TÍCH PHÂN 141 bài tập TRẮC NGHIỆM NGUYÊN hàm NÂNG CAO file word image marked

HTTP://DETHITHPT.COM

TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP

141 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NGUYÊN HÀM NÂNG CAO
TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH
KHÁ GIỎI


HTTP://DETHITHPT.COM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích
Phương pháp:
Để tìm nguyên hàm  f(x)dx , ta phân tích
f(x) = k1.f1(x) + k2 .f2 (x) + ... + kn .fn (x)

Trong đó: f1(x), f2 (x),...,fn (x) có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm
Khi đó:  f(x)dx = k1  f1 (x)dx + k2  f2 (x)dx + ... + kn  fn (x)dx .
J=

Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm: I =  (e x + 2e − x )2 dx

3x + 4.5x
7x

dx

Lời giải.
1. Ta có: (ex + 2e − x )2 = e 2x + 4 + 4.e −2x
1

2

Suy ra: I =  (e2x + 4 + 4e−2x )dx = e2x + 4x − 2e−2x + C
  3 x

x
 5 

1

 3

x

4

 5

x

.
+
.
+C
2. J =     + 4.    dx =
3  7 
5  7 
 7 
7 


ln
ln


7

7

Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm:
I =  cos 4 2xdx

J =  (cos 3x.cos 4x + sin 3 2x)dx

Lời giải.

(

1
1
2
1 + cos 4x ) = 1 + 2cos 4x + cos 2 4x
(
4
4
1
1 + cos 8x  1
=  1 + 2 cos 4x +
 = ( 3 + 4 cos 4x + cos 8x )
4
2

 8

1. Ta có: cos4 2x =

I=

)

1
1
1

(3 + 4 cos 4x + cos 8x)dx =  3x + sin 4x + sin 8x  + C
8
8
8


1
2

2. Ta có : cos 3x.cos 4x = cos7x + cos x 
3
1
sin3 2x = sin 2x − sin 6x
4
4
1
1
3

1

Nên suy ra: J =   cos7x + cos x + sin 2x − sin 6x dx
2
4
4
2

=

1
1
3
1
sin7x + sin x − cos 2x + cos6x + C .
14
2
8
24

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
1


HTTP://DETHITHPT.COM
Phương pháp:
“ Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C thì  f ( u ( x ) ) .u' ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C ”.

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I =  f ( x ) dx , trong đó ta có thể phân tích

(

)

f ( x ) = g u ( x ) u' ( x ) dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t = u ( x )

(

)

 dt = u' ( x ) dx . Khi đó: I =  g ( t ) dt = G ( t ) + C = G u ( x ) + C

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u ( x )
Ví dụ 3 Tìm nguyên hàm:
I=

ln 2 x + 1
dx
x

J=

ln x.dx

K=

x(1 + 3ln x + 2)

3

ln x 2 + ln 2 x
dx
x

Lời giải.
dx
x
 t3

 ln 3 x

+ ln x  + C .
Suy ra I =  (t 2 + 1)dt =  + t  + C = 
 3

 3






1. Đặt t = ln x  dt =

2. Đặt t = 3ln x + 2  ln x =

t2 − 2
dx 2

= tdt

3
x 3

t2 − 2 2
. tdt
2 
1 
=   t2 − t − 1 +
Suy ra J =  3 3
 dt =
1+ t
9 
t +1


2  t3 t2
 − − t + ln(t + 1)  + C

9  3 2


với t = 3ln x + 2 .
3. Đặt t = 3 ln2 x + 2  ln2 x = t 3 − 2 
Suy ra I =

ln xdx 3 2
= t dt
x
2

3 3
3
3
t dt = t 4 + C = .3 (3ln x + 2)4 + C

2
8
8

Ví dụ 4 Tìm nguyên hàm: I = 

sin 4 2x.cos 3 x
dx




tan  x +  tan  x − 
4
4



Lời giải.












tan x − 1 tan x + 1

Ta có: tan  x +  tan  x −  =
.
= −1
4
4
1 + tan x 1 − tan x




Suy ra: I = −16  sin x.cos x cos xdx
4

6

2


HTTP://DETHITHPT.COM
Đặt t = sin x  dt = sin xdx nên ta có:
I = −16  t 4 (1 − t 2 )3 dt = 16  t 4 (t 6 − 3t 4 + 3t 2 − 1)dt

 t11 t 9 3t 7 t 5 
 sin11 x sin 9 x 3 sin7 x sin 5 x 
= 16 
− +
−  + C = 16 
−
+
−
+C
 11 3

