Lý thuyết và công thức môn toán hình học 12 chương 3 PP tọa độ trong không gian file word image marked

VII. TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

1. KIẾN THỨC TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VÉCTƠ

1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung
một điểm gốc O . Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz . Hệ ba
trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý:

2

2

2

i = j = k = 1 và i. j = i.k = k . j = 0 .

z
x'

k

y'

O

x

i

y

j

z'

Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được
gọi là không gian Oxyz và ký hiệu là : kg ( Oxyz) .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


2. Tọa độ của vectơ
a) Định nghĩa: u = ( x; y; z )  u = xi + y j + zk
b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k  R
• a  b = (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )
• ka = (ka1; ka2 ; ka3 )

a1 = b1

• a = b  a2 = b2
a = b
 3 3
• 0 = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1)
• a cùng phương b (b  0)

 a = kb (k  R )

a1 = kb1

 a2 = kb2
a = kb
3
 3



a1 a2 a3
= = , (b1 , b2 , b3  0)
b1 b2 b3

• a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3

• a ⊥ b  a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

• a 2 = a12 + a22 + a32

• a =

• cos(a , b ) =

a.b
a .b

=

a12 + a22 + a22

a1b1 + a2b2 + a3b3
a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

(với a , b  0 )

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: M ( x; y; z )  OM = x.i + y. j + z.k ( x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ )
Chú ý: • M  ( Oxy )  z = 0; M  (Oyz )  x = 0; M  (Oxz )  y = 0

• M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = 0 .
b) Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB )
• AB = ( xB − xA ; yB − yA ; zB − z A )
• AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − z A )2

 x + x y + yB z A + z B 
;
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M  A B ; A

 2
2
2 
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :

 x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC 
G A B C ; A
;

3
3
3


• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :

 x + x + x + xD y A + yB + yC + yD z A + zB + zC + zC 
G A B C
;
;


4
4
4

III. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại
•
Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc
nằm trên hai đường thẳng song song .
•
Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:
Định lý 3 :
Cho hai véc tơ a vaøb vôù

i b 0
a cuø
ng phöông b

 !k  R sao cho a = k.b

Nếu a  0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:

k  0 khi a cùng hướng b

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


k  0 khi a ngược hướng b
k =

Định lý 4 :

a
b

A, B, C thaú
ng haø
ng  AB cuø
ng phöông AC

Định lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3 ) vaøb = (b1; b2; b3 ) ta có :

a1 = kb1

 a2 = kb2  a1 : a2 : a3 = b1 : b2 : b3
a = kb
3
 3

a cuø
ng phöông b

IV. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:
a.b = a . b .cos(a, b)
2

a =a

2

a ⊥ b  a.b = 0

Định lý 6: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a2 ) vaøb = (b1; b2; b3 ) ta có :

a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Định lý 7: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3 ) ta có :

a = a12 + a22 + a32

Định lý 8: Nếu A( xA; yA; zA ) vaøB(x B; yB; zB ) thì

AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − zA )2

Định lý 9: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3 ) vaøb = (b1; b2; b3 ) ta có :

a ⊥ b  a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4


Định lý 10: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3 ) vaøb = (b1; b2; b3 ) ta có :
cos(a, b) =

a.b
a.b

a1b1 + a2b2 + a3b3

=

a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k  1) nếu như :

MA = k.MB
•

•

A

•
M

B

Định lý 11 : Nếu A( xA; yA; zA ) , B(xB; yB; zB ) và MA = k.MB ( k  1) thì
xA − k.xB

 xM = 1 − k

yA − k.yB

 yM =
1− k

zA − k.zB

 zM = 1 − k


Đặc biệt :

