LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC của góc (CUNG) LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC ....................................... 2
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ....................................................................................................... 2
1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác................................................................... 2
a) Đường tròn lượng giác: .................................................................................................. 2
b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác. .............................. 2
d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: ............................................................. 2
e) Tính chất: .......................................................................................................................... 3
f) Dấu của các giá trị lượng giác: ....................................................................................... 3
g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. ....................................................................... 3
2. Các hệ thức lượng giác cơ bản .......................................................................................... 4
3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt. .................................................. 4
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ............................................................... 5
DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC. ....................................... 5
1. Phương pháp giải............................................................................................................. 5
2. Các ví dụ minh họa. ......................................................................................................... 6
3. Bài tập luyện tập. .............................................................................................................. 8
DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT,
GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC
LƯỢNG GIÁC. ....................................................................................................................... 10
1. Phương pháp giải. .......................................................................................................... 10
2. Các ví dụ minh họa. ....................................................................................................... 10
3. Bài tập luyện tập: ............................................................................................................ 13

1


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH
BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC x , ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC. .................... 19

1. Phương pháp giải. .......................................................................................................... 19
2. Các ví dụ minh họa. ....................................................................................................... 19
3. Bài tập luyên tập. ............................................................................................................ 24
DẠNG TOÁN 4 : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT
MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. ............................................................................................. 29
1. Phương pháp giải. .......................................................................................................... 29
2. Các ví dụ minh họa. ....................................................................................................... 29
3. Bài tập luyện tập. ............................................................................................................ 34

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác.
a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn
đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc.
y
b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng
B
giác.
H
Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA , OM ) = a gọi
là điểm xác định bởi số a (hay bởi cung a , hay bởi góc a ).
Điểm M còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu
diễn cung(góc) lượng giác có số đo a .
Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường
tròn lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số.
Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số
thực. Các số thực có dạng là a + k 2p , k Î Z .

t
T

S s
M(x;y)

O

K

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường tròn
lượng giác. Với mỗi góc lượng giác (Ou , Ov) có số đo a , xác định điểm M (x; y) trên

2

A x


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
đường tròn lượng giác sao cho sđ... Khi đó ta định nghĩa
cos a = x, sin a = y
ö
sin a æ
çça ¹ p + kp ÷
tan a =
÷
÷
cos a çè
2
ø

cos a
(a ¹ kp )

sin a
Ý nghĩa hình học: Gọi K , H lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy . Vẽ trục số
cot a =

At gốc A cùng hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox ,
gọi T , S lần lượt là giao điểm của đường thẳng OM cắt với các trục sô At , Bs . Khi đó ta
có:

sin a = OH , cos a = OK , tan a = AT ,cot a = BS
e) Tính chất:
• sin a ,cos a xác định với mọi giá trị của a và - 1 £ sin a £ 1,- 1 £ cos a £ 1 .

p
+ kp , cot a xác định khi a ¹ kp
2
• sin a = sin (a + k 2p ),cos a = cos (a + k 2p )
• tan a được xác định khi a ¹

tan a = tan (a + kp ),cot a = cot (a + kp )

f) Dấu của các giá trị lượng giác:
Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng
giác.
Bảng xét dấu
Phần tư
I
II
III
IV
Giá trị lượng giác

cos

+

–

–

+

sin

+

+

–

–

tan

+

–

+

–

cot

+

–

+

–

g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Góc a

0

p
6

p
4

p
3

p
2

2p
3

3p
4

p

3p
2

2p

3


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

sina

cosa
tan a

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2
2

0

–1

0

1

3
2

2
2

1
2

0

-

1
2

–1

0

1

0

3
3

1

3

||

-

3

–1

0

||

0

||

3

1

3

3

0

-

3
3

–1

||

0

||

cot a

-

2
2

2. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1) sin 2 a + cos 2 a = 1

1
p
(a ¹

+ kp )
2
2
cos a
1
3) 1 + cot 2 a =
( a ¹ kp )
sin 2 a
kp
4) tan a .cot a = 1 (a ¹
)
2
2) 1 + tan 2 a =

3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt.