 11

7
5
3
7
5




tan xdx
Ví dụ 5 Tìm nguyên hàm: I = 
sin 2 x + 3

Lời giải.
Đặt t = cos x  dt = − sin xdx . Suy ra I = − 
• t  0  I = −

I=

dt
t2

4
t2

=
−1

1
2

dt

t 4 − t2
dy
2
(với y = )
t
y2 − 1

1
1
2
4
ln y + y 2 − 1 = ln
+
−1 + C

2
2 cos x
cos 2 x

• t0 I=

dt
t2

4
t2

−1

1
2
4
= − ln
+
−1 + C .
2 cos x
cos2 x

Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Phương pháp:
Cho hai hàm số u và v liên tục trên a; b  và có đạo hàm liên tục trên a; b  . Khi đó :

 udv = uv −  vdu ()

b

Để tính tích phân I =  f ( x ) dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:
a

Bước 1: Chọn u,v sao cho f ( x ) dx = udv (chú ý: dv = v' ( x ) dx ).
Tính v =  dv và du = u'.dx .
Bước 2: Thay vào công thức () và tính  vdu .
Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân  vdu dễ tính hơn  udv .
Ta thường gặp các dạng sau
sin x 
 dx , trong đó P ( x ) là đa thức
cos x 

Dạng 1 : I =  P ( x ) 

3


HTTP://DETHITHPT.COM
sin x 

Với dạng này, ta đặt u = P ( x ) , dv = 
 dx .
cos x 
Dạng 2 : I =  ( x ) eax + bdx
u = P ( x )

Với dạng này, ta đặt 

ax + b

dx
dv = e

, trong đó P ( x ) là đa thức

Dạng 3 : I =  P ( x ) ln ( mx + n ) dx


u = ln ( mx + n )
.

dv = P ( x ) dx

Với dạng này, ta đặt 

sin x  x
 e dx
cos x 

Dạng 4 : I =  


sin x 
u = 

Với dạng này, ta đặt  cos x  để tính

x
dv = e dx


sin x 
u = 

 vdu ta đặt  cos x  .
x
dv = e dx

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số y = (1+ sinx)2 là:
A.

3
1
x - 2 cos x - sin 2x + C
2
4

B.

2
1
x + 2 cos x - sin 2x + C
3
4

C.

3
1

x - 2 cos x + sin 2x + C
2
4

D.

2
1
x - 2 cos 2x - sin 2x + C
3
4

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số y =

A.

C.

7
4

-

4

-

(x + 4)
4

(4 + x )

1

3x - 2
2

(4 + x )

là:

3

+C

B.

3

+C

D.

(4 + x )
3

(4 + x )

4
4

-

4

+

(4 + x )
1

(4 + x )

1
3

+C

3

+C

(4 + x )
3

(4 + x )

4


HTTP://DETHITHPT.COM

Câu 3. Nguyên hàm của hàm số y = (2 - 3x 2 )sin 2x là:

A.

ö
1æ
3
çç3x 2 - 7 ÷
cos 2x - x sin 2x + C
÷
÷
ç
2è
2ø
2

B. -

C.

1æ
çç3x 2 +
2 çè

D.

ö
7÷
3
cos 2x - x sin 2x + C

÷
÷
4ø
4

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số y =

ö
1æ
3
çç3x 2 - 7 ÷
cos 2x + x sin 2x + C
÷
÷
ç
2è
2ø
2

ö
1æ
3
çç- 3x 2 - 7 ÷
sin 2x - x cos 2x + C
÷
÷
ç
2è
2ø
2

sin x
là:
sin x + cos x

A.

1
x - ln sin x + cos x + C
2

B.

1
x - ln sin x - cos x + C
2

C.

1
x + ln sin x + cos x + C
2

D.

1 2
x - ln sin x + cos x + C
2

Câu 5: Tìm hàm số f(x) biết rằng f '(x) = ax+

A.

x2 1 5
+ +
2 x 2

B.

x2 1 5
- +
2 x 2

b
, f '(1) = 0, f (1) = 4, f (- 1) = 2
x2

C.

x2 1 5
+ 2 x 2

Câu 6: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
A. f (x) =

x
k
x 2 + k + ln x +
2
2

x2 + k

B. f (x) =

1
x
x 2 + k + ln x +
2
2

x2 + k

C. f (x) =

k
ln x +
2

D. f (x) =

D. Kết quả khác

x 2 + k với k ¹ 0?

x2 + k

1
x2 + k

5

HTTP://DETHITHPT.COM
10x 2 - 7x + 2
Câu 7: Nếu f (x) = (ax + bx + c) 2x -1 là một nguyên hàm của hàm số g(x) =
trên
2x -1
2

æ1
khoảng ççç ; + ¥
è2

ö
÷
thì a+b+c có giá trị là
÷
÷
ø

A. 3

B. 0

C. 4

D. 2

Câu 8: Xác định a, b, c sao cho g(x) = (ax 2 + bx + c) 2x - 3 là một nguyên hàm của hàm số

f (x) =

20x 2 - 30x + 7
trong khoảng
2x - 3

A.a=4, b=2, c=2

æ3
çç ; + ¥
çè 2

ö
÷
÷
ø÷

B. a=1, b=-2, c=4

C. a=-2, b=1, c=4

D. a=4, b=-2, c=1

Câu 9: Một nguyên hàm của hàm số: f (x) = x sin 1 + x 2 là:
A. F(x) = - 1 + x 2 cos 1 + x 2 + sin 1 + x 2 B. F(x) = - 1 + x 2 cos 1 + x 2 - sin 1 + x 2
C. F(x) = 1 + x 2 cos 1 + x 2 + sin 1 + x 2

