z3

A. P = 1999

C. P = 999,5

B. P = 1999 2

D. P = 5997

➢ Giải
5

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
 z z + z z + z z   z . z + z .z + z .z 
❖ P2 =  1 2 2 3 3 1   1 2 2 3 3 1 
z1 + z2 + z3
 z1 + z2 + z3  



19992
z
=
 1
z1



19992
❖ Mặc khác: z1 = z2 = z3 = 1999  z1 z1 = z2 z2 = z3 z3 = 19992   z2 =
z2


19992
 z3 =
z3


 19992 19992 19992 19992 1999 2 1999 2
.
+
.
+
.
 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1   z1
z
z
z
z
z1
2
2
2
3
3
❖ Suy ra P = 


2
2
2
1999 1999 1999
 z1 + z2 + z3  
+
+

z1
z2
z3




 = 19992




❖ P = 1999
❖ Tổng quát: z1 = z2 = z3 = k  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = k z1 + z2 + z3
Bài 11: Cho số phức z thoả mãn

3 − 3 2i
z − 1 − 2i = 3 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
1 + 2 2i

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z = 3 = 3i . Tính M.m

B. M .n = 20

A. M .n = 25

C. M .n = 24

D. M .n = 30

➢ Dạng tổng quát: Cho số phức z thoả mãn z1 z − z2 = r . Tính Min, Max của z − z3 . Ta có
Max =

z2
z
r
r
− z3 +
; Min =
− 2 − z3
z1
z1
z1
z1

➢ Áp dụng Công thức trên với z1 =

3 − 3 2i
; z2 = 1 + 2i, z3 = 3 + 3i; r = 3 ta được
1 + 2 2i

Max = 6; Min = 4

Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức z thoả mãn z − 2 + 2i = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z . Tính M .m
A. M .n = 7

B. M .n = 5

2) Cho số phức z thoả mãn

C. M .n = 2

D. M .n = 4

1 + 2i
z − 2 = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
1− i

nhất của z + i . Tính M .m
A. M .n =

1
5

B. M .n =

1
3

C. M .n =

1
10

D. M .n =

1
4
6

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
z
− i 4 n +1 = i 4 n với n . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
i+2

3) Cho số phức z thoả mãn

giá trị nhỏ nhất của z − 3 + i . Tính M .m
A. M .n = 20

C. M .n = 24

B. M .n = 15

D. M .n = 30

Bài 12: Cho số phức z thảo mãn z + 1 + z − 1 = 4 . Gọi m = min z và M = max z , khi đó M .n bằng:

A. 2

B. 2 3

C.

2 3
3

D.

3

➢ Giải:
➢ Dạng Tổng quát: z1 z + z2 + z1 z − z2 = k với z1 = a + bi; z2 = c + di; z = x + yi
k 2 − 4 z2

❖ Ta có: Min z =

2 z1

2

và Max z =

k
2 z1

❖ Chứng minh công thức:
❖ Ta có: k = z1 z + z2 + z1 z − z2  z1 z + z2 + z1 z − z2 = 2 z1z  z 

k
k
. Suy ra Max z =
2 z1
2 z1

❖ Mặc khác:
❖ z1 z + z2 + z1 z − z2 = k 

( ax − by + c ) + ( ay + bx + d )
2

2

+

( ax − by − c ) + ( ay + bx − d )
2

2

=k

❖ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

k = 1.


( ax − by + c ) + ( ay + bx + d )

2

(1

2

2

+ 1.

( ax − by − c ) + ( ay + bx − d )
2

2

)

2
2
2
2
+ 12  ( ax − by + c ) + ( ay + bx + d ) + ( ax − by − c ) + ( ay + bx − d ) 



= 4 ( a 2 + b2 )( x2 + y 2 ) + 4 ( c2 + d 2 )
❖ Suy ra z = x + y 
2

2

(

k 2 − 4 c2 + d 2

(

4 a 2 + b2

)

)=

k 2 − 4 z2

2

2 z1


42 − 4
 m =
2
= 3
❖ ADCT trên ta có: z1 = 1; z2 =1; k = 4  
4
M = = 2

2
Bài 13: Cho số phức z thoả mãn iz +

2
2
+ iz −
= 4 . Gọi m = min z và M = max z , khi đó
1− i
1− i

M .n bằng:
A. 2

B. 2 2

C. 2 3

D. 1
7

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
❖ ADCT Câu 12 ta có: z1 = 1; z2 =


