ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (742.44 KB, 13 trang )
Bài giảng sức bền vật liệu
Chương 6
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG
I. KHÁI NIỆM
Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy ứng suất
trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang A.Trong những trường
hợp khác, như thanh chịu uốn, xoắn… thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào
diện tích A mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt… nghĩa là còn những
yếu tố khác như: momen tĩnh, momen quán tính mà người ta gọi chung là đặc trưng
hình học của mặt cắt ngang.
P
P
y
z
y
z
a)
x
b)
H.6.1. Dầm chịu uốn
a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang
Xét thanh chịu uốn trong hai trường hợp có cùng mặt cắt ngang A đặt lực khác nhau như
trên H.6.1. Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a), thanh chịu lực tốt hơn
trường hợp b). Như vậy, khả năng chịu lực của thanh còn phụ thuộc vào hình dáng và vị
trí mặt cắt ngang đối với phương tác dụng của lực.(Ứng suất nhỏ 04 lần độ võng nhỏ 16
lần). Cho nên sự chịu lực không những phụ thuộc A, mà cần phải nghiên cứu các đặc
trưng hình học khác của mặt cắt ngang để tính toán độ bền, độ cứng, độ ổn định để thiết
kế mặt cắt của thanh cho hợp lý.
II. MÔMEN TĨNH – TRỌNG TÂM
Xét một hình phẳng có mặt cắt ngang A như hình vẽ. Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy
trong mặt phẳng của mặt cắt.Gọi M(x,y) là một điểm bất kỳ trên hình.
Lấy chung quanh M một diện tích vi phân dA.
Mômen tĩnh của mặt cắt A với trục x (hay trục y) là tích phân:
S x ydA , S y xdA
(6.1)
A
A
vì x, y có thể âm hoặc dương nên mômen tĩnh có thể có trị số âm hoặc dương.
Thứ nguyên của mômen tĩnh là [(chiều dài)3],thí dụ: cm3, m3,
Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của mặt cắt A đối với trục đó bằng không.
Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm.
1
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
Bài giảng sức bền vật liệu
Mômen tĩnh đối với một trục đi qua trọng tâm bằng không.
Cách xác định trọng tâm C của mặt cắt A:
Dựng hệ trục xo Cyo song song với hệ trục xOy ban đầu (H.6.2). Ta có
x xC xo ; y yC yo
với C(xc,yc) Thay vào (6.1),
Sx (yC yo )dA yC dA yo dA yC A Sxo
A
A
y
y0
A
Nếu C là trọng tâm thì xo là trục trung tâm nên
S xo 0 , tương tự S yo 0 ta được:
S x yC A , và : Sy xC A
Từ (6.2) x C
Sy
A
; yC
Sx
A
A
M
y0
(6.2)
dA
C
y
yc
(6.3)
x0
0
xc
Kết luận: Tọa độ trọng tâm C ( xC , yC ) được xác định
x
trong hệ trục xOy ban đầu theo mômen tĩnh Sx , Sy và
diện tích A theo (6.3).
Ngược lại, nếu biết trước tọa độ trọng tâm, có thể sử dụng (6.2), (6.3) để xác định các
mômen tĩnh.
Nhận xét: Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trên trục này vì mômen tĩnh đối với
trục đối xứng bằng không
Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm nằm ở giao điểm hai trục đối xứng
y
y
C
y
C
x
C
x
x
Mặt cắt có trục đối xứng
Thực tế, có thể gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được ghép từ nhiều
hình đơn giản. Khi tính mômen tĩnh của hình phức tạp bằng cách tính tổng mômen tĩnh
của các hình đơn giản.
Với những hình đơn giản như chữ nhật, tròn, tam giác (trọng tâm và diện tích đã
biết) hoặc mặt cắt các loại thép định hình I, U, V, L… có thể tra theo các bảng trong
phần phụ lục) để biết diện tích, vị trí trọng tâm, từ đó dễ dàng tính được mômen tĩnh của
hình phức tạp gồm n hình đơn giản:
S x A1 y1 A2 y 2 ... An y n
n
A y
i
1
S y A1 x1 A2 x2 ... An xn
n
Ax
i
(6.4)
i i
1
2
x0
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
x
Bài giảng sức bền vật liệu
trong đó: Ai , xi , yi : diện tích và tọa độ trọng tâm của hình đơn giản thứ i,
n : số hình đơn giản.
