Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp tính khoảng cách trong không gian file word có lời giải chi tiết image marked

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
---------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


MỤC LỤC:
NỘI DUNG

TRANG

I.Đặt vấn đề ………………………2
1. Lý do chọn đề tài……………………2
2 . Mục đích nghiên cứu: …………………… 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
II. Nội dung:

……………… 3

………………4

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng đến một mặt phẳng……….4
2. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song…………………….9
3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau…11

4. Bài tập…………………………………………..17
5. Kết quả nghiên cứu…………………………..20

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Sự phát triển của khoa học công nghệ trong thời đại ngày nay và những thành tựu
mới về phát triển kinh tế - xã hội đã đặt ra yêu cầu cần phải tiếp tục xem xét mục tiêu, nội
dung, phương pháp dạy học. Vì vậy hiện nay Bộ GD và ĐT có quy định: “Phương pháp
GD phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học, bồi dưỡng
năng lực tự học, tự say mê học tập và ý chí vươn lên (luật GD năm 1998)”.
Đồng hành cùng sự phát triển của xã hội và thực hiện theo mục tiêu mà Bộ GD đề ra, ở
nhà trường cũng đã nhanh chóng từng bước đổi mới phương pháp dạy và học hướng tới
đào tạo thế hệ học sinh thành những con người lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt
nhịp với xu thế phát triển của toàn cầu hóa. Mục tiêu đó chủ yếu được thực hiện thông
qua hoạt động giáo dục và giảng dạy ở nhà trường phổ thông.
Trong giảng dạy thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là hoạt động giải
bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảo đồng thời rèn luyện trí tuệ. Vì vậy nó
được quan tâm nhiều trong dạy học. Chủ đề khoảng cách trong không gian được trình bày
cụ thể và chú trọng, tuy nhiên bài tập về vấn đề này đã gây ra không ít khó khăn, vướng
mắc cho những người học toán.
Trí tưởng tượng không gian, khả năng vẽ hình biểu diễn, biết liên hệ, xâu chuỗi kiến
thức sẽ góp phần quyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài tập hình học. Nhưng
một bài toán về khoảng cách còn đòi hỏi có sự nhạy cảm, linh hoạt để xác định và đi đến

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


lời giải cụ thể. Đó là tiềm năng lớn để phát triển trí tuệ cho học sinh khi giải các bài toán
về khoảng cách.
Với học sinh việc giải bài tập về khoảng cách đã mất nhiều thời gian thì với giáo viên
việc phát triển tư duy, sáng tạo thông qua các bài tập đó lại càng mất nhiều thời gian và
công sức hơn. Chính những khó khăn đó đã cản trở đến quá trình truyền thụ kiến thức và
phát triển trí tuệ cho hoc sinh trong hoạt động giảng dạy.
Thiết nghĩ, nếu sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh tự
tin hơn khi giải bài tập hình học không gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy
tính tích cực, tư duy sáng tạo cho các em.
Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “Bài toán khoảng cách trong không gian”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng, sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống, thông qua đó để phát
huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc của tư duy tích cực, tư duy sáng tạo.
+Xây dựng và định hướng khai thác hệ thống bài tập tìm khoảng cách.
+Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4


II. NỘI DUNG
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường
thẳng a ( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
O

O

a

H
P

H

Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A,B, C thẳng hàng, trong đó C  ( P) . Chứng
minh rằng

d ( A, ( P ) )

d ( B, ( P ) )

=

AC
.
BC

Trường hợp 1: 2 điểm A, B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P). Gọi A’, B’ là hình
chiếu vuông góc của A và B lên (P). Khi đó

Ta có:

d ( A,( P) ) = AA '; d ( B,( P) ) = BB '

Suy ra
d ( A, ( P ) )

d ( B, ( P ) )

=

AA ' CA
=
BB ' CB

Trường hợp 2: Khi 2 điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (P) thì cách chứng
minh tương tự.
Khi C là trung điểm của AB ta có: d(A;(P))=d(B;(P))

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5


Bài toán 2: Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
Gọi H là hình chiếu của O trên (ABC). Chứng minh rằng:
1. H là trực tâm của tam giác ABC.
2.

