Các bài toán về tiếp tuyến và tương giao THPT DTNT vĩnh phúc file word có lời giải chi tiết image marked

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT DTNT TỈNH VĨNH PHÚC

CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI THPT QUỐC GIA

Tên chuyên đề:
CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO
Môn:

Toán

Họ và tên: Đặng Thị Kim Chung
Chức vụ:

Tổ trưởng tổ Toán-Lý -Tin

Đơn vị:

Trường THPT DTNT tỉnh Vĩnh Phúc

Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Khảo sát hàm số là một phần quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học
hàng năm, nay hợp nhất thành kì thi THPT quốc gia, bài toán về tiếp tuyến và tương giao là các
chủ đề liên quan đến khảo sát hàm số cơ bản khá điển hình.
Trong quá trình dạy học ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều

năm tại trường, tôi nhận thấy học sinh trường tôi còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết các bài
toán về tiếp tuyến và tương giao. Học sinh chỉ giải quyết được các bài tập cơ bản. Các bài tập ở
mức độ vận dụng hoặc nâng cao đều không định hướng được phương pháp giải. Do đó cần đưa ra
cho học sinh phương pháp chung và các ví dụ cụ thể minh họa để học sinh có thể vận dụng một
cách linh hoạt và thông minh. Vì vậy, tôi viết chuyên đề: " Các bài toán về tiếp tuyến và tương
giao" để hệ thống cho các em các dạng toán cơ bản và phương pháp của các bài toán này.
2. Mục đích của đề tài.
Chuyên đề giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan hơn, nắm được các dạng bài toán và
phương pháp giải về tiếp tuyến và tương giao đồng thời rèn luyện được các kỹ năng cho học sinh
giải các dạng toán này một cách tốt hơn.
Mặt khác, chuyên đề cũng là tài liệu để các thầy cô giáo có thể tham khảo và áp dụng cho
đối tượng học sinh lớp 12.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu về các bài toán về tiếp tuyến và tương giao với các phương pháp giải bài tập vận
dụng để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vận dụng
một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trong cuộc sống.
Trong khuôn khổ thời gian có hạn, tôi chỉ áp dụng đối với học sinh lớp 12a1 trường THPT DTNT
Vĩnh Phúc trong năm học 2016-2017.
4. Thời gian triển khai chuyên đề:
- Thực hiện dạy chuyên đề cho học sinh trong thời gian 10 tiết.

Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


B. PHẦN NỘI DUNG

1. Chủ đề 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
1.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm M( x0 , y0 )  (C ) : y = f ( x)
1.1.1. Cách giải: * Tính y ' = f ' ( x) ; tính k = f ' ( x0 ) (hệ số góc của tiếp tuyến)

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình

y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) với y0 = f ( x0 )
1.1.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
a) Tại điểm A (-1; 7).
b) Tại điểm có hoành độ x = 2.
c) Tại điểm có tung độ y =5.
Giải:
a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) có dạng: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )
Ta có y ' = 3 x 2 − 3  y '(−1) = 0 .
Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: y − 7 = 0 hay y = 7.
b) Từ x = 2  y = 7 .
y’(2) = 9. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:

y − 7 = 9( x − 2)  y − 7 = 9x −18  y = 9 x −11
x = 0

c) Ta có: y = 5  x3 − 3x + 5 = 5  x3 − 3x = 0   x = − 3
x = 3

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5).
Ta có y’(0) = -3.
Do đó phương trình tiếp tuyến là: y − 5 = −3( x − 0) hay y = -3x +5.

Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (− 3;5) .

y '(− 3) = 3(− 3)2 − 3 = 6
Do đó phương trình tiếp tuyến là: y − 5 = 6( x + 3) hay y = 6 x + 6 3 + 5 .
+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại (− 3;5) là: y = 6 x − 6 3 + 5 .
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 2 x − 4 .
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0.
Giải:
Ta có y ' = 3 x 2 − 4 x + 2 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình:

y − y0 = y '( x0 )( x − x0 )  y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0

(1)

a) Khi M = (C) Ox thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:

x3 − 2x2 + 2x − 4 = 0  x = 2 ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình
tiếp tuyến: y = 6( x − 2)
b) Khi M = (C) Oy thì x0 = 0  y0 = y(0) = −4 và y '( x0 ) = y '(0) = 2 , thay các giá trị đã
biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y = 2 x − 4 .

c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4.
y” = 0  6 x − 4 = 0  x =

2
88
2 2
2
= x0  y0 = y   = −

; y '( x0 ) = y '   =
3
27
3 3
3

Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y =
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y =

2
100
x−
3
27

x+2
tại các giao điểm của (C) với
x −1

đường thẳng (d): y = 3x − 2 .
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x+2
= 3x − 2  x + 2 = (3x − 2)( x − 1) (x = 1 không phải là nghiệm phương trình)
x −1

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


 3x2 − 6 x = 0  x = 0 ( y = −2)  x = 2 ( y = 4)

Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4)
+ Ta có: y ' =

−3
.
( x − 1)2

+ Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y = −3 x − 2
+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y = −3 x + 10
Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y = −3 x − 2 và y = −3 x + 10 .
* Nhận xét:
- Trong ví dụ 1: Phần a) là dạng toán cơ bản cho trước tiếp điểm, còn phần b) và c) cho một
trong các yếu tố của tiếp điểm (hoành độ hoặc tiếp điểm) và cần tìm thêm các yếu tố còn lại.
- Trong ví dụ 2, 3: Mức độ cao hơn, tiếp điểm được ẩn qua các giả thiết khác (giao điểm, hay
là nghiệm của PT) và chúng ta phải tìm các yếu tố của tiếp điểm.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 − 3x + 1 (C ) và điểm A( x0 , y0 )  (C), tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A. tìm hoành độ điểm B theo x0
Lời giải:
Vì điểm A( x0 , y0 )  (C)  y0 = x03 − 3x0 + 1 , y' = 3x2 − 3  y' ( x0 ) = 3x02 − 3
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng:

y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0  y = (3x02 − 3)( x − x0 ) + x03 − 3x0 + 1
 y = (3x02 − 3)( x − x0 ) − 2 x03 + 1 (d )
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x3 − 3x + 1 = (3 x02 − 3)( x − x0 ) − 2 x03 + 1  x 3 − 3x02 x + 2 x03 = 0  ( x − x0 ) 2 ( x + 2 x0 ) = 0
( x − x0 ) 2 = 0
 x = x0


( x0  0)

x
=
−
2
x
x
+
2
x
=
0
0

0


Vậy điểm B có hoành độ xB = −2 x0

Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


1
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại
3

điể m có hoành độ x0 thỏa mãn y '' ( x0 ) = 0 và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc
nhỏ nhất.
Giải
Ta có y ' = x 2 − 4 x + 3  y '' = 2 x − 4

2
y ''( x0 ) = 0  2 x0 − 4 = 0  x0 = 2  M (2; )
3

Khi đó tiếp tuyến tại M có hệ số góc k0 = y ' ( x0 ) = y ' (2) = −1
 2
Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M  2;  có phương trình y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )
 3

suy ra y −

8
2
= −1( x − 2 ) hay y = − x +
3
3

Tiếp tuyến d có hệ số góc k0 = -1
Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc

k = y ' ( x) = x2 − 4 x + 3 = ( x − 2 ) − 1  −1 = k0
2

 2
Dấ u “=” xảy ra  x = 1 nên tọa độ tiếp điể m trùng với M  2; 
 3
 2
Vậy tiếp tuyến d của (C) tại điểm M  2;  có hệ số góc nhỏ nhất.
 3

Nhận xét: Trong ví dụ 4 và 5, các tiếp điểm đã được khái quát hơn qua hoành độ x0, cần hướng
dẫn học sinh viết PTTT dạng tổng quát để đạt được mục đích của bài toán.
1
m
1
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x 3 − x 2 + (Cm). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ
3
2
3

bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0
Giải
Ta có y ' = x 2 − mx
Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng d

Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


trước hết ta cần có y ' (−1) = 5  m + 1 = 5  m = 4
Khi m = 4 ta có hàm số y =

1 3
1
x − 2 x 2 + ta có x0 = −1 thì y0 = −2
3
3

Phương trình tiếp tuyến có dạng y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0  y = 5( x + 1) − 2  y = 5x + 3
Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d

Vậy m = 4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + m (1).
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại
các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

3
.
2

Giải
Với x0 = 1  y0 = m − 2  M(1 ; m – 2)
- Tiếp tuyến tại M là d: y = (3x02 − 6 x0 )( x − x0 ) + m − 2

 d: y = -3x + m + 2.
- d cắt trục Ox tại A: 0 = −3x A + m + 2  x A =

m+2

3

m+2 
A
; 0
 3


- d cắt trục Oy tại B: yB = m + 2  B(0 ; m + 2)
- SOAB =

3

1
3
m+2
 | OA || OB |= | OA || OB |= 3 
m + 2 = 3  (m + 2) 2 = 9
2
2
2
3
m + 2 = 3
m = 1


 m + 2 = −3
 m = −5

Vậy m = 1 và m = - 5.
Nhận xét: Phan tích và hướng dẫn học sinh xác định rõ cách giải quyết bài toán: Phải tìm được
tọa độ các điểm A va B
1.2. Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) (C) khi biết trước hệ số góc của nó
1.2.1. Cách giải:
+ Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 ) = k  x = x0 , y0 = f ( x0 )
+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: y = k ( x − x0 ) + y0

Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


Lưu ý: Các dạng biểu diễn hệ số góc k:
*) Cho trực tiếp:

Ví dụ: k = 5; k = 1; k =  3; k = 

3
...
7

*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.
*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b  ka = −1  k =

−1
.
a

2  

*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc  , với   150 ;300 ;450 ; ; .... . Khi
3 3 


đó hệ số góc k = tan  .
*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b một góc  . Khi đó,

k −a
= tan  .
1 + ka

1.2.2. Các ví dụ:
Ví dụ 8: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc
của tiếp tuyến k = -3.
Giải:

Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điể m  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0
Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3x02 − 6 x0 = −3  x02 − 2 x0 + 1 = 0  x0 = 1
Vì x0 = 1  y0 = −2  M (1; −2) .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3( x − 1) − 2  y = −3x + 1
Ví dụ 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 (C). Biết tiếp tuyến đó
song song với đường thẳng y = 9x + 6.
Giải:
Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0
Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + +6  tiếp tuyến có hệ số góc k

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


 x0 = −1  M (−1; −3)
= 9  3 x02 − 6 x0 = 9  x02 − 2 x0 − 3 = 0  
 x0 = 3  M (3;1)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y = 9( x + 1) − 3  y = 9x + 6 (loại)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y = 9( x − 3) + 1  y = 9x − 26
Ví dụ 10: Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đường thẳng y =

−1
x.
9

Giải:

Ta có y ' = 3 x 2 − 3 . Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
y=

−1
x nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.
9

Do đó y ' = k  3x 2 − 3 = 9  x 2 = 4  x = 2.
+) Với x = 2  y = 4 . Pttt tại điểm có hoành độ x = 2 là:

y = 9( x − 2) + 4  y = 9x − 14.
+) Với x = −2  y = 0 . Pttt tại điểm có hoành độ x = - 2 là:

y = 9( x + 2) + 0  y = 9x + 18 .
Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đường thẳng y =

−1
x là:
9

y =9x - 14 và y = 9x + 18.
Ví dụ 11: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y =

1 4
x + 2 x 2 , biết tiếp
4

tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x + 5 y − 2010 = 0 .

