VECTO ỨNG DỤNG VECTƠ để GIẢI TOÁN HÌNH học (phương pháp giải + bài tập có lời giải) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

Phương pháp chung
Để giải một bài toán tổng hợp bằng phương pháp vectơ ta thường thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Chuyển giả thiết và kết luận của bài toán sang ngôn ngữ của vectơ, chuyển bài toán
tổng hợp về bài toán vectơ.
Bước 2: Sử dụng các kiến thức vectơ để giải quyết bài toán đó.
Bước 3: Chuyển kết quả bài toán vectơ sang kết quả bài toán tổng hợp.

Sau đây là một số dạng toán thường gặp
I. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH
VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH.
1. Phương pháp giải.

uuur
uuur
A
A
B
• Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ
và C cùng
uuur
uuur
phương, tức là tồn tại số thực k sao cho: A B = kA C .
• Để chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định ta đi chứng minh ba điểm A, B, H
thẳng hàng với H là một điểm cố định.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi

uuur

uuur

uuur

có hai số thực a , b có tổng bằng 1 sao cho: OM = a OA + bOB .
Lời giải

uuuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

* Nếu A, B, M thẳng hàng Þ A M = kA B Û A O + OM = k (A O + OB )

uuur
uuur
uuur
Þ OM = (1 - k )OA + kOB . Đặt a = 1 - k ; b = k Þ a + b = 1 và
uuur
uuur
uuur
OM = a OA + bOB .

uuur

uuur

uuur

* Nếu OM = a OA + bOB với a + b = 1 Þ b = 1 - a


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur
Þ OM = a OA + (1 - a )OB Þ OM - OB = a (OA - OB ) Þ BM = a BA Suy ra M, A, B
thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho góc xOy . Các điểm A, B thay đổi lần lượt nằm trên Ox, Oy sao cho

OA + 2OB = 3 . Chứng minh rằng trung điểm I của AB thuộc một đường thẳng cố định.
uur
1 uuur 1 uuur
Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I là OI = OA + OB (*)
2
2
uur

uuur

uuur

Từ ví dụ 1 ta cần xác định hai điểm cố định A', B' sao cho OI = a OA ' + bOB ' với a + b = 1 .
Do đó từ hệ thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' lần lượt trên Ox, Oy

uur

Ta có (* ) Û OI =

OA uuur
OB uuur
OA ' +
OB ' . từ đó ta cần chọn các điểm đó sao cho
2OA '
2OB '

OA
OB
+
= 1 . Kết hợp với giả thiết OA + 2OB = 3 ta chọn được điểm A' và B' sao cho
2OA ' 2OB '
3
3
, OB ' = .
2
4

OA ' =
Lời giải

Trên Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A', B' sao cho OA ' =

uur
Do I là trung điểm của AB nên OI =

Ta có

3
3
, OB ' = .
2
4

1 uuur 1 uuur
OA uuur
OB uuur
OA + OB =
OA ' +
OB '
2
2
2OA '
2OB '

OA
OB
OA OB
1
+

=
+
= (OA + 2OB ) = 1
2OA ' 2OB '
3
3
3
2.
2.
2
4

Do đó điểm I thuộc đường thẳng A'B' cố định.
Ví dụ 3: Cho hình bình hành A BCD , I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đoạn AC
thỏa mãn

AE
2
= . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.
AC
3

Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta đi tìm số k sao cho


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uuur uur
uuur
uur

DE = kDI , muốn vậy ta sẽ phân tích các vectơ DE , DI qua hai vectơ không cùng phương
uuur
uuur
r
r
r
r r
A B và A D và sử dụng nhận xét " ma + nb = 0 Û m = n = 0 với a, b là hai vectơ không
cùng phương " từ đó tìm được k =

2
.
3

Lời giải (hình 1.35)

uur

uuur

uur

uuur

Ta có DI = DC + CI = DC +

uuur 1 uuur
1 uuur
CB = A B - A D (1)
2

2

uuur
Mặt khác theo giả thiết ta có A E =

2 uuur
A C suy ra
3

A

B

uuur
uuur uuur
uuur 2 uuur
DE = DA + A E = DA + A C
3

I
E
D

uuur 2 uuur uuur
2 uuur 1 uuur
= - AD +
A B + A D = A B - A D (2)
3
3
3

(

)

uuur

C
Hình 1.35

2 uur
DI
3

Từ (1) và (2) suy ra DE =

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động trên hai đoạn thẳng cố định BC và BD ( M ¹ B , N ¹ B )
sao cho 2

BC
BD
+ 3
= 10
BM
BN

Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
Dễ thấy luôn tồn tại điểm I thuộc MN sao cho 2

uuur

uuur

r

Gọi H là điểm thỏa mãn 2HC + 3HD = 0

uuur

uuur

uuur

r
BC uuur
BD uur
IM + 3
IN = 0 (1 ) .
BM
BN

r

Ta có (2 ) Û 5HB + 2BC + 3BD = 0

(2 ) do đó H cố định.

