Giải toán tích phân bằng nhiều cách nguyễn thành long file word có lời giải chi tiết image marked

GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH
(Một phương pháp nhằm phát triển tư duy)
I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
Bài tập giải mẫu:
3

Bài 1: Tính tích phân sau: I =

x2
dx
x2 + 1


0

Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đối số
Đặt x = tan t  dx = (1 + tan 2 t )dt

 x = 3

Đổi cận 
 x = 0

 
t =
3

 t = 0

Khi đó

I=









3

3

3

3

0

0

0

0

3
2
2
 tan tdt =  tan t (tan t + 1 − 1)dt =  tan t (tan t + 1dt ) −  tan tdt








d (cos t )  tan 2 t
3
=  tan td (tan t ) + 
=
+ ln cos t  3 = ln 2
cos t
 2
0 2
0
0
3

3



Nhận xét: Đối với tích phân dạng I =  R(u, u 2 + a 2 )du, u = u ( x) thì ta có thể đặt u = a tan t


Cách 2: Phương pháp tích phân toàn phần
 u = x2


Đặt 
xdx 
dv = 2
x +1


 du = 2 xdx


ln( x 2 + 1)
v
=

2


1
3
−
Khi đó I = x 2 ln( x 2 + 1)
2
0

3


0

x ln( x 2 + 1)dx = 3ln 2 −

1
2

3

 ln( x

2

+ 1)d ( x 2 + 1)

0
J

3

Tính J =

 ln( x

2

+ 1)d ( x 2 + 1)

0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 1




d ( x 2 + 1)
u = ln( x 2 + 1)

du =
Đặt 

x2 + 1
2
dv
=
d
(
x
+
1)


v = x 2 + 1


– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 2


1
3
Khi đó I = 3ln 2 − ( x 2 + 1) ln ( x 2 + 1)
−
2 
0

3

 d (x

2

0

 3
+ 1)  = − ln 2
 2

Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì
Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng I =

P( x)

 Q ( x) dx = 
n

f ( x)Q '( x)
dx thì
Q n ( x)

u = f ( x)
du

Đặt 
Q '( x)  
dv = Q n ( x) dx v



Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số
Nhận xét: Ta có x3 = x 2 .x và ( x 2 + 1) = 2 x từ đó ta định hướng giải như sau
3

Phân tích I = 
0

x3
dx =
x2 + 1

3


0

x2 x
dx
x2 + 1

 x2 = t −1

Đặt t = x 2 + 1  
dt
 xdx =

2

 x = 3 t = 4

Đổi cận 
 x = 0
t = 1
Khi đó I =

4
4
4 3
1 (t − 1)
1  1
1
dt
=
1 −  dt = ( t − ln t ) 1 = − ln 2


21 t
2 1 t
2
2

Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân
3

1
I=
2

1
=
2


0

x2
1
d ( x 2 + 1) =
2
x +1
2

3

 d (x

2

+ 1) −

0

3


0

3


0

(x

2

+ 1) − 1

x +1
2

d ( x 2 + 1) =

3



 1 − x

1 
2
 d ( x + 1) =
+1 

2

0

d ( x 2 + 1) x 2 3
3 3
=
− ln ( x 2 + 1)
= − 2 ln 2
2
x +1
2 0
2
0

Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn
3

I=
0

x3
dx =
x2 + 1

x 
x2 3 1

x
−
dx
=
−
0  x2 + 1 

2 0
2
3

3


0

d ( x 2 + 1)
x +1
2

=

3 1
3 3
− ln ( x 2 + 1)
= − ln 2
2 2
2
0

Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức
để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 3


Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức)

Ta có x 3 = x ( x 2 + 1) − x
3

Khi đó I =


0

x3
dx =
x2 + 1

x 
x2 3 1

0  x − x2 + 1  dx = 2 0 − 2
3

3


0

d ( x 2 + 1)
x +1
2

=

3 1

3 3
− ln ( x 2 + 1)
= − ln 2
2 2
2
0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 4


Bài 2: Tính tích phân bất định: I =

3x3
3x3
 x2 − 3x + 2 dx =  ( x −1)( x − 2) dx

Giải:
Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
Phân tích x3 = x ( x 2 − 3x + 2 ) + 3 ( x 2 − 3x + 2 ) + 7 ( x − 1) + 1
Khi đó

x ( x 2 − 3x + 2 ) + 3 ( x 2 − 3x + 2 ) + 7 ( x − 1) + 1
3x3
dx = 
dx
I = 2
x − 3x + 2
x 2 − 3x + 2



7
1
x2
1
=   x + 3 +
+
dx
=
+ 3x + 7 ln x − 2 + 
dx

x
−
2
x
−
1
x
−
2
2
x
−
1
x
−
2
(
)(
)

(
)(
)



x2
x2
= + 3x + 7 ln x − 2 + ln x − 2 − ln x − 1 + C = + 3x + 8ln x − 2 − ln x − 1 + C
2
2
Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
Phân tích x3 = x ( x 2 − 3x + 2 ) + 3 ( x − 1)( x + 1) − ( 2 x − 3)
= x ( x 2 − 3x + 2 ) + 3 ( x − 1) ( x − 2 ) + 3 − ( 2 x − 3) = x ( x 2 − 3x + 2 ) + 3 ( x − 1)( x − 2 ) + 9 ( x − 1) − ( 2 x − 3 ) Khi đó

x ( x 2 − 3x + 2 ) + ( x − 1) ( x − 2 ) + 3 − ( 2 x − 3)
3x3
dx = 
dx
I = 2
x − 3x + 2
x 2 − 3x + 2
9 
2x − 3
x2

=  x +3+
dx
−
dx

=
+ 3x + 9ln x − 2 − ln x 2 − 3x + 2 + C

2

x−2
x − 3x + 2
2

Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức
Phân tích x3 = x ( x 2 − 3x + 2 ) + 3 ( x 2 − 3x + 2 ) + 7 x + 6

x ( x 2 − 3x + 2 ) + 3 ( x 2 − 3x + 2 ) + 7 x + 6
3x3
dx = 
dx
Khi đó I =  2
x − 3x + 2
x 2 − 3x + 2

=  ( x + 3) dx + 

7x + 6
x2
dx
=
+ 3x + I1.
x 2 − 3x + 2
2

Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức….
Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 5


3x3
9x − 8 
9x − 8

I = 2
dx =   x + 3 + 2
dx
 dx =  ( x + 3) dx +  2
x − 3x + 2
x − 3x + 2 
x − 3x + 2

I1

Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức….
x3
x3
Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I =  2
dx = 
dx
2
x + 2x +1
( x + 1)

Giải:
Cách 1: Phương pháp đổi biến số

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 6


du = dx
Đặt u = x + 1  
 x = u −1

( u − 1)

3

Khi đó I =



u2

du = 

u 3 − 3u 2 + 3u − 1
3 1
u2
1

du
=
u

−
3
+
−
du
=
− 3u + 3ln u + + C

2
2 

u
u u 
2
u


với u = x +1
Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức
Phân tích x3 = x ( x 2 + 2 x + 1) − 2 ( x 2 + 2 x + 1) + 3 ( x + 1) − 1

x ( x 2 + 2 x + 1) − 2 ( x 2 + 2 x + 1) + 3 ( x + 1) − 1
x3
dx = 
dx
Khi đó I =  2
x + 2x +1
x2 + 2x + 1

3

1 
x2
1
=  x − 2 +
−
dx
=
− 2 x + 3ln x + 1 +
+C

2
x + 1 ( x + 1) 
2
x +1


Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tần lầu
Phân tích x3 = x ( x 2 + 2 x + 1) − 2 ( x 2 + 2 x + 1) − 1 +
x3
Khi đó I =  2
dx = 
x + 2x +1

3
( 2x + 2)
2

x ( x 2 + 2 x + 1) − 2 ( x 2 + 2 x + 1) − 1 +
x2 + 2 x + 1

3
( 2x + 2)
2
dx

1 
3
2x + 2
x2
3

=  x − 2−
dx = − ln x + 1 + ln x 2 + 2 x + 1 + C
 dx +  2
x +1 
2 x + 2x +1
2
2

Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức
Phân tích x3 = x ( x 2 + 2 x + 1) − 2 ( x 2 + 2 x + 1) + 3x + 2

x ( x 2 + 2 x + 1) − 2 ( x 2 + 2 x + 1) + 3x + 2
x3
dx = 
dx
Khi đó I =  2
x + 2x +1
x2 + 2x + 1

3x + 2
x2
=  ( x − 2 ) dx +  2
dx = − 2 x + I1.
x + 2x +1
2
Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức
Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 7


I =

=


x3
x3
3
1 
dx
=
dx =   x − 2 +
−
 dx
2
2

x + 2x + 1

x + 1 ( x − 1)2 
( x + 1)


x2
1
− 2 x + 3ln x + 1 +
+C
2
x +1

Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

u = x3
du = 3x 2 dx


dx  
Đặt 
1
dv = ( x + 1)2
v = −
x +1


Khi đó

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 8

x3
x2
x3
x2 −1 + 1
+ 3
dx = −
+ 3
dx
x +1
x +1
x +1
x +1

I =−

=−

 x2

x3
1 
x3

+ 3  x − 1 +
dx
=
−
+
3
 − x  + ln x + 1 + C


x +1
x +1 
x +1  2



Bài 4: Tìm nguyên hàm: I = 

x 2 dx

(1 − x )

39

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Phân tích x 2 = (1 − x ) − 1 = (1 − x ) − 2 (1 − x ) + 1
2

2

(1 − x ) − 2 (1 − x ) + 1 = 1 − 2 + 1

=
39
39
37
38
39

(1 − x )
(1 − x )
(1 − x ) (1 − x ) (1 − x )
2

x2

I =

1

(1 − x )

37

dx − 2

1

(1 − x )

38

dx + 

1

(1 − x )

39

dx =

1
1
2
1
1
1
−
+
+C
36
37
36 (1 − x )
37 (1 − x )
38 (1 − x )38

Cách 2:
Đặt t = 1 − x  x = 1− t  dx = −dt
 I = −

(1 − t )
t

39

2

dt

= −

1
1
1
1 1
2 1
1 1
dt + 2 38 dt −  37 dt =
−
+
+C
39
38
37
t
t
t
38 t
37 t
36 t 36

Nhận xét:
Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

u = x 2
du = 2 xdx



1
dx  
Đặt 
v=
38
dv = (1 − x )39

38 ( x + 1)


Khi đó I = x 2

1
38 ( x + 1)

38

−

1
x
dx.... đến đây các bạn có thể tự làm rồi

19 ( x + 1)38

Bài 5: Tìm nguyên thức: I = 

x 3 dx

( x − 1)

10

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 9


Sử dụng đồng nhất thức: x3 = ( x − 1) + 1 = ( x − 1) − 3 ( x − 1) + 3 ( x − 1) − 1
3



x3

( x − 1)

10

=

1

( x − 1)

7

3

−

( x − 1)

8

+

3

( x − 1)

9

−

3

2

1

( x − 1)

10

Khi đó
I =
=−

dx

( x − 1)

7

− 3

dx

( x − 1)

8

+ 3

dx

( x − 1)

9

−

dx

( x − 1)

10

=

1 1
3 1
3 1
1 1
+
−
+
+C
6
7
8
6 ( x − 1) 7 ( x − 1) 8 ( x − 1) 9 ( x − 1)9

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 10


Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt t = x −1 ta có: x = t +1 nên dx = dt
A=



== −

( t + 1)

3

t10

dt

=

(t

3

+ 3t 2 + 3t + 1) dt
t10

=  t −7 dt + 3 t −9 dt +  t −10 dt

1 1
3 1
3 1
1 1
+
−
+
+C
6
7
8
6 ( x − 1) 7 ( x − 1) 8 ( x − 1) 9 ( x − 1)9

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

u = x3
du = 3x 2 dx


dx  
1
Đặt 
dv = ( x − 1)10
v = − 9 ( x + 1)9


Khi đó

1
x2
I = −x
+ 
dx ...
9
9
9 ( x + 1) 3 ( x + 1)
1

3

I1

đến đây rùi ta có thể tính I1 bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích
x 2 = ( x 2 − 1) + 1 = ( x + 1)( x − 1) + 1

Nhận xét :
- Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải
không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất
Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý
- Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I =

P( x)

 ( x + a)

n

dx thì đặt t = x + a là một phương pháp hiệu quả

nhất
- Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng I =

f ( x)Q ' ( x )
P( x)
dx = 
dx thì ta sử
n
( x)
Qn ( x )

Q

dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của ( x + a ) là n = 1, 2
u = f ( x)
du


Đặt 
Q '( x)  
dv = Q n ( x) dx v


– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 11


3

Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I =


0

dx
=
x + x3

3

dx

 x (1 + x )
2

0

HD:

Cách 1: Biến đổi số
Nhân cả tử và mẫu cho x 2
3

I=

dx
=
x + x3


0

3


0

dx
=
x (1 + x 2 )

3

xdx

 x (1 + x )
2

2

0

 x2 = t −1

Đặt t = 1 + x  
dt
 xdx =

2
2

Cách 3: Biến đổi số
Đặt x = tan u … Bạn đọc tự giải
Cách 4: Đưa vào vi phân
Phân tích tử 1 = (1 + x 2 ) − x 2
3

Khi đó I =


0

3

dx
x
−
dx =
x 0 1 + x2

3


0

dx 1
−
x 2

2

Bài 12: Tính tích phân sau: I =

x
1

5

3



d (1 + x 2 )

0

1+ x

2

= ln x

6
3 1
3
− ln x 2 + 1
= ln
2
2
0
0

dx
+ x3

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích
Cách 1.1: Phân tích: 1 = x 2 + 1 − x 2


1
x2 + 1 − x2 1
1
1 x2 + 1 − x2 1 1
x
=
=
−
=

−
= 3− + 2
3
3
3
2
3
2
2
2
x x +1
x ( x + 1) x ( x + 1) x
x ( x + 1) x
x ( x + 1) x

Khi đó
2

I =
1

2
2
1
1
x
1
1 5
 1 1
2 3

dx
−
dx
+
dx =  − 2 − ln x + ln x 2 + 1  = − ln 2 + ln
3
3
2


x
x
x +1
2
2 2
 2x
1 8
1
1

Cách 1.2: Phân tích 1 = x 4 + 1 − x 4 = x 4 + (1 − x 2 )(1 + x 2 )

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 12


4
2
2
1
x 4 + 1 − x 4 x + (1 − x )(1 + x )

x
1 − x2
x
1
 3 2
= 3 2
=
=
+
= 2
+ x −3 −
2
3
3
2
x +1
x
x +1
x
x ( x + 1) x ( x + 1)
x ( x + 1)

… tự làm nhé
Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số
2

Phân tích I = 
1

2

1
1
1
dx = 
dx
3
2
2
x x ( x 2 + 1)
x ( x + 1)
1

1

x=

1

t
Đặt t =  
x
dx = − 1 dt

t2

 1
 x = 2 t =
Đổi cận 
 2

 x = 1 t = 1

1
1
2
t3
t
Khi đó I = −  t
dt =  2
dx... đến đây lại trở thành Bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé
11

1 t +1
1
 + 1
2
t2  t2 
1
2

Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biến số
2

I=

2

1
1
1 x3 ( x2 + 1)dx = 1 x4 ( x2 + 1)dx

Đặt t = x 2 + 1 

dt
= xdx
2

 x = 2 t = 5

Đổi cận 
 x = 1 t = 2
5

Khi đó I = 
2

dt
t ( t − 1)

2

=

5
1  1
1 1
1 1
t 5 3
1 5
−

+  dt =  −
+ ln
= − ln 2 + ln


2

2 2  ( t − 1) t − 1 t 
2  t −1
t −1  2 8
2 2

Hoặc các bạn có thể đặt u = t −1 hoặc phân tích 1 = t − ( t −1) hoặc đồng nhất thức
Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân
2

I =
1

2

2

1
1
1
1
dx =  4 2
dx =  4 2
d ( x 2 + 1) =

3
2
2 1 x ( x + 1)
x ( x + 1)
1 x ( x + 1)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 13


2
2
2
2
2
1 ( x + 1) − x
1 1
1
1
=  4 2
d ( x 2 + 1) =  4 d ( x 2 + 1) −  2 2
d ( x 2 + 1) =
2 1 x ( x + 1)
21 x
2 1 x ( x + 1)
2

2

1
1

=  3 dx − 
dx... ôi đến đây lại thành Cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui…
2
x
x
x
+
1
(
)
1
1

Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức
1
A B C Dx + E
đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm I = A,B,C,D,E tuy nhiên
= 3+ 2+ + 2
2
x
x
x +1
x ( x + 1) x
3

việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu
quả nhất
Cách 6: Đặt x = tan u  dx = ( tan 2 + 1) dt... bạn đọc tự làm
1

Bài 14: Tính tích phân sau: I = 
0

dx
x +1
3

Giải:
Nhận xét: x3 + 1 = ( x + 1) ( x 2 − x + 1)
Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:
1 = x 2 − ( x 2 − 1) = x 2 − ( x − 1)( x + 1)
1

Khi đó I = 
0

x2
x −1
dx −  2
dx = I1 − I 2
3
x +1
x
−
x
+
1
0
1

3
1
1 d ( x + 1)
Tính I1 bằng cách đặt t = x + 1 hoặc I1 = 
3 0 x3 + 1
3

Tính I 2 phân tích x − 1 =

1
1
( 2 x − 1) − (kĩ thuật nhảy tầng lầu)
2
2

x −1
1 2x −1
1
dx
dx =  2
dx − 
Ta có I 2 =  2
2
x − x +1
2 0 x − x +1
20
1 3
0
x
−


 +
2 4

1

1

1

Cách 2: Đồng nhất thức
Xét

1
A
Bx + C
=
+ 2
 1 = A ( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1)
x +1 x +1 x − x +1
3

Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số giải hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 14


1
2
1

x = −1  A = ; x = 0  C = ; x = 1  B = − ... Bạn tự giải tiếp nhé
3
3
3

1

Kết quả ta được I = ln 2 +
3
3 3
Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
1
1
d ( x + 1)
dx
dx
=
=
I=  3
x + 1 0 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) 0 ( x + 1) ( x + 1)2 − 3 ( x + 1) + 3
0


1

Đặt x +1 = t  dx = dt

 x = 0 t = 1

Đổi cận 

 x = 1 t = 2
2
2
2
2
2

dt
1 ( t − 3t + 3) − ( t − 3t ) 1  dt
t −3
= 2
= 
=
−
dt 

2

2
31
3  1 t 1 t − 3t + 3 
t ( t − 3t + 3)
1 t ( t − 3t + 3)
2



2
2


2
2
1  dt 1 d ( t − 3t + 3) 3
dt

=  −  2
+ 
3  1 2 2 1 t − 3t + 3
2 1  3 2 3 

t −  + 
 2 4 


11
t2
2t − 3  2 1

=  ln 2
+ 3 arctan
 = ln 2 +
3  2 t − 3t + 3
3 1 3
3 3
Bài 15: Tính tích phân bất định: I =



3x 4 − 5 x3 + 7 x − 8

( x + 2)

50

dx .

Giải:
Cách 1: Biến đổi số

x = t − 2
Đặt x + 2 = t  
dx = dt
Khi đó I = 

3x 4 − 5 x3 + 7 x − 8

( x + 2)

50

3(t − 2) − 5 (t − 2) + 7 (t − 2) − 8
4

dx = 

3

t 50

dt

Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
Phân tích 3x 4 − 5 x3 + 7 x − 8 = a ( x + 2 ) + b ( x + 2 ) + c ( x + 2 ) + d ( x + 2 ) + e... đồng nhất để tìm a, b, c, d, e
4

3

2

…

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 15


Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo)
Đặt P4 ( x) = 3x 4 − 5 x3 + 7 x − 8
Áp dụng khai triển Taylor ta có

P4' (−2)
P4" (−2)
P4(3) (−2)
P4(4) (−2)
2
3
P4 ( x) = P4 (−2) +
( x + 2) +
( x + 2) +
( x + 2) 4
( x + 2) +
1!

2!
3!
4!
 P4 ( x) = 66 − 149 ( x + 2 ) + 48 ( x + 2 ) − 29 ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 )
2

3

66 − 149 ( x + 2 ) + 48 ( x + 2 ) − 29 ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 )
2

I =

( x + 2)

=  66 ( x + 2)

=

−66
49 ( x + 2 )

49

−50

+

− 149 ( x + 2)
149

48 ( x + 2 )

48

−

−49

3

4

50

+ 48 ( x + 2 )
48

47 ( x + 2 )

47

+

−48

− 29 ( x + 2 )
29

46 ( x + 2 )

Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I =

1+ 5
2


1

46

−

4

−47

dx

+ 3 ( x + 2)
3

45 ( x + 2 )

45

−46

 dx


+C

x2 + 1
dx
x4 − x2 + 1

Giải:
1+ 5
2

Ta có


1

x +1
dx =
x − x2 + 1

Đặt t = x −

2

4

1
x2

1+ 5

2

1+

1

x2 −1 +



1
x2

dx =

1+ 5
2


1

1 

1 + 2 
 x  dx
2
1

x
−


 +1
x


1
1 

 dt = 1 + 2  dx.
x
 x 

x = 1
t = 0

Đổi cận 
1 + 5  t = 1

x =

2
1

dt
. Đặt t = tan u  dt = (1 + tan 2 u ) du
2
1+ t
0

Khi đó I = 

u = 0
t = 0 

Đổi cận 

t = 1 u =

4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 16








4
dt
1 + tan u

=
du
=
du = u 4 =
Khi đó I = 
2
2



1+ t
1 + tan u
4
0
0
0
0
1

4

2

Cách khác:
Ta có thể gộp hai lần đặt là x −

1
1 

= tan u  1 + 2  dx = (1 + tan 2 u ) du... bạn đọc tự giải
x
 x 

x2 −1
dx
Bài 17: Tính tích phân: I =  4
x +1
1

2

Giải:
Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho x 2  0 ta được

1
1
1− 2
2
2
x dx =
x
Biến đổi I = 
dx
2

1
2
1


1 x +
1
x−  −2
x2
x

2

Đặt u = x +

1−

1
1 

 du = 1 − 2  dx
x
 x 

(

5
2

)(

5−2 2 2+ 2
du
1
u − 2 5/ 2
1
=
ln
=
ln
u2 − 2 2 2 u + 2 2
2 2
6− 2
2

Khi đó I = 

(

)(

)
)

Cách 2: Phân tích x 4 + 1 = ( x 2 + 1) − 2 x 2 = x 2 − 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1 và sử dụng đồng nhất thức
2

x2 −1
Ax + B
Cx + D
= 2
+ 2
... đồng nhất hệ số tìm A, B, C và D nhưng cách này dài và rất phức tạp
4
x +1 x − 2x +1 x + 2x +1
nên không đưa ra
Nhận xét:
- Qua các ví dụ ta thấy kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành tích phân
đơn giản hơn
- Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai P( x) = x 2 − 1 còn mẫu là một đa
thức bậc 4: Q( x) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e sao cho hệ số a = e = 1
1 
1 
1

1 


- Tích phân trên đưa về dạng I =  f  x  1 2  dx đặt t = x   dt = 1 2  dx
x
x 
x 
 x 


Tương tự ta có thể giải bài toán này

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 17


x2 + 1
dx
1. Tính tích phân sau I =  4
x +1
1
2

1
1
1− 2
2
2
1
1 


x dx =
x
I =
dx . Đặt u = x −  du = 1 + 2  dx
2

1
x
 x 
1
1 x2 +
1 
x
−
+
2
2


x
x

2

1−

2. (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau:

I =

x2 −1
1 x2 + 5x + 1
dx
=
−
ln
+C
8 x 2 − 3x + 1
( x2 + 5x + 1)( x 2 − 3x + 1)
1

Bài 18: Tính tích phân sau: I =  x3 ( x 4 + 1) dx
4

0

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt t = x 4 + 1  dt = 4 x 3 dx  x 3dx =

dt
4

 x = 1 t = 2

Đổi cận 
 x = 0 t = 1
1

Khi đó I =  x3 ( x 4 + 1) dx =

4

0

2
1 4
 1  2 31
t dt =  t 5  =

41
 20  1 20

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt t = x 4 

dt
= x3dx
4

 x = 1 t = 1

Đổi cận 
 x = 0 t = 0
Khi đó I =

1
1
1
1
1

t 5  1 31
4
2
3
4
2
3
4
1
+
t
dt
=
1
+
4
t
+
6
t
+
4
t
+
t
dt
=
t
+
2

t
+
2
t
+
t
+
(
)
(
)

 =
4 0
4 0
4
5  0 20

Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân
4
1
4
1
1 ( x + 1) 1 31
4
4
I =  x ( x + 1) dx =  ( x + 1) d ( x + 1) = .
=
0 20
40

4
5
0
5

1

3

4

4

Cách 4: Sử dụng phương pháp phân tích

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 18


Phân tích x3 ( x 4 + 1) = x3 ( x16 + 4 x12 + 6 x8 + 4 x 4 + 1) = ( x19 + 4 x15 + 6 x11 + 4 x7 + x3 )
4

 x 20 x16 x12 x8 x 4  1 31
Khi đó I =  x ( x + 1) dx =  ( x + 4 x + 6 x + 4 x + x ) dx = 
+
+
+ +  =
2
2 2  0 20
 20 4
0

0
1

3

1

4

4

19

15

11

7

3

Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo
tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất.
1

Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I =  x5 (1 − x3 ) dx =
6

0

1
168

Giải:
1

1

Ta có I =  x5 (1 − x 3 ) dx =  x 3 (1 − x 3 ) x 2 dx
6

0

6

0

Cách 1: Đổi biến số

 dt
2
− = x dx
t
=
1
−
x

Đặt
 3

 x3 = 1 − t

3

 x = 1 t = 0

Đổi cận 
 x = 0 t = 1
I =−

0
1
1
1 6
1 6
1 6 7
1  t7 t8  1
t
1
−
t
dt
=
t
1
−
t
dt
=
t

−
t
dt
=
(
)
(
)
(
)
 − =
3 1
3 0
3 0
3  7 8  168

Cách 2: Đưa vào biểu thức vi phân
1

1

1

1

I =  x5 (1 − x3 ) dx =  x 2 1 − (1 − x 3 )  (1 − x 3 ) dx =  x 2 (1 − x3 ) dx −  x 2 (1 − x3 ) dx
6

0

6

0

0

6
7
1
1 (1 − x
= −  (1 − x3 ) d (1 − x3 ) +  (1 − x3 ) d (1 − x3 ) = − .
30
3
7
0
1

6

1

7

0

)

3 7

1 (1 − x

+ .
0 3
8

1

)

3 8

1

1
0 168
=

Cách 3: Khai triển (1 − x3 ) thành tổng các đa thức  x5 (1 − x3 ) .. cách này không khó nhưng khai triển
6

6

phức tạp… chỉ tham khảo thôi
Chú ý: Nếu ta đặt t = x 3 cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo
2

Bài 20: Tính tích phân sau I =  x ( x + 1) dx
2

0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 19


Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân
Ta có x ( x + 1) = x ( x2 + 2 x + 1) = x3 + 2 x3 + x
2

 x 4 2 x3 x 2  2 34
Khi đó I =  ( x + 2 x + x ) dx =  +
+  =
3
2 0 3
 4
0
2

3

3

Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Ta có x ( x + 1) = ( x + 1) − 1 ( x + 1) = ( x + 1) − ( x + 1)
2

2

2

2

3

2

2

Khi đó I =  ( x + 1) dx −  ( x + 1) dx =  ( x + 1) d ( x + 1)
3

0

2

3

0

0

( x + 1)
=
4

4

( x + 1)
−
3

3

=

34
3

Cách 3: Đổi biến số

x = t −1
Đặt t = x + 1  
dx = dt
 x = 2 t = 3

Đổi cận 
 x = 0 t = 1
3
3
 t 4 t 3  3 34
Khi đó I =  ( t − 1) t 2 dt =  t 3 − t 2 dt =  −  =
 4 3 1 3
1
1

(

)

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
du = 2 ( x + 1) dx

2

u = ( x + 1)

Đặt 

x2
dv
=
xdx
v
=




2
2
2
 x 4 x3  2 34
x2 2
2
Khi đó I = ( x + 1)
−  x ( x + 1) dx = 6 −  ( x3 + x 2 ) dx = 6 −  +  =
2 0 0
 4 3 0 3
0
2

0

Bài 21: Tính tích phân sau: I =  x 2 ( x + 1) dx
9

−1

Giải:
Cách 1: Biến đổi số
Đặt t = x +1  dt = dx

 x = −1 t = 0

Đổi cận 
x = 0
t = 1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 20


Khi đó
0

I=x

2

( x + 1)

0

9

dx =

−1

 ( t − 1)

−1

1

1

t dt =  ( t − 2t + 1) t dt =  ( t 11 − 2t 10 + t 9 ) dt

2 9

2

9

0

0

 t12
t11 t10  1 1 2 1
1
= −2 +  = − + =

11 10  0 12 11 10 660
 12
Cách 2: Phương pháp phân tích
Phân tích x 2 = ( x + 1) − 2 ( x + 1) + 1
2

Khi đó
0

0

0

−1

−1

2
9
11
10
9
I =  x ( x + 1) dx =  ( x + 1) − 2 ( x + 1) + 1 ( x + 1) dx =  ( x + 1) − 2 ( x + 1) + ( x + 1)  dx




9

2

−1

11
10
 ( x + 1)12
x + 1)
x + 1)  0
(
(
1
=
−2
+
=

11
10  −1 660
 12

Hoặc phân tích x 2 theo ( x + 1) như sau
9
9
x 2 ( x + 1) = ( x 2 − 1) + 1 ( x + 1) =

( x + 1) ( x + 1) − 2 + 1 = ( x + 1)

11

− 2 ( x + 1) + ( x + 1)

10

9

Nhận xét:
- Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển ( x + 1) hay phương pháp tích phân từng
9

phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của ( x + 1) là lớn
Bài 22: Tính tích phân: I =  (1 + 3x ) (1 + 2 x + 3x 2 ) dx
1

10

0

Giải:
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t = 1 + 2 x + 3x 2  dt = ( 2 + 6 x ) dx  dt = 2 (1 + 3x ) dx 

dt
= (1 + 3x ) dx
2

 x = 0 t = 1

Đổi cận: 
 x = 1 t = 6
6

I =  t10
1

10
6t
dt
t11 6 611 111 611
=
dt =
=
− =
−1
1 2
2
22 1 22 22 22

Cách 2: Đưa vào vi phân

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 21


I =  (1 + 3x ) (1 + 2 x + 3x 2 ) dx =
1

10

0

10
'

1 1
1 + 2 x + 3x 2 ) (1 + 2 x + 3 x 2 ) dx
(

2 0

10
(1 + 2 x + 3x
1
=  (1 + 2 x + 3x 2 ) d (1 + 2 x + 3x 2 ) =
20
22
1

)

2 11

1
0

=

611
−1
22

Bài tập tự giải có hướng dẫn:
2

Bài 1: (ĐHV – D 2010) Tính tích phân sau: I = 
0

3x3
dx
x2 + 2 x + 1

Đs: I = 9ln3 − 8
x2 + 1
Bài 2: Tính tích phân sau: I =  2
dx
2
1 ( x + 3 x + 1)( x + x + 1)
2

HD:
Chia cả tử và mẫu cho x 2 ta được
1
x2
I =
dx
1
1 

1 x+
+ 3  x + + 1

x
x 



1−

2

Cách 1: Biến đổi số đặt t = x +

1
1 

 dt = 1 − 2  dx
x
 x 

Cách 2: Biến đổi vi phân
1

dx+ 
2
x2 + 1
1 
1 
1
x

 2

I = 2
dx =  2
dx = ln  x + + 1 − ln  x + + 3  

2
2
2 
x 
x

 1
1 ( x + 3 x + 1)( x + x + 1)
1 ( x + 3 x + 1)( x + x + 1)
2

1 7
= ln
2 10
Cách 3: Đồng nhất thức
1

Bài 3: Tính tích phân sau: I = 
0

x5
dx
x2 + 1

HD:
Đồng nhất thức: x5 = x3 ( x 2 + 1) − x ( x 2 + 1) + x

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 22

x 
1

1 4 1 2 1
1 1
2
 I =   x3 − x + 2
 dx =  x − x + ln ( x + 1)  0 = ln 2 − .
x +1 
2
2
2
4
4

0
1

Hoặc chia tử cho mẫu để tách thành tổng các tích phân đơn giản Hoặc đặt x = tan t
1

Bài 4: (ĐHKT – 1994) Tính tích phân sau: I = 
0

x

(1 + 2 x )

3

dx

HD:
Phân tích x =


1
1
x
1
1
1
ta được I =
= 
−
(1 + 2 x − 1) 
3
2
3
18
2
(1 + 2 x ) 2  (1 + 2 x ) (1 + 2 x ) 

Hoặc đặt t = 1 + 2x hoặc tích phân từng phần
1

Bài 10: Tính tích phân: I = 
1
2

x2 − 3
21
13
dx = − ln 2 + ln 3
4
2
4
4
x ( x + 3x + 2 )

HD:
Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho x rồi đặt t = x 2
Cách 2: Phân tích mẫu x ( x 4 + 3x 2 + 2 ) = x ( x 2 + 1)( x 2 + 2 ) và sử dụng đồng nhất thức
2x + 5
1 5
dx = ln
2
2 4
0 ( x + 3 x + 2 )( x + 7 x + 12 )

1

Bài 5: Tính tích phân: I = 

2

HD:
Phân tích ( x 2 + 3x + 2 )( x 2 + 7 x + 12 ) = ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) = ( x 2 + 5 x + 4 )( x 2 + 5 x + 6 )
Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức khi mẫu số là 4 nghiệm đơn
Cách 2: Sử dụng đổi biến số đặt t = x 2 + 5 x

Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích

2x + 5 =

1
( 2 x + 5) ( x 2 + 5 x + 6 ) − ( x 2 + 5 x + 4 )
2

x2 − 2
3
dx = −
Bài 6: Tính tích phân: I =  4
3
2
44
1 x + 2 x + 5x + 4 x + 4
1

2

HD:
Phân tích x 4 + 2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 4 = ( x 2 + x + 2 )

2

Cách 1: Đồng nhất thức

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 23

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho x 2 và đặt t = x +
0

Bài 7: Tính tích phân sau: I =



−1

(x

2
Hoặc đưa vào vi phân
x

xdx
2

+ 1)

3

HD:
Cách 1: Đặt x = tan t
Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
u = x

Đặt dv = xdx
3
2


x
+
1
(
)


Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn giản
Phân tích x 2 = ( x 2 + 1) − 1
0

Khi đó I =



−1

0

x 2 dx

(x

2

+ 1)

3

=



−1

(x

0

dx
2

+ 1)

2

−

−1

(x

dx
2

+ 1)

3

II. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
Bài tập giải mẫu:
7
3

Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính tích phân: I = 
0

x +1
dx
3
3x + 1

Giải:
Cách 1: Biến đối số

u2 −1
x
=

Đặt u = 3 3x + 1  
3
dx = u 2 du


7

u = 2
x =
Đổi cận 

3
u = 1
 x = 0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 24


u2 −1
2
2
 2 46
1
1
1  u5
Khi đó I =  3 u 2 du =  ( u 3 + 2 ) udu =  ( u 4 + 2u ) du =  + u 2  =
u
3
31
3 5
 1 15
1
Cách 2: Biến đối số
u −1

 x = 3
Đặt u = 3x + 1  
dx = du

3

7

u = 8
x =
Đổi cận 
3
u = 1
 x = 0
u −1
 53
+1
8
8
8
2
1
2 
− 
8 46

1
1
u
+
2
1
1
3u

3

3
3
Khi đó I = 
du =  1 du =   u + 2u  du =
+ 3u 3  =
1
 1 15
31
91 3
9 1
9  5


u3
u



Cách 3: Đưa vào vi phân
Phân tích x + 1 =

1
2
( 3x + 1) +
3
3

Khi đó
7
7

7
7
1
2
( 3x + 1) +
3
3
3
3
2
1
1
3
x
+
1
2
dx
1
2
−
3 dx =
3 d ( 3 x + 1) +
3 d ( 3 x + 1)
I =3 3
dx
+
=
3
x

+
1
3
x
+
1
(
)
(
)
3 0 3 3 x + 1
3 0 3 3x + 1 9 0
9 0
3x + 1
0
7
3

7
7
5
2
1
1
46
= ( 3x + 1) 3 3 + ( 3 x + 1) 3 3 =
15
3
15
0

0
Cách 4: Tính phân từng phần
u = x + 1
du = dx


2
Đặt 

1

1
3
dv
=
dx
v
=
3
x
+
1
(
)


3
3
x
+

1
2


Khi đó

I=

7
3

2
3

1
1 ( 3x + 1)
1
dx = ( x + 1)( 3x + 1)
( x + 1)( 3x + 1) −  3
2
2 0 3x + 1
2
2
3

7

2
3

7
2
13
3 −  ( 3x + 1) 3 d ( 3x + 1) ... bạn đọc tự giải
60
0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 25