D. F(x) = 1 + x 2 cos 1 + x 2 - sin 1 + x 2

Câu 10: Trong các hàm số sau:

(I) f (x) =
(II) f (x) =
(III) f (x) =

(IV) f (x) =

x2 + 1
x2 + 1 + 5

1
x2 + 1
1
x2 + 1

-2

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F(x) = ln x +
A. Chỉ (I)

B. Chỉ (III)

x2 + 1

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (III) và (IV)
6


HTTP://DETHITHPT.COM

2

æ
ö
1 ÷
Câu 11: Một nguyên hàm của hàm số f (x) = çç 3 x +
là hàm số nào sau đây:
÷
÷
çè
xø
3
12 6 5
x + ln x
A. F(x) = x 3 x 2 +
5
5

(

C. F(x) = x 3 x +

3

1æ
1 ö
÷
B. F(x) = çç 3 x +
÷
ø

3 çè
x÷

2

x

)

D. F(x) =

3 3 2
12 5 6
x x + ln x +
x
5
5

Câu 12: Xét các mệnh đề
2

æ x
xö
(I) F(x) = x + cos x là một nguyên hàm của f (x) = ççsin - cos ÷
÷
çè 2
ø
2÷

(II) F(x) =

x4
3
+ 6 x là một nguyên hàm của f (x) = x 3 +
4
x

(III) F(x) = tan x là một nguyên hàm của f (x) = -ln cos x
Mệnh đề nào sai ?
A. (I) và (II)

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (I) và (III)

Câu 13: Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?
(I) ò
(II)
(III)

xdx
1
= ln(x 2 + 4) + C
2
x +4 2
1

ò cot xdx = - sin

òe

2cos x

2

x

+C

1
sin xdx = - e2cos x + C
2

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (I) và (II)

D. Chỉ (I) và (III)

Câu 14: Tìm nguyên hàm F(x) = ex 2 (a tan 2 x + b tan x + c) là một nguyên hàm của f (x) = ex

2

tan3 x

æ p pö
trên khoản ççç- ; ÷

÷
è 2 2 ø÷
1
A. F(x) = e x 2 ( tan 2 x 2

2
2
tan x +
)
2
2

1
B. F(x) = e x 2 ( tan 2 x 2

2
1
tan x + )
2
2
7


HTTP://DETHITHPT.COM
1
D. F(x) = e x 2 ( tan 2 x 2

1
2
1

tan x + )
C. F(x) = e x 2 ( tan 2 x +
2
2
2
Câu 15: Nguyên hàm của hàm số y =

A.

x 2 - 2x
+C
x2

B. ln

2
tan x 2

2
)
2

x- 1
là
x

x- 1
+C
x

æx 2
ö
C. çç - x÷
÷
ln x + C
÷
çè 2
÷
ø

D. x - ln x + C

Câu 16: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + sin 2x . Tìm F(x) biết F(p ) = 5
A. F(x) = x - 2 cos 2x + p - 2

C. F(x) = x +

cos2x
1
+ p+
2
2

B. F(x) = x -

cos2x
1
+ p2
2

D. F(x) = x -

cos2x
1
+ p+
2
2

Câu 17: Một nguyên hàm của f (x ) = (x 2 + 2x )e x là
A. (2x + 2)ex

Câu 18: Họ nguyên hàm của f (x ) =

A. -

ln x
1
+C
2
4x
8x 2

C. (x 2 + x )e x

B. x 2 e x

B.

D. (x 2 - 2x )e x

ln x
là
2x 3

ln x
1
+
+C
2
2x
4x 2

C. -

ln x
1
+C
2
2x
4x 2

D.

ln x
1
+C
2
2x
4x 2

Câu 19: Cho hàm số f (x )= x 2 + 2x . Tìm nguyên hàm F(x ) của f (x ) biết F (- 1) =

x3
x3
2
+ x + 1 B. F (x ) =
+ x2
A. F(x ) =
3
3

5
.
3

x3
x3
2
+ x2 + 3
+ x - 1 D. F(x ) =
C. F(x ) =
3
3

Câu 20 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = -

1
và F(0) = 1 .Khi đó F(x) là
cos 2 x

8


HTTP://DETHITHPT.COM
B. -tanx+1

A. tanx-1

x+ 1
liên tục trên đoạn [1;a ] và
x

Câu 21 : Cho hàm số f (x) =

A.

2
1- e

Câu 22 :Tính

B. e

òx

2

D. -tanx

C. tanx+1

C.

a

ò
1

x+ 1
dx = e . Khi đó giá trị của a là
x

e
2

D.

