Đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án(25)

SỞ GD-ĐT QUẢNG NAM
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2011

Trường PT DTNT Nước Oa

Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-------------------------------------------------------------------------

ĐỀ THAM
KHẢO 1

I – PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
x +1
Câu I (3,0 điểm). Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x−2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt.
Câu II (2,5 điểm).
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x 3 + 24 ln x trên đoạn [1; e] .
π
2

2) Tính tích phân: I = ( x − sin x) xdx .
∫
0

3) Giải phương trình: 9 x − 72 = 3x

Câu III (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a 2 ,
AD = a , cạnh SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh SC và mặt đáy bằng 300. Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.
II – PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần sau đây (phần 1 hoặc phần 2).

1. Theo chương trình Chuẩn
Câu IV.a (2,5 điểm). Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(2;-3;1), B(5;-2;0), đường thẳng d có
x − 2 y z +1
= =
và mặt phẳng (α ) : x − 2 y + 3 z + 3 = 0
3
1
2
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α ), từ đó suy ra phương trình mặt cầu (S) tâm
A, tiếp xúc với mặt phẳng (α ) .
2) Viết phương trình mặt phẳng ( β ) đi qua A và vuông góc với d.
3) Chứng minh đường thẳng d cắt mặt phẳng (α ) và tìm toạ độ giao điểm của d và (α ) .
i+3
Câu V.a (1,0 điểm). Tìm môđun của số phức z = 2 − i +
2 − 3i

phương trình chính tắc

2. Theo chương trình nâng cao
Câu IV.b (2,5 điểm). Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 − 10x + 2y + 26z − 30 = 0 .
1) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
2) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với hai đường
thẳng có phương trình:
x + 5 y − 1 z + 13

d1 :
=
=
;
2
−3
2
1
2

Câu V.b (1,0 điểm). Cho số phức z = - +

 x = −7+ 3t

d 2 :  y = −1− 2t
z = 8

3
i . Hãy tính ( 1+ z+ z2 )2011.
2

...................................................................................

Hết ...................................................................................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: ………………………….
Chữ ký giám thị 1: ……………………………Chữ ký giám thị 2: …………….……………

Đáp án:
Câu
Câu I.
(3,0 điểm)

Bài làm
1) (2,0 điểm)
• TXĐ: D = ¡ \{2}
• Sự biến thiên:
x +1
x +1
lim y = lim
= 1; lim y = lim
= 1  đt y = 1 là tiệm cận ngang
x →−∞
x →−∞ x − 2
x →+∞
x →+∞ x − 2
x +1
x +1
lim y = lim
= −∞; lim y = lim
= +∞  đt x = 2 là tiệm cận đứng
x → 2−
x → 2− x − 2
x → 2+
x → 2+ x − 2
−3
y'=
< 0, ∀x ≠ 2 ; y' không xác định khi x = 2

( x − 2) 2
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞)
-Cực trị: Hàm số không có cự trị.
-Bảng biến thiên:
−∞
x
2
+∞
−
−
y’
+∞
1
y
−∞
1
• Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị với trục Ox là điểm (-1;0)
Giao điểm của đồ thị với trục Oy là điểm (0;-1/2)
y

Điểm
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,5
1
-1

I
2

O

-1/2

x

2) (1,0 điểm)

x +1
= mx + 1 (1)
x−2
Biến đổi (1) về dạng: mx 2 − 2mx − 3 = 0 (2)
Ycbt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
 m 2 + 3m > 0
 m < −3
⇔ 2
⇔
m > 0
 m.2 − 2m.2 − 3 ≠ 0
Lập phương trình hoành độ giao điểm:

0,25

0,25
0,25
0,25

1) (1,0 điểm)
Câu II.
(3,0 điểm)

24
; y ' = 0 ⇔ −3 x 3 + 24 = 0 ⇔ x = 2
x
y (2) = −8 + 24 ln 2; y (1) = −1; y (e) = −e3 + 24
Vậy max y=y (2) = -8 + 24 ln 2; min y = y (1) = −1
y ' = −3 x 2 +

0,5
0,25
0,25

[1;e ]

[1;e ]