Giải:

1
1
(d) có phương trình: y = − x + 402 nên (d) có hệ số góc là - .
5
5

1
Gọi  là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì − .k = −1  k = 5 ( do  ⊥ ( d )) .
5

Ta có: y ' = x 3 + 4 x nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: x3 + 4 x = 5

Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


 x3 + 4 x − 5 = 0  ( x − 1)( x 2 + x + 5) = 0  x − 1 = 0  x = 1  y =

9
4

 9
Vậy tiếp điểm M có tọa độ là M  1; 
 4

Tiếp tuyến có phương trình: y −

9
11
= 5( x − 1)  y = 5 x −

4
4

Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y = 5 x −
Ví dụ 12: Cho hàm số y =

11
.
4

x+2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến
2x + 3

tạo với trục hoành một góc bằng 450
Giải
Ta có: y ' =

−1
(2 x + 3) 2

Vì tiếp tuyến tạo với Ox một góc 450 nên hệ số góc là: k = 1
Khi đó gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 ) = 1


 x0 = −2
−1
= 1  
2
(2 x0 + 3)

 x0 = −1

Với x0 = −1 thì y0 = 1 lúc đó tiếp tuyến có dạng y = − x
Với x0 = −2 thì y0 = −4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y = − x − 2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = − x và y = − x − 2
Ví dụ 13: Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị (C).
x −1

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại
các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.
Giải
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 )  (C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA = 4OB .
Do OAB vuông tại O nên tan A =

OB 1
1
1
=  Hệ số góc của d bằng hoặc − .
OA 4
4
4

Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


3


x0 = −1 ( y0 = )

1
1
1
2
0−
=−  
Hệ số góc của d là y ( x0 ) = −
2
2
( x0 − 1)
( x0 − 1)
4
x = 3 ( y = 5)
0
 0
2
1
3
1
5


y
=
−
(
x

+
1)
+
y
=
−
x
+

4
2 
4
4
Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 
.

 y = − 1 ( x − 3) + 5
 y = − 1 x + 13


4
2
4
4

1.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điể m
Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm

A( ;  ) .
1.3.1. Cách giải:

+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: y − f ( x0 ) = f '( x0 )( x − x0 ) , (với x0 là hoành độ tiếp
điểm).
+ Tiếp tuyến qua A( ;  ) nên  − f ( x0 ) = f '( x0 )( − x0 ) (*)
+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.
1.3.2. Các ví dụ:
Ví dụ 14: Cho đồ thị (C): y = x3 − 3x + 1 , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
tuyến đi qua điểm A(-2; -1).
Giải:
Ta có: y ' = 3 x 2 − 3
Gọi M ( x0 ; x03 − 3x0 + 1) là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 ) = 3x02 − 3 .
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là  : y − ( x03 − 3x0 + 1) = (3x02 − 3)( x − x0 )

(

)

 qua A(-2;-1) nên ta có: −1 − x03 − 3x0 + 1 = (3x02 − 3)(−2 − x0 )  x03 + 3x02 − 4 = 0

 x0 = 1  y0 = −1
 ( x0 − 1)( x02 + 4 x0 + 4) = 0  
 x0 = −2  y0 = −1

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:  : y = −1;  : y = 9 x + 17

Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


1.4. Dạng 4. Các dạng bài tập khác về tiếp tuyến.
Ví dụ 15: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y = x3 − 3x + 2 sao cho tiếp

tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .
Giải:
Gọi A(a; a3 − 3a + 2) , B(b; b3 − 3b + 2) , a  b là hai điểm phân biệt trên (C).
Ta có: y ' = 3 x 2 − 3 nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:

y '(a) = 3a2 − 3 và y '(b) = 3b2 − 3 .
Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi:

y '(a) = y '(b)  3a2 − 3 = 3b2 − 3  (a − b)(a + b) = 0  a = −b (vì a  b  a − b  0)
2

AB = 4 2  AB 2 = 32  (a − b) 2 + (a3 − 3a + 2) − (b3 − 3b + 2)  = 32
2

2

 (a − b)2 + (a3 − b3 ) − 3(a − b)  = 32  (a − b) 2 + (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) − 3(a − b)  = 32
2

 (a − b)2 + (a − b) 2 (a 2 + ab + b 2 ) − 3 = 32 , thay a = -b ta được:
4b2 + 4b2 ( b2 − 3) = 32  b2 + b2 ( b2 − 3) − 8 = 0  b6 − 6b 4 + 10b 2 − 8 = 0
2