Góc phụ nhau( a và
Góc đối nhau ( a và - a )

Góc bù nhau( a và p - a )

cos(- a ) = cos a

sin(p - a ) = sin a

æp
ö
sin çç - a ÷
= cos a
÷

÷
çè 2
ø

sin(- a ) = - sin a

cos(p - a ) = - cos a

æp
ö
cos çç - a ÷
= sin a
÷
÷
çè 2
ø

tan(- a ) = - tan a

tan(p - a ) = - tan a

æp
ö
tan çç - a ÷
÷
÷ = cot a
çè 2
ø

p

- a)
2

4


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
cot(- a ) = - cot a

æp
ö
cot çç - a ÷
÷
÷ = tan a
çè 2
ø

cot(p - a ) = - cot a

Góc hơn kém p ( a và p + a )

sin(p + a ) = - sin a

p
p
( a và + a )
2
2

Góc hơn kém

æp
sin çç +
çè 2

ö
a÷
= cos a
÷
÷
ø

cos(p + a ) = - cos a

æp
cos çç +
çè 2

ö
a÷
= - sin a
÷
÷
ø

tan(p + a ) = tan a

æp
tan çç +
çè 2

ö
a÷
= - cot a
÷
÷
ø

cot(p + a ) = cot a

æp
cot çç +
çè 2

ö
a÷
= - tan a
÷
÷
ø

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém
p tang côtang, hơn kém

p
chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng
2

còn không nhắc thì đối.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết
quả sau
• Góc a và góc a + k 2p , k Î Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
• Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng a +

k 2p
( với k
m

là số nguyên và m là số nguyên dương) là m. Từ đó để biểu diễn các góc lượng
giác đó ta lần lượt cho k từ 0 tới (m - 1) rồi biểu diễn các góc đó.

5


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:
a)

p
4

b) -

11p
2

c) 1200

d) - 7650

Lời giải :
p
1
a) Ta có 4 = . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng
2p 8

y

nhau.
Khi đó điểm M1 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo

A'

11p
p
trùng với góc và là điểm B ' .
2
2

c) Ta có

M1

p
.
4

13p
p
b) Ta có = - + (- 3).2p do đó điểm biểu diễn bởi
2
2
góc -

B

M2

A

O

M3
B'

120 1
= . Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau.
360 3

Khi đó điểm M 2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 1200 .
d) Ta có - 7650 = - 450 + (- 2).360 0 do đó điểm biểu diễn bởi góc - 7650 trùng với góc

- 450 .
45
1
= . Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )

360 8
¼ ' ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo
Khi đó điểm M 3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB

- 7650 .
Ví dụ 2 : Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau
(với k là số nguyên tùy ý).

6

x


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x1 = kp ;

x2 =

p
+ kp ;
3

x3 = -

p
+ kp
3

Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Lời giải :

• Ta có x1 =

k 2p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x1 = kp
2

Với k = 0 Þ x1 = 0 được biểu diễn bởi điêm A
k = 1 Þ x1 = p được biểu diễn bởi A '

• x2 =

p 2 kp
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có
+
3
2

số đo dạng x2 =

p
+ kp
3

y

p
được biểu diễn bởi M1
k = 0 Þ x2 =
3
k = 1Þ x =

• x3 = -

4p
được biểu diễn bởi M 2
3

p k 2p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc
+
3
2

p
có số đo dạng x3 = - + kp
3

k = 0 Þ x3 = -

k = 1 Þ x6 =

B

M4

A'

M1

A

O

M2

M3

B'

p
được biểu diễn bởi M 3
3

2p
được biểu diễn bởi M 4 .
3

• Do các góc lượng giác x1 , x2 , x3 được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều
AM1 M4 A ' M2 M3 nên các góc lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức

duy nhất là x =

kp
.
3

7

x

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3. Bài tập luyện tập.
Bài 6.6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:
a)

p
3

b) -

17 p
4

c) - 450

d) 7650

Lời giải :
p
1
Bài 6.6: HD: a) Ta có 3 = . Ta chia đường tròn thành sáu phần
2p 6

y
B

p
bằng nhau. Khi đó điểm M1 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo .
3

b) Ta có -

-

17 p
p
= - + (- 2).2p do đó điểm biểu diễn bởi góc
4
4

M3

A'

A

O

17 p
p
trùng với góc và là điểm M 2 .
4
4

c) Ta có

M2
B'

45

1
= . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau.
360 8

Khi đó điểm M 2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo - 450 .
d) Ta có 7650 = 450 + 2.3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc 7650 trùng với góc 450 .

