Chuyên đề tích phân đặng thành nam file word có lời giải chi tiết image marked

CHUYÊN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khái niệm nguyên hàm của một hàm số:
Hàm số f (x) xác định và liên tục trên khoảng D
Hàm số F ( x ) được gọi là một nguyên hàm của f ( x ) nếu F ' ( x) = f ( x), " x Î D
Và nguyên hàm của f (x) được xác định theo công thức, thực chất đây chỉ là ký hiệu của nguyên hàm của
một hàm số:

F ( x) =

ò f ( x)dx

Để tìm nguyên hàm của một hàm số ta dựa vào nguyên hàm của một số hàm cơ bản:
Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:
a
ò x dx =

ò

xa + 1
+ c, a ¹ - 1
a+1

dx
= ln x + c
x

Khái niệm tích phân của một hàm số:
Tích phân của một hàm số f ( x ) được xác định trên một đoạn [a, b ]là giá trị của F (b) - F (a) và được ký
b

hiệu là

ò f ( x)dx = F (b) -

F (a )

a

MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
Dưới đây sẽ trình bày một số bài toán cơ bản nhất của tích phân, cách thức tiến hành là đưa biểu thức dưới
dấu tích phân về dạng

ò f (u)du.
1

Bài 1. Tính tích phân I =

ò (2 x - 1)( x - 1)

100

dx

0

1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Lời giải:
1

Ta có I =

1

ò (2 x - 1)( x - 1)

100

1

ò (2( x - 1) + 1)( x - 1)

100

dx =

0

0

1

= 2ò ( x - 1) d ( x - 1) +

ò ( x - 1)

100

0

dx = 2ò ( x - 1)

dx +

0

1
100

1
1001

d ( x - 1) =

0

ò ( x - 1)

100

dx

0

1 1
1 152
1

( x - 1)102 +
( x - 1)100 =
0 101
0 5151
51

0

0

0

2

2

2

3
2

0

1
(2 x + 1) - 1
1
1
2 x + 1dx = ò (2 x + 1) dx - ò (2 x + 1) 2 dx
Bài 2. Tính tích phân I = ò x 2 x + 1dx = ò
2

2-1
2-1
- 1
- 1

=

2

0
0
0
3ö 0
3
1
5
1
1
1
1æ
- 1
ç
2÷
2
2
2
÷
2
x
+

1
d
2
x
+
1
2
x
+
1
dx
2
x
+
1
=
2
x
+
1
2
x
+
1
(
) (
) ò(
) (
)
(

) - 1 çç
- 1=
÷
ò
÷
4-1
4-1
10
6è
15
ø
2
2
2
2
1

Bài 3. Tính tích phân I =

ò
0

x4 + 5
dx
x+ 1

Lời giải:
1

Ta có I =

ò
0

1

=

1

x4 + 5
dx =
x+ 1

ò
0

1

3
2
ò (x - x + x - 1)+
0

ò
0

Bài 4. Tính tích phân I =

x4 - 1+ 6

dx =
x+ 1

6
dx =
x+ 1

ò

1

é
6 ù
2
ê
údx
x
1
x
+
1
+
(
)
(
)
ò êë
x + 1ú
û
0

æ1 4 1 3 x 2
ö1
1 - 7
çç x - x +
÷
- x÷
+ 6ln x + 1 =
÷
÷
çè 4
0 12
3
2
ø0

dx
x + 1+ x- 1

Lời giải:
Ta có I =

ò

dx
1
= ò
x+ 1+ x- 1 2
4

Bài 5. Tính tích phân I =

ò

1
+
4x

(

x + 1-

)

x - 1 dx =

1
1
3
3
(x + 1) (x - 1) + c
3
3

x + ex
dx
xe 2 x
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Lời giải:
4

ò

Ta có I =

1

2

æ 1
1ö
çç
+ x÷
÷
÷ dx =
çè 2 x e ø

Bài 6. Tính tích phân I =

4

æ 1

ò çççè2
1

ö
+ e- x ÷
÷
÷dx =
ø
x

(

x - e- x

4

) 1 = 1+ 1e -

1
e4

cos5 x
ò 1- sinx dx.

Lời giải:

cos5 x
dx =
Ta có I = ò
1- sinx
=

cos3 x (1- sin 2 x)

ò 1- sinx dx =

ò cos xdx + ò cos x sinx dx = ò (13

3

ò cos

sin 2 x)d (sinx )-

3

x (1 + sinx )dx

ò cos xd (cosx)
3

1 3
1
sin x - cos 4 x + c
3
4

= sinx-

p
4

Bài 7. Tính tích phân I =

ò
0

x sinx+ (x+ 1) cosx
dx
x sinx+ cosx

Lời giải:
p
4

ò

Ta có I =

0

p
= x 4+
0

p
4

ò
0

x sinx+ (x+ 1) cosx
dx =
x sinx+ cosx

p
4

ò
0

( x sinx+ cosx) + x cosx
dx =
x sinx+ cosx

p
4

p
4

x cosx

ò dx + ò x sinx+ cosx dx
0

0

p
d ( x sinx+ cosx) p
p
p+ 4 2
= + ln x sinx+ cosx 4 = + ln
x sinx+ cosx

4
4
8
0

Bài 8. Tính tích phân I =

tan 3 x
ò cos 2 x dx

Lời giải:

3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


tan 3 x
I= ũ
dx =
cos 2 x
Ta cú: =

=

tan 3 x
ũ cos2 x - sin 2 xdx =

ổ tan x
ử

- tan xữ
d (tan x) =
ữ
2
ữ
ứ
tan x

ũ ỗỗỗố1-

ũ 1-

tan 3 x
ũ cos2 x (1- tan 2 x)dx =

tan x
d (tan x) tan 2 x

tan 3 x
ũ 1- tan 2 xdx(tanx)

ũ tan xd (tan x)

- 1 d (1- tan 2 x) 1
1
1
- tan 2 x = - ln 1- tan 2 x - tan 2 x + c
2
ũ
2

1- tan x
2
2
2
2

Bi 9. Tớnh tớch phõn I =

ũ min (x , x )dx
2

0

Li gii:
Xột x 2 -

x 0

x ( x x - 1) 0 x 1.