- 2
1- e

x 3 + 5dx .Kết quả là :

A. (x 3 + 5) x 3 + 5 +C

B. 2(x 3 + 5) x 3 + 5 +C

2
C. (x 3 + 5) x 3 + 5 +C
3

2
D. (x 3 + 5) x 3 + 5 +C
9

Câu 23: Cho hàm số f (x ) thoả mãn f '(x)= x 2 , f (- 1)= 1 thì f (2) bằng
A. e3

B. e 2

C. 2e

D. e + 1

Câu 24: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau .Nếu f (x) = (1-

x )' thì một nguyên hàm của

f(x) là :
A.

F(x) = 1-

x

D. F(x) = -

2
x+ C
3

B. F(x) = -

x

C. F(x) = 2016 -

x

Câu 25. Nguyên hàm của hàm số y = sin 2 x cos3 x là:
A.

1 3
1
sin x - sin 5 x + C
3
5

C. sin 3 x - sin 5 x + C

B. -

1 3
1
sin x + sin 5 x + C
3
5

D. Đáp án kháC.

Câu 26. Nguyên hàm của hàm số: y = cos 2 x sin x là:

9


HTTP://DETHITHPT.COM
A.

1
cos3 x + C
3

B. - cos3 x + C

1 3
sin x + C
3

C.

D.Đáp án kháC.

Câu 27. Một nguyên hàm của hàm số y = cos 5x cos x là:
A. F(x ) = cos6x

C.

B. F(x) = sin6x

ö
1æ
çç1 sin 6x + 1 sin 4x ÷

÷
ø÷
2 çè6
4

D. -

ö
1æ
ççsin 6x + sin 4x ÷
÷
2 çè 6
4 ø÷

Câu 28. Một nguyên hàm của hàm số y = sin5x.cos3x là:
A. -

ö
1æ
ççcos 6x + cos 2x ÷
÷
ç
2è 8
2 ø÷

B.

D. Đáp án kháC.

C. cos8x + cos2x

Câu 29. . Tính: P =

ò

x2 + 1
dx
x

A. P = x x 2 + 1 - x + C

C. P =

ö
1æ
çç cos 6x + cos 2x ÷
÷
ç
2è 8
2 ø÷

2

x + 1 + ln

1+

B. P =

x2 + 1

+C
x

Câu 30. . Một nguyên hàm của hàm số: y =

A. F(x) = x 2 - x 2

B. -

(

x 2 + 1 + ln x +

)

x2 + 1 + C

D. Đáp án kháC.

x3
2 - x2

là:

1 2
1
x + 4) 2 - x 2 C. - x 2 2 - x 2
(
3
3

Câu 31. . Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số: y =

D. -

1 2
x - 4) 2 - x 2
(
3

1
4 + x2
10


HTTP://DETHITHPT.COM

(

A. F(x) = ln x -

4 + x2

(

)

B. F(x) = ln x +

C. F(x) = 2 4 + x 2

4 + x2

)

D. F(x) = x + 2 4 + x 2

Câu 32.. Một nguyên hàm của hàm số: f (x) = x sin 1 + x 2 là:
A. F(x) = - 1 + x 2 cos 1 + x 2 + sin 1 + x 2 B. F(x) = - 1 + x 2 cos 1 + x 2 - sin 1 + x 2
C. F(x) = 1 + x 2 cos 1 + x 2 - sin 1 + x 2

C. F(x) = 1 + x 2 cos 1 + x 2 + sin 1 + x 2

Câu 33. . Một nguyên hàm của hàm số: f (x) = x 1 + x 2 là:

A. F(x) =

1
2

(

1+ x 2

2

)

B. F(x) =

1
3

(

Câu 34: Một nguyên hàm của hàm số: y =

A. ln 5sin x - 9

Câu 35: Tính: P =

B.

1+ x 2

3

)

C. F(x) =

x2
2

(

2

)

1 + x 2 D. F(x) =

1
3

(

1+ x 2

2

)

cos x
là:
5sin x - 9

1
ln 5sin x - 9
5

C. -

1
ln 5sin x - 9
5

D. 5ln 5sin x - 9

ò x.e dx

A. P = x.e x + C

x

B. P = e x + C

Câu 36: Tìm hàm số f(x) biết rằng f '(x) = ax+

C. P = x.e x - e x + C

D. P = x.e x + e x + C .

b
, f '(1) = 0, f (1) = 4, f (- 1) = 2
x2

11


HTTP://DETHITHPT.COM
x2 1 5
A.
+ +
2 x 2

x2 1 5
B.
- +
2 x 2

x2 1 5
C.
+ 2 x 2

Câu 37: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
A. f (x) =

x
k
x 2 + k + ln x +
2
2

x2 + k

B. f (x) =

1
x
x 2 + k + ln x +
2
2

x2 + k

C. f (x) =

k
ln x +

2

D. f (x) =

D. Kết quả khác

x 2 + k với k ¹ 0?

