Hàm số và nội dung dạy học về hàm số lượng giác trong chương trình toán 11 (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*******************

PHẠM THÚY NGA

HÀM SỐ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC
VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành Đại số

Hà Nội – Năm 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*******************

PHẠM THÚY NGA

HÀM SỐ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC
VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành Đại số

Người hướng dẫn khoa học
ThS. DƯƠNG THỊ LUYẾN

Hà Nội – Năm 2018


Lời cảm ơn
Trong thời gian học tại trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ tận
tình của các thầy cô, em đã học hỏi và tiếp thu được nhiều tri thức
khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tốt, bước đầu được làm
quen với công việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Toán, các
thầy cô trong tổ Đại số đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ, dìu dắt chúng em
trưởng thành như ngày hôm nay.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới cô giáo Thạc sỹ
Dương Thị Luyến, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp
nhiều ý kiến quý báu cho em trong thời gian thực hiện khóa luận.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân
còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên để
khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thúy Nga


Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn của cô giáo Thạc sỹ Dương Thị Luyến cùng với đó là sự cố gắng

của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu em đã tham khảo và kế thừa những thành quả
nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.
Em xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kết quả
nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của
các tác giả khác.
Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thúy Nga


Mục lục

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

1

Lời mở đầu

2

1 Hàm số và phương trình lượng giác

4

1.1

1.2

Khái niệm hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Định nghĩa hàm số . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Các dạng bài tập
2.1

2.2

14

Hệ thống bài tập trong chương trình toán 11 . . . . . .

14

2.1.1

Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.2

Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . .

26

Ứng dụng của lượng giác trong giải toán . . . . . . . .

39

2.2.1

Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức . . . . .

40

2.2.2

Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.2.3

Giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2.4

Tìm GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3 Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm
i

49


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Kết luận

67

Tài liệu tham khảo

68

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
1.

R: tập số thực

2.

Z: tập số nguyên

3.

TXĐ: tập xác định

4.

SGK: sách giáo khoa

5.

NXB: nhà xuất bản

6.

HS: học sinh

7.

TSĐH: tuyển sinh đại học

8.

THPT: trung học phổ thông

9.

GTLN: giá trị lớn nhất

10. GTNN: giá trị nhỏ nhất

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Lời mở đầu
Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của Toán học, đã
tồn tại và không ngừng phát triển qua hàng ngàn năm qua. Hàm
số và phương trình lượng giác là một trong những đơn vị kiến thức
trọng tâm trong toàn bộ nội dung chương trình Toán THPT, đặc biệt
là ở học kì I lớp 11 (chiếm 46% số tiết dạy) và luôn xuất hiện trong
các đề thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng từ 2002-2016. Không những

vậy, việc sử dụng lượng giác còn giúp giải quyết một số bài toán đại số
một cách dễ dàng, hiệu quả hơn rất nhiều và thường xuất hiện trong
các kì thi HSG.
Do đó em quyết định chọn đề tài "Hàm số và nội dung dạy
học về hàm số lượng giác trong chương trình toán 11".
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì
khóa luận gồm ba chương.
Chương 1 "Hàm số và phương trình lượng giác " phân tích nội
dung dạy học phần hàm số và phương trình lượng giác trong chương
trình toán 11. Chỉ ra được sự phát triển của mạch kiến thức lượng
giác từ những lớp dưới lên đến lớp 11. Từ đó người dạy có sự lựa chọn
phương pháp cũng như cách thức dạy học phù hợp để đạt được hiệu
quả tốt nhất.
Chương 2 "Các dạng bài tập" từ những yêu cầu về kiến thức, kĩ
năng, tư duy, năng lực HS cần nắm được trong nội dung hàm số và
phương trình lượng giác chương này sẽ đưa ra các dạng bài tập với
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

phương pháp làm, cho ví dụ minh họa và bài tập áp dụng; và đưa ra
một số ứng dụng của lượng giác trong đại số.
Chương 3 "Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm" do hình thức
bài thi đánh giá năng lực HS trong kì thi THPT Quốc gia hết lớp 12
là hình thức thi trắc nghiệm nên việc đưa ra câu hỏi trắc nghiệm theo
các dạng bài tập đã được phân dạng ở chương 2 sẽ là bước đầu để các
em làm quen dần với hình thức thi này từ những lớp dưới.

3


Chương 1
Hàm số và phương trình lượng giác
1.1
1.1.1

Khái niệm hàm số lượng giác
Định nghĩa hàm số

Hàm số là một khái niệm đã xuất hiện từ rất sớm. Từ 1000 năm trước
công nguyên, người Babilon đã biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm
trong thiên văn và như vậy họ đã có khái niệm sơ khai về hàm số.
Trong quá trình hình thành và phát triển có rất nhiều định nghĩa
khác nhau về hàm số. Trong toán học có hai khuynh hướng cơ bản
đó là. định nghĩa hàm số dựa vào đại lượng biến thiên và định nghĩa
hàm số dựa vào ánh xạ. Do đó việc dạy định nghĩa hàm số cho HS
cũng cần hết sức lưu ý qua các lớp học.
Sách giáo khoa (SGK) Đại số 10 nâng cao (nhà xuất bản Giáo dục
Việt Nam, tái bản 2011, Đoàn Quỳnh - Tổng chủ biên) có đưa ra định
nghĩa hàm số như sau:
"Cho một tập hợp khác rỗng D ⊂ R
Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc
D với một và chỉ một số, kí hiệu là f (x); số f (x) đó gọi là giá trị của
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

hàm số f tại x.
Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay
đối số của hàm số f."
Tức là đến lớp 10 HS mới có định nghĩa hàm số một cách chính xác.
Tuy nhiên ở các lớp dưới HS đã được làm quen với định nghĩa hàm
số. Chẳng hạn:
- SGK Toán 7, tập 1 (nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, tái bản năm
2011, Phan Đức Chính - Tổng chủ biên) có khái niệm hàm số như sau:
"Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi
giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì
y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số." Ở đây, khái niệm hàm
số được định nghĩa dựa vào đại lượng biến thiên, không có khái niệm
a
TXĐ và HS được học hai hàm số là y = ax và y = (a = 0) (trong
x
phần đọc thêm).
- Lớp 9 HS vẫn sử dụng định nghĩa hàm số như ở lớp 7 và có bổ sung
thêm khái niệm TXĐ nhưng không được định nghĩa cụ thể mà được
miêu tả: "Khi hàm số được cho bằng công thức y = f (x), ta hiểu rằng
biến số x chỉ lấy những giá trị mà tại đó f (x) xác định." (Tr42, SGK
Toán 9 tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam, tái bản năm 2011, Phan Đức
Chính - Tổng chủ biên). Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến đã
được đưa vào chương trình và HS chủ yếu nghiên cứu hai hàm số là
y = ax + b và y = ax2 (a = 0).
Khi lên bậc đại học khi nghiên cứu về hàm số trong cuốn "Đại số
sơ cấp - Hoàng Huy Sơn" có đưa ra định nghĩa hàm số như sau:
"Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. Nếu có một quy tắc f cho tương

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

ứng mỗi x ∈ X với một và chỉ một y ∈ Y thì ta nói rằng f là một hàm
từ X vào Y, kí hiệu
f :

R −→ R
x −→ y = f (x)

Nếu X, Y là các tập hợp số thì f được gọi là một hàm số".
Như vậy từ các định nghĩa trên ta có thể rút ra một số nhận xét
như sau:
+ Theo như cách định nghĩa hàm số của Hoàng Huy Sơn thì hàm số
là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ do đó các tính chất của ánh xạ
đều đúng với hàm số. Nhờ đó ta có một số lưu ý khi dạy định nghĩa
hàm số cho HS cần nhấn mạnh đến tính đơn trị và xác định khắp nơi.
Hơn nữa, việc đưa ra định nghĩa như trên giúp người đọc thấy được
những sự tương ứng khác trong thực tế cuộc sống như: HS - chiều cao
của HS đó, sản phẩm - giá của sản phẩm đó, khu dân cư - số dân,...
+ Ở cả lớp 7 và lớp 9 HS được học định nghĩa hàm số dựa vào đại
lượng biến thiên và chưa có khái niệm TXĐ. Lên đến lớp 10 với chương
trình nâng cao khái niệm hàm số mới được trình bày theo quan điểm
hiện đại, chặt chẽ hơn, dùng lí thuyết tập hợp để định nghĩa đi vào
bản chất của khái niệm và đề cập đến TXĐ. Không những vậy, các

khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ, đặc điểm của những hàm số này
hay một số phép biến đổi đồ thị đã được đưa ra cho HS. Do yêu cầu
đối với HS khi này là cần nhận dạng được đâu là hàm số, chỉ ra được
TXĐ, miền giá trị hay tính đồng biến - nghịch biến của hàm số...mà
chưa cần đi sâu vào nghiên cứu hàm số; các khái niệm này các em
sẽ được tìm hiểu sâu hơn khi học đại học. Tuy nhiên nó cũng tồn tại
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

những hạn chế nhất định đó là không nhìn thấy được mối liên hệ giữa
toán học với đời sống như định nghĩa hàm số trong cuốn Đại số sơ cấp
của Hoàng Huy Sơn.

1.1.2

Hàm số lượng giác

Từ lớp 9, HS đã làm quen với khái niệm lượng giác thông qua tỉ số
lượng giác của một góc nhọn, các em được học về các giá trị lượng
giác như sin α, cos α, tan α, cot α với α ∈ 00 ; 900 dựa vào tỉ lệ chiều
dài các cạnh của một tam giác vuông như sau. Cho tam giác ABC
vuông tại C như hình vẽ và độ dài các cạnh BC=a, AC=b, AB=h.
Khi đó giá trị lượng giác của góc A được xác định như sau:

a
b

a
b
cos A =
tan A =
cot A = .
h
h
b
a
Lên lớp 10 HS được học giá trị lượng giác của một góc bất kì chứ
sin A =

không chỉ những góc nhọn như lớp 9 dựa vào đường tròn lượng giác.
Vòng tròn đơn vị là tập hợp những điểm (x; y) trên mặt phẳng tọa độ
x0y thỏa mãn x2 + y 2 = 1.
Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x; y) trên
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

vòng tròn và chiều dương của trục 0x. Khi đó các hàm lượng giác có
thể được định nghĩa như sau:

y
x
cot ϕ = .
x

y
Đến lớp 11, HS làm quen với khái niệm hàm số lượng giác nhưng

sin ϕ = y

cos ϕ = x

tan ϕ =

không được định nghĩa trực tiếp mà được kế thừa theo định nghĩa
hàm số trong SGK Đại số 10 nâng cao. SGK Đại số và giải tích 11
nâng cao đưa ra định nghĩa hàm số lượng giác của các hàm cơ bản
sin x, cos x, tan x và cot x theo các mục lần lượt như sau:
Các hàm số y = sin x; y = cos x
Định nghĩa
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số
đo radian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cos của góc lượng giác có số
đo radian bằng x được gọi là hàm số cos, kí hiệu là y = cos x.
TXĐ của các hàm số y = sin x, y = cos x là R. Do đó các hàm số sin
và cos còn được viết như sau:
sin : R −→ R

cos :

R −→ R

x −→ sin x
x −→ cos x
Tính tuần hoàn của các hàm số y = sin x và y = cos x

Ta thấy số T = 2π là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn sin(x+T ) =
sin x và cos(x + T ) = cos x. Do đó ta nói hai hàm số trên tuần hoàn
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

với chu kì 2π.
Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sin x
Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng
và nghịch biến trên mỗi khoảng

π
π
− + k2π; + k2π
2
2

π
3π
+ k2π;
+ k2π ; k ∈ Z.
2
2

Đồ thị hàm số y = sin x
Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cos x
Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π) và

nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) ; k ∈ Z.

Đồ thị hàm số y = cos x
Các hàm số y = tan x, y = cot x
Định nghĩa
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với tan của góc lượng giác có số
đo radian bằng x được gọi là hàm số tan, kí hiệu là y = tan x và có
π
miền xác định là D = R\
+ kπ |k ∈ Z .
2
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cot của góc lượng giác có số
đo radian bằng x được gọi là hàm số cot, kí hiệu là y = cot x và có
miền xác định là D = R\ kπ |k ∈ Z .
Tính tuần hoàn của các hàm số y = tan x và y = cot x
Ta thấy số T = π là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn tan(x+T ) =
tan x và cot(x + T ) = cot x. Do đó ta nói hai hàm số trên tuần hoàn
với chu kì π.
Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tan x
Hàm số y = tan x đồng biến trên mỗi khoảng

π
π

− + kπ; + kπ ;
2
2

k ∈ Z.

Đồ thị hàm số y = tan x
Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cot x
Hàm số y = cot x nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) ; k ∈ Z.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Đồ thị hàm số y = cot x
Từ đây ta có một số lưu ý khi dạy học hàm số lượng giác như sau:
- Chỉ rõ TXĐ của các hàm lượng giác cơ bản, từ đó HS có thể tìm
được TXĐ của một hàm số lượng giác bất kì.
- Nhấn mạnh tập giá trị của các hàm số lượng giác.
+ Hàm số y = sin x; y = cos x có tập giá trị là [-1;1].
+ Hàm số y = tan x; y = cot x có tập giá trị là R.
- Lưu ý đến chu kì của các hàm số lượng giác
+ Hàm số y = sin x; y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π nên góc x(rad)
và góc x + k2π(rad) có sin và cos bằng nhau.
+ Hàm số y = tan x; y = cot x tuần hoàn với chu kì π nên góc x(rad)
và góc x + kπ(rad) có tan và cot bằng nhau.
- Cho HS phân biệt đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x; y = tan x

và y = cot x tránh sự nhầm lẫn.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

PHẠM THÚY NGA

Phương trình lượng giác

Tương tự như khái niệm hàm số đến lớp 10 HS có định nghĩa phương
trình một cách chính xác như sau:
"Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df
vàDg . Đặt D = Df

Dg .

Mệnh đề chứa biến "f (x) = g(x)" được gọi là phương trình một ẩn; x
gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình.
Số x0 ∈ D gọi là một nghiệm của phương trình f (x) = g(x) nếu
f (x0 ) = g(x0 ) là mệnh đề đúng."
Định nghĩa trên là định nghĩa phương trình dựa vào hàm mệnh đề
(mệnh đề chứa biến). Nhưng không phải đến lúc này HS mới được học
về phương trình mà đã được học từ trước đó nhưng chưa có khái niệm
cụ thể. Chẳng hạn: ở lớp 2 HS được làm bài tập điền số thích hợp vào
ô trống, lên lớp 3 HS được làm quen với một dạng toán mới đó là tìm
x, ví dụ như: Tìm x biết 12 : x = 2.

Đến lớp 8 HS được học khái niệm phương trình một ẩn "Một phương
trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải
B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x." (SGK Toán 8, tập 2, NXB
Giáo dục, Tái bản 2011, Phan Đức Chính - Tổng chủ biên), SGK toán
8 trình bày về cách giải phương trình ax+b = 0, khái niệm hai phương
trình tương đương.
SGK Toán 9, tập 2, NXB Giáo dục, Tái bản 2011, Phan Đức Chính Tổng chủ biên đưa ra khái niệm phương trình bậc hai một ẩn "Phương
trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình
có dạng
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

ax2 + bx + c = 0
trong đó x là ẩn; a,b,c là những số cho trước gọi là các hệ số và a = 0."
và đưa ra công thức nghiệm.
Từ những định nghĩa trên ta thấy rằng HS được làm quen với khái
niệm phương trình từ rất sớm, ngay từ những năm đầu của bậc tiểu
học tuy rằng chưa có khái niệm về phương trình nhưng lại được tiếp
xúc với những bài toán ẩn tàng của giải phương trình. Đến bậc Trung
học cơ sở, HS được học các khái niệm phương trình cụ thể, đó là bậc
nhất và bậc hai một ẩn; bước đầu được trang bị có những khái niệm
cơ bản như tập nghiệm, hai phương trình tương đương nhưng chưa có
định nghĩa cụ thể. Và cho đến lớp 10 khái niệm phương trình đã được
định nghĩa một cách chính xác dựa trên mệnh đề chứa biến. Nhìn vào
tổng thể của cả quá trình khái niệm phương trình được trình bày từ
cụ thể đến trừu tượng theo hướng mở rộng đã tạo điều kiện phát triển

năng lực toán học cho HS. Điều này phù hợp với sự phát triển của tư
duy từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng.
Quay lại vấn đề mà chúng ta cần nói tới đó là khái niệm phương
trình lượng giác. Thực chất phương trình lượng giác là một trường
hợp đặc biệt của khái niệm phương trình đã được đưa ra ở lớp 10,
trong đó các hàm f(x) và g(x) là những hàm số lượng giác. Kế thừa
điều đó, SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao không đưa ra khái niệm
phương trình lượng giác cụ thể mà chỉ nhắc tới phương trình lượng
giác cơ bản và một số dạng phương trình lượng giác đơn giản trong
bài 2 và bài 3 chương 1 Đại số và giải tích 11.

13


Chương 2
Các dạng bài tập
2.1

Hệ thống bài tập trong chương trình toán 11

Dựa vào hệ thống bài tập trong quyển Đại số và giải tích 11, sách bài
tập Đại số và giải tích 11 nâng cao ta có thể phân loại bài tập thành
một số dạng cụ thể. Các bài toán đưa ra dưới đây được lựa chọn từ
bài tập trong SGK, sách bài tập Đại số và giải tích 11 nâng cao, Giải
toán lượng giác 11 (NXB Hà Nội, Lê Hồng Đức - Chủ biên), Giải toán
và câu hỏi trắc nghiệm Đại số - Giải tích 11 (NXB Giáo dục, nhóm
tác giả Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa)...và
tài liệu trên internet ở các trang ;
.
2.1.1

Hàm số lượng giác

Dạng 1. Tìm TXĐ của hàm số lượng giác y = f (x)
Phương pháp Có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau:
- D là tập hợp tất cả các giá trị của x để f (x) có nghĩa.
- Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của x để f (x) không có nghĩa; từ
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

đó suy ra TXĐ D = R\S.
Chú ý
1) − 1 ≤ sin x; cos x ≤ 1, ∀x ∈ R.
A
2) có nghĩa khi B = 0.
B
√
3) A có nghĩa khi A ≥ 0.
Ví dụ
Ví dụ 1 Tìm TXĐ của các hàm số sau:
√
1 − cos x
b)y =
a)y = 3 − sin x
sin x
1 − sin x

π
c)y =
d)y = tan 2x +
1 + cos x
3
Giải
a) Vì −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R nên 2 ≤ 3 − sin x ≤ 4, ∀x ∈ R. Do đó
tâp xác định của hàm số là D = R.
b) Điều kiện sin x = 0 ⇔ x = kπ, ∀k ∈ Z. Do đó TXĐ của hàm số là
D = R\{kπ, ∀k
 ∈ Z}.

 1 + cos x = 0
⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, ∀k ∈ Z.
c) Điều kiện
1 − sin x

≥0

1 + cos x
Do đó D = R\{π + k2π, ∀k ∈ Z}.
π
π
π
π
π
+k , ∀k ∈ Z.
d) Điều kiện 2x+ = +kπ ⇔ 2x = +kπ ⇔ x =
3
2

6
12
2
π
π
Do đó D = R\
+ k , ∀k ∈ Z .
12
2
Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) = sin4 x + cos4 x − 2m sin x. cos x.
Tìm các giá trị của m để f (x) xác định với mọi x.
Giải
1
Ta có. sin4 x + cos4 x − 2m sin x. cos x = 1 − sin2 2x − m sin 2x
2
1
= − sin2 2x + 2m sin 2x − 2 .
2
Đặt t = sin 2x, điều kiện −1 ≤ t ≤ 1, ta được g(t) = t2 + 2mt − 2
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Để 
f(x) xác định với mọi
 x ⇔ g(t) ≤ 0, ∀t ∈ [−1; 1]





m ≥ −1
g(−1) ≤ 0
−1
1
2
⇔
⇔
⇔
≤m≤ .
1


2
2


m ≤
g(1) ≤ 0
2
−1
1
Vậy
≤ m ≤ thì hàm số f (x) xác định với mọi x.
2
2
Bài tập áp dụng
Tìm TXĐ của các hàm số sau:

1
cos x
1 − cos x
a) y =
b)
y
=
−
1 + 2 cos x 1 − 2 cos x
4 − 5 cos x − 2 sin2 x
1
1
√
d) y =
c) y =
√ .
cot x − 3
− tan x − 3
Dạng 2. Xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Trong phần này sẽ có các dạng bài tập như sau:
- Chứng minh hàm số y = f (x) có tính chất tuần hoàn.
- Chứng minh T0 là chu kì của hàm số y = f (x) .
- Xác định chu kì của hàm số lượng giác bất kì.
Mỗi dạng bài tập sẽ có từng phương pháp làm cụ thể, ta sẽ đi vào
từng dạng bài.
Dạng 2.1 Chứng minh hàm số y = f (x) có tính chất tuần hoàn.
Phương pháp
Hàm số y = f (x) có TXĐ là D
Bước 1. Dự đoán số thực dương T0 có thế là chu kì của hàm số
y = f (x).

Bước
2. Chứng minh số T0 thỏa mãn ∀x ∈ D ta có



x − T0 ∈ D, x + T0 ∈ D
.


f (x + T0 ) = f (x)
Bước 3. Kết luận.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

π
Ví dụ. Chứng minh hàm số y = 2 cos 2x −
6
tuần hoàn.

2

+ 1 là một hàm số

Giải
2

π
π
+ 2 có TXĐ D = R.
Ta có y = 2 cos 2x −
+ 1 = cos 4x −
6
3
π
π
π
Xét T0 = ta có ∀x ∈ R.x+T0 = x + ∈ R; x−T0 = x − ∈ R.
2
2
2
π
π
π
f (x + T0 ) = cos 4 x +
−
+ 2 = cos 4x −
+ 2π + 2
2
3
3
π
= cos 4x −
+ 2 = f (x).
3
Vậy hàm số trên tuần hoàn.
Dạng 2.2 Chứng minh T0 là chu kì của hàm số y = f (x) .

Phương pháp Chứng minh phản chứng.
Bước 1. Giả sử ∃T ∈ R sao cho 0 < T < T0 (1) thỏa mãn ∀x ∈ D thì
f (x + T ) = f (x) (2).
Bước 2. Biến đổi (2) để được điều mâu thuẫn với (1).
Bước 3. Kết luận.
Ví dụ Chứng minh hàm số y = f (x) = sin 2x có chu kì là T = π.
Giải
Giả sử ∃T ∈ R sao cho 0 < T < π (1) thỏa mãn ∀x ∈ R thì
f (x + T ) = f (x) (2).
Ta có f (x + T ) = f (x)∀x ∈ R ⇔ sin(2x + 2T ) = sin 2x, ∀x ∈ R.
π
Xét x = ta có
4
π
π
π
π
sin
+ 2T = sin ⇔ + 2T = + k2π ⇔ T = kπ mâu thuẫn
2
2
2
2
với (1) vì k ∈ Z.
Do đó không có số dương T nào nhỏ hơn π thỏa mãn f (x + T ) = f (x).

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Vậy hàm số y = f (x) = sin 2x có chu kì là T = π.
Dạng 2.3 Xác định chu kì của hàm số lượng giác bất kì.
Phương pháp Thực chất bài tập dạng này chính là tổng hợp của hai
dạng bài tập trên. Để thực hiện được ta cần sử dụng những kết quả
sau:
- Hàm số y = sin x, y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.
Mở rộng, hàm số y = sin(ax + b), y = cos(ax + b) với a = 0 tuần hoàn
2π
với chu kì
.
a
- Hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kì π.
Mở rộng, hàm số y = tan(ax + b), y = cot(ax + b) với a = 0 tuần hoàn
π
với chu kì .
a
- Giả sử y = f (x), y = g(x) tuần hoàn với chu kì lần lượt là T1 , T2 với
T1
∈ Q. Khi đó hàm số y = F (x) = mf (x) + ng(x) tuần hoàn với chu
T2
kì T = BCN N (T1 , T2 ).
- Trong các bài toán hàm số lượng giác chứa các hàm lượng giác bậc
cao hoặc dạng tích ta cần sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi tích
thành tổng trước khi thực hiện.
Ví dụ Trong những hàm số sau đây hàm số nào là hàm số tuần hoàn,
xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của nó.
π

a)f (x) = tan 3x +
b)f (x) = sin2 x
6
1
1
x
x
c)f (x) = sinx + sin 2x + sin 3x
d)f (x) = 2 tan − 3 tan .
2
3
2
3
Giải
π
a) Hàm số tuần hoàn với chu kì T = .
3
1
−
cos
2x
1
1
b) f (x) = sin2 x =
= − cos 2x.
2
2 2
Do đó hàm số tuần hoàn với chu kì π
18

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

c) Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π.
Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.
2π
.
Hàm số y = sin 3x tuần hoàn với chu kì
3
Do đó hàm số trên tuần hoàn với chu kì 2π.
x
d) Hàm số y = tan tuần hoàn với chu kì 2π.
x 2
Hàm số y = tan tuần hoàn với chu kì 3π.
3
Do đó hàm số trên tuần hoàn với chu kì 6π.
Bài tập áp dụng
Hãy xét xem hàm nào là hàm số tuần hoàn và xác định chu kì nhỏ
nhất (nếu có) của chúng:
√
a)f (x) = sin x + sin x 2

√
b)f (x) = tan x x
√
d)f (x) = tan x.

c)f (x) = cos x + 2 cos2 x + 4 cos3 x

Đáp án
a) Không tuần hoàn.

b) Không tuần hoàn.

c) Chu kì 2π.

d) Chu kì π.

Dạng 3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác y = f (x)
Phương pháp
Bước 1. Tìm TXĐ D của hàm số và kiểm tra tính đối xứng của nó.
+ Nếu ∃x ∈ D mà −x ∈
/ D thì D là tập không đối xứng. Do đó hàm
số không chẵn không lẻ.
+ Nếu ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D thì D là tập đối xứng, ta chuyển sang bước
2.
Bước 2. Tính f (−x) và so sánh với f (x).
+ Nếu f (−x) = f (x) thì kết luận y = f (x) là hàm số chẵn.
+ Nếu f (−x) = −f (x) thì kết luận y = f (x) là hàm số lẻ.

19