2
m = 2
;k = 4  
1− i


M = 2

Bài 14: Cho số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 z2 z3 =

1
3
+
i . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2

P = z1 + z2 + z3 .
2

2

2

A. Pmin = 1

C. Pmin = 3

1
3

D. Pmin = 2

B. Pmin =
➢ Giải:

❖ Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P  3 3 z1 . z2 . z3

2

❖ Mặc khác: z1 z2 z3 =

2

2

1
3
+
i  z1 z2 z3 = 1  z1 z2 z3 = 1
2 2

❖ Suy ra P  3 . Dấu “=” xảy ra khi z1 = z2 = z3 = 1
Bài 15: Cho số phức z = x + yi với x, y là các số thực không âm thoả mãn
2

(

P = z2 − z + i z2 − z

2

z −3
= 1 và biểu thức
z − 1 + 2i

)  z(1 − i) + z(1 + i) . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:

A. 0 và -1

C. 3 và 0

B. 3 và -1

D. 2 và 0

➢ Giải:
❖

z −3
= 1  z − 3 = z − 1 + 2i  x + y = 1
z − 1 + 2i

1
 x+ y
❖ P = 16 x 2 y 2 − 8xy , Đặt t = xy  0  t  
 =
4
 2 
2

 1
❖ P = 16t 2 − 8t , t  0;   MaxP = 0; MinP = −1
 4

Bài 16: Cho các số phức z thoả mãn z = 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 1 + z + 1 + z2 + 1 + z3 .

A. Pmin = 1

C. Pmin = 3

B. Pmin = 4

D. Pmin = 2

➢ Giải:
❖ Ta có: z = 1  − z = 1
8

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

(

)

❖ P = 1 + z + 1 + z 2 + 1 + z3 = 1 + z + − z 1 + z 2 + 1 + z3  1+ z − z 1+ z 2 + 1+ z3 = 2
6z − i
 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z .
2 + 3iz

Bài 17: Cho số phức z thoả mãn
A. max z =

1

2

C. max z =

B. max z =

3
4

D. max z = 1

1
3

➢ Giải:
6z − i
2
2
 1  6 z − i  2 + 3iz  6 z − i  2 + 3iz
2 + 3iz

( 6 z − i ) ( 6 z − i )  ( 2 + 3iz ) ( 2 + 3iz )  ( 6 z − i ) ( 6 z − i )  ( 2 + 3iz ) ( 2 + 3iz )
 z. z 

1
1
 z 
9
3

Bài 18: Cho z = a + bi, ( a, b 

) thoả

z 2 + 4 = 2 z và P = 8(b2 − a 2 ) − 12 . Mệnh đề nào sau đây

đúng?
A. P = z − 2

(

2

)

(

2

)

B. P = z − 4

2

C. P = ( z − 2 )

2

D. P = ( z − 4 )

2

2

➢ Giải:
❖ z 2 + 4 = 2 z  ( a 2 − b 2 + 4 ) + ( 2ab ) − 4 ( a 2 + b 2 ) = 0
2

2

❖ Chuẩn hoá b = 0  a 4 + 4a 2 + 16 = 0  a = −1 − i 3  z = −1 − i 3  P = 4
2

2
❖ Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A: P =  −1 − i 3 − 2  = 4  Nhận



Bài 19: Cho số phức z thoả mãn z − 2 − 3i = 1 . Gọi M = max z + 1 + i , m = min z + 1 + i . Tính giá trị
của biểu thức ( M 2 + n 2 ) .
A. M 2 + m 2 = 28

C. M 2 + m2 = 26

B. M 2 + m2 = 24

D. M 2 + m2 = 20

➢ Giải:

❖ z − 2 − 3i = 1  ( x − 2 ) + ( y − 3) = 1 (1)
2

2

❖ Đặt P = z + 1 + i  ( x + 1) + ( y − 1) = P 2
2

2

(2) với P  0

9

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
❖ Lấy (1)-(2) ta được: y =

P 2 + 10 − 6 x
. Thay vào (1):
4
2

 P 2 + 10 − 6 x

− 3  = 1  52 x 2 − 40 + 12 P 2 x + P 4 − 4 P 2 + 52 = 0
❖ ( x − 2) + 
4




(

2

) (

)