45
1
= . Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau
360 8
» ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo
Khi đó điểm M 3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB

7650 .
Bài 6.7: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo là

x=

M1

p
p
+ k ( k là số nguyên tùy ý).
4
2
Lời giải :

8

x


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 6.7: Ta có x =

x=

p
p p
2p
do đó có bốn điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng
+k = +k
4
2 4
4

p
p
+k
4
2

Với k = 0 Þ x =

p
được biểu diễn bởi điêm M1
4

k = 1Þ x =

3p
được biểu diễn bởi M 2
4

k= 2Þ x=

5p
được biểu diễn bởi M 3
4

k= 3Þ x=

7p
được biểu diễn bởi M 4
4

Vậy góc lượng giác có số đo là x =

y
B
M2

A'

M1

A

O

M3

M4
B'

p
p
+ k được biểu diễn bởi đỉnh của hình vuông
4
2

M1 M 2 M 3 M 4 .

Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau
(với k là số nguyên tùy ý).
x1 = kp ;

x2 =

p
+ kp
2

Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Lời giải :
Bài 6.8: Các góc lượng giác x1 = kp được biểu diễn bởi hai điểm là A và A ' trên đường
tròn lượng giác. Các góc lượng giác x2 =

p
+ kp được biểu diễn bởi hai điểm là B và B '

2

trên đường tròn lượng giác.

9

x


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Từ đó suy ra các góc x1 , x2 có thể viết dưới dạng một công thức là

kp
2

DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC
LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG
GIÁC.
1. Phương pháp giải.
• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác
• Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc
biệt
• Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm
ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu
các giá trị lượng giác.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = sin

A. -

b) B =

A. -

7p
5p
7p
+ cos 9p + tan() + cot
6
4
2

5
2

B.0

C.1

D.

1
2

C.1

D.

1
2

C.1

D.

1
2

1
2 sin 2550° cos(- 188°)
+
tan 368°
2 cos 638° + cos 98°

5
2

B.0

c) C = sin2 25°+ sin2 45°+ sin2 60°+ sin2 65°
A. -

5
2

d) D = tan 2

B.

7
4

p
3p
5p
.tan .tan
8
8
8

10


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
A. -

5
2

B. - 1

C.1

D.

1
2

Li giai :

ổ pử
ổ pử
ổp
ử
ỗỗp + ữ
ỗỗ + 3p ữ
+
cos
p
+
4.2
p
tan
+
cot
a) Ta cú A = sin ỗỗp + ữ
ữ
ữ
ữ
(
)
ữ
ữ
ữ
ỗố
6ứ
4ứ
ốỗ

ốỗ 2
ứ

ị A = - sin

p
p
p
1
5
+ cos p - tan + cot = - - 1- 1 + 0 = 6
4
2
2
2

b) Ta cú B =

1
tan (80 + 360)

+

2 sin (300 + 7.360)cos(8 0 + 180)
2 cos (- 90 0 + 8 0 + 2.360)+ cos (90 0 + 8)

1
(- cos 80 )
1
1

2
B=
+
=
+
=
tan 80 2 cos (80 - 900 )- sin 80 tan 80 2 cos (900 - 80 )- sin 8 0
2 sin 300 (- cos 80 )

2.

1
cos 80
1
cos 8 0
=
=
= 0
tan 80 2 sin 80 - sin 80 tan 8 0 sin 8 0
c) Vỡ 250 + 650 = 900 ị sin650 = cos 250 do ú
2

2
ổ 2ử
ổ1 ữ
ử
ữ
ỗ
2
2

2
2
ỗ
ữ
C = (sin 25 + cos 25) + sin 45 + sin 60 = 1 + ỗỗ ữ + ỗ ữ
ữ
ỗố 2 ứ
ữ ỗố 2 ữ
ứ
0

Suy ra C =

7
.
4

ổ p
3p ử ộờ ổ
pử
5p ự
d) D = - ỗỗtan .tan ữ
. tan ỗỗ- ữ
tan ỳ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗố
8

8 ứ ờở ốỗ 8 ứ
8ỳ
ỷ
M

ổ pử
p 3p p
p 5p p
3p
p
5p
+
= ,- +
= ị tan
= cot , tan
= cot ỗỗ- ữ
ữ
ữ
ỗố 8 ứ
8
8
2
8
8
2
8
8
8

