Giải toán tích phân bằng nhiều cách doc

thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


1






(MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH)

Gửi tặng: www.MATHVN.com















Bỉm sơn. 13.03.2011

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


2
GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH
(Một phương pháp nhằm phát triển tư duy)

I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau:
3
3
2
0
1
x
I dx
x




Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đối số
Đặt


2
tan 1 tan
x t dx t dt
   
Đổi cận
3
3
0

0
t
x
x
t





 

 







Khi đó
   
3 3 3 3
3 2 2
0 0 0 0
tan tan tan 1 1 tan tan 1 tanI tdt t t dt t t dt tdt
   
      
   

 
 
2
3 3
0 0
cos
tan 3
tan tan ln cos ln 2
3
cos 2 2
0
d t
t
td t t
t
 

 
    
 
 
 

Nhận xét: Đối với tích phân dạng
 
 
2 2
, ,I R u u a du u u x



  

thì ta có thể đặt
tanu a t

Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 
2
2
2
2
ln 1
1
2
du xdx
u x
x
xdx
dv
v
x




 


 



 




Khi đó
       
3 3
2 2 2 2 2
0 0
1 13
ln 1 ln 1 3ln 2 ln 1 1
2 2
0
J
I x x x x dx x d x       
 


Tính
   
3
2 2
0
ln 1 1J x d x  


Đặt

 
 


2
2
2
2
2
1
ln 1
1
1
1
d x
u x
du
x
dv d x
v x



 




 


 
 

 


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


3
Khi đó
     
3
2 2 2
0
1 33
3ln 2 1 ln 1 1 ln 2
2 2
0
I x x d x
 
       
 
 
 


Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì
Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng


 




 
'
n n
P x f x Q x
I dx dx
Q x Q x
 
 
thì
Đặt


 
 
'
n
u f x
du
Q x
v

dv dx
Q x




 





Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số
Nhận xét: Ta có
3 2
.
x x x
 và


'
2
1 2
x x
  từ đó ta định hướng giải như sau
Phân tích
3 3
3 2
2 2
0 0

1 1
x x x
I dx dx
x x
 
 
 

Đặt
2
2
1
1
2
x t
t x
dt
xdx

 

  





Đổi cận
4
3

1
0
t
x
t
x






 






Khi đó


 
4 4
1 1
1
4
1 1 1 1 3
1 ln ln 2
1

2 2 2 2
t
I dt dt t t
t t

 
      
 
 
 

Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân
 


   
 
 
 
2
3 3 3
2
2 2 2
2 2 2
0 0 0
2
3 3
2
2 2
2

0 0
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 21 1 1
1
1 33 3
1 ln 1 2ln2
2 2 2
1
0 0
x
x
I d x d x d x
x x x
d x
x
d x x
x
 
 
       
 
  
 

       

  
 

Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn


 
2
3 3 3
3 2
2
2 2 2
0 0 0
1
1 3 1 33 3
ln 1 ln 2
2 2 2 2 2
1 1 1
0 0
d x
x x x
I dx x dx x
x x x

 
         
 
  
 
  

Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức

để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất
Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức)
Ta có


3 2
1
x x x x
  
Khi đó


 
2
3 3 3
3 2
2
2 2 2
0 0 0
1
1 3 1 33 3
ln 1 ln 2
2 2 2 2 2
1 1 1
0 0
d x
x x x
I dx x dx x
x x x


 
         
 
  
 
  

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


4
Bài 2: Tính tích phân bất định:
  
3 3
2
3 3
1 2
3 2
x x
I dx dx
x x
x x
 
 
 
 

Giải:
Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
Phân tích






3 2 2
3 2 3 3 2 7 1 1x x x x x x x        
Khi đó






2 2
3
2 2
3 2 3 3 2 7 1 1
3
3 2 3 2
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
       

 
   
 

     
2
7 1 1
3 3 7ln 2
2 1 2 2 1 2
x
x dx x x
dx
x x x x x
 
        
 
 
    
 
 

2 2
3 7ln 2 ln 2 ln 1 3 8ln 2 ln 1
2 2
x x
x x x x C x x x C
               
Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
Phân tích









3 2
3 2 3 1 1 2 3x x x x x x x       


















2 2
3 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 2 9 1 2 3x x x x x x x x x x x x x                   
 

Khi đó








2
3
2 2
3 2 3 1 2 3 2 3
3
3 2 3 2
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
        
 
 
   
 

2
2
2
9 2 3

3 3 9ln 2 ln 3 2
2 3 2 2
x x
x dx dx x x x x C
x x x

 
           
 
  
 
 

Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức
Phân tích




3 2 2
3 2 3 3 2 7 6x x x x x x x       
Khi đó




2 2
3
2 2
3 2 3 3 2 7 6

3
3 2 3 2
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
      
 
   
 

 
2
1
2
7 6
3 3
3 2 2
x x
x dx dx x I
x x

     
 
 
.
Tính
1
I bằng phương pháp đồng nhất thức….
Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn

 
1
3
2 2 2
3 9 8 9 8
3 3
3 2 3 2 3 2
I
x x x
I dx x dx x dx dx
x x x x x x
 
 
      
 
     
 
   


Tính
1
I bằng phương pháp đồng nhất thức….
Bài 3: Tìm nguyên hàm sau:
 
3 3
2
2
2 1
1

x x
I dx dx
x x
x
 
 

 

Giải:
Cách 1: Phương pháp đổi biến số
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


5
Đặt
1
1
du dx
u x
x u


  

 



Khi đó
 
3
3 2 2
2 2 2
1
3 3 1 3 1 1
3 3 3ln
2
u
u u u u
I du du u du u u C
u u u u u

  
 
          
 
 
  

với
1u x 

Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức
Phân tích







3 2 2
2 1 2 2 1 3 1 1x x x x x x x        
Khi đó






2 2
3
2 2
2 1 2 2 1 3 1 1
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
       
 
   
 

 
2
2

3 1 1
2 2 3ln 1
1 2 1
1
x
x dx x x C
x x
x
 
         
 
 

 
 


Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tầng lầu
Phân tích
   
 
3 2 2
3
2 1 2 2 1 1 2 2
2
x x x x x x x        
Khi đó
   
 
2 2

3
2 2
3
2 1 2 2 1 1 2 2
2
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
       
 
   
 

2
2
2
1 3 2 2 3
2 2 ln 1 ln 2 1
1 2 2 1 2 2
x x
x dx dx x x x x C
x x x

 
           
 
  
 

 

Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức
Phân tích




3 2 2
2 1 2 2 1 3 2x x x x x x x       
Khi đó




2 2
3
2 2
2 1 2 2 1 3 2
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
      
 
   
 

 

2
1
2
3 2
2 2
2 1 2
x x
x dx dx x I
x x

     
 
 
.
Tính I
1
bằng phương pháp đồng nhất thức
Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản
   
3 3
2 2 2
2
3 1
2
12 1
1 1
1
2 3ln 1
2 1
x x

I dx dx x dx
xx x
x x
x
x x C
x
 
      
 
 
 
 
     

  

Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 
3
2
2
3
1
1
1
u x
du x dx
dx
dv

v
x
x







 

 
 





Khi đó
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


6
3 2 3 2
3 3 2

1 1
3 3
1 1 1 1
1
3 1 3 ln 1
1 1 1 2
x x x x
I dx dx
x x x x
x x x
x dx x x C
x x x
 
     
   
 
 
           
 
 
  
 
 
 


Bài 4: Tìm nguyên hàm:
 
2
39

1
x dx
I
x




Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Phân tích
     
2
2
2
1 1 1 2 1 1x x x x        
 

 
 
       
2
2
39 39 37 38 39
1 2(1 ) 1
1 2 1
1 1 1 1 1
x x
x
x x x x x

   
    
    

           
37 38 39 36 37 38
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
36 37 38
1 1 1 1 1 1
I dx dx dx C
x x x x x x
      
     
  

Cách 2:
Đặt
1 1t x x t dx dt       

 
2
39 39 38 37 38 37 36
1
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
38 37 36
t dt
I dt dt dt C
t t t t t t t


          
   

Nhận xét:
Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 
 
2
38
39
2
1
38 1
1
du xdx
u x
dx
v
dv
x
x






 



 





Khi đó
   
2
38 38
1 1
19
38 1 1
x
I x dx
x x
 
 

…. đến đây các bạn có thể tự làm rồi
Bài 5: Tìm nguyên hàm:
3
10
( 1)
x dx
I
x





Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Sử dụng đồng nhất thức:
       
3
3 2
3
1 1 1 3 1 3 1 1x x x x x          
 

3
10 7 8 9 10
1 3 3 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x
x x x x x
    
    

Khi đó
7 8 9 10
6 7 8 9
3 3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 3 1 3 1 1 1
6 7 8 9
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

dx dx dx dx
I
x x x x
C
x x x x
    
   
     
   
   

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


7
Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt
1t x 
ta có:
1
x t
 
nên
dx dt

 

3
3 2
7 8 9 10
10 10
1
( 3 3 1)
3 3
t dt
t t t dt
A t dt t dt t dt t dt
t t
   

  
     
     

6 7 8 9
1 1 3 1 3 1 1 1
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
C
x x x x
     
   

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
   
3 2
10 9

3
1
1 9 1
u x du x dx
dx
dv v
x x
 
 
 

 
  
 
 
 

Khi đó
   
1
2
3
9 9
1 1

3
9 1 1
I
x
I x dx

x x
  
 



đến đây rùi ta có thể tính
1
I bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích






2 2
1 1 1 1 1x x x x      
Nhận xét :
- Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải không,
chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất
Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý
- Đối với tích phân hàm phân thức có dạng


 
n
P x
I dx
x a




thì đặt
t x a 
là một phương pháp hiệu quả nhất
- Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng


 




 
'
n n
P x f x Q x
I dx dx
Q x Q x
 
 
thì ta sử
dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của


x a
 là 1,2n 
Đặt:



 
 
'
n
u f x
du
Q x
v
dv dx
Q x




 





Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau:
 
3 3
3
2
0 0
1
dx dx
I
x x

x x
 


 

HD:
Cách 1: Biến đổi số
Nhân cả tử và mẫu cho
2
x

   
3 3 3
3
2 2 2
0 0 0
1 1
dx dx xdx
I
x x
x x x x
  

 
  

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


8
Đặt
2
2
1
1
2
x t
t x
dt
xdx

 

  





Cách 3: Biến đổi số
Đặt
tan
x u

… Bạn đọc tự giải

Cách 4: Đưa vào vi phân
Phân tích tử


2 2
1 1 –
x x
 
Khi đó


2
3 3
2
2
00 0 0
3 3
2
1
13 3
ln ln 1
2
1
1 6
ln
2
0
2
1
0

dx x dx
I dx
d x
x x
x
x x
x
    


  

  

Bài 12: Tính tích phân sau:
2
5 3
1
dx
I
x x




Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích
Cách 1.1: Phân tích:
2 2
1 1

x x
  
 
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
3 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 1
1
x x x x
x
x
x x x x x x x x x x
x x
   
        
   


Khi đó
2
2
3 2
2 2
2
1 1 1
2
1 1 1 1 1
ln
3 1 5

ln 2 ln
8
ln 1
2
1
2 22
1
x
I dx dx dx x x
x
x x x
 
         
 

 
  

Cách 1.2: Phân tích:




4 4 4 2 2
1 1 1 1
x x x x x
      
 





4 2 2
4 4 2
3
3 2 3 2 2 3 2
3 2
1 1
1 1 1 1
( 1) ( 1) 1 1
1
x x x
x x x x x
x
x
x x x x x x x
x x

  
  
       
   


tự làm nhé
Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số
Phân tích
   
2 2
2

1
3 2 2
1
1 1 1
.
1 1
I dx dx
x
x x x x
 
 
 

Đặt
2
1
1
1
x
t
t
x
dx dt
t




 



 



Đổi cận
1
2
2
1
1
x
t
x
t






 







www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


9
Khi đó
1
1
3
2
2
2 2
2
1
1
2
1
1 1
1
1

t
t
I t dt dx
t
t t
 


 

 



 
đến đây lại trở thành bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé
Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biển số
   
2 2
3 2 4 2
1 1
1
1 1
x
I dx dx
x x x x
 
 
 

Đặt
2
1
2
dt
t x xdx   
Đổi cận
2 5

1 2
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
   
5 5
2 2
2 2
5
1 1 1 1 1 1 3 1 5
ln ln 2 ln
2
2 1 2 1 1 8 2 2
1 1
dt t
I dt
t t t t
t t t
 
 
         
 
 

  
 
   
 
 

Hoặc các bạn có thể đặt
1u t 
hoặc phân tích


1 1t t   hoặc đồng nhất thức
Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân
     
 
 
 
   
 
 
2 2 2
2
3 2 4 2 4 2
1 1 1
2 2
2 2 2
2 2 2
4
4 2 2 2
1 1 1

1 1 1
1
2
1 1 1
1
1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2
1 1
x
I dx d x
x x x x x x
x x
d x d x d x
x
x x x x
    
  
 
      
 
  
  

 
2 2
3
2
1 1
1 1

1
dx dx
x
x x
 

 
ôi đến đây lại thành cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui…
Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức
 
3 2 2
3 2
1
1
1
A B C Dx E
x
x x x
x x

   


đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm , , , ,I A B C D E tuy nhiên
việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu quả
nhất
Cách 6: Đặt



2
tan tan 1
x u dx dt
    … bạn đọc tự làm
Bài 14: Tính tích phân sau:
1
3
0
1
dx
I
x




Giải:
Nhận xét:




3 2
1 1 1x x x x    
Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:







2 2 2
1 1 1 1x x x x x      
Khi đó
1 1
2
1 2
3 2
0 0
1
1 1
x x
I dx dx I I
x x x

   
  
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


10
Tính
1
I bằng cách đặt

3
1t x  hoặc


3
1
1
3
0
1
1
3
1
d x
I
x





Tính
2
I phân tích
 
1 1
1 2 1
2 2
x x    (kĩ thuật nhảy tầng lầu)
Ta có

1 1 1
2
2 2 2
0 0 0
1 1 2 1 1
2 21 1
1 3
2 4
x x dx
I dx dx
x x x x
x
 
  
   
 
 
 
 
  

Cách 2: Đồng nhất thức
Xét
 
  
2
3 2
1
1 1 1
1

1 1
A Bx C
A x x Bx C x
x
x x x

        

  

Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số giải hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là
1 2 1
1 ; 0 ; 1
3 3 3
x A x C x B           …Bạn tự giải tiếp nhé
Kết quả ta được
1
ln2
3
3 3
I

 

Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
 
 


     

1 1 1
3
22
0 0 0
1
1
1 1
1 1 3 1 3
dx dx d x
I
x
x x x
x x x

  

 
  
    
 
  

Đặt
1
x t dx dt
   

Đổi cận
0 1
1 2

x t
x t
 
 

 
 
 

 




 
2 2 2 2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
dt 1 3 3 3 1 dt 3
dt
3 3
3 3
3 3 3 3
t t t t t
dt
t
t t
t t t t t t

 
    
   
 
 
   
 
   





2 2 2
2
2 2
1 1 1
2
2
1 dt 1 3 3 3 dt
3
3 2 2
3 3
3
2
4
2
1 1 2 3 1
ln 3arctan ln 2
13 2 3

3 3
3 3 3
d t t
t
t t
t
t t
t t

 
 