(*)

❖ Để PT (*) có nghiệm thì:

(

 = 40 + 12 P 2

)

2

(

)

− 4.52. P 4 − 4 P 2 + 52  0  14 − 2 13  P  14 + 2 13

❖ Vậy M = 14 + 2 13 , m = 14 − 2 13  M 2 + m 2 = 28

Bài 20: Cho số phức z  * thoả mãn z 3 +

1
1
 2 và M = max z + . Khẳng định nào sau đây
3
z
z

đúng?
C. 2  M 

A. −1  M  2
B. 1  M 

5
2

7
2

D. M 3 + M 2 + M  3

➢ Giải:
3

3

1
1

1
1 
1
1



❖  z +  = z3 + 3 + 3 z +   z3 + 3 =  z +  − 3 z + 
z
z
z
z
z
z




3

 z3 +

3

1
1
1
1
1





=  z +  − 3 z +    z +  − 3 z +   2
3
z
z
z
z
z




3

3

1
1
1
1


−3 z +
❖ Mặc khác:  z +  − 3  z +   z +
z
z
z
z



3

1
1
1
− 3 z +  2 , đặt t = z +  0 , ta được:
❖ Suy ra: z +
z
z
z

❖ t 3 − 3t − 2  0  ( t − 2 )( t + 1)  0  t  2  z +
2

1
2 M =2
z

Bài 21: Cho số phức z thoả mãn ( z − 3 + 1)(1 − i ) = (1 + i )

2017

. Khi đó số thực  = z +1 − i có phần ảo

bằng:
A. ( z ) = 21008 − 1

C. ( z ) = 21008

B. ( z ) = 21008 − 3

D. ( z ) = 21008 − 2

➢ Giải:
❖

( z − 3 + 1)(1 − i ) = (1 + i )

2017

 ( z − 3 + 1)(1 − i ) (1 + i ) = (1 + i )

2018

10

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
1009

1009
(1 + i )2 
2i 




❖ z=
+ 3−i =
+ 3 − i = 22008 i + 3 − i
2
(1 − i ) (1 + i)

❖  = 22008 i + 3 − i + 1 − i = 4 + ( 21008 − 2 ) i  ( z ) = 21008 − 2

(

)

Bài 22: Cho số phức z thoả mãn 1 − 5i z =

2 42
+ 3i + 15 . Mệnh đề nào dưới đây đúng:
z

5
 z 4
2

A.

1
 z 2
2

C.

B.

3
 z 3
2

D. 3  z  5

➢ Giải:

(1 − 5i ) z = 2 z42 +

3i + 15

(

)

(

)( z − 3i ) = 2 z42  1 −

(

)

 1 − 5i z − 3i 1 − 5i =

❖

 1 − 5i

 6 z +3 =
2

2 42
z

(

5i z − 3i =

2 42
z

)

2 42
2
2
 6 z + 3 . z − 4.42 = 0  z = 2
z

Bài 23: Cho ba số phức z, z1, z2 thoả mãn 2 z − i = 2 + iz và z1 − z2 = 1 . Tính giá trị của biểu thức

P = z1 + z2 .
A. P =

3
2

C. P = 2
D. P =

B. P = 3

2
2

➢ Giải:
❖ Đặt z = x + yi, 2z − i = 2 + iz  x2 + y 2 = 1
❖ Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1, z2.
❖ Ta có z1 − z2 = OA − OB = AB = 1
❖ Suy ra AB = OA = OB hay tam giác OAB đều.
❖ P = z1 + z2 = OA + OB = 2OM = 2.

3
= 3
2

Bài 24: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 0 . Tính giá trị của biểu
thức P = z12 + z22 + z32 .
11

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
A. P = 1

C. P = −1

B. P = 0

D. P = 1 + i

➢ Giải: Chuẩn hoá z1 =

1
3
1
3
+
i, z2 = −
i, z3 = −1 Suy ra P = 0
2 2
2 2

Bài 25: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu
thức P = z1 + z2 .
A. Pmax = 5 + 3 5

C. Pmax = 4 6

B. Pmax = 2 26

D. Pmax = 34 + 3 2

➢ Giải:
❖ Ta có: z1 + z2 = 8 + 6i  z1 + z2 = 10

(

❖ z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2
2

2

2

2

)  52 = z

1

2

+ z2

2

(z


1

+ z2
2

)