ự

ổ p
ử ổ pử
p ử ộờ ổ
ỗỗ- p ữ
ỗỗ- ữ
ỳ
Nờn D = - ỗỗtan .cot ữ
.
tan
cot
ữ
ữ
ữ
ữ ờ ốỗ 8 ứ
ữ ốỗ 8 ứ
ữỳ= - 1 .
ỗố
8
8ứ
ở
ỷ
Vớ d 2: Cho

p
< a < p . Xỏc nh du ca cỏc biu thc sau:
2

11

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
æp
a) sin çç +
çè 2

ö
a÷
÷
÷
ø

æp
A. sin çç +
çè 2

ö
a÷
÷
÷> 0
ø

æp
B. sin çç +
çè 2

ö
a÷
÷
÷< 0
ø

æp
C. sin çç +
çè 2

ö
a÷
÷
÷³ 0
ø

æp
D. sin çç +
çè 2

ö
a÷
÷
÷£ 0
ø

æ3p
ö
b) tan çç - a ÷
÷
÷
çè 2
ø
æ3p
ö

A. tan çç - a ÷
÷
÷³ 0
çè 2
ø

æ3p
ö
B. tan çç - a ÷
÷
÷£ 0
çè 2
ø

æ3p
æ3p
ö
ö
çç - a ÷
tan
<
0
C. tan çç - a ÷
D.
÷
÷
÷
÷> 0
çè 2
çè 2

ø
ø

æ p
ö
.tan (p - a )
c) cos çç- + a ÷
÷
÷
çè 2
ø
æ p
ö
A. cos çç- + a ÷
÷
÷.tan (p + a ) ³ 0
çè 2
ø

æ p
ö
B. cos çç- + a ÷
÷
÷.tan (p + a )> 0
çè 2
ø

æ p
ö
C. cos çç- + a ÷

÷
÷.tan (p + a ) £ 0
çè 2
ø

æ p
ö
D. cos çç- + a ÷
÷
÷.tan (p + a ) < 0
èç 2
ø

d) sin

14p
.cot (p + a )
9

14p
.cot (p + a ) £ 0
9

A. sin

14p
.cot (p + a ) < 0
9

B. sin

C. sin

14p
.cot (p + a )> 0
9

D. sin

14p
.cot (p + a ) ³ 0
9

Lời giải :
a) Ta có

æp
p
p
3p
suy ra sin çç +
< a< pÞ p< +a<
çè 2
2
2
2

b) Ta có -

ö

a÷
÷
÷< 0
ø

æ3p
ö
p
3p
p
suy ra tan çç - a ÷
> - a > - p Þ 0>
- a>÷
÷< 0
çè 2
ø
2
2
2

12


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c) Ta có

æ p
p
p
p

suy ra cos çç- +
< a < p Þ 0< - + a <
çè 2
2
2
2

Và 0 < p - a <

ö
a÷
÷
÷> 0
ø

p
suy ra tan (p + a ) > 0
2

æ p
ö
Vậy cos çç- + a ÷
÷
÷.tan (p + a )> 0 .
çè 2
ø

3p 14p
14p
<

< 2p Þ sin
< 0.
2
9
9

d) Ta có

p
3p
< p + a < 2p suy ra cot (p + a ) < 0 .
2
2
Vậy sin

14p
.cot (p + a )> 0 .
9

3. Bài tập luyện tập:
Các bài tập sau đây đều không sử dụng máy tính bỏ túi
Bài 6.9: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =

A.

2 2
1+

3

B.

2
1+

3

C.

2 2
1+ 2 3

D.

2 2
2+

3

1 + cos1800° tan(- 390°)
tan(- 420°)

b) B =

A.

sin 405° + sin 495°
cos1830° + cos 3660°

1-

3
3

B.

4-

3
3

C.

1- 3 3
3

D.

1- 2 3
3

c) D = cos00 + cos 200 + cos 400 + ... + cos1600 + cos1800
A.0

B.1

C.2

D.-1

d) E = tan 50 tan100 tan150...tan800 tan850

13


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A.0

B.1

C.2

D.-1

C.2

D.-1

e) F = cos2 15°+ cos2 35°+ cos2 55°+ cos2 75°
A.0

B.1

Lời giải :
2
2.
sin 450 + sin 1350
2 = 2 2

Bài 6.9: a) A =
=
0
0
cos 30 + cos 60
1
3 1+ 3
+
2
2
1-

b) B =

1 - tan 30°
=
- tan 60°
-

1
3 = 1- 3
3
3

c) D = (cos 00 + cos1800 )+ (cos 200 + cos1600 )+ ... + (cos 800 + cos1000 )

= (cos 00 - cos 00 )+ (cos 200 - cos 200 )+ ... + (cos 800 - cos 800 )= 0
d) E = (tan 50 tan 850 )(tan150 tan 750 )...(tan 450 tan 450 )

= (tan 50 cot 50 )(tan150 cot 50 )...(tan 450 cot 50 ) = 1

e) F = (cos2 15° + sin 2 15°)+ (cos2 35° + sin 2 35°) = 2
Bài 6.10: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 5sin 2
A.0
b) B = cos2
A.0

151p
85p
193p
37 p
.
+ 3cos2
- 4 tan 2
+ 7 cot 2
6
3
6
3
B. 3

C.2

D.-1

C.2

D.-1

p

2p
p
3p
.
+ cos2
+ cos2 + cos2
5
5
10
10
B.1

14


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c) C = tan

p
2p
5p
7p
tan
tan
tan
9
9
18
18

A.0

B.1

C.2

D.-1

Lời giải :
Bài 6.10: a) A = 5sin 2

p
p
p
p
+ 3cos2 - 4 tan 2 + 7 cot 2
6
3
6
3
2

2

2
2
æ1 ö
æ1 ö
æ1 ö
æ1 ö

÷
÷
çç ÷
çç ÷
ç
ç
÷
÷
= 5.ç ÷
+
3
4
+
7
= 3
÷
ç
÷
÷
÷
÷
çè 3 ø
çè 2 ø
÷
÷
èç 2 ø
èç 3 ø

b) Ta có cos

p
3p
2p
p
suy ra
= sin
,cos
= sin
5
10
5
10

æ
p
pö æ
3p
3p ö
B = ççcos2 + sin 2 ÷
+ ççcos2
+ sin 2 ÷
÷
÷
÷
÷= 2
çè
10
10 ø èç
10
10 ø

c) Ta có tan

p
7p
2p
5p
= cot
,tan
= cot
Þ C= 1
9
18
9
18

Bài 6.11: Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin 500.cos(- 3000 )
A. A > 0
b) B = sin 2150.tan

C. A ³ 0

D. A £ 0

B. B £ 0

C. B < 0

D. B £ 0

B. C < 0

C. C ³ 0

D. C £ 0

22p
7

A. B> 0
c) C = cot

B. A < 0

æ 2p ö
3p
÷
.sin ççç÷
è
ø
5
3÷

A. C > 0

Lời giải :

15

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 6.11: a) A = sin 500.cos(- 3600 + 600 ) = sin 50 0.cos 60 0 > 0

æ
pö
p
b) B = sin (1800 + 350 ).tan çç3p + ÷
= - sin 350.tan < 0
÷
÷
çè
7ø
7
c) C = - cot

p 3p
p 2p
3p
2p
3p
2p
. Ta có <
< p Þ cot
< p Þ sin
.sin
>0
< 0, <
2
2
5

3
5
3
5
3

Vì vậy C = - cot

3p
2p
.sin
<0
5
3

Bài 6.12: Cho 00 < a < 900 . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin(a + 90 0 )
A. sin(a + 900 ) > 0

B. sin(a + 900 ) ³ 0

C. sin(a + 900 ) £ 0

D. sin(a + 900 ) < 0

b) cot(a - 90 0 )
A. cot(a - 900 ) > 0

B. cot(a - 900 ) ³ 0

C. cot(a - 900 ) < 0

D. cot(a - 900 ) £ 0

c) tan(2700 - a )
A. tan(2700 - a ) > 0

B. tan(2700 - a ) £ 0

C. tan(2700 - a ) ³ 0

D. tan(2700 - a ) < 0

d) cos(2a + 900 )
A. cos(2a + 90 0 ) > 0

B. cos(2a + 90 0 ) < 0

C. cos(2a + 90 0 ) ³ 0

D. cos(2a + 90 0 ) £ 0
Lời giải :

16


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 6.12: a) 900 < a + 900 < 1800 Þ sin(a + 900 ) > 0
b) - 900 < a - 900 < 00 Þ cot(a - 900 ) < 0
c) 1800 < 2700 - a < 2700 Þ tan(270 0 - a ) > 0

d) 900 < 2a + 900 < 2700 Þ cos(2a + 90 0 ) < 0
Bài 6.13: Cho 0 < a <

p
. Xét dấu của các biểu thức sau:
2

a) cos(a + p )
A. cos(a + p ) > 0

B. cos(a + p ) < 0

C. cos(a + p ) ³ 0

D. cos(a + p ) £ 0

B. tan(a - p ) < 0

C. tan(a - p ) ³ 0

D. tan(a - p ) £ 0

b) tan(a - p )
A. tan(a - p ) > 0
æ
2p ö÷
c) sin ççça +
÷
è
5 ø÷

æ
ö
2p ÷
A. sin ççça +
÷
÷> 0
è
5ø

æ
ö
2p ÷
B. sin ççça +
÷
÷< 0
è
5ø

æ
ö
2p ÷
³ 0
C. sin ççça +
÷
÷
è
5ø

æ
ö

2p ÷
£ 0
D. sin ççça +
÷
÷
è
5ø

æ 3p ÷
ö
d) cos ççça ÷
÷
è
8ø
æ 3p ÷
ö
>0
A. cos ççça ÷
÷
è
8ø

æ 3p ÷
ö
<0
B. cos ççça ÷
÷
è
8ø

æ 3p ÷
ö
³ 0
C. cos ççça ÷
÷
è
8ø

æ 3p ÷
ö
£ 0
D. cos ççça ÷
÷
è
8ø

Lời giải :

17


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 6.13: a) p < a + p <

b) - p < a - p < -

c)

3p
Þ cos(a + p ) < 0

2

p
Þ tan(a - p ) > 0
2

æ
2p
2p 9p
2p
2p ö
÷
<
Þ 0< a +
< p Þ sin ççça +
÷> 0
è
ø
5
5
10
5
5÷

d) -

æ3p
ö
p 3p

3p
p 3p
p
<
- a<
Þ - <
- a < Þ cos ççç - a ÷
>0
÷
÷
è8
ø
8
8
8
2
8
2

Bài 6.14: Cho tam giác ABC có góc A tù. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) M = sin A + sin B + sin C
B. M £ 0

A. M > 0

C. M ³ 0

D. M < 0

C. N £ 0

D. N > 0

B. P ³ 0

C. P > 0

D. P £ 0

B. Q < 0

C. Q £ 0

D. Q > 0

b) N = cos A.cos B.cos C
A. N ³ 0
c) P = cos

B. N < 0

A
B
C
.sin .cot
2
2
2

A. P < 0

d) Q = cot A tan B cot C
A. Q ³ 0

Lời giải :
Bài 6.14: a) M > 0

b) N < 0

c) P > 0

d) Q < 0

18


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU
THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC x , ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính
chất của giá trị lượng giác để biến đổi
+ Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương
đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác.
+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm
xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu
để rút gọn cho nhau.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) cos4 x + 2sin2 x = 1 + sin4 x

b)

sin x + cos x
= cot 3 x + cot 2 x + cot x + 1
sin 3 x

c)

cot 2 x - cot 2 y cos2 x - cos2 y
=
cot 2 x.cot 2 y
cos2 x.cos2 y

d)

æ p ö æp
ö
çç - x÷
cos 4 x + 4 sin 2 x = 3 tan ççx + ÷
tan
÷
÷
÷ èç 6
÷
çè
3ø
ø

sin 4 x + 4 cos 2 x +

Lời giải :
2

a) Đẳng thức tương đương với cos4 x = 1 - 2 sin 2 x + (sin 2 x)
2

Û cos4 x = (1 - sin 2 x) (*)
Mà sin2 x + cos2 x = 1 Þ cos2 x = 1- sin2 x
2

Do đó (*) Û cos4 x = (cos 2 x) (đúng) ĐPCM.

19


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
b) Ta có VT =

sin x + cos x
1
cos x
=
+
3
2
sin x
sin x sin3 x

Mà cot 2 x + 1 =

1
sin x
và tan x =
nên
2
cos x
sin x

VT = cot 2 x + 1 + cot x (cot 2 x + 1) = cot 3 x + cot 2 x + cot x + 1 = VP ĐPCM.
c) Ta có VT =

cot 2 x - cot 2 y
1
1
=
= tan 2 y - tan 2 x
2
2
2
2
cot x.cot y
cot y cot x

æ 1
= ççç 2 çècos y

æ 1
çç
çècos 2 x

sin 4 x + 4 (1 - sin 2 x) +

d) VT =

=

ö
÷
1÷
÷
÷
ø

2

(sin x) 2

4 sin 2 x + 4 +

ö
cos 2 x - cos 2 y
1
1
1÷
=
=
= VP ĐPCM.
÷
÷
ø cos 2 y cos 2 x

cos 2 x.cos 2 y

cos 4 x + 4 (1 - cos 2 x)
2

(cos x) 2

4 cos 2 x + 4 =

(sin

2

2

x - 2) +

(cos

2

2

x - 2)

= (2 - sin 2 x)+ (2 - cos2 x) = 4 - (sin 2 x + cos2 x) = 3

æ p ö æp
ö p
æp

ö
æ pö
çç - x÷
çç - x÷
ççx + ÷
+
=
Þ
tan
=
cot
Mặt khác vì ççx + ÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷ nên
çè
ç
ç
3 ø è6
3ø
ø 2
è6
ø
èç
æ pö æ pö

VP = 3 tan ççx + ÷
cot ççx + ÷
÷
÷
÷
÷= 3 Þ VT = VP ĐPCM.
çè
3 ø çè
3ø
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
B
B
cos 3
2
2
= tan A.cot( B + C )
æA + 2 B + C ö
æ
A
+
2
B+ Cö
÷
÷
ç
ç
cos ç
÷
÷
÷ sin èçç

÷
çè
2
2
ø
ø
sin 3

Lời giải :
Vì A + B + C = p nên

20


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
sin 3
VT =

B
2

æp B ÷
ö
ç
cos ç + ÷
çè 2 2 ÷
ø

B
2

B
B
cos 3
ö
2 2=- æ
ççsin 2 B + cos 2 B ÷
=
÷= - 1
çè
æp B ö
B
B
2
2÷
ø
÷
ç
- sin
cos
sin ç + ÷
÷
2
2
èç 2 2 ø
cos 3

sin 3

VP = tan A.cot (p - A) = tan A.(- cot A) = - 1

Suy ra VT = VP . ĐPCM
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
æ3p
ö
æ3p
ö
+ tan ççç - x÷
a) A = cos(5p - x) - sin ççç + x÷
÷
÷
÷
÷+ cot(3p - x)
è2
ø
è2
ø

B. cos x

A.0
b) B =

A.

C. 1

D. - 2cos x

sin(900° + x) - cos(450°- x) + cot(1080°- x) + tan(630°- x)

cos(450°- x) + sin( x - 630°) - tan(810° + x) - tan(810°- x)
- 2 sin x
sin x + cos x

c) C =

A. -

2-

B. cos x

C.

- 2 sin x
sin x + cos x

D. - 2cos x

1
1
1
.
+
với p < x < 2p
sin (x + 2013p ) 1 + cos x 1 - cos x

2 cot 2 x

B.

2 cot 2 x

C. -

3 cot 2 x

D. - cot 2 x

Lời giải :
a) Ta có cos(5p - x) = cos (p - x + 2.2p ) = cos (p - x) = - cos x
æ3p
ö
æ p
ö
æp
ççp + + x÷
ç +
sin ççç + x÷
=
sin
=
sin
÷
÷
÷
÷
è2
ø
èç

ø
èçç 2
2

ö
x÷
÷
÷= - cos x
ø

æ3p
ö
æ p
ö
æp
ö
tan ççç - x÷
= tan çççp + - x÷
= tan ççç - x÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷= cot x
è2
ø
è
ø
è2

ø
2
cot(3p - x) = cot (- x) = - cot x

Suy ra A = - cos x - (- cos x)+ cot x + (- cot x) = 0

21


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
b) Ta có sin(900° + x) = sin (1800 + 2.3600 + x) = sin (1800 + x) = - sin x

cos (4500 - x) = cos (900 + 3600 - x) = cos (900 - x) = sin x
cot(1080°- x) = cot(3.360°- x) = cot (- x) = - cot x
tan(630°- x) = tan(3.180° + 90 0 - x) = tan(90 0 - x) = cot x

sin( x - 630°) = sin (x - 2.3600 + 900 ) = sin (x + 90 0 ) = cos x
tan(810° + x) = tan(4.180° + 90 0 + x) = tan(90 0 + x) = - cot x
tan(810°- x) = tan(4.180° + 900 - x) = tan(90°- x) = cot x

- sin x - sin x - cot x + cot x
- 2 sin x
=
sin x + cos x - (- cot x)- cot x sin x + cos x

Vậy B =

c) Ta có sin (x + 2013p ) = sin (x + p + 1006.2p ) = sin (x + p ) = - sin x nên

C=

2+

=

1
1 - cos x + 1 + cos x
.
sin x (1 - cos x)(1 + cos x)

2+

1
2
1
2
.
= 2+
.
=
2
sin x 1 - cos x
sin x sin 2 x

æ
ö
1
÷
ç
÷

2 çç1 +
÷
çè sin x sin x ÷
÷
ø

Vì p < x < 2p Þ sin x < 0 nên

C=

æ
ö
1 ÷
2 çç1 =÷
2
÷
çè sin x ø

2 cot 2 x

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức.
sin 6 x + cos 6 x + 2
a) A =
sin 4 x + cos 4 x + 1

A.

3
2

B. cos x

C. 1

D. - 2cos x

22


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
b) B =

A.

1 + cot x
2 + 2 cot 2 x
1 - cot x (tan x - 1)(tan 2 x + 1)

3
2

C. 1

sin 4 x + 6 cos 2 x + 3 cos 4 x +

c) C =
A.

B. cos x

3
2

D. - 2cos x

cos 4 x + 6 sin 2 x + 3 sin 4 x

B. cos x

C. 3

D. - 2cos x

Lời giải :
2

a) Ta có Ta có sin 4 a + cos4 a = (sin 2 a + cos2 a ) - 2 sin 2 a cos2 a = 1- 2 sin 2 a cos2 a
3

3

sin6 a + cos6 a = (sin 2 a ) + (cos2 a ) = (sin2 a + cos2 a )(sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a )

= sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a = 1- 2sin2 a cos2 a - sin2 a cos2 a = 1- 3sin2 a cos2 a
2
2
1 - 3 sin 2 a cos 2 a + 2 3 (1 - sin a cos a ) 3
=
=
Do đó A =

1 - 2 sin 2 a cos 2 a + 1 2 (1 - sin 2 a cos 2 a ) 2

Vậy A không phụ thuộc vào x .

2 cos 2 x
1
2+
tan x sin 2 x
b) Ta có B =
1
1
1(tan x - 1) 2
tan x
sin x
1+

2
2
tan x + 1 2 (sin x + cos x) tan x + 1 - 2
=
=
=1
tan x - 1
tan x - 1
tan x - 1

Vậy B không phụ thuộc vào x .
c) C =

(1-

2

cos2 x) + 6 cos 2 x + 3cos 4 x +

(1-

2

sin 2 x) + 6 sin 2 x + 3sin 4 x

23


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
=

4 cos 4 x + 4 cos 2 x + 1 +

=

(2 cos

2

2

x + 1) +

(2 sin

4 sin 4 x + 4 sin 2 x + 1
2

2

x + 1)

= 2 cos 2 x + 1 + 2 sin 2 x + 1
= 3
Vậy C không phụ thuộc vào x .
3. Bài tập luyên tập.
Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa.
Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau:
æp
a) A = cos ççç +
è2

ö
x÷
+ cos(2p - x) + cos(3p + x)
÷
÷
ø

A. - sinx

B. cos x

C. 1

D. - 2cos x

æ7 p
ö
æ3p
ö
çç - x÷
+
cot
b) B = 2 cos x - 3 cos(p - x) + 5 sin ççç - x÷
÷
÷
÷
÷
è2
ø
èç 2
ø

A. - sinx

B. cos x

C. tanx

D. - 2cos x

c) C = 2sin (900 + x)+ sin(9000 - x) + sin (2700 + x)- cos (900 - x)
A. - sinx

B. cos x

C. tanx

D. - 2cos x

C. - tan2 x

D. - 2cos x

9p
) tan(10p + x)
2
d) D =
.
11
cos(5p - x)sin( p + x) tan(7 p - x)
2
sin(5p + x)cos( x -

A. - sinx

B. cos x

Lời giải :
Bài 6.15: a) A = - sin x + cos x - cos x = - sin x
b) B = 2cos x + 3cos x - 5cos x + tan x = tan x
c) C = 2cos x + sin x - cos x - sin x = cos x

24