2

b = 2  a = −2
 (b 2 − 4)(b 4 − 2b 2 + 2) = 0  b 2 − 4 = 0  
b = −2  a = 2

-

Với a = −2 và b = 2  A(−2;0) , B(2;4)

-

Với a = 2 và b = −2  A(2;4) , B(−2;0)

Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (−2; 0) và (2; 4)
Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y =

2x −1
sao cho tiếp tuyến
x +1

của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 10 .
Giải:
Hàm số được viết lại: y = 2 −

3
x +1

Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


3  
3 

Gọi A  a;2 −
 , B  b;2 −

 là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
a +1 
b +1


Với điều kiện: a  b, a  −1, b  −1 .
Ta có: y ' =

y '(a) =

3
nên hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là:
( x + 1)2

3
3
và y '(b) =
2
(a + 1)
(b + 1) 2

Tiếp tuyến tại A và B song song khi: y '(a) = y '(b) 

3
3
=
2
(a + 1)
(b + 1) 2

a + 1 = b + 1
a = b


 a = −b − 2 (1) (do a  b )
 a + 1 = −b − 1  a = − b − 2
2

3 
 3
AB = 2 10  AB = 40  (a − b) + 
−
 = 40
 b +1 a +1
2

2

2

2

3 
 3
 6 
2
 (−2b − 2) + 
−
 = 40  4(b + 1) + 
 = 40 ( do thay a ở (1) )

 b + 1 −b − 1 
 b +1
2

(b + 1) 2 = 1
b + 1 = 1  b + 1 = −1
 (b + 1) − 10(b + 1) + 9 = 0  

b + 1 = 3  b + 1 = −3
2

(b + 1) = 9
4

2

b = 0  a = −2
b = −2  a = 0

 b = 2  a = −4

b = −4  a = 2
Cặp điểm A và B cần tìm có tọa độ là: (−2;5) và (0; −1) ; (2;1) và (−4;3)
Ví dụ 17: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số). Xác định m để (Cm) cắt
đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m) tại D và E
vuông góc với nhau.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là:
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1



x = 0
x(x2 + 3x + m) = 0   2
 x + 3x + m = 0

(2)

Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt:
 Phương trình (2) có 2 nghiệm xD, xE  0.


m  0
  = 9 − 4m  0


 2
4
0 + 3  0 + m  0
 m  9

Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
kD = y’(xD) = 3xD2 + 6 xD + m = −( xD + 2m);
kE = y’(xE) = 3xE2 + 6 xE + m = −( xE + 2m).
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kDkE = –1.


(3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1



9m + 6m  (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t).



4m2 – 9m + 1 = 0  m =

ĐS: m =

(

)

(

1
9
8

(

1
1
9 − 65 hay m = 9
8
8

65
65

)

)

Ví dụ 18: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y =

2x − 2
, biết rằng
x +1

khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải:
 2a − 2 
Gọi  là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M  a;
 , ( M  (C ) ) .
 a +1 

Ta có: y ' =

4
4
 y '(a) =
, ( a  −1)
2
( x + 1)
(a + 1) 2

Vậy  : y −

2a − 2
4
=
( x − a)  4 x − (a + 1) 2 y + 2a 2 − 4a − 2 = 0 (*)
2
a + 1 (a + 1)

d ( I;) =

4(−1) − (a + 1) 2 .2 + 2a 2 − 4a − 2
4 + (a + 1) 4

=

8 a +1
4 + (a + 1) 4

.

2

Ta có: 4 + (a + 1)4 = 22 + (a + 1)2   2.2(a + 1)2  4 + (a + 1)4  2.2(a + 1) 2 = 2 a + 1

Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải

 d ( I;) 

8 a +1
= 4 . Vậy d ( I ;  ) lớn nhất khi d ( I ;  ) = 4
2 a +1

a + 1 = 2
a = 1
 22 = (a + 1) 2  

. Cả hai giá trị đều thỏa mãn a  1
a
+
1
=
−
2
a
=
−
3



+ Với a = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4 x − 4 y − 4 = 0  x − y − 1 = 0
+ Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4 x − 4 y + 28 = 0  x − y + 7 = 0
Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x − y − 1 = 0 ; x − y − 7 = 0
Ví dụ 19: Cho (C) là đồ thị hàm số y =

x +1

. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết
2x + 1

tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn  OAB
vuông cân tại gốc tọa độ O.
Giải:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với các
đường thẳng y = x hoặc y = -x.
Ta có: y ' = −