Vy vi 0 Ê x Ê 1 ị min(x 2 , x ) = x 2 .
Vi 1 Ê x Ê 2 ị min( x 2 , x ) =
2

Vy I =

1

ũ min( x ,
2

=

ũ min( x ,

x )dx =

x )dx +

0

2

ũ x dx + ũ
2

0

2
2

0

1

x.

1

xdx =

ũ min( x ,
2

x )dx

1

2 4 2- 1
1 31 2
x + x x =
1
3 0 3
3
p
4

Bi 10. Tớnh tớch phõn I =

ũ min (tan x, x)dx
-

p
4

Li gii:
ộ- p p ự
Xột hm s f ( x) = tan x - x trờn on ờ ; ỳ
ờở 4 4 ỳỷ

Ta cú f ' ( x) =

ộ p pự
ộ p pự
1
- 1 0, " x ẻ ờ- ; ỳị f ( x) l hm s ng bin trờn on ờ- ; ỳ
2
ờở 4 4 ỳ
ờở 4 4 ỳ
cos x
ỷ
ỷ

Ta cú f (o) = 0 . T ú suy ra
4

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


ộ p ự
f (x) Ê f (0) = 0, x ẻ ờ- ;0ỳ tan x Ê x, x ẻ
ờở 4 ỳ
ỷ

ộ p ự
ờ- ;0ỳị min(tan x, x) = tan x, x ẻ
ờở 4 ỷ
ỳ

ộ p ự

ờ- ;0ỳ
ờở 4 ỷ
ỳ

ộ pự
ộ pự
ộ pự
f (x) f (0) = 0, x ẻ ờ0; ỳ tan x x, x ẻ ờ0; ỳị min(tan x, x) = x, x ẻ ờ0; ỳ
ờở 4 ỳ
ờở 4 ỳ
ờở 4 ỳ
ỷ
ỷ
ỷ
p
4

Vy I =

p
4

0

ũ min (tan x, x)dx = ũ min (tan x, x)dx + I = ũ min (tan x, x)dx
p
4

-

-

p
4

p
4

p
1 2
= ũ tan xdx + ũ xdx = x 4 +
2
p
0
0
0

4

0

0
sinx
p2
p2
2
ũp cosx dx = 32 - ln cosx - p = 32 + ln 2
4
4
0

2

Bi 11. Tớnh tớch phõn I =

ũ x 1-

x dx

0

Li gii:
Vi 0 Ê x Ê 1 ị 1- x 0 ị 1- x = 1- x
Vi 1 Ê x Ê 2 ị 1- x Ê 0 ị 1- x = x - 1
2

Vy I =

2

ũ x 1- x dx = I =

2

ũ x(1- x)dx + I =

0

0

ũ x( x - 1)dx
0

ổ1
1 ử1 ổ
1
1 ử2
= ỗỗ x 2 - x3 ữ
+ ỗỗ x3 - x 2 ữ
ữ
ữ
ữ
ữ1 = 1
ỗố 2
ỗ
3 ứ 0 ố3
2 ứ
3

ũ

Bi 12. Tớnh tớch phõn I =

0

x2 - x
x2 + 3

dx

Li gii:
1

Ta cú I =

ũ
0

x2 - x
x2 + 3

3

dx +

ũ
1

x2 - x
x2 + 3

dx

5

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


1

=-

ò
0

3

x2 - x
dx +
x2 + 3
1

Xét K = -

ò
0

ò
1

x2 - x
dx = x2 + 3

1 4
= - 1 + ln +
2 3
Đặt x =

x2 - x
dx

x2 + 3

1

æ
x
3
ò çççè1- x2 + 3 - x2 +
0

ö
÷
dx = ÷
ø
3÷

1

1

1 d ( x 2 + 3)
dx
+
ò
ò x2 + 3 +
2
0
0

1

òx
0

2

3
dx
+3

3dx
2
+3

òx
0

3 tan t Þ dx =

Khi đó K = - 1 +

Tương tự: L =

1

ò

3

dt

p
; x = 0 Þ t = 0; x = 1 Þ t =
2
cos t
6

1 4
1 4
ln + 3 ò dt = - 1 + ln +
2 3
2 3
x2 - x
1
dx = 2 - ln 3 2
x - 3
2

Vậy I = K + L = 1 + ln

3p
6

3p
6

2
3
1

Bài 13. Tính tích phân I =

ò
0

x 2 + e x + 2 x 2e x
dx
1 + 2e x

Lời giải:
1

Ta có I =

ò
0

x 2 + e x + 2 x 2e x
dx =
1 + 2e x

1

ò
0

x 2 (1 + 2e x )+ e x
1 + 2e x

1

1

ex
dx = ò x dx + ò
dx
1 + 2e x
0
0
2

x
1
1 1 1
1 3 1 1 d (1 + 2e ) 1 1
1
= x + ò
= + ln 1 + 2e x = + ln (1 + 2e)- ln 3
x
0 3 2
3 0 2 0 1 + 2e
3 2
2

e

Bài 14. Tính tích phân I =

ò x(
1

ln xdx
2 + ln x +

2 - ln x

)