Toạ độ trọng tâm của một hình phức tạp trong hệ tọa độ xy.
n
Ai xi
i
S
xC y
A
y
1
n
Ai
i
A
1
1
C1
n
S
yC x
A
xc
Ai yi
i
(6.5)
Ai
C2
yc
y2
1
n
C
y1
x1 0
i 1
x
A2
x2
Thí dụ 1:
Xác định trọng tâm mặt cắt chữ L chỉ gồm hai hình chữ nhật như trên .
Tọa độ C là trọng tâm của hình (hình1 có diên tích A1, toạ độ trọng tâm C1(x1, y1,)
hình 2 có diện tích A2,và C2(x2,y2).
Sx y1 A1 y2 A2
Sy
x A x2 A2
xC
1 1
; yC
A
A1 A2
A
A1 A2
Thí dụ 2.
1cm
1cm
Tìm trọng tâm cho mặt cắt ngang hình chữ U
Chọn trục x qua đáy mặt cắt (trục y là trục đối xứng,
trọng tâm 0 nằm trên trục y)
15,5cm
a) Có thể tính cho ba hình chữ nhật nhỏ 2(1x20cm) 20cm
x
0
và 20x2cm cộng lại:
yC
S x 20 2 1 2(20 1 12)
6,5cm
A
(20 2) 2(20 1)
6,5cm
2cm
y
20cm
b) Hay lấy hình chữ nhật lớn ngoài A1 = 20x22cm
trừ hình chữ nhật trong A2 = 18x20cm
H. 6.12
S x1 S x2
(24 22 12) (18 20 12)
yC
6,5cm
A1 A2
(20 22) (18 20)
Thí dụ 3: Tìm trọng tâm hình chữ T. Chọn trục x ban đầu qua đáy mặt cắt
4a
(Tương tự cho hai hình còn lại)
10 cm
y
Y
1,5a
2 cm
12 cm
6,87cm
C
1,13cm
X
2a
0 X
0
x
9,2cm
16cm
0
6a
6cm
1
y
x
_________________________________________________________________
2 cm
8cm
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đứcaThanh T06/2016
cm
3
X
Bài giảng sức bền vật liệu
yC
S x1 S x2
A1 A2
(10 2 13) (12 2 6)
9,2cm
(10 2) (12 2)
III. MÔMEN QUÁN TÍNH - HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM
1- Mômen quán tính (MMQT)
Mômen quán tính độc cực (đối với 1điểm)
MMQT của mặt cắt A với điểm 0 được định nghĩa là biểu
thức tích phân:
I 2 dA
(6.6)
y
M
y
A
với : : khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ 0,
0
Mômen quán tính đối với trục y và x của mặt cắt A
được định nghĩa:
I y x 2 dA; I x y 2 dA
(6.7)
A
dA
A
x
x
A
Mômen quán tính ly tâm của mặt cắt A (đối với hệ trục x,y) được định nghĩa:
I xy xydA
(6.8)
A
Từ định nghĩa các mômen quán tính, ta nhận thấy:
- MMQT có thứ nguyên là [chiều dài]4
- Ix , Iy , Ip 0 (luôn luôn dương)
- MMQT ly tâm Ixy có thể dương, âm hoặc bằng không.
2
2
2
- Vì x y
nên
I Ix Iy
(6.9)
MMQT độc cực bằng tổng MMQT đối với hai trục vuông góc x, y có gốc tại điểm cực.
Theo định nghĩa của MMQT, ta cũng có:
Tính chất: Mômen quán tính của một hình phức tạp bằng tổng mômen quán tính của
từng hình đơn giản.
2- Hệ trục quán tính chính trung tâm (QTCTT)
y
Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm đối với hệ trục đó bằng
dA1
dA
không được gọi là
2
hệ trục quán tính chính.
A1
A2
Hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt (gốc đặt tại
0
x
trọng tâm) được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm
(mọi tính toán về sau đều dùng hệ trục nầy)
Hình có một trục đối xứng
Đối với hệ trục này, ta có:
4
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
Bài giảng sức bền vật liệu
Sx 0 ; Sy 0 ; I xy 0
Tính chất: Khi mặt cắt A có một trục đối xứng thì bất kỳ hệ trục nào vuông góc với
trục đối xứng đó đều là hệ trục quán tính chính của mặt cắt.
Thật vậy: xét mặt cắt A có trục đối xứng là y như trên H.6.7. Ta luôn tìm được
những cặp vi phân diện tích đối xứng để:
I xy yxdA
A
A1 A2
yxdA ( xy yx)dA1 0
A1
Nhận xét:
MMQT đối với trục chính trung tâm được gọi là mômen quán tính chính trung
tâm của mặt cắt A.
3.Bán kính quán tính
rx
Ix
;
A
ry
Iy
thứ nguyên là chieudai
A
Bán tính quán tính đối với trục chính gọi là bán kính quán tính chính
VI. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH ĐƠN GIẢN
1- Hình chữ nhật
Tìm mômen quán tính chính trung tâm của hình chữ nhật b h (H.6.8).
y
y
h/2
dy
y
C
h/2
h
dy
x
x
y
x
x
0
b
H.6.8
H.6.9
Hệ có hai trục đối xứng x,y cũng là hệ trục QTCTT.
Để tính Ix, lấy diện tích vi phân dA là một dải bề rộng b, bề dày dy, khoảng cách
đến trục là y.
Ta có
I x y 2 dA
A
h
2
2
y bdy
h
2
bh 3
12
Tương tự, đổi vai trò của x và y, b và h, ta được: I y
(6.10)
hb3
12
(6.11)
2- Hình tam giác(tự đọc)
Tính MMQT hình tam giác đối với trục x đi qua đáy (H.6.9).
5
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
Bài giảng sức bền vật liệu
Diện tích dA là dải vi phân song song với đáy, có chiều dày là dy, khoảng cách đến
trục x là y và có bề rộng b y được tính như sau: by b(h y)
h
h
b( h y )
b
b hy 3 y 4
I x y dA y
dy y 2 (h y )dy
h
ho
h 3
4
A
o
h
2
2
h
bh 3
o 12
(6.12)
3. Hình tròn - Hình vành khăn (tự đọc)
y
y
x
C
x
C
R
d
d
D
D
H. 6.10
a)
b)
a) Hình tròn
b) Hình vành khăn
Tính MMQT của hình tròn đối với trục x (hay y) là đường kính.
Hệ trục (x,y) cũng là hệ trục chính trung tâm
Trước tiên tìm mômen quán tính độc cực đối với trọng tâm 0
Xét vòng tròn bán kính R ở H.6.10a. Lấy phân tố diện tích dA ở dạng một vành
tròn mảnh bán kính và bề dày d .
Như vậy, dA 2d
Mômen quán tính độc cực của toàn bộ hình tròn:
R
I 2 dA 2 3 d
A
R 4
o
2
D 4
32
0,1D 4
Do đối xứng, ta có: I x I y
I I x I y 2I x 2I y
Theo (6.10), ta có:
Ix Iy
R4
4
D 4
64
0,05D 4
(6.13)
Theo tính chất của MMQT đối với trục đã biết ở mục 6.3,
MMQT của mặt cắt hình tròn rỗng (hình vành khăn) (H.6.10b) là hiệu MMQT của
hai hình tròn đường kính D và d:
I y I x I x( D) I x( d )
Ip
D 4
32
D 4
64
d 4
64
(1 4 ) với
D 4
64
1
4
(6.14)
d
D
V. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MMQT
6
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
Bài giảng sức bền vật liệu
Nếu biết các momen quán tính của hình phẳng A trong hệ trục tọa độ Oxy. Xác định
MMQT của hình phẳng này trong hệ trụcO1XY song song với hệ trục đã cho (H.6.11).
Gọi a và b là tọa độ của O trong hệ tọa độ O1XY.
X a x, Y b y
Ta có :
Theo định nghĩa:
I X Y 2 dA (b y ) 2 dA y 2 dA 2b ydA b 2 dA
A
A
A
A
Y
y
A
I x 2bS x b 2 A
y
Y
(6.15)
0
tươngtự: IY I y 2aSy a 2 A
(6.16)
M
°
x
x
b
Đối với mômen quán tính ly tâm:
X
01
a
X
I XY XYdA (a x)( b y)dA xydA b xdA a ydA ab dA
A
A
A
I xy bSx aSy abA
A
A
A
(6.17)
Nếu hệ trục Oxy là hệ trục trung tâm của hình A thì các công thức trên có dạng:
I X I x b2 A; IY I y a 2 A; I XY I xy abA
(6.18)
Công thức (6.18) thường được sử dụng để tính các mômen quán tính chính trung tâm
của một hình phức tạp khi đã biết mômen quán tính chính trung tâm của từng hình đơn
giản.
Từ công thức này, ta nhận thấy: trong tất cả các trục song song thì mômen
quán tính đối với trục trung tâm luôn có giá trị nhỏ nhất. Momen quán tính tăng
dần khi di chuyển trục song song xa dần trọng tâm mặt cắt (a,b tăng)
Thí dụ: Tính mômen quán tính đối với trục BB đi qua đáy của hình chữ nhật (H.6.8).
Giải.
Dùng công thức chuyển trục song song để tính IBB:
h
bh3 h
bh3
hb
= Ix + A
12 2
3
2
2
IBB
2
>
b h3
12
Thí dụ 4: Tìm MMQT chính trung tâm của mặt cắt chữ U như hình vẽ.
Giải
Tìm trọng tâm C:
1cm
Chọn hệ trục ban đầu qua đáy (trục y là trục đối
xứng, C nằm trên trục y)
yC
S x 20 2 1 2(20 1 12)
6,5cm
A
(20 2) 2(20 1)
Tính MMQT đối với hệ trục chính trung tâm IX,
IY
7
1cm
15,5cm
20cm
0
x
6,5cm
2cm
y
_________________________________________________________________
20cm
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
H. 6.12
Bài giảng sức bền vật liệu
I X I X(1) 2 I X( 2) 3766,67cm 4 Trong đó
20 2 3
5,5 2 (20 2) 13,333 1210
Với I
12
1 20 3
( 2)
I X I X(3)
(1 20) 5,5 2 666,67 605
12
1
X
I Y1 2 I Y2
20 13
2 20 3
2
2
9,5 (20 1) 13,333 2 (1,666 1805)
12
12
Ixlớn_Ixnhỏ=(
20 22 3
18 20 3
(20 22) 4,5 2 ) (
(18 20) 5,53 ) 3766,67cm 4 )
12
12
YY YYLÔN I YNHO
22 20 3 20 18 3
4946,67cm 4
12
12
Thí dụ 5: Tìm trọng tâm và momen quán tính chính trung tâm.
I X I X(1) I X( 2 ) I x(1) b12 A1 I x( 2) b22 A2
2.12 3
10.2 3
(3,2) 2 24
(3,8) 2 20 829,227cm 4
12
12
I Y I Y(1) I Y( 2)
12 2 2 2 10 3
174,76cm 4
12
12
Y
10 cm
y
15cm
2 cm
12 cm
10cm
x
C
x
15cm
9,2cm
x
12,9cm
cm
0
X
12cm
2 cm
Thí dụ 6. Tìm trọng tâm và momen quán tính đối với trục nằm ngang.(hê trục qua đáy)
S
yC x
A
30 12 15
10 2
22,5
4
12,91cm
10 2
30 12
4
I X I X(1) I X( 2) I x(1) b12 A1 I x( 2) b22 A2
8
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
Bài giảng sức bền vật liệu
2
12.30 3
.10 4
2
2 10
(2,09) 30.12 (
(9,59)
) 20862,4cm 4
12
64
4
Y
Thí dụ 7.Tìm momen quán tính chính trung tâm IX
D D D
5D
D
I X 2 I x A 2
2
4
64
2
64 2
2
I X 2I x 2
2
4
2
X
D
4
D
D 4
64
D
X
Tóm tắt:
- Nếu mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng.
Tìm momen quán tính chính trung tâm như sau:
.Tìm toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang ,tìm momen quán tính chính của từng hình
. Dùng công thức chuyển trục song song để tìm momen quán tính chính trung tâm
I X I x b2 A; IY I y a 2 A; I XY I xy abA
với x//X (cách nhau b), y//Y(cách nhau a)
- Nếu mặt cắt ngang không có trục đối xứng nào dùng công thức xoay trục như phần sau
(tự đọc)
VI. CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MMQT- XÁC ĐỊNH HỆ
TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH (HTQTC) :
1. Công thức xoay trục:
Biết các MMQT Ix , Iy , Ixy của A trong hệ trục tọa độ
Oxy.
Tính các MMQT Iu , Iv , Iuv đối với hệ trục mới Ouv ;
Hệ trục Ouv hình thành từ việc xoay hệ trục Oxy một
góc ngược kim đồng hồ ( H.6.13)
Tọa độ của điểm trong hệ trục mới và hệ tọa độ cũ
được liên hệ như sau:
u y sin x cos
v y cos x sin
y
v
dA M
x
· v
u y
a
A
a
O
H. 6.13
Theo định nghĩa, các MMQT đối với trục u, v là:
9
u
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
x
Bài giảng sức bền vật liệu
Iu v2 dA; I v u 2 dA ; Iuv uv dA
A
A
A
Tính Iu
Iu
aAÂIv dA A y cos x sin dA
2
2
cos 2 y 2 dA sin 2 x 2 dA 2 sin cos xydA
Juv
Iu I x cos I y sin 2I xy sin cos
Juv
Jxy
A
A
A
2
2
M
(a)
P
Mo
Sử dụng các công thức lượng giác:
Jmax
Jmin
cos2
O
1
1 cos 2; sin 2 1 (1 cos 2) ; 2 sin cos sin 2
2
2
(a) trở thành:
Iu
Ix Iy
2
Ix Iy
2
A
H. 6.14
cos 2 I xy sin 2
xIy
C
Iu
Ix
B
Ju
Voøng troøn Mohr quaùn tính
(6.20)
Tính Iv : Tương tự như tính MMQT I u , ta được mômen quán tính I v (hoặc bằng
cách thế trực tiếp bằng 90o trong phương trình (6.21)):
Ix Iy
Iv
2
Ix Iy
2
cos 2 I xy sin 2
(6.21)
Tính Iuv :
I uv uv dA ( y sin x cos )y cos x sin dA
A
A
sin cos y 2 dA sin 2 xy dA cos 2 xydA sin cos x 2 dA
A
A
I uv (I x I y ) sin cos I xy cos 2
I uv
Ix Iy
2
A
A
(b)
sin 2 I xy cos 2
(6.22)
2- Hệ trục quán tính chính- Cách xác định
Hệ trục QTC: Theo định nghĩa ở mục 6.3, hệ trục quán tính chính là hệ trục
có MMQT ly tâm bằng không.
Để xác định hệ trục này, cho Iuv = 0
tg2
2 I xy
Ix Iy
(6.23)
trong đó: - là góc xác định trục quán tính chính.
Phương trình (6.24) luôn có hai nghiệm 2 sai khác nhau một góc 180 o . có hai
nghiệm sai biệt nhau một góc 90 o , nghĩa là luôn tìm được hai trục chính vuông góc
với nhau.
10
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
Bài giảng sức bền vật liệu
MMQT cực trị : Để tìm góc sao cho mômen quán tính có trị số lớn nhất hoặc
nhỏ nhất, lấy đạo hàm của Ju theo và cho bằng không:
Ix Iy
dI u
2
sin 2 2I xy cos 2 0
(c)
d
2
Dễ thấy nghiệm của (c) cũng là nghiệm của (6.24).
Như vậy đối với hệ trục chính vuông góc, mômen quán tính có giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất, gọi là mômen quán tính chính.
Thế ngược lại 2 từ (6.24) vào (6.21) và (6.22), ta được trị số các mômen quán
tính chính:
I max
I min
và:
Ix Iy
2
Ix Iy
2
1
2
(I x I y ) 2 4I xy
2
(6.24)
1
2
(I x I y ) 2 4I xy
2
(6.25)
Cách xác định hệ trục QTCTT của một hình phẳng bất kỳ
Trong trường hợp tổng quát, khi diện tích A không có trục đối xứng, hệ trục
QTCTT được xác định theo trình tự như sau:
- Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu. Xác định trọng tâm của hình trong hệ trục này
- Chuyển trục song song về trọng tâm của hình. Tính các mômen quán tính đối với
hệ trục trung tâm
- Xoay trục để tìm trục quán tính chính đi qua trọng tâm.
Việc xác định hệ trục QTCTT cũng như tính toán các mômen quán tính chính là rất
cần thiết trong việc tính toán ứng suất, chuyển vị của thanh chịu uốn, xoắn… mà ta sẽ
nghiên cứu ở các chương sau.
Thí dụ 7
Tính momen quán tính chính trung tâm Ix,của hai thép C.30 có h =30cm, b =10cm
d=6,5cm, A =40,5cm2, t =1cm Ix=5810cm4, Iy=327cm4, z0=2,52cm được ghép với hai
tấm thép đối xứng 40x1cm
b=10 cm
Y
Giải:
Trọng tâm tại C vì hình đối xứng
1
(1)
( 2)
2
Tính : I X 2 I X 2( I X b2 A2 )
Ix1là moment quán tính của thép hình
Ix2 là moment quán tính của tấm thép
I X 2 5810 2(
40 13
(15,5) 2 1 40
12
30846,67cm4
Thí dụ 8:
Từ bài trên bỏ bớt tấm thép phía trên .Tìm
lại
11
cm
zo
c
h=30cm
X
b=10 cm
Y
1 cm
zo
0
t=1 cm
x
t=1 cm
b=40cm
h=30cm
c
X
_________________________________________________________________
x
0
1 cm
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
b=40cm
Bài giảng sức bền vật liệu
trọng tâm và moment quán tính chính trung tâm IX ,IY
Chọn hệ trục ban đầu x0Yqua trọng tâm
tấm thép
Yc
0 2(40,5 15,5)
10,38cm
40 1 2 40,5
40 13
IX
(10,38) 2 40 1) 2(5810 (15,5 10,38) 2 40,5) 18056,5cm4
12
1 40 3
IY
2(327 (20 10 z0 ) 2 40,5) 18684,11cm4
12
Thí dụ 9. Đọc thêm
Tính momen quán tính chính trung tâm của hình phẳng
sau (không có trục đối xứng nào)
Chọn hệ trục ban đầu xoy(qua tâm h.1)
xc
0 3a 2a 2a
a
6a 2 6a 2
yc
Imin
0 3a 2a 2a
a
6a 2 6a 2
y
2a
c
I X I X(1) I X( 2 ) ( I x(1) b12 A1 ) ( I x( 2 ) b22 A2 )
(
Y
4a
X
6a
a (6 a )
3a (2a)
( a 6a ) a 2 ) (
(3a 2a)a 2 ) 32a 4
12
12
3
2
-290
01
x
Imax
I Y I Y(1) I Y( 2) ( I y(1) a12 A2 ) ( I y( 2) a22 A2 )
(
6a (a) 3
2a (3a) 2
(a 6a)a 2 ) (
(3a 2a)a 2 ) 17a 4
12
12
a
(1)
( 2)
I XY I XY
I XY
I xy(1) a1b1 A1 I xy( 2) a2b2 A2
(0 a) (a 6a 2 ) (0 (a a 6a 2 12a 4
Tìm hệ trục chính: tan 2 0
2 I xy
Ix Iy
2 12a 4
1,6
(32 17)a 4
o(1) 29o , o( 2) 61o , cho a=1cm ta được:
I max
I min
Ix Iy
2
Ix Iy
2
1
2
(I x I y ) 2 4I xy = 38,65cm 4 ,với ( o(1) 29o )
2
1
2
(I x I y ) 2 4I xy =10,35cm 4 ,
2
Cách tìm momen quán tính :
-Nếu mặt cắt ngang không có trục đối xứng.
12
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
Bài giảng sức bền vật liệu
-Tìm toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang,tìm momen quán tính đối với trục song song
cho từng hình bằng công thức chuyển trục song song
I X I x b2 A; IY I y a 2 A; I XY I xy abA
Dùng công thức xoay trục (đã biết trục quán tính chính) để tìm momen quán tính chính
trung tâm
13
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
GV. Lê đức Thanh T06/2016