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

Û

uuur
2BC uuur 3BD uuur
BM +
BN = 5BH
BM
BN

Û

uuur
2BC uur uuur
3BD uur uur
BI + IM +
BI + IN = 5BH
BM
BN

(

)

(

)

uur

uuur
æ BC
BD ö
÷
(theo (1))
Û çç2
+ 3
BI
=
5
BH
÷
÷
çè BM
BN ø

uur
uuur
uur
1 uuur
Û 10BI = 5BH Û BI = BH (3)
2
Do các điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định bởi hệ thức (3))
Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song A A1, BB 1,CC 1 của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực
tâm của ba tam giác A BC 1, BCA1,CA B 1 nằm trên một đường thẳng.
Lời giải
Gọi H 1, H 2 , H 3 lần lượt là trực tâm của các tam giác A BC 1, BCA1,CA B 1
Ta có:

uuuur

uuur uuur uuuur uuuur
uuur uuur uuur
OH 1 = OA + OB + OC 1 , OH 2 = OB + OC + OA1

uuuur

uuur

uuur

uuur

và OH 3 = OC + OA + OB 1

uuuuur

uuuur

uuuur

uuur

uuuur

uuur

uuur

uuur

uuur

Suy ra H 1H 2 = OH 2 - OH 1 = OC - OC 1 + OA1 - OA = C 1C + A A1

uuuuur
uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuur
uuur uuur
H 1H 3 = OH 3 - OH 1 = OC - OC 1 + OB 1 - OB = C 1C + BB 1
Vì các dây cung A A1, BB 1,CC 1 song song với nhau

uuur uuur uuur
Nên ba vectơ A A1, BB 1,CC 1 có cùng phương

uuuuur

uuuuur

Do đó hai vectơ H 1H 2 và H 1H 3 cùng phương hay ba điểm H 1, H 2 , H 3 thẳng hàng.
3. Bài tập luyện tập.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.101: Cho tam giác A BC và các điểm M là trung điểm AB, N thuộc cạnh AC sao cho

AN =

2
A C , P là điểm đối xứng với B qua C. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
3

Bài 1.102: Cho tam giác A BC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho

1
3
A B , A N = A C . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng BC lấy E .
3
4
uuur
uuur
Đặt BE = xBC .
AM =

Tìm x để A, O, E thẳng hàng.

uur

uur

uur

uur

r

Bài 1.103: Cho D A B C lấy các điểm I, J thoả mãn IA = 2IB , 3JA + 2JC = 0 . Chứng minh
rằng IJ đi qua trọng tâm G của D A B C .

uuuur

uuur

uuur

uuur

Bài 1.104: Cho tam giác A BC . Hai điểm M, N di động thỏa mãn MN = MA + MB + MC
a) Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định.
b) P là trung điểm của AN. Chứng minh rằng MP đi qua điểm cố định.

uuur
uuur
uuur
uuur
Bài 1.105: Cho hai điểm M,P là hai điểm di động thỏa mãn MP = aMA + bMB + cMC .
Chứng minh rằng MP đi qua điểm cố định.
Bài 1.106. Cho hình bình hành A BCD . Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm
đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng
minh ba điểm E, K, F thẳng hàng và K là trung điểm của EF.
Bài 1.107: Cho hai tam giác A BC và A1B 1C 1 ; A2 .B 2 , C 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác

BCA1, CA B 1, A BC 1 . Gọi G , G 1, G 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác A BC , A1B 1C 1 , A 2B 2C 2 .
Chứng minh rằng G , G 1, G 2 thẳng hàng và tính

GG 1
.
GG 2

Bài 1.108. Cho tam giác A BC .Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB

uuur

uuur uuur
uuur uuur
uuur
MB
=
a
MC
,
NC
=
b
NA
,
PA
=
g
PB
sao cho
.
Tìm điều kiện của , ,  để M, N, P thẳng hàng.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.109: Cho tứ giác A BCD ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng trung điểm hai
đường chéo AC, BD và tâm O thẳng hàng.
Bài 1.110: Cho lục giác A BCDEF nội tiếp đường tròn tâm O thỏa mãn A B = CD = EF . Về
phía ngoài lục giác dựng các tam giác A MB , BNC , CPD, DQE , ERF , FSA đồng dạng và
cân tại M, N, P, Q, R, S. Gọi O1, O 2 lần lượt là trọng tâm tam giác MPR và NQS . Chứng minh
rằng ba điểm O , O1, O 2 thẳng hàng.

uuuur

Bài 1.101: Ta chứng minh MN = -

2 uuur
MP Û M, N, P thẳng hàng.
3

uuur
1 uuur 1 uuur
Bài 1.102: Ta có: A O = A B + A C
9
4
uuur
uuur
uuur
A E = (1 - x )A B + x A C

uuur

uuur

A, E, O thẳng hàng Û A E = kA O

uuur
uuur
k uuur k uuur
36
9
Û (1 - x )A B + xA C = A B + A C Û k =

; x =
9
4
13
13
Vậy x =

9
là giá trị cần tìm.
13

uur

uur

uur

uur

r

Bài 1.103: IA = 2IB Û IA - 2IB = 0.

uur
uur
r
uur
uur
uur
3JA + 2JC = 0 Û 3IA + 2IC = 5IJ .

uur

uur

uur

uur

suu

uur

Suy ra 2(IA + IB + IC ) = 5IJ Û 6IG = 5IJ Û I, J, G thẳng hàng.
Bài 1.104: a) Gọi G là trọng tâm tam giác A BC suy ra

uuuur
uuur uuur uuur
uuuur
uuur uuur uuur
uuur
uuur
MN = MA + MB + MC Û MN = GA + GB + GC + 3MG = 3MG
Suy ra M , N , G thẳng hàng hay MN đi qua điểm cố định G.

uuur

b) P là trung điểm AM Þ MP =

1 uuur uuuur
1 uuur uuur uuur

MA + MN ) = (2MA + MB + MC )
(
2
2

uur uur uur
r
Gọi I là trung điểm BC, J là trung điểm AI suy ra 2JA + JB + JC = 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uuur

uuur

Do đó MP = 2MJ suy ra MP đi qua điểm cố định J.

uur

uur

uur

r

Bài 1.105: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A BC suy ra aIA + bIB + cIC = 0

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

Do đó MP = aMA + bMB + cMC Û MP = (a + b + c )MI
Vậy MP đi qua điểm cố định I.

