SKKN hướng dẫn học sinh lớp 4,5 giải một số bài toán thuộc dạng tính nhanh

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Giáo dục Tiểu học với mục tiêu là “giúp học sinh hình thành những cơ
sở ban đầu cho sự phát triển đứng đắn và lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thể chất,
thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản để học sinh tiếp tục học Trung học cơ sở”.
Trong môn Toán, nếu như các bài toán có lời văn rất thiết thực, gần
gũi với cuộc sống hàng ngày làm cho các em yêu thích môn Toán, ham học
toán hơn, thì khi giải các dạng toán khó là một vấn đề mang tính trừu tượng,
khái quát đối với học sinh Tiểu học. Đặc biệt là dạng toán tính nhanh, nó
chiếm số lượng không nhiều trong chương trình toán Tiểu học, nhưng nó lại
là dạng toán thiên về sự phát triển trí tuệ, đòi hỏi tư duy lôgíc- một sự phát
triển cần thiết trong toán học.Và dạng toán này là một phần không thể thiếu
được trong các đề thi học sinh giỏi các cấp. Vì vậy tìm ra được cách giải,
bước giải từng dạng toán tính nhanh ngắn gọn, chính xác, dễ hiểu phù hợp
với nhận thức và phát triển tư duy của học sinh theo tôi nghĩ là một việc làm
không thể thiếu trong trường Tiểu học.
* Kết quả khảo sát thực tế : Trong quá trình giảng dạy, tôi yêu cầu các
em có trình độ học lực từ trung bình khá trở lên làm các bài tập tính nhanh
kết quả như sau:
Số
HS
KS

Lần
kiểm

42

tra
1

42

2

Giỏi
TS
%

Kết quả khảo sát
Khá
Trung bình
TS
%
TS
%

Yếu
TS
%

6

14,3

9

21,4

18

42,9

9

21,4

3

7,1

13

30,9

16

38,2

10

23,8

Từ kết quả khảo sát và thực tế nhiều năm giảng dạy ở khối lớp 4,5 tôi
mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm với nội dung: “Hướng dẫn học sinh
lớp 4,5 giải một số bài toán thuộc dạng tính nhanh” nhằm nâng cao chất
lượng học tập, giúp học sinh tự tin và hăng say học tập.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ


I. Cơ sở lí luận:
Đối với học sinh Tiểu học khả năng tư duy trừu tượng của các em đang

phát triển nhưng tư duy cụ thể vẫn chiếm ưu thế. Nhất là trong môn Toán đòi
hỏi học sinh phải biết tư duy, biết suy luận. Vì vậy, học sinh càng phải nắm
vững kiến thức từ những ví dụ cụ thể, từ đó các em có thể suy nghĩ giải các
bài tập cùng dạng, cùng mạch kiến thức và bài toán mở rộng, nâng cao và
phát triển tư duy lôgic. Tìm ra cách giải hay, ngắn gọn, chính xác và đặc biệt
học sinh làm tốt dạng toán tính nhanh sẽ chứng tỏ học sinh nắm vững kiến
thức đã học và phát triển rất tốt năng lực tư duy, khả năng suy luận sáng tạo.
II. Thực trạng của vấn đề
* Sách giáo khoa: Hiện nay trong chương trình sách giáo khoa Toán 4, 5
các bài toán dạng tính nhanh chiếm số lượng không nhiều, nằm rải rác ở các
bài học với yêu cầu tính bằng cách thuận tiện nhất. Nội dung của các bài
toán tính nhanh chủ yếu dựa vào sự vận dụng các tính chất giao hoán, tính
chất kết hợp, nhân một số với một tổng, một số quy tắc nhân chia nhẩm (với
10; 100; 1000…hay 0,1;0,01; 0,001…) và mối quan hệ của chúng. Các bài
tập đó học sinh đại trà cũng có thể làm được.
* Sách bồi dưỡng Toán Tiểu học:
Bài tập tính nhanh trong sách tham khảo, sách bồi dưỡng thường dành
cho đối tượng học sinh khá, giỏi. Muốn làm được các bài tập đó, ngoài việc
nắm vững kiến thức cơ bản thì các em phải hiểu được mối liên hệ giữa các
phép tính cộng, trừ, nhân, chia và vận dụng một cách linh hoạt.
Để đáp ứng yêu cầu đổi mới về nội dung, chương trình sách giáo khoa và
đổi mới phương pháp dạy học thì người giáo viên phải “huy động” kiến thức
một cách tổng hợp, linh hoạt và sáng tạo trong giảng dạy.


III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
1. Tổng hợp và phân tích các bài toán tính nhanh:
Các bài toán tính nhanh có số lượng không nhiều, được chia làm 4 dạng
cơ bản sau:
- Dạng 1: Các bài toán tính nhanh dựa vào sự vận dụng các tính chất của

4 phép tính.
- Dạng 2: Các bài toán tính nhanh liên quan đến rút gọn phân số.
- Dạng 3: Các bài toán tính nhanh dựa vào xét thành phần của phép tính.
- Dạng 4: Các bài toán tính nhanh một dãy tính về phân số.
- Dạng 5: Các bài toán tính nhanh liên quan đến dãy số cách đều.
2. Hướng dẫn cách giải:
2.1. Dạng 1: Các bài toán tính nhanh dựa vào sự vận dụng các tính chất
của 4 phép tính.
Dạng toán này học sinh hay mắc sai lầm là: thực hiện lần lượt các phép
tính trong biểu thức. Để các em làm tốt dạng toán này thì giáo viên phải
hướng dẫn các em nắm chắc các tính chất của 4 phép tính: cộng, trừ, nhân,
chia, các tính chất của 4 phép tính đó và phải biết quan sát, nhóm các số
hạng, từ đó tìm được kết quả tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn… rồi tính
nhẩm rất dễ và nhanh gọn.
Ví dụ 1: Tính nhanh:

248 × 36 + 63 × 248 + 248

* Hướng dẫn học sinh: Quan sát, nhận xét các số hạng.Vận dụng đưa về
dạng nhân một số với một tổng.Tính giá trị biểu thức đó.
Bài giải: 248 × 36 + 63 × 248 + 248 = 248 × 36 + 63 × 248 + 248 × 1
= 248 × (36 + 63 +1) = 248 × 100 =24800
Ví dụ 2:

5
7 15
+ +
20 11 20

* Hướng dẫn học sinh: Quan sát các phân số, nhận xét: có hai phân số

cùng mẫu số thực hiện trước.Vận dụng tính chất giao hoán để tính.


Bài giải:

5
7 15
5 15
7
20 7
7
7

+ + =(  )+ =
=1+ =1
20 11 20
20 20
11 20 11
11
11

Ví dụ 3:

4,7 × 5,5 - 4,7 × 4,5

* Hướng dẫn học sinh: Nhận xét số bị trừ, số trừ. Vận dụng đưa về nhân
một số với một hiệu. Tính giá trị biểu thức.
Bài giải:

4,7 × 5,5 – 4,7 × 4,5 = 4,7 × ( 5,5 – 4,5) = 4,7 × 1 = 4,7

Ví dụ 4: 38,6 + 2,09 + 7,91
* Hướng dẫn học sinh: Quan sát, nhận xét: Tổng của số hạng thứ hai và
số hạng thứ ba là số tròn chục. Vận dụng tính chất kết hợp để tính.
Bài giải:

38,6 + 2,09 + 7,91 = 38,6 + (2,09 + 7,91) = 38,6 + 10 = 48,6

Ví dụ 5: 13276 – (4500 + 3276)
* Hướng dẫn học sinh:
- Quan sát, nhận xét: Lấy số bị trừ trừ đi số hạng thứ hai của tổng sẽ
được một số tròn chục nghìn. Vận dụng tính chất một số trừ đi một tổng.
Bài giải:
13276 – ( 4500 + 3276) = 13276 – 3276 -4500 = 10000 – 4500 = 5500
Ví dụ 6: 455 : (5 × 7)
* Hướng dẫn học sinh: Quan sát, nhận xét. Vận dụng tính chất chia một
số cho một tích.
Bài giải:

455 : (5 ×7) = 455 : 5 : 7 = 91 : 7 = 13

2.2. Dạng 2: Các bài toán tính nhanh liên quan đến rút gọn phân số.
Các bài tập ở dạng này có phần khó hơn dạng 1. Học sinh thường mắc
sai lầm là: chưa biết cách phân tích các thừa số thành tích để rút gọn. Có bài
cả tử số và mẫu số là một tích, hoặc có bài cần một vài phép biến đổi để đưa
về dạng tích rồi rút gọn. Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn cụ thể.
a. Cả tử số và mẫu số là dạng tích:
Ví dụ 1:

4 5 6

12 15


* Hướng dẫn học sinh: Quan sát cả tử số và mẫu số. Tách các thừa số ở
mẫu số thành tích có chứa các thừa số ở tử số. Rút gọn rồi tính.
Bài giải:
Ví dụ 2:

4 5 6 4 5 2 3 2
=
=
12 15
3 4 3 5 3
1998 20092009
2009 19981998

* Hướng dẫn học sinh: Nhận xét quy luật đặc biệt trong các thừa số ở tử
số và mẫu số. Tách các thừa số đó thành tích. Rút gọn phân số.
Bài giải:

1998 20092009 1998 2009 10001
=
=1
2009 19981998 2009 1998 10001

Ví dụ 3:

1995 1990 1997 1993 997
×
×

×
×
1997 1993 1994 1995 995

* Hướng dẫn học sinh:
Cách 1: Vận dụng tính chất giao hoán để nhóm các phân số mà mẫu số
của phân số này bằng tử số của phân số kia.
Thực hiện rút gọn phân số, sau đó phân tích để tích trên trở thành phân
số có tử số bằng mẫu số.
Bài giải
1995 1990 1997 1993 997
×
×
×
×
1997 1993 1994 1995 995

=(

=(

1995 1997
1990 1993 997
×
)×(
×
)×
1997 1994
1993 1995 995

1995 1990 997
1990 997
995 2 997
×
)×
=
×
=
=1
1994 1995 995
1994 995
997 2 995

Cách 2: Vận dụng quy tắc. Thực hiện rút gọn phân số, sau đó phân tích
để tích trên trở thành phân số có tử số bằng mẫu số.
1995 1990 1997 1993 997 1995 1990 1997 1993 997
×
×
×
×
=
1997 1993 1994 1995 995 1997 1993 1994 1995 995

=

1990 997
995 2 997
=
=1
1994 995

997 2 995

b. Cả tử số và mẫu số đều phân tích được thành dạng tích, hoặc cả tử
số và mẫu số bằng nhau để rút gọn rồi tính.


Ví dụ 1:

5454 171717
5757 191919

* Hướng dẫn học sinh: Với bài này hướng dẫn học sinh phân tích tử số
và mẫu số thành tổng, sau đó rút gọn theo các bước:
- Bước 1: Phân tích thành tổng:
5454 = 5400 + 54

171717 = 170000 + 1700 + 17

5757 = 5700 + 57

191919 = 190000 + 1900 + 19

- Bước 2: Chuyển thành dạng một số nhân với một tổng rồi viết dưới
dạng tích:
5400 + 54 = 54 × (100 + 1) = 54 × 101
5700 + 57 = 57 × (100 + 1) = 57 × 101
170000 + 1700 + 17 = 17 × (10000 + 100 + 1) = 17 × 10101
190000 + 1900 + 19 = 19 × (10000 + 100 + 1) = 19 × 10101
- Bước 3: Rút gọn rồi tính
5454 171717

54 101 17 10101
54 17
3
1
=
=
=
=
5757 191919
57 101 19 10101
57 19
57 19

Nhưng với bài nào học sinh cũng phân tích như vậy thì rất mất thời gian.
Ở bài đầu tiên của dạng này giáo viên phải hướng dẫn các em thật kĩ bước 1
và bước 2 để các em hiểu bản chất của tích

54 101
…Ở những bài sau giáo
57 101

viên chỉ cần hướng dẫn các em nhận ra các số được lặp lại ở tử số và mẫu số
là số nào, rồi lấy tử số, mẫu số chia cho chính số lặp lại đó để tìm thương, rồi
viết dưới dạng tích để rút gọn và tính.
5454 : 54 = 101 và viết 5454 = 54 × 101;
5757 : 57 = 101 và viết 5757 = 57 × 101
Tương tự với phân số thứ hai rồi tính:
5454 171717
54 101 17 10101
54 17

3
1
=
=
=
=
5757 191919
57 101 19 10101
57 19
57 19


Ví dụ 2:

1 3 5  2 6 10  4 12 20  7 21 35
1 5 7  2 10 14  4 20 28  7 35 49

* Hướng dẫn học sinh: Tìm quy luật về các số hạng ở tử số và các mẫu
số. Đưa ra nhận xét: Mỗi thừa số của số hạng đứng sau đều gấp mỗi thừa số
của số hạng đứng trước một số lần. Viết dãy tính về dạng một số nhân với
một tổng. Thực hiện rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.
Bài giải:
1 3 5  2 6 10  4 12 20  7 21 35
1 5 7  2 10 14  4 20 28  7 35 49

=

1 3 5  1 2 3 2 5 2  1 4 3 4 5 4  1 7 3 7 5 7
=
1 5 7  1 2 5 2 7 2  1 4 5 4 7 4  1 7 5 7 7 7

1 3 5 (1  2 2 2  4 4 4  7 7 7)
1 3 5 3
=
=
1 3 5 (1  2 2 2  4 4 4  7 7 7)
1 3 5 7

Ví dụ 3:

15 14  1
13 15  14

* Hướng dẫn học sinh: Nhận xét các số ở tử số và mẫu số. Biến đổi bằng
cách tách tử số hoặc mẫu số để xuất hiên các thành phần giống nhau ở cả tử
số và mẫu số. Rút gọn.
Bài giải:
15 14  1
15 (13  1)  1 15 13  15  1 15 13  14
=
=
=
=1
13 15  14
13 15  14
13 15  14
13 15  14

Ví dụ 4:

19,8 : 0,2 44,44 2 13,2 : 0,25
3,3 88,88 : 0,5 6,6 : 0,125 5

* Hướng dẫn học sinh:
- Vận dụng quy tắc chia nhẩm cho 0,2; 0,25; 0,5; 0,125
- Viết lần lượt các phép chia số thập phân cho 0,2; 0,25; 0,5; 0,125
thành phép nhân lần lượt với 5; 4; 2; 8
-Thực hiên rút gọn và tính giá trị biểu thức.
Bài giải:


19,8 : 0,2 44,44 2 13,2 : 0,25 19,8 5 44,44 2 13,2 4
= 3,3 88,88 2 6,6 8 5 =
3,3 88,88 : 0,5 6,6 : 0,125 5

6 2
=3
2 2

Để làm được tốt bài tập trên thì giáo viên yêu cầu học sinh làm nhiều
bài tập về nhân chia các số với 0,1; 0,01; 0,001;…;0,125; 0,25; 0,5;…để giúp
các em nhớ và vận dụng.
Như vậy đối với dạng toán này giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh
biết quan sát, phân tích để nhóm, ghép hoặc biến đổi để tử số và mẫu số của
các phân số xuất hiện những thừa số giống nhau để có thể rút gọn cho nhau.
Giáo viên phải làm mẫu để học sinh hiểu được các bước và cách làm. Khi
các em đã hiểu thì sẽ làm thành thạo các bài tương tự.
2.3. Dạng 3: Bài toán tính nhanh dựa vào xét thành phần của phép
tính:
Dạng bài này chủ yếu là rèn cho học sinh óc quan sát, nhận xét và khả

năng tính nhẩm. Khi làm dạng bài này học sinh dễ mắc phải sai lầm là không
suy nghĩ, xác định thành phần phép tính trước khi tính mà các em sẽ thực
hiện lần lượt các phép tính theo quy tắc nên rất dài và mất nhiều thời gian.
Các biểu thức thuộc dạng này bao giờ cũng có phép trừ nên sẽ có một thừa
số, số bị chia hoặc tử số của phân số bằng 0. Do đó, mặc dù phép tính nhìn
phức tạp nhưng khi biết biến đổi thì rất là đơn giản. Khi làm giáo viên cần
hướng dẫn:
- Quan sát các phép tính trong bài toán, nếu bài toán có phép nhân và
trong các thừa số có chứa phép tính trừ hoặc trong biểu thức có số bị chia (tử
số) có phép trừ thì cần phải xem chúng có thuộc dạng này không.
- Nhẩm các phép tính trừ xem số bị trừ và số trừ có bằng nhau không.
- Thực hiện tính.
Ví dụ 1:

(1000 – 99 +97 – 80 + 15) × (16 – 2 ×8)

* Hướng dẫn học sinh: Nhận xét thấy thừa số thứ hai có phép trừ và
giá trị bằng 0. Tính thừa số thứ hai trước. Thực hiện tính giá trị biểu thức.


Bài giải:
(1000– 99 +97– 80+15) × (16– 2 ×8) = (1000 – 99 +97– 80+15)×(16 –16)
= (1000 – 99 +97 – 80 + 15) × 0 = 0
Ví dụ 2:

1234 × 5987 × ( 45 – 22,5 × 2) :2009

* Hướng dẫn học sinh: Nhận xét thấy thừa số thứ ba có phép trừ và giá trị
bằng 0. Tính thừa số thứ ba trước, sau đó vận dụng tính chất nhân một số với
0. Thực hiện tính giá trị biểu thức.

Bài giải: 1234 × 5987 × ( 45 – 22,5 × 2) :2009
= 1234 × 5987 × ( 45 – 45) :2009= 1234 × 5987 × 0 :2009 = 0: 2009 = 0
Ví dụ 3:

1991 1999  1990 1999 2008  1004 2
×
1991 1992
123

* Hướng dẫn học sinh: Nhận xét thấy tử số của phân số thứ hai có phép
trừ và nhẩm kết quả bằng 0. Tính tử số của phân số thứ hai trước. Thực hiện
tính giá trị biểu thức.
1991 1999  1990 1999 2008  1004 2
×
19911992
123

Bài giải:
=

1991 1999  1990 1999 2008  2008
1991 1999  1990 1999
×
=
×0 = 0
19911992
123
19911992

Ví dụ 4:

25 4  0,5 40 5 0,2 20 0,25 1414  1515
×
1  2  4  8  ...  128  156
2020  2121

* Hướng dẫn học sinh: Quan sát, nhận xét: Tử số ở phân số thứ nhất có
phép trừ và kết quả phép trừ đó bằng 0. Tính tử số ở phân số thứ nhất
trước.Thực hiện tính giá trị biểu thức.
Bài giải:

25 4  0,5 40 5 0,2 20 0,25 1414  1515
×
1  2  4  8  ...  128  156
2020  2121

=

25 4  (0,5 20) ( 0,25 40) × (5 × 0,2) 1414  1515
×
1  2  4  8  ...  128  156
2020  2121

=

100  10 × 10 × 1
1414  1515
1414  1515
×
= 0×

=0
1  2  4  8  ...  128  156 2020  2121
2020  2121

2.4. Dạng 4: Các bài toán tính nhanh một dãy tính về phân số:


Các bài toán thuộc dạng này có nhiều kiểu bài khác nhau, mỗi kiểu bài
đều được viết theo một quy tắc và có cách tính khác nhau.
2.4.1. Các bài toán về tính tổng của n phân số có tử số bằng 1 và mẫu
số là tích các số tự nhiên liên tiếp.
Ví dụ: Tính nhanh

1
1
1
1
1
+
+
+
+
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6

Nếu giáo viên không hướng dẫn thì học sinh không thể tính nhanh mà
sẽ thực hiện theo cách tính bình thường như sau:
1
1
1
1

1
1 1 1
1
1
+
+
+
+
= + + + +
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
2 6 12 20 30

=

1 30 1 10 1 5
1 3
1 2
30 10 5
3
2
50 5
+
+
+
+
= + + + +
=
=
2 30 6 10 12 5 20 3 30 2 60 60 60 60 60
60 6

Làm như trên rất dài và mất thời gian, với các bài tập có mẫu số lớn
thì khó thực hiện. Chính vì thế khi dạy về phân số giáo viên cần cho học sinh
thực hiện và so sánh kết quả của các phép tính như:
1 1 1
1 1 1 3 1 2 3 2 1
1 1 1 1
× = và - =
= - = . Do đó : × = 2 3 6
2 3 2 3 3 2 6 6 6
2 3 2 3

Tương tự:

1 1
1
1 1
1
× =
và - = .
3 4 12
3 4 12

Do đó:

1 1 1 1
× = - …….
3 4 3 4

Khi học sinh hiểu được bản chất, giáo viên đưa ra công thức tính như sau:

1
1
1
1
=
×(
)
n (n  m)
m
n nm

Sau đó cho các em vận dụng làm bài tập từ dễ đến khó.
Vận dụng cách tính nhanh này vào các ví dụ sau:
Ví dụ1:
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5
+
+
+
+
= - + - + - + - + - = - =
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 1 6 6

Ví dụ 2:

1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

* Hướng dẫn học sinh:


- Quan sát, nhận xét về tử số và mẫu số.
- Đưa ra nhận xét: Các phân số đều có tử số là 1, mẫu số là tích của
hai số tự nhiên liên tiếp mà thừa số thứ nhất ở mẫu số của phân số sau chính
là thừa số thứ hai ở mẫu số của phân số liền trước nó.
- Hướng dẫn học sinh tách mỗi phân số thành tích của hai phân số và
viết dưới dạng hiệu của hai phân số đó:
1
1 1 1 1

= × = - ;
1 2 1 2 1 2

1
1 1 1 1
= × = - ;
2 3 2 3 2 3

….;

1
1 1 1 1
= × = 9 10 9 10 9 10

- Thực hiện tính giá trị biểu thức:
Bài giải:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+

+
+
+
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1
1 2

1 1
2 3

1 1
3 4

1 1
4 5

1 1
5 6

1 1
1 1
9
= - = 10
9 10
1 10

= - + - + - + - + - ….+ Ví dụ 3:

1 1 1
1

1
1
1
1
1
+ + + + + + + +
2 6 12 20 30 42 56 72 90

=

1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1
1 2

1 1
2 3

1 1
3 4

1 1
4 5

1 1
5 6

1 1
1 1
9
= - = 10
9 10
1 10

= - + - + - + - + - ….+ Ví dụ 4:

1
1
1
1
1
+
+
+…+

+
1 2 3 2 3 4 3 4 5
36 37 38 37 38 39

Với bài toán trên thì học sinh thấy được mẫu số là tích của ba số tự
nhiên liên tiếp. Ta thấy:

2
1
1
=
;
1 2 3 1 2 2 3

2
1
=
;
2 3 4 2 3

………

2
1
1
=
37 38 39 37 38 38 39

Do đó khi đối chiếu với phân tích trên thì sẽ phải gấp tử số lên 2 lần
hay chính là nhân biểu thức trên với 2 để bài toán trở về ví dụ 1.

* Hướng dẫn học sinh:


- Tìm quy luật của tử số và mẫu số: tử số là 1, mẫu số là tích của ba số
tự nhiên liên tiếp mà thừa số thứ nhất của mẫu số sau chính là thừa số thứ ba
của mẫu số liền trước nó.Nhân biểu thức với 2. Viết các phân số đó dưới
dạng hiệu của hai phân số có tử số là 1 và mẫu số là tích hai số tự nhiên liên
tiếp.Tính giá trị biểu thức.
Bài giải
Đặt A =

1
1
1
1
1
+
+
+…+
+
1 2 3 2 3 4 3 4 5
36 37 38 37 38 39

A×2 =

2
2
2
2
2

+
+
+…+
+
1 2 3 2 3 4 3 4 5
36 37 38 37 38 39

A×2 =

1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+…+
1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5
37 38 38 39

A×2 =

1
1
1
1
370

= =
1 2 38 39 2 1482 741

A=

370
185
:2=
741
741

2.4.2. Các bài toán về tính tổng của n phân số(n>1; n€N) trong đó tử
số bằng 1 và mẫu số là các số chẵn (lẻ) liên tiếp hoặc cách đều).
Kiểu bài này cũng tương tự kiểu bài trên, khi các em làm thành thạo
kiểu bài trên thì các em tiếp thu nhanh kiểu bài này. Nhưng khi hướng dẫn
giáo viên cũng cần cung cấp cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản để
giúp các em biết cách làm thông qua các ví dụ cụ thể:
- Hướng dẫn học sinh thực hiện các phép tính:
1 1 1
× =
2 4 8

Hay

và

1 1 2 1 1
- = - =
2 4 4 4 4

1
1 1
=( - ):2
2 4
2 4

1 1
1
1 1 1
× =
và - =
4 6 24
4 6 12

Hay

1
1 1
=( - ):2
4 6
4 6

hoặc

Do đó

2
1 1
= 2 4 2 4

1
1
1 1
= ×( - )
2 4 2
2 4

Do đó;
hoặc

2
1 1
= 2 6 4 6
1
1
1 1
= ×( - )
4 6 2
4 6

…..


- Khi học sinh đã hiểu về mối quan hệ giữa các phép tính này thì các
em sẽ biết vận dụng để làm tốt các bài tập.
1
1
1
1
+

+
+…+
2 4 4 6 6 8
96 98

Ví dụ 1:

* Hướng dẫn học sinh:
Nhận xét về tử số và mẫu số: tử số là 1, mẫu số là tích của hai số chẵn
liên tiếp mà thừa số thứ nhất ở mẫu số của phân số sau chính là thừa số thứ
hai ở mẫu số của phân số liền trước nó.
- Từ quy luật của mẫu số, ta chọn cách nhân biểu thức với 2.
- Viết từng phân số dưới dạng hiệu của hai phân số mà số trừ của
nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau.
- Thực hiên tính giá trị biểu thức.
Bài giải:
1
1
1
1
+
+
+…+
2 4 4 6 6 8
96 98

Đặt A =
A×2 =

1

1
1
1
+
+
+…+
2 4 4 6 6 8
96 98

2
2
2
2
1 1 1 1 1 1
1 1
+
+
+…+
= - + - + - +…+ 2 4 4 6 6 8
96 98
2 4 4 6 6 8
96 98
1 1
24
=
2 98
49

A×2 = A=

24
12
:2 =
49
49

Ví dụ 2:

1 1
1
1
1
+ + + +
3 15 35 63 99

* Hướng dẫn học sinh:
Quan sát mẫu số rồi nhận xét: tách mẫu số thành tích hai số lẻ liên
tiếp.Viết từng phân số dưới dạng hiệu của hai phân số mà số trừ của nhóm
trước bằng số bị trừ của nhóm sau. Thực hiện phép tính.


Bài giải:
1 1
1
1
1
1
1
1
1

1
+ + + + =
+
+
+
+
3 15 35 63 99 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11
1 1
1 3

1 1
3 5

1 1
5 7

1 1
7 9

1 1
):2
9 11

= ( - ):2+ ( - ):2+( - ):2+( - ):2+( 1 1
1 3

1 1
3 5

1 1

5 7

1 1
7 9

1 1
1 1
10
5
):2 = ( - ):2 = :2 =
9 11
1 11
11
11

=( - + - + - + - + Ví dụ 3:

4
4
4
4
4
+
+
+…+
+
1 3 3 5 5 7
17 19 19 21

* Hướng dẫn học sinh:

- Quan sát tử số và mẫu số rồi nhận xét: tử số của các phân số là 4,
mẫu số là tích hai số lẻ liên tiếp mà thừa số thứ nhất ở mẫu số của phân số
sau chính là thừa số thứ hai ở mẫu số của phân số liền trước nó.
- Tách tử số ( 4 = 2 x 2) đưa về dạng như ví dụ 1.
- Viết từng phân số dưới dạng hiệu của hai phân số mà số trừ của
nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau . Thực hiện tính.
4
4
4
4
4
+
+
+…+
+
1 3 3 5 5 7
17 19 19 21

Bài giải:

= 2 x(

2
2
2
2
2
+
+
+…

+
)
1 3 3 5 5 7
17 19 19 21
1 1
1 3

1 1
3 5

1 1
5 7

= 2 x ( - + - + - +...+

1
1 1 1
- + - )
17 19 19 21

1 1
20 40
19
)=2x
=
=1
1 21
21 21
21

=2x( -

Khi học sinh đã làm được các bài tập trên thì giáo viên hướng dẫn các
em làm bài tập tương có mẫu số là tích của các số cách đều.
Ví dụ 4:

1
1
1
1
+
+
+…+
1 4 4 7 7 10
96 99

* Hướng dẫn học sinh:
Học sinh nhận xét: Mẫu số là tích của các số cách đều nhau 3 đơn vị


- Viết từng phân số dưới dạng hiệu của hai phân số mà số trừ của
nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm liền sau. Thực hiện tính.
Bài giải:
1
1
1
1
+
+
+…+

1 4 4 7 7 10
96 99
1 1
1 4

1 1
4 7

1 1
1 1
) : 3+…+( - ) : 3
7 10
96 99

= ( - ) : 3+ ( - ) : 3+( 1 1
1 4

1 1
4 7

1 1
1 1
1 1
98
+…+ - ) : 3 = ( - ) : 3 =
7 10
96 99
1 99
297

=( - + - + -

Như vậy, đối với hai kiểu bài trên giáo viên giúp học sinh biết cách
quan sát nhanh và đặc biệt quan tâm đến mẫu số, biết tách mẫu số thành tích
của hai số tự nhiên liên tiếp, hai số lẻ hoặc hai số chẵn liên tiếp, hai số cách
đều nhau liên tiếp. Sau đó vận dụng các mối liên hệ giữa phép nhân và phép
trừ các phân số có kết quả đặc biệt vào dãy tính để tìm ra kết quả một cách
nhanh nhất.
2.4.3. Các bài toán về tính tổng của n phân số có tử số là 1 và mẫu số
của hai phân số liền nhau gấp nhau một số lần.
Ví dụ 1:

1 1 1 1
1
1
1
+ + + + + +
2 4 8 16 32 64 128

* Hướng dẫn học sinh:
Cách 1: Trước khi cho học sinh làm bài tập kiểu này thì giáo viên cho
học sinh thực hiện và so sánh kết quả của các phép tính:
1 1 3
1 3
+ = và 1- =
2 4 4
4 4
1 1 1 7
1 7
+ + = và 1- =

2 4 8 8
8 8

Do đó :

1 1
1
+ = 12 4
4

Do đó :

1 1 1 1
15
1 15
+ + + =
và 1- =
2 4 8 16
16
16 16

1 1 1
1
+ + = 12 4 8
8

Do đó:

1 1 1 1
1

+ + +
= 1- …..
2 4 8 16
16

Như vậy học sinh thấy được tổng các phân số dạng trên bằng 1 trừ đi
phân số cuối cùng của dãy tính.


1 1 1 1
1
1
1
1
127
+ + + + + +
= 1=
2 4 8 16 32 64 128
128 128

Bài giải:
Cách 2:

Tìm quy luật của tử số và mẫu số: tử số bằng 1, mẫu số của phân số liền
sau gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần.
Từ quy luật của mẫu số ta nhân biểu thức với 2.
Thực hiện tính giá trị biểu thức.
Bài giải:
Đặt A =

1 1 1 1
1
1
1
+ + + + + +
2 4 8 16 32 64 128
1
2

1
4

1
8

Ax 2 = ( + + +
1
2

1
4

1
8

1
1
1
1
1 1 1 1

1
1
+ + +
)x 2= 1+ + + + + +
16 32 64 128
2 4 8 16 32 64

A x 2 = 1+ + + +

1
1
1
1 1 1 1
1
1
1
1
+ +
= 1+ + + + + + +
16 32 64
2 4 8 16 32 64 128 128

Ax 2 = 1 +
A= 1 A=

A

-

1

128

1
( Cùng bớt đi A)
128

127
128

Giáo viên cho học sinh nhận xét bài giải theo hai cách: khi mẫu số của hai
phân số liền nhau gấp nhau 2 lần thì gấp tổng đó lên hai lần rồi tính như trên.
Từ đó các em vận dụng các bài tương tự.
Ví dụ 2:

1 1 1
1
1
1
+ + + +
+
3 9 27 81 243 729

* Hướng dẫn học sinh: Tìm quy luật của tử số và mẫu số: tử số bằng 1,
mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước 3 lần. Từ quy
luật của mẫu số ta nhân biểu thức với 3. Thực hiện tính giá trị biểu thức.
Bài giải:
Đặt A =

1 1 1
1

1
1
+ + + +
+
3 9 27 81 243 729


1
3

1
9

Ax 3 = ( + +
Ax 3 = 1 +

1
1
1
1
1 1 1
1
1
+ +
+
)x3=1+ + + + +
27 81 243 729
3 9 27 81 243

1 1 1

1
1
1
1
+ + + +
+
3 9 27 81 243 719 729

Ax 3 = 1 +
Ax 2 = 1 A=

A

-

1
729

1
728
=
729 729

728
364
:2=
729
729

2.5. Dạng 5: Tính nhanh liên quan đến dãy số cách đều:

Đối với các bài toán thuộc dạng này, khi dạy giáo viên cần mở rộng cho
học sinh kiến thức về dãy số. Học sinh phải ghi nhớ một số công thức để vận
dụng khi làm bài như:
Số số hạng của dãy = (số lớn nhất - số bé nhât): khoảng cách + 1
Tổng của dãy số = ( số bé nhất + số lớn nhất) x số số hạng : 2
Ví dụ 1: 16 – 18 + 20 – 22 + 24 – 26+…+ 64 – 66 + 68
* Hướng dẫn học sinh: Viết thành hiệu của hai số:
(68 – 66) + (64 – 62) + …+ ( 28 – 26) + (24 – 22) + (20 – 18) + 16
- Nhận xét: Các số trong biểu thức tạo thành một dãy số cách đều , hai
số liền nhau hơn kém nhau hai đơn vị.
- Tính số hạng : ( 68 – 16) : 2 + 1 = 27 (số)
- Ghép như trên ta được hiệu của 13 cặp, mỗi cặp bằng 2 và còn số 16
không ghép với cặp nào. Thực hiện tính:
Bài giải:

16 – 18 + 20 – 22 + 24 – 26+…+ 64 – 66 + 68

= (68 – 66) + (64 – 62) + …+ ( 28 – 26) + (24 – 22) + (20 – 18) + 16
=

2

+

2

+….+

2

Có 13 số 2
= 2 x13 + 16= 26 + 16 = 42

+

2

+

2

+ 16


Ví dụ 2:
18,75 + 17,25 +15,75 + 14,25 + …+ 5,25 + 3,75 + 2,25
* Hướng dẫn học sinh: Quan sát, nhận xét mối quan hệ giữa các số hạng:
Biểu thức trên là tổng của một dãy số cách đều, hai số hạng liên tiếp hơn
kém nhau 1,5 đơn vị. Tìm số số hạng của biểu thức. Tìm tổng của biểu thức.
Bài giải
Ta thấy: 18,75 – 17,25 = 1,5
17,25 – 15,75 = 1,5…..
Vậy biểu thức trên là tổng của dãy số giảm dần cách đều nhau 1,5 đơn vị
bắt đầu từ 18,75 và kết thúc là 2,25
Số số hạng của biểu thức:

( 18,75 – 2,25) :1,5+1 = 12 (số)

Tổng của biểu thức là:

( 18,75 + 2,25) x 12 :2 = 126

Ví dụ 3:

0,18x1230  0,9x4567x2  3x5310x0,6
1  4  7  10  ...  52  55 - 514

* Hướng dẫn học sinh:
- Quan sát, nhận xét:
+ Tử số: vận dụng cách nhóm các thừa số, số hạng để đưa về dạng một
số nhân với một tổng.
+ Mẫu số: Vận dụng quy luật tính nhanh tổng một dãysố cách đều
(cách đều 3 đơn vị), tìm số hạng rồi tính tổng.
- Tiếp tục thực hiện bước tính rồi rút gọn phân số.
Bài giải:
0,18x10123  (0,9x2)x4567  (3x0,6)x531 0
0,18x1230  0,9x4567x2  3x5310x0,6
=
=
(1  55) x19 : 2 - 514
1  4  7  10  ...  52  55 - 514
1,8x123  1,8x4567  1,8x5310
1254 : 2 - 514

=

1,8x(123  4567  5310)
1,8x 10000 18000
=
=

= 1000
532 - 514
18
18


Ví dụ 4: ( 2,0 +2,1+ 2,2 +…+ 7,8 + 7,9 + 8,0) : (

26 x49 - 23
)
25x49  26

* Hướng dẫn học sinh:
- Quan sát, nhận xét:
+ Số bị chia: Vận dụng quy luật tính nhanh tổng một dãy số cách đều.
(cách đều nhau 0,1 đơn vị)
+ Số chia: Biến đổi bằng cách tách tử số hoặc mẫu số để xuất hiện các
thành phần giống nhau ở cả tử số và mẫu số, sau đó rút gọn. (dạng 2)
- Tiếp tục thực hiện phép chia.
Bài giải:
( 2,0 +2,1+ 2,2 +..+ 7,8 + 7,9 + 8,0) :(
=( 2,0 + 2,0) x 61:2 :
= 610 : 2:

26 x49 - 23
)
25x49  26

(25  1) x49 - 23
25x49  49 - 23

= 10 x 61 : 2 : (
)
25x49  26
25x49  26

25x49  26
= 305 : 1 = 305
25x49  26

IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
+ Lần 1: Sau một thời gian vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này trong
giảng dạy, tổ đã khảo sát chất lượng bằng cách ra một đề kiểm tra cho học
sinh lớp 5E do tôi phụ trách như sau:
Tính nhanh:

a. 40 x113 x 25 – 20 x 112 x 50
b. 123 x 56 x 0,1 + 0,25 x 100 x ( 100: 125 – 0,8)

c.

59595959 141414
45454545 151515

d.

1+

1 1 1
1
1

1
+ + + +
+
3 9 27 81 243 729

+ Lần 2: Trường ra đề khảo sát và tổ chức coi chấm.
Tính nhanh:
a). 17 x 8+ 51 x 4
c).

b).97,8 – 95,5 + 93,2 – 90,9+…+ 47,2 – 44,9

0,36 x950  0,18x726x2  3x324x0,12
1  3  5  7  9  ...  29  31 - 152

d)

4
4
4
4
4
+
+
+…+
+
2 x4 4 x6 6 x8
96 x98 98x100

Kết quả:
Số
HS
KS
42

Lần
kiểm
tra
1

42

2

Giỏi
TS
%

Kết quả khảo sát
Khá
Trung bình
TS
%
TS
%

27

64,3

12

28,6

3

7,1

0

0

28

66,7

13

30,9

1

2,4

0

0

Yếu

TS
%

Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy, tôi thấy học
sinh chủ động nắm bắt, tự khắc sâu kiến thức ở các bài toán thuộc dạng tính
nhanh.Và đặc biệt trong các đợt thi học sinh giỏi cấp thành phố cũng như cấp
tỉnh, cấp Quốc gia học sinh làm tương đối tốt các dạng bài tập này. Lúc chưa
thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, số học sinh điểm yếu chiếm hơn 20%. Khi
đã áp dụng sáng kiến thì trên 90% học sinh đạt điểm khá, giỏi. Kết quả học
tập môn Toán nói chung của lớp tôi trực tiếp giảng dạy cũng được nâng lên
rõ rệt, cụ thể: Năm học 2010-2011 học sinh giỏi cấp thành phố 8em, cấp tỉnh
3 em, cấp Quốc gia 1 em.
Từ kết quả trên, tôi thấy học sinh đã có sự tiến bộ trong học tập. Trong
công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu môn Toán thì chất lượng ngày càng
cao, kiến thức của học sinh vững vàng hơn, học sinh biết chủ động tự chọn
cách giải phù hợp với từng dạng bài tập. Sáng kiến kinh nghiệm “ hướng dẫn
học sinh lớp 4,5 giải một số bài toán thuộc dạng tính nhanh” qua 2 năm áp
dụng vào giảng dạy đã đạt được kết quả tương đối tốt. Sáng kiến được đồng
nghiệp, tổ chuyên môn và nhà trường đánh giá cao, đáp ứng được nhiệm vụ
đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.


PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. Kết luận:
Qua quá trình thực nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số bài toán thuộc
dạng tính nhanh ở trường Tiểu học Đinh Tiên Hoàng– Việt Trì – Phú Thọ, tôi
rút ra một số kinh nghiệm cụ thể sau:
- Đối với giáo viên: Cần phân nhóm theo trình độ học lực và có kế hoạch
bồi dưỡng cụ thể. Nghiên cứu kĩ từng dạng toán và cách giải từng dạng toán
đó một cách tối ưu nhất để hướng dẫn học sinh. Luôn đổi mới, sáng tạo trong

công tác tự học, tự nghiên cứu bồi dưỡng để góp phần nâng cao hiệu quả
giáo dục.
- Đối với học sinh: Nắm vững bản chất, các tính chất của bốn phép tính.
Và các dạng bài, kiểu bài và cách giải các dạng bài, kiểu bài đó một cách
chính xác, phù hợp. Biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học.
II. Kiến nghị:
Trên thực tế dạy học ở trường Tiểu học Đinh Tiên Hoàng - Việt Trì – Phú
Thọ, tôi có một số đề xuất sau: Các cấp quản lí tạo điều kiện nhiều hơn để
giáo viên được giao lưu, học tập ở các trường bạn. Có nhiều tiết dạy mẫu.
Các cấp quản lí giáo dục cần tạo cơ hội và động viên kịp thời khi giáo viên
thực hiện tốt đổi mới phương pháp dạy học dù là nhỏ nhất.
- Đối với nhà trường và địa phương: Đầu tư thêm và tạo điều kiện về cơ
sở vật chất, trang thiết bị cho công tác bồi dưỡng học sinh.
- Đối với giáo viên: Đẩy mạnh công tác tự học, tự bồi dưỡng hơn nữa.
Tôi xin chân thành cảm ơn!


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các bài toán phân số và tỉ số - NXB Giáo dục, năm2007
2. Dạy học môn Toán ở bậc Tiểu học - NXB Đại học quốc gia Hà Nội
3. Luật Giáo dục
4. Sách giáo khoa toán 4,5 - NXB Giáo dục, năm 2008
5. Tạp chí giáo dục Tiểu hoc
6. Toán bồi dưỡng 4,5 - NXB Giáo dục, năm2007
7. Toán nâng cao 4,5 - NXB Giáo dục, năm 2007
8. Toán tuổi thơ
9. Tuyển tập các bài toán hay và khó 4.5 - NXB Đà Nẵng
10. Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi Toán 4,5 - NXB Đại học sư phạm

MỤC LỤC

STT
1
2
3
4
5
6
7
8

NỘI DUNG
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận
II. Thực trạng của vấn đê
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
1. Tổng hợp và phân tích các bài toán tính nhanh.
2. Hướng dẫn cách giải.
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
PHẦN III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
I. Kết luận
II. Kiến nghị

TRANG
1
2
2
2

3
3
3
19
21
21
21


ĐÁNH GIÁ CỦA HĐKH