Lời giải:
6

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Đặt t = ln x Û dt =
1

Vậy I =

ò x(
0

=

dx
; x = 1 Þ t = 0; x = e Þ t = 1
x
1

tdt
2+ t +

2- t

)

=

1

òt
0

1
1
3 1
3 1
(2 + t ) + (2 - t ) =
0 3
0
3

3+

2 + t + 2- t
1
dt = ò ( 2 + t +
2t
2 0

2 - t ) dt

1 4
+
2
3 3

xn
Bài 15. Tính tích phân I = ò
dx, (n Î N * )
2
3
n
x
x
x
1+ x +
+
+ ... +
2! 3!
n!
Lời giải:
Đặt f n ( x) = 1 + x +

Vậy I =

x 2 x3
xn
x 2 x3
xn - 1
+

+ ... +
Þ f 'n (x) = 1+ x +
+
+ ... +
= f n- 1 ( x)
2! 3!
n!
2! 3!
(n - 1)!

æ f n- 1 ( x) ö
æ f ' n ( x) ö
n !( f n ( x) - f n- 1 ( x)
÷
÷
çç1çç1÷
÷
dx
=
n
!
dx
=
n
!
dx
÷
÷
ò
ò

ò
ç
ç
÷
÷
f n ( x)
f n ( x) ø
f n ( x) ø
è
è

æ
x 2 x3
xn ö
÷+ C
= n ! x - n !ln f n ( x) + C = n !ln çç1 + x +
+
+ ... + ÷
çè
÷
2! 3!
n! ÷
ø
1

Bài 16. Tính tích phân I =

ò 1+ x + x

dx

2

- 1

+

x 4 + 3x 2 + 1

Lời giải:
1
1
(1+ x + x2 )- x4 + 3x2 + 1
1+ x + x2
I= ò
dx = ò
dx - ò
2
4
2
2
1
+
x
+
x
x
+
3
x
+

1
2
x
1
+
x
(
)
(
)
(
)
- 1
- 1
- 1
1

Ta có

x 4 + 3x 2 + 1
dx
2 x (1 + x 2 )

æ
ö
p ÷
çç
÷
æ
ö

÷
1
÷
1+ x + x
1
1ç
p
ç1
4 ÷
÷
÷
Xét tích phân M = ò
dx = ò çç +
dx = çççln x
+ arctant
=
÷
÷
2
2
÷
÷
çè 2 x 2 (1 + x )÷
- 1
p÷ 4
2 çç
2 x (1 + x )
ø
- 1
- 1ç

- ÷
÷
ççè
÷
4ø
1

2

1

7

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

N=

x 4 + 3x 2 + 1
dx, đặt x = - t Þ dx = - dt ; x = 1 Þ t = - 1; x = - 1 Þ t = 1
2 x (1 + x 2 )

ò
- 1

4

- 1

Khi đó N =

2

(- t ) + 3(- t ) + 1
(- dt ) = 2
2 (- t )(1 + (- t ) )

ò
1

Vậy I = M - N =

- 1

ò
1

4

2

(- t ) + 3(- t ) + 1
dt = - N Þ N = 0
2
2 (- t )(1 + (- t ) )

p
4

1

Bài 17. Tính tích phân I =

dx

ò (1+ x )
n

0

n

1+ xn

Lời giải:

Ta có

dx

ò (1+ x )
n

- 1-

æ 1ö
= ò çç1 + n ÷
÷
çè x ÷

ø

1
n

n

1+ xn

x

- n- 1

=

ò

dx
=
æ
ö
1
1
x n çç1 + n ÷
x n 1+ n
÷
çè x ÷
ø
x

- 1-

1 æ 1ö
dx = - ò çç1 + n ÷
÷
ø
n çè x ÷

1
n

ò

x- n- 1dx
1+

æ 1÷
ö
çç1 + n ÷
çè x ÷
ø

1
n

-

1

æ 1ö æ 1÷

ön
çç1 + ÷ + C
d çç1 + n ÷
=
÷
çè x ÷
ø çè x n ÷
ø

1

æ 1 ön 1
1
=
Từ đó suy ra I = çç1 + n ÷
÷
n
÷ 0
çè x ø
2
Bình luận: ở ví dụ này ta không trực tiếp tính I luôn, bởi phép biến đổi trên không thể thực hiện với mọi

x Î [0,1]nên thông qua nguyên hàm sau đó tính tích phân sau (kỹ thuật giấu cận).
p
2

Bài 18. Tính tích phân I =

ò (e
p

6

cosx+ sinx
dx
sinx+ 1)sinx

x

Lời giải:

8

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


p
2

p
2

cosx+ sinx
Ta có I = ò x
dx =
p (e sinx + 1)sinx

e x (cosx+ sinx )

ò (e

sinx+ 1)e x sinx

x

p
6

6

Đặt t = e x sinx Þ dt = e x (sinx+ cosx )dx; x =

p
p
1 p
p
Þ t = e6 ; x = Þ t = e2
6
2
2

p

p

æp
ö
÷
1
t
p çççe 6 + 2 ÷

÷
dx = ln
ln ç
÷
p =
÷
÷
t (t + 1)
t + 1 1 6 3 çç p2
e
çè e + 1 ÷
ø
2
e2

e2

Vậy I =

dx

ò
p

1 6
e
2

ln 2

Bài 19. Tính tích phân I =

ò

(x 2 + 2)e2 x + x 2 (1- e x )e2 x - e x + 1

0

ex

dx

Lời giải:
ln 2

Ta có I =

ò

(x 2 + 2)e2 x + x 2 (1- e x )-

ex

e2 x - e x + 1

0

ln 2

dx = I =

ln 2

ò x dx +
2

0

ò
0

2e 2 x - e x
dx
e2 x - e x + 1

ln 2
1 3 ln 2
ln 3 2
2x
x
= x
- ln e - e + 1
= 2+
0
0
3
3
1

Bài 20. Tính tích phân I =

ò
0

xdx

(

1+ x2 +

1+ x2

3

)

Lời giải:
1

Ta có I =

ò
0

x
1+ x2

.