uuur
Bài 1.106: Ta có: EF =

5 uuur 3 uuur uuur
5 uuur 3 uuur
A D + A B , EK = A D + A B
2
2
4
4

uuur
uuur
Þ EF = 2EK . Vì vậy K là trung điểm EF

uuuur

uuur

uuur

uuuur

Bài 1.107: Vì G , G1 là trọng tâm tam giác A BC , A1B 1C 1 suy ra 3GG1 = GA1 + GB 1 + GC 1

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Û 3GG 1 = GA + GB + GC + A A1 + BB 1 + CC 1
uuuur uuur uuur uuur
Û 3GG 1 = A A1 + BB 1 + CC 1

uuuur

uuur

uuur

uuuur

Tương tự G , G2 là trọng tâm tam giác A BC , A2B 2C 2 suy ra 3GG1 = GA1 + GB 1 + GC 1

uuuur uuur uuuur uuuur
Û 3GG2 = A A2 + BB 2 + CC 2

uuur

uuuur

uuuur

uuur

uuur

uuur

uuuur

uuuur

uuuur

Mặt khác A A2 + BB 2 + CC 2 = A A1 + BB 1 + CC 1 + A1A2 + B 1B 2 + C 1C 2
Mà A2 .B 2 , C 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA1, CA B 1, A BC 1

(

uuuur

uuuur

uuuur

)

(

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

Suy ra 3 A1A2 + B 1B 2 + C 1C 2 = 3 A1B + A1C + B 1C + B 1A + C 1A + C 1B

)

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur
= 3 (A1A + A B + A1A + A C + B 1B + BC + B 1B + BA + C 1C + CA + C 1C + CB )
Do đó
uuur uuur uuur
= 6 (A A1 + BB 1 + CC 1 )
uuur uuuur uuuur
uuur uuur uuur
A A2 + BB 2 + CC 2 = 3 (A A1 + BB 1 + CC 1 )

uuuur uuur uuur uuur
Þ GG2 = A A1 + BB1 + CC 1
uuuur

uuuur

Vậy GG 2 = 3GG1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uuur
Bài 1.108: Ta có: MB =

a uuur uuur
1 uuur
BC ; BP =
AB
1- a
g- 1

uuur
uuur uuur
BC = (1 - a )MC ;CN =
uuuur
Ta có: MN = -

uuur
MP = (-

b uuur
AC;
1- b

1 uuur
1

b uuur
AB + (
+
)A C Và
1- a
1- a 1- b

a
1 uuur
a uuur
)A B +
AC
1- a 1- g
1- a

Để M, N, P thẳng hàng thì ta phải có

-

a
1
a
1- a 1- g
1- a
=
Û a bg = 1 .
1
1
b
+

1- a
1- a 1- b

Bài 1.109: Gọi P, Q, R, S lần lượt là các tiếp điểm của các đoạn thẳng AB,BC,CD,DA đối với đường tròn
tâm O. Đặt SA = AP = a, BP = BQ = b, CQ = CR = c, DR = DS = d .
Áp dụng định lý con nhím cho tứ giác A BCD ta có:

uuur
uuur
uuur
uur
r
a
+
b
OP
+
b
+
c
OQ
+
c
+
d
OR
+
d
+
a

OS
=
0
(
)
(
)
(
)
(
)
uuu
r
uuur
uuur ö
æ b uuur
ö
æ
a
çç c OB + b OC ÷
Û (a + b )çç
OA +
OB ÷
+
b
+
c
÷
÷
(

)
÷
çèa + b
a+b
b+ c
ø
èçb + c
ø÷
æ d uuur
ö
æ a uuur
c uuur ÷
d uuur ö÷
çç
+ (c + d )çç
OC +
OD ÷
+
d
+
a
OD
+
OA ÷
(
)
÷
çèc + d
d+a
ø uuur uuur èçd +r a

ø÷
uuur uuur c + d

(

)

(

)

Û (b + d ) OA + OC + (a + c ) OB + OD = 0
uuur
uuur
r
Û (b + d )OM + (a + c )ON = 0

Suy ra O, M, N thẳng hàng (đpcm)
Bài 1.110: Gọi M 1, N 1, P1, Q1, R 1, S 1 lần lượt là hình chiếu của M , N , P ,Q, R , S lên

A B , BC ,CD, DE , EF , FA . Suy ra M 1, N 1, P1,Q1, R 1, S 1 lần lượt là trung điểm của
A B , BC ,CD, DE , EF , FA


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur

uuur

uuur

Ta có MS + R Q + PN =

uuuuur

(MM

1

uuuur uuur uuur
+ M 1A + A S 1 + S 1S +

)

uuur uuur uuuur uuur
uuur uuur uuuur uuuur
+ R R 1 + R 1E + EQ1 + Q1Q + PP1 + P1C + CN 1 + N 1N

(

) (

uuuuur uuur uuur
= 2 MM 1 + PP1 + R R 1

(

)

)

uuuuur

uuur

uuur

uuuur

uuur

uuur

r

( Vì theo định lí con nhím thì MM 1 + PP1 + RR1 + N 1N + Q1Q + S 1S = 0 )
Mặt khác A B = CD = EF suy ra

uuur

uuur

uuur

(

uuur

MM 1
R R1
PP1

1
=
=
=
OM 1
OR 1
OP1
k
uuur

uuur

Do đó MS + R Q + PN = k OM + OP + OR

)

uur uuur uuur
uuur uuur uuur
Û OS + OQ + ON = (k + 1 ) OM + OP + OR
uuuur
uuuur
Û OO2 = (k + 1 )OO1

(

)

Hay ba điểm O , O1, O 2 thẳng hàng.

II. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG

QUY.
1. Phương pháp giải.

uuur

uuur

• Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta đi chứng minh A B = kCD và
điểm A không thuộc đường thẳng CD.
• Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh theo hai hướng sau:
+ Chứng minh mỗi đường thẳng cùng đi qua một điểm cố định.
+ Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho ngũ giác A BCDE . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,
CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ.
Chứng minh rằng IJ song song với AE

A

B

M
I

N
C

J
P

E
Q

D

Hình 1.36


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải (hình 1.36)

uur
uur uur
uuur uuur uur uuur
Ta có 2IJ = IQ + IN = IM + MQ + IP + PN

uuur uuur
1 uuur uuur
1 uuur
= MQ + PN =
A E + BD + DB
2
2
1 uuur
= AE
2

(

)

Suy ra IJ song song với AE
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc các đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn

uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
r
a + b + g ¹ 0 , b MB + g MC = g NC + a NA = a PA + b PB = 0 thì AM, BN, CP đồng
uuur
uuur
uuur
r
quy tại O, với O là điểm được xác định bởi a OA + bOB + gOC = 0
Lời giải

uuur

uuur

r

(

uuur

uuur

) (

uuur

uuur

Ta có b MB + g MC = 0 Û b MO + OB + g MO + OC

)

r
= 0

uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
Û a OA + bOB + gOC + (b + g )MO = a OA
uuur
uuur
Û ( b + g )MO = a OA
Suy ra M, O, A thẳng hàng hay AM đi qua điểm cố định O
Tương tự ta có BN, CP đi qua O
Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy
Ví dụ 3: Cho sáu điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi D là một tam giác có ba
đỉnh lấy trong sáu điểm đó và D ' là tam giác có ba đỉnh còn lại. Chứng minh rằng với các cách
chọn D khác nhau các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D và D ' đồng quy.
Định hướng. Giả sử sáu điểm đó là A, B, C, D, E, F.

Ta cần chứng minh tồn tại một điểm H cố định sao cho với các cách chọn D khác nhau thì H
thuộc các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D và D ' . Nếu D là tam giác ABC thì D ' là
tam giác DEF. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF.

uuur

uuuur

H thuộc đường thẳng GG ' khi có số thực k sao cho HG = kHG '


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

1 uuur uuur uuur
k uuur
(HA + HB + HC ) = (HD +
3
3
uuu
r
uuu
r
uuu
r
1
1
1
k uuur
Û HA + HB + HC - HD 3
3

3
3

Û

uuur uuur
HE + HF )
r
k uuur k uuur
HE - HF = 0
3
3

Vì vai trò của các điểm A, B, C, D, E, F trong bài toán bình đẳng nên chọn k sao cho

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
k
1
- =
Û k = - 1 khi đó HA + HB + HC + HD + HE + HF = 0
3
3
Lời giải
Gọi H là trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F khi đó

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
HA + HB + HC + HD + HE + HF = 0 (* )
Giả sử G , G ' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác A BC , DEF suy ra

uuur uuur uuur
r uuuur uuuur uuuur
r
GA + GB + GC = 0, G ' D + G ' E + G ' F = 0
Suy ra

uuur uuur uuur uuur
uuuur
uuuur uuuur uuuur
(* ) Û 3HG + GA + GB + GC = 3HG ' + G ' D + G ' E + G ' F

uuur
uuuur
Û HG = HG '
Do đó GG' đi qua điểm cố định H do đó các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D và D '
đồng quy.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.111: Cho tứ giác A BCD , gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác
BCD. Chứng minh rằng hai đường thẳng KL và AD song song với nhau
Bài 1.112: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác A BC lần lượt lấy các điểm A1, B 1,C 1 sao cho

A1B
BC
CA
= 1 = 1 = k (k > 0 ). Trên các cạnh B 1C 1, C 1A B 1, A1B 1 lần lượt lấy các điểm
A1C
B 1A
C 1B
A2 , B 2 , C 2 sao cho

A2B 1
BC
CA
1
= 2 1 = 2 1 = . Chứng minh rằng tam giác A 2B 2C 2 có các cạnh
A2C 1
B 2A1
C 2B 1
k

tương ứng song song với các cạnh của tam giác A BC .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.113: Trên đường tròn cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua
trọng tâm của ba trong năm điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua hai
điểm còn lại. Chứng minh rằng mười đường thẳng nhận được cắt nhau tại một điểm.
Bài 1.114. Cho tứ giác A BCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC, CD, DA. Kẻ MM', NN', PP', QQ' lần lượt vuông góc với CD, DA, AB, BC.
Chứng tỏ rằng bốn đường thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy tại một điểm. Nhận xét về điểm
đồng quy và hai điểm I, O (I là giao điểm của MP và NQ).
Bài 1.115: Cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi D là một tam giác có
ba đỉnh lấy trong năm điểm đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng q . Chứng minh rằng
với các cách chọn D khác nhau các đường thẳng nối trọng tâm tam giác D và trung điểm đoạn
thẳng q luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 1.116: Cho tam giác A BC . Ba đường thẳng x, y, z lần lượt đi qua A, B, C và chúng chia đôi
chu vi tam giác A BC .
Chứng minh rằng x, y, z đồng quy .
Bài 1.117: Cho tam giác ABC, các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với các

cạnh BC, CA, AB tại M, N, P.Chứng minh AM, BN, CP cùng đi qua một điểm, xác định điểm
đó.
Bài 1.118 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA

uuur

uuur

uuur

uuur

r

a) Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng GA + GB + GC + GD = 0
b) Gọi A1, B 1,C 1, D1 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Chứng minh rằng
các đường thẳng A A1, BB 1, CC 1, DD1 đồng quy tại điểm G.
Bài 1.119: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là một điểm tùy ý. Gọi A1, B 1,C 1 lần lượt là các
điểm đối xứng với M qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng
a) Các đường thẳng A A1, BB 1,CC 1 đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường
b) M, G, O thẳng hàng và