x2 + k

1
x2 + k

Câu 38: Nếu f (x) = (ax 2 + bx + c) 2x -1 là một nguyên hàm của hàm số g(x) =

æ1
khoảng ççç ; + ¥
è2

10x 2 - 7x + 2
trên
2x -1

ö
÷
thì a+b+c có giá trị là
÷
ø÷

A. 3

B. 0

C. 4

D. 2

Câu 39: Xác định a, b, c sao cho g(x) = (ax 2 + bx + c) 2x - 3 là một nguyên hàm của hàm số

f (x) =

20x 2 - 30x + 7
trong khoảng
2x - 3

A.a=4, b=2, c=2

æ3
çç ; + ¥
çè 2

ö
÷
÷
÷
ø

B. a=1, b=-2, c=4

C. a=-2, b=1, c=4

D. a=4, b=-2, c=1

Câu 40: Một nguyên hàm của hàm số: f (x) = x sin 1 + x 2 là:
A. F(x) = - 1 + x 2 cos 1 + x 2 + sin 1 + x 2 B. F(x) = - 1 + x 2 cos 1 + x 2 - sin 1 + x 2
12


HTTP://DETHITHPT.COM
C. F(x) = 1 + x 2 cos 1 + x 2 + sin 1 + x 2

D. F(x) = 1 + x 2 cos 1 + x 2 - sin 1 + x 2

Câu 41: Trong các hàm số sau:

x2 + 1

(I) f (x) =
(III) f (x) =

(II) f (x) =

1

(IV) f (x) =

x2 + 1

B. Chỉ (III)

1
x2 + 1

-2

x2 + 1

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F(x) = ln x +
A. Chỉ (I)

x2 + 1 + 5

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (III) và (IV)

2

æ
ö
1 ÷
Câu 42: Một nguyên hàm của hàm số f (x) = çç 3 x +
là hàm số nào sau đây:
÷
çè
ø
x÷
3
12 6 5
x + ln x

A. F(x) = x 3 x 2 +
5
5

(

C. F(x) = x 3 x +

3

1æ
1 ö
÷
B. F(x) = çç 3 x +
÷
ç
ø
3è
x÷

2

x

)

D. F(x) =

3 3 2
12 5 6

x x + ln x +
x
5
5

Câu 43: Xét các mệnh đề
2
æ x
xö
(I) F(x) = x + cos x là một nguyên hàm của f (x) = ççsin - cos ÷
÷
çè 2
ø
2÷

(II) F(x) =

x4
3
+ 6 x là một nguyên hàm của f (x) = x 3 +
4
x

(III) F(x) = tan x là một nguyên hàm của f (x) = -ln cos x
Mệnh đề nào sai ?
13


HTTP://DETHITHPT.COM
A. (I) và (II)

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (I) và (III)

Câu 44: Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?
(I) ò

(II)

(III)

xdx
1
= ln(x 2 + 4) + C
2
x +4 2
1

ò cot xdx = - sin
òe

2cos x

2

x

+C

1
sin xdx = - e2cos x + C
2

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (I) và (II)

D. Chỉ (I) và (III)

Câu 45: Tìm nguyên hàm F(x) = ex 2 (a tan 2 x + b tan x + c) là một nguyên hàm của f (x) = ex

2

tan3 x

æ p pö
trên khoản ççç- ; ÷
÷
è 2 2 ø÷
1
A. F(x) = e x 2 ( tan 2 x 2

2
2
tan x +

)
2
2

1
B. F(x) = e x 2 ( tan 2 x 2

2
1
tan x + )
2
2

1
2
1
tan x + )
C. F(x) = e x 2 ( tan 2 x +
2
2
2
1
D. F(x) = e x 2 ( tan 2 x 2

2
tan x 2

2
)
2

Câu 46
: Nguyên hàm của hàm số: y = cos 2

x
là:
2

14


HTTP://DETHITHPT.COM
A.

1
(x + sin x) + C
2

B.

1
(1 + cosx) + C
2

C.

1
x
cos + C
2

2

D.

C.

1 3
sin x + C
3

D. -

1
x
sin + C .
2
2

Câu 47: Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:
A.

1
cos3 x + C
3

B. - cos3 x + C

1
cos3 x + C .
3

ex
Câu 48: Một nguyên hàm của hàm số: y = x
là:
e +2
A.2 ln(e x + 2) + C
Câu 49: Tính: P =

ò sin

B. ln(e x + 2) + C
3

C. ex ln(ex + 2) + C

xdx

A. P = 3sin 2 x.cos x + C

C. P = - cos x +

B. P = - sin x +

1
cos3 x + C
3

Câu 50: Một nguyên hàm của hàm số: y =

A. x 2 - x 2

C. -

D. e 2 x + C.

1 2
x 2 - x2
3

D. P = cosx +

x3
2 - x2

1 3
sin x + C
3

1 3
sin x + C .
3

là:

B. -

1 2
x + 4) 2 - x 2
(
3

D. -

1 2
x - 4) 2 - x 2
(
3

Câu 51. Tìm hàm số F(x) biết rằng F¢(x) = 4x 3 - 3x 2 + 2 và F(- 1) = 3
A. F(x) = x 4 - x 3 + 2x + 5

B. F(x) = x 4 - x 3 + 2x - 5

15


HTTP://DETHITHPT.COM
C. F(x) = x 4 - x 3 + 2x + 3
Câu 52.Hàm số f (x) =

D. F(x) = 12x 2 - 6x - 15

1
có nguyên hàm là:
x - x- 6
2

A. ln x 2 - x - 6 + C
C. -

B. ln x - 3 - ln x + 2 + C

1
(ln x - 3 - ln x + 2 ) + C
5

D.