1

1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB OC 2

Chứng minh:
a, Theo giả thiết, ta có OH vuông góc với (ABC) suy ra OH vuông góc với BC, mà OA
vuông góc với BC. Vậy BC vuông góc với mặt phẳng (OAH) suy ra AH vuông góc BC.
Tương tự ta có BH vuông góc với AC. Vậy H là trực tâm của tam giác ABC
b, Ta có:
1
1
1
1
1
1
=
+
=
+
+
OH 2 OA2 OM 2 OA2 OB 2 OC 2

Đây là bài toán cơ bản nên học sinh có thể tự chứng minh được.
Nhận xét:
✓ Với Bài toán 1, ta có thể thay thế việc tính khoảng cách từ một điểm nào đó đến
một đường thẳng hay mặt phẳng bằng một điểm khác dễ tính hơn.
Với Bài toán 2 ta có thể tính nhanh khoảng cách từ một điểm nào đó tới một mặt phẳng
thông qua ba tia vuông góc với nhau đôi một có gốc từ điểm đó.
Bài toán 3. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Xác định hình
chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (SBC) trong các trường hợp sau:
a, Tam giác ABC cân tại A.
b, Tam giác ABC vuông tại B.
c, Tam giác ABC tù tại B.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


Ví dụ 1: (D-2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC),
ngoài ra AC=AD=4cm,AB=3cm,BC=5cm. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
.
Giải:
Tam giác ABC vuông tại A
Do đó AB, AC, AD đôi một vuông góc, gọi H là hình chiếu của A
xuống mặt phẳng (BCD) áp dụng bài toán cơ bản 2 ta có:
1
1
1
1
1
1

6 34
=
+
=
+
+
 AH =
(cm)
AH 2 AD 2 AM 2 AB 2 AC 2 AD 2
17

Ví dụ 2.
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC) và SA = a.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
b. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC);
c. Gọi J là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC);
d. G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC).

Lời giải

S

H

a. Ta có (SAB)  (SBC)  SB
Kẻ AH ⊥ SB (H thuộc SB). Do SAB vuông cân
nên H là trung điểm của SB, khi đó AH ⊥ ( SBC)
nên d(A, (SBC)) = AH. Xét SAB vuông cân tại A.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

1
1
1
1
1
=
+
= 2 + 2
2
2
2
AH
AS
AB
a
a
a 2
Khi đó AH =
.
2

A

J

C

G
I

B

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

7


BI
1
=
(do I là trung điểm của AB) nên
BA 2
1
1 a 2
d ( I , ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) = .
2
2 2
a 2
Vậy d ( I , ( SBC )) =
.
4

b. Ta có AB  ( SBC )  B và

c. Tương tự J là trung điểm của AC nên
d ( J , ( SBC ) =

CJ 1
= , khi đó
CA 2

1
a 2
d ( A, ( SBC )) =
.
2
4

d. Vì G là trọng tâm ABC nên có
Lúc đó d (G , ( SBC )) =

CG 2
=
CI
3

a 2
2
2 a 2
d ( I , ( SBC )) = .
.Hay d (G, ( SBC )) =
.
6
3
3 4

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
AB=AD=a, CD=2a. Cạnh bên SD vuông góc với mặt đáy và SD=a.
a. Chứng minh rằng tam giác SBC vuông tại B.
b. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) theo a.

Giải:
a, Gọi E là trung điểm DC, O là giao điểm của BD và AE.
Xét tam giác BCD có: EB=ED=EC,
nên tam giác BCD vuông tại B. Vậy BC vuông góc (SBD) và tam giác SBC vuông tại B
b, Ta có
d(O;(SBC))=1/2. d(D;(SBC))
Hạ DH vuông góc với SB tại H ta có DH vuông góc với mặt phẳng (SBC).
d(D;(SBC))=DH
Xét tam giác SDH.
1
DH

2

=

1
SD

2

+

1
BD

2

 DH =

a 6
a 6
 d (O;(SBC )) =
3
6

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

8


Ví dụ 4. (D -2007 ) “Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang.ABC = BAD = 90 0 ,

BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A lên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính khoảng
cách từ H đến mp(SCD).”
S

Giải:
Lấy I là trung điểm của AD,
khi đó IA = ID = IC = a,
Suy ra CD ⊥ AC mà CD ⊥ SA nên CD ⊥ SC
hay tam giác SCD vuông tại C.
+ Tính d(H, (SCD))
SH SA 2 2
=
=
Xét tam giác vuông SAB có
SB SB 2 3

a 2
J

H

I

A

D

a
B

C

2
Do đó d ( H , ( SCD)) = d ( B, ( SCD))
3

1
2

mà d(B, (SCD)) = d(I, (SCD), d ( I , ( SCD)) = d ( A, ( SCD))
nên d ( H , ( SCD)) =

1
d ( A, ( SCD)) ;
2

Mặt khác ta có :
CD ⊥ SC (theo chứng minh trên)
CD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))
(SCD)⊥(SAC)
(SCD)  (SAC)  SC
Kẻ AJ ⊥ SC (J thuộc SC) thì J là trung điểm của SC ( vì tam giác SAC cân
tại A).
Khi đó d(A, (SCD)) = AJ
Xét tam giác SAC vuông tại A có SC = SA2 + AC 2 nên SC = 2a;
1
mà AJ = SC suy ra d(A,(SCD)) = a
2
1
Vậy d ( H , ( SCD)) = a .
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


2.Khoảng cách giữa đt và mp song song, Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
a. Khoảng cách giữa đt và mp song song
Định nghĩa 2: Cho a // (). Khoảng cách giữa a và () là khoảng cách từ một điểm bất kí của a
đến ().
Kí hiệu d(a, ()).

b. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mp (), () song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mp này đến mp kia. Kí hiệu d((),()).

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a, BC=b, AA1=c.
a. Tính khoảng cách từ AA1 đến mặt phẳng (BDD1B1).
b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A1BD) và (B1D1C).
Giải:
a, d(AA1;(BDD1B1))= d(A;(BDD1B1))
Hạ AH vuông góc với mặt phẳng (BDD1B1)
Ta có: d(A;(BDD1B1))=AH
1
AH

2

=

1
AB

2

+

1
AD

2

 AH =

ab

a2 + b 2

 d (A;(B DD1B1 )) =

ab
a2 + b 2

b, d((A1BD);(B1D1C))=d(A;(A1BD) ) =AI

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

10


Ta có: AB, AD, AA1 đôi một vuông góc, áp dụng bài toán 2 ta có:
1
AI

2

=

1
AB

2

+

1

2

AD

+

1
AA12

 d ((A1B D);(B1D1C )) =

Ví dụ 5.

 AI =

abc
a2b 2 + b 2c 2 + c 2a2

 d (A;(A1B D)) =

abc
a2b 2 + b 2c 2 + c 2a2

abc
a2b 2 + b 2c 2 + c 2a2

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA = SB = SC = SD = a 2 . Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng
(SCD).

Giải:

S

Vì AD // BC nên (AD, (SBC)) = d(A, (SBC))
Ta có AO  (SBC)  C và

CO
1
=
do đó
CA
2

a 2
H
D

d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ;

C

SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC
Kẻ SJ ⊥ BC thì J là trung điểm của BC

O
A

a

I
B

Suy ra BC ⊥ (SOJ)  (SBC) ⊥ (SOJ)
(SBC)  (SOJ)  SJ, kẻ OH ⊥ SJ (H  SJ). Khi đó d(O, (SBC)) = OH
Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
1
1
1
1
a 6
OJ
=
.a , SO = SC 2 − CO 2 =
=
+
mà
2
2
2
2
2
OH
OJ
OS

Suy ra OH =

42
a

14

Vậy d ( AD, ( SCD)) = 2.

42
42
a=
.a
14
7

Sau khi đưa ví dụ này học sinh nhớ lại nhận xét trong phần định nghĩa về khoảng cách
để phát hiện d(AD, (SBC))=d(A;(SAD)). Rõ ràng ta đưa về bài toán tính khoảng cách

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

11


từ một điểm đến một mặt phẳng, do đó cần sử dụng các kỹ năng đã trình bày ở vấn đề
này để giải quyết bài toán. Như vậy nếu biết sắp xếp các bài toán có tính hệ thống thì
việc giải toán của học sinh nhẹ nhàng hơn, phát huy được lối tư duy tích cực, sự kế
thừa kết quả đã có, kỹ năng đã biết phục vụ vào giải các bài toán mới. Với giả thiết
của bài toán này ta có thể yêu cầu học sinh tính tiếp:
b. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AB và SCD;
3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1. Định nghĩa
a) Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường
thẳng ấy đgl đường vuông góc chung của a và b.
b) Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N

thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

2. Nhận xét
a) Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm trên đt này đến mp
song song với nó và chứa đt kia
b) Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách
giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đt đó.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

12


Ví dụ 6.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mp(ABCD), SA = a 3 . E là điểm đối xứng của B qua A, tính khoảng cách giữa 2
đường thẳng chéo nhau

S

a. AC và SD
b. AC và SE
E

a 3

Giải

A
D

B

a

C

 AE = CD = a
E là điểm đối xứng của B qua A nên 
 AEDC là hình bình hành. Do
 AE // CD

đó AC // ED hay AC // (SED) (1)
suy ra d(AC, SD) = d(AC, (SED)) = d(A, (SED));
* Tính d(A, (SED))
SA ⊥ ED, kẻ SK ⊥ ED(KED) thì ED ⊥ (SAK) suy ra (SED) ⊥ (SAK);
(SED)  (SAK)  SK. Kẻ AH ⊥ SK (HSK) thì d(A, (SED)) = AH
SAK và EAD là các tam giác vuông tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông
ta có:
1
1
1
1
1
=
+
=
+
AH 2 AS 2 AK 2 3a 2 AK 2
1

1
1
1
1
=
+
=
+
AK 2 AE 2 AD 2 a 2 a 2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

13


Suy ra

1
1
1
1
21
=
+
+
AH =
.a
2
2
2

2 hay
AH
3a
a
a
7

Vậy d ( AC, SD) =

21
.a .
7

Vì AC // (SED) (theo 1) nên d(AC, SE) = d(AC, (SED)) =

21
a
7

Nhận xét:
AC // (SED)

SE  ( SED)
khi đó d(AC, SE) = d(AC, (SD) = d(AC, (SED)).

SD  ( SED)
Qua ví dụ 6 cùng với nhận xét ta giúp học sinh củng cố kết luận:
a // mp( )
d(a, b) = d(a, mp()) với a, b là các đường thẳng.


b  mp( )

Ví dụ 7. (ĐỀ THI ĐH-CĐ KHỐI B NĂM 2007).
“Cho chóp tứ giác đều SABCD có đáy hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD; tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.”
Giải:

S

E

Gọi P là trung điểm của AS,
M

khi đó MP // NC và MP = NC (đều bằng nửa a).
Do đó MPCN là hình bình hành, suy ra MN // PC (1).

P

a
A

D
a

O

B
N

C

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

14


Mặt khác BD ⊥ (SAC) nên BD ⊥ PC (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra MN ⊥ BD ;
d(MN,AC) = d(MN, (SAC)) trong đó d(MN,(SAC)) = d(N, (SAC)),
d ( N , ( SAC )) =

1
1
d ( B, ( SAC )) , suy ra d ( MN , AC ) = BD
4
2

Vậy d ( MN , AC ) =

a 2
.
4

Ví dụ 8:
Cho lăng trụ tứ giác ABCD. A'B'C'D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC

và BD. Góc gữa (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách từ B’D’ đến A’B.

D'

C'

A'

B'

D
H

60

C

I
a 3

O

Giải:

A

a

B

Gọi H là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BD thì A’O ⊥ (ABCD) và
A ' HO = 600 . Suy ra A ' O = HO.tan 600 =

a 3
.
2

Ta có: d(B’D’;A’B)=d(B’D’;(A’BD))=d(B’;(A’BD))=d(A;(A’BD))
Gọi I là hình chiếu của A lên BD. Ta có

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

15


 AI ⊥ BD
 AI ⊥ ( A ' BD )  d ( A, ( A ' BD ) ) = AI .

 AI ⊥ A ' O
1
1
1
4
a 3
=
+
= 2  AI =
.
2
2
2
AI

AB
AD
3a
2

Lại có

Vậy d ( B ', ( A ' BD ) ) =

a 3
.
2

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với
(ABCD) và SH= a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa DM
và SC theo a.

S

Giải:

K

Gọi K là hình chiếu của H lên SC.
Ta có DM ⊥ CN

(

)(

)

a 3

C

DM .CN = DA + AM CD + DN = 0 )

(Do

nên DM ⊥ ( SCN )  DM ⊥ HK hay HK là
đoạn vuông góc chung của DM và SC.
Gọi I là trung điển CD thì BI ⊥ CH và ta có
HC = 2

B

M
A

a
I

H
N

D

CI .CB 2a 2a 5

=
=
BI
5
5

d ( DM , SC ) = HK =

Ví dụ 10.

SH .HC
SH + HC
2

2

=

2a 3
.
19

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA = SB = SC = SD = a 2 .
a, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.
b. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AD và SB;

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

16


c. Từ B kẻ đường thẳng song song với SC cắt CH tại K, tính khoảng cách giữa 2
đường thẳng chéo nhau AD và SK.
S

Giải:
a,
Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC))
CO
1
=
Ta có AO  (SBC)  C và
do đó
CA
2

a 2
H
D
C

d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ;
SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC

O

Kẻ SJ ⊥ BC thì J là trung điểm của BC

A

a

I
B

Suy ra BC ⊥ (SOJ)  (SBC) ⊥ (SOJ)
(SBC)  (SOJ)  SJ, kẻ OH ⊥ SJ (H  SJ). Khi đó d(O, (SBC)) = OH
Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
1
1
1
1
a 6
OJ
=
.a , SO = SC 2 − CO 2 =
=
+
mà
2
2
2
2
2
OH
OJ
OS

Suy ra OH =

42
a
14

Vậy d ( AD, SC ) = 2.

42
42
a=
.a
14
7

b, Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AD và SB.
Theo lối tư duy trên học sinh sẽ nhận ra:
d(AD, SB) = d(A, (SBC)) =

42
a
7

c. d(AD, SK) = d(AD, (SBC)) =

42
a.
7

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

17


4. BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng.Khoảng
cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song
Bài tập 1. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.
a. Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) .
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC);
d. Gọi J là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC);
e. G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC).
Bài tập 2. Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA
vuông góc với mp(ABCD) và SA = a 3 . O là tâm hình vuông ABCD.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);
b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC);
c. G1 là trọng tâm ∆SAC. Từ G1 kẻ đường thẳng song song với SB cắt OB tại I. Tính
khoảng cách từ điểm G1 đến mp(SBC), khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC);
d. J là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC);
e. Gọi G2 là trọng tâm của ∆SDC. Tính khoảng cách từ điểm G2 đến mp(SBC).
Bài tập 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, AC cắt BD tại O.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(BDD’B’).
b. Gọi M là trung điểm của AA’. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(BDD’B’) .
c. G là trọng tâm ∆ABA’. Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(BDD’B’).
d. I là trung điểm của GB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(BDD’B’).
e. K là trọng tâm ∆BMD. Tính khoảng cách từ K đến mp(BDD’B’). Suy ra khoảng cách
từ điểm J đến mp(BDD’B’) với J là trung điểm của KO.

Bài tập 4. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với
mp(ABC), lấy điểm S sao cho SA = a 3 , K là trung điểm của BC.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);
b. Gọi M là điểm đối xứng với A qua C. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SBC);
c. Gọi G là trọng tâm ∆SCM. Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC);
d. I là trung điểm của GK. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC).
Bài tập5. Cho hình chóp SABCD. ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều cạnh a và (SAB) vuông góc với mp(ABCD). Gọi I là trung điểm của cạnh AB, E là
trung điểm của cạnh BC.
a. Chứng minh mp(SIC) ⊥ mp(SED);
b. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SED);
c. Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SED);
d. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SED);

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

18


Bài tập 6. Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang.ABC = BAD = 90 0 , BA = BC = a,
AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A lên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến
mp(SCD).”
Vấn đề 2: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Bài tập 7. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA = SB = SC = SD = a 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và
SC.
Bài tập 8. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mp(ABCD), SA = a 3 . E là điểm đối xứng của B qua A, tính khoảng cách giữa 2
đường thẳng chéo nhau

c. AC và SD
d. AC và SE
Bài tập 9. (ĐỀ THI ĐH-CĐ KHỐI B NĂM 2007).
“Cho chóp tứ giác đều SABCD có đáy hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD; tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.”
Bài tập 10.Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I là trung điểm của
BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
a) OA và BC.
b) AI và OC.
HD:

a)

a 2
2

b)

a 5
5

Bài tập 11.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥
(ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) SC và BD.

b) AC và SD. HD:

a)

a 6
6

b)

a 3
3

Bài tập 12.Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam
giác ABC và SBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng qui.
b) Chứng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC).
c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
HD: c) Gọi E = AH  BC. Đường vuông góc chung của BC và SA là AE.
Bài tập 13. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS ⊥
(ABCD) và IS =

a 3
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy
2

dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
a) NP và AC

b) MN và AP.

HD:

a)

a 3
4

b)

a
2

Bài tập 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA=a. Goi A1 là trung điểm của SA, B1 là trung điểm của SB

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

19


a, Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (A1CD) và thể tích của khối chóp S.A1B1CD.
b, Tính khoảng cách giữa AC và SD theo a.
Bài tập 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, A=1200, BD=a cạnh bên SA
vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600.
a, Thể tích của khối chóp S.ABCD .
b, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
Bài tập 16. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi canh a, A=600, góc
giữa A’C và mặt đáy bằng 600.
a, Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
b, Tìm đường vuông góc chung của A’C và BB’ và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng đó.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

20


5. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Kết quả thử nghiệm cuối năm học 2012 - 2013 ,tôi đã
chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
Trước khi thực hiện đề tài

Lớp

Giỏi

Yếu

Trung

Khá

bình

11A1

2

6,7%

8

26,7%

5

16,7%

15

50%

11A2

1

3,3%

5

16,7%

6

20%

18

60%

Kết quả thử nghiệm sau khi thực hiện đề tài ,tôi đã chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi
khối A và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :

Lớp

Giỏi

Yếu

Trung

Khá

bình

11A1

10

33,3%

12

40 %

6

20 %

2

6,7%

11A2

8

26,7%

10

33,3%

5

16,6%

7

23,3%

Rõ ràng qua một năm thực hiện đề tài này, kết quả là học sinh học phần hình học không
gian đặc biệt là bài toán khoảng cách có tiến bộ rõ rệt.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

21


III. KẾT LUẬN:
Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho gian
đoạn hiện nay ,giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất nước đang phát
triển như Việt nam ta nói chung ,riêng đối với ngành giáo dục cần phải đổi mới nhanh
chóng, song ở mỗi bô ̣ môn đă ̣c biê ̣t các môn tự nhiên điề u cố t lõi mà chương triǹ h lớp
trên kế thừa và áp du ̣ng thì mỗi giáo viên chúng ta nên chỉ ra và ta ̣o mo ̣i điề u kiê ̣n để các

em nắ m bắ t đươ ̣c. Có như vâ ̣y, tình tra ̣ng hỏng kiế n thức cơ bản mới ha ̣n chế và dầ n khắ c
phu ̣c đươ ̣c. Hy vọng rằng với đề tài này có thể giúp học tự học và thích học phần hình
học không gian.
Bài toán khoảng cách là một trong các bài toán khó của phần hình học không
gian, nếu vận dụng thành thạo phương pháp này học sinh có thể giải được rất nhiều bài
toán khó trong các kỳ thi Đại học, đồng thời giáo viên nếu nắm vững phương pháp này có
thể giúp học sinh rất nhiều trong các năm bồi dưỡng học sinh dự thi Đại học.
Trong khuôn khổ có hạn của sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ đưa ra sơ lược một vài
bài toán tính khoảng cách trong các bài tập trong SGK SBT và luyện thi Đại học chắc
chắn đề tài này còn nhiều sơ suất, rất mong sự gióp ý của các thầy cô và các đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!
Vĩnh Yên ngày 20 tháng 4 năm 2013

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

22