2

 z1 + z2  2.52 = 2 26

Bài 26: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 0 . Khẳng định nào dưới đây là sai.
A. z13 + z23 + z33 = z13 + z23 + z33

B. z13 + z23 + z33  z13 + z23 + z33

C. z13 + z23 + z33  z13 + z23 + z33

D. z13 + z23 + z33  z13 + z23 + z33

➢ Giải: Chuẩn hoá z1 =

1
3
1
3
+
i, z2 = −
i, z3 = −1 Suy ra đáp án D
2 2
2 2

Bài 27: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1

B. z1 + z2 + z3  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1

C. z1 + z2 + z3  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1

D. z1 + z2 + z3  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1

➢ Giải: Chuẩn hoá z1 =

1
3
1
3
+
i, z2 = −
i, z3 = −1 Suy ra đáp án A
2 2
2 2

Bài 28: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 1 . Biểu thức
P = z12 n +1 + z22 n +1 + z32 n +1 , (n  *) nhận giá trị nào sau đây?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

➢ Giải: Chuẩn hoá n = 1, z1 = 1, z2 = i, z3 = −i Suy ra đáp án A

Bài 29: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

1
z1 − z2 z1 − z3

+

1
1
+
.
z2 − z1 z2 − z3 z3 − z1 z3 − z2
12

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
3
4

C. Pmin =

1
2

B. Pmin = 1

D. Pmin =

5
2

A. Pmin =

➢ Giải:

(

)
+ z )( z + z

(
+z )

)

(

❖ z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1 = ( z1 − z2 ) z1 − z2 + ( z2 − z3 ) z2 − z3 + ( z3 − z1 ) z3 − z1
2

2

2

= 9 − ( z1 + z2

3

= 9 − z1 + z2 + z3

1

2

)

3

2

❖ Theo BĐT Cauchy- Schwarz:
P

9
9
9

=
2
2
2
2
z1 − z2 z1 − z3 + z2 − z1 z2 − z3 + z2 − z1 z2 − z3
z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1
9 − z1 + z2 + z3

❖ Do đó: P 

2
9
= 1 (do z1 + z2 + z3  0 )
9

Bài 30: Cho ba số phức z thoả mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
A. Pmax = 1
B. Pmax =

C. Pmax =

1
2

2z − i
:
2 + iz

3
4

D. Pmax = 2

z = 1
➢ Giải: Chuẩn hoá: z  1  
z = 0
❖ z =1 P =

2−i
= 1 do đó loại B, C
2+i

❖ z =0 P =

−i 1
= do đó loại D, chọn đáp án A
2
2

Bài 31: Cho 3 số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 + z2 + z3 = 0 và z1 = z2 = z3 =

2 2
. Mệnh đề nào dưới
3

đây đúng?
A. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 =

2 2
3

B. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 =

8
3

2

2

2

2

2

2

C. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 2 2
2

2

2

D. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 1
2

2

2

13

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

➢ Giải: z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 =
2

2

2

2

2

2

2

8
3

Bài 32: Gọi S là tập hợp các số phức z thoả mãn z − i  3 và z − 2 − 2i  5 . Kí hiệu z1, z2 là hai số
phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức

P = z2 + 2 z1 .
A. P = 2 6

C. P = 33

B. P = 3 2

D. P = 8

➢ Giải:
❖ 3  z − i  z +1  z  2
 x 2 + ( y − 1)2 = 9
 z1 = −2i
o Dấu “=” xảy ra khi:  2
2
 x + y = 4

❖ z − 2 2  z − 2 − 2i  5  z  5 + 2 2

( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 = 25
4+5 2  4+5 2 
 z2 =
+ 
o Dấu “=” xảy ra khi: 
i
2
2
2
2 
 x + y = 33 + 20 2

❖ P=

4+5 2  4+5 2 
+ 
 i − 4i = 33
2
2




Bài 33: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thoả mãn z + 1 + i = 2 z + z − 5 − 3i sao cho biểu
thức P = z − 2 − 2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó.
A. ( z ) =

8+ 7
2

C. ( z ) =

4+ 6
2

B. ( z ) =

8+ 2
2

D. ( z ) =

12 + 2
2

➢ Giải:
❖ z + 1 + i = 2 z + z − 5 − 3i  y = ( x − 2 )
❖ P=

( x − 2) + ( y − 2)
2

2

=

y + ( y − 2)

2

2

2

3 7
7

= y−  + 
2 4
4


 y = 3
4+ 6 3
+ i
❖ Dấu “=” xảy ra khi: 
2  z =
2
2
 y = ( x − 2 )
Bài 34: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z 3 − z + 2 .

14

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
A. Pmax =

11
2

B. Pmax = 2 3

C. Pmax =

13
2

D. Pmax = 3 5

➢ Giải:
Câu 35: Cho phương trình: z 3 + az 2 + bz + c = 0,(a, b, c  ) . Nếu z1 = 1 + i, z2 = 2 là hai nghiệm của
phương trình thì a + b + c bằng:
A. z =

1
2

B. z =

3
4

D. Pmax = 2

C. Pmax = 1

Bài 37: Cho phương trình: z 4 + az 3 + bz 2 + cz + d = 0,(a, b, c, d  ) có bốn nghiệm phức là z1, z2, z3,
z4. Biết rằng z1z2 = 13 + i, z3 + z4 = 3 + 4i , khẳng định nào sau đây đúng?
B. b  50

A. b  53

C. b  55

D. b  51

Bài 38: Cho số phức z thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 z3 ; z2 + z3 z1 ; z3 + z1z2 là các số thực. Tính

( z1 z2 z3 )

2017

.

A. 1

C. ±1

B. −22017

D. 22017

(

)

Bài 39: Cho số phức z thoả mãn đồng thời z + z = 2 và z + 3z = 2 + i 3 z . Khẳng định nào sau đây
đúng?
A.

1
 z 2
2

C.

B.

3
 z 3
2

D. 3  z  5

5
 z 4
2

 z −1 
Bài 40: Cho z1, z2, z3, z4 là nghiệm phức của phương trình: 
 = 1 . Tính giá trị của biểu thức
 2z − i 
4

(

)(

)(

)(

)

P = z12 + 1 z22 + 1 z32 + 1 z42 + 1 ;

A. P = 1

C. P =

18
5

B. P = −1

D. P =

17

9

Bài 41: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z 3 + 1 + z 2 + z + 1 . Tính M + m .

A. 2

B. 7

C. 6

D. 5

15

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 42: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn

P=

z1 + z2
z1 + z2

=

1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

z1 z2
.
+
z1 z2

A. 2

B.0,75

C. 0,5

D. 1

Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc toạ độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn hai số phức z1,
z2 thoả mãn z12 + z22 = z1 z2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ∆OAB vuông cân tại A
B. ∆OAB đều
C. ∆OAB cân, không đều
D. ∆OAB cân tại A
Bài 44: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 =

2
và z1 + z2 + z3 = 0 . Tính giá trị lớn
2

nhất của biểu thức P = z1 + z2 + 2 z2 + z3 + 2 z3 + z1 .
A. Pmax =

7 2
3

C. Pmax =

3 6
2

B. Pmax =

4 5
5

D. Pmax =

10 2
3

➢ Giải:
❖

z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 =
2

2

2

2

2

2

2

3
2

❖ Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
P = z1 + z2 + 2 z2 + z3 + 2 z3 + z1 

(1 + 2

2

+ 22

)( z + z
1

2
2

+ z2 + z3 + z3 + z1
2

2

) = 3 26

Bài 45: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = z 2 + 1 + 1 − z . Tính P = M 2 + n 2
A. 12

C. 15

B. 20

D. 18

Bài 46: Cho bốn số phức a, b, c, z thoả mãn az 2 + bz + c = 0 và a = b = c  0 . Gọi

M = max z , m = min z . Tính môđun của số phức  = M + mi .
A.  = 2

C.  = 3

B.  = 2

D.  = 1
16

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 47: Cho số phức z thoả mãn z − 1 = 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = z + i + z − 2 − i . Tính môđun của số phức  = M + mi .
A.  = 2 6

C.  = 3 5

B.  = 4 2

D.  = 4

➢ Giải:
❖ z − 1 = 2  ( x − 1) + y 2 = 2
2

❖ P = x 2 + ( y + 1) +

( 2 − x ) + ( y − 1)

❖ P = x 2 + ( y + 1) +

( 2 − x ) + ( y − 1)

2

2

2

2

2

2

vecto

( x + 2 − x) + ( y +1+1− y )
2



bunhiacopxki



2

=2 2

2.2 ( x − 1) + y 2 + 2  = 4


2

❖  = 4 + 2 2i = 2 6
Bài 48: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 + z2 =

3 4
+ i, z1 − z2 = 3 và biểu thức
5 5

P = 4 z1 + 4 z2 − 3 z1 − 3 z2 + 5 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z1 + z2 .
3

3

A. 1
B.

C. 2

3
4

D.

3

➢ Giải:
❖ Ta có: z1 + z2 = 1; 3 = z1 − z2  z1 + z2

(

❖ z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2
2

(

2

❖ P = 4 z1 + z2
3

3

2

) − 3( z

1

2

)2= z

2

1

+ z2 ) + 5  ( z1 + z2

+ z2

)

3

2

(z


1

+ z2

)

2

2

 3  z1 + z2  2

− 3 ( z1 + z2 ) + 5

t = 1
❖ Xét hàm số: f (t ) = t 3 − 3t + 5, t   3; 2  ; f '(t ) = 3t 2 − 3 = 0  
t = −1
❖ Do đó min f (t ) = 3  min P = 3
❖ Dấu “=” xảy ra khi z1 + z2 = 1
Bài 49: Cho số phức z thoả mãn z +

3
2
2
= 3 2 . Gọi M = max z và m = min z , tính môđun của số
2

phức  = M + mi .
A.  = 4 22

C.  = 5 10

B.  = 7 56

D.  = 3 62
17

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
➢ Giải:

(

)(

)

(

)

2

4
2
z2 + 3 z2 + 3
z +3 z + z −6 z +9
z2 + 3
3

z+ =3 2 
= 18 
= 18 
= 18
2
2
2
2
z
z
z
2

z −6 z +9
4



2

z

2

= 18  12 − 3 15  z  12 + 3 15
2

Do đó:  = 3 62
Bài 50: Cho số phức z thoả mãn z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = z − 2 + 2i .

1
2

A. Pmin =

C. Pmin = 2

B. Pmin = 1

3
2

D. Pmin =

Bài 51: Cho số phức z thoả mãn z  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
z+i
. Tính giá trị của biểu thức M.n:
z

biểu thức P =
A.

1
4

C. 1

B. 2

D.

3
4

Bài 52: Chi số phức z thoả mãn z 2 + 4 = 2 z . Gọi M = max z và m = min z , tính môđun của số
phức  = M + mi .
A.  = 2 3
B.  =

6
3

C.  = 14
D.  =

2
3

Bài 53: Cho số phức: z = x + yi, ( x, y  ) là số phức thoả mãn hai điều kiện z + 2 + z − 2 = 26 và
2

biểu thức P = z −

2

3
3
−
i đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức (x.y)
2

2

A. xy =

9
4

C. xy =

9
2

B. xy =

16
9

D. xy =

17
2

18

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 54:Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 z2 z3 =

1
15
−
i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
4

1
1
1
1
+
+
+
.
z1 z2
z3
z1 + z2 + z3

P=

A. Pmin = 6

C. Pmin = 5

B. Pmin = 4

D. Pmin = 3

Bài 55: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 = z2 = 1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = z1 + 1 + z2 + 1 + z1z2 + 1 . Khẳng định nào sau đây sai?
7
m3
4

A.

B. 1  m 

C. 3  m 

11
5

D.

7
2

1
5
m
4
2

Bài 56: Cho số phức z = a + bi  0 sao cho z không phải là số thực và  =

z

z
là số thực. Tính
1 + z3

2

1+ z

2

.

A.

1
3a + 1

C.

1
3a + 2

B.

2
a+2

D.

1

2a + 1

➢ Giải:

b = 0( Loai )
z
z
2


−
= 0  z − z 1− z z + z = 0   2 1
❖ Theo đề:


z =
1 + z3 1 + z3
2a


(

)

(

)

1
1

= 2a =
❖
2
2
a
+
1
2a + 1
1+ z
2a
z

2

Bài 57: Cho hai số phức z ,  khác 0 và thoả mãn z −  = 2 z =  . Gọi a, b lân lượt là phần thực và
phần ảo của số phức u =

z



. Tính a 2 + b 2 = ?

A.

1
2

C.

1
8

B.

7
2

D.