1
(ln x - 3 - ln x + 2 ) + C
5

Câu 53. ò 22x.3x.7 x dx bằng :
A.

22x.3x.7 x
+C
ln 4.ln 3.ln 7

B.

84x
+C
ln 84

C. 84 x ln 84 + C

D. 48x 2 + C

æ

ö
e- x ÷
Câu 54. Nguyên hàm của hàm số: y = e x çç2 +
÷ là:
2 ÷
çè
cos x ÷
ø

A. 2e x - tan x + C

B. 2e x -

1
+C
cos x

C. 2e x +

1
+C
cos x

D. 2e x + tan x + C

Câu 55.Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
A. F(x) =

C.

ö
1æ
çç1 cos 6x + 1 cos 4x ÷
÷
÷
ø
2 çè6
4

ö
1æ
çç1 sin 6x + 1 sin 4x ÷
÷
ø÷
2 çè6
4

B. F(x) =

1
sin5x.sinx
5

D. -

ö
1æ
ççsin 6x + sin 4x ÷
÷
2 çè 6

4 ø÷

B.

2 3
e2017x
x x+
+C
5
2017

Câu 56.Nguyên hàm ò x x + e2017x dx là:

(

A.

5 2
e 2017x
x x+
+C
2
2017

)

16


HTTP://DETHITHPT.COM

3 2
e2017x
C. x x +
+C
5
2017
Câu 57.Nguyên hàm

A.

òx

2

2 2
e2017x
D. x x +
+C
5
2017

dx
là:
+ 4x - 5

1 x- 1
ln
+C
6 x+ 5

B.

1 x+ 5
ln
+C
6 x- 1

C.

1 x+ 1
ln
+C
6 x- 5

D.

1 x- 1
ln
+C
6 x+ 5

Câu 58. Biểu thức nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số y = sin x.cos x

A. -

cos 2 x
+ C.
2

B.

sin 2 x
+ C.
2

C. -

1
cos 2x + C .
4

D.

sin 2x
+ C.
2

Câu 59: Một nguyên hàm của hàm số f (x) = x 1 + x 2 là:
A. F(x) =

1
2

2

( 1+ x ) .

x2
C. F(x) =
2

2

1
3

( 1+ x ) .

D. F(x) =

1
3

( 1+ x ) .

2

( 1+ x ) .
2

3

B. F(x) =

2

2

2

Câu 60: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x cosx 2 là:
A.

1 2
sin x + C .
2

Câu 61: Cho

A.

ò f (x)dx = x

x5 x3
+C .
5
3

B.
2

1
sin x 2 + C .
2

- x + C Vậy

C. -

ò f (x

B. x 4 - x 2 + C .

Câu 62: Nguyên hàm F(x ) của hàm số f (x) =

2

1
sin x 2
2

D. -

1 2
sin x + C .
2

2 3
x - x+ C.
3

D. -

2 3
x - x+ C .
3

)dx là :

C.

x 3 + 3x 2 + 3x - 7
2

(x + 1)

với F(0) = 8 là:
17


HTTP://DETHITHPT.COM
x2
8
+ x+
A.
2
x+ 1

.

x2
8
+ xB.
.
2
x+ 1

x2
8
- x+

2
x+ 1

.

D. -

C.

Câu 63. Nguyên hàm của hàm số: y =

x2
8
- x+
.
2
x+ 1

x3
.
x- 1

A.

1 3 1 2
x + x + x + ln x - 1 + C .
3
2

B.

1 3 1 2
x + x + x + ln x + 1 + C .
3
2

C.

1 3 1 2
x + x + x + ln x - 1 + C .
6
2

D.

1 3 1 2
x + x + x + ln x - 1 + C .
3
4

Câu 64. Một nguyên hàm của hàm số f (x ) =

x2
+ 3x + 6ln x + 1
B.
2

x2
- 3x + 6 ln x + 1 .
A.

2
C.

x2
+ 3x - 6 ln x + 1 .
2

Câu 65. Tìm nguyên hàm: ò

x 2 - 2x + 3
là:
x+ 1

D.

x2
- 3x + 6ln (x + 1).
2

1
dx
x (x + 3)

A.

1
x
ln
+ C.
3 x+ 3

B. -

C.

2 x+ 3
ln
+ C.
3
x

D.

Câu 66. Tìm nguyên hàm:

.