M là trung điểm của AB

xA + xB

 xM =

2

y +y

  yM = A B
2

zA + zB

 zM = 2


Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( xA; yA; zA ) , B(x B; yB; zB ), C(xC; yC ; zC )
xA + xB + xC

 xG =
3

y +y +y

G là trọng tâm tam giác ABC   yG = A B C
3

zA + zB + zC

 zG =
3


– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5


VI. Tích có hướng của hai véc tơ:
1. Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ a = (a1; a2; a3 ) vàb = (b1; b2; b3 ) là một véc tơ
được ký hiệu :  a; b có tọa độ là :
a
 a; b =  2
 
 b2

a1 a1 a2 
;

b1 b1 b2 

a3 a3
;
b3 b3

2. Tính chất:
•

 a; b ⊥ a vàa; b ⊥ b
 
 

•

1
SABC = .  AB; AC 
2

•

S ABCD =  AB; AD 

A
B

C

D

D'

C

B

•

•

'
VABCD. ABC
' ' ' ' =  AB; AD  .AA
D




1
VABCD = .  AB; AC  .AD
6

C'

A'

A

B'
D
C

A
D

B
C

A
B

•

a cù
ng phương b   a; b = 0

•

a, b, c đồ
ng phẳ
ng   a, b .c = 0

•

A, B, C, D đồng phẳng  AB,AC,AD đồng phẳng   AB,AC .AD = 0

VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

VẤN ĐỀ 2: Xác đònh điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học.

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


Diện tích – Thể tích.
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
– Công thức xác đònh toạ độ của các điểm đặc biệt.
– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:

• A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  AB = k AC   AB, AC  = 0
• ABCD là hình bình hành  AB = DC

• Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của

EB = −

góc A của ABC trên BC . Ta có:

AB
.EC ,
AC

FB =

AB
.FC
AC

• A, B, C, D không đồng phẳng  AB, AC, AD không đồng phẳng
  AB, AC  .AD  0

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu ( S) , ta cần xác đònh tâm I và bán kính R của
mặt cầu.
Dạng 1: ( S) có tâm I ( a; b; c) và bán kính R :
(S): ( x − a)2 + ( y − b)2 + (z − c)2 = R2
Dạng 2: ( S) có tâm I ( a; b; c) và đi qua điểm A :
Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: ( S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
–Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB :
xI =

xA + xB
2

– Bán kính R = IA =

; yI =

yA + yB
2

; zI =

zA + zB
2

.

AB
.
2

Dạng 4: ( S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ):
– Giả sử phương trình mặt cầu ( S) có dạng:

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

7


x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( * ) .

– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào ( * ) , ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu ( S) .
Dạng 5: ( S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng ( P ) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: ( S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu ( T ) cho trước:
– Xác đònh tâm J và bán kính R ' của mặt cầu ( T ) .
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu ( S) .
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)

Chú ý: Với phương trình mặt cầu ( S) :
x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

với a2 + b2 + c2 − d  0

thì ( S) có tâm I ( − a; − b; −c) và bán kính R = a2 + b2 + c2 − d .

VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu
Cho hai mặt cầu S1 ( I 1, R1 ) và S2 ( I 2 , R2 ) .

• I 1I 2  R1 − R2

 ( S1 ) , ( S2 ) trong nhau

• I1I 2  R1 + R2

 ( S1 ) , ( S2 ) ngoài nhau

• I 1I 2 = R1 − R2

 ( S1 ) , ( S2 ) tiếp xúc trong

• I1I 2 = R1 + R2

 ( S1 ) , ( S2 ) tiếp xúc ngoài

• R1 − R2  I 1I 2  R1 + R2

 ( S1 ) , ( S2 ) cắt nhau theo một đường tròn.

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

8


VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu
1. Tập hợp điểm là mặt cầu
Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất ( P ) nào đó.
– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M . Chẳng hạn có dạng:
( x − a)2 + ( y − b)2 + (z − c)2 = R2

hoặc: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
– Tìm giới hạn q tích (nếu có).
2.