2) (1,0 điểm)
π
2

π
2

0

0

I = ( x − sin x) xdx =
∫

∫x

3
2

π
2

dx + ∫ x sin xdx
0

0,25


π
2

2
Tính A = x dx = 2 ( π ) 2 = π 2π ; B =
∫0
5 2
20
3

2

Từ đó ta có I = A + B =

5

π

2

π
2

0,5

∫ x sin xdx = 1
0

0,25

2π
+1
20

3) (1,0 điểm)
x 2
x
9 x − 72 = 3x ⇔ (3 ) − 3 − 72 = 0
Đặt t = 3x > 0 , ta có phương trình t 2 − t − 72 = 0
Giải theo t và kết hợp điều kiện dược nghiệm t = 9  x = 2

0,25
0,25
0,5

S

Câu III
(1,0 điểm)

Câu IV.a
(2,5 điểm)

Góc giữa SC với đáy là góc giữa SC với hình
chiếu AC của nó trên mặt đáy, đó là góc SCA =
300.
M
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD. Trong mặt
I
A
D
phẳng (SAC), trung trực của SA cắt trục của
O
đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD tại I.
B
C
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD có tâm I và
bán kính R = IA;
a
3

AC = AB 2 + BC 2 = a 3 , SA = AC.tan 300 = a , IO = ; OA = a
 R=IA = a
2
2
1) (0,75 điểm)
| 2 − 2(−3) + 3.1 + 3 |
d ( A, (α )) =
= 14 .
12 + 22 + 32
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (α ) thì có bán kính R = 14
 phương trình: ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 1) 2 = 14
2) (0,75 điểm)
ur
d có vectơ chỉ phương d (3;1; 2) . Mặt phẳng ( β ) vuông góc với d thì nhận
ur
d (3;1; 2) làm vectơ pháp tuyến, và ( β ) đi qua A
phương trình: 3( x − 2) + 1( y + 3) + 2( z − 1) = 0 hay 3 x + y + 2 z − 5 = 0
3) (1,0 điểm)
ur
d có vectơ chỉ phương d (3;1; 2) , mặt phẳng (α ) có vectơ pháp tuyến
r
ur r
n(1; −2;3) . Ta có d .n = 7 ≠ 0 nên ta có d cắt (α )
 x = 2 + 3t

Phương trình tham số của d:  y = t
 z = −1 + 2t

Gọi M là giao điểm của d và (α )
Vì M ∈ d nên M có tọa độ (2 + 3t; t ; −1 + 2t )

Vì M ∈ (α ) nên có: 2 + 3t − 2t + 3(−1 + 2t ) + 3 = 0 hay t = −
8 2 11
Vậy M ( ; − ; − )
7 7 7

Câu V.a
(1,0 điểm)

z = 2−i+

2
2
29 2
29
2
− i  | z |=  ÷ +  ÷ = 5
13 13
 13   13 
1) (1,0 điểm)
Tâm I (5; −1; −13) , bán kính R = 15

=

Câu IV.b

(i + 3)(2 + 3i )
3 + 11i
i+3
= 2−i +
=2−i +

(2 − 3i)(2 + 3i )
13
2 − 3i

Hình:
0,25
0,25

0,5
0,25

0,5
0,25
0,5

0,25
0,25

2
7

0,25
0,25
0,5
0,5

1,0


(2,5 điểm)

Câu V.b
(1,0 điểm)

2) (1,5 điểm)
r uu
r uu
r
Mặt phẳng (P) cần tìm nhận vectơ n = d1 ∧ d 2 = (4;6;5) làm vectơ pháp tuyến
nên pt có dạng: 4 x + 6 y + 5 z + m = 0
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có d(I, (P)) = R = 15
Từ đó giải phương trình tìm được m = 51 ± 15 77
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa y/c: 4 x + 6 y + 5 z + 51 ± 15 77 = 0
1 + z + z2 = 1 −

1
3
1
3 2
1
3
1
3
3
+
i + (− +
i) = 1 − +
i+ −
i− =0
2 2

2 2
2 2
4 2
4

0,5
0,25
0,5
0,25
1,0