Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình mũ logarit cho học sinh lớp 12

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN THỊ DUYÊN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ
ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI

2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN THỊ DUYÊN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ

ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐÀO THỊ HOA

HÀ NỘI

2018


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận này, bên cạnh sự nỗ lực của bản thân,
em đã nhận đƣợc sự giúp đỡ và động viên nhiệt tình của gia đình, thầy cô, bạn
bè.
- Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trực thuộc khoa Toán của
trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã tận tình giúp đỡ và truyền đạt những
kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho em trong suốt 4 năm học đại học.
- Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ths. Đào Thị Hoa - giảng viên hƣớng
dẫn khóa luận - ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, động viên và tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành khóa
luận này.
- Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn lắng nghe, chia sẻ
và ủng hộ em trong suốt thời gian học tập cũng nhƣ làm khóa luận.
Dù đã cố gắng hết sức nhƣng khóa luận vẫn không thể tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót. Kính mong nhận đƣợc sự góp ý, nhận xét từ phía thầy cô và các
bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Duyên

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu....................................................................................... 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .................................................................. 2
4. Giả thuyết khoa học ........................................................................................ 2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
7. Cấu trúc của khóa luận .................................................................................... 3
NỘI DUNG ........................................................................................................... 4
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................. 4
1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục .................................................. 4
1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đề
lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm, tƣ tƣởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung,
phƣơng pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện bảo đảm thực hiện........................... 4
1.1.2. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát
triển toàn diện năng lực và phẩm chất ngƣời học ................................................. 4
1.1.3. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn ......................................... 5
1.1.4. Chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển giáo dục và đào tạo,
đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế để phát
triển đất nƣớc......................................................................................................... 6
1.1.5. Dự thảo môn Toán chƣơng trình giáo dục phổ thông mới ....................... 7
1.2. Tính thực tiễn của Toán học........................................................................... 7
1.1.6. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn ......................................................... 7
1.1.7. Toán học phản ánh thực tiễn..................................................................... 8
1.1.8. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn ........................................ 9
1.2. Bài toán thực tiễn ....................................................................................... 12
1.2.1. Khái niệm bài toán thực tiễn................................................................... 12
1.2.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học ........................... 14

1.3.3. Phƣơng pháp chung giải bài toán thực tiễn ............................................ 17
1.4. Thực trạng xây dựng và sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề
phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 ..................................................... 22
1.4.1. Khái quát về khảo sát thực trạng ............................................................ 22
1.4.2. Kết quả khảo sát ..................................................................................... 23
Kết luận chƣơng 1 ............................................................................................... 26
CHƢƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ
ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12 ................... 27
2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của chủ đề phƣơng trình mũ-logarit trong
dạy học Toán ở phổ thông ................................................................................... 27
2.2. Đề xuất hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học phƣơng trình mũ-logarit
cho học sinh lớp 12 ............................................................................................. 31
2.2.1. Nguyên tắc xây dựng................................................................................. 31
2.2.2. Phƣơng pháp xây dựng bài toán thực tiễn................................................. 33
2.2.3. Quy trình xây dựng ................................................................................... 34
2.2.4. Hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học phƣơng trình mũ-logarit ........ 35
2.2.5. Định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán đã xây dựng ................................ 66
2.3. Kiểm nghiệm hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình
mũ-logarit cho học sinh lớp 12 ........................................................................... 68
2.3.1. Mục đích kiểm nghiệm.............................................................................. 68
2.3.2. Thời gian kiểm nghiệm ............................................................................. 68
2.3.3. Nội dung kiểm nghiệm .............................................................................. 68
2.3.4. Phƣơng pháp kiểm nghiệm ....................................................................... 68
2.3.5. Kết quả kiểm nghiệm ................................................................................ 68
Kết luận chƣơng 2 ............................................................................................... 72
KẾT LUẬN CHUNG .......................................................................................... 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC VIẾT TẮT
Đ/S:

Đáp số

GV:

Học sinh

HS:

Học sinh

PPDH:

Phƣơng pháp dạy học

SBT:

Sách bài tập

SGK:

Sách giáo khoa

THCS:

Trung học cơ sở

THPT:

Trung học phổ thông


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hiện nay nhà nƣớc ta đang tiến hành công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại
hóa, đổi mới tiến tới xây dựng nhà nƣớc xã hội phát triển hòa nhập với khu vực
và thế giới. Đổi mới giáo dục và đào tạo là một trong những yếu tố quan trọng
quyết định sự thành công của công nghiệp hóa, hiện đại hóa, thực hiện mục tiêu
“dân giàu, nƣớc mạnh, công bằng, dân chủ, văn minh”.
Nghị quyết 88 của Quốc hội khóa XIII chỉ rõ: “Đổi mới giáo dục phổ thông
theo hƣớng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ và định
hƣớng nghề nghiệp, tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tích hợp
cao ở các lớp dƣới và phân hóa dần ở các lớp trên”[6]. Yếu tố tăng tính thực
hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn đƣợc nhấn mạnh trong định hƣớng đổi
mới giáo dục đào tạo nhằm phát triển phẩm chất và năng lực của ngƣời học.
Trong chƣơng trình Toán phổ thông, phƣơng trình giữ vị trí quan trọng trong
chƣơng trình. Phƣơng trình nói chung và phƣơng trình mũ-logarit nói riêng
không chỉ có vai trò trong nội bộ môn Toán mà còn có vai trò quan trọng trong
các môn học khác nhƣ Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý,… và cả trong thực tế.
Việc vận dụng các kiến thức lý thuyết này vào cuộc sống, việc giải các bài tập
gắn liền với thực tiễn sẽ làm phát triển ở các em tính tích cực, tự lập, sự sáng
tạo, sự hứng thú nhận thức, tinh thần vƣợt khó, đó là những phẩm chất quý báu
đối với cuộc sống, lao động sản xuất.
Tuy nhiên, hệ thống bài toán thực tiễn trong chƣơng trình Giải tích 12 nói
chung và chủ đề phƣơng trình mũ-logarit nói riêng còn ít, chƣa đa dạng, chƣa
đáp ứng đƣợc mục tiêu dạy và học của giáo viên cũng nhƣ học sinh. Học sinh có
thể giải thành thạo các bài toán liên quan đến phƣơng trình mũ-logarit nhƣng lại

lúng túng với các bài toán ứng dụng của nó trong thực tiễn và các môn học khác.
Trên quan điểm đó cùng với sự mong muốn xây dựng hệ thống bài toán thực
tiễn ứng dụng của phƣơng trình mũ-logarit có chất lƣợng tốt, góp phần nâng cao
1


hiệu quả dạy và học, em đã chọn đề tài “XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình
mũ-logarit và định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán này nhằm góp phần
nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề này nói riêng và nâng cao chất
lƣợng dạy học môn Toán nói chung.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Phƣơng trình mũ-logarit trong chƣơng trình Giải tích 12 nâng cao.
4. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học phƣơng trình mũ-logarit, nếu giáo viên xây dựng và
sử dụng đƣợc hệ thống bài toán thực tiễn của chủ đề phƣơng trình mũ-logarit thì
góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề này ở nhà trƣờng phổ thông
nói riêng và dạy học môn Toán nói chung.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1.

Nghiên cứu cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn.

5.2.

Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn về
dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit ở chƣơng trình toán 12 của giáo

viên phổ thông.

5.3.

Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình
mũ-logarit ở chƣơng trình toán 12.

5.4.

Kiểm nghiệm chất lƣợng của hệ thống bài toán đã xây dựng.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1.
-

Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các văn bản, nghị quyết của Đảng, Nhà nƣớc về lĩnh vực giáo

dục, đào tạo.

2


-

Nghiên cứu các sách, báo, khoá luận, tạp chí,… có liên quan đến các bài

toán thực tiễn, kiểm tra đánh giá, phƣơng pháp dạy học môn Toán, chủ đề
phƣơng trình mũ-logarit.
6.2.

-

Phƣơng pháp điều tra, quan sát
Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy

học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12.
-

Tìm hiểu thái độ học tập, cách nhìn nhận của học sinh, tìm hiểu đánh giá

của giáo viên, học sinh về tác dụng của hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy
và học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit ở chƣơng trình toán 12.
6.3.

Phƣơng pháp kiểm nghiệm giáo dục
Xác định chất lƣợng của hệ thống bài toán thực tiễn và tính khả thi của

những gợi ý cơ bản đã đƣợc trình bày trong khoá luận.
6.4.

Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm
Tổng kết kinh nghiệm của các giáo viên toán THPT về việc xây dựng và
sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy và học chủ đề phƣơng trình mũlogarit cho học sinh lớp 12.

7. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận bao gồm
2 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2. Hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũlogarit cho sinh lớp 12.

3


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.

Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục

1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn
đề lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm, tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội
dung, phương pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện bảo đảm thực hiện
Đây là một trong những quan điểm chỉ đạo hàng đầu đƣợc trích trong
nghị quyết số 29-NQ/TW, Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ƣơng khóa
XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Quan điểm chỉ rõ việc đổi
mới về mục tiêu, nội dung và phƣơng pháp dạy học. Nếu nhƣ trƣớc đây, việc
dạy học Toán chỉ tập trung vào các khái niệm, định lí, tính chất,… mang đậm
tính hàn lâm, lý thuyết và các bài tập toán có độ khó cao, yêu cầu vận dụng các
kiến thức đƣợc học để giải quyết các vấn đề phức tạp, trừu tƣợng trong nội bộ
môn Toán thì ngày nay, cần phải đƣợc chuyển hƣớng dần sang việc vận dụng
các kiến thức toán đƣợc học vào giải quyết các vấn đề liên môn và các vấn đề
nảy sinh ngay trong đời sống kinh tế, xã hội. Muốn đạt đƣợc điều đó, cần thay
đổi trƣớc hết từ mục tiêu, sau đó điều chỉnh nội dung và phƣơng pháp dạy học
để từng bƣớc gắn liền nội dung môn Toán trung học phổ thông vào thực tiễn đời
sống.
1.1.2. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang
phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học
Trƣớc đây mục tiêu giáo dục toàn diện thƣờng đƣợc hiểu đơn giản là: Học
sinh phải học đầy đủ tất cả các môn học thuộc các lĩnh vực khoa học tự nhiên,
khoa học xã hội và nhân văn, nghệ thuật, thể dục thể thao,… Không những thế,

việc thực hiện mục tiêu giáo dục cũng nghiêng về truyền thụ kiến thức càng
nhiều càng tốt; chú trọng truyền bá kiến thức hơn đào tạo, bồi dƣỡng năng lực
của ngƣời học; ít yêu cầu ngƣời học vận dụng kiến thức vào thực tế,…
Tình hình này đã dẫn đến hiện tƣợng “quá tải”, vừa thừa, vừa thiếu đối với
ngƣời học và đối với mục tiêu giáo dục.
4


Mục tiêu giáo dục theo tinh thần đổi mới là: phát triển toàn diện năng lực và
phẩm chất ngƣời học. Toàn diện ở đây đƣợc hiểu là chú trọng phát triển cả phẩm
chất và năng lực con ngƣời, cả dạy chữ, dạy ngƣời, dạy nghề.
Giáo dục và đào tạo phải tạo ra những con ngƣời có phẩm chất, năng lực cần
thiết nhƣ trung thực, nhân văn, tự do sáng tạo, có hoài bão và lí tƣởng phục vụ
Tổ quốc, cộng đồng.
Đồng thời phải phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá
nhân, làm chủ bản thân, làm chủ đất nƣớc và làm chủ xã hội; có hiểu biết và kĩ
năng cơ bản để sống tốt và làm việc hiệu quả,… nhƣ Bác Hồ từng mong muốn:
“Một nền giáo dục nó sẽ đào tạo các em nên những ngƣời công dân hữu ích cho
nƣớc Việt Nam, một nền giáo dục làm phát triển hoàn toàn những năng lực sẵn
có của các em”[7].
1.1.3. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn
Quan điểm đổi mới này cũng đồng thời là nội dung của nguyên lí giáo dục:
“Học đi đôi với hành, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục kết hợp với lao
động sản xuất, nhà trƣờng gắn liền với gia đình và xã hội”.
Chủ nghĩa Mác cho rằng, lí luận và thực tiễn là hai phạm trù có quan hệ biện
chứng với nhau. Lý luận không có thực tiễn là lý luận suông, thực tiễn không có
lý luận là thực tiễn mù quáng. Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lí. Mục đích cuối
cùng của việc học là làm việc. Nhƣ trong bài nói chuyện của Bác Hồ tại Đại học
Sƣ phạm Hà Nội ngày 21.10.1964: “Các cháu học sinh không nên học gạo,
không nên học vẹt,… Học phải suy nghĩ, học phải liên hệ với thực tế, phải có thí

nghiệm và thực hành. Học với hành phải kết hợp với nhau”. Hay Bác cũng đã
từng nói: “Học với hành phải đi đôi. Học mà không hành thì học vô ích. Hành
mà không học thì hành không trôi chảy”.
Nhƣ vậy theo quan điểm đổi mới trên, việc dạy học phải làm thế nào đó, để
học sinh có thể vận dụng đƣợc các kiến thức đƣợc học vào giải quyết những vấn
đề, nhiệm vụ trong thực tiễn đời sống xã hội.
5


1.1.4. Chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển giáo dục và đào tạo,
đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế để phát
triển đất nước
“Hội nhập quốc tế” là cụm từ không còn xa lạ với sự nghiệp phát triển giáo
dục và đào tạo nƣớc ta. Để đáp ứng đủ các yêu cầu hội nhập quốc tế, thì việc
đánh giá học sinh cũng cần phải đƣợc thực hiện theo những tiêu chuẩn đánh giá
chung của quốc tế. Hiện nay, chƣơng trình “Đánh giá học sinh quốc tế (PISA)”
đang đƣợc ngành giáo dục và đào tạo nƣớc ta quan tâm rất nhiều. Đây là bộ
phận chính của một hệ thống định hƣớng quy mô lớn đƣợc thực hiện bởi Tổ
chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (OECD). Hệ thống này phục vụ cho mục
đích cung cấp thông tin cho các nƣớc thành viên của tổ chức này về những ƣu
điểm và nhƣợc điểm của nền giáo dục nƣớc họ. Đƣợc tổ chức định kì 3 năm một
lần, PISA kiểm tra, đánh giá sự chuẩn bị của nhà trƣờng dành cho học sinh để
bƣớc vào xã hội tri thức, nói cách khác là khả năng thích nghi của học sinh đối
với những thách thức của một xã hội tri thức, tập trung vào 3 mảng kĩ năng:
khoa học, đọc hiểu và toán học. Năng lực toán học đƣợc PISA định nghĩa: “Khả
năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của Toán học trong đời
sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành
niềm đam mê tìm tòi khám phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời
sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ý thức, có tính xây dựng và
có hiểu biết”[4]. Kỳ thi đánh giá năng lực của PISA đƣợc áp dụng cho học sinh

ở độ tuổi từ 15 tuổi 3 tháng đến 16 tuổi 2 tháng, tức là độ tuổi của học sinh lớp 9
ở Việt Nam. Đề thi đánh giá năng lực toán học bao gồm 100% các bài toán thực
tiễn xuất phát trong đời sống thực tiễn. Vậy Bài hỏi đặt ra cho việc đánh giá học
sinh ở lứa tuổi tiếp theo của PISA, tức là học sinh lớp 10 trung học phổ thông thì
đƣợc xem xét nhƣ thế nào? Đồng nghĩa với việc cần tăng cƣờng hơn nữa việc
vận dụng toán học trong nhà trƣờng phổ thông vào giải quyết các tình huống
thực tiễn, các bài toán thực tiễn.
6


1.1.5. Dự thảo môn Toán chương trình giáo dục phổ thông mới
Chƣơng trình môn Toán đƣợc xây dựng trên cơ sở quán triệt quan điểm nội
dung phải tinh giản, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống
thực tế hay các môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực giáo dục
STEM, gắn với xu hƣớng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học, đời sống xã
hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (nhƣ biến đổi khí hậu, phát triển
bền vững, giáo dục tài chính,...).
Bảo đảm tính chỉnh thể, thống nhất và phát triển liên tục từ lớp 1 đến lớp 12.
Có thể hình dung chƣơng trình đƣợc thiết kế theo mô hình gồm hai nhánh song
song liên kết chặt chẽ với nhau, một nhánh mô tả sự phát triển của các mạch nội
dung kiến thức cốt lõi và một nhánh mô tả sự phát triển của năng lực, phẩm chất
của học sinh.
Chƣơng trình môn Toán sẽ đƣợc tích hợp xoay quanh ba mạch kiến thức: Số
và Đại số; Hình học và Đo lƣờng; Thống kê và Xác suất.
1.2. Tính thực tiễn của Toán học
Tính thực tiễn của Toán học đƣợc thể hiện ở chỗ: Toán học có nguồn gốc
từ thực tiễn, Toán học phản ánh thực tiễn, Toán học có ứng dụng rộng rãi trong
thực tiễn.
1.1.6. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn
Số học ra đời trƣớc hết do nhu cầu của số đếm. Hình học phát sinh do nhu

cầu đo lại ruộng đất sau những trận lụt ở ven bờ sông Nin hàng năm,...
Ăng-ghen đã chỉ ra rằng:
Trong quá trình tồn tại và phát triển loài ngƣời, do nhu cầu hoạt động thực
tiễn của con ngƣời, những khái niệm Toán học ban đầu (khái niệm về số tự
nhiên, về đại số và hình học) đƣợc con ngƣời trừu tƣợng hóa từ trong thế giới
hiện thực, chứ không phải là do phát sinh từ trí não của con ngƣời, do tƣ duy
thần túy, những ngón tay, ngón chân, những hòn đá nhỏ, nhờ đó ngƣời ta học
đếm. Từ chỗ biết đếm, con ngƣời có khái niệm đầu tiên về số tự nhiên, khái
7


niệm về 4 phép tính số học, những đối tƣợng có hình dạng khác nhau mà
ngƣời ta so sánh, những mảnh đất trên đó ngƣời ta đo diện tích và thể tích,…
đƣa đến kiến thức ban đầu về hình học. Con ngƣời đã nghiên cứu tất cả những
sự vật đó, số lƣợng, hình dạng, thể tích, diện tích của chúng trong khi giải
quyết những bài toán mà họ gặp phải trong hoạt động thực tiễn của họ. Kiến
thức toán học thời xƣa đƣợc xây dựng nhờ kinh nghiệm săn bắt, trồng trọt,
chăn nuôi, xây dựng,… Có thể nói đây là giai đoạn phát sinh của Toán học.
Những kiến thức rời rạc và chỉ dựa vào kinh nghiệm dần dần đƣợc hệ thống
hóa và ngƣời ta xây dựng Toán học thành một khoa học suy diễn.
Sự phát triển của Toán học có thể chia làm 3 giai đoạn khác nhau tƣơng
ứng với trình độ sản xuất và kỹ thuật.
Giai đoạn 1: Giai đoạn Toán sơ cấp tƣơng ứng với trình độ sản xuất theo
kiểu thủ công với kỹ thuật thô sơ.
Giai đoạn 2: Giai đoạn Toán học cao cấp cổ điển tƣơng ứng với trình độ sản
xuất kiểu cơ khí đòi hỏi phải có những công cụ Toán học để phục vụ cho cơ
học, thúc đẩy sự ra đời của các môn hình học giải tích, phép tính vi phân và
tích phân,…
Giai đoạn 3: Giai đoạn Toán học hiện đại tƣơng ứng với trình độ sản xuất tự
động hóa là với sự ra đời của lý thuyết tập hợp, các lý thuyết thuật toán,… Góp

phần phát minh ra máy tính điện tử, phát triển ngành Toán học tính toán.
Với 3 giai đoạn phát triển của Toán học chúng ta thấy rằng Toán học có
nguồn gốc từ nhu cầu thực tiễn của cuộc sống con ngƣời và do cả nhu cầu của
chính bản thân nó.
1.1.7. Toán học phản ánh thực tiễn
Toán học không chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả
năng phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, toàn diện. Đó là bởi: Toán
học là khoa học về cấu trúc tổng quát, các quan hệ đƣợc trừu tƣợng hóa các đối
tƣợng của hiện thực khách quan.
Chúng ta đi tìm hiểu một số ví dụ sau:
8


Ví dụ 1. Về định nghĩa của hàm số: Các hàm số là chân dung của Toán học
của tính qui luật của tự nhiên. Ta hãy để ý đến các hiện tƣợng tự nhiên của thế
giới xung quanh mà con ngƣời gọi chúng đó là: “Quy luật tự nhiên”; “chuồn
chuồn bay thấp thì mƣa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”; “chớp đông nhay
nháy, gà gáy trời mƣa”. Các “quy luật” này diễn tả một sự tƣơng ứng của một
hiện tƣợng thứ nhất và hiện tƣợng thứ hai.
Ví dụ 2. Trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lƣợng ánh sáng tác động vào phim
ảnh cho tƣơng ứng với độ đen của nó.
Trong Toán học mọi quy tắc xác định tƣơng ứng đƣợc gọi là một hàm số.
Trong ví dụ 2, theo cách nói của Toán học thì độ đen của phim ảnh là hàm số
của lƣợng ánh sáng.
1.1.8. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng nhƣ trong sản xuất và
đời sống.
Trong quá trình học tập tại trƣờng phổ thông, HS sẽ đƣợc biết đến các ứng
dụng thực tiễn đơn giản của toán học qua các bài toán nhƣ:

-

Ứng dụng lƣợng giác để đo khoảng cách không tới đƣợc

Ví dụ 1. “Tính khoảng cách từ một điểm trên bờ trong đến một gốc cây trên một
cù lao ở giữa sông.
Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa
sông, ngƣời ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ sông A sao cho từ A đến B có
thể nhìn thấy điểm C. Ta đo khoảng cách AB, góc CAB và CBA . Chẳng hạn ta
đo đƣợc AB

40 m, CAB

45o, CBA= =70o.

Khi đó khoảng cách AC
đƣợc tính nhƣ sau:
Áp dụng định lý sin vào
tam giác ABC , ta có
9


AC
sin B

AB
sin C

Vì sinC = sin(α + β) nên
AC =

ABsinβ
40.sin70o
=
sin(α + β)
sin115o

Vậy AC
-

41, 47 (m).

41, 47 (m) ”[5].

Ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời của chuyển động.

Ví dụ 2. Một ngƣời trƣợt ván trên đƣờng có hình Parabol với phƣơng trình:
s

1 2
t ( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc của chất điểm tại
4

thời điểm t0

2 (giây).

Ta có “vận tốc tức thời v(t0 ) tại thời điểm to của chuyển động có phƣơng trình
s

s(t) bằng đạo hàm hàm số s

s(t) tại điểm t0 , tức v(t 0 ) = s (t 0 ) ”[1].

Nên vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0
v(t0 )

-

s (t0 )

1
t
2 0

2 là

1
.2
2

1 (m).

Ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích

Ví dụ 3. Một chi đoàn thanh niên đi dựng trại, họ dự định dựng một lều trại có
dạng parabol (nhìn từ mặt trƣớc, lều trại đƣợc căng thẳng từ trƣớc ra sau, mặt
sau trại cũng là parabol có kích thƣớc giống nhƣ mặt trƣớc) với kích thƣớc:
nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh
của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía

trong trại để cử số lƣợng ngƣời tham dự trại cho phù hợp.
Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB

3 mét, BC

6 mét, đỉnh

của
Parabol là I . Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB ,

A

3
3
; 0 , B ; 0 , I 0;3 ; phƣơng trình của parabol có dạng:
2
2
10


ax 2

y

b (a

0) . Do I , A, B thuộc (P) nên ta có: y
3
2

tích phần không gian phía trong trại là V = 6.2
0

4 2
x
3

3 . Vậy thể

4
- x 2 + 3 dx = 36 m3 .
3

Ngoài ra, Toán học còn ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác nhƣ:
Trong y học, nhờ có những phƣơng tiện kỹ thuật hiện đại và những phƣơng
pháp tính toán, sử dụng phƣơng pháp thống kê toán học và máy tính điện tử đã
giúp con ngƣời khai thác một cách có hiệu quả các kinh nghiệm để khám và
chữa bệnh một cách hiệu quả và chính xác.
Trong giao thông vận tải Toán học cũng đóng một vai trò rất quan trọng
ngƣời ta dùng phƣơng trình tuyến tính để lựa chọn phƣơng án vận chuyển tiết
kiệm nhất, chọn phƣơng án hợp lý để giảm bớt chi phí và đạt hiệu quả tối ƣu
nhất.
Các nhà Toán học sử dụng góc để thiết kế chỗ đỗ xe vì hầu hết việc sắp xếp
vị trí đỗ xe đều liên quan đến không gian đỗ.
Các phi công máy bay, các chuyên gia quân sự, các thủy thủ đi trên các
chuyến tàu vƣợt đại dƣơng,… đều cần sử dụng khái niệm góc để di chuyển tới
đích một cách hiệu quả.
Ngoài ra chúng ta đã biết trong giao thông tắc đƣờng là chuyện thƣờng ngày
đối với các đô thị lớn, đặc biệt là Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh. Bài toán
tắc đƣờng là một bài toán nhỏ cụ thể trong một bài toán lớn tổng quát

hơn, trừu tƣợng hơn thuộc lý thuyết vận trù, lý thuyết về graph, lý thuyết về
nút,…
Trong kinh tế, nhờ sự ra đời của lý thuyết xác suất mà một loạt các lý thuyết
mới ra đời ở thế kỷ XX có ý nghĩa thực tiễn vô cùng quan trọng ở các lĩnh
vực nhƣ: tổ chức thƣơng mại điện tử, tổ chức sản xuất, vận tải hàng hóa,… Các
lý thuyết này đã đƣa vào hƣớng ứng dụng toán học mới gọi là: “Nghiên cứu

11


các thuật toán” nhằm tìm các lời giải tối ƣu theo quan điểm mạo hiểm trong
những điều kiện nhất định.
Trong quản lý nhân sự có vấn đề phân chia công việc cho n công nhân mà
mỗi công nhân ở mỗi vị trí nhất định sao cho khối lƣợng công việc hoàn
thành là lớn nhất.
Trong quân sự và quốc phòng, Toán học đã làm nên cuộc cách mạng trong
công nghệ mật mã. Hiện nay nhiều tổ chức quân sự, kinh tế, tài chính hay các
cơ quan chính phủ khi truyền đi các tin tức tối mật của mình thƣờng dùng một
loại mật mã gọi là mật mã công khai gọi tắt là RSA. Mật mã RSA đƣợc xây
dựng dựa trên một kết quả sơ cấp của số học và một sự kiện là rất khó phân tích
ra thừa số nguyên tố.
Trong hội họa, những cấu trúc hình học thƣờng có mặt trong tác phẩm của
các nhà danh họa. Các biểu đồ với mức độ hiện diện khác nhau trong các bố
cục bức tranh cũng thƣờng đƣợc xem xét đến khi xem tranh, tùy thuộc vào hình
dáng của hình học đƣợc lấy làm cơ sở cho bố cục bức tranh mà ngƣời ta gọi
tên các loại bố cục nhƣ: bố cục hình chóp, bố cục hình tròn, bố cục hình xoắn
ốc,…
Tóm lại, Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng nhƣ trong sự phát
triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để phát triển lực
lƣợng sản xuất. Toán học là sợi dây liên hệ ràng buộc các ngành khoa học

với nhau, thúc đẩy chúng cùng phát triển.
1.2.

Bài toán thực tiễn

1.2.1. Khái niệm bài toán thực tiễn
Bài toán đƣợc hiểu là: “Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả
chƣa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phƣơng pháp cần khám
phá, mà theo phƣơng pháp này sẽ đạt đƣợc những kết quả đã biết”[8].
G. Polya lại viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ý
thức phƣơng tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhƣng
không thể đạt đƣợc ngay”[3].
12


Từ các cách hiểu trên, có thể nói bài toán là các câu hỏi, yêu cầu đặt ra
cho ngƣời học để đạt đƣợc mục đích dạy học nào đó thông qua các dữ liệu đã
cho.
Ví dụ 1. “Tìm m để phƣơng trình y 2

(m

1)y

m2

0 có hai nghiệm

phân biệt”.
Bài toán ở ví dụ 1 đặt ra yêu cầu là xác định tất cả giá trị của tham số m

để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài toán này có thể dùng để củng cố
hoặc luyện tập giải phƣơng trình bậc hai.
Ví dụ 2. Trong thực tế, khi cần phải đo khoảng cách giữa hai điểm B và

C mà không thể đo trực tiếp đƣợc vì giữa hai điểm đó có chƣớng ngại, nhƣ một
đầm lầy, một cánh rừng,…
Để có thể đo đƣợc khoảng cách BC trong những trƣờng hợp đó, ngƣời ta
thƣờng chọn một điểm A sao cho từ A có thể nhìn thấy B , C và ta có thể đo
đƣợc khoảng cách AB

c , AC

b và BAC . Làm đƣợc nhƣ vậy,

ABC hoàn

toàn xác định bởi hai cạnh và góc xen giữa. Khi đó khoảng cách AB sẽ đƣợc
tính nhƣ thế nào?
Đây là một bài toán dùng để gợi động cơ khi dạy học định lí Cosin trong
tam giác. Bài toán cho các dữ liệu là

ABC có AB

c , AC

b , và BAC .

Câu hỏi đặt ra là khi đó khoảng cách AB sẽ đƣợc tính nhƣ thế nào?
Bài toán thực tiễn là bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có chứa
những nội dung liên quan đến thực tiễn. Thực tiễn ở đây không chỉ là các sự

việc, tình huống trong cuộc sống xã hội mà còn đƣợc hiểu là các tình huống nảy
sinh trong các ngành khoa học nhƣ vật lí, hóa học, sinh học,… Trong khóa luận
này chủ yếu đề cập đến các bài toán thực tiễn trong đời sống hàng ngày.
Ví dụ 3. Một chiếc ôtô chạy trên quãng đƣờng AB dài 250km với vận tốc trung
bình là 50 km/h. Hỏi thời gian để chiếc ôtô đó chạy hết quãng đƣờng AB là
bao nhiêu, biết rằng ôtô có dừng nghỉ một lần trong
13

1
giờ?
2


Ví dụ 4. Một tên lửa bay vào không trung với quãng đƣờng đi đƣợc là s t
(km) là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) theo quy tắc sau: s(t)

et

2

3

2te3t

1

(km). Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc
là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đƣờng tính theo thời gian).
Ví dụ 3 và ví dụ 4 đƣa ra hai bài toán thực tiễn, tức là trong giả thiết và
kết luận của bài toán đều chứa những yếu tố có liên quan đến thực tiễn. Các bài

toán này có thể xuất phát từ thực tiễn nhƣ ví dụ 4, hoặc có thể do tƣởng tƣợng,
sáng tạo ra nhƣ ở ví dụ 3.
1.2.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học
Bài toán có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua việc giải bài toán,
học sinh thực hiện đƣợc nhiều hoạt động nhƣ nhận dạng và thể hiện định nghĩa,
định lý, quy tắc hay phƣơng pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những
hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và
những hoạt động ngôn ngữ. Cụ thể, bài toán có vai trò:
1.2.2.1. Củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh
Khi giải một bài toán học sinh phải đi từ việc nghiên cứu đề bài đến tìm đáp
án. Để làm đƣợc điều này học sinh phải trải qua một quá trình quan sát, tổng
hợp, phán đoán,…
Quá trình giải bài toán không phải bắt đầu từ con số “0” mà phải dựa vào
kinh nghiệm thực tiễn, những kiến thức mà học sinh đã tích lũy từ trƣớc. Các
em phải nhớ, hiểu và vận dụng đƣợc những kiến thức và kinh nghiệm đó thì
mới giải đƣợc bài toán.
Nhƣ vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài
toán, mà cả một hệ thống kiến thức liên quan tới bài toán cũng đƣợc củng cố
qua lại nhiều lần,… Qua đó, ngƣời học hiểu sâu hơn kiến thức, đồng thời giúp
cho việc hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày
trong phần lý thuyết và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải
quyết những tình huống cụ thể.
14


Thông qua việc giải bài toán, học sinh cũng đƣợc rèn luyện các kĩ năng, kĩ
xảo ở các khâu khác nhau của quá trình giải bài toán, kể cả kĩ năng ứng dụng
Toán học vào thực tiễn.
1.2.2.2. Rèn luyện phát triển tư duy cho học sinh
Bài toán giúp phát triển năng lực tƣ duy, giúp học sinh năng động, sáng tạo

trong học tập, phát huy khả năng suy luận tích cực, đặc biệt là rèn luyện những
thao tác trí tuệ và hình thành những phẩm chất tƣ duy khoa học.
Trong bất kì bài toán nào cũng có mâu thuẫn, những điều đã biết và những
điều chƣa biết. Khi giải bài toán, trí tuệ của học sinh phải vận động để tìm ra
câu trả lời. Hoạt động trí tuệ của học sinh rất đa dạng: quan sát, vận dụng trí
nhớ, các thao tác tƣ duy nhƣ so sánh, tổng hợp, khái quát, suy luận… cho nên
sau mỗi lần giải bài toán thành công, niềm tin và năng lực của học sinh càng
đƣợc phát triển và củng cố. Đó là một trong những cơ sở quan trọng để các em
mạnh dạn bƣớc vào con đƣờng sáng tạo.
1.2.2.3. Rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức Toán học cho học sinh
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững kiến thức của bất cứ bộ môn
khoa học nào là hiểu, nhớ, vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào
giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết đƣợc các bài toán đặt ra trong
lĩnh vực khoa học đó.
Hơn nữa, mỗi bài toán là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung
Toán học nhất định, là một phƣơng tiện cài đặt nội dung đề hoàn chỉnh hay bổ
sung cho tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lý thuyết. Chính vì thế
mà thông qua việc giải quyết các bài toán, học sinh sẽ đƣợc rèn luyện kĩ năng
vận dụng các kiến thức Toán học, đồng thời mở rộng sự hiểu biết một cách sinh
động, phong phú.
1.2.2.4. Bồi dưỡng, phát triển nhân cách cho học sinh
Điểm cơ bản trong tính cách của con ngƣời là mọi hoạt động đều có mục đích
rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hƣớng mục đích rõ rệt, vì vậy
việc giải toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của
15


con ngƣời: rèn luyện đức tính chính xác, kiên nhẫn, trung thực, lòng say mê học
tập và niềm tin vào khoa học, sức mạnh của bản thân. Niềm tin này có đƣợc là
do trong quá trình độc lập vận dụng kiến thức, độc lập tìm đƣợc đáp số đã giúp

các em có những phƣơng pháp giải quyết đúng đắn các vấn đề đặt ra, nhất là
đối với bài toán khó, các em phải vƣợt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì
nhẫn nại và nhiều khi phải quyết tâm rất lớn mới giải đƣợc.
Nói theo cách của G.Polya là: Khát vọng và quyết tâm giải đƣợc một bài toán
là nhân tố chủ yếu của mọi quá trình giải toán. Do vậy, ta thấy rằng: Hoạt động
giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân
cách con ngƣời.
Bài toán thực tiễn cũng có đầy đủ các vai trò của bài tập toán học, ngoài ra có
còn có thêm một số tác dụng khác:
-

Về kiến thức
Thông qua giải bài toán thực tiễn, HS hiểu kĩ hơn các khái niệm, tính chất;

củng cố kiến thức một cách thƣờng xuyên và hệ thống hoá kiến thức; mở
rộng sự hiểu biết một cách sinh động, phong phú mà không làm nặng nề
khối lƣợng kiến thức của HS.
Bên cạnh đó, bài toán thực tiễn giúp HS thêm hiểu biết về các môn học
khác, về thiên nhiên, môi trƣờng, những vấn đề thiết thực trong cuộc sống
thực tế.
Bài toán thực tiễn còn giúp HS bƣớc đầu biết vận dụng kiến thức để lí
giải và cải tạo thực tiễn nhằm nâng cao chất lƣợng cuộc sống.
-

Về kĩ năng

Việc giải bài toán thực tiễn giúp HS:
+ Rèn luyện và phát triển cho HS năng lực nhận thức, năng lực phát hiện và
giải quyết vấn đề liên quan đến thực tế cuộc sống.
+ Rèn luyện và phát triển các kĩ năng thu thập thông tin, vận dụng kiến thức

để giải quyết tình huống có vấn đề của thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo.
16


+ Rèn luyện và phát triển cho HS khả năng vận dụng toán học để giải quyết
vấn đề của các môn học khác.
-

Về giáo dục tƣ tƣởng

Việc giải bài toán thực tiễn có tác dụng:
+ Rèn luyện cho HS tính kiên nhẫn, tự giác, chủ động, chính xác, sáng tạo
trong học tập và trong quá trình giải quyết các vấn đề thực tiễn.
+ Thông qua nội dung bài tập giúp HS thấy rõ lợi ích của việc học môn Toán
học từ đó tạo động cơ học tập tích cực, kích thích trí tò mò, sự quan sát, sự
ham hiểu biết, làm tăng hứng thú học môn Toán và từ đó có thể làm cho HS
say mê nghiên cứu khoa học và công nghệ giúp HS có những định hƣớng
nghề nghiệp tƣơng lai.
Ngoài ra, vì các bài toán thực tiễn gắn liền với đời sống của chính bản
thân HS, của gia đình, của địa phƣơng và với môi trƣờng xung quanh nên
càng góp phần tăng động cơ học tập của HS: học tập để nâng cao chất lƣợng
cuộc sống của bản thân và của cộng đồng. Với những kết quả ban đầu của
việc vận dụng kiến thức toán học phổ thông để giải quyết các vấn đề thực
tiễn HS thêm tự tin vào bản thân mình để tiếp tục học hỏi, tiếp tục phấn đấu
và phát triển.
1.3.3. Phương pháp chung giải bài toán thực tiễn
1.3.3.1. Phương pháp chung giải bài toán
Đối với một bài toán, có thể có hoặc không có thuật giải. Tuy nhiên, việc
trang bị những hƣớng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải
bài toán lại là có thể và cần thiết cho mọi bài toán.

Theo G. Polya, phƣơng pháp chung để giải một số bài toán thƣờng đƣợc tiến
hành theo bốn bƣớc nhƣ sau:
Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài
-

Phát biểu đề bài dƣới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội

dung bài toán.
-

Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
17


-

Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

Bước 2. Tìm cách giải
-

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:

biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một
bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với từng dạng
toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ
tích,…
-

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt

hoá kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,…
-

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải hợp

lí nhất.
Bước 3. Trình bày lời giải
Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng
trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc đó.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
-

Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.

-

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.

-

Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.

Ví dụ. Cho bài toán: “Chứng minh: sin 4 x

cos4 x

1

1
sin 2 2 x ”.
2

Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài
- Đề bài yêu cầu chứng minh đẳng thức sin 4 x

cos4 x

1

1
sin 2 2 x .
2

Bước 2. Tìm cách giải
Để giải bài toán này, ta cần biến đổi vế trái đẳng thức (VT ) bằng vế phải đẳng
thức (VP ).
Ta có VT

sin4 x

cos4 x
18


Áp dụng công thức x2
x

sin2 x, y

VT

sin4 x

y2

(x

y)2

2 xy , đặc biệt hóa với

cos2 x ta đƣợc:
cos4 x

(sin2 x

cos2 x)2

Áp dụng công thức lƣợng giác sin2 x

2 sin2 x cos2 x

cos2 x

1 và sin 2 x

2 sin x cos x ta

đƣợc:
VT

1

1
sin 2 2 x
2

VP.

Ngƣợc lại, ta có thể biến đổi VP

VT

Hơn nữa, với bài toán này ta có thể xét hiệu VT

VP

0 khi đó đẳng thức

cũng đƣợc chứng minh.
Bước 3. Trình bày lời giải
Ta có
VT

sin 4 x

cos4 x

(sin 2 x

cos2 x)2

2 sin 2 x cos2 x

Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

1

1
sin 2 2 x
2

VP

Khi đã biết cách giải bài toán này, ta có thể giải tƣơng tự với bài toán sau:
sin6 x

cos6 x

1

3
sin 2 2 x
4

1.3.3.2. Phương pháp chung giải bài toán thực tiễn
Nhƣ đã nói ở trên, việc trang bị những hƣớng dẫn chung, gợi ý các suy

nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là rất cần thiết, bài toán thực tiễn cũng
vậy.
Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
G.Polya về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy
học, kết hợp với những đặc thù riêng của bài toán thực tiễn, có thể nêu lên
phƣơng pháp chung để giải bài toán thực tiễn nhƣ sau:
Bước 1. Tìm hiểu nội dung của bài toán: Toán học hoá tình huống, chuyển
bài toán với những ngôn ngữ, những dự kiện trong cuộc sống thực tế thành bài
toán với ngôn ngữ toán học. Các ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực
19