  
 
 
 
 
 
 
 

   
 
 
 
  

Bài 15: Tính tích phân bất định:
 
4 3
50

3 5 7 8
2
x x x
I dx
x
  



.
Giải :
Cách 1: Biến đổi số
Đặt
2
2
x t
x t
dx dt
 

  




Khi đó
 
     
4 3
4 3

50 50
3 2 5 2 7 2 8
3 5 7 8
2
t t t
x x x
I dx dt
t
x
     
  
 

 

Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


11
Phân tích
       
4 3 2
4 3
3 5 7 8 2 2 2 2
x x x a x b x c x d x e

            … đồng nhất để tìm a, b, c, d, e
…
Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo)
Đặt


4 3
4
3 5 7 8P x x x x   
Áp dụng khai triển taylor ta có
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 4
2 3 4
4 4 4 4
4 4
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1! 2! 3! 4!
P P P P

P x P x x x x
 
   
         
         
2 3 4
4
66 149 2 48 2 29 2 3 2P x x x x x         
       
 
         
         
2 3 4
50
50 49 48 47 46
49 48 47 46 45
66 149 2 48 2 29 2 3 2
2
66 2 149 2 48 2 29 2 3 2
66 149 48 29 3
49 2 48 2 47 2 46 2 45 2
x x x x
I dx
x
x x x
x x dx
C
x x x x x
    
       

 

 
         
 

     
    



Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau:
1 5
22
4 2
1
1
1
x
I dx
x x



 


Giải:
Ta có
1 5 1 5 1 5

2
2 2 2
2
2
4 2 2
2
1 1 1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
dx dx dx
x x
x
x
x
x
  
 



 

 
 
 
 
 
 
 
 
  

Đặt
2
1 1
1t x dt dx
x x
 
    
 
 
.
Đổi cận
1
0
1 5
1
2
x

t
t
x






 







Khi đó
1
2
0
1
dt
I
t



. Đặt



2
tan 1 tant u dt u du    .
Đổi cận
0
0
1
4
u
t
t
u







 






Khi đó
1
2
4 4

2 2
0 0 0
1 tan
.
4
4
1 1 tan
0
dt u
I du du u
t u
 



    
 
  

Cách khác:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


12
Ta có thể gộp hai lần đặt là
 

2
2
1 1
tan 1 1 tan
x u dx u du
x x
 
     
 
 
… bạn đọc tự giải
Bài 17: Tính tích phân: I
2
2
4
1
1
1
x
dx
x





Giải:
Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho
2
0x  ta được

Biến đổi
2 2
2 2
2
2
1 1
2
1 1
1 1
1
1
2
x x
I dx dx
x
x
x
x
 
 
 

 
 
 
 

Đặt
2
1 1

1u x du dx
x x
 
    
 
 

Khi đó I
5
2
2
2
1 2
ln
2
2 2 2
du u
u
u

 



5/2
2
1 (5 2 2)(2 2)
ln
2 2 6 2
 




Cách 2: Phân tích






2
4 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1x x x x x x x        
và sử dụng đồng nhất thức
2
4
2 2
1
1
2 1 2 1
x Ax B Cx D
x
x x x x
  
 

   
… đồng nhất hệ số tìm A, B, C và D nhưng cách này dài và rất phức tạp
nên không đưa ra
Nhận xét:

- Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành tích
phân đơn giản hơn
- Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai


2
1P x x  còn mẫu là một đa thức
bậc 4:


4 3 2
Q x ax bx cx dx e     sao cho hệ số
1a e 

- Tích phân trên đưa về dạng
2
1 1
1I f x dx
x x
  
 
  
  


đặt
2
1 1
1t x dt dx
x x

 
   
 
 

Tương tự ta có thể giải bài toán này
1. Tính tích phân sau I
2
2
4
1
1
1
x
dx
x





2 2
2 2
2
2
1 1
2
1 1
1 1
1

1
2
x x
I dx dx
x
x
x
x
 
 
 

 
 
 
 
. Đặt
2
1 1
1u x du dx
x x
 
    
 
 

2. (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


13
  
2 2
2
2 2
1 1 5 1
ln
8
3 1
5 1 3 1
x x x
I dx C
x x
x x x x
  
   
 
   


Bài 18: Tính tích phân sau:
 
1
4
3 4
0

1I x x dx 


Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt
4 3 3
1 4
4
dt
t x dt x dx x dx     
Đổi cận
1 2
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
 
1 2
4
3 4 4 5
0 1
2

1 1 31
1 .
14 20 20
I x x dx t dt t
 
    
 
 
 

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt
4 3
4
dt
t x x dx  
Đổi cận
1 1
0 0
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
 

 
1 1
5
4
2 3 4 2 3 4
0 0
1
1 1 1 31
1 1 4 6 4 2 2
04 4 4 5 20
t
I t dt t t t t dt t t t t
 
            
 
 
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân
     


5
4
1 1
4 4
3 4 4 4
0 0
1
1

1 1 31
1 1 1 .
04 4 5 20
x
I x x dx x d x

      
 

Cách 4: Sử dụng phương pháp phân tích
Phân tích






4
3 4 3 16 12 8 4 19 15 11 7 3
1 4 6 4 1 4 6 4
x x x x x x x x x x x x
          
Khi đó
   
1 1
20 16 12 8 4
4
3 4 19 15 11 7 3
0 0
1

31
1 4 6 4
020 4 2 2 4 20
x x x x x
I x x dx x x x x x dx
 
            
 
 
 

Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo
tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất
Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau:
 
1
6
5 3
0
1
1
168
I x x dx  


Giải:
Ta có
   
1 1
6 6

5 3 3 3 2
0 0
1 1I x x dx x x x dx   
 

Cách 1: Đổi biến số
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


14
Đặt
2
3
3
1
3
1
dt
x dx
t x
x t

 

  



 


Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

   
 
0 1 1
7 8
6 6 6 7
1 0 0
1 1 1 1 1
1 1
3 3 3 3 7 8 168
t t
I t t dt t t dt t t dt
 
         
 

 
  

Cách 2: Đưa vào biểu thức vi phân
         
       
   
1 1 1 1
6 6 6 7
5 3 2 3 3 2 3 2 3
0 0 0 0
7 8
3 3
1 1
6 7
3 3 3 3
0 0
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 . .
0 0
3 3 7 3 8 168
I x x dx x x x dx x x dx x x dx
x x
x d x x d x
 
         
 

 
          
   
 

Cách 3: Khai triển


6
3
1
x
 thành tổng các đa thức


6
5 3
1
x x
  cách này không khó nhưng khai triển phức
tạp… chỉ tham khảo thôi
Chú ý: Nếu ta đặt
3
t x cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo
Bài 20: Tính tích phân sau
 
2
2
0
1I x x dx 



Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích
Ta có
 


2
2 3 2
1 2 1 2
x x x x x x x x
      
Khi đó
 
2
4 3 2
3 2
0
2
2 34
2
04 3 2 3
x x x
I x x x dx
 
      
 
 


Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Ta có
         
2 2 3 2
1 1 1 1 1 1x x x x x x         
 

Khi đó
           
 
 
4 3
2 2 2 2
3 2 3 2
0 0 0 0
1 1
34
1 1 1 1 1 1
4 3 3
x x
I x dx x dx x d x x d x
 
            
   

Cách 3: Đổi biến số
Đặt
1
1

x t
t x
dx dt
 

  




Đổi cận
2 3
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
 
 
3 3
4 3
2 3 2
1 1
3

34
1
14 3 3
t t
I t t dt t t dt
 
      
 
 
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


15
Đặt
 


2
2
2 1
1
2
du x dx

u x
x
dv xdx v
  

 
 

 
 





Khi đó
   
 
2 2
2 4 3
2
2 3
0 0
2 2
34
1 1 6 6
0 02 4 3 3
x x x
I x x x dx x x dx


 
          
 
 
 

Bài 21: Tính tích phân sau:
 
0
9
2
1
1I x x dx

 


Giải:
Cách 1: Biến đổi số
Đặt
1t x dt dx   

Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
  
 


 
 
 

Khi đó
   
   
0 1 1 1
9 2
2 9 2 9 11 10 9
1 0 0 0
12 11 10
1 1 2 1 2
1
1 2 1 1
2
0
12 11 10 12 11 10 660
I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t

         
 
      
 
 
   

Cách 2: Phương pháp phân tích
Phân tích

   
2
2
1 2 1 1x x x    
Khi đó
             
     
0 0 0
9 2 9 11 10 9
2
1 1 1
12 11 10
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
1 1 1
0
1
2
1
12 11 10 660
I x x dx x x x dx x x x dx
x x x
  
   
             
   
 
  
    

 

 
  

Hoặc phân tích
2
x
theo


1x  như sau
 


     
 
       
9 9 9 11 10 9
2 2
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1x x x x x x x x x x
 
                 
 
 

Nhận xét:
- Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển
 
9
1x  hay phương pháp tích phân từng
phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của



1x  là lớn
Bài 22: Tính tích phân:
1
2 10
0
(1 3 )(1 2 3 )I x x x dx   


Giải:
Cách 1: Đổi biến số
Đặt
2
1 2 3 (2 6 ) 2(1 3 ) (1 3 )
2
dt
t x x dt x dx dt x dx x dx           
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


16
Đổi cận:
0 1
1 6
x t

x t
 
 

 
 
 
.
10 11 11 11 11
6 6
10
1 1
6
6 1 6
1
1
2 2 22 22 22 22
dt t t
I t dt      
 

Cách 2: Đưa vào vi phân
 
     
   
 
1
1
10 10 '
2 2 2

0
0
11
2
1
11
10
2 2
0
1
1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2
1 2 3
1
1 6
1 2 3 1 2 3 1
0
2 22 22
I x x x dx x x x x dx
x x
x x d x x
        
 
       
 



Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (ĐHV – D 2000) Tính tích phân sau:
2
3
2
0
3
2 1
x
I dx
x x

 


Đs:
9ln3 8I  

Bài 2: Tính tích phân sau:
  
2
2
2 2
1
1
3 1 1
x
I dx
x x x x



   


HD:
Chia cả tử và mẫu cho
2
x
ta được
2
2
1
1
1
1 1
3 1
x
I dx
x x
x x


  
   
  
  


Cách 1: Biến đổi số đặt
2
1 1

1t x dt dx
x x
 
    
 
 

Cách 2: Biến đổi vi phân
2 2
2
1 1
1
1
1
2
1 1 1
ln 1 ln 3
1 1 1 1
1
2
3 1 3 1
1 7
ln
2 10
d x
x
x
I dx dx x x
x x
x x x x

x x x x
 


 
 
   
 
       
   
 
     
   
 
       
     
     

 

Cách 3: Đồng nhất thức
Bài 3: Tính tích phân sau:
1
5
2
0
.
1
x
I dx

x




HD:
Đồng nhất thức:
5 3 2 2
( 1) ( 1)x x x x x x    

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


17
1
1
3 4 2 2
2
0
0
1 1 1 1 1
ln( 1)] ln2 .
4 2 2 2 4
1
x
I x x dx x x x

x
   
         
 
 
 

 


Hoặc chia tử cho mẫu để tách thành tổng các tính phân đơn giản Hoặc đặt
tan
x t


Bài 4: (ĐHKT – 1994) Tính tích phân sau:
 
1
3
0
1 2
x
I dx
x




HD:
Phân tích

 
     
3 2 3
1 1 1 1
1 2 1
2 2
1 2 1 2 1 2
x
x x
x x x
 
     
 
  
 
 
ta được
1
18
I 
Hoặc đặt
1 2t x 
Hoặc tích phân từng phần
Bài 10: Tính tích phân:
 
1
2
4 2
1
2

3 21 13
ln 2 ln3
4 4
3 2
x
I dx
x x x

   
 


HD:
Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho x rồi đặt
2
t x
Cách 2: Phân tích mẫu






4 2 2 2
3 2 1 2x x x x x x     và sử dụng đồng nhất thức
Bài 5: Tính tích phân:
  
1
2 2
0

2 5 1 5
ln
2 4
3 2 7 12
x
I dx
x x x x

 
   


HD:
Phân tích

















2 2 2 2
3 2 7 12 1 2 3 4 5 4 5 6x x x x x x x x x x x x             
Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức khi mẫu số là 4 nghiệm đơn
Cách 2: Sử dụng đổi biến số đặt
2
5t x x 
Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích
 
   
2 2
1
2 5 2 5 5 6 5 4
2
x x x x x x
 
       
 

Bài 6: Tính tích phân:
1
2
4 3 2
1
2
2 3
442 5 4 4
x
I dx
x x x x


  
   


HD:
Phân tích


2
4 3 2 2
2 5 4 4 2x x x x x x      
Cách 1: Đồng nhất thức
Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho
2
x
và đặt
2
t x
x
  Hoặc đưa vào vi phân
Bài 7: Tính tích phân sau:
 
0
2
3
2
1 1
x dx
I
x





HD:
Cách 1: Đặt
tan
x t


Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


18
Đặt
 
3
2
1
u x
xdx
dv
x










Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn gián
Phân tích


2 2
1 1x x  
Khi đó
     
0 0 0
2
3 2 3
2 2 2
1 1 11 1 1
x dx dx dx
I
x x x  
  
  
  



II. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính tích phân:
7
3
3
0
1
3 1
x
I dx
x





Giải:
Cách 1: Biến đối số
Đặt
3
3
2
1
3 1
3
u
x
u x

dx u du




  





Đổi cận
7
2
3
1
0
u
x
u
x






 







Khi đó
   
3
2 2
5
2 3 4 2
1 1
1
1
2
1 1 1 46
3
2 2
13 3 3 5 15
u
u
I u du u udu u u du u
u


 
       
 
 
  

Cách 2: Biến đối số
Đặt
1
3
3 1
3
u
x
u x
du
dx





  






Đổi cận
7
8
3
1
0
u

x
u
x






 






www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


19
Khi đó
5
2 1 2
8 8 8
3
3 3 3

1 1
1 1 1
3 3
1
1
8
1 1 2 1 1 3 46
3
2 3
1
3 9 9 9 5 15
u
u u
I du du u u du u
u u


 

 

 
      
 
 
   
 
  

Cách 3: Đưa vào vi phân

Phân tích
 
1 2
1 3 1
3 3
x x   
Khi đó
 
       
   
7 7 7 7 7
3 3 3 3 3
2 1
3 3
3 3 3
0 0 0 0 0
5 2
3 3
1 2
3 1
1 3 1 2 1 2
3 3
3 1 3 1 3 1 3 1
3 3 9 9
3 1 3 1 3 1
7 7
1 1 46
3 1 3 1
3 3
15 3 15

0 0
x
x dx
I dx dx x d x x d x
x x x
x x

 

        
  
    
    

Cách 4: Tính phân từng phần
Đặt
 
2
3
3
1
1
1
3 1
3 1 2
u x
du dx
dv dx
v x
x

 
 

 

 

 
 
 


Khi đó
  
 
      
7 7
2
3 3
2 2 1
3
3 3 3
3
0 0
7
3 1
1 1 1 1
1 3 1 1 3 1 3 1 3 1
3
2 2 2 6

3 1
0
x
I x x dx x x x d x
x

         

 
bạn đọc tự giải
Bài 2: Tính tích phân:
1
3
2
1
0
1
x
I dx
x

 



HD:
C1: Đặt
tan
x t


C2: Phân tích


3 2
1
x x x x
  
C3: Đặt
2
2
1
u x
x
dv dx
x









C4: Đặt
x t
 

C5: Phân tích





3 2 2 2
1 1 1x dx x xdx x d x
 
    
 

Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân sau:
2
2
2
1
dx
I
x x




Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

20
Đặt
2
1 sin
cos
cos
tdt
x dx
t
t
   với
0;
2
t

 

 
 
hoặc
t
x
sin
1

Đổi cận
2
3

2
4
t
x
x
t







 

 








Khi đó
3 3 3
2
2
4 4 4
2

sin
sin
3
cos
sin 12
1 cos
4
cos
t
t
t
I dt dt dt t
t
t
t
  
  



    

  
(vì ; sin 0
4 3
t t
 
 
  
 

 
)
Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Nhân cả tử và mẫu cho x ta được
2 2
2 2 2
2 2
1 1
dx xdx
I
x x x x
 
 
 

Đặt
2 2
2
1
1
x t
x t
xdx tdt

 
  




Đổi cận
2
3
2 1
x
t
x t

 

 

 
 
 
 

Khi đó
 
3 3
2
2
1 1
1
1
tdt dt
I
t
t t
 



 
. Đặt
 
2
2
1
tan tan 1
cos
t u dt du u du
u
    
Đổi cận
3
3
1
4
u
t
t
u







 


 








Khi đó
2
4 4
2
3 3
tan 1
4
12
tan 1
3
u
I du du u
u
 
 




   


 

Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2
2
1
1
1
2
x t
x t
xdx dt

 

  




… tương tự như cách 2
Cách 4: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2
1 1 dx
x t dt
t x
x

     
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


21
Đổi cận
1
2
2
1
2
2
t
x
x
t





 

 









Khi đó
1
1
2
2
2 2
1 1
2
2
1 1
dt dt
I
t t
  
 
 
. Đặt
sin cost x dt xdx  

Khi đó
4 4
2
6 6
cos

4
4 6 12
1 sin
6
u
I dx du u
u
 
 

  

     

 

Cách 5: Phân tích


2 2
1 1
x x
 
   
 

Khi đó
1 2
2 2 2
2

2 2
2 2 2
1
1 1
I I
dx x x
I dx dx
x
x x x

   
 
  
 
… bạn đọc tự giải
Bài 3: (ĐH – A 2003) Tính tích phân:
2 3
2
5
4
dx
I
x x




Giải:

Cách 1: Phương pháp biến đổi số

Đặt
2 2
2
4
4
x t
t x
xdx tdt

 
  




Đổi cận
2 3 4
3
5
x t
t
x

 



 







Khi đó
4 4 4
2
3 3 3
4
1 1 2 1 5
ln ln
34 2 2 4 2 4 3
4
dt dt dt t
I
t t t
t
 

    
 
  

 
  

Cách 2: Phương pháp biến đổi số

Đặt
2

1 1

x dx dt
t
t
   
Khi đó
1/2 3 1/2 3
2
2 2
1/ 5 1/ 5
1/ 2 3
1 (2 ) 1 1 5
ln 2 4 1 ln
2 2 4 3
1/ 5
4 1 (2 ) 1
dt d t
I t t
t t
       
 
 
.
Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt


2
2tan 2 1 tan

x t dx t dt
    với 0 t
2

  và
2
2
4x
cost
  .
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


22
Đổi cận:
2 3
3
5
5
tan
2
t
x
x








 

 







.
Khi đó:
3
1 1 5
ln tan ln
3
2 sin 2 4 3
dt t
I
t




  


(trong đó
1 cos 1
tan
2 1 cos 5
 


 

)
Bài 4: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau:
1
3 2
0
1I x x dx 


Giải:
Phân tích
1 1
3 2 2 2
0 0
1 1 .I x x dx x x xdx   
 

Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2 2
2

1
1
x t
t x
xdx tdt

 
  

 


Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
     
1
0 1 1
2 2 2 2 2 4 3 5
1 0 0

0
1 1 2
1 1
3 5 15
I t t dt t t dt t t dt t t
 
         
 
 
  

Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2
2
1
1
2
x t
t x
dt
xdx

 

  

 



Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
   
1
1 1 1 3 3 30 1 1
2 2 2 2 2 2
1 0 0
0
1 1 1 1 2 2 2
1 1
2 2 2 2 3 3 15
I t t dt t t dt t t dt t t
   
         
   
   
  

Cách 3: Đặt
2
2
dt
t x xdx   … tự giải
Cách 4: Lượng giác hóa
Đặt
cos sin
x t dx tdt
   

Khi đó
 
2 2
2 3 2 2
0 0
sin cos sin 1 sin cosI t tdt t t tdt
 
  
 

Cách 4.1.
Đặt
sin cost u tdt du  

Khi đó
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

DĐ: 01694 013 498


23
 
1
3 5
2 2 2 4
0
(1 )
3 5
u u
I u u du u u du
 
     
 
 
 

Cách 4.2.
 
 
 
 
3 5
2 2
2 2 2 4
0 0
sin sin 2
sin 1 sin sin sin sin sin

2
3 5 15
0
t t
I t t d t t t d t
 

 
      
 
 
 
.
Cách 4.3.
2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 1 1 cos4 1 1
sin 2 cos cos cos cos4 cos
4 4 2 8 8
t
I t tdt tdt tdt t tdt
   

    
   
….
Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

     

     
1 1
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
3
2 2 2 2
2
0 0
1 1
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1
1 1 1 1
2 2
I x x d x x x d x
x d x x d x
        
     
 
 
….bạn đọc tự giải
Cách 6: Phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 
2
2
2
2
3

2
1
1
1
3
du xdx
u x
v x
dv x x




 

 
 
 





Khi đó
       
1 1
2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 3
0 0

1
1 2 1
. 1 1 1 1
03 3 3
I x x x x dx x d x       
 
bạn đọc giải tiếp
Bài 5: (ĐH – A 2004) Tính tích phân:
2
1
1 1
x
I dx
x

 


Giải:
Cách 1:
Đặt
2 2
1 1 1 2t x t x x t dx tdt         
Đổi cận
2 1
1 0
x t
x t
 
 


 
 
 

Khi đó

1 1 1
2 3
2
0 0 0
1
3 2
0
1 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1 11
2 2 2ln 1 2 2 2ln 2 4ln2
3 2 3 2 3
t t t
I tdt dt t t dt
t t t
t t
t t
 
 
     
 
  

 
 
 
          
 
 
 
 
  

Cách 2:


 
2
2 1
1 1
1 1
dx t dt
t x
x t
 

   

  



www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


24
Đổi cận
2 2
1 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
   
2
2 2 2
3 2
2
1 1 1
1 1 1
3 4 1 1
2 . 2 . 2 3 4 .
t t

t t t
I dt dt t t dt
t t t
 
  
  
 
 
     
 
 
  

3 2
2
5
2 3 4 ln | | 2ln 2
13 2 3
t t
t t
 
     
 
 

Tổng quát:
( )
b
a
p x

dx
ax b c 

với


p x là một đa thức chứa x, m, n, c là các hằng số ta đặt t ax b c   hoặc
t ax b 
Bài 6: Tính tích phân sau:
3
2
8 3
2 4
x
I dx
x





Giải:
Cách 1: Dựa vào đạo hàm
Đặt
 
8 3
2 4
x
f x
x




. Ta biến đổi


f x về dạng
   


'
'
8 3 1
4 4 4
2 4 2 4
x
f x x x x x x
x x
 
       
 

Xét hàm số


4F x x x  vì
   


 

'
'
'
4 4F x x x x x f x    
Vậy


4F x x x C   là một họ nguyên hàm của hàm số đã cho
Khi đó
 
3
2
3 3
8 3
4 3
2 2
2 4
x
I dx F x x x
x

    



Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số
Đặt
2
4
4

2
x t
t x
dx tdt

 
  

 


Đổi cận
1
3
2
2
t
x
x
t






 







Khi đó


   
2
1 2
2 3
1
2
8 3 4
2
3 4 4 3
1
t
I tdt t dt t t
t
 
      
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số
Đặt
4t x 
…bạn đọc tự giải
Cách 4: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
8 3

3
2 4
4
u x
du dx
dx
dv
v x
x
 

 

 

 

  






www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

25
Khi đó
 
3
2
3
2 8 3 4 6 4 3
2
I x x xdx      


Bài 7: Tính tích phân sau: I 
x dx
x x x x
x dx
x x
2
2 2
2
2 2
4 2 2 2 3 1 3 1( ) [ ( ) ] ( )   

   

.
Giải:
Cách 1:
Đặt
2 2

3sin
1 3 cos
3cos 2 3 cos 1
dx tdt
x t
x t t

 

  

  



Khi đó I =
  

  





3 3 2 3 1
3 3 3
1
2 3
3 3
2

3 3
2
2
2 2
sin ( cos cos )
( cos ) sin
(
cos
cos cos
)
t t t dt
t t
t
t t
dt
.
Cách 2:
I =
dx
x x
x dx
x x2 2
2 4
3 1 3 1
2 2 2
 


   


( )
[ ( ) ] ( )
1 2
I I 
Tính
2
I 
( )
[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
2 4
3 1 3 1
2
3 3
2
3 3
2 2 2 2 2 2
x dx
x x
tdt
t t
dt
t t

   

 

 

1 2

J J 
Tính
1
J bằng cách đặt
2
3 t u  , tính
2
J bằng cách đặt


2
3 3t u t  


Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (ĐHĐN- 1997) Tính tích phân:
7
2
1
2 4ln 2 2ln3
2 1
I dx
x
   
 


HD: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt

2 1t x   Hoặc 2t x 
Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính tích phân:
 
2
3
3
0
1 1
28 3 4
10
3 2
x
I
x

  



Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân:
7
3
0
2 231
10
1
x
I
x


 



Bài 14: (DBĐH 1 – A 2008) Tính tích phân:
3
3
1
2
12
5
2 2
x
I dx
x

 



Bài 15: (DBĐH 1 – A 2007) Tính tích phân:
4
0
2 1
2 ln 2
1 2 1
x
I dx
x


  
 


Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân:
3
1
3
3 1 3
x
I dx
x x



  




www.MATHVN.com
www.MATHVN.com