MO
3
= .
MG
2

Bài 1.120: Cho tam giác A BC . Gọi M, N, P là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác

A BC với các cạnh BC , CA , A B . Gọi D a là đường thẳng đi qua trung điểm PN và vuông góc
với BC, D b là đường thẳng đi qua trung điểm PM và vuông góc với AC, D c là đường thẳng đi
qua trung điểm MN và vuông góc với AB. Chứng minh rằng D a , D b và D c đồng quy.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.121: Cho hai hình bình hành A BCD và A B 'C ' D ' sắp xếp sao cho B' thuộc cạnh
AB, D' thuộc cạnh AD. Chứng minh rằng các đường thẳng DB ', CC ', BD ' đồng quy.
uuur uuur uuur
r
uuur uuur uuur
r
Bài 1.111: Ta có KA + KB + KC = 0 và LB + LC + LD = 0
Trừ vế với vế ta được

uuur uuur
uuur
r
KA - LD + 2KL = 0 Û

uuuur
Bài 1.112: A2C 2 =

uuur uur
uuur
uuur
r
uuur
uuur
r

KL + LA - LD + 2KL = 0 Û DA + 3KL = 0 Suy ra KL//AD

(

)

k 2 - k + 1 uuur
A C , vì k 2 - k + 1 > 0 và A2 Ï A C nên A2C 2 / / A C
2
(k + 1)

Tương tự ta có B 2C 2 / / BC và A2B 2 / / A B
Bài 1.113: Giả sử năm điểm đó là A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 nằm trên đường tròn (O). Ta cần chứng minh
tồn tại điểm H thuộc mười đường thẳng đó.
Gọi G là trọng tâm của tam giác A1A2A3 ; P là trung điểm của đoạn thẳng A4A5 .Vì OP ^ A4A5 (do

OA4 = OA5 ) nên điểm H thuộc đường thẳng đi qua G và vuông góc với đường thẳng A4A5 khi có số
uuur
uuur
uuur
1 uuur uuur uuur
OA1 + OA2 + OA 3 (vì G là trọng tâm của tam giác
thực k sao cho HG = kOP . Mà OG =
3
uuur
1 uuur uuur
OA 4 + OA5 (vì P là trung điểm của đoạn thẳng A4A5 )
A1A2A3 ). OP =
2
uuur

uuur
uuur uuur
uuur
Do đó HG = kOP Û OG - OH = kOP

(

(

)

uuur
1 uuur uuur uuur
k uuur
OA1 + OA2 + OA3 - OH =
OA 4 +
3
2
uuur
1 uuur 1 uuur 1 uuur k uuur
Û OH = OA1 + OA2 + OA 3 - OA 4 3
3
3
2

Hay

(

)

)

(

uuur
OA5

)

k uuur
OA
2 5

Vì các điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn k sao cho

-

k
1
2
=
Û k = 2
3
3
uuur

Khi đó OH =

uuur

Hay OH =

1 uuur uuur uuur uuur uuur
OA1 + OA2 + OA 3 + OA 4 + OA5
3

(

)

5 uuur
OG (G là trọng tâm của hệ điểm {A1, A2, A3, A4, A5 }).
3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.114: Ta cần chứng minh tồn tại điểm H thuộc đường thẳng MM', NN', PP', QQ'.

uuuur

uuur

Vì OP ^ CD (do OC = OD) nên điểm H thuộc đường thẳng MM' khi có số thực k sao cho HM = kOP .
Mà M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD nên

uuuur
uuur
1 uuur uuur
1 uuur uuur
HM =

HA + HB ; OP =
OC + OD
2
2

(

)

(

)

1 uuur uuur
k uuur uuur
HA + HB =
OC + OD
2
2
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
Û HO + OA + HO + OB = k OC + OD Û 2OH = OA + OB - kOC - kOD Vì các điểm
uuuur

uuur

Do đó HM = kOP

Hay

(

)

(

(

)

)

A, B, C, D trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn k = - 1

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

Khi đó 2OH = OA + OB + OC + OD

uuur

uuur

uur

uur

Hay 2OH = 4OI (Dễ thấy I là trọng tâm của tứ giác ABCD) Û OH = 2OI
Vậy H là điểm đối xứng của O qua I.

Bài 1.115: Gọi A, B, C là ba đỉnh của tam giác D và DE là đoạn thẳng q . Gọi G là trọng tâm tam giác D

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

và M là trung điểm của DE thì với điểm O tùy ý ta có OA + OB + OC + OD + OE = 3OG + 2IM
Do đó GM luôn đi qua điểm cố định O là trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, E.
Bài 1.116: Hướng dẫn :

Đặt BC = a, CA = b, A B = c
Giả sử đường thẳng x đi qua A cắt BC tại M khi đó ta có

AB + BM = AC + MC Û c + BM = b + MC

Þ c + 2BM = b + (BM + MC )
Suy ra BM =

a + b- c
a- b+ c
, CM =
2
2
uuur

uuur

r

Do đó : (a + c - b )MB + (a + b - c )MC = 0
Tương tự ta có :

uuur
uuur
uuur
uuur
r
(a + b - c )NC + (b + c - a )NA = (b + c - a )PA + (a + c - b )PB = 0 Do đó x, y, z đồng
uur
uur

uur
r
quy tại I được xác định bới (b + c - a )IA + (a + c - b )IB + (a + b - c )IC = 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.117: Giả sử đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC tại M.
Gọi B’,C’ là tiếp điểm của cạnh AB,AC với đường tròn bàng tiếp góc A
Khi đó AB ' = AC ' Û AB + BB ' = AC + CC ' Û c + BM = c + CM
Đến đây tương tự bài 1.116.

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

Bài 1.118: a) Ta có: GA + GB + GC + GD = 2GM + MA + MB + 2GP + PC + PD =

uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
r
= 2(GM + GP ) + (MA + MB ) + (PC + PD ) = 0

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

b) 3A A1 = A B + A C + A D ; 4A G = A B + A C + A D Þ A A1 =

4 uuur

AG
3

uuur uuur
Þ A A1; A G cùng phương hay AA1 đi qua G
Tương tự ta có BB1 đi qua G; CC1 đi qua G; DD1 đi qua G
Vậy ta có AA1 , BB1 , CC 1 , DD1 đồng quy tại G
Bài 1.119: a) Gọi O là trung điểm CC1

uuur
uuuur uuuur
uuuur uuur uuur
uuur uuur
A A1 = A M + MA1 = A M + MB + MC = A C + MB
uuur
uuur
uuur uuuur
uuur uuur
uuur
2A O = A C + A C 1 = A C + MB (vì A C 1BM hình bình hành) Þ A A1 = 2A O hay O là trung
điểm AA1

uuur

uuur

Tương tự ta có BB 1 = 2BO hay O là trung điểm BB1
Vậy A A1 , BB 1 , CC 1 đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường

uuur

uuur

uuur

uuur

b) Ta có: 3MG = MA + MB + MC

uuur
uuur uuuur
uuur uuur uuur
uuur
uuur
2MO = MA + MA1 = MA + MB + MC Þ 2MO = 3MG
Þ M, G, O thẳng hàng và

uuur

MO
3
=
MG
2

ur uur

ur uur

ur

Bài 1.120: Đặt IM = e1 , IN = e2 , IP = e3
Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của NP, PM, MN.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uur

ur

ur

ur

O là điểm được xác định 2IO = e1 + e2 + e3

uuur

uur

uur

Suy ra OX = OI + IX = -

1 ur ur ur
1 ur ur
1 ur
e1 + e2 + e 3 ) + (e2 + e 3 ) = - e1
(

2
2
2

Suy ra OX ^ BC , tương tự ta có OY ^ A C , OZ ^ A B
Suy ra D a , D b và D c đồng quy tại O.
Bài 1.121: Đặt

uuur

AB ¢
AD¢
= m,
= n (0 < m , n < 1) . Gọi I là giao điểm BD' và DB'
AB
AD

uuur

uuur uuuur

uuuur

uuuur

uuur

uuur

Ta có A C = A B + A D ; A C ¢= A B ¢+ A D ¢= m A B + nA D

uuur
n uuur
BA
BD
uuur
uuuu
r
uuuu
r
uuur
AD¢
n
1 - n uuur
n- 1
= n Þ D ¢A =
D ¢D Þ BD ¢=
=
BB ¢+ n BD
n
AD
n- 1
1- m
1n- 1
uuu
r
uuu
r
uu
r

uu
r
r
1- n
n (m - 1)
Do đó
Þ
IB ¢+ n ID = 0 Þ IB ¢=
ID
1- m
1- n
uuuur n (m - 1) uuur
uuur
uuur
A
B ¢+
A D m (n - 1)A B + n (m - 1)A D
uur
n
1
Þ AI =
=
n (m - 1)
mn - 1
1+
n- 1
uur uuur uur
uuur
uuur
1

IC = A C - A I =
(m - 1)A B + (n - 1)A D ) ;
(
mn - 1
uuur uuur uuuur
uuur
uuur
C ¢C = A C - A C ¢= (1 - m )A B + (1 - n )A D

uur
Suy ra IC =

1 uuuur
C 'C
mn - 1

Suy ra I, C', C thẳng hàng Þ đpcm

III. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG.
1. Phương pháp.
Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương và sử dụng các kết quả sau:

r r
Cho a, b là hai vectơ không cùng phương khi đó


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

r

r

r

r

• Với mọi vectơ x luôn tồn tại duy nhất các số thực m , n sao cho x = ma + nb

r

r

r

• ma + nb = 0 Û m = n = 0

r

r

r ur

r

r ur

r

• Nếu c = ma + nb, c ' = m ' a + n ' b, m '.n ' ¹ 0 và c, c ' là hai vectơ cùng phương thì

m
n
=
m'
n'
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác A BC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho

AM =

1
3
A B , A N = A C . Gọi O là giao điểm của CM và BN.
3
4

Tính tỉ số

OM
ON
và
OB
OC

A
M

Lời giải (hình 1.37)

N

uuur
uuur uuur
uuur
Giả sử ON = n BN ; OM = mCM

O

B

uuur
uuuur uuur
uuuur
uuur
Ta có A O = A M + MO = A M - mCM

Hình 1.37

uuur
uuur
uuuur
uuuur uuur
1
= A M - m (A M - A C ) = (1 - m )A B + m A C ;
3

uuur
uuur uuur
uuur
uuur

Và A O = A N + NO = A N - nBN
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
3
= A N - n (A N - A B ) = (1 - n )A C + nA B
4
uuur

uuur

uuur

Vì A O chỉ có một cách biểu diễn duy nhất qua A B và A C suy ra

ìï
ïï
ï
í
ïï
ïï
î

ìï
1
ïï m =
(1 - m ) = n
3
Û ïí

ïï
3
(1 - n ) = m
ïï n =
4
î

Vậy

2
3.
1
9

OM
2
ON
1
=
= .
và
OB
9
OC
3

C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

Ví dụ 2: Cho hình bình hành A BCD . M thuộc đường chéo AC sao cho A M = kA C . Trên các
cạnh AB, BC lấy các điểm P, Q sao cho MP / / BC , MQ / / A B . Gọi N là giao điểm của AQ và
CP.
Tính tỉ số

CN
AN
và
theo k .
CP
AQ

Lời giải (hình 1.38)

uuur

uuur

uuur

uuur

Đặt A N = xA Q , CN = yCP , ta có:

P

A

uuur
uuur uuur

uuur
uuur
DN = DA + A N = DA + xA Q
uuur
uuur uuur
= DA + x (A B + BQ )

B
N
Q

M
D

uuur
uuur
BQ uuur
= DA + xDC + x
BC
BC

Hình 1.38

C

uuur
uuur
BQ uuur
= DA + xDC - x
DA

BC
Vì MQ / / A B Þ

uuur

uuur
uuur
uuur
BQ
AM
=
= k nên DN = (1 - kx )DA + xDC (1)
BC
AC

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

Mặt khác DN = DC + CN = DC + yCP = DC + y (CB + BP )

uuur
uuur
BP uuur
= DC + yDA + y
BA
BA
Vì MP / / BC Þ

BP
CM
CA - A M
=
=
= 1 - k nên
BA
CA
CA

uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
DN = DC + yDA - y (1 - k )DC = yDA + (1 + ky - y )DC

ìï
k
ïï x =

ìï y = 1 - kx
2
ï
k - k + 1.
Þ í
Từ (1) và (2) ta suy ra: ïí
ïï x = 1 + ky - y
ïï
1- k
î
ïï y = 2
k - k+ 1
ïî

(2)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

Do đó

CN
1- k
AN
k
= 2
và
= 2
CP
k - k+ 1

AQ
k - k+1

Ví dụ 3: Cho tam giác A BC có trung tuyến AM. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm B’ và C’ .
Gọi M' là giao điểm của B'C' và AM. Chứng minh:

AB
AC
AM
.
+
= 2
AB ' AC '
AM '

Lời giải (hình 1.39)

uuur

uuuur

uuur

uuuur

uuuur

uuuur

Đặt A B = x A B ' ; A C = yA C ' ; A M = zA M '

uuuuur

A

uuuuur

Vì M ' Î B 'C ' Þ $ k : B ' M ' = kB 'C '

B'

uuuur uuuur
uuuur uuuur
Û (A M ' - A B ') = k (A C ' - A B ')

uuuur
uuuur
uuuur
Þ A M ' = (1 - k )A B ' + kA C '

C'

M'
B

1 uuuur
1 - k uuur k uuur
Û AM =
AB + AC
z

x
y

M

C

Hình 1.39

1 1 uuur uuur
1 - k uuur k uuur
(A B + A C ) =
AB + AC
z2
x
y
1
1- k
k
1
Û
=
= =
Þ x + y = 2z
2z
x
y
x+ y

Û

Hay

AB
AC
AM
+
= 2
đpcm.
AB ' AC '
AM '

3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.122. Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC ta lấy các điểm M, N sao cho

AM
2 BN
1
= ;
= . Gọi I là giao điểm của AN và CM
MB
5 NC
3
Tính tỉ số

AI
CI
và
IM
AN

Bài 1.123: Cho tam giác A BC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các
đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG
song song AC.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

Tính

ED
GB

Bài 1.124: Cho D A B C có A B = 3, A C = 4 . Phân giác trong AD của góc BA C cắt trung
tuyến BM tại I. Tính

AD
AI

Bài 1.125: Cho tam giác A BC , trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho:

A M = 3MC , NC = 2NB , gọi O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích D A B C biết diện
tích D OBN bằng 1.
Bài 1.126: Cho hình bình hành A BCD . Gọi M, N lần lượt là nằm trên cạnh AB, CD sao cho

A B = 3A M , CD = 2CN , G là trọng tâm tam giác MNB và AG cắt BC tại I. Tính

BI
BC

Bài 1.127: Cho tứ giác A BCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua trung điểm M của AB
dựng đường thẳng MO cắt CD tại N. Biết OA = 1,OB = 2, OC = 3, OD = 4 , tính

CN
.
ND

Bài 1.128. Cho tam giác A BC . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho S A BC = 3S A MC . Một
đường thẳng cắt các cạnh A B , A M , A C lần lượt tại B ', M ',C ' phân biệt. Chứng minh rằng

AB
AC
AM
+ 2
= 3
AB '
AC '
AM '
Bài 1.129: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S
của BD kẻ SM cắt AC tại K. Chứng minh rằng

uur

uuur uur

AM 2
AK
=
2
CK

CM

uuur

Bài 1.122: Đặt A I = x A N ; CI = yCM

uur

uuur

uuur

uuur

Ta có: A I = x (A B + BN ) = xA B +

x uuur
BC
4

uuur x uuur uuur
3x uuur x uuur
21x uuuur x uuur
= xA B + (A C - A B ) =
AB + AC =
AM + AC
4
4
4
8

4


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có:

Tương tự:

21
x
8
AI
8
.
x + = 1Þ x =
Þ
=
8
4
23
AN
23

IC
21
.
=
IM
2

r
uuur
uur
r
uur
r uuur
r
b uuur
Bài 1.123: Ta đặt: CA = a ;CB = b .Khi đó CM = CE = kCA = ka . Vì E nằm ngoài đoạn thẳng
2
uuur
uuur
uuur
uur
r
r
AC nên có số k sao cho CE = kCA = ka , với 0 < k < 1 . Khi đó CF = kCB = kb
Điểm D nằm trên AM và EF nên có hai số x và y sao cho:

uuur
uur
uuur
uuur
uuur
CD = xCA + (1 - x )CM = yCE + (1 - y )CF

r
Hay xa +

r
r
1- x r
b = kya + k (1 - y )b
2
r r

Vì hai vectơ a, b không cùng phương nên x = ky và

1- x
= k (1 - y ) .
2

uuur
r
r
Suy ra x = 2k - 1 , do đó CD = (2k - 1)a + (1 - k )b

uuur

uuur

r

uuur

r

uuur

Ta có: ED = CD - CE = (1 - k )(b - a ) = (1 - k )A B

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

Chú ý rằng vì CF = kCB hay A B + BG = kA B suy ra (1 - k )A B = GB

Do đó

ED
= 1
GB

Bài 1.124: Ta có:

uur
uuur
r
IB

AB
3
=
= Þ 2IB + 3IM = 0
IM
AM
2

uuur
uuuur
uur
Þ 2A B + 3A M = 5A I

(1)

uuur
uuur
r
uuur
uuur
uuur
DB
AB
3
=
= Þ 4DB + 3DC = 0 Þ 4A B + 3A C = 7A D (2)
DC
AC
4
Từ (1) và (2) suy ra

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uuur
uuuur
uuur
uur
uuur
uur r
A D 10
3A C - 6A M = 7A D - 10A I Þ 7A D - 10A I = 0 Þ
=
AI
7

uuur

uuur

uuur

Bài 1.125: Vì A, O, N thẳng hàng nên: BO = xBA + (1 - x )BN

uuur

uuuur

uuur

Tương tự: A O = yA M + (1 - y )A B

uuur

uuuur

uuur

uuur

Þ A B = y A M + (x - y + 1)A B + (x - 1)BN
uuur

uuuur

uuur

hay

r

(x - y )A B + y A M + (x - 1)BN = 0

(1)

uuur
r r uuuur
uuur
ur uur
r

3 r uuur
1r
Đặt CB = a , CA = b , Ta có : A B = a - b; A M = - b; BN = - a
4
3

(

r

Thay vào (1) ta có: (x - y ) a

Û

r
x
y
a
(
) -

r

)

- b -

æ 1rö r
3 r
yb + (x - y )çç- a ÷

÷
÷= 0
çè 3 ø
4

r
x - 1 r 3y r
x
y
b
=
ab
(
)
3
4

ìï
ìï
ïï x - y = x - 1
ïï x =
ï
3
Từ đó ta có: í
Û ïí
ïï
ïï
3
ïï y - x = y
ïï y =

î
4
î
Với x =

1
10
2
5

uuur
1 uuur
1
1 uuur
BA + (1 )BN
Þ BO =
10
10
10

uuur uuur
uuur
1 uuur uuur
1 uuur
NA
BA - BN hay NO =
NA Þ
= 10 .
Þ BO - BN =
10

10
NO

(

)

Vì S ONB = 1 Þ S NA B = 10 Þ S A BC = 30

Bài 1.126: Đặt

uur

uur
uuur
BI
= k , k > 0 Þ BI = kBC
BC

uuur

uur

uuur

uuur

uuur

uuur

Ta có A I = A B + BI = A B + kBC = A B + kA D
Mặt khác G là trọng tâm tam giác MNB suy ra


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uuur uuuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur
uuur
3A G = A M + A N + A B = A B + (A D + A C ) + A B
3
2
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
1
1
11 uuur uuur
= A B + (2A D + A B ) + A B =
AB + AD
3
2
6

uuur uur

Vì A G , A I cùng phương nên

uuur

11 1
6
= Þ k=
6
k
11

uuur uuur

uuur

Bài 1.127: Ta có OC = - 3OA , OD = - 2OA

uuur uuur

uuur

uuur

uuur

Vì OM , ON cung phương nên có số thực k sao cho ON = kOM Þ ON =

Đặt

uuur

3 uuur
2k uuur
CN
OA OB
= k , k > 0 , ta có ON = 1+ k
k+1
ND

Suy ra -

6
4k
3
= Û k=
k (1 + k )
k (k + 1 )
2

uuur

Bài 1.128: Ta có S A BC = 3S A MC Þ BC = 3MC Þ BM =

uuuur

uuur

uuuur

uuur

uuuur

2 uuur
BC
3

uuuur

Đặt A B ' = x A B ; A C '= yA C ; A M ' = zA M

uuuuur

uuuur

uuuur

uuuur

uuur

Ta có B ' M ' = A M ' - A B ' = zA M - xA B

uuur uuur
uuur
uuur 2z uuur
= z A B + BM - x A B = (z - x )A B +
BC
3
uuur 2z uuur uuur
æz

ö uuur 2z uuur
= (z - x )A B +
A C - A B = çç - x ÷
AB +
AC
÷
÷
çè 3
3
3
ø

(

)

(

)

uuuuur
uuuur uuuur
uuur
uuur
B 'C ' = A C ' - A B ' = yA C - xA B

z
2z
- x
uuuuur uuuuur

3
1 2
= 3 Û
= +
Mặt khác B ' M ' , B 'C ' cùng phương nên 3
-x
y
z
x y
Hay

AB
AC
AM
+ 2
= 3
AB '
AC '
AM '

k uuur uuur
(OA + OB )
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

Bài 1.129: (hình 1.56) Đặt

uuuur

Ta có: MK

=

AK
= x> 0
CK

C

1 uuur
x uuur
.MA +
.MC (1)
1+ x
1+ x

M
K

S

A

uuuur uuur
Do: MK , MS cùng phương nên

D

uuuur

uuur
uuur
l uuur
MK = l. MS =
MB + MD
2

(

B

Hình 1.56

)

uuur
ìï uuur
ïï MB = - a MA
MA 2
Mặt khác MA .MB = MC .MD = a > 0 Þ ïí uuur
ïï
a uuur
MD
=
MC
ïï
î
MC 2
uuuur
Suy ra MK = -

al uuur
2MA 2

MA -

al uuur
2MC 2

MC

(2 )

ìï 1
al
ïï
= 2
MA 2
AM 2
AK
ï
1
+
x
2
MA
=
Þ x=
Þ
Từ (1) và (2) suy ra: Þ í

2
2
ïï 1
CK
al
CM
MC
= ïï
2
2MC
ïî 1 + x