1
1
0
nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là: y '( x0 ) = −
2
(2 x0 + 1) 2
(2 x + 1)

Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x
Do đó, −

1
1
= −1  (2 x0 + 1) 2 = 1 ; ( x0 = − không là nghiệm phương trình)
2
(2 x0 + 1)
2

 2 x0 + 1 = 1
 x0 = 0  y0 = 1



. Vậy có hai tiếp điểm là: M1 (0;1) , M 2 (−1;0) .
 2 x0 + 1 = −1  x0 = −1  y0 = 0

+ Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d
+ Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = − x + 1; y = − x − 1

Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


Ví dụ 20: Cho hàm số y =

x+3
.
x −1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Cho điểm M o ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C)
tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Giải
a) Tự làm
b) M o ( xo ; yo )  (C)  y0 = 1 +

4
.
x0 − 1

Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0: y − y0 = −

4
( x − x0 )
( x0 − 1) 2

Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A(2 x0 − 1;1), B(1;2 y0 − 1) .


x A + xB
y + yB
= x0 ; A
= y0  M0 là trung điểm AB.
2
2

Ví dụ 21: Cho hàm số: y =

x+2
(C)
x −1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam
giác có diện tích không đổi.
Giải
a) Tự làm
 a+2
b) Giả sử M  a;
  (C).

 a −1 
a+2
−3
a 2 + 4a − 2

x+
PTTT (d) của (C) tại M: y = y (a).( x − a) +
 y=
a −1
(a − 1) 2
(a − 1) 2

 a+5
Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A 1;
 , B(2a − 1;1) .
 a −1 
→
→
6 
6

IA =  0;
IB
= (2a − 2;0)  IB = 2 a − 1

;
IA
=

a −1

 a −1 

Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


Diện tích IAB : S IAB =

1
IA.IB = 6 (đvdt)  ĐPCM.
2

Ví dụ 22: Cho hàm số y =

2x − 3
.
x−2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại
A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại
tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Giải

 2x − 3 
−1
Giả sử M  x0 ; 0
 , x0  2 , y '( x0 ) =
2
x0 − 2 

( x0 − 2 )

- 1

Phương trình tiếp tuyến () với (C) tại M: y =

(x

0

(x - x 0 ) +
2

- 2)

2x 0 - 3
x0 - 2

 2x − 2 
Tọa độ giao điểm A, B của () với hai tiệm cận là: A  2; 0
 ; B ( 2 x0 − 2;2 )
x
−
2
0


Ta thấy

x A + xB 2 + 2 x0 − 2

y + yB 2 x0 − 3
=
= x0 = xM , A
=
= yM suy ra M là trung điểm của AB.
2
2
2
x0 − 2

Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
2

 2 x0 − 3
 


1
2
− 2   =  ( x0 − 2) 2 +
 2
S =  IM =  ( x0 − 2) + 
2
x
−
2
(
x
−
2)



0
 0
 


2

Dấu “=” xảy ra khi ( x0 − 2) 2 =

 x0 = 1
1

2
( x0 − 2)
 x0 = 3

Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3)

Ví dụ 23: Cho hàm số y =

2x −1
. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I (−1; 2) tới
x +1

tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
Giải.

Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời

giải



3 
Nếu M  x0 ; 2 −
  (C ) thì tiếp tuyến tại M có phương trình
x0 + 1 

y−2+

3
3
=
( x − x0 ) hay
x0 + 1 ( x0 + 1) 2

3( x − x0 ) − ( x0 + 1)2 ( y − 2) − 3( x0 + 1) = 0

Khoảng cách từ I (−1;2) tới tiếp tuyến là

3(−1 − x0 ) − 3( x0 + 1)

d=

9 + ( x0 + 1)

4

Theo bất đẳng thức Côsi

6 x0 + 1

=

9 + ( x0 + 1)4

=

6
9
+ ( x0 + 1)2
2
( x0 + 1)

.

9
+ ( x0 + 1) 2  2 9 = 6 , vây d  6 .
2
( x0 + 1)

Khoảng cách d lớn nhất bằng

6 khi

9
2
= ( x0 + 1) 2  ( x0 + 1) = 3  x0 = −1  3 .
2

( x0 + 1)

(

Vậy có hai điểm M: M −1 + 3;2 − 3
Ví dụ 24: Cho hàm số y =

)

(

hoặc M −1 − 3;2 + 3

)

2x + 1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp
x +1

tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(−4; −2).
Giải
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0  −1 ).
PTTT (d) là y =

2x + 1
1
( x − x0 ) + 0
 x − ( x0 + 1)2 y + 2 x02 + 2 x0 + 1 = 0
2
( x0 + 1)

x0 + 1

Ta có: d ( A, d ) = d ( B, d )  2 − 4( x0 + 1) 2 + 2 x02 + 2 x0 + 1 = −4 + 2( x0 + 1) 2 + 2 x02 + 2 x0 + 1
 x0 = 1  x0 = 0  x0 = −2
Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y =

1
5
x + ; y = x + 1; y = x + 5
4
4

Chú ý: Bài toán này có thể giải bằng cách sau: Tiếp tuyến cách đều A, B nên có 2 khả năng: Tiếp
tuyến song song (trùng) AB hoặc tiếp tuyến đi qua trung điể m của AB

Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


Ví dụ 25: Cho hàm số y =

2x
(C ) tìm điểm M  (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
x +1

M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

1
4

Giải:
Gọi M ( x0 , y0 )  (C ) → y0 =

2 x0
,
x0 + 1

y' =

2
( x + 1)2

Tiếp tuyến tại M có dạng:

y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0  y =

2 x0
2 x02
2
2
(
x
−
x
)
+

y
=
x

+
(d )
0
( x0 + 1)2
x0 + 1
( x0 + 1)2
( x0 + 1)2

Gọi A = (d )  ox  tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:


2 x02
2
y
=
x
+

( x0 + 1) 2
( x0 + 1) 2

y = 0


 x = − x02

 A(− x02 ,0)
y = 0

Gọi B = (d )  oy  tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:


2 x02
2
y
=
x
+

( x0 + 1) 2
( x0 + 1) 2

x = 0


 x = 0 2 x02
2 x02

 B(0,
)
2
( x0 + 1) 2
 y = ( x0 + 1)

Tam giác OAB vuông tại O ; OA = − x02 = x02 ; OB =
Diện tích tam giác OAB:

S=

2 x02

2 x02
=
( x0 + 1)2 ( x0 + 1) 2

1
1 2 x04
1
OA.OB = .
=
2
2
2 ( x0 + 1)
4

1

 2 x02 = x0 + 1
 2 x02 − x0 − 1 = 0
x
=
−
 y0 = −2
0
 4 x = ( x0 + 1)   2
 2

2

 2 x0 = − x0 − 1  2 x0 + 1x0 + 1 (vn)
 x0 = 1  y0 = 1

4
0

2

1
Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán: M 1 (− ; −2)
2

;

M 2 (1,1)

❖ Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2 x − 5 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


x=1
1
2
Bài 2. Cho hàm số y = x 3 − x + , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với
3
3

1
2
đường thẳng y = − x + (d )

3
3

Bài 3. Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 9x + 5

(C) . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp

tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 4. Cho hàm số: y =

4x − 2
(C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy và tiếp
x +1

tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Bài 5. Cho hàm số y = − x 4 − x 2 + 6 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đường thẳng d: y =

1
x −1
6

Bài 6. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y =

2x + 1
. Biết tiếp tuyến đi qua
x +1

điểm A(-1; 3).
x+2

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
x−2

Bài 7. Cho hàm số: y =
A(-6,5)

Bài 8. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 kẻ từ điểm
 23

A  ; −2 
 9


Bài 9. Cho hàm số y =

2x − 3
có đồ thị (C).
x−2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại
A, B sao cho AB ngắn nhất
Bài 10. Cho hàm số: y =

x +1
. CMR:
x −1

a) Nếu tiếp tuyến của đồ thị cắt hai đường tiệm cận tại A và B thì tiếp điểm là trung điểm

Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


của AB.
b) Mọi tiếp tuyến của đồ thị đều tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện
tích không đổi.
c) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm
cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài 11. Cho hàm số y = x3 + 1 − m( x + 1) (Cm ) .Tìm m để tiếp tuyến của (Cm ) tại giao điểm của
nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
Bài 12. Cho hàm số: y =

x −1
2( x + 1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một
tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.

2. Chủ đề 2: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
2.1. Kiến thức cơ bản
2.1.1. Bài toán tương giao tổng quát:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
nghiệm của phương trình : f(x, m) = g(x,m) (1).
* Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C).
2.1.2. Bài toán cơ bản:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b. (1)

Chú ý:

Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có hệ số góc k thì phương trình d có Dạng:
y – y0 = k(x – x0).
+ Khai thác tọa độ giao điể m ( M ( xM ; yM ) của (C) và d, ta cần chú ý: xM là nghiệm của
(1); M thuộc d nên yM = axM + b
+ Nếu (1) dẫn đến một phương triǹ h bâ ̣c hai, ta có thể sử dụng định lý Viet
* Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ
Cho phương trình: f ( x) = an xn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 = 0 .
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x =

p
và (p, q)=1 thì q \ an và p \ a0 .
q

* Phương pháp hàm số
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m.
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m.
2.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 − 3x2 + m = 0 .
Giải
a) Học sinh tự làm.
Đồ thị: CĐ(2; 3), CT(0; -1)

b) Phương trình x 3 - 3x 2 + m = 0 Û - x 3 + 3x 2 - 1 = m - 1

Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


• Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 1 với
đường thẳng y = m – 1.
Vậy:

m −1  3  m  4 : Phương trình có 1 nghiệm.

m −1 = 3  m = 4 : Phương trình có 2 nghiệm.
3  m −1  −1  4  m  0 : Phương trình có 3 nghiệm.
m −1 = −1  m = 0 : Phương trình có 2 nghiệm.
m −1  −1  m  0 : Phương trình có 1 nghiệm.
Ví du 2: Cho hàm số y =

x +1
có đồ thị (C)
−x +1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x +1
= m.
− x +1

Giải

a) Học sinh tự làm:
Đồ thị:

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y =

x +1
= m.
− x +1

x +1
− x +1

(1)

( C ') .

Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đthị y =

x +1
và đường thẳng y = m.
− x +1

Suy ra đáp số: m  −1; m  1: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

m = 1: phương trình có 1 nghiệm.

−1  m  1: phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = − x 4 + 3x 2 + 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x 4 − 3x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
a) Học sinh tự làm.
Đồ thị:

yCD =

13
; yCT = 1
4

b) Phương trình x 4 − 3x 2 + m = 0  − x4 + 3x2 + 1 = m + 1
• Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1.
• Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt  1  m + 1 

13
9
0m
4
4

Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


Ví dụ 4: Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị (C).
x−2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt.
Giải
a) HS tự trình bày.
b) Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
2x −1
= x − m có hai nghiệm phân biệt.
x−2

• Xét phương trình:

2x −1
= x − m ( x  2)
x−2

 2 x − 1 = ( x − m)( x − 2)
 x 2 − 4 x − mx + 1 + 2m = 0
 x 2 − (4 + m) x + 1 + 2m = 0
Có  = (4 + m) 2 − 4(1 + 2m)

= m2 + 8m + 16 − 4 − 8m
= m2 + 12  0 m
• Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 4

( C ) .Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ số

góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C
(B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Giải
Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k, có phương trình là:
y = k(x+1) hay y = kx+ k.
Nếu d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình: x3 – 3x2 + 4 = kx + k

 x3 – 3x2 – kx + 4 – k = 0  (x + 1)( x2 – 4x + 4 – k ) = 0

 x = −1

có ba nghiệm phân biệt  g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 có hai
2
 g ( x) = x − 4 x + 4 − k = 0

Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải