BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
NB-TH: 26 câu - VD: 21 câu - VDC: 8 câu
A.
LÝ THUYẾT
■ Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
( ) ( )
Þ f ( x ) > f ( x ).
Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu "x1 , x2 ÎK, x1 < x2 Þ f x1 < f x2 .
Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu "x1 , x2 ÎK, x1 < x2
1
2
■ Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng K .
()
f ' ( x ) £ 0,"x ÎK .
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f ' x ³ 0,"x ÎK .
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì
■ Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng K .
()
f ' ( x ) < 0,"x ÎK thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
f ' ( x ) = 0,"x ÎK thì hàm số không đổi trên khoảng K .
Nếu f ' x > 0,"x ÎK thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
Nếu
Nếu
■ Chú ý.
Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f (x) liên tục trên
đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn éë a;b ùû và có đạo
( )
()
f ' ( x ) ³ 0,"x ÎK ( hoặc f ' ( x ) £ 0,"x ÎK ) và f ' ( x ) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K
hàm f ' x > 0,"x ÎK trên khoảng a;b thì hàm số đồng biến trên đoạn éë a;b ùû .
Nếu
thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ).
B.
BÀI TẬP
1.1.1 Chiều biến thiên của hàm số
Câu 1. [NB-TH]Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K Ì . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A. Nếu f '(x) ³ 0,"x ÎK , f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số tăng trên K .
()
B. Nếu f ' x > 0thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
C. Nếu f '(x) ³ 0,"x ÎK thì hàm số tăng trên K .
( )
( )
D. Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu "x1 , x2 ÎK, x1 < x2 Þ f x1 > f x2 .
Hướng dẫn giải
Xem phần lý thuyết.
Câu 2.
x +1
. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
1- x
A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -¥;1) và (1;+¥ ) .
[NB-TH]Cho hàm số y =
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( -¥;1) È (1;+¥) .
(
) (
)
C. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng -¥;1 và 1;+¥ .
(
) (
)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng -¥;1 È 1;+¥ .
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D =
+) y ' =
\ {1}
2
> 0 , "x ¹ 1
(1- x)2
+) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −;1) và (1; + )
Câu 3.
[NB-TH]Cho hàm số y = -x 3 + 3x 2 - 3x + 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên .
B. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( -¥;1) và (1;+¥) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( -¥;1) và nghịch biến trên khoảng (1;+¥ ).
D. Hàm số luôn đồng biến trên
.
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D =
+) y' = -3x 2 + 6x - 3 = -3(x -1)2 £ 0 , "x Î
Câu 4.
[NB-TH]Cho hàm số y = -x 4 + 4x 2 +10 và các khoảng sau:
(
)
(
(
)
)
(I) -¥;- 2 ;(II) - 2;0 ;(III) 0; 2 . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A. (I) và (III).
B. (I) và (II).
C. (II) và (III).
D. Chỉ (I).
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D =
x = 0
+) y ' = −4 x3 + 8 x = 4 x(2 − x 2 ) . Giải y ' = 0
x = 2
(
) (
)
+) Trên các khoảng -¥;- 2 và 0; 2 , y ' 0 nên hàm số đồng biến.
Câu 5.
3x -1
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-4 + 2x
A. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
[NB-TH]Cho hàm số y =
B. Hàm số luôn nghịch biến trên
.
(
) (
)
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng -¥;2 và 2;+¥ .
) (
(
)
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng -¥;- 2 và -2;+¥ .
Hướng dẫn giải
\ {2}
+) TXĐ: D =
+) Ta có y ' = −
Câu 6.
10
0, x D .
(−4 + 2 x) 2
[NB-TH]Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên ?
4
4
A. f (x) = - x5 + x 3 - x .
B. g ( x) = x3 + 3x 2 + 10 x + 1.
5
3
D. k ( x) = x3 + 10 x − cos 2 x .
C. h( x) = x 4 − 4 x 2 + 4 .
Hướng dẫn giải
Ta có: f '(x) = -4x 4 + 4x 2 -1= -(2x 2 -1)2 £ 0,"x Î .
Câu 7.
x 2 - 3x + 5
[NB-TH]Cho hàm số y =
. Hỏi hàm số nghịch trên các khoảng nào?
x +1
A. ( −4; −1) và ( −1; 2 ) .
B. ( −4;2 ) .
C. ( −; −1) và ( −1; + ) .
D. (-¥;-4) và (2;+¥) .
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D =
+) y ' =
\ {-1}
x2 + 2x − 8
.
( x + 1)2
x = 2
+) Giải y ' = 0 x 2 + 2 x − 8 = 0
x = −4
y ' không xác định khi x = −1
+) BBT
x
−
f’(x)
-4
+
0
-1
−
−
0
f(x)
−
−
+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −4; −1) và ( −1; 2 )
+
+
+
−11
+
2
1
Câu 8.
x3
[NB-TH]Cho hàm số y = - 3x 2 + 5x - 2 . Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
3
A. ( 2;3)
B. 1;6
C. -¥;1
D. (5;+¥)
( )
(
)
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D =
éx = 1
+) y ' = x 2 - 6x + 5 = 0 Û ê
ëx = 5
( )
+) lập bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên 1;5
Câu 9.
3
[NB-TH]Cho hàm số y = x 5 - 3x 4 + 4x 3 - 2 . Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào?
5
A. .
B. (-¥;0) .
C. (0;2) .
D. (2;+¥) .
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D =
+) y' = 3x 4 -12x3 +12x 2 = 3x 2 (x - 2)2 ³ 0 , "x Î
Câu 10. [NB-TH]Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d . Hỏi hàm số luôn đồng biến trên R khi nào?
é a = b = 0,c > 0
A. ê
.
2
ë a > 0;b - 3ac £ 0
é a = b = 0,c > 0
B. ê
.
2
ë a > 0;b - 3ac ³ 0
é a = b = 0,c > 0
C. ê
.
2
a
<
0;b
3ac
£
0
ë
éa = b = c = 0
D. ê
.
2
a
<
0;b
3ac
<
0
ë
Hướng dẫn giải
é a = b = 0,c > 0
y ' = 3ax 2 + 2bx + c ³ 0,"x Î Û ê
2
ë a > 0;b - 3ac £ 0
Câu 11. [NB-TH]Cho hàm số y = x3 + 3x 2 − 9 x + 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên
.
C. Hàm số đồng biến trên ( −9; −5) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 5; + ) .
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D =
+) Do y ' = 3x 2 + 6 x − 9 = 3( x − 1)( x + 3) nên hàm số không đồng biến trên
.
Câu 12. [NB-TH]Cho hàm số y = 3x 2 - x 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥;0 ) và ( 2;3).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -¥;2 ); ( 2;3).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; 3) .
Hướng dẫn giải
+) ĐK: 3 x 2 − x 3 0 x 3 suy ra D = (−;3]
+) y ' =
6 x − 3x 2
2 3x 2 − x3
.
x = 0
Giải y ' = 0
x = 2
x = 0
y ' không xác định khi
x = 3
+) BBT
x
−
0
−
y'
||
+
2
+
0
3
−
||
2
y
0
0
Hàm số nghịch biến (−;0) và (2;3)
Hàm số đồng biến (0; 2)
x
+ sin 2 x, x Î[ 0; p ] . Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào?
2
æ 7p 11p ö
æ 7p ö æ 11p ö
A. ç 0; ÷ và ç
B. ç
.
;
;p ÷ .
è 12 ø è 12 ø
è 12 12 ÷ø
Câu 13. [NB-TH]Cho hàm số y =
æ 7p ö æ 7p 11p ö
C. ç 0; ÷ và ç
.
;
è 12 ø è 12 12 ÷ø
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D =
+) y ' =
1
+ sin 2 x .
2
æ 7p 11p ö æ 11p ö
D. ç
;
và
;p .
è 12 12 ÷ø çè 12 ÷ø
x
=
−
+ k
1
12
Giải y ' = 0 sin 2 x = −
, kÎ
2
x = 7 + k
12
(
Vì x 0; nên có 2 giá trị x =
)
11
7
và x =
thỏa mãn điều kiện.
12
12
+) BBT
x
0
y'
|
11
12
7
12
0
+
-
0
+
|
2
y
0
7
Hàm số đồng biến 0;
12
11
;
và
12
Câu 14. [NB-TH]Cho hàm số y = x + cos 2 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn đồng biến trên .
æp
ö
B. Hàm số đồng biến trên ç + kp ;+¥÷ và nghịch biến trên khoảng
è4
ø
æ
ö
p
-¥;
+
k
p
çè
÷ø .
4
æp
ö
C. Hàm số nghịch biến trên ç + kp ;+¥÷ và đồng biến trên khoảng
è4
ø
æ
ö
p
çè -¥; 4 + kp ÷ø .
D. Hàm số luôn nghịch biến trên
.
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D =
; y' = 1- sin 2x ³ 0 , "x Î
+) Hàm số luôn đồng biến trên
Câu 15. [NB-TH]Cho các hàm số sau:
1
x −1
y = x3 − x 2 + 3x + 4 ; y =
; y = x 2 + 4 ; y = x3 + 4 x − sin x và y = x 4 + x 2 + 2 .
3
x +1
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 5.
Hướng dẫn giải
(
)
2
+) y ' = x 2 - 2x + 3 = x -1 + 2 > 0 , "x Î
2
x −1
y' =
0 ,
=
2
x + 1 ( x + 1)
'
y'=
(
x2 + 4
)=
'
x −1
x
x +4
2
y ' = 4 x3 + 2 x = 2 x(2 x 2 + 1)
Câu 16. [NB-TH]Hỏi hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số ?
y = -x 3 + 3x 2 - 3x +1(I )
y = sin x - 2x(II )
y = - x3 + 2(III)
y=
x-2
(IV )
1- x
A. (I), (II).
B. (I), (II) và (III).
C. (I), (II) và (IV).
D. (II), (III).
Hướng dẫn giải
+) y' = (-x 3 + 3x 2 - 3x +1)' = -3x 2 + 6x - 3 = -3(x -1)2 £ 0 , "x Î ;
+) y' = (sin x - 2x)' = cos x - 2 < 0
+) y ' = −
(
)
3x 2
'
x +2 =−
3
2 x +2
3
0
"x Î ;
(
1
x−2 x−2
0
+) y ' =
=
=−
(1 − x) 2
1− x −x +1
'
)
x − 3 2; + ;
'
x 1
Câu 17. [NB-TH]Xét các mệnh đề sau.
(I). Hàm số y = -(x -1)3 nghịch biến trên
(II). Hàm số y = ln( x − 1) −
(III). Hàm số y =
x
x +1
2
.
x
đồng biến trên tập xác định của nó.
x −1
đồng biến trên
.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 3.
Hướng dẫn giải
B. 2.
C. 1.
D. 0.
(
)
'
+) y' = -(x -1)3 = -3(x -1)2 £ 0
"x Î
'
æ
x ö
x
+) y ' = ç ln(x -1) =
> 0,"x > 1
÷
x -1ø ( x -1)2
è
(
1. x +1 - x.
2
+) y ' =
x +1
2
x2 + 1
)
æ x ö
x 2 +1 - x.ç
÷
è x 2 +1 ø
1
=
>0
2
x +1
x 2 +1 x 2 +1
'
=
(
(
)
"x Î
)
Câu 18. [NB-TH]Cho hàm số y = x +1 x - 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;-1) .
1
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; ) .
2
1
C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥;-1) và ( ;+¥) .
2
1
1
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; ) và đồng biến trên khoảng ( ;+¥) .
2
2
Hướng dẫn giải
ì2x -1, x > -1
+) y ' = í-2x +1, x < -1
î
1
+) y ' = 0 Û x = 2
x
y'
-¥
1
2
-1
+
-
||
0
+¥
+
y
Câu 19. [NB-TH]Cho hàm số y = x + 3+ 2 2 - x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
(
)
( )
A. Hàm số đồng biến trên khoảng -¥;1 và nghịch biến trên khoảng 1;2 .
(
)
(
)
(
)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng -¥;-2 và nghịch biến trên khoảng -2;2 .
(
)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng -¥;-2 và đồng biến trên khoảng -2;2 .
(
( )
)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng -¥;1 và đồng biến trên khoảng 1;2 .
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D = ( −; 2
y' =
2 − x −1
. Giải y ' = 0 2 − x = 1 x = 1
2− x
y ' không xác định khi x = 2
+) BBT
x
−
1
+
y'
0
2
−
||
6
y
−
5
æ p pö
Câu 20. [NB-TH]Cho hàm số y = cos 2x + sin 2x.tan x,"x Îç - ; ÷ . Khẳng định nào sau đây là khẳng
è 2 2ø
định đúng?
æ p pö
A. Hàm số không đổi trên ç - ; ÷ .
è 2 2ø
æ p pö
B. Hàm số luôn tăng trên ç - ; ÷ .
è 2 2ø
æ p pö
C. Hàm số luôn giảm trên ç - ; ÷ .
è 2 2ø
æ p pö
D. Hàm số đơn điệu trên ç - ; ÷ ( vừa tăng, vừa giảm trên
è 2 2ø
Hướng dẫn giải
+) Xét trên khoảng − ;
2 2
æ p pö
çè - 2 ; 2 ÷ø ).
y = cos 2 x + sin 2 x.tan x =
cos 2 x.cos x + sin 2 x.sin x
=1 y ' = 0
cos x
æ p pö
+) Hàm số không đổi trên ç - ; ÷ .
è 2 2ø
1.1.2 Tìm tham số, để hàm số đơn điệu.
Câu 21. [NB-TH]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =
khoảng mà nó xác định ?
A. m <1.
B. m £ -3.
C. m £1.
x - m+ 2
giảm trên các
x +1
D. m < -3.
Hướng dẫn giải
+) Tập xác định: D =
+) y ' =
\ {-1}
m −1
( x + 1)2
+) Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định Û y' < 0,"x ¹ -1Û m < 1
Câu 22. [NB-TH]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
1
y = - x 3 - mx 2 + (2m - 3)x - m + 2 luôn nghịch biến trên ?
3
A. -3 £ m £1.
B. m £1.
C. -3 < m <1.
D. m £ -3;m ³ 1.
Hướng dẫn giải
+) Tập xác định: D =
+) y ' = − x 2 − 2mx + 2m − 3
+) Để hàm số nghịch biến trên
ìï a < 0
Û y ' £ 0, "x Î Û í y'
ïî D' £ 0
−1 0 (hn)
2
−3 m 1
m + 2m − 3 0
Câu 23. [NB-TH]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =
tăng trên từng khoảng xác định của nó?
A. m £1.
B. m >1.
Hướng dẫn giải
+) Tập xác định: D =
+) y ' =
\ { m}
x 2 − 2mx + m 2 − m + 1
( x − m) 2
C. m <1.
x 2 - (m +1) + 2m -1
x-m
D. m ³1.
+) Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó
y ' 0, x D x 2 − 2mx + m 2 − m + 1 0, x D
1 0 (hn)
m 1
m − 1 0
Câu 24. [NB-TH]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f ( x) = x + m cos x luôn
đồng biến trên
?
A. m 1 .
B. m
3
.
2
C. m 1 .
D. m
1
.
2
Hướng dẫn giải
+) Tập xác định: D =
+) y' = 1- msin x
+) Đặt t = sin x,t Î éë -1;1ùû Þ y' = 1- mt = g(t)
+) Hàm số đồng biến trên
Û g(t) = 1- mt ³ 0,"t Î éë -1;1ùû
ì g(-1) ³ 0 ì m ³ -1
Ûí
Ûí
Û -1 £ m £ 1
îm £ 1
î g(1) ³ 0
Câu 25. [NB-TH]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = (m - 3)x - (2m +1)cosx
luôn nghịch biến trên ?
é
2ù
A. m Îê -4; ú.
3û
ë
B. m ³ 2 .
ìm > 3
C. í
.
ïm ¹ 1
î
(
D. m Î -¥;2 ùû .
Hướng dẫn giải
Cách 1:
+) Tập xác định: D =
+) y ' = m − 3 + (2m + 1) sin x
+) Hàm số nghịch biến trên
Û y' £ 0,"x Î Û (2m +1)sin x £ 3- m
Trường hợp 1: m = −
7
1
ta có 0 ( hn) . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên
2
2
Trường hợp 2: m −
3- m
3- m
1
,"x Î Û
£ -1
ta có sin x ³
2m +1
2m +1
2
.
3 − m −2m −1 m −4
Trường hợp 3: m −
3- m
3- m
1
,"x Î Û
³1
ta có sin x £
2m +1
2m +1
2
3 − m 2m + 1 m
2
3
+) Vậy
Cách 2:
+) Tập xác định: D =
+) y ' = m − 3 + (2m + 1) sin x
+) Đặt t = cos x,t Î éë -1;1ùû Þ y' = m - 3+ (2m +1)t = g(t)
Û g(t) = m - 3+ (2m +1)t £ 0,"t Î éë -1;1ùû
+) Hàm số nghịch biến trên
ì m ³ -4
ì g(-1) £ 0 ï
2
Ûí
Ûí
2 Û -4 £ m £
3
î g(1) £ 0
ïî m £ 3
Câu 26.
[NB-TH]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y = 2 x3 − 3(m + 2) x 2 + 6(m + 1) x − 3m + 5 = 0 luôn đồng biến trên
A. 0.
B. -1.
?
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải
éx = 1
+) Tính nhanh, ta có f ' (x) = 0 Û ê
ë x = m +1
'
+) Phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm kép khi m = 0 , nghĩa là hàm số luôn đồng biến.
'
+) Trường hợp m 0 , phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt (không thỏa yên cầu
bài toán).
Câu 27. [VD]Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số y =
biến trên ?
A. m = -1.
B. m = 0 .
x3
+ mx 2 - mx - m luôn đồng
3
D. m = -6 .
C. m = -5 .
Hướng dẫn giải
+) Tập xác định: D =
+) y ' = x 2 + 2mx − m
+) Hàm số đồng biến trên
ìï1 > 0(hn)
Û y ' ³ 0,"x Î Û í 2
Û -1 £ m £ 0
ïî m + m £ 0
+) Vậy giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến trên
Câu 28. [VD]Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y =
khoảng xác định của nó?
A. Không có m.
B. m = -2 .
là m = −1
(m + 3)x - 2
luôn nghịch biến trên các
x+m
C. m = 0 .
D. m = -1.
Hướng dẫn giải
+) Tập xác định: D =
+) y ' =
\ {-m}
m2 + 3m + 2
( x + m)2
+) Yêu cầu đề bài Û y' < 0,"x ÎD Û m2 + 3m + 2 < 0 Û -2 < m < -1
+) Vậy không có số nguyên m nào thuộc khoảng ( -2;-1) .
Câu 29. [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =
( -¥;1)?
B. -2 £ m £ -1.
A. -2 < m £ -1.
mx + 4
giảm trên khoảng
x+m
C. -2 < m < 2 .
D. -2 £ m £ 2 .
Hướng dẫn giải
+) Tập xác định D =
+) y ' =
\ {-m}
m2 − 4
( x + m )2
ì m2 - 4 < 0
+) Để hàm số giảm trên khoảng -¥;1 Û y ' < 0,"x Î -¥;1 Û í
ïî1 £ -m
(
)
(
)
Û -2 < m £ -1
Câu 30. [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x 3 - 6x 2 + mx +1 đồng biến
trên khoảng ( 0;+¥ )?
A. m ³12 .
B. m £12 .
C. m ³ 0 .
D. m £ 0 .
Hướng dẫn giải
Cách 1:
+) Tập xác định: D =
+) y ' = 3x 2 − 12 x + m
Û y' ³ 0, "x Î
Trường hợp 1: Hàm số đồng biến trên
ì3 > 0 (hn)
Ûí
Û m ³ 12
î36 - 3m £ 0
(
)
Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên 0;+¥ Û y' = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa
x1 x2 0 (*)
Trường hợp 2.1: y ' = 0 có nghiệm x = 0 suy ra m = 0 . Nghiệm còn lại của y ' = 0 là
x = 4 (không thỏa (*))
Trường hợp 2.2: y ' = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa
ì
ï36 - 3m > 0
' 0
ï
x1 x2 0 S 0 Û í4 < 0(vl) Þ không có m
P 0
ïm
ï >0
î3
+) Vậy m 12
Cách 2:
(
)
+) Hàm số đồng biến trên 0;+¥ Û m ³ 12x - 3x 2 = g(x),"x Î(0;+¥) .
(
)
+) Lập bảng biến thiên của g(x) trên 0;+¥ .
x
0
+∞
2
g
+
0
-
12
g
0
-∞
+) Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ³ max g(x) Û m ³ 12
Câu 31. [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x 4 - 2(m -1)x 2 + m - 2 đồng
biến trên khoảng (1;3) ?
(
(
)
B. m Î éë -5;2 .
A. m Î -¥;2 ùû.
Hướng dẫn giải
+) Tập xác định D =
.
+) y ' = 4 x3 − 4(m − 1) x .
+) Hàm số đồng biến trên (1;3)
Û y' ³ 0,"x Î(1;3) Û g(x) = x 2 +1³ m,"x Î(1;3) .
+) Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1;3) .
x 1
g
)
C. m Î 2,+¥ .
3
+
0
(
)
D. m Î -¥;-5 .
10
g
2
+) Da vo bng bin thiờn, kt lun: m Ê min g(x) m Ê 2 .
Cõu 32. [VD]Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m sao cho hm s y =
nghch bin trờn mt on cú di l 3?
A. m = -1;m = 9 .
B. m = -1.
1 3 1 2
x - mx + 2mx - 3m + 4
3
2
D. m = 1;m = -9 .
C. m = 9 .
Hng dn gii
+) Tp xỏc nh: D =
+) y ' = x 2 mx + 2m
+) Ta khụng xột trng hp y' Ê 0,"x ẻ
vỡ a = 1 0
+) Hm s nghch bin trờn mt on cú di l 3 y ' = 0 cú 2 nghim x1, x2 tha
2
0 m 8m 0
m 8 hay m 0
x1 x2 = 3
m = 1 hay m = 9
2
2
2
m
8
m
=
9
x
x
=
9
S
4
P
=
9
( 1 2 )
Cõu 33. [VD]Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m sao cho hm s y =
1- sin x
nghch bin trờn
sin x - m
ổ pử
khong ỗ 0; ữ ?
ố 6ứ
1
A. m Ê 0; Ê m < 1 .
2
1
B. m Ê 0; Ê m Ê 1 . C. m < 1.
2
D. m Ê 1.
Hng dn gii
ổ 1ử
1- t
+) t t = sin x,t ẻỗ 0; ữ ị f (t) =
nghch bin trờn khong
t-m
ố 2ứ
ổ 1ử
ỗố 0; 2 ữứ .
ổ 1ử
ổ 1ử
m -1
+) Hm s nghch bin trờn ỗ 0; ữ f '(t) =
< 0,"t ẻỗ 0; ữ
2
ố 2ứ
ố 2ứ
t-m
(
)
ỡm - 1 < 0
ù
1
ùộ m Ê 0
ớờ
m Ê 0 hoc Ê m < 1
2
ùờ m 1
ùợ ờở
2
Cõu 34. [VD]Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m sao cho hm s y =
tan x - 2
ng bin trờn
tan x - m
ổ pử
khong ỗ 0; ữ ?
ố 4ứ
A. m Ê 0;1 Ê m < 2 .
B. 1 Ê m < 2 .
C. m 2 .
D. m Ê 0 .
Hng dn gii
( )
+) t t = tan x,t ẻ 0;1 ị f (t) =
t-2
ng bin trờn khong 0;1 .
t-m
( )
( )
+) Hm s ng bin trờn 0;1 f '(t) =
-m + 2
( t - m)
2
> 0,"t ẻ( 0;1)
ỡ-m + 2 > 0
ù
ớộ m Ê 0
m Ê 0 hoc 1 Ê m < 2
ờ
ù m 1
ợở
Cõu 35. [VD]Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m sao cho hm s
y = f ( x) =
(
mx3
+ 7 mx 2 + 14 x m + 2 gim trờn na khong [1;+Ơ) ?
3
(
ự.
A. -Ơ;- 14
15 ỷ
)
B. -Ơ;- 14
.
15
ự.
C. ộở -2;- 14
15 ỷ
)
;+Ơ .
D. ộở - 14
15
Hng dn gii
+) Tp xỏc nh
, yờu cu ca bi toỏn a n gii bt phng trỡnh
mx 2 + 14mx + 14 0, x 1 , tng ng vi g ( x) =
+) D dng cú c g ( x ) l hm tng "x ẻ ộở1;+Ơ
suy ra min g ( x) = g (1) =
x 1
14
m (1)
x + 14 x
2
)
14
15
+) Kt lun: (1) min g ( x) m
x 1
14
m
15
Cõu 36. [VD]Tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m sao cho hm s y = x 4 + (2m 3) x 2 + m nghch
(
( )
p
bin trờn khong 1;2 l -Ơ; qp ự , trong ú phõn s
ti gin v q 0 . Hi tng p + q l?
ỷ
q
A. 7.
B. 9.
C. 5.
D. 3.
Hng dn gii
+) Tp xỏc nh D =
.
+) y' = -4x3 + 2(2m - 3)x .
+) Hm s nghch bin trờn (1;2)
Û y ' £ 0,"x Î(1;2) Û m £ x 2 +
3
= g(x),"x Î(1;2) .
2
+) Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1;2) .
+) g '(x) = 2x = 0 Û x = 0
+) BBT
x 1
2
g
+
0
11
2
g
5
2
+) Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m £ min g(x) Û m £
5
2
+) Vậy p + q = 5 + 2 = 7 .
Câu 37. [VD]Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y =
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. Vô số.
B. Bốn.
C. Hai.
x 2 − 2mx + m + 2
x−m
D. Không có.
Hướng dẫn giải
\ { m}
+) Tập xác định D =
+) y ' =
x 2 - 2mx + 2m2 - m - 2
(x - m)
2
=
g(x)
(x - m)2
.
+) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi g ( x) 0, x D .
é m £ -1
+) Điều kiện tương đương là D g( x) = -m2 + m + 2 £ 0 Û ê
ëm ³ 2
+) Kết luận: Có vô số giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 38. [VD]Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số
2 x 2 + (1 − m) x + 1 + m
y=
đồng biến trên khoảng (1; + ) ?
x−m
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Hướng dẫn giải
D. 3.
\ { m}
+) Tập xác định D =
+) y ' =
2x 2 - 4mx + m2 - 2m -1
(x - m)
2
=
g(x)
(x - m)2
+) Hàm số đồng biến trên (1; + ) khi và chỉ khi g ( x) 0, x 1 và m 1 (1)
Vì 'g = 2(m + 1)2 0, m nên (1)
g ( x) = 0 có hai nghiệm thỏa x1 x2 1
ì2g(1) = 2(m2 - 6m +1) ³ 0
ï
Điều kiện tương đương là í S
Û m £ 3- 2 2 » 0,2 .
=
m
£
1
ï
î2
Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 39.
[VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a và b sao cho hàm số
− x3 1
3
+ (sin + cos )x 2 − x sin cos − − 2 luôn giảm trên ?
3
2
2
5
+ k
+ k + k , k Z và 2 .
+ k , k Z và 2 .
A.
B.
12
12
12
4
y = f ( x) =
và b ³ 2 .
C.
và 2 .
D.
Hướng dẫn giải
+) Điều kiện xác định: b ³ 2
+) Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
+) Kết luận:
12
+ k
1
sin 2 1
2
5
+ k , k Z và 2 .
12
Câu 40. [VDC]Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y = f ( x) = 2 x + a sin x + bcosx
luôn tăng trên ?
A. a2 + b2 4 .
B. a + 2b = 2 3 .
C.
1 1
+ = 1.
a b
D. a + 2b
Hướng dẫn giải
+) Tập xác định
+) y ' = 2 + acosx − b sin x
+) Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có 2 − a 2 + b 2 y ' 2 + a 2 + b 2
+) Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
1+ 2
.
3
y ' 0, x 2 − a 2 + b 2 0 a 2 + b 2 4 .
1.1.3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số.
Câu 41. [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x 3 − 3x 2 − 9 x − m = 0 có
đúng 1 nghiệm?
A. m −27 hoặc m 5 .
B. m −5 hoặc m 27 .
D. −5 m 27 .
C. −27 m 5 .
Hướng dẫn giải
+) (1) Û m = x3 - 3x 2 - 9x = f (x) .
+) Bảng biến thiên của f ( x ) trên
.
−
-1
x
+
f(x)
0
f(x)
+
3
−
0
+
+
5
−27
−
+) Từ đó suy ra pt có đúng 1 nghiệm khi m −27 hoặc m 5
Câu 42. [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x +1 = x + m có
nghiệm?
A. m £ 2.
B. m 2 .
C. m 3 .
D. m 3 .
Hướng dẫn giải
+) Đặt t = x +1,t ³ 0 .
+) Phương trình thành: 2t = t 2 −1 + m m = −t 2 + 2t + 1
+) Xét hàm số f (t ) = −t 2 + 2t + 1, t 0; f '(t ) = −2t + 2
+) Bảng biến thiên của f(t)
t
0
f’(t)
1
+
f(t)
+∞
0
-
2
1
-∞
+) Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m 2 .
Câu 43. [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
có đúng 2 nghiệm dương?
x 2 - 4x + 5 = m + 4x - x 2
B. 1 m 3 .
A. -3 < m < 5 .
C. − 5 m 3 .
D. −3 m 3 .
Hướng dẫn giải
+) Đặt t = f (x) = x 2 - 4x + 5 .
x-2
+) f '(x) =
x 2 - 4x + 5
+) f '(x) = 0 Û x = 2
+) Xét x 0 ta có bảng biến thiên
x
0
+∞
2
f ’(x)
-
f(x)
0
+
+∞
5
1
+) Khi đó phương trình đã cho trở thành m = t 2 + t − 5 t 2 + t − 5 − m = 0 (1).
Nếu phương trình (1) có nghiệm t2 , t2 thì t1 + t2 = −1 . (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t 1 .
+) Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1
( )
nghiệm t Î 1; 5 .
( )
+) Đặt g (t ) = t 2 + t − 5 . Ta đi tìm m để phương trình g (t ) = m có đúng 1 nghiệm t Î 1; 5 .
( )
g '(t) = 2t +1 > 0,"t Î 1; 5 .
Ta có bảng biến thiên sau
t
1
5
g’(t)
+
g(t)
5
-3
+) Từ BBT suy ra −3 m 5 là các giá trị cần tìm.
Câu 44. [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình:
(
)
x 2 − 3 x + 2 0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx 2 + m +1 x + m +1 ³ 0 ?
4
B. m £ - .
7
4
A. m ³ - .
7
C. m £ -1.
D. m ³ -1.
Hướng dẫn giải
+) Bất phương trình (1) 1 x 2
+) Bất phương trình (2) m( x2 + x + 1) − x − 2 m
−x − 2
với 1 x 2
x + x +1
+) Xét hàm số f ( x) =
Có f '( x) =
−x − 2
x + x +1
2
2
x 2 + 4x + 1
0, x [1;2]
( x 2 + x + 1) 2
+) Yêu cầu bài toán Û m ³ max f (x) Û m ³ [1;2]
4
7
Câu 45. [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình:
3
log32 x + log32 x +1 - 2m -1 = 0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn é1;3 ù ?
ë
B. -1£ m £ 3.
A. 0 £ m £ 2 .
C. 0 £ m £ 3.
D. -1 £ m £ 2 .
Hướng dẫn giải
+) Đặt t = log 32 x +1 .
Điều kiện : t ³ 1.
+) Phương trình thành: t 2 + t - 2m - 2 = 0 (*)
Khi x Î é1;3 3 ù Þ t Î[1;2]
ë
û
(*) Û f (t) =
t2 + t - 2
=m
2
+) Bảng biến thiên f (t)
t
1
f '(t )
2
0
+) Từ bảng biến thiên ta có : 0 £ m £ 2
2
+
f (t )
û
Câu 46. [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x 2 + mx + 2 = 2x +1 có
hai nghiệm thực?
9
3
7
A. m ³ .
B. m ³ .
C. m ³ - .
D. "m Î .
2
2
2
Hướng dẫn giải
+) Điều kiện : x ³ -
1
2
+) Vì x = 0 không là nghiệm nên (*) Û 3x 2 + 4x -1= mx
Û m=
+) Xét f (x) =
3x 2 + 4x -1
x
3x 2 + 4x -1
x
Ta có f '(x) =
3x 2 +1
1
> 0 "x ³ - ; x ¹ 0
x
2
+) Bảng biến thiên
−
x
1
2
f’(x)
+
0
+
+
+¥
+
f(x)
−
9
2
+) Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì m ³
9
2
Câu 47. [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
3 x -1 + m x +1 = 2 4 x 2 -1 có hai nghiệm thực?
1
A. 0 £ m < .
3
1
B. -1 £ m £ .
4
Hướng dẫn giải
+) Điều kiện : x 1
+) Pt Û 3
Û3
x -1
x +1
4
+m=2
4
x 2 -1
(x +1)2
x -1
x -1
+ m = 24
x +1
x +1
1
C. -2 < m £ .
3
D.
1
£ m < 1.
3
+) t =
4
x -1
với x ³ 1 ta có 0 £ t <1
x +1
Thay vào phương trình ta được m = 2t - 3t 2 = f (t)
+) Ta có : f '(t) = 2 - 6t ta có : f '(t) = 0 Û t =
1
3
+) BBT
1
3
0
t
f’(t)
+
1
0
--
1
3
f(t)
-1
0
+) Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm khi 0 £ m <
1
3
Câu 48. [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
(1+ 2x)(3- x) > m + 2x 2 - 5x + 3 nghiệm đúng với mọi x Î éê - 1 ;3ùú ?
ë 2 û
B. m > 0 .
A. m < 0 .
D. m >1.
C. m <1.
Hướng dẫn giải
é 7 2ù
é 1 ù
+) Đặt t = (1+ 2x)(3- x) khi x Î ê - ;3ú Þ t Î ê0;
ú
4 úû
ë 2 û
êë
+) Thay vào bất phương trình ta được f (t) = t 2 + t > m
+) BBT
t
7 2
4
0
f’(t)
+
49 + 14 2
8
f(t)
0
+) Từ bảng biến thiên ta có : m < 0
Câu 49. [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
(
)
3 1+ x + 3- x - 2 (1+ x)(3- x) ³ m nghiệm đúng với mọi x Î[ -1;3]?
B. m ³ 6 .
A. m £ 6 2 - 4 .
C. m ³ 6 2 - 4 .
D. m £ 6 .
Hướng dẫn giải
+) Đặt t = 1+ x + 3- x Þ t 2 = 4 + 2 (1+ x)(3- x) Û 2 (1+ x)(3- x) = t 2 - 4
+) Với x Î[ -1;3] => t Î[2;2 2] Thay vào bất phương trình ta được : m £ -t 2 + 3t - 4
+) Xét hàm số f (t) = -t 2 + 3t + 4; f '(t) = -2t + 3
f '(t) = 0 Û t =
3
<2
2
t
2
f’(t)
2 2
--
6
f(t)
6 2-4
+) Từ bảng biến thiên ta có m £ 6 2 - 4 thỏa đề bài
Câu 50. [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
3+ x + 6 - x - 18 + 3x - x 2 £ m 2 - m +1 nghiệm đúng "x Î[ -3,6]?
A. m £ -1 hoặc m ³ 2 .
B. -1£ m £ 0.
C. 0 £ m £ 2 .
D. m ³ -1.
Hướng dẫn giải
+) Đặt t = 3 + x + 6 − x 0 t 2 = ( 3 + x + 6 − x ) = 9 + 2 ( 3 + x )( 6 − x )
2
9 t 2 = 9 + 2 ( 3 + x )( 6 − x ) 9 + ( 3 + x ) + ( 6 − x ) = 18
18 + 3x − x 2 = ( 3 + x )( 6 − x ) = 1 ( t 2 − 9 ) ; t 3;3 2
2
+) Xét f ( t ) = - 1 t 2 + t + 9 ; f ¢ ( t ) = 1- t < 0;"t Î éë3;3 2 ùû Þ max f ( t ) = f ( 3) = 3
éë3;3 2 ùû
2
2
+) ycbt Û max f ( t ) = 3 £ m 2 - m +1 Û m 2 - m - 2 ³ 0 Û m £ -1 v m ³ 2
éë3;3 2 ùû
Câu 51. [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
?
m.4 x + ( m − 1) .2 x+2 + m − 1 0 nghiệm đúng
A. m ³1.
B. m £ 3.
C. −1 m 4 .
D. m 0 .
Hng dn gii
+) t t = 2 x > 0 thỡ m.4 x + ( m -1).2 x+2 + m-1> 0 ỳng
m.t 2 + 4( m -1).t + ( m -1) > 0,"t > 0 m( t 2 + 4t +1) > 4t +1,"t > 0
g (t ) =
4t +1 < m,"t > 0 .
t + 4t +1
2
2
Ta cú g  ( t ) = -4t - 2t 2 < 0 nờn g ( t ) nghch bin trờn [ 0;+Ơ )
( t 2 + 4t +1)
+) ycbt Max g ( t ) = g ( 0) = 1 Ê m
t0
Cõu 52. [VDC]Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m sao cho bt phng trỡnh:
1
-x 3 + 3mx - 2 < - 3 nghim ỳng "x 1 ?
x
2
1
3
2
3
A. m < .
B. m .
C. m .
D. m .
3
3
2
3
2
Hng dn gii
+) Bpt 3mx x 3 13 + 2, x 1 3m x 2 14 + 2 = f ( x ) , x 1 .
x
x
x
+) Ta cú f ( x ) = 2 x + 45 22 2 2 x 45 22 = 4 22 2 0 suy ra f ( x ) tng.
x
x
x
x
x
+) Ycbt f ( x ) 3m, x 1 min f ( x ) = f (1) = 2 3m 2 m
x 1
3
Cõu 53. [VDC]Tỡm giỏ tr ln nht ca tham s m sao cho bt phng trỡnh 2cos x + 3sin x m.3cos x cú
nghim?
A. m = 4 .
B. m = 8 .
C. m = 12.
D. m = 16.
2
2
2
Hng dn gii
ổ 2ử
+) (1) ỗ ữ
ố 3ứ
cos2 x
ổ 1ử
+ 3ỗ ữ
ố 9ứ
cos2 x
m.
+) t t = cos2 x,0 Ê t Ê 1
t
t
t
t
2
1
2
1
+) (1) tr thnh + 3 m (2). t f (t ) = + 3 .
3
9
3
9
+) Ta cú (1) cú nghim (2) cú nghim t [0;1] m Max f (t ) m 4
t[0;1]
2 x3 + 3x2 + 6 x + 16 4 x 2 3 cú tp nghim l ộở a;b ựỷ . Hi tng
a + b cú giỏ tr l bao nhiờu?
A. 5.
B. 4.
Cõu 54. [VD]Bt phng trỡnh
C. -2.
Hng dn gii
D. 3.