1

1

dx =

1+ 1+ x2
6

ò
0

1

(

) (

d 1+ 1+ x2 = 1+ 1+ x2

1+ 1+ x2

1

)0=

2- 1

2

æ ln x ÷

ö
dx
Bài 21. Tính tích phân I = ò çç
÷
çè 2 + ln x ÷
ø
1
Lời giải:

9

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2

æ 4 ln x + 4 ö
÷
ç
÷ dx =
I = ò çç12÷
÷
÷
ç
2
+
ln
x
(
)

ø
1 è
6

e

=

æ

ò d çççèx 1

4x
ln x +

ö
÷
÷
÷=
2ø

æ 4 (ln x + 2)- 4 x (ln x + 2)' ö÷
ç
÷
÷
2
ò èççç1÷dx
ln
x
+

2
(
)
ø÷
1
6

æ
4x
ççx èç
ln x +

e
ö
e
÷
=
1
÷
÷1
2ø
3
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1

Bài 1. Tính tích phân I =

ò x (1-

100

x) dx

0

1

Bài 2. Tính tích phân I =

100

ò (2 x + 1)(x - 1)

dx

0

0

Bài 3. Tính tích phân I =

2

100

ò (x - 1) (x + 1)

dx

- 1

0

Bài 4. Tính tích phân I =

ò (3x + 4)

2 x + 1dx

- 1
2

0

Bài 5. Tính tích phân I =

2

ò (x - 1)

x + 1dx

- 1

2

Bài 6. Tính tích phân I =

òx

2

x 2 - 1dx

0

p
2

Bài 7. Tính tích phân I =

ò (cos

3

x - 1)sin 2 xdx

0

p
2

Bài 8. Tính tích phân I =

ò max (sinx, cosx )dx
0

p
4

Bài 9. Tính tích phân I =

ò
0

2 x cosx+ (x - 2)sinx
dx
x cosx- sinx
10

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

Bài 10. Tính tích phân I =

ò

2

x 2 (1 + e x )

dx

1+ ex

0

ln 2

Bài 11. Tính tích phân I =

2e x + 3
ò ex + 2e- x + 3dx
0
p
3

Bài 12. Tính tích phân I =

ò
0

xe x (4 + 4 (sinx + cosx )+ sin 2 x )
dx
2
(1 + cosx )

p
2

Bài 13. Tính tích phân I =

ò min (tan x + 2sinx,3 x )dx
-

p
2

p
4

Bài 14. Tính tích phân I =

2ö
æx
ççe + cosx, 2 + x - x ÷
÷
max
dx
ò çè
÷
÷
2
ø
0

e

Bài 15. Tính tích phân I =

ln x 3 2 + ln x
dx
ò
x
1

ln éê(x + 1) (x + 2)

Bài 16. Tính tích phân I = ò ë
(x + 1)(x + 2)
1
x+ 1

2

3

Bài 17. Tính tích phân I =

òe

x

x2 + 1

x2 + 1

0

Bài 18. Tính tích phân I =

Bài 19. Tính tích phân I =

ò
ò

x 2 + 1cos 4 x 2 + 1
x 2011

1005

(1 + x 2 )

ò (10e

- x

ln 2

ù
ú
ûdx

dx

x

ln 5

Bài 20. Tính tích phân I =

x+ 2

dx

dx

dx
- 1) e x - 1

11

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


0

Bài 21. Tính tích phân I =

dx

ò 1+

-

- x (x + 1)

1
2

p
4

Bài 22. Tính tích phân I =

ò cos 2 x+ sinx

-

p

4

dx
sinx + sin 2 x + cos 2 2 x

p
4

Bài 23. Tính tích phân I =

cos 2 x
òp 3 æ p ö÷dx
sin x sin ççx + ÷
çè
6
4 ø÷
2

Bài 24. Tính tích phân I =

ò x (x

dx
2012

1

3ln 2

Bài 25. Tính tích phân I =

ò
0

dx

(

3

ex +

ln 3

Bài 26. Tính tích phân I =

+ 1)

òe
ln 2

2

)

e2 x dx
x

- 1+

ex - 2

3

Bài 27. Tính tích phân I =

2 x2 + x - 1
ò x + 1 dx
0
5

Bài 28. Tính tích phân I =

ò(

x + 2 x- 1 +

)

x - 2 x - 1 dx

1

p
2

Bài 29. Tính tích phân I =

ò sinx
p

6

sin 2 x +

1
dx
2

p
2

Bài 30. Tính tích phân I =

ò

10

1- cos5 x sinx cos9 xdx

0

12

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

Bài 31. Tính tích phân I =

òx

xdx
2

0

1

Bài 32. Tính tích phân I =

ò
0

x - e2 x
dx
xe x + e2 x

e

Bài 33. Tính tích phân I =

x2 + 1

+ 1+

x+ 1

ò x (1 + xe )dx
x

0

3

Bài 34. Tính tích phân I =

ò 1+ x
1
3

2

dx
+ x98 + x100

1

Bài 35. Tính tích phân I =

dx

ò

(

x2 + 1 x + 1+

0

0

Bài 36. Tính tích phân I =

sin 4 x

ò (1+ sinx)(1+ cosx ) dx

-

p
4

2

Bài 37. Tính tích phân I =

òx
1

p
2

Bài 38. Tính tích phân I =

ò
0

òx
0

1

Bài 40. Tính tích phân I =

ò
0

p
2

Bài 41. Tính tích phân I =

ò
0

dx
2

(

)

x2 + 1 + 1

sinx (1 + 14 x cosx )- x sin 4 x
dx
7 - 2cos 2 x

1

2

Bài 39. Tính tích phân I =

)

x2 + 1

dx
1- x 2 - x + 1- x

x 2e2 x + 3xe x + e x + 1
dx
xe x + 1

(x2 - 1)sin 2 x + x (cosx+ sin 2 x)+ 1
x sinx+ cosx

dx

13

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2

Bài 42. Tính tích phân I =

ò

x3 x3 + 8 + (3x3 + 5 x 2 )ln x
x

1

p
2

Bài 43. Tính tích phân I =

ò
0

dx

æ
pö
4sin 2 x + cos 2 2 x - 2 cos 2 çç2 x - ÷
÷
çè
ø
4÷
dx
4
4
sin x + cos x

5

Bài 44. Tính tích phân I =

(x - 1) x 2010
ò (x + 1)2011 + x 2011 dx
2
0

Bài 45. Tính tích phân I =

ò
- 1

dx
1+ 1+ x

Bài 46. Tính nguyên hàm của I =

ò (x

2

dx
+ a )(x + b 2 )(x 2 + c 2 )
2

2

TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
Xét tích phân I =

I = G ( x) +

ò

P( x)

P* ( x)
dx thực hiện phép chia đa thức ta được
Q( x )

ò Q( x) dx trong đó P ( x), G( x), P( x), Q( x) là các đa thức hệ số thực và bậc của P ( x) nhỏ hơn
*

bậc của Q ( x ) .
Để tính tích phân các hàm phân thức hữu tỉ ta tiến hành phân tích

P( x)
thành tổng của các hàm phân thức
Q( x)

đơn giản.
+

Nếu Q(x) = (x- x1 )( x - x2 )...( x - xi ) k ...( x - xn ), trong đó xi là các nghiệm của đa thức Q ( x ) thì ta
giả sử phân tích được:

An
A1
A2
P( x)

=
+
+ ... +
Q( x) x - x1 x - x2
x - xn

14

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


+

Nu Q(x) = ( x - x1 )( x - x2 )...( x - x1 ) k ...( x - xn ), trong ú xi l cỏc nghim ca a thc Q ( x ) v k
l s nghim bi xi, thỡ ta gi s

A1
A2
P( x)
=
+
+ ... +
Q( x) x - x1 x - x2

ộ A
Ai 2
Aik ự
ờ i1 +
ỳ+ ... An . Sau ú ng nht hai v
+

...
+
2
ờx - x
k ỳ
( x - xi ) ỳ
x - xn
(x - xi )
ờở
i
ỷ

ca cỏc ng thc v so sỏnh h s hai v ta suy ra cỏc h s cn xỏc nh t thc mi phõn thc n
gin hoc cú th thay cỏc giỏ tr c bit ca x vo hai v.
Cỏch nh phõn tớch l nu mu l tam thc bc hai thỡ t thc cú dng Bx + C
Mt s khai trin nhanh (nờn nh)


ử
1
1 ( x - b) - ( x - a )
1 ổ
ỗỗ 1 - 1 ữ
=
.
=
ữ
ữ
( x - a)( x - b) a - b ( x - a )( x - b)
(a - b) ỗố x - b x - a ứ

2
ộ( x - b) - ( x - a) ự
ử
1
1
1 ổ
1
1 ữ
ỗ
ờ
ỳ
=
.
=
ữ
2 ỗ
ữ
ỗ
( x - a)2 ( x - b) 2 (a - b) 2 ờở ( x - a)( x - b) ỳ
ỷ ( a - b) ố x - b x - a ứ

2

=

1
( a - b) 2

ộ 1
ửự
1
2 ổ
ỗỗ 1 - 1 ữ
ờ
ỳ
+
ữ
2
2
ữỳ
ờở( x - a)
( x - b)
a - b ỗố x - b x - a ứ
ỷ

Bi 1. Tớnh tớch phõn I =

ũ

x3 + 1
dx.
x3 - 5 x 2 + 6 x

Li gii:
Ta cú

Gi s

x3 + 1
5x2 - 6 x + 1
=
1
+
v x3 - 5x 2 + 6 x = x( x - 2)( x - 3).
3
2
3
2
x - 5x + 6 x
x - 5x + 6 x

5x2 - 6 x + 1
A
B
C
+
,"x
= +
3
2
x - 5x + 6 x x x - 2 x - 3

5x 2 - 6 x1 = A( x - 2)( x - 3) + Bx( x - 3) + Cx( x - 2), " x(*).

Thay x = 2 vo (*) suy ra 1 = 6 A ị A =

1

6.