1

ò x (x -

3)

1
x
ln
+ C.
3 x+ 3

2

x
ln
+ C.
3 x+ 3

dx
18


HTTP://DETHITHPT.COM
A.

1 x- 3
ln
+ C.
3
x

B.

1 x+ 3
ln
+ C.
3
x

1 x- 1
ln
+ C.
3 x+ 2

1
x
ln
+ C.
3 x+ 3

D.

1
x
ln
+ C.
3 x- 3

1
là:
x + x- 2

Câu 67. Họ nguyên hàm của hàm số f (x )=

A.

C.

2

1 x+ 2
+ C.
B. ln

3 x- 1

C. ln

x- 1
+ C.
x+ 2

D. ln x 2 + x - 2 + C .

2

æ1- x ÷
ö
Câu 68. Họ nguyên hàm của hàm số f (x ) = çç
÷
÷ là:
çè x ø

A. -

C.

1
- 2 ln x + x + C .
x

1
- 2 ln x + x + C .
x

Câu 69. Nguyên hàm của hàm số: f (x ) =

1
x- a
ln
+C
2a
x
+
a
A.

B. -

1
- 2 ln x + x + C
x

D. -

1
- 2 ln x - x + C .
x

.

1
là:
x - a2

2

.

1 x- a
ln
+C
a
x
+
a
C.
.

1
x+ a
ln
+C
B. 2a x - a
.
1 x+ a
ln
+C
D. a x - a
.

Câu 70. Gọi F(x ) là nguyên hàm của hàm số f (x ) =

x
8- x2

thoả mãn F(2)= 0 . Khi đó phương trình

F(x )= x có nghiệm là
A. x = 1-

3.

B. x = 1 .

C. x = - 1 .

D. x = 0 .

19


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 71. Nếu F(x ) là một họ nguyên hàm của hàm số y =

A. ln 2 + 1 .

B. ln

3
.
2

1
và F(2)= 1 thì F(3) bằng:

x- 1

C. ln 2

Câu 72. Gọi F(x ) là nguyên hàm của hàm số f (x ) =

ln 2 x + 1.

1
.
2

.D.

1
ln x
thoả mãn F (1) = . Giá trị của
3
x

F2 (e) là:
A.

8
.
9

B.

1

.
9

C.

Câu 73. Nguyên hàm F(x ) của hàm số f (x ) = 2x +

A. - cot x + x 2 -

p2
.
16

B. cot x - x 2 +

p2
.
16

8
.
3

D.

1
.
3

æp ö

1
và F ççç ÷
÷= - 1 là:
2
è 4 ø÷
sin x
C. - cot x + x 2 .

D. cot x - x 2 -

p2
.
16

Câu 74. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos2 x.sin x .
A.

ò f (x)dx = -

cos3 x
+ C.
3

sin 2 x
+ C.
C. ò f (x)dx = 2
Câu 75. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

B.

ò f (x)dx =

cos3 x
+ C.
3

sin 2 x
+ C.
D. ò f (x)dx =
2
sin 2x
.
cos 2x - 1

A.

ò f (x)dx = -

ln sin x + C .

B.

ò f (x)dx = ln cos 2x - 1 + C .

C.

ò f (x)dx = ln sin 2x + C .

D.

ò f (x)dx = ln sin x + C .
20


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 76. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x.cos 2x.dx .
A.

ò f (x)dx =

- 2 cos3 x
+ cos x + C .
3

B.

ò f (x)dx =

1
1
cos 3x + sin x + C .
6
2

C.

ò f (x)dx =

cos3 x
+ cos x + C .

3

D.

ò f (x)dx =

1
1
cos 3x - sin x + C .
6
2

Câu 77. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2sin x.cos 3x .
1
1
cos 2x - cos 4x + C .
2
4

A.

ò f (x)dx =

C.

ò f (x)dx = 2cos

4

x + 3cos 2 x + C .

1
1
cos 2x + cos 4x + C .
2
4

B.

ò f (x)dx =

D.

ò f (x)dx = 3cos

4

x - 3cos 2 x + C .

Câu 78. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3 x.sin 3x .

3 æsin 2x sin 4x ö÷ 1 æ
sin 6x ö÷
- ççx ÷
÷+ C .
÷
2
4 ø 8 èç
6 ø÷

A.

ò f (x)dx = 8 çççè

B.

ò f (x)dx = 8 çççè

C.

ò f (x)dx =

D.

ò f (x)dx = 8 çççè

ö
3 æsin 2x sin 4x ÷
+
÷
ø
2
4 ÷

ö
1æ
ççx - sin 6x ÷
+ C.
÷
ø

8 èç
6 ÷

ö 3 æ sin 6x ö÷
1æ
ççsin 2x - sin 4x ÷
÷- ççx ÷+ C .
8 çè 2
4 ø÷ 8 èç
6 ø÷
3 æsin 2x sin 4x ö÷ 1 æ
sin 6x ö÷
+
- ççx +
÷
÷+ C .
÷
2
4 ø 8 èç
6 ø÷

Câu 79. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3 x.cos3x + cos3 x.sin 3x .
A.

ò f (x)dx =

- 3
cos 4x + C .
16

B.

3

ò f (x)dx = 16 cos 4x + C .
21


HTTP://DETHITHPT.COM
C.

ò f (x)dx =

- 3
sin 4x + C .
16

D.

3

ò f (x)dx = 16 sin 4x + C .

Câu 80. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = sin 2

A.

x sin x 1
+ .
2

2
2

B.

x sin x 3
+
+ .
2
2
2

C.

æp ö p
x
biết F ççç ÷
÷= .
è2÷
ø 4
2

x sin x 1
+
+ .
2
2
2

D.

x sin x 5
+
+ .
2
2
2

æ
e- x ö
÷
Câu 81. Hàm số f (x) = ex ççln 2 +
có họ các nguyên hàm là hàm số nào sau đây?
÷
÷
÷
çè
sin 2 x ø

A. e x ln 2 - cot x + C .
C. e x ln 2 +

1
+ C.
cos 2 x

B. e x ln 2 + cot x + C .
D. e x ln 2 -

1

+ C.
cos 2 x

Câu 82. Hàm số f (x) = 3x - 2x.3x có nguyên hàm bằng

3x
6x
+ C.
A.
ln 3 ln 6
C.

3x
3x.2x
+
+ C.
ln 3 ln 6

B. 3x ln 3(1 + 2x ln 2) + C .

D.

3x
6x
+
+ C.
ln 3 ln 3.ln 2

Câu 83. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = (e- x + ex )2 thỏa mãn điều kiện F(0) = 1 là:
A. F(x) = -

1 - 2x 1 2x
e + e + 2x + 1 .
2
2

B. F(x) = - 2e- 2x + 2e2x + 2x + 1.

C. F(x) = -

1 - 2x 1 2x
e + e + 2x .
2
2

D. F(x) = -

Câu 83. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

1 - 2x 1 2x
e + e + 2x - 1 .
2
2

2x - 1
.
x+ 1

22

HTTP://DETHITHPT.COM
A. 2x - 3ln x + 1 + C .

B. 2x + 3ln x + 1 + C .

C. 2x - ln x + 1 + C .

D. 2x+ln x + 1 + C .

2x 2 + 2x + 3
Câu 84. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
.
2x + 1
A.

1
5
2
(2x + 1) + ln 2x + 1 + C .
8
4

B.

2

2

D. (2x + 1) - ln 2x + 1 + C .

C. (2x + 1) + ln 2x + 1 + C .

Câu 85. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

A.

x3 - x
.
x2 + 1

x2
- ln (x 2 + 1)+ C .
2

B.

C. x 2 - ln (x 2 + 1)+ C .

x2
+ ln (x 2 + 1)+ C .
2

D. x 2 + ln (x 2 + 1)+ C

Câu 86. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
A. ln (ln x + 1)+ C .

1
2

(2x + 1) + 5ln 2x + 1 + C .
8

1
.
x ln x + x

B. ln (ln x - 1)+ C .

Câu 87. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

C. ln (x + 1)+ C .

D. ln x + 1+ C .

e 2x
.
ex + 1

A. e x - ln (e x + 1)+ C . B. e x + ln (e x + 1)+ C C. ln (e x + 1)+ C .
Câu 88. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

(

A. 2 x - 2ln 1 +

)

x + C.

D. e 2x - e x + C .

1
.
x+1

(

B. 2 x + 2ln 1 +

)

x + C.
23


HTTP://DETHITHPT.COM
(

C. ln 1 +

(

)

x + C.

)

D. 2 + 2 ln 1 +

Câu 89. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

x + C.

x+ 2 1
ln (x 2 + 1)+ C .
2
x+ 1

A.

2
(x + 4) x + 1 + C .
3

B. (x + 4) x + 1 + C .

C.

x
+ C.
2 (x + 1) x + 1

D.

Câu 90. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

x + 1+

1
+ C.
x+ 1

2x - 1
.
1- x
2
(2x + 1) 1- x + C .
3

A. -

2
(2x + 1) 1- x + C .
3

B.

C. -

2
(2x - 1) 1- x + C .
3

D. - 2 1- x +

Câu 91. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

x

3x 2 + 2

.

A.

1
3x 2 + 2 + C .
3

B. -

C.

1
3x 2 + 2 + C .
6

D.

Câu 92. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

x3
4 - x2

.
1 2
(x + 8) 4 - x 2 + C .
3

1 2
(x + 8) 4 - x 2 + C .
3

B.

C. -

1
4- x2 + C .
3

D. -

A. 1 .

òe

x

1
3x 2 + 2 + C .
3

2
3x 2 + 2 + C
3

A. -

Câu 93 .Tính F(x) =

1
+ C.
1- x

2 2
x + 8) 4 - x 2 + C .
(
3

cos xdx = e x (A cos x + Bsin x) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng
B. - 1 .

C. 2 .

D. - 2 .
24