DE THI DAI HOC NAM 2009(Theo CT cua Bo...)

B GIO DC O TO THI TH I HC, CAO NG KHI A, B NM 2009
chớnh thc MễN: TON - Thi gian: 180 phỳt.
(Thớ sinh c k trc khi lm bi)
Cõu I(2 im): Cho hm s
3 2
2 ( 3) 4y x mx m x= + + + +
cú th l (C
m
)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C
1
) ca hm s trờn khi m = 1.
2) Cho (d) l ng thng cú phng trỡnh y = x + 4 v im K(1; 3). Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m sao cho (d)
ct (C
m
) ti ba im phõn bit A(0; 4), B, C sao cho tam giỏc KBC cú din tớch bng
8 2
.
Cõu II(2 im):
1) Gii phng trỡnh:
cos2 5 2(2 - cos )(sin - cos )x x x x+ =
2) Gii h phng trỡnh:
3 3 3
2 2
8 27 18
4 6
x y y
x y x y
+ =

+ =

Cõu III(2 im):
1) Tớnh tớch phõn I =
2
2
6
1
sin sin
2
x x dx


ì +

2) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m sao cho phng trỡnh sau cú nghim thc:

2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
+ +
+ + + =
Cõu IV(1 im): Cho hỡnh chúp S. ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) = 60
0
, ABC v SBC l cỏc tam giỏc u cnh
a. Tớnh theo a khong cỏch t B n mt phng (SAC).
Phn riờng : (Thớ sinh ch chn mt trong hai phn di õy lm bi)
Phn I: Theo chng trỡnh chun:

Cõu Va(1 im): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x - 1)
2
+ (y + 2)
2
= 9 và đ-
ờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp
tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
Cõu VIa(1 im): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng
trình
3
1
12
1

==

zyx
. Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P)
là lớn nhất.
Cõu VIIa( 1 im ) : Cho ba s thc dng a, b, c tha món abc = 1. Chng minh rng:
3 3 3
4 4 4
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
a b c
b c c a a b
+ +
+ + + + + +
Phn II:Theo chng trỡnh nõng cao:
Cõu Vb(1 im): Trong mt phng Oxy cho im A(2;3), B(3;2), ABC cú din tớch bng

3
2
; trng tõm G
ca

ABC thuc ng thng (d): 3x y 8 = 0. Tỡm bỏn kớnh ng trũn ni tip ABC.
Cõu VIb(1 im): Trong khụng gian Oxyz cho ng thng (d) l giao tuyn ca 2 mt phng:
(P): 2x 2y z + 1 = 0, (Q): x + 2y 2z 4 = 0 v mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x 6y + m = 0. Tỡm tt c cỏc
giỏ tr ca m (S) ct (d) ti 2 im M, N sao cho di MN = 8.
Cõu VIIb(1 im): Cho ba s thc dng a, b, c tha món abc = 1. Chng minh rng:
3 3 3
1
8 1 8 1 8 1
a b c
c a b
+ +
+ + +
Thớ sinh nghiờm tỳc lm bi. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm!
Đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG KHỐI A, B NĂM 2009
Phần chung:
Câu I(2 điểm): Cho hàm số
3 2
2 ( 3) 4y x mx m x= + + + +
có đồ thị là (C

m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho (d) là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m sao
cho (d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng
8 2
.
Giải:
Phương trình hoành độ điểm chung của (C
m
) và d là:
3 2
2
2
2 ( 3) 4 4 (1)
( 2 2) 0
0
( ) 2 2 0 (2)
x mx m x x
x x mx m
x
g x x mx m
+ + + + = +
⇔ + + + =
=


⇔

= + + + =

(d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C
⇔
phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
/ 2
( ; 1] [2;+ )
2 0
( )
2
(0) 2 0
m
m m
a
m
g m
∈ −∞ − ∪ ∞
∆ = − − >


⇔ ⇔
 
≠ −
= + ≠



2
1 3 4
( , ) 2
2
1
8 2 . ( , ) 8 2 16 256
2
KBC
d K d
S BC d K d BC BC
∆
− +
= =
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
2 2
( ) ( ) 256
B C B C
x x y y⇔ − + − =
với
,
B C
x x
là hai nghiệm của phương trình (2).
2 2
2 2
( ) ( 4 ( 4)) 256
2( ) 256 ( ) 4 128
B C B C
B C B C B C
x x x x

x x x x x x
⇔ − + + − + =
⇔ − = ⇔ + − =
2 2
1 137
4 4( 2) 128 34 0
2
m m m m m
±
⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ =
(thỏa ĐK (a)). Vậy
1 137
2
m
±
=
Câu II:
1) Giải phương trình:
cos2 5 2(2 - cos )(sin - cos )x x x x+ =
Giải: phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
- 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos - sin -1
cos - sin 5( cos - sin 2)
x x
x x loai vi x x
=

⇔


= ≤

2
2
2 sin( ) 1 sin( ) sin ( )
4 4 4
2
x k
x x k Z
x k
π
π
π π π
π π

= +

⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈

= +

2) Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2
8 27 18 (1)
4 6 (2)
x y y
x y x y
+ =



+ =

Giải: (1) ⇒ y ≠ 0
Hệ ⇔
3
3
3
3
2
2
27
3
8 18
(2 ) 18
4 6
3 3
1
2 . 2 3
x
x
y
y
x x
x x
y y
y y

 


+ =
+ =

 ÷

 
 
⇔
 
 
 
+ =
+ =
 ÷



  
Đặt a = 2x; b =
3
y
. Ta có hệ:
3 3
3
18
1
( ) 3
a b
a b
ab

ab a b
+ =
+ =


⇔
 
=
+ =


Hệ đã cho có 2 nghiệm
3 5 6 3 5 6
; , ;
4 4
3 5 3 5
   
− +
 ÷  ÷
   
+ −
Câu III:
1) Tính tích phân I =
2
2
6
1
sin sin
2
π

π
× +
∫
x x dx
Gii: I =
2
2
6
3
cos (cos )
2



ì

x d x
. Đặt
3
cos cos
2
x u
= ì
I

=
2
4
2
sin

2
3


udu
=
( )
3
2
16

+
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m sao cho phng trỡnh sau cú nghim thc:

2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
+ +
+ + + =
(1)
Gii: k
[-1;1]x
, t t =
2
1 1
3
x+
;

[-1;1]x [3;9]t
(1) tr thnh
2
2 2
2 1
( 2) 2 1 0 ( 2) 2 1
2
t t
t m t m t m t t m
t
+
+ + + = = + =

Xột hm s f(t) =
2
2 1
2
t t
t
+

, vi
[3;9]t

2
/ /
1
4 3
( ) , ( ) 0
3

( 2)
t
t t
f t f t
t
t
=

+
= =

=


Lp bng bin thiờn
t 3 9
f
/
(t) +
f(t)

48
7
4
(1) cú nghim
[-1;1]x
(2) cú nghim
[3;9]t

48

4
7
m
Cõu IV: Cho hỡnh chúp S. ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) =60
0
, ABC v SBC l cỏc tam giỏc u cnh a.
Tớnh theo a khong cỏch t B n mt phng (SAC).
Gii:
Gi M l trung im ca BC v O l hỡnh chiu ca S lờn AM. Suy ra:
SM =AM =
3
2
a
;
0
60 =AMS
v SO mp(ABC)
d(S; BAC) = SO =
3
4
a
V(S.ABC) =
3
3
1
( ).
3 16
a
dt ABC SO =
Mt khỏc, V(S.ABC) =

1
( ). ( ; )
3
dt SAC d B SAC
SAC cõn ti C cú CS =CA =a; SA =
3
2
a
dt(SAC) =
2
13 3
16
a
Vy d(B; SAC) =
3 3
( )
13
V a
dt SAC
=
Phn riờng:
1. Theo chng trỡnh chun:
Cõu Va(1 im): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x - 1)
2
+ (y + 2)
2

= 9 và đờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó
kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC
vuông.

Từ phơng trình của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và
ACAB

=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3
23
=
IA

51
3 2 1 6
7
2
mm
m
m
=

= =

=

C
S
O
M
A
B
Cõu VIa. (1 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng
trình
3

1
12
1

==

zyx
. Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới
(P) là lớn nhất.
Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là
khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có
HIAH
=> HI lớn nhất khi
IA

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận
AH
làm véctơ pháp tuyến.
)31;;21( tttHdH
++
vì H là hình chiếu của A trên d nên
. 0 ( (2;1;3)AH d AH u u = =
uuur r r
là véc
tơ chỉ phơng của d)
)5;1;7()4;1;3(

AHH

Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0

7x + y - 5z -77 = 0
Cõu VIIa( 1 im ) : Cho ba s thc dng a, b, c tha món abc = 1. Chng minh rng:
Gii:
3 3 3
4 4 4
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
a b c
b c c a a b
+ +
+ + + + + +
3 3 3
1 1 3 1 1 3 1 1 3
; ;
(1 )(1 ) 8 8 4 (1 )(1 ) 8 8 4 (1 )(1 ) 8 8 4
a b c a b c a b c a b c
b c c a a b
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
3
3 3 3
3 3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 4 2 4 4
a b c a b c abc
b c c a a b
+ +
+ + =

+ + + + + +
, du = xy ra khi a= b=c= 1
Suy ra pcm.
Theo chng trỡnh nõng cao:
Cõu Vb: Cho ABC cú din tớch bng 3/2; A(2;3), B(3;2), trng tõm G (d) 3x y 8 = 0. Tỡm bỏn
kinh ng trũn ni tip ABC.
Gii: Gi C(a; b) , (AB): x y 5 =0 d(C; AB) =
5 2
2
ABC
a b S
AB


=

8(1)
5 3
2(2)
a b
a b
a b
=

=

=

; Trng tõm G
( )

5 5
;
3 3
a b+
(d) 3a b =4 (3)
(1), (3) C(2; 10) r =
3
2 65 89
S
p
=
+ +
(2), (3) C(1; 1)
3
2 2 5
S
r
p
= =
+
Cõu VIb: Trong khụng gian Oxyz cho ng thng (d) l giao tuyn ca 2 mt phng:
(P): 2x 2y z + 1 =0, (Q): x + 2y 2z 4 = 0 v mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x 6y + m = 0.
Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m (S) ct (d) ti 2 im MN sao cho MN= 8.
Gii: (S) tõm I(-2;3;0), bỏn kớnh R=

13 ( 13)m IM m = <
Gi H l trung im ca MN MH= 4 IH = d(I; d) =
3m
(d) qua A(0;1;-1), VTCP
(2;1;2)u =
r
d(I; d) =
;
3
u AI
u


=
r uur
r
Vy :
3m
=3 m = 12( tha k)
Cõu VIIb: Cho ba s thc dng a, b, c tha món abc = 1. Chng minh rng:
3 3 3
1
8 1 8 1 8 1
a b c
c a b
+ +
+ + +
Gii:
3 2 2
8 1 (2 1)(4 2 1) 2 1

cauchy
c c c c c+ = + + +

2
3
2 1
8 1
a a
c
c

+
+
Tng t,
2 2
3 3
;
2 1 2 1
8 1 8 1
b b c c
a b
a b

+ +
+ +
Ta s chng minh:
2 2 2
1 (1)
2 1 2 1 2 1
a b c

c a b
+ +
+ + +
( t c/m)