15

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


Thay x = 2 vào (*) suy ra 9 = - 2 B Þ B = -

Thay x = 3 vào (*) suy ra 28 = 3C Þ C =

Vậy I =

=

æ

1

ò çççè1+ 6 x 1

ò dx + 6 ò

9
2

28
3

ö

9
28 ÷
+
÷
dx
÷
2( x - 2) 3( x - 3) ÷
ø

dx 9
dx
28
- ò
+
ln x - 3 + c
x 2 x- 2 3

3x 2 + 3x + 3
Bài 2. Tính tích phân I = ò
dx.
( x - 2)( x - 1)2
Lời giải:

3x 2 + 3x + 3
A
B
C
Giả sử
=
+

+
,"x
2
2
( x - 2)( x - 1)
( x - 1)
x- 1 x- 2
Û 3x 2 + 3x + 3 = A( x + 2) + B( x - 1)( x - 2) + C ( x - 1)2 , " x(*)

Thay x = 1 vào (*) suy ra 9 = 3A Þ A = 3
Thay x = - 2 vào (*) suy ra 9 = 9C Þ C = 1
Thay x = 0 vào (*) suy ra 3 = 2 A- 2B + C Þ B = 2
Vậy I =

=-

æ 3
ö
2
1 ÷
çç
+
+
÷
ò çè( x - 1)2 x - 1 x + 2 ÷÷ødx

3
+ 2 ln x - 1 + ln x + 2 + c
x- 1
1

Bài 3. Tính tích phân I =

ò
0

x2 - 1
dx.
x4 + 1

Lời giải:

16

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Ta có: x 4 + 1 = ( x 2 + 1) 2 - 2 x 2 = ( x 2 + x 2 + 1)( x 2 - x 2 + 1).

Giả sử

x2 - 1
Ax + B
Cx + D
= 2
+ 2
,"x
4
x - 1 x + x 2+1 x - x 2+1

Û x 2 - 1 = ( Ax + B)( x 2 - x 2 + 1) + (Cx + D)( x 2 + x 2 + 1), " x
Û x 2 - 1 = ( A + C ) x3 + (- A 2 + B + C 2 + D) x 2 + ( A - B 2 + C + D 2) x + B + D, " x

ìï
ïï
ïï
ïï
ìï
A+ C = o
ïï
ï
ïï - A 2 + B + C 2 + D = 1 ïï
ïí
Û ïí
ïï A - B 2 + C + D 2 = 0
ïï
ïï
ïï
ïïî
ïï
B+ D= - 1
ïï
ïï
ïî
æ 2 2x - 2
ò ççççè 4 x 2 - x 2 + 1 0

ö
2 2x + 2 ÷
÷

dx
÷
÷
4 x 2 + x 2 + 1ø

1

Vậy I =

1

2
2
1
B= 2
2
C=
2
1
D= 2

A= -

1

2
2x - 2
2
2x + 2
=

dx dx
ò
ò
2
2
4 0 x - x 2+1
4 0 x + x 2+1
1
2
2
ln x 2 - x 2 + 1 - ln x 2 + x 2 + 1 =
ln 3 - 2 2 .
0
4
4

(

)

2

Bài 4. Tính tích phân I =

(

)

dx
3

+ 1)

ò x( x
1

Lời giải:
Ta có x( x3 + 1) = x(x+ 1)(x 2 - x + 1)

17

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Giả sử

1
A
B
Cx + D
= +
+ 2
,"x
x( x + 1) x x + 1 x - x + 1
3

Û 1 = A( x3 + 1) + Bx( x 2 - x + 1) + (Cx + D) x( x + 1), " x(*)

Thay x = 0 vào (*) suy ra 1 = A Þ A = 1
Thay x = - 1 vào (*) suy ra 1 = - 3B Þ B = -

1
3

Đồng nhất hệ số của x 3 , x 2 ở hai vế ta được

ìï
ïï
ïï A + B + C = 0
Û
í
ïï - B + C + D = 0
ïï
ïî
2

Vậy I =

æ1

ò çççè x 1

2

=

ò
1

2

ìï
2
ïï C = ï
3
í
ïï
1
ïï D =
3
ïî

1
1 2x - 1 ö
÷dx
÷
2
÷
3( x + 1) 3 x - x + 1÷
ø
2

dx 1
dx
1
2x - 1
- ò
- ò 2
dx
x 3 1 x+ 1 3 1 x - x+ 1

æ
ö2 2 4
1
1
= ççln x - ln x + 1 - ln x 2 - x + 1 ÷
÷
÷ 1 = 3 ln 3
çè
ø
3
3
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1

Bài 1. Tính tích phân I =

3x + 1

ò ( x + 1)( x + 2) dx
0

1

Bài 2. Tính tích phân I =

3x + 1

ò ( x + 1)

3

dx

0

1

Bài 3. Tính tích phân I =

ò
0

x2 + 1
dx
x4 + x2 + 1

18

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2

Bài 4. Tính tích phân I =

x4 + 1
dx
x6 + 1

ò

1

2

Bài 5. Tính tích phân I =

x 2 + 10
dx
x3 - 2 x 2 + 5 x

ò
1

2

Bài 6. Tính tích phân I =

òx

4

1

3

Bài 7. Tính tích phân I =

x3
dx
x2 + 1

ò
0

4

Bài 8. Tính tích phân I =

dx
+ x2 + 1

3x3
dx
x 2 - 3x + 2

ò
3

2

Bài 9. Tính tích phân I =

x3
ò ( x + 1)2 dx
1
3

Bài 10. Tính tích phân I =

dx

ò x+ x

3

0

2

Bài 11. Tính tích phân I =

òx

5

1

1

Bài 12. Tính tích phân I =

òx
0

1

Bài 13. Tính tích phân I =

ò
0

1

Bài 14. Tính tích phân I =

dx
+ x3

dx
+1

3

x5
dx
x2 + 1
x

ò (1+ 2 x)

3

dx

0

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CÓ MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC
19

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Xin cp di õy bi toỏn kốm theo k thut bin i tng ng vi mi vớ d. Nhng k thut bin
i di õy rt t nhiờn v d hiu. Vỡ vy khi c k cỏc vớ d ny cỏc bn cú th nm bt c k thut
v ỏp dng vo cỏc bi toỏn tng t.
BI TP MU
2

Bi 1. Tớnh tớch phõn I =

dx

ũ ( x - 1)( x + 2)
0

Li gii:
2

Ta cú I =

=

2

2

dx
1 ( x + 2) - ( x - 1)
1 ổ 1
1 ử

ũ ( x - 1)( x + 2) = 3 ũ ( x - 1)( x + 2) dx = 3 ũ ỗỗỗố x - 1 - x + 2 ữữữứ
0
0
0

1ổ
ỗỗ dx 3 ỗỗốũ x - 1

2

ũ
0

dx ử
1
x- 1 2
ữ
ữ
= ln
= - ln 2
ữ
x + 2ữ
ứ 3 x+ 2 0
3

Bi 2. Tớnh tớch phõn I =

dx

ũ ( x + 3)( x + 6)(x+ 9)

0

Li gii:
3

Ta cú: I =

1 ộờ
dx
ũ
6 ờờở 0 (x + 3)(x + 6)
3

=

=

3

dx
1
( x + 9) - ( x + 3)
ũ ( x + 3)( x + 6)(x+ 9) = 6 ũ (x+ 3)(x+ 6)(x+ 9) dx
0
0
3

ũ
0

ự 1 ộ 3 (x + 6) - ( x + 3)
dx
ỳ=
ờ
ỳ
ờũ (x+ 3)(x+ 6) dx (x + 6)(x+ 9) ỳ
18
ờở 0
ỷ

3

ũ
0

(x + 9) - ( x + 6) ự
dxỳ
ỳ
(x+ 6)(x+ 9)
ỳ
ỷ

3
ử
1 ổ
1
( x + 3)( x + 9) 3
32
ỗỗ 1 - 1 - 1 + 1 ữ
dx

=
ln
=
ln
ữ
ũ
ữ
0
18 0 ỗố x + 3 x + 6 x + 6 x + 9 ứ
18
( x + 6)
27

1

Bi 3. Tớnh tớch phõn I =

(3x + 5)10
ũ ( x + 2)12 dx
0

Li gii:

20

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


1

(3x + 5)10
Ta có I = ò
dx = I =
( x + 2)12
0

10

1

æ3x + 5 ö
dx
ò çççè x + 2 ø÷÷÷ (x+ 2)2
0

10
11
1
1
æ3x + 5 ö
1 æ
3x + 5 ö
1 æ
3x + 5 ö
÷
÷
÷
ç
ç
ç

=
d
=
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷ èç x + 2 ø
÷ 121 èç x + 2 ø
÷ 0
11 ò0 çè x + 2 ø

1

(7 x- 1)99
Bài 4. Tính tích phân I = ò
dx
(2 x + 1)101
0
Lời giải:
1

(7 x- 1)99
dx =
Ta có I = ò
(2 x + 1)101
0

99

1

æ7 x- 1ö
dx
ò çççè2 x + 1ø÷÷÷ (2 x+ 1)2
0

99
100
1
1 2100 - 1
æ7 x - 1ö
1 æ
7 x - 1ö
1 æ
7 x - 1ö
÷
÷
÷
ç
ç
ç
= òç
÷
÷
÷
÷ d èçç 2 x + 1ø
÷= 900 èçç 2 x + 1ø

÷ 0 = 900
9 0 çè 2 x + 1ø

Bài 5. Tính tích phân I =

dx

ò ( x + 3) ( x + 5)
5

3

Lời giải:
Ta có
I=

1
= 7
2

1
27

=

dx

ò ( x + 3) ( x + 5)
5

3

= I=

dx

ò æx + 3ö
çç
çè x +
6

÷
( x + 5)8
÷
÷
ø
5

é( x + 3) - (x+ 5) ù æx +
.
ò æx + 3ö5 êêë ( x + 5) úúû d çççè x +
÷
çç
÷
çè x + 5 ÷
ø
1

=

5

ö 1
3÷
=
÷
÷
5 ø 27

1

ò æx + 3ö

5

ç
èçç x +

1

òt

5

÷
÷
÷
5ø

1

dx
6
( x + 5) ( x + 5)2

(t - 1)6 dt , t =

x+ 3
x+ 5

t 6 - 6t 5 + 15t 4 - 20t 3 + 15t 2 - 6t + 1
dt
ò
t5
2
ö
1æ
ççt - 6t + 15ln t + 20 - 15 + 2 - 1 ÷
÷
+c
÷
÷
27 çè 2
t
2t 2 t 3 4t 4 ø

21

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3

Bài 6. Tính tích phân I =

òx

3

1

dx
- 3x

Lời giải:
3

Ta có I =

ò
1

dx
=
3
x - 3x

1 é1 d ( x 2 - 3)
= êê ò
3 êë2 1 x 2 - 3
3

3

ò
1

3

ò
1

3
3
dx
1 x 2 - ( x 2 - 3)
1æ
xdx
ç
= ò
dx = ççò 2
2
2
x( x - 3) 3 1 x( x - 3)
3 çè 1 x - 3

3

ò
1

dx ö
÷
÷
÷
x÷
ø

3
dx ù
1
ú= 1 éê1 ln x 2 - 3 - x ln x ù
ú = - ln 3
ú
ê
ú
xú
6
û1
û 3 ë2

Bài 7. Tính tích phân I =

òx

9

dx
- 3x5

Lời giải:

Ta có

I=

ò

dx
=
9
x - 3x5

ò

ö
ö 1 æ dx 1 ( x 4 + 3) - x 4 ÷
dx ÷
çç
÷
÷=
dx
÷
÷
÷ 3 çèò x5 3 ò x( x 4 + 3)
÷
x( x 4 + 3) ø
ø

=

1æ

çç dx 3 çèò x5

=

1 dx 1 éê dx
3 ò x5 9 êëò x

=-

ò

dx
1 ( x 4 + 3) - x 4
=
dx
5
4
x5 (x 4 + 3) 3 ò x ( x + 3)

ò

4
é
ù
x3dx ù
1 dx 1 ê dx 1 d (x + 3)ú
ú
=
ò 5 9 êêò x 4 ò x4 + 3 úú
x4 + 3ú

û 3 x
ë
û

1
1
x4
ln
+c
12 x 4 36 x 4 + 3

Bài 8. Tính tích phân I =

ò

x2 - 1
dx
x4 + 1

Lời giải:

22

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Ta có: I =

=

2

x - 1
dx =
4
+1

òx

ò

1
x2
ò æ 2 1 ö2 dx =
ççx + 2 ÷
÷
÷- 2
çè
x ø
1-

æ
1ö
d ççx 2 + 2 ÷
÷
÷
çè
x ø
ò æ 2 1 ö2
çx + 2 ÷

÷
÷- 2
èçç
x ø

2
1
x2 - x 2 + 1
+ c=
ln 2
+c
2
2 2
x + x 2+1

dt
1
tò t 2 - 2 = 2 2 ln t +

Bài 9. Tính tích phân I =

1
x 2 dx =
1
x2 + 2
x
1-

ò

x2 + 1
dx
x4 + 1

ò

1
x 2 dx =
1
x2 + 2
x

Lời giải:

Ta có: I =

=

2

x +1
dx =
4
+1

òx

1+

1

x2
ò æ 2 1 ö2 dx =
ççx - 2 ÷
÷
÷+2
çè
x ø
1+

æ
1ö
d ççx 2 - 2 ÷
÷
÷
çè
x ø
2
òæ2 1ö
çx - 2 ÷
÷
÷+2
èçç
x ø

dt
1
t
1
x2 - 1
1

=
arctan
+
c
=
arctan
+ c, t = x ò t2 + 2 2
x
2
2
x 2
2

Bài 10. Tính tích phân I =

ò
1

x2 - 1
dx
x 4 - 5 x3 - 4 x 2 - 5 x + 1

Lời giải:

2

Ta có: I =

ò
1

x2 - 1
dx =
x 4 - 5 x3 - 4 x 2 - 5 x + 1

1
x2
= ò
dx =
2
æ
ö
æ
ö
1
1
1 ç
÷
÷ - 5çççx + ÷
÷
ççèx + ø
÷- 6
è
x÷
xø
2

1-

5

2

òt
2

2

1-

2

ò
1

1
x2

5 1
x - 5x - 4 - + 2
x x

dx

2

dt
=
- 5t - 6

5

2

ò (t 2

dt
1
,t = x +
6)(t + 1)
x

5
ö
1 æ
1
1 ÷
1 t- 6
1 4
ç
= òç
dt = ln
2 = ln
÷
÷
ç
7 èt - 6 t + 1ø
7 t+1
7 3
2
23

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
2

Bài 1. Tính tích phân I =

dx

ò (x + 1)(x 1

0

Bài 2. Tính tích phân I =

3)

dx

ò (2 x + 1)(2 x + 3)
1-

2

Bài 3. Tính tích phân I =

dx

ò (x - 1)(x + 1)(x + 3)

0

3

Bài 4. Tính tích phân I =

ò (x

2

0

dx
- 1)(x 2 + 1)
3

1

(2 x + 1)
dx
Bài 5. Tính tích phân I = ò
5
x
+
1
(
)
0
Bài 6. Tính tích phân I =

ò (3x -

Bài 7. Tính tích phân I =

ò (2 x -

Bài 8. Tính tích phân I =

òx

3

Bài 9. Tính tích phân I =

òx

6

Bài 10. Tính tích phân I =

Bài 11. Tính tích phân I =

7

3

2) (3 x + 4)

dx
3

4

1) (3 x - 4)

dx
+ 5x

dx
+ 9x

òx

ò

dx

8

xdx
+ 3x 4 + 16

x2 + 1
dx
x 4 + 2 x3 - 10 x 2 - 2 x + 1

24

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1

Bài 12. Tính tích phân I =

ò
0

x4 + 1
dx
x6 + 1

1

Bài 13. Tính tích phân I =

òx
0

2

Bài 14. Tính tích phân I =

ò
1

2

Bài 15. Tính tích phân I =

ò
1

1

Bài 16. Tính tích phân I =

ò
1
2

1

Bài 17. Tính tích phân I =

ò
0

2

Bài 18. Tính tích phân I =

ò
1

dx
+1

6

x4 - 3
dx
x( x8 + 3x 4 + 2)

1- x 4
dx
x(1 + x 4 )
x3 - 1
dx
x( x3 - 4)( x 4 - 4 x + 1)

x2 - 1
dx
x 4 + 2 x3 - x 2 + 2 x + 1
1- x 2012
dx
x (1 + x 2012 )

TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
Dạng tích phân: I =

òx

m

(a + bx n ) p dx , trong đó các số m, n, p là các số hữu tỉ.

Hướng giải quyết đầu tiên là đặt t = a + bx n hoặc t = (a + bx n ) p .
Nếu cách đặt thứ nhất không hiệu quả chuyển sang cách đặt ẩn phụ thứ hai.
Đặt t k =

a + bx n
, k là số nguyên, thường là k = 1.
xn

Dạng toán này rất hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh đại học.
ri ö
æ r1
çç q1
qi ÷
Dạng tích phân: I = ò R çx, x ,..., x ÷
, trong đó ri, qi là các số nguyên dương.
÷
÷
çè
÷
ø

25

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất