Vận dụng quy tắc suy luận vào giải toán Tiểu học

Vinh, tháng 05 năm 2017

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu đề tài “Vận dụng quy tắc suy luận vào giải
toán Tiểu học”, ngoài sự cố gắng của bản thân, tôi còn nhận được sự hướng dẫn
nhiệt tình của thầy giáo Nguyễn Tiến Dũng - Giảng viên bộ môn TOÁN CAO
CẤP và sự quan tâm giúp đỡ của các anh chị, bạn bè.
Qua đây tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo
Nguyễn Tiến Dũng cùng các anh chị, bạn bè đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài.
Trong quá trình hoàn thành đề tài nghiên cứu, mặc dù đã cố gắng nhưng
không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định, tôi mong rằng sẽ được
giáo viên và các bạn đọc đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn.
Vinh, ngày 15 tháng 05 năm 2017
Sinh Viên

Vi Thị Ngọc

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN:
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1, Lý do chọn đề tài
2, Mục đích nghiên cứu
3, Nhiệm vụ nghiên cứu
4, Đối tượng- khách thể nghiên cứu
5, Phương pháp nghiên cứu
6, Một số tài liệu tham khảo
PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
A, Lý thuyết

I, Mệnh đề
II, Các phép toán của mệnh đề
1, Phép phủ định
2, Phép hội
3, Phép tuyển
4, Phép kéo theo
5, Phép tương đương
III, Công thức của logic mệnh đề
1, Định nghĩa công thức
2, Giá trị của công thức
3, Sự bằng nhau của hai công thức
4, Phép biến đổi công thức
IV, Luật của logic mệnh đề
V, Quy tắc suy luận
1, Định nghĩa
2, Luật và quy tắc suy luận
3, Các quy tắc suy luận thường gặp
2


4, Một số quy tắc suy luận thường được vận dụng trong các suy luận toán
học
B, CHỨNG MINH MỘT SỐ QUY TẮC SUY LUẬN
1, Quy tắc kết luận Modus ponens
2, Quy tắc kết luận ngược Modus tollens
3, Các quy tắc suy luận bắc cầu
C, VẬN DỤNG QUY TĂC SUY LUẬN VÀO GIẢI TOÁN TIỂU HỌC
1, Bài tập 4, trang 181- SGK Toán 1
2, Bài tập 3, trang 71- SGK Toán 2
3, Bài tập 4, trang 123- SGK Toán 2

4, Bài tập 1, trang 12- SGK Toán 2
5, Bài tập 2, trang 12- SGK Toán 3
6, Bài tập 2, trang 27- SGK Toán 3
7, Bài tập 4, trang 129- SGK Toán 3
8, Bài tập 2, trang 167- SGK Toán 3
9, Bài tập 1-3, trang47- SGK Toán 4
10, Bài tập 1-3, trang 148- SGK Toán 4

3


MỞ ĐẦU
1, lý do chọn đề tài
Việc đổi mới phương pháp dạy và học ở tất cả các cấp học, bậc học...áp
dụng những phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực
tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo thì phải có
năng lực logic. Điều này đã được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước
khẳng định bởi những lợi ích mà nó mang lại.
Bậc học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triển nhân
cách con người, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông và cho toàn bộ
hệ thống giáo dục quốc dân chính là bậc Tiểu học. Vì vậy, ở Tiểu học các em
được phát huy tối đa với các môn học thuộc tất cả các lĩnh vực: tự nhiên, xã hội
và con người.
Môn Toán ở Tiểu học có một ý nghĩa và vị trí đặc biệt quan trọng. Với tư
cách là một môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới hiện thực, nó có
một hệ thống khái niệm, quy luật và có phương pháp riêng. Hệ thống này luôn
phát triển trong quá trình nhận thức về thế giới và đưa ra kết quả là những tri
thức toán học để áp dụng vào cuộc sống. Với đặc thù riêng của môn học, môn
toán thực sự đóng vai trò chủ đạo trong việc trang bị cho học sinh hệ thống các
công cụ và phương pháp riêng, là công cụ cần thiết để học sinh học các môn học

khác và phục vụ cho các bậc học trên. Chương trình sách giáo khoa đảm bảo
phải dạy học những nguyên lý cơ bản và toàn diện về mặt đạo đức, trí tuệ, thẩm
mĩ đồng thời tạo điều kiện cho các em phát triển óc thông minh, khả năng độc
lập suy nghĩ sáng tạo. Cái quan trọng của trí tuệ là rèn luyện óc thông minh và
sức suy nghĩ.
Nhưng thực tế trong dạy học các tính chất, các quy tắc thực hành bốn phép
tính, chúng ta mới chỉ chú trọng đến việc giúp học sinh nắm vững các quy tắc,
tính chất mà chưa coi trọng đúng mức đến cách thức hoạt động của thầy, trò
trong quá trình chiếm lĩnh tri thức ấy. Chính điều này đã dẫn đến một mặt không
phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học, mặt khác
không phát triển được tư duy logic cho học sinh.
4


Đứng trước thực tiễn đó, là một giáo viên Tiểu học trong tương lai, tôi quyết
định chọn đề tài “ Vận dụng quy tắc suy luận vào giải toán Tiểu học”. Với học
sinh Tiểu học còn nhỏ, vốn sống còn hạn chế, tư duy trừu tượng chưa phát triển,
các vấn đề giảng dạy đều phải qua thực nghiệm nên đây là phương pháp chủ
yếu, đơn giản nhất, dễ hiểu nhất đối với học sinh. Mặc dù nó chưa cho phép
chúng ta chứng minh được chân lý mới nhưng cũng giúp chúng ta đưa các em
đến thật gần với chân lý ấy, giúp giải thích ở mức độ nào đó các kiến thức mới,
tránh tình trạng bắt buộc phải thừa nhận kiến thức mới một cách hình thức, hời
hợt. Tôi mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình vào việc giúp các
em học sinh có được năng lực suy luận logic khi học mảng số học, đồng thời
phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh mình sau này.
2, Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp áp dụng quy tắc suy luận vào giải toán trong mạch
số học ở Tiểu học.
3, Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đặc điểm nhận thức của học sinh

- Tìm hiểu về những cơ sở logic toán
- Trình bày về vận dụng quy tắc suy luận trong giải toán Tiểu học
4, Đối tượng- khách thể nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: Vận dụng quy tắc suy luận vào giải toán Tiểu học
Khách thể nghiên cứu: Học sinh Tiểu học
5, Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích, tổng hợp lý thuyết
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Phương pháp thử nghiệm
6, Một số tài liệu tham khảo:
- Giáo trình toán cao cấp 1:

TS. Trần Diên Hiền-Nguyễn Văn Ngọc

(Trường Đại học Sư phạm Hà Nội)
- Giáo trình toán cao cấp 1: Nguyễn Thị Châu Giang (Trường Đại học
Vinh)
- Sách giáo khoa Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán 4 của Bộ giáo dục
5


- Một số trang web giáo dục: luanvan.com, tusach.thuvienkhoahoc.com,....

PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
A, LÝ THUYẾT
I. Mệnh đề:
6


Định nghĩa: Là câu khẳng định có thể xác định tính đúng hay sai của nó. Một

mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Ví dụ:
a, 2 + 3 = 5

là mệnh đề đúng

b, Tam giác đều ABC có ba cạnh bằng nhau

là mệnh đề đúng

c, Số 23 chia hết cho 5 (23 5)

là mệnh đề sai

d, Số 52 là số chẵn

là mệnh đề sai

e, 3<2

là mệnh đề sai

Nhận xét: Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh, các định nghĩa nói chung
các câu không nhằm phản ánh tính đúng sai của thực tế khách quan đều không
được coi là mệnh đề.
Ví dụ: Các câu dưới đây đều không phải là mệnh đề:
a, Hãy điền vào chỗ trống
b, Y là số chẵn
c, Tứ giác ABCD có phải là hình chữ nhật không?
d, Ngày mai trời mưa rất to

e, Bạn đã đến trường chưa?
f, Cuốn sách này bao nhiêu tiền?
h, Ôi! Đôi giày kia đẹp quá!
Ta thừa nhận rằng
- Mỗi mệnh đề là đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không đúng mà
cũng không sai. (Luật bài trùng)
- Không có mệnh đề nào vừa đúng vừa sai. (Luật mâu thuẫn)
Trong logic mệnh đề ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp cũng như
ý nghĩa nội dung của mệnh đề mà chỉ quan tâm đến tính đúng sai của mỗi mệnh
đề.
Để chỉ ra các mệnh đề chưa xác định ta dùng các chữ cái in thường p, q,
r… và gọi chúng là các biến mệnh đề.
Ta quy ước:

p=1

khi p là mệnh đề đúng

p=0

khi p là mệnh đề sai
7


Các giá trị 0 và 1 gọi là các giá trị chân lý của các mệnh đề.
II. Các phép toán của mệnh đề
Với các phép toán đại số, từ các số x, y nào đó ta có thể lập được các số
mới -x, x+y, x-y, x.y…
Tương tự như thế. Trên tập hợp các mệnh đề, với một vài mệnh đề cho
trước, bằng một quy tắc nhất định, ta có thể lập được các mệnh đề mới.

Các quy tắc thiết lập mệnh đề mới này gọi là các phép toán mệnh đề hay
còn gọi là các phép toán logic, các phép liên kết logic.
Ta có một số phép toán mệnh đề cơ bản sau:
1. Phép phủ định:
Định nghĩa: Phủ định của mệnh đề p, kí hiệu là p (đọc là “không p”), là
một mệnh đề sai khi p đúng và đúng khi p sai.
Ví dụ: Xét mệnh đề “5+6=11”, (là mệnh đề đúng). Từ mệnh đề này ta lập được
mệnh đề “5+6 11”. Dễ dàng ta nhận thấy mệnh đề mới này là mệnh đề sai và
nó chính là mệnh đề phủ định của mệnh đề “5+6=11”.
Ta có thể biểu diễn định nghĩa của phép phủ định bằng bảng dưới đây là
bảng giá trị chân lý của phép phủ định.
p
1
0

p

0
1

* Chú ý: Khi tìm phủ định của một mệnh đề cho trước cần thận trọng tránh sai
sót.
Chẳng hạn như: Phủ định của mệnh đề 5<6 là mệnh đề 5 6 chứ không
phải là 5>6.
Một số ví dụ khác về phép phủ định:
a,

p: 2 không phải là số nguyên tố (là mệnh đề sai)
p : 2 là nguyên tố (là mệnh đề đúng)
8

b,

p: hình vuông có 4 góc vuông (là mệnh đề đúng)
p : hình vuông không có 4 góc vuông (là mệnh đề sai)

c,

p: 100 không phải là số tự nhiên (là mệnh đề sai)
p : 100 là số tự nhiên (là mệnh đề đúng)

Thay cho ký hiệu p để chỉ mệnh đề phủ định của mệnh đề p, người ta còn dùng
ký hiệu >p
2. Phép hội
Cho hai mệnh đề:
p: “Trang là học sinh lớp 12A1”
q: “Linh là học sinh lớp 12A2”
Nối hai mệnh đề đó bằng liên từ “và” ta được mệnh đề mới: “Trang là học
sinh lớp 12A1 và Linh là học sinh lớp 12A2”. Mệnh đề mới này ta gọi là hội của
hai mệnh đề đã cho. Trong trường hợp này mệnh đề đúng vì cả hai mệnh đề tạo
thành đều đúng.
Ví dụ 2: Cho hai mệnh đề:
p: “2 là số tự nhiên”
q: “-3 là số tự nhiên”
Nối hai mệnh đề này lại bằng liên từ “và” ta được mệnh đề mới “2 là số tự nhiên
và -3 là số tự nhiên”. Trường hợp này mệnh đề hội sai vì trong hai mệnh đề đó
có một mệnh đề sai.
Ta có định nghĩa phép hội như sau: Hội của hai mệnh đề p và q, ký hiệu p  q,
đọc là “p và q” là một mệnh đề đúng khi cả p lẫn q cũng đúng và sai trong các

trường hợp còn lại.
Ta có bảng chân lý của Phép hội như sau:
p
1
1
0
0

q
1
0
1
0

p q
1
0
0
0
9


Một số ví dụ về phép hội:
Cho các mệnh đề sau:
a,
p:

“số  lớn hơn 2”

q:

“ số  bé hơn 5”

p  q:

“số  lớn hơn 2 và số  bé hơn 5”

p:

“ABC là tam giác cân”

q:

“ABC là tam giác vuông” là mệnh đề sai

là mệnh đề đúng
là mệnh đề đúng
là mệnh đề đúng

b,
là mệnh đề đúng

p  q: “ABC là tam giác vuông cân” là mệnh đề sai
c,
p:

“ Bắc Kinh là thủ đô của nước Đức” là mệnh đề sai

q:

“ Trung Quốc thuộc châu Âu”

p˄q:

“ Bắc Kinh là thủ đô của nước Đức và Trung Quốc thuộc châu Âu”

là mệnh đề sai

là mệnh đề sai
*Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ “và” nhưng không có nghĩa của mệnh
đề hội.
Ví dụ: Lan có được 20 điểm 9 và 10
3. Phép tuyển
Nối hai mệnh đề cho trước bằng liên từ “hoặc” ta được một mệnh đề mới gọi
là tuyển của hai mệnh đề. Phép toán thành lập mệnh đề tuyến gọi là phép tuyển.
*Chú ý: Trong ngôn ngữ thông thường, liên từ “hoặc” được dùng theo hai nghĩa
khác nhau.
- Trong câu: “Trang phải mua váy mới hoặc áo mới” ta hiểu rằng Trang phải
mua một trong hai hoặc phải mua cả hai.
- Trong câu: “Điểm kiểm tra toán của Hùng được 10 hoặc 9” ta hiểu là khi điểm
toán của Hùng chỉ được 1 trong 2 điểm là 10 hoặc 9 không thể 1 bài kiểm tra
được cùng lúc cả điểm 10 và 9 (phép tuyển loại trừ).
Trong logic mệnh đề sử dụng liên từ “hoặc” theo nghĩa thứ nhất được gọi là
phép tuyển không loại trừ, Ta có định nghĩa như sau
10


Định nghĩa: Tuyển của 2 mệnh đề p,q ký hiệu là p v q được gọi là p hoặc q là
một mệnh đề sai khi cả p lẫn q đều sai và đúng trong mọi trường hợp còn lại
Từ định nghĩa của phép tuyển, ta có giá trị của chân lý sau đây:

p
0

q
0

p q
0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

Một số ví dụ về phép tuyển:
a, p: “tháng 12 có 31 ngày”- mệnh đề đúng

q: “tháng 12 có 30 ngày”- mệnh đề đúng
p  q: “tháng 12 có 30 ngày hoặc tháng 12 có 31 ngày” là mệnh đề đúng vì
có 2 mệnh đề trên là mệnh đề đúng
p: “số 9 chia hết cho 3” – là mệnh đề đúng
q: “số 10 chia hết cho 4” – là mệnh đề sai
p  q: “số 9 chia hết cho 3 hoặc số 10 chia hết cho 4” là mệnh đề đúng vì có 1
trong 2 mệnh đề trên là mệnh đề đúng.
b, p: “ 8-2=5 ” – mệnh đề sai
q: “12-2=10 ” – mệnh đề sai
p  q: “8-2=5 hoặc 12-2=9” là mệnh đề sai vì cả hai mệnh đề đã cho là mệnh
đề sai
4. Phép kéo theo
Định nghĩa: Cho hai mệnh đề p và q. Mệnh đề kéo theo p=>q đọc là “p kéo
theo q” hay “nếu p thì q” là mệnh đề chỉ sai khi p đúng và q sai, còn đúng trong
mọi trường hợp còn lại
Ta có bảng chân lý sau đây
p
1
1

q
0
1

p=>q
0
1
11

0
0

0
1

1
1

Phép kéo theo của logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của các từ hoặc cụm từ .
Mệnh đề a kéo theo b thường được diễn đạt dưới những hình thức ≠ nhau
“ nếu a thì b ”
“ a kéo theo b ”
“ từ a suy ra b”
“ a là điều kiện đủ để có b”
“b là điều kiện cần để có a”
Ví dụ về phép kéo theo:
a,

p: “15 có chữ số tận cùng là 5”
q: “15 chia hết cho 5”
p=>q : “15 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5”=> là mệnh đề đúng

b,

p: “dây tóc bóng đèn không có dòng điện chạy qua”
q: “bóng đèn sáng”
p=>q : “nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn không

sáng” là mệnh đề sai

vì mệnh đề giả thiết p đúng mà mệnh đề q sai
c,

p: “mặt trời quay xung quanh trái đất”
q: “Việt Nam nằm ở Châu Âu”
p=>q: “Nếu mặt trời quay xugn quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu

Âu” là mệnh đề đúng vì cả hai mệnh đề p, q đều sai
d,

p: “Một năm có 13 tháng”
q: “tháng 12 có 31 ngày”
p=>q : “Nếu một năm có 13 tháng thì tháng 12 có 31 ngày” là mệnh đề

đúng vì mệnh đề giả thiết p sai.
5. Phép tương đương

12


Định nghĩa: Cho hai mệnh đề p, q. Mệnh đề “p tương đương q” (hay “p nếu và
chỉ nếu q”), ký hiệu p  q là mệnh đề đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề p, q
cùng đúng hay cả hai mệnh đề p, q cùng sai.
Ta có bảng chân lý sau:

p
0
1
0
1

q
0
1
1
0

p q
1
1
0
0

* Chú ý:
1. Trong thực tế, mệnh đề “p tương đương q” có thể được phát biểu với nhiều
hình thức khác nhau
“Nếu p thì q và nếu q thì p” (p=>q  q=>p)
“Nếu p thì q và ngược lại”
“p nếu và chỉ nếu q”
“p khi và chỉ khi q”
“p là điều kiện cần và đủ để có q”
2. Hai mệnh đề a, b tương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của
chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lý (cùng
đúng hoặc cùng sai).
VD: “tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt trời” là mệnh
đề đúng.
“Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.
Một số ví dụ về phép tương đương:
a, p: “8 là số chẵn”
q: “8 chia hết cho 2”

p  q: “8 là số chẵn khi và chỉ khi 8 chia hết cho 2” là mệnh đề đúng vì hai
mệnh đề p, q đều đúng.
b,

p: “9 là số nguyên tố”
q: “-3 là số dương”
13


p  q: “9 là số nguyên tố khi và chỉ khi -3 là số dương “là mệnh đề đúng vì
hai mệnh đề p, q đều sai.
c, p: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật”
q: “Tứ giác ABCD có 4 cạnh bằng nhau”
p  q : “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD có 4
cạnh bằng nhau” là mệnh đề sai vì có một mệnh đề đúng và có một mệnh đề sai.
III. Công thức logic của mệnh đề:
Từ các mệnh đề sơ cấp, nhờ các phép toán logic đã định nghĩa, ta có thể thành
lập được những mệnh đề ngày càng phức tạp.
Trong logic mệnh đề người ta đưa ra khái niệm công thức, tương tự như khái
niệm biểu thức trong toán học.
1, Định nghĩa công thức
Cho p, q, r... là các mệnh đề (hay còn gọi là các biến mệnh đề).
Từ các mệnh đề đó, sử dụng các phép toán, logic, -,  ,  ,=>,<=> ta lập được
những mệnh đề mới, phức tạp hơn như q => p; (p  q)  r …
Từ các mệnh đề mới lập được, lại áp dụng các phép toán logic, ta lại được các
mệnh đề mới, chẳng hạn: ( p  (p  q)); (p=>q)  (q=>p).
Cứ như vậy ta kiến thiết được một dãy các ký hiệu gọi là công thức của logic
mệnh đề.
Như vậy, mỗi công thức của logic mệnh đề là một dãy các ký hiệu thuộc ba loại:
- Các mệnh đề sơ cấp p, q, r…

- Các ký hiệu phép toán logic -,  ,  ,=>,<=>
- Các dấu ngoặc ( ) chỉ thứ tự các phép toán.
* Chú ý:
- Bản thân các mệnh đề sơ cấp cũng là các công thức.
- Nếu P, Q là các công thức thì p , p  q, p  q, p=>, D(=) cũng là công thức.
* Nhận xét: Khái niệm trong công thức logic mệnh đề tương tự như khái niệm
biểu thức đại số trong đại số. Vì thế có hiểu đơn giản công thức của logic mệnh
đề như là biểu thức của logic mệnh đề.
14


Ví dụ: Xét dãy ký hiệu (p  q)=>r
Ta thấy p,q,r là công thức, do đó p  q là công thức, p  q và  là hai công
thức. Vì vậy (p  q)=>r là công thức.
Khi thay p bằng mệnh đề “  ABC là  cân”
q bằng mệnh đề “  ABC có một góc bằng 600”
r bằng mệnh đề “  ABC là  đều”
Thì công thức (p  q)=>r trở thành mệnh đề “Nếu  ABC là  cân và có một góc
bằng 600 thì  ABC là  đều.
=> Mỗi công thức biểu thị cấu trúc của một loạt các mệnh đề (từ một công thức
ta có thể xây dựng các mện đề có cấu trúc xác định).
2. Giá trị của công thức
Khi thay p, q, r… trong công thức bởi các mệnh đề cụ thể (tức là biết tính đúng
sai của nó) thì công thức sẽ trở thành một mệnh đề xác định. Giá trị chân lý của
các mệnh đề phụ thuộc vào giá trị chân lý của các mệnh đề p, q, r và vào kết quả
thực hiện của các phép tính logic.
* Tổng quát:
Cho S(p1, p2,….,pn) là công thức chứa n mệnh đề p1,p2,….,pn.
Khi thay p1,p2,….,pn bằng các mệnh đề cụ thể thì công thức S(p1, p2,….,pn) trở
thành một mệnh đề xác định và có một giá trị chân lý xác định.

Giá trị chân lý này là giá trị của công thức ứng với bộ giá trị (p1, p2,….,pn) đã
cho và có thể tính được bằng cách lập bảng giá trị chân lý của công thức.
VD: Lập bảng chân lý của công thức p  q
p

q

p

q

p q

1
1
0
0

1
0
1
0

0
0
1
1

0
1

0
1

0
1
1
1

*Chú ý: Với công thức chứa mệnh đề ta phải lập bảng chân lý có 2n dòng.
VD: Lập bảng chân lý của công thức p  q =>r.
(Công thức chứa 3 mệnh đề nên ta lập bảng chân lí 8 dòng)
15


p

q

r

p q

1
1
1
1
1
1
0
1

1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
3. Sự bằng nhau của hai công thức

r

(p  q)=>

( p  q ) r

0
1
0
1
0
0
1
1

r
1
0
1
1
1
1
1
1

0
1
0
0
0
0
0
0

Định nghĩa: Cho hai công thức P và Q, ta nói rằng P tương đương logic với Q
(hay P đồng nhất bằng Q).
Ký hiệu P Q, nếu chúng cùng nhận giá trị chân lý như nhau với mọi hệ chân
lý có thể có của các biến mệnh đề có mặt trong chúng.
Hệ thức P Q gọi là một đẳng thức hay một tương đương logic.
Ví dụ: a, p  q  q  p
b, p  p q  q
* Chú ý:
a, Khi định nghĩa sự tương đương logic của hai công thức, không bắt buộc phải
giả thiết chúng cũng chứa các biến mệnh đề như nhau.
b, Để chứng minh đẳng thức P Q ta có thể dùng phương pháp bảng chân lý.
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau:
p q  p  q

p

q

p

q

p q

p q

p q

1
1

0
0

1
0
1
0

0
0
1
1

0
1
0
1

1
1
1
0

0
0
0
1

0
0

0
1

Theo bảng chân lý trên ta thấy hai công thức p  q và p  q cùng nhận giá trị
chân lý như nhau với mọi hệ giá trị chân lý (ở đây có 4 hệ giá trị chân lý) của
các biến mệnh đề có mặt trong chúng. Do đó ta có đẳng thức cần chứng minh.
16


Sử dụng phương pháp dùng bảng chân lý, chúng ta có thể dễ dàng chứng minh
các đẳng thức sau đây phản ánh tính chất của các phép toán logic.
a, Đẳng thức về phủ định của phủ định:
p  p (1)

b, Tính chất giao hoán của phép hội và phép tuyển
p  q  q  p (2.1)
p  q q  p (2.2)
c, Tính chất kết hợp của phép hội và phép tuyển
(p  q)  r p  (q  r) (3.1)
(p  q)  r q  (q  r) (3.2)
d, Tính chất phân phối của phép hội đối với phép tuyển và của phép tuyển đối
với phép hội.
p  (q  r) (p  q)  (p  r) (4.1)
p  (q  r) (p  q)  (p  r) (4.2)
e, Tính chất lũy đẳng của phép hội và phép tuyển
p  p  p (5.1)
p  q p (5.2)
f, Luật Đờ Mooc- găng
p  q  p  q (6.1)
p  q  p  q (6.2)

g, Đẳng thức biểu thị khả năng biểu diễn phép toán logic => qua các phép toán
logic khác.
(p=>q)  p  q (7.1)
(p=>q)  p  q (7.2)
h, Đẳng thức có liên quan đến phép tương đương (<=>)
p <=>q (p=>q)  (q=>p) (8.1)
p<=>q q<=>q<=>p (8.2)
p<=>q  p <=> q (8.3)
k, Đẳng thức có liên quan đến các hằng 0 và 1
17


p  0 0 (9.1)
p  1 0 (9.2)
p  0 p (9.3)
p  1 1 (9.4)
p  p 1 (9.5)
p  p 0 (9.6)
l, Đẳng thức biểu thị sự tương đương giữa mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo:
p=>q  q => p (10)
4. Phép biến đổi công thức:
Trong logic mệnh đề, ta đã hình thành khái niệm công thức, tương tự như khái
niệm biểu thức trong toán học, và khái niệm đẳng thức, tương tự như khái niệm
hằng đẳng thức trong toán học.
Dựa vào các hằng đẳng thức, chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi đồng nhất,
tương tự như phép biến đổi đồng nhất trong toán học.
Chúng ta sử dụng phép biến đổi đồng nhất để chứng minh một đẳng thức hoặc
đưa một công thức về dạng đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Dùng phép biến đổi đồng nhất để chứng minh các đẳng thức:

a, (p=>q)=> q p  q
Ta có: (p=>q)=> q  p q  q (theo 7.1)
 p  q  q (theo 7.1)
(p  q )  q (theo 6.2)
(p  q)  ( q  q) (theo 4.2)

= p  q  1 (theo 9.5)
= p  q = vế phải (theo 9.2)
b, ( p  q  r)  ( p  q  r)  (q  r) (p=>q)  r
Ta có ( p  q  r)  ( p  q  r)  (q  r)
[(( p  q)  ( p  q ))  r)]  (q  r) (theo 4.1)
( p  r)  (q  r) (theo 9.6 và 9.3)
18


( p  q)  r (theo 4.1)
(p=>q)  r (điều phải chứng minh) (theo 6.1)

Ví dụ 2: Dùng phép biến đổi đồng nhất đưa các công thức sau đây về dạng đơn
giản nhất.
a, ( p  q =>p  q)  q
[( p  q)  p  q]  q (theo 7.1)
[( p  p)  (q  q)]  q (theo 3.2)
 p  p  q (theo 5.2)

b, (p=> q )  p  q
( p  q )  p  q (theo 7.1)
( p  q )  ( p  q ) (theo 6.2)
( p  q )  p )  ( p  q  q ) (theo 4.2)
[( p  p )  q ]  [ p  ( q  q )] (theo 3.2)

( p  q )  ( p  q ) (theo 5.2)
 p  q (theo 5.1)

IV. Luật của logic mệnh đề
1. Định nghĩa:
Khi tính giá trị của một công thức, có thể xảy ra trường hợp công thức luôn luôn
nhận giá trị 1 với tất cả các bộ giá trị có thể có của các mệnh đề chứa trong nó.
Trong trường hợp này, công thức được gọi là một luật logic (hay mệnh đề hằng
đúng)
Định nghĩa: Cho công thức S(p,q,r…) Nếu mệnh đề biểu thị bởi công thức S
luôn luôn đúng với các mệnh đề p,q,r… bất kỳ thì gọi S(p,q,r…) là một luật
logic. Ta dùng ký hiệu S(p,q,r…) để chỉ S(p,q,r…) là một luật.
Nói khác đi S(p,q,r…) là một luật khi S(p,q,r…) nhận giá trị 1 với mọi bộ
giá trị của các mệnh đề p,q,r…
* Chú ý:

19


- Để xem một công thức chứa n mệnh đề có là một luật hay không ta phải tính
giá trị của công thức trong 2n trường hợp.
- Nếu trong mọi trường hợp công thức đều nhận giá trị bằng 1 thì công thức
đúng là 1 luật.
- Nếu với một bộ giá trị nào đó của các biến mà công thức nhận giá trị 0 thì nó
không phải là một luật.
Ví dụ:
Cho mệnh đề:
p: “Paris là thủ đô của nước Pháp”
q: “Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam”
p  q: “Paris là thủ đô của ngước Pháp và Hà Nội là thủ đô của nước Việt

Nam” là 1 mệnh đề đúng nghĩa là p  q 1 hay ta có luật p  q.
Ví dụ 2:
Cho mệnh đề:
p: “Mặt trời quay quanh trái đất”
q: “Nước Hàn Quốc ở Châu Âu”
p  q: “Mặt trời quay quanh trái đất hoặc nước Hàn Quốc ở Châu Âu” là
một mệnh đề sai nên p  q không phải là một luật.
Với công thức S là 1 luật của logic mệnh đề ta có ký hiệu: |=S
* Nhận xét:
- Công thức S là hằng đúng khi và chỉ khi phủ định của nó ( S ) là hằng sai.
- Nếu A là hằng đúng thì A là thực hiện được.
- Hai công thức hằng đúng thì tương đương logic với nhau. Hai công thức hằng
sai cũng tương đương logic với nhau.
- Để có thể chứng minh công thức A là hằng đúng, hằng sai, hay thực hiện được
ta có thể dùng phương pháp lập bảng Chân lý để tính giá trị Chân lý của S.
Ví dụ:
Chứng minh công thức sau đây là hằng đúng:
p  q p
Ta lập bảng chân lý sau:
20


q
q
p q
p  q p
1
0
0
1

0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1


Theo bảng chân lý trên ta thấy công thức p q p nhận giá trị 1 với mọi hệ giá
trị chân lý của các biến mệnh đề có mặt trong nó.
Do đó công thức p  q  p là một luật.
*Chú ý: Có thể chứng minh luật nói trên bằng phương pháp biến đổi đồng nhất
như sau:
p  q p  p  q  p  p  q  p
1  q 1

Như vậy, để chứng minh một công thức A là một công thức đúng, ta có thể dùng
phương pháp lập bảng chân lý hoặc phương pháp biến đổi đồng nhất trên cơ sở
đã biết những đẳng thức trước đó.
*Một số luật quan trọng của logic mệnh đề:
1.

p  p

2.

p  p

3.

p  p

4.

p  p
p  p

5.

p  q  p
p  q  q

6.

p  p  q

7.

 p   p  q  q

8.

 p   p  q  q

9.

 p  q    q  p    p  q 

10.

 p  q    p  q 
21








11.

 p  q  p  q  p

12.

 p  q    q  r    p  r 

13.

 p  q   q  p

14.

 p   q  p

15.

 p  r    q  r    p  q  r 

16.

 p  q    p  r    p  q  r 

17.

 p   q  p

18.

p  p  p





p  p  p

19.

p  q  q  p
p  q  q  p

20.

 p  q   r  p   q  r 
 p  q   r  p   q  r 

21.

 p   q  r    p  q   p  r 
 p   q  r    p  q   p  r 



22.

 p  q   q  p

23.

p  q  p  q



p  q  p  q

24.

 p  q    q  p 



 p  q   p  q



25.

 p  q    q  p    p  q 

26.

 p  q    q  r    p  r 

27.

 p  q   p  q

28.

 p  q   p  q

29.

 p   q  r    q   p  r 
22


 p   q  r   

30.

 p  q  r 

V. Quy tắc suy luận:
Phân tích các suy luận trong chứng minh toán học, ta thấy mỗi chứng
minh bao gồm một số bước rất đơn giản. Mỗi bước được tiến hành theo một quy
tắc nhất định để công nhận một mệnh đề nào đó như là hệ quả trực tiếp của
những mệnh đề khác mà tính đúng đắn được chứng minh hoặc công nhận.
Ta gọi những quy tắc như vậy là quy tắc suy luận.
1. Định nghĩa:
Giả sử S1, S2,..., Sn, T là một dãy hữu hạn các công thức của cùng các biến
p,q,r…
Nếu tất cả các bộ giá trị của p,q,…,r làm cho S1, S2,..., Sn.
Khi đó ta cũng nói rằng có một quy tắc suy luận từ các tiền đề S1, S2,..., Sn
tới hệ quả logic T của chúng.
S1, S2,..., Sn
T
Ký hiệu:

hay

S1, S2,..., Sn

T

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng muốn chứng minh T là hệ quả logic của S1, S2,...,
S1, S2,..., Sn
T
Sn (tức là chứng minh quy tắc suy luận
) ta có thể dùng phương pháp

lập bảng chân lý.

Theo phương pháp này ta lập giá trị của các công thức S1, S2,..., Sn, T trên cùng
một bảng với tất cả giá trị có thể có của các biện mệnh đề có mặt trong S1, S2,...,
Sn, T. Nếu tất cả các giá trị chân lý của các biến mệnh đề làm S1, S2,..., Sn nhận
S1, S2,..., Sn
T
giá trị 1, B nhận giá trị 1 thì ta có quy tắc suy luận

Ví dụ 1: Chứng minh quy tắc suy luận
p  q, q  p
p q
Ta lập bảng chân lý sau:

p
1
0

q
0
0

p q
0
1

q p
1
1

p q
0

1
23


1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
Theo bảng chân lý trên ta thấy, với tất cả những hệ giá trị chân lý làm cho p  q
và q  p đúng thì cũng làm cho p  q đúng.
Do đó ta có quy tắc suy luận

p  q, q  p
p q

Ví dụ 2: Chứng minh quy tắc suy luận
p  r, q  r
p q r
Ta lập bảng chân lý sau:
p

q

r

1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
Từ bảng chân lý trên ta thấy:

p r

q r

p q

p q r

1
0
1
0
1
1
1
1

1
0
1
1
1
0
1
1

1
1
1
1
1
1
0

0

1
0
1
0
1
0
1
1

 p  r 1
thì p  q  r 1
q

r

1


Nếu 

2. Luật và quy tắc suy luận:
Giữa hai khái niệm luật và quy tắc suy luận có mối liên hệ chặt chẽ.
*Định lý: Cho các công thức
S1, S2,..., Sn, B
Ta có luật S1  S 2  ...Sn  T khi và chỉ khi có quy tắc suy luận:
S1, S2,..., Sn
T

*Chứng minh định lý:
Giả sử ta có luật  S1  S 2  ...Sn   T
Suy ra  S1  S 2  ...  Sn   T 1
Theo định nghĩa của phép kéo theo thì:
Khi S1  S 2  ...  Sn 1 thì T cũng phải bằng 1.
24


Như vậy với những bộ giá trị p,q,r… làm cho S1, S2,..., Sn nhận giá trị 1 thì cũng
làm cho T nhận giá trị 1.
Do đó ta có quy tắc suy luận

S1, S 2,...Sn
T

*Chứng minh đảo:
Giả sử ta có quy tắc suy luận

S1, S 2,...Sn
T

Nếu  S1  S 2  ...  Sn   T không là một luật thì phải có một bộ giá trị (pp0,q0,
 S1  S 2  ...  Sn 1
(theo
 T 0

…,r0) để S1  S 2  ...  Sn  T 0  Chỉ có thể xảy ra khi 
phép kéo theo)

Nghĩa là bộ giá trị (p0,q0,…,r0) làm cho các tiền đề S0,S1,…Sn nhận giá trị 1 trong

khi hệ quả logic nhận giá trị 0.
 Mâu thuẫn với giả thiết.

Như vậy S1  S 2  ...  Sn  T phải là một luật.
*Áp dụng định lý trên thì ta có quy tắc suy luận ở ví dụ 2 mục 1 là

p  r, q  r
p q r

được suy ra từ luật:  p  r )   q  r    p  q  r 
3. Các quy tắc suy luận thường gặp
a, Quy tắc kết luận:
Quy tắc

p. p  q
(1) được gọi là quy tắc kết luận
q

Dạng tổng quát của quy tắc kết luận là:
p1, p 2,..., pn p1  p 2  ...  pn   q
(2)
q

Theo quy tắc suy luận này thì:
Nếu p1,p2,...,pn là các mệnh đề đúng và mệnh đề

 p1 

p 2  ...  pn   q cũng đúng thì mệnh đề q đúng.

* Nhận xét: - Để chứng minh q là mệnh đề đúng, nếu đã có định lí
p1  p 2  ...  pn  q thì chỉ cần chứng minh p1, p 2,..., pn là các mệnh đề đúng.

25