Tìm tập hợp tâm mặt cầu
 x = f (t )

– Tìm toạ độ của tâm I , chẳng hạn:  y = g(t ) ( * )
 z = h(t )

– Khử t trong ( * ) ta có phương trình tập hợp điểm.
– Tìm giới hạn q tích (nếu có).

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


2. MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN

I. Các định nghĩa:
1. Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:

đn  a  0

a là VTCP của đường thẳng (  )  
c trù
ng vớ
i ()
a cógiásong song hoặ

Chú ý:
•
•

Một đường thẳng có vơ số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.
Một đường thẳng (  ) hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và

một VTCP của nó.

2. Cặp VTCP của mặt phẳng:

Cho mặt phẳng  xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi a là VTCP của
đường thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b . Khi đó :
Cặp ( a,b) được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng 
Chú ý :

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

10


•
Một mặt phẳng  hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một
cặp VTCP của nó.
3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :

ñn  n  0

n là VTPT của mặt phẳng   
ng goù
c vôù
i mp

n coùgiaùvuoâ

Chú ý :
•
Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.
•

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một
cặp VTPT của nó.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

11


4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:

a = (a1; a2; a3 )
Định lý: Giả sử mặt phẳng  có cặp VTCP là : 
thì mp  có một VTPT là :
b
=
(
b
;
b
;
b
)

1 2 3

a
n =  a; b =  2
 b2

a3 a3

;
b3 b3

a1 a1 a2 
;

b1 b1 b2 

II. Phương trình của mặt phẳng :
Định lý 1: Trong Kg ( Oxyz) . Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M0 ( x0; y0; z0 ) và có
một VTPT n = ( A; B; C) là: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0

Định lý 2: Trong Kg ( Oxyz) . Phương trình dạng :
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2  0

là phương trình tổng quát của một mặt phẳng .
Chú ý :
•
•

Nếu ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì ( ) có một VTPT là n = ( A; B; C)
M0 ( x0; y0; z0 )  ( ) : Ax + By + Cz + D = 0  Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

(Oyz )

z
y
O
(Oxz )

x
(Oxy )

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

12


Các trường hợp đặc biệt:
1. Các trường hợp riêng
Các hệ số

Phương trình mặt
phẳng ()

Tính chất mặt phẳng ()

D=0

Ax + By + Cz = 0

( ) đi qua gốc toạ độ O

A=0

By + Cz + D = 0

( ) // Ox hoặc ( )  Ox

B=0

Ax + Cz+ D = 0

( ) // Oy hoặc ( )  Oy

C=0

Ax + By + D = 0

( ) // Oy hoặc ( )  Oz

A=B=0

Cz+ D = 0

( ) // (Oxy ) hoặc ( )  (Oxy)

By + D = 0

( ) (Oxz)

( )  (Oxz)

Ax + D = 0

( ) (Oyz)

( )  (Oyz)

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

13


2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
 A(a; 0; 0)

Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại  B(0; b; 0) (a,b,c  0)
C(0; 0; c)


là:

x y z
+ + =1
a b c

C

c
O
a

b
B

A

III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:

 a1 = tb1
 a = tb
2
 2
(
a
,
a
,...,
a
)
 1 2
n
Hai bộ n số: 
được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t  0 sao cho .
(b1, b2 ,..., bn )
.

 an = tbn

Ký hiệu:

a1 : a2 : ...: an = b1 : b2 : ...: bn

hoặc

a
a1 a2
=
= ... = n

b1 b2
bn

2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho hai mặt phẳng  ,  xác định bởi phương trình :
( ) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 coùVTPT n1 = ( A1; B1; C1)
(  ) : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 coùVTPT n2 = ( A2 ; B2; C2 )

n1

n2

a
n2

n1


n1


n2
b

b

a

a

b

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

14


( ) cắ
t ( )  A 1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 (hay:


A 1 B1 C1 D1
=
=

A 2 B2 C2 D2

( )  ( ) 

A 1 B1 C1 D1
=
=
=
A 2 B2 C2 D2

( ) // ( )

A 1 B1
B C
C

A

hoặ
c 1  1 hoặ
c 1  1)
A 2 B2
B2 C2
C2 A2

Đặc biệt:

 ⊥   A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
III. Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0
d ( M0 ,( ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C2

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

15


IV. Chùm mặt phẳng
❖

( )

Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng  và

(  ) được gọi là một chùm mặt phẳng
❖

( )

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

( ) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (  ) : A 2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 .

d



Khi đó nếu ( P ) là mặt phẳng chứa ( d ) thì phương trình mặt phẳng ( P ) có

P



dạng

( P) : m.(A1x + B1y + C1z + D1) + n.(A 2x + B2y + C2z + D2 ) = 0,

m2 + n2  0

VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng ( ) ta cần xác đònh một điểm thuộc ( ) và một
VTPT của nó.
Dạng 1: ( ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = ( A; B;C ) :

( ) :

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

Dạng 2: ( ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có cặp VTCP a, b :
Khi đó một VTPT của ( ) là n =  a, b .
Dạng 3:

( ) đi qua điểm M ( x ; y ; z ) và song song với mặt phẳng (  ) : Ax + By + Cz +
0

0

0

( ) :

D = 0:

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

Dạng 4: ( ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C :
Khi đó ta có thể xác đònh một VTPT của ( ) là: n =  AB, AC
Dạng 5: ( ) đi qua một điểm M và một đường thẳng ( d ) không chứa M :
– Trên ( d ) lấy điểm A và VTCP u .
– Một VTPT của ( ) là: n =  AM , u 
Dạng 6: ( ) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng ( d ) :
VTCP u của đường thẳng ( d ) là một VTPT của ( ) .
Dạng 7: ( ) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2 :

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

16


– Xác đònh các VTCP a, b của các đường thẳng d1, d2. .
– Một VTPT của ( ) là: n =  a, b .
– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M  ( ) .
Dạng 8: ( ) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 ( d1, d2 chéo
nhau ) :
– Xác đònh các VTCP a, b của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của ( ) là: n =  a, b .
– Lấy một điểm M thuộc d1  M  ( ) .
Dạng 9: ( ) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 :
– Xác đònh các VTCP a, b của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của ( ) là: n =  a, b .
Dạng 10: ( ) đi qua một đường thẳng ( d ) và vuông góc với một mặt phẳng (  ) :
– Xác đònh VTCP u của ( d ) và VTPT n của (  ) .
– Một VTPT của ( ) là: n = u, n  .


– Lấy một điểm M thuộc d  M  ( ) .
Dạng 11: ( ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (  ) , ( ) :
– Xác đònh các VTPT n , n của (  ) và (  ) .
– Một VTPT của ( ) là: n = u , n  .


Dạng 12: ( ) đi qua đường thẳng ( d ) cho trước và cách điểm M cho trước một
khoảng k cho trước:
– Giả sử () có phương trình: Ax + By + Cz+D = 0 ( A2 + B 2 + C 2  0 ) .

– Lấy 2 điểm A, B  ( d )  A, B  ( ) ( ta được hai phương trình (1) , ( 2)).
– Từ điều kiện khoảng cách d( M ,( )) = k , ta được phương trình ( 3) .
– Giải hệ phương trình (1) , ( 2) , ( 3) (bằng cách cho giá trò một ẩn, tìm
các ẩn còn lại).

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

17


Dạng 13: ( ) là tiếp xúc với mặt cầu ( S) tại điểm H :
– Giả sử mặt cẩu ( S) có tâm I và bán kính R.
– Một VTPT của ( ) là: n = IH
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác đònh
mặt phẳng đã học ở lớp 11.

VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối của hai mặt phẳng

VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng .
Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.

• Khoảng cách từ điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0
d ( M0 ,( ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C2

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm

bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.


ng phương
• Điểm H là hình chiếu của điểm M trên ( P)   MH , n cù
H  ( P)

• Điểm M ' đối xứng với điểm M qua ( P)  MM  = 2 MH

VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng ( ) ,

(  ) có phương trình: ( ) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(  ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

Góc giữa ( ) ,

(  ) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT

n1, n2 .

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

18


cos( ( ),(  ) ) =

Chú ý:

n1.n2
n1 . n2

=

• 00 £ ((·
a ),( b )) £ 900 .

A1 A2 + B1B2 + C1C2
A12 + B12 + C12 . A22 + B22 + C22

• ( ) ⊥ ( )  A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

VẤN ĐỀ 5: Vò trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

Cho mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu

( S) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + (z − c)2 = R2
• ( ) và ( S) không có điểm chung
• ( ) tiếp xúc với ( S)

 d( I ,( ))  R

 d( I ,( )) = R

( ) là tiếp diện

Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:

– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của ( S) và vuông góc với ( ) .
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và ( ) .

H là tiếp điểm của ( S) với ( ) .

• ( ) cắt ( S) theo một đường tròn  d( I ,( ))  R
Để xác đònh tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như
sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của ( S) và vuông góc với ( ) .
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và ( ) .

H là tâm của đường tròn giao tuyến của ( S) với ( ) .

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

19


Baựn kớnh r cuỷa ủửụứng troứn giao tuyeỏn: r = R2 IH 2

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht

20


3. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. Phương trình của đường thẳng:
1) Vectơ chỉ phương của đường phẳng:
Định nghĩa: Cho đường phẳng d . Nếu vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với đường

phẳng d thì vectơ a được gọi là vectơ pháp tuyến của đường phẳng d . Kí hiệu:

a = (a1; a2; a3 )
 Chú ý:
1) a là VTCP của d thì k.a (k  0) cũng là VTCP của d
2) Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d
3) Trục Ox có vectơ chỉ phương a = i = (1; 0; 0)
4) Trục Oy có vectơ chỉ phương a = j = (0;1; 0)
5) Trục Oz có vectơ chỉ phương a = k = (0; 0;1)

2.Phương trình tham số của đường thẳng:
Định lý: Trong Kg ( Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm

M0 ( x0; y0; z0 ) và nhận a = (a1; a2; a3 ) làm VTCP là :

z


a
( )

M0

M ( x, y , z ) y

 x = x0 + ta1

() :  y = y0 + ta2
 z = z + ta
0

3


(t  R)

O

x

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

21


Định lý: Trong Kg ( Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua
điểm M0 ( x0; y0; z0 ) và nhận a = (a1; a2; a3 ) làm VTCP là :
() :

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3

II. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
PP HÌNH HỌC

M

( )


a

( )


n


n


n

a

M

a


a

M

a


a ( )

 x = x0 + a1t (1)

Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho: đường thẳng () :  y = y0 + a2t (2) có VTCP a = (a1; a2; a3 ) và
 z = z + a t (3)
0
3


qua M0 ( x0; y0; z0 ) và mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n = ( A; B; C)
Khi đó :
() caé
t ( )
() // ( )
(  )  ( )

Đặc biệt:

 a.n  0

 Aa1 + Ba2 + Ca3  0

a.n = 0


M


(
P
)
 0
a.n = 0


 M 0  ( P)

Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0

 Ax0 + By0 + Cz0 + D  0
Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0

 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

() ⊥ ( ) Û a và n cùng phương


a


n

a

 a1 : a2 : a3 = A : B : C

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

22


 pt()
PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M của (  ) và ( ) ta giải hệ phương trình: 
tìm
 pt( )

x, y, z. Suy ra: M ( x, y, z)

()( )()

( )

Thế 1 , 2 , 3 vào phương trình mp P và rút gọn đưa về dạng: at + b = 0 (* )

( )

()

• d cắt mp P tại một điểm  Pt * có một nghiệm t .

( )

()

• d song song với P  Pt * vô nghiệm.

( )

()

• d nằm trong P  Pt * có vô số nghiệm t .

( )

• d vuông góc P  a và n cùng phương

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
1

'
a

M0
M0
u
1

M 0 M 0'

b

1
u
'
2
2
M 0'

M0


u

M0

u


u'

2

M

'
0

1


u'

2

PP HÌNH HỌC
Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho hai đường thẳng:
x − x0 y − y0 z − z0

=
=
coùVTCP u = ( a; b; c) vaøqua M 0 ( x0; y0; z0 )
a
b
c
x − x0 y − y0 z − z0
( 2 ) :
=
=
coùVTCP u' = (a' ; b' ; c' ) vaøqua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' )
'
'
'
a
b
c

(1) :

• (1) vaø(2 ) ñoà
ng phaú
ng  u, u'  .M0 M0' = 0



– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

23

• (1) caé
t ( 2 )

 ' 
'
 u, u  .M 0 M 0 = 0

 
a : b : c  a' : b' : c'


• (1) // ( 2 )

 a : b : c = a' : b' : c'  ( x0' − x0 ) : ( y0' − y0 ) : ( z0' − z0 )

• (1)  ( 2 )

 a : b : c = a' : b' : c' = ( x0' − x0 ) : ( y0' − y0 ) : ( z0' − z0 )

• (1) vaø( 2 ) cheù
o nhau

 u, u'  .M 0 M 0'  0



• (1) ⊥ ( 2 )

 u.u ' = 0

 pt(1)
PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M của (1) vaø(2 ) ta giải hệ phương trình : 
tìm
 pt(2 )
x, y, z. Suy ra: M ( x, y, z)
3) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu:

 x = x0 + a1t (1)

Cho đường thẳng d:  y = y0 + a2t (2) và mặt cầu ( S) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2 có tâm
 z = z + a t (3)
0
3

I (a; b; c) , bán kính R.

PP HÌNH HỌC

( )

B1. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu S đến đường thẳng d là h = d( I , d) =

 IM .a
 0 
a

B2. So sánh d( I , d) và bán kính R của mặt cầu:

( )

● Nếu d( I , d)  R thì d không cắt S

( )

● Nếu d( I , d) = R thì d tiếp xúc S

( )

● Nếu d( I , d)  R thì d cắt S tại hai điểm phân biệt M , N và MN vuông góc với đường kính
(bán kính) mặt cầu

PP ĐẠI SỐ: Thế (1) , ( 2) , ( 3) vào phương trình ( S) và rút gọn đưa về phương trình bậc hai

()

theo t *

()

( )

● Nếu phương trình * vô nghiệm thì d không cắt S

()

( )

● Nếu phương trình * có một nghiệm thì d tiếp xúc S

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

24


( )

()

● Nếu phương trình * có hai nghiệm thì d cắt S tại hai điểm phân biệt M , N
Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d

III. Góc trong không gian:
1. Góc giữa hai mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho hai mặt phẳng  ,  xác định bởi phương trình
:

n1 = ( A1 ; B1 ; C1 )
( ) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0


n2 = ( A2 ; B2 ; C 2 )

(  ) : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có công thức:

a

0 0    90 0

b

cos  =

A1 A2 + B1 B2 + C1C2
A12 + B12 + C12 . A22 + B22 + C22

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho đường thẳng () :

( )
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c


a = (a; b; c)

n = ( A; B; C )

và mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng () & ( ) ta có công thức: a

sin  =

0 0    90 0

Aa + Bb + Cc
A + B 2 + C 2 . a 2 + b2 + c2
2


a1 = (a; b; c)

3.Góc giữa hai đường thẳng :
Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho hai đường thẳng :

1
2


a 2 = ( a ' ; b' ; c ' )

0 0    90 0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

25