LTDH: BT cực trị

Ví dụ 16. Cho hàm số
( )
4 2
1 1 2y kx k x k= + − + −
. Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị của hàm
số chỉ có một điểm cực trị.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, 1999)
Giải
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
3
' 4 2 1y kx k x= − −
( )
2
0
' 0
2 1 0 *
x
y
kx k
=

= ⇔

+ − =

Hàm số chỉ có một cực trị
' 0y⇔ =
có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó

⇔
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm
0x =
( )
0
0
' 2 1 0
k
k
k k
=


≠
⇔ 




∆ = − − ≤



0
0 1
k
k k
=

⇔


< ∨ ≥


0 1k k⇔ ≤ ∨ ≥
Vậy giá trị cần tìm là:
0 1k k
≤ ∨ ≥
.
Ví dụ 12. Cho hàm số
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 7 2 2 2y x m x m m x m m= − + + + + − +
.
Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó.
(Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã, năm 1999)
Giải
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
( )
2 2
' 3 6 1 2 7 2y x m x m m= − + + + +
( )
( )
2 2
' 0 3 6 1 2 7 2 0y x m x m m= ⇔ − + + + + =

(1)
 Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm phân biệt
( )
( )
2
2
' 9 1 6 7 2 0m m m⇔ ∆ = + − + + >

( )
2
3 8 1 0m m⇔ − − >
4 17 4 17m m⇔ < − ∨ > +

Lấy y chia cho y’, ta có:
( )
( ) ( )
2 3 2
1 2 2
1 . ' 8 1 5 3 2
3 3 3
y x m y m m x m m m= − − − − − + + + +
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì
1 2
,x x

là nghiệm của (1)
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2
1 1 1 1
1
1 2 2
1 . ' 8 1 5 3 2
3 3 3
' 0
y x m y x m m x m m m
y x

= − − − − − + + + +



=

( ) ( )
2 3 2
1 1
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m⇒ = − − − + + + +
Tương tự ta cũng có:
( ) ( )

2 3 2
2 2
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m= − − − + + + +
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:
( ) ( )
2 3 2
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m= − − − + + + +
.
Ví dụ 15. Cho hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các
điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)
Giải
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
3
' 4 4y x mx= −
( )
2
0
' 0

*
x
y
x m
=

= ⇔

=

Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó
⇔
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0m⇔ >
Khi đó :
4
4 2
0 2
' 0
2
x y m m
y
x m y m m m

= ⇒ = +
= ⇔

= ± ⇒ = − +



Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là
( )
4
0; 2A m m+
và hai điểm cực tiểu là
( ) ( )
4 2 4 2
; 2 , ; 2B m m m m C m m m m− − + − +
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều
AB AC
AB BC
=

⇔

=

2 2
AB BC⇔ =

4
4m m m⇔ + =

( )
3
3 0m m⇔ − =

⇔

3
3m =
(do
0m >
)
Vậy giá trị cần tìm là:
3
3m =
.
Ví dụ: Cho hàm số
3x 2
y
x 1
+
=
−
. Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các tọa độ là nguyên.