1
4

➢ Giải:
19

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
❖ Chuẩn hoá:  = 1 . Theo đề bài ta có:

(

)

2
2
2
2

 z −1 = 2 z

1
15
1
15
1

( x − 1) + y = 4 x + y

z= 
iu = 
i  a 2 + b2 =

2
2
z −1 = 1
8
8
8
8
4


( x − 1) + y = 1


Bài 58: Cho hai số phức z ,  khác 0 và thoả mãn z −  = 5 z =  . Gọi a, b lần lượt là phần thực và
phần ảo của số phức u = z. . Tính a 2 + b 2 = ?
A.

1
50

C.

1
100

B.

1
25

D.

1
10

➢ Giải:
❖ Chuẩn hoá:  = 1 . Theo đề bài ta có:

(

)

2
2
2
2

 z −1 = 5 z

1 3 11
1 3 11
1

( x − 1) + y = 25 x + y

z=

iu = 
i  a 2 + b2 =

2
2
z −1 = 1
50
50
50
50
25


( x − 1) + y = 1


Bài 59: Cho số phức  và hai số thực a, b. Biết rằng  + i và 2 − 1 là hai nghiệm của phương trình
z 2 + az + b = 0 . Tính a + b = ?

A.

5
9

B. −

C. −
1
9

D.

5
9

1
9

➢ Giải:

3 + i − 1 = −a
 1 − i − a  2 − 2i − 2a 
❖ Theo định lý Viet ta có: 

+ i 
− 1 = b

+
i
2


−
1
=
b
(
)(
)
3
3




 2a 2 a 1
a = −2
− + =b

 2a 2 a 1   2
4
5

9
9
3

− +  −  a + i = b  
  13  a + b = −
9 3  9
9

9
 9
2 a + 4 = 0
b = 9
 9
9
Bài 60: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = 2017 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

 z1 + z2
  z1 − z2

P=
 +

2
2
 2017 + z1 z2   2017 − z1 z2 

2

A.

1
2017

C.

2
2017 2

B.

2
2017

D.

1
2017 2

20

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Đặt z1 = 2017 ( cos 2 x + i sin 2 x ) và z2 = 2017 ( cos 2 y + i sin 2 y )
Ta có:

z1 + z2
cos 2 x + i sin 2 x + cos 2 y + i sin 2 y
cos( x − y)
=
=
2
2017 + z1 z2 2017 (1 + cos ( 2 x + 2 y ) + i sin ( 2 x + 2 y ) ) 2017 cos( x + y)



Tương tự:

z1 − z2
sin( y − x)
=
2
2017 + z1 z2 2017 sin( y + x)

Suy ra P =

cos2 ( x − y)
sin 2 ( y − x)
+
20172 cos 2 ( x + y) 2017 2 sin 2 ( y + x)

cos2 ( x + y)  1
1
1
cos 2 ( x − y ) + sin 2 ( x − y )  =
Vì  2
nên P 
2 
2017
2017 2
sin ( x + y)  1
Bài 61: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = z3 = 1 và

z2
z12
z2

+ 2 + 3 +1 = 0 .
z2 z3 z3 z1 z1 z2

Khẳng định nào sau đây đúng?.
A. z1 + z2 + z3 = 3

C. z1 + z2 + z3 = 2

1
3

D. z1 + z2 + z3 = 4

B. z1 + z2 + z3 =

Bài 62: Cho số phức z thoả mãn điều kiện z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 1008 1 + z + 1 + z 2 + ... + 1 + z 2016 + 1 + z 2017

A. 2017

C. 2018

B. 1008

D. 2016

Bài 63: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = z3 = 1, z1 + z2 + z3  0 và
z12 + z22 + z32 = 0 . Khẳng định nào sau đây sai?

A. z12017 + z22017 + z12017 = 0

C. z12017 + z22017 + z12017 = 1

B. z12017 + z22017 + z12017 = 3

D. z12017 + z22017 + z12017 = 4

Bài 64: Cho số phức z ∈ ℂ ∖ℝ và  =

1+ z + z2
là số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?.
1− z + z2

A. 0  z  2

C. 1  z  3

B. 2  z  4

D. 3  z  5

Bài 65: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 + z2 + z3 = 0 và z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = 0 . Tính giá
trị của biểu thức P =
A. 3

z1 z2 + z2 z3 + z3 z1
z22

C. 2
21

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
B.

1
2

D.

1
3

22

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất