Bài giải ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP C1 08-09
Bài 1.
1
2
arctgx
ln x acrtgx lim arctgx ln x lim
L lim 1 x
a) I lim
x �0
x �0
x �0
x �0
1
1 1
2
ln x
ln x x
1
2 ln x
1
ln 2 x
x lim 2 ln x
I lim
lim
L lim
C1.
2
x �0 1 x x � 0
x �0
x�0
1
1
1
2
x
x
x
1
2
I L lim x lim 2 x 0
x �0
1 x �0
2
x
1
1
2 ln x
2
ln 2 x
2
ln
x
x lim
x lim 2 x 0
L lim
L lim
C2. I lim
x �0 1
x �0
x �0 1
x �0
x �0 1 x 2
1
1
x
2 1
x
2 1
x
x
x
x
b)
1�
x sin x
1 cos x
sin x
�1
I lim �
� lim
L lim
L lim
0
x �0 sin x
x � x �0 x sin x x �0 sin x x cos x x�0 cos x cos x x sin x
�
Bài 2.
Vẽ hình.
Diện tích hình phẳng:
4
S �
cos
x
sin
x
dx
sin
x
cos
x
4 2 1 .
0
0
Bài 3.
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:
�
�
�
1 cos x
2sin 2 x
dx
dx
dx
2
2
2
�
�
�
1 x
1 x
1 x2
0
0
0
�
dx
arctgx
(hội tụ)
�
0 2
1 x2
0
Theo tiêu chuẩn so sánh 1, suy ra tích phân đã cho hội tụ.
Bài 4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số.
1
tg
�
�
1
1
n 1 và
a) �tg . Ta có lim
phân kì.
�
n
��
1
n
n 1
n 1 n
n
�
1
Theo tiêu chuẩn so sánh 2, �tg phân kì.
n
n 1
�
Mà:
�
b)
2 n
�n ln n
n2
un 1
2 n1
n ln n 1 n
ln n
Xét
n
un
2 n 1 ln n 1
n 1 ln n 1 2
u
1 n
ln n
1
n
ln n
1
lim n 1 lim
lim
lim
.
Suy ra
n �� u
n �� 2 n 1 ln n 1
2 n�� n 1 n�� ln n 1 2
n
Theo tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi số đã cho hội tụ.
Bài 5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi lũy thừa.
2n
�
x 2
a) �
2n
n 1
Đặt X x 2 , chuỗi đã cho trở thành
2
Xn
�
n 1 2n
�
Bán kính hội tụ
R
1
1
2n
lim
n �� 2 n 1
Suy ra, miền hội tụ là X 1 � x 2 1 � x 2 1 � 1 x 3
Khi x = 1, chuỗi đã cho trở thành chuỗi số
2n
�
1 � 1 : chuỗi phân kì.
�
�
2n
n 1
n 1 2n
Khi x = 3, chuỗi trở thành chuỗi số:
2n
�
1 � 1 : chuỗi phân kì.
�
�
n 1 2n
n 1 2n
Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1 x 3
2
�
xnnn
b) �
n2
n 1 1 n
2
Bán kính hội tụ
R lim n
n ��
nn
2
1 n
n
2
lim
n ��
nn
1 n
n
1
n ��
� 1� e
1 �
�
� n�
lim
1
n
1
1
Miền hội tụ x .
e
e
1
Khi x , chuỗi trở thành chuỗi số
e
2
�
e n nn
e 1 n n
1
2 1 , hội tụ.
2 . Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy, lim
�
n
n
n ��
n 1 1 n
1 n e
Khi x
1
chuỗi trở thành chuỗi số
e
e n n
�
n
n 1 1 n
�
n
2
2
e n n
�
n
n 1 1 n
�
. Xét chuỗi trị tuyệt đối
n
1
1
Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa trên là �x �
e
e
2
2
�
e n nn
n 1
1 n
�
2
n2
hội tụ.