dạy thêm phuong trinh luong giac

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.31 MB, 134 trang )

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

MỤC LỤC
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững -------------------------------------------------------------------------- 2

A – Phương trình lượng giác cơ bản -------------------------------------------------------------------- 5
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------- 8
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 29

B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác --------------------------- 32
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 33
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------- 35
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 56
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ----------------------------------------------------------- 59
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 59
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------- 62
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 81

D – Phương trình lượng giác đẳng cấp ---------------------------------------------------------------- 84
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 85
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------- 87
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 92

E – Phương trình lượng giác đối xứng ----------------------------------------------------------------- 93
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 94
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 96

F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ------------------------------------ 97
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 97

Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 99

G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ------------------------------------------------------ 101
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 102
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 104

H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương ---------- 106
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 106
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 112

I – Hệ phương trình lượng giác -------------------------------------------------------------------------- 116
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 117

J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác ---------------------------------------- 121
Bài tập áp dụng -------------------------------------------------------------------------------------------- 122
Bài tập rèn luyện ------------------------------------------------------------------------------------------ 125

" Cần cù bù thông minh…………"

Page 1

Ths. Lê Văn Đoàn

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG

 Công thức cơ bản
● tanx.cot x = 1

● sin2 x + cos2 x = 1
● cot x =

cosx
sinx

● 1 + tan2 x =

1
cos2x

● tanx =

sinx
cosx

● 1+ cot2 x =

1
sin2 x

 Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
● sin2x = 2sinx.cosx

1- cos2x
2
● sin3x = 3sinx - 4sin3 x
● sin2 x =

écos2 x - sin2 x
● cos2x = ê
ê2cos2 x - 1 = 1- 2sin2 x
ê
ë
1+ cos2x
● cos2x =
2
● cos3x = 4cos3 x - 3cosx

 Công thức cộng cung
● sin( a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb

● cos ( a ± b) = cosa.cosb msina.sinb

tana + tanb
1- tana.tanb
æπ
ö 1+ tanx
÷
÷
+
x
=
ç
● tanç
÷
ç
÷
è4

ø 1- tanx

● tan( a - b) =

● tan( a + b) =

tana - tanb
1+ tana.tanb
æπ
ö
1- tanx
÷
÷
x
=
ç
● tanç
÷
ç
÷
è4
ø 1+ tanx

 Công thức biến đổi tổng thành tích
a+b
a- b
.cos
2
2
a+b

a- b
● sina + sinb = 2sin
.cos
2
2
sin( a + b)
● tana + tanb =
cosa.cosb
● cosa + cosb = 2cos

a+b
a- b
.sin
2
2
a+b
a- b
● sina - sinb = 2cos
.sin
2
2
sin( a - b)
● tana - tanb =
cosa.cosb
● cosa - cosb = - 2sin

 Công thức biến đổi tích thành tổng
● cosa.cosb =
● sina.sinb =

cos( a + b) + cos( a - b)
2
cos( a - b) - cos( a + b)

● sina.cosb =

sin( a + b) + sin( a - b)
2

2

 Một số công thức thông dụng khác
æ πö
æ πö
æ πö
æ π÷
ö
ççx - ÷
ççx - ÷
ççx + ÷
÷
÷
÷
=
2cos
sinx
cosx
=
2sin
=

2cos
ççx + ÷
● sinx + cosx = 2sinç
●
÷
÷
÷
ç 4ø
çè 4ø
ç
÷
÷
÷
÷
4÷
è 4ø
è
è
ø

Page 2

" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)

cos4 x + sin4 x = 1-

1 2

3 + 1cos4x
sin 2x =
2
4

cos6 x + sin6 x = 1-

3 2
5 + 3cos4x
sin 2x =
4
8

ờ giai c phng trinh lng giac cung nh cac ng
dung cua no, cac ban hoc sinh cõn nm vng tõt ca
nhng cụng thc lng giac. o la hanh trang, la cụng
cu cõn thiờt nhõt ờ chinh phuc thờ gii mang tờn:
"Phng trinh lng giac"
Mụt sụ lu y:
ộ
iờu kiờn co nghiờm cua phng trinh ờsinx = a la:
.
1
Ê
a
Ê
1
ờ

cosx = a

ờ
ở
Khi giai phng trinh co cha cac ham sụ
hoc
, co mõu sụ hoc cn bõc chn thi nhõt thiờt
tan
cot

phai t iờu kiờn ờ phng trinh xac inh.
p
Phng trinh cha tanx , iờu kiờn:
.
cosx ạ 0 x ạ
+ kp ( k ẻ Â )

2
Phng trinh cha cot x , iờu kiờn: sinx ạ 0 x ạ kp k ẻ Â .
(
)

p
Phng trinh cha ca tanx va cot x , iờu kiờn:
.
x ạ k. ( k ẻ Â )

2
Khi tim c nghiờm phai kiờm tra (so) vi iờu kiờn. Ta thng dung mụt trong cac cach sau õy ờ

kiờm tra iờu kiờn:
Kiờm tra trc tiờp bng cach thay gia tri cua x vao biờu thc iờu kiờn. Nờu khi thờ vao, gia tri

õy lam ng thc ung thi nhõn nghiờm, nờu sai thi loai nghiờm.
Dung ng tron lng giac, nghia la biờu diờn cac ngon cung cua iờu kiờn va cung cua

nghiờm. Nờu cac ngon cung nay trung nhau thi ta loai nghiờm, nờu khụng trung thi ta nhõn
nghiờm.
ẳ co
Cach biờu diờn cung goc lng giac trờn ng tron: " Nờu cung hoc goc lng giac AM
ử
k.3600 ữ
k2p ổ
0
ỗ
ữ
hay
a
+
ỗ
vi k ẻ Â,n ẻ Ơ + thi co n iờm M trờn ng tron
ữ
ỗ
ữ
ỗ
n ứ
n ố
lng giac cach ờu nhau".
ẳ = p + k2p thi co mụt iờm M tai vi tri p (ta chon k = 0 ).
Vi du 1: Nờu s AM
3
3

ẳ = p + kp thi co 2 iờm M tai vi tri p va 7p (ta chon k = 0,k = 1).
Vi du 2: Nờu s AM
6
6
6
ẳ = p + k. 2p thi co 3 iờm M tai cac vi tri p ; 11p va 19p , ( k = 0;1;2) .
Vi du 3: Nờu s AM
4
3
4 12
12
ẳ = p + k. p = p + k2p thi co 4 iờm M tai cac vi tri p , 3p , 5p ; 7p
Vi du 4: Nờu s AM
4
2 4
4
4 4 4 4
(ng vi cac vi tri k = 0,1,2,3 ).
sụ o la a +

" Cõn cu bu thụng minh"

Page 3

Ths. Lê Văn Đoàn

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x = -

p
p
+ kp và x = + kp
6
3

p
p
5p
và
+ kp trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: 6
6
6
p
p
4p
Biểu diễn cung x = + kp trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
và
.
3
3
3
Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và
p
p
cung tổng hợp là: x = + k
3
2
π/3

5π/6
é 2
é
êcos x = 1
êcosx = ± 1
Đối với phương trình ê
2Û ê
2 ta không nên giải
ê
ê

êsin2 x = 1
êsinx = ± 1
O
ê
ê
2
2
ë
ë
–π/6
trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện
rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:
4π/3
é 2
1
êcos x =
é2cos2 x - 1 = 0 écos2x = 0
ê
ê

2
Û ê
ê
ê2sin2 x - 1 = 0 Û êcos2x = 0. Tương tự đối với phương trình
1
êsin2 x =
ê
ê
ë
ë
ê
2
ë
ésin2 x = 1
ésinx = ±1
ê
ê
êcos2 x = 1 Û êcosx = ±1 ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức
ê
ê
ë
ë
ésin2 x = 1
écos2 x = 0 écosx = 0
ê
ê
2
2
Û ê
sin x + cos x = 1. Lúc đó: ê 2

êsin2 x = 0 Û êsin x = 0
cos
x
=
1
ê
ê
ê
ë
ë
ë
Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''

Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là

một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.
Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là cos - a = cosa , còn các cung
( )

góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
sin( - a ) = - sin a, tan( - a ) = - tan a, cot ( - a ) = - tan a
Biểu diễn cung x = -



Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là sin p - a = sin a , còn các cung
(
)
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
cos( p - a ) = - cosa, tan( p - a ) = - tan a, cot ( p - a ) = - tan a





Page 4

Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và
ngược lại, tức là:
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
p
p
p
p
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷

÷
sinç
- a÷
=
cos
a
,
cos
a
=
sin
a
,
tan
a
=
cot
a
,
cot
a
= tan a
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷

ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
è2
ø
è2
ø
è2
ø
è2
ø
Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này:
Giải phương trình lượng giác: sinu = cosv
Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình
sinu = sinv , vậy còn phương trình sinu = cosv thì sao ?
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)

ổ
ử
p
ữ
ữ

v
ỗ
Cõu tra li õy chinh la phu cheo, bi: sinu = cosv sinu = sinỗ
ữ
ỗ
ữ
ố2
ứ
u=

p
p
.
- v + k2p u = + v + k2p , ( k ẻ Â )
2
2

ổ
ử
2p
ữ
ỗ - xữ
Qua vi du nay, chc hn nờu trong bai gp nhng phng trinh dang nh sinx = cosỗ
ữ
ữ
ỗ
ố3
ứ

thi cac ban hoc sinh se khụng con cam thõy lung tung na.
Mụt sụ cung goc hay dung khac:

ỡù sin( x + k2p) = sinx
ỡù
ù
va ù sin( x + p + k2p) = - sinx
ớ
ớ
ùù cos( x + k2p) = cosx
ùù cos( x + p + k2p) = - cosx
ùợ
ùợ

( k ẻ Â) .

A PHNG TRINH LNG GIAC C BAN
ộu = v + k2p
Dang: sinu = sinv ờ
ờu = p - v + k2p
ờ
ở

c biờt:

ộ

u = v + k2p
Dang: cosu = cosv ờ
ờ

c biờt:

tanu = tanv u = v + kp
Dang:
p
ék : u,v ạ
+ kp
2

c biờt:

u = - v + k2p
ờ
ở

Dang:

cot u = cot v u = v + kp
ék : u,v ạ kp

c biờt:

ỡù
ùù sinx = 0 ị x = kp
ùù
ùù
p
ớ sinx = 1 ị x = + k2p
ùù

2
ùù
p
ùù sinx = - 1 ị x = - + k2p
2
ùợ
ỡù
ùù cosx = 0 ị x = p + kp
ùù
2
ùớ cosx = 1 ị x = k2p
ùù
ùù cosx = - 1 ị x = p + k2p
ùù
ợ
ỡù tanx = 0 x = kp
ùù
ớ
ùù tanx = 1 x = p + kp
ùùợ
4
ỡù
ùù cot x = 0 x = p + kp
ù
2
ớ
ùù
p
ùù cot x = 1 x = + kp
4

ùợ

BAI TP AP DUNG
Bai 1.

ự
Giai phng trinh: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 ( *) , " x ẻ ộ
ờ0;14ỷ
ỳ
ở

Bai 2.

Giai phng trinh: ( 2cosx - 1) ( 2sinx + cosx) = sin2x - sinx

Bai 3.

Giai phng trinh: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0

" Cõn cu bu thụng minh"

( *)

( *)
Page 5

Ths. Lê Văn Đoàn

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

Bài 4.

Giải phương trình: sinx + cosx + 1 + sin2x + cos2x = 0

Bài 5.

Giải phương trình: sinx ( 1+ cos2x) + sin2x = 1+ cosx

Bài 6.

1
+
Giải phương trình: sinx

Bài 7.

( *)
( *)

æ
ö
1
7p
÷
÷
= 4sinç
x
ç
( *)

÷
ç
æ 3pö
÷
4
è
ø
÷
ç
÷
sinçx ÷
÷
ç
2ø
è
æ
ö
7 æ pö
p
4
4
÷
ç
÷
÷
cot
x
çx + ÷
ç
Giải phương trình: sin x + cos x = cot ç

( *)
÷
÷
÷
÷
ç
ç
8 è
3ø è6
ø

Bài 8.

sin4 2x + cos4 2x
= cos4 4x
æ
ö
æ
ö
Giải phương trình:
p
p
÷
÷
tanç
- x÷
tanç
+ x÷
ç
ç

÷
÷
ç
ç
÷ è4
÷
è4
ø
ø

Bài 9.

æ
3p x ö
1 æ
p 3x ö
÷
ç
÷
÷
=
sin
+ ÷
ç
ç
Giải phương trình: sinç
÷
÷
ç
ç

÷ 2 è10 2 ø
÷
è10 2ø

( *)

( 1)

æ
æ pö
pö
ç
÷
÷
3x - ÷
=
sin2x
sin
x+ ÷
ç
ç
Bài 10. Giải phương trình: sinç
( 1)
÷
÷
ç
ç
÷
÷
4ø

4ø
è
è
æ pö
3
÷
x+ ÷
= cos3x
ç
Bài 11. 8cos ç
÷
ç
÷
3ø
è

( 1)

æ pö
÷
2sin3 ç
x+ ÷
= 2sinx ( 1)
ç
÷
ç
÷
4ø
è
æ pö

3
÷
x- ÷
= 2sinx ( 1)
ç
Bài 13. Giải phương trình: sin ç
÷
ç
÷
4ø
è
Bài 12. Giải phương trình:

( *)

Bài 14. Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

3
2
2
2
2
Bài 16. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 2
Bài 15. Giải phương trình: sin2 x + sin2 2x + sin2 3x =

( *) .
( *) .

2
2

2
2
Bài 17. Giải phương trình: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x
2
2
2
2
Bài 18. Giải phương trình: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x

( *)
( *)

æ 5x ö
9x
2 p
÷
- 2cos2
ç + ÷
Bài 19. Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2sin ç
÷
÷
ç
2ø
2
è4
2
2
2
Bài 20. Giải phương trình: sin x = cos 2x + cos 3x

( *)

( *)

2
Bài 21. Giải phương trình: 2sin 2x + sin7x - 1 = sinx

( *)

Bài 22. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x
3
3
3
Bài 23. Giải phương trình: sin xcos3x + cos x sin3x = sin 4x

( *)

( *)

2
3
Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2cos 4x + 6cos3x cosx = cosx + 8cosx cos 3x ( *)
3
3
2
Bài 25. Giải phương trình: 4sin x + 3cos x - 3sinx - sin xcosx = 0 ( *)
2
Bài 26. Giải phương trình: ( 2sinx + 1) ( 3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos x = 3

Page 6

( *)

" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

(

) ( *)

6
6
8
8
Bài 27. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x

5
Bài 28. Giải phương trình: sin8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x + cos2x
4
3
Bài 29. Giải phương trình: sin

(
x + cos x = 2( sin
3

5

)

)

( *)

( *)
( *)

x + cos5 x

4
2
2
4
Bài 30. Giải phương trình: 3cos x - 4cos x sin x + sin x = 0

Bài 31. Giải phương trình: cos3x cos3 x - sin3x sin3 x = 2 - 3 2 ( *)
8
1
Bài 32. Giải phương trình: cosxcos2x cos4x cos8x =
( *)
16
3
Bài 33. Giải phương trình: 4sin3x cos2x = 1+ 6sinx - 8sin x ( *)
Bài 34. Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = -

1
2

( *)

sin2x + 2cosx - sinx - 1

= 0 ( *)
tanx + 3
1+ sin2x + cos2x
= 2sinx sin2x ( *)
Bài 36. Giải phương trình:
1+ cot2 x
Bài 37. Giải phương trình: tanx + cot x = 2( sin2x + cos2x) ( *)
Bài 35. Giải phương trình:

( *)

2
Bài 38. Giải phương trình: tan x - tanx tan3x = 2

Bài 39. Giải phương trình: tan2 x + cot2 x + cot2 2x =

11
3

æ p÷
ö 2
x
2 x
- ÷
tan x - cos2 = 0
ç

Bài 40. Giải phương trình: sin ç
÷
ç
2
è2 4÷
ø
2
Bài 41. Giải phương trình: sin2x ( cot x + tan2x) = 4cos x

( *)
( *)
( *)

cot2 x - tan2 x
Bài 42. Giải phương trình:
= 16( 1+ cos4x)
( *)
cos2x
1
Bài 43. Giải phương trình: 2tanx + cot2x = 2sin2x +
( *)
2sin2x
3( sinx + tanx)
Bài 44. Giải phương trình:
- 2( 1+ cosx) = 0
( *)
tanx - sinx
Bài 45. Giải phương trình:

( 1-

2

cosx) + ( 1+ cosx)
4( 1- sinx)

Bài 46. Giải phương trình: cos3x tan5x = sin7x

2

- tan2 x sinx =

1
1+ sinx) + tan2 x ( *)
(
2

( *)

1
1
= 2cot x
( *)
2sinx sin2x
sin4 x + cos4 x 1
Bài 48. Giải phương trình:
= ( tanx + cot2x)
( *)
sin2x
2

2
2
2
2
Bài 49. Giải phương trình: tan x.cot 2x.cot 3x = tan x - cot 2x + cot 3x
Bài 47. Giải phương trình: sin2x + sinx -

" Cần cù bù thông minh…………"

( *)
Page 7

Ths. Lê Văn Đoàn

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

æ
xö
÷
÷
1
+
tanx
tan
=4
ç
Bài 50. Giải phương trình: cot x + sinx ç
÷
ç

÷
2ø
è

Page 8

( *)

" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)

HNG DN GIAI PHNG TRINH LNG GIAC C BAN

0;14ự
Bai 1. Giai phng trinh: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 ( *) , " x ẻ ộ
ờ
ở ỳ
ỷ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2002
Li binh: T viờc xuõt hiờn ba cung x,2x,3x , giup ta liờn tng ờn viờc a chung vờ cung mụt
cung. Nhng a vờ cung x hay cung 2x ? Cac ban co thờ tra li cõu hoi o da vao quan
niờm sau: " Trong phng trinh lng giac tụn tai ba cung x,2x,3x , ta nờn a vờ cung
trung gian 2x nờu trong biờu thc co cha sin2x (hoc cos2x). Con khụng cha sin2x (hoc
cos2x), nờn a vờ cung x ".
Bai giai tham khao

( *) ( 4cos

3

)

(

)

x - 3cosx - 4 2cos2 x - 1 + 3cosx - 4 = 0 4cos3 x - 8cos2 x = 0

ộcosx = 0 ( N)
p
4cos x ( cosx - 2) = 0 ờ
ờcosx = 2 L x = 2 + kp , ( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
ỡù p 3p 5p 7pỹ
ùỡ - 0,5 Ê k Ê ằ 3,9
ùù
ù ; ; ; ý
ự,k ẻ Â 0 Ê p + kp Ê 14 ùớ
Do x ẻ ộ
0;14
ị
x
ẻ
.
ớ
ờ

ỳ
ở ỷ
ùù k ẻ Â
ùùợ 2 2 2 2 ùùỵ
2
ợ
2

Bai 2. Giai phng trinh: ( 2cosx - 1) ( 2sin x + cosx) = sin2x - sinx

( *)

Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2004
Bai giai tham khao

( *) ( 2cosx - 1) ( 2sin x + cosx) = 2sinx cosx - sinx
( 2cosx - 1) ( 2sinx + cosx) - sin x ( 2cosx - 1) = 0
( 2cosx - 1) ộ
2sinx + cosx) - sinxự
= 0 ( 2cosx - 1) ( sinx + cosx) = 0
ờ
ỳ
ở(
ỷ
ộ2cosx - 1 = 0
ờ
ờsinx + cosx = 0
ờ
ở

ộ
ờcosx = cos p
ờ
3
ờ
tanx
=
1
ờ
ở

ộ
ờx = p + k2p
ờ
3
( k;l ẻ Â ) .
ờ
p
ờx = - + lp
ờ
4
ở

( *)

Bai 3. Giai phng trinh: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0

Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2006
Li binh: T viờc xuõt hiờn cac cung 3x va 2x , chung ta nghi ngay ờn viờc a chung vờ cung
mụt

cung x bng cụng thc nhõn ba va cụng thc nhõn ụi cua ham cos
Bai giai tham khao

( *)

4cos3 x - 3cosx + 2cos2 x - 1- cosx - 1 = 0 2cos3 x + cos2 x - 2cosx - 1 = 0

(

)

cos2 x ( 2cosx + 1) - ( 2cosx + 1) = 0 ( 2cosx + 1) cos2 x - 1 = 0
" Cõn cu bu thụng minh"

Page 9

Ths. Lê Văn Đoàn

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

ésinx = 0
ê
Û - ( 2cosx + 1) sin x = 0 Û ê
Û
êcosx = - 1
ê
2
ë
2

éx = kp
ê
ê
( k;l Î ¢ ) .
êx = ± 2p + l2p
ê
3
ë

( *)

Bài 4. Giải phương trình: sin x + cosx + 1 + sin2x + cos2x = 0

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
Bài giải tham khảo

( *) Û ( sinx + cosx) + 2sinx cosx + 2cos x = 0
Û ( sinx + cosx) + 2cosx ( sinx + cosx) = 0
Û ( sinx + cosx) ( 1+ 2cosx) = 0
2

é
ésinx = - cosx
étanx = - 1
êx = - p + kp
ê
ê
ê
4

Û ê
Û ê
Û ê
( k;l Î ¢ ) .
1
2
p
êcosx = êcosx = cos
2p
ê
ê
ê
êx = ± + l2p
2
3
ë
ë
3
ë
Bài 5. Giải phương trình: sinx ( 1+ cos2x) + sin2x = 1+ cosx

( *)

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008
 Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế

( *) Û

(

)

sinx 1+ 2cos2 x - 1 + 2sinx cosx = 1 + cosx

Û 2sinx cos2 x + 2sinx cosx = 1 + cosx Û 2sinx cosx ( cosx + 1) - ( 1 + cosx) = 0
é
êcosx = - 1
Û ( cosx + 1) ( sin2x - 1) = 0 Û ê
2Û
ê
sin2x = 1
ê
ë
1
+
Bài 6. Giải phương trình: sinx

é
êx = ± 2p + k2p
ê
3
( k,l Î ¢ ) .
ê
p
êx = + lp
ê
4
ë

æ
ö
1
7p
÷
= 4sinç
ç - x÷
( *)
÷
æ 3p÷
ö
÷
ç
4
è
ø
÷
sinç
xç
ç
÷
2÷
è
ø
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008

3p
7p
và
- x giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung

2
4
khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công
thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý
tưởng đó qua hai cách giải sau đây

 Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung x -

Bài giải tham khảo
Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: sin( a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb

Page 10

" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)

( *)

1
+
sinx

1

ổ 7p
ử
7pữ
ữ

= 4ỗ
sin
cosx
sinx
cos
ỗ
ỗ
ữ
4
4ữ
ố
ứ

3p
3p
- sin cosx
2
2
ộ 2
ự
1
1
ờ

+
= 4. ờsinx + cosx) ỳ
(
ỳ
sinx cosx
2

ờ
ỳ
ở
ỷ
sinx + cosx

= - 2 2( sinx + cosx)
sinxcosx
sinxcos

iờu kiờn: sinx cosx ạ 0 sin2x ạ 0.

(

)

( sinx + cosx) + 2 2sinxcosx ( sinx + cosx) = 0 ( sinx + cosx) 1+ 2sin2x = 0
ộ
ờx = - p + kp
ờ
4
ộtanx = - 1
ộsinx + cosx = 0
ờ
ờ
p
ờ
ờ
ờ
x = - + lp ( k,l,m ẻ Â ) .

ờ
ờ
2
8
1+ 2sin2x = 0 ờ
ờ
ờ
ờsin2x = ở
ờ
5p
2
ở
ờx =
+ mp
ờ
8
ở
Cach giai 2. S dung "cos ụi sin bu phu cheo''
ộổ
ổ 3pử
ửự
ùỡù
p
ữ
ữ
ờ- ỗ
ỳ= cosx
ữ
ữ
ùù sinỗ

=
sin
2
p
x
ỗx ỗ
ữ
ữ
ờ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2ứ
2
ù
ố
ứỳ
ờ
ỳ
ởố
ỷ
Ta co: ùớ
ộ
ự
ổ
ử
ổ
ử
ổ pữ

ử
ùù
7
p
p
1
ữ
ỗ
ỳ= - sinỗ
ữ
ữ
ữ
- xữ
= sin ờ
2
p
x
+
x
+
=
ùù sinỗ
ỗ
ỗ
ỗ
( sinx + cosx)
ữ
ữ
ữ
ờ

ỳ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
4
4
ố4
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ùùợ
2
ờ
ỳ
ở
ỷ
ộ 1
ự
1
1
( *) sinx + cosx = 4. ờờ- ( sinx + cosx) ỳỳ. Giai tng t nh cach giai 1.
ở 2
ỷ

ử

7 ổ
pử ổ
p
ữ
ỗ
ữ
ữ
cot ỗ
cot
x
ỗx + ữ
ỗ
( *)
ữ
ữ
ữ
ỗ6
8 ỗ
3ữ
ố
ứ ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Giao Thụng Võn Tai Tp. HCM nm 1999

4
4
Bai 7. Giai phng trinh: sin x + cos x =

p p
p

+ - x = giup ta liờn tng ờn cõu ''phu cheo'' , thõt võy:
3 6
2
ộp ổ
ổ pữ
ử ổ
ử
ổ pử
ửự
ổ pữ
ử ổ pử
p
p
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ờ - ỗ
ỳ= cot ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
cot ỗ
x+ ữ
cot
x
=

cot
x
+
cot
+
x
x
+
tanỗ
x+ ữ
= 1.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ

ỗ
ữ
ữ ờ2 ố3
ữ
ữ
3ữ
3ứ
3ữ
3ứ
ố
ứ ố6
ứ
ố
ứỷ
ố
ứ ố
ỳ
ở

Li binh: T tụng hai cung x +

Cụng viờc con lai cua chung ta la dung cụng thc: sin4 x + cos4 x = 1-

1 2
sin 2x . Nờu
2

cos
, rụi qui ụng thi bai toan
sin

tr nờn rõt phc tap, cha tinh ờn viờc ụi chiờu nghiờm vi iờu kiờn.
khụng co nhõn xet nay, ma ta tiờn hanh biờn ụi tan cot =

Bai giai tham khao

ỡù
ổ pử
ùù sinỗ
ữ
x+ ữ
ạ 0
ỗ
ữ
ỗ
ùù
ổ pử
ổ
ử
ổ
ữ
p
1 ổ
pử
pử
3ứ
ố
ữ
ữ
ữ
ỗ

ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
sinỗ
x+ ữ
sin
x
ạ
0

cos
2x
ạ
0

cos
2x
ạ 0.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
K: ớ
ữ
ữ
ữ
ữ

ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ổ
ử
ữ
ữ
ữ
ữ
ùù
p
3
6
2
6
6
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ữ
ỗ
ạ 0
ùù sinỗ - xữ
ữ

ữ
ỗ
ố6
ứ
ùùợ
" Cõn cu bu thụng minh"

Page 11

Ths. Lờ Vn oan

( *)

1-

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)

1 2
7
1
1
p kp
sin 2x = sin2 2x = 1- cos4x = x =
+
, ( k ẻ Â) .
2
8
4
2

12
2

sin4 2x + cos4 2x
= cos4 4x ( *)
ổ
ử
ổ
ử
Bai 8. Giai phng trinh:
p
p
ữ
ữ
tanỗ
- xữ
tanỗ
+ xữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ố4
ứ ố4
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Xõy Dng nm 1997

Bai giai tham khao

ỡù
ổ
ử
p
ùù cosỗ
ữ
- xữ
ạ 0
ỗ
ữ
ùù
ổ
ử ổ
ử
ữ
ỗ
p
p
1ổ
pử
ố4
ứ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ

ữ
cosỗ
- xữ
cos
+
x
ạ
0

cos2x
+
cos
ạ 0 cos2x ạ 0 .
ỗ
ỗ
ỗ
K: ớ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ổ
ử
ữ ố4
ữ
ữ
ùù
p

4
2ố
2ứ
ố
ứ
ứ
ữ
ỗ
ạ 0
ùù cosỗ + xữ
ữ
ữ
ỗ
ố4
ứ
ùùợ
ộp ổ
ự
ổ
ử
ổ
ử
ổ
ử
ử
ổ
ử
ổ
ử
p

p
p
p
p
p
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ờ - ỗ
ỳ= tan ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
x
tan
+
x
=
tan
x
tan

+
x
x
cot
x
= 1.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
Ta co: tanỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ ố4
ữ
ữ ờ2 ố4

ữỳ
ữ ố4
ữ
4
ố4
ứ
ứ
ố4
ứ
ứ
ố
ứ
ứ
ở
ỷ
( *) 1- 21 sin2 4x = cos4 4x 1- 21 1- cos2 4x = cos4 4x 2cos4 x - cos2 4x - 1 = 0
ùỡù ột = 1 ( N)
ùù ờ
2
ùỡù 2t - t - 1 = 0
ùờ
1
2
2
ớ

ớ ờt = L ) cos 4x = 1 sin 4x = 0 sin4x = 0
(
ùù t = cos2 4x 0 ùù ờ
2

ở
ùợ
ùù
2
t
=
cos
4x 0
ùùợ
ỡù sin2x = 0 ( N)
kp
ùớ
x=
, ( k ẻ Â) .
ùù cos2x = 0 ( L )
2
ùợ

(

)

Lu y, ta co thờ thc hiờn biờn ụi mõu sụ bng cụng thc cụng theo tan nh sau
p
p
tan - tanx tan + tanx
ổ
ử

ổ
ử
p
p
1- tanx 1 + tanx
4
4
ữ
ữ
tanỗ
.tanỗ
=
.
=
.
= 1.
ỗ - xữ
ỗ + xữ
ữ
ữ
ữ ố
ữ
ỗ
ỗ4
p
p
1+ tanx 1- tanx
ố4
ứ
ứ

1+ tan tanx 1- tan tanx
4
4

ổ
ử 1 ổp 3x ử
3p x ữ
ữ
ữ
= sinỗ
+ ữ
ỗ
ỗ
Bai 9. Giai phng trinh: sinỗ
( 1)
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ố10 2ữ
ứ 2 ố10 2 ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Thuy Li nm 2001
Li binh: Nhin vao phng trinh nay, ta nghi dung cụng thc cụng cung theo sin, hoc xet tụng
cung cua chung, . nhng ng vụi lam nh thờ, no se kho i ờn kờt qua. Ta hay xem
3p x
p 3x
gia hai cung
va
co mụi liờn hờ gi hay khụng ? Thõt võy:

+
10 2
10
2
ộ ổp 3x ửự
ổp 3x ử
ổ
ổ3p x ử
9p 3x ử
ữ
ữ
ỗ
ờp - ỗ
ỳ= sinỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
sinỗ
+ ữ
=
sin
+
=
sin3
- ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ

. T o, ta se
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
10
2
10
2
10
2
10
2
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố

ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
3p x
t t =
va s dung cụng thc nhõn ba la tụi u nhõt.
10 2
Page 12

" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)

Bai giai tham khao

ộ
ổp 3x ử
ờp ữ
=
sin
ỗ + ữ
Ta co: sinỗ
ữ
ờ
ữ
ỗ
ố10 2 ứ

ờ
ở

ự
ổp 3x ử
ổ
ổ3p x ử
9p 3x ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỳ= sinỗ
ữ
ữ
ữ
+
=
sin3
ỗ
ỗ
ỗ - ữ
.
ữ
ữ
ữ
ỳ
ỗ
ữ
ữ

ữ
ỗ
ỗ10 2ứ
10
2
ố10 2 ứỳ
ố
ứ
ố
ỷ
ổ
ổ
3p x ử 1
3p x ử
ữ
ữ
= sin3ỗ
ỗ - ữ
( 1) sinỗỗỗ10 - 2ữ
( 2) .
ữ
ữ
ữ 2
ữ
ỗ10 2ứ
ố
ứ
ố
3p x
1

1
- . Va ( 2) sint = sin3t sint = 3sint - 4sin3 t sint 1- sin2 t = 0
10 2
2
2
ộ
ộ
3p x
ột = kp
ờ
ờx = 3p - k2p
=
k
p
ộsint = 0
ờ
ờ
ờ
5
ờ
ờ10 2
ờ
( k,l ẻ Â ) .
p
ờcost = 0 ờ
ờ
3
p
x
p

2
p
t
=
+
l
p
ờ
ờ
ờ
ở
= + lp
- l2p
ờ
ờ ờx =
ở 2
5
ở10 2 2
ở

(

t t =

)

(

)

ổ
ổ pữ
ử
pử
ữ
ỗ
ữ
ữ
3x
=
sin2xsin
x
+
ỗ
ỗ
Bai 10. Giai phng trinh: sinỗ
( 1)
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
4ứ
4ữ
ố
ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh Hoc Viờn Bu Chinh Viờn Thụng nm 1999
Bai giai tham khao

ộ
ổ
ổ
ử
pử
p
ữ
ữ
ỗ
ờp ữ
ữ
3x
=
sin
3x
=
sin
ỗ
ỗ
Ta co: sinỗ
ữ
ữ
ờ
ỗ
ỗ4
ữ
ữ
4ứ
ố
ố

ứ
ờ
ở

ự
ổ
ử
ộ
ự
ổ pử
p
ữ
ỗ
ỳ= - sin ờ3p + 3xỳ= - sin3ỗ
ữ
ữ
3x
x+ ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỳ
ỗ
ỗ
ờ
ỳ
ữ
ữ
4

4
ố4
ứỷ
ố
ứ
ỳ
ở
ỷ
ổ pử
p
p
ữ
2t - ữ
.sint
ỗ
t t = x + ị x = t . Luc o ( 1) - sin3t = sinỗ
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố
4
4
ộsint = 0
ộsint = 0
ờ
4sin3 t - 3sint + cos2t sint = 0 ờ

ờ4sin2 t - 3 + 1- 2sin2 t = 0 ờsin2 t = 1
ờ

ờ
ở
ở
ộ
ột = kp
ờx = - p + kp
ộsint = 0
ờ
p
p
ờ
4
ờ
ờ
x = - + m , ( k,l,m ẻ Â ) .
p
ờcost = 0 ờ
ờt = + lp
4
2
ờx = p + lp
ờ
ở
ờ
ờ
ở 2
4
ở

ổ pử

3
ữ
x+ ữ
= cos3x ( 1)
ỗ
Bai 11. Giai phng trinh: 8cos ỗ
ữ
ỗ
ữ
3ứ
ố
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1999
Bai giai tham khao

ộ ổ pửự
ờ3ỗ
ỳ.
ữ
cos3x
=
cos
p
+
3x
=
cos
x+ ữ
Ta co:
(
)

ữ
ờỗ
ỳ
ữ
ỗ
3
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
ộ ổ pửự
ổ pử
3
ữ
ờ3ỗ
ỳ ( 2) .
ữ
ữ
x
+
=
cos
x+ ữ
ỗ
ỗ
Phng trinh: ( 1) 8cos ỗ
ữ
ữ

ờ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
3
3
ố
ứ
ứỳ
ờ
ỳ
ởố
ỷ
p
3
3
3
t t = x + . Luc o: ( 2) 8cos t = - cos3t 8cos t = - 4cos t + 3cost
3
12cos3 t - 3cost = 0 cos3t 4cos2 t - 1 = 0 cos3t ( 2cos2t + 1) = 0

(

" Cõn cu bu thụng minh"

)

Page 13

Ths. Lờ Vn oan

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)

ộ p
ờt = + kp
ờ 2
ộcos3t = 0
ờ
ờ
ờt = p + lp
ờ

1
ờ
ờcos2t = 3
ờ
ờ
2
ờ
ở
p
ờt = - + mp
ờ
3
ở

ộ

ờx = p + kp
ờ
6
ờ
ờx = lp
( k;l;m ẻ Â ) .
ờ
2p
ờ
+ mp
ờx =
ờ
3
ở

ổ pữ
ử
2sin3 ỗ
= 2sinx ( 1)
ỗx + ữ
ữ
ỗ
4ữ
ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh Phõn Viờn Bao Chi Truyờn Thụng nm 1998

Bai 12. Giai phng trinh:

Bai giai tham khao

Cach giai 1.
t t = x +

ổ pử
p
p
3
ữ
t- ữ
sin3 t = sint - cost
ỗ
. Luc o: ( 1) sin t = 2sinỗ
ị x = tữ
ỗ
ữ
ố 4ứ
4
4

(

)

sin3 t = sint - cost sin3 t = sin2 t + cos2 t ( sin t - cost)

(

(ã )

)

cost - sin2 t + sint cost - cos2 t = 0
ộcost = 0 ( N )
p
p
ờ
ờsin2t = 2 L t = 2 + kp x = 4 + kp,( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
Li binh: Trong ( ã ) , tụi a s dung ki thuõt ghep cụng thc 1 = sin2 t + cos2 t . Võy trong giai
ổ
1
cost ỗ
sin2t ỗ
ỗ
ố2

ử
ữ
1ữ
= 0
ữ
ữ
ứ

phng trinh lng giac, dõu hiờu nh thờ nao ờ biờt ghep nh thờ ? Cõu tra li rõt n
gian: " Khi bõc cua sin va cos khụng ụng bõc va hn kem nhau hai bõc, ta nờn ghep
1 = sin2 t + cos2 t ờ phng trinh tr nờn n gian hn ".
Cach giai 2.

3

ộ1
ự
ổ pử
ữ
ỗ
ỳ = 2sinx
ữ
2ờ
.
2sin
x
+
ỗ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ữ
4
ố
ứ
ờ
ỳ
ở2
ỷ

( 1)

3

ộ1
ự
2 ờ ( sinx + cosx) ỳ = 2sinx
ờ
ỳ
ở2
ỷ

3

2

( sinx + cosx) = 4sinx ( sinx + cosx) ( sinx + cosx) = 4sinx
( sinx + cosx) ( 1+ 2sinx cosx) = 4sinx

- 3sinx + 2cos2 x sinx + 2sin2 x cosx + cosx = 0
sinx ( - 3 + 2cos2 x) + cosx ( 2sin2 x + 1) = 0

(

)

(

)

- sinx 2sin2 x + 1 + cosx 2sin2 x + 1 = 0

ộ0 = 2sin2 x + 1 > 0 ( VN )
2sin x + 1 ( cosx - sinx) = 0 ờ
ờcosx - sinx = 0
ờ
ở
p
tanx = 1 x = + kp , ( k ẻ Â ) .
4
Cach giai 3.

(

2

)

3

( 1)
Page 14

ộ1
ự
ổ pử
ữ
ỗ
ỳ = 2sinx
ữ
2ờ
.

2sin
x
+
ỗ
ữ
ờ
ỳ
ữ
ỗ
4
ố
ứ
ờ2
ỳ
ở
ỷ

3

ộ1
ự
2 ờ ( sinx + cosx) ỳ = 2sinx
ờ
ỳ
ở2
ỷ
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)

3

( sinx + cosx) = 4sinx

( 2)

Vi cosx = 0 ( hay sinx = 1) khụng phai la nghiờm cua phng trinh ( 2) nờn chia hai vờ cua
phng trinh ( 2) cho cos3 x , ta c: ( 2) ( tanx + 1) = 4tanx. 1+ tan2 x

(

3

Giai phng trinh theo tanx ta c nghiờm: tanx = 1 x =

)

p
+ kp , ( k ẻ Â ) .
4

ổ pử
3
ữ
x- ữ
ỗ
Bai 13. Giai phng trinh: sin ỗ
ữ= 2sinx ( 1)
ỗ
ữ

4ứ
ố
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Tp.HCM nm 1998
Bai giai tham khao
Cach giai 1.

(

)

p
p
3
3
ị x = t + . Luc o: ( 1) sin t = 2sin t + 4 sin t = sint + cost
4
4
sin3 t = ( sint + cost) sin2 t + cos2 t

t t = x -

(

)

sin3 t = sin3 t + sint cos2 t + cost sin2 t + cos3 t cost ( sint cost + 1) = 0
ộcost = 0
p
3p
p

ờ
ờsin2t = - 2 L t = 2 + kp x = 4 + kp - 4 + kp , ( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
Cach giai 2 va cach giai 3 (tng t vi du 13). Ban oc t giai
Bai 14. Giai phng trinh: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

( *)

Li binh: Bai toan co cac cung khac nhau theo mụt ham bõc nhõt lng giac cos (hoc sin hoc ca
sin va cos) dang tụng (hoc hiờu). Ta nờn ghep cac sụ hang nay thanh cp sao cho hiờu
(hoc tụng) cac cung cua chung bng nhau, tc la trong trng hp nay ờ y
( x + 4x) = 5x va ( 2x + 3x) = 5x . Tai sao phai ghep nh võy ? Ly do rõt n gian,
chung ta cõn nhng "tha sụ chung" ờ nhom ra ngoai, a bai toan vờ dang phng trinh
tich sụ.
Bai giai tham khao

5x
3x
5x
x
cos + 2cos cos = 0
2
2
2
2
ổ
ử
5x

3x
x
5x
x
ữ
2cos ỗ
cos + cos ữ
= 0 4cos cosxcos = 0
ỗ
ữ
ỗ
2ố
2
2ữ
2
2
ứ

( *) ( cosx + cos4x) + ( cos2x + cos3x) = 0

ộ 5x
ờcos = 0
ờ 2
ờ
ờcosx = 0
ờ
ờ x
ờcos = 0
ờ
ở 2

ộ5x p
ờ = + kp
ờ2
2
ờ
p
ờx = + lp
ờ
2
ờ
ờx p
ờ = + mp
ờ
ở2 2

" Cõn cu bu thụng minh"

2cos

ộ
ờx = p + k2p
ờ
5
5
ờ
p
ờx = + lp
( k;l;m ẻ Â ) .
ờ

2
ờ
ờx = p + 2mp
ờ
ờ
ở

Page 15

Ths. Lê Văn Đoàn

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

3
( *) .
2
Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000

Bài 15. Giải phương trình: sin2 x + sin2 2x + sin2 3x =

 Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công
thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
1
1
1
3
( *) Û 2( 1- cos2x) + 2( 1- cos4x) + 2( 1- cos6x) = 2 Û ( cos2x + cos6x) + cos4x = 0
Û 2cos4x cos2x + cos4x = 0 Û cos4x ( 2cos2x + 1) = 0

é
écos4x = 0
ê4x = p + kp
ê
ê
2
Û ê
Û ê
Û
êcos2x = cos 2p
2p
ê
ê
ê2x = ± + l2p
3
ë
3
ë

é
êx = p + kp
ê
8
4
ê
êx = ± p + lp
ê
3
ë

2
2
2
Bài 16. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 2

( k,l Î ¢ ) .

( *) .

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001
Bài giải tham khảo
1
1
1
( *) Û 2( 1- cos2x) + 2( 1- cos4x) + 2( 1- cos6x) = 2
1
1
Û - ( cos2x + cos4x + cos6x) = Û ( cos2x + cos6x) + ( cos4x + 1) = 0
2
2
2
Û 2cos4x cos2x + 2cos 2x = 0 Û 2cos2x ( cos4x + cos2x) = 0

é
êx = p + kp
ê
écosx = 0
2
ê

ê
p
p
ê
Û 4cos2x cos3x cosx = 0 Û ê
êcos2x = 0 Û êx = 4 + l 2
ê
ê
cos3x = 0 ê
ê
p
p
ë
êx = + m
ê
6
3
ë
2
2
2
2
Bài 17. Giải phương trình: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x

( k,l,m Î ¢ ) .

( *)

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999
Bài giải tham khảo

1
1
1
1
( *) Û 2( 1- cos2x) + 2( 1- cos6x) = 2( 1+ cos4x) + 2( 1+ cos8x)
Û - ( cos2x + cos6x) = cos4x + cos8x Û - 2cos4x cos2x = 2cos6xcos2x

Û 2cos2x ( cos6x + cos4x) = 0 Û 4cos2x cos5x cosx = 0
écosx = 0
ê
æ
ö
æ
æp mpö
p
pö
÷
çp + kp÷
÷
÷
÷
Û ê
Ú x =ç
+l ÷
Ú x =ç
+
; ( k,l,m Î ¢ ) .
ç
ç
êcos2x = 0 Û x = ç

÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
2
4
2
10
5
è
ø
è
ø
è
ø
ê
cos5x = 0
ê
ë
Page 16

" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

2
2
2
2
Bài 18. Giải phương trình: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x

( *)

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002
Bài giải tham khảo

1

1
1
1
1+ cos8x) = ( 1- cos10x) - ( 1+ cos12x)
(
2
2
2
Û cos6x + cos8x = cos10x + cos12x Û 2cos7x cosx = 2cos11x cosx
é
êx = p + kp
ê
2
ê
écosx = 0
lp

ê
Û cosx ( cos7x - cos11x) = 0 Û ê
( k,l,m Î ¢ ) .
êcos7x = cos11x Û êx = - 2
ê
ê
ë
ê
mp
êx =
ê
9
ë

( *) Û 2( 1-

cos6x) -

æ 5x ö
9x
2 p
÷
- 2cos2
ç + ÷
Bài 19. Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2sin ç
÷
÷
ç
2ø
2

è4

( *)

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001
Bài giải tham khảo

æ
ö
p
÷
cos3x + sin7x = 1- cosç
- 1- cos9x Û cos3x + sin7x = sin5x - cos9x
ç + 5x÷
÷
÷
ç
è2
ø
Û cos3x + cos9x + sin7x - sin5x = 0 Û 2cos6x cos3x + 2cos6x sinx = 0
é
êx = p + k p
ê 12
écos6x = 0
6
ê
ê
p
æ
ö

Û cos6x ( cos3x + sinx) = 0 Û ê
Û ê
p
( k,l,m Î ¢ ) .
êx = + lp
÷
êcos3x = cosç
÷
+
x
4
ç
ê
÷
ê
÷ ê
ç
è2
ø
p mp
ê
ë
êx = - +
ê
8
2
ë

( *) Û

2
2
2
Bài 20. Giải phương trình: sin x = cos 2x + cos 3x

( *)

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998
Bài giải tham khảo

1- cos2x 1+ cos4x 1+ cos6x
=
+
Û ( cos2x + cos4x) + ( 1+ cos6x) = 0
2
2
2
Û 2cos3x cosx + 2cos2 3x = 0 Û 2cos3x ( cosx + cos3x) = 0

( *) Û

é
êx = p + kp
ê
écosx = 0
6
3
ê
ê
p

l
p
ê
Û 4cos3x cos2x cosx = 0 Û ê
êcos2x = 0 Û êx = 4 + 2 Û
ê
ê
cos3x = 0 ê
ê
p
ë
êx = + mp
ê
2
ë
" Cần cù bù thông minh…………"

é
êx = p + kp
ê
6
3 ( k,l,m Î ¢ ) .
ê
p
l
p
êx = +
ê
4 2
ë

Page 17

Ths. Lê Văn Đoàn

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

2
Bài 21. Giải phương trình: 2sin 2x + sin7x - 1 = sinx

( *)

Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007

7x + x
 Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung ( x) ,( 2x) ,( 7x) và nhận xét
= 4x , ta có thể định
2
2
hướng nhóm ( sin7x - sinx) , 2sin 2x - 1 lại với nhau, để sau khi dùng công thức

(

)

tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được
phương trình tích số đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo

( *) Û ( sin7x -

(

)

sinx) - 1- 2sin2 2x = 0 Û 2cos4x sin3x - cos4x = 0

écos4x = 0
ê
Û cos4x ( 2sin3x - 1) = 0 Û ê
Û
êsin3x = 1
ê
2
ë

é
êx = p + k2p
ê 18
3 ( k,l Î ¢ ) .
ê
êx = 5p + l2p
ê
18
3
ë

Bài 22. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x

( *)

Bài giải tham khảo
( *) Û ( sinx + sin3x) + sin2x = ( 1+ cos2x) + cosx

Û 2sin2xcosx + sin2x = 2cos2 x + cosx Û sin2x ( 2cosx + 1) - cosx ( 2cosx + 1) = 0
Û ( 2cosx + 1) ( sin2x - cosx) = 0 Û ( 2cosx + 1) ( 2sinx cosx - cosx) = 0
é
êx = p + kp
é
ê
êcosx = 0
êé 2
p
ê
êê
ê
êêx = + l2p
1
6
Û cosx ( 2sinx - 1) ( 2cosx + 1) = 0 Û êsinx =
Û êê
( k,l,m,n Î ¢ ) .
ê
êê
5p
2
ê
êêx =
+ m2p

êcosx = - 1
êë
6
ê
ê
2
ë
êx = ± 2p + n2p
ê
3
ë

( *)

3
3
3
Bài 23. Giải phương trình: sin x cos3x + cos x sin3x = sin 4x

Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999
Bài giải tham khảo

( *) Û

(

)

(

)

sin3 x 4cos3 x - 3cosx + cos3 x 3sinx - 4sin3 x = sin3 4x

Û 4sin3 x cos3 x - 3sin3 x3cosx + 3cos3 xsinx - 4cos3 x sin3 x = sin3 4x
Û 3sinx cosx ( cos2 x - sin2 x) = sin3 4x
Û

3
3
sin2x cos2x = sin3 4x Û sin4x = sin3 4x
2
4

Û 3sin4x - 4sin3 4x = 0 Û sin12x = 0 Û 12x = kp Û x =
Page 18

kp
, ( k Î ¢) .
12

" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

2
3
Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2cos 4x + 6cos3x cosx = cosx + 8cosx cos 3x ( *)

Bài giải tham khảo

( *) Û

(

)

cos10x + ( 1+ cos8x) = cosx + 2cosx 4cos3 3x - 3cos3x

Û ( cos10x + cos8x) + 1 = cosx + 2cosx cos9x
Û 2cos9x cosx + 1 = cosx + 2cosxcos9x
Û cosx = 1 Û x = k2p, ( k Î ¢ ) .
3
3
2
Bài 25. Giải phương trình: 4sin x + 3cos x - 3sinx - sin xcosx = 0 ( *)

Bài giải tham khảo

( *) Û
Û
Û

(
)
(
)
sinx ( 4sin x - 3) - cosx é
sin x - 3( 1- sin x) ù

=0
ê
ú
ë
û
( 4sin x - 3) ( sinx - cosx) = 0
sinx 4sin2 x - 3 - cosx sin2 x - 3cos2 x = 0
2

2

2

2

Û é
2 1- cos2x) - 3ù
sinx - cosx) = 0
ê
ú
ë(
û(
é
é
êcos2x = - 1 = cos 2p
ê2x = ± 2p + k2p
Û ê
Û
2
3 Û ê

3
ê
ê
sinx
=
cosx
tanx
=
1
ê
ê
ë
ë

é
êx = ± 2p + kp
ê
3
( k;l Î ¢ ) .
ê
p
êx = + lp
ê
4
ë

2
Bài 26. Giải phương trình: ( 2sin x + 1) ( 3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos x = 3

( *)

Bài giải tham khảo

( *) Û ( 2sinx + 1) ( 3cos4x + 2sin x - 4) + 4( 1- sin x) - 3 = 0
Û ( 2sinx + 1) ( 3cos4x + 2sinx - 4) + ( 1- 2sinx) ( 1 + 2sinx) = 0
Û ( 2sinx + 1) ( 3cos4x + 2sinx - 4 + 1- 2sinx) = 0
Û 3( cos4x - 1) ( 2sinx + 1) = 0
2

é
ê4x = k2p
ê
écos4x = 1
ê
ê
p
Û ê
Û êx = - + l2p Û
1
ê
êsin2x = 6
ê
ê
2
ë
7
p
êx =
+ m2p
ê

6
ë

é
êx = kp
ê
2
ê
êx = - p + l2p
ê
6
ê
ê
7p
+ m2p
êx =
ê
6
ë

(

( k;l;m Î ¢ ) .

) ( *)

6
6
8
8

Bài 27. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999
" Cần cù bù thông minh…………"

Page 19

Ths. Lê Văn Đoàn

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

Bài giải tham khảo

( *) Û

(

)

(

)

sin6 x - 2sin8 x + cos6 x - 2cos8 x = 0 Û sin6 x 1- 2sin2 x - cos6 x 2cos2 x - 1 = 0

(

)

Û sin6 x cos2x - cos6 x cos2x = 0 Û cos2x sin6 x - cos6 x = 0
écos2x = 0
Û ê
êsin6 x = cos6 x Û
ê
ë

écos2x = 0
ê
êtanx = ±1 Û
ê
ë

é
êx = p + kp
ê
4
2 Û x = p + kp ,( k Î ¢ ) .
ê
4
2
êx = ± p + kp
ê
4
ë

5
Bài 28. Giải phương trình: sin8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x + cos2x ( *)
4
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000

(

)

Bài giải tham khảo

5
x - cos8 x - sin8 x - 2sin10 x + cos2x = 0
4
5
Û cos8 x 2cos2 x - 1 - sin8 x 1- 2cos2 x + cos2x = 0
4
æ 8
5
5ö
8
÷
Û cos8 x.cos2x - sin8 x cos2x + cos2x = 0 Û cos2x ç
=0
çcos x - sin x + ÷
÷
÷
ç
4
4ø
è

( *) Û ( 2cos

) (

10

(

)

)

(

écos2x = 0
ê
Û ê 8
Û
êcos x - sin8 x + 5 = 0
ê
4
ë

)

é
ê2x = p + kp
p kp
ê
2
Û x = + ,( k Î ¢ ) .
ê

4
2
êsin8 x = cos8 x + 5 > 1 VN
(
)
ê
4
ë

(

)

3
3
5
5
Bài 29. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x

( *)

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 1998
Bài giải tham khảo
 Cách giải 1

( *) Û ( sin

3

) (

)
2sin x) - cos x ( 2cos x - 1) = 0 Û

x - 2sin5 x - 2cos5 x + cos3 x = 0

(

Û sin3 x 1-

2

3

2

sin3 x cos2x - cos3 x cos2x = 0

écos2x = 0
p mp
Û cos2x sin3 x - cos3 x = 0 Û ê
êtan3 x = 1 Û x = 4 + 2 , ( m Î ¢ ) .
ê
ë
 Cách giải 2

(

( *) Û ( sin

3

)

)(

)

x + cos3 x sin2 x + cos2 x - 2sin5 x - 2cos5 x = 0

(

) (
x) - cos x ( cos x -

)

Û sin3 x cos2 x - sin5 x - cos5 x - cos3 sin2 x = 0

(

Û sin3 x cos2 x - sin2

écos2x = 0
Û ê
êsin3 x - cos3 x = 0 Û
ê
ë
Page 20

3

2

)

(

)

sin2 x = 0 Û cos2x sin3 x - cos3 x = 0

écos2x = 0
p mp
ê
Û
x
=
+
, ( m Î ¢) .
3
êtan x = 1
4
2
ê
ë
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
4

2
2
4
Bai 30. Giai phng trinh: 3cos x - 4cos x sin x + sin x = 0

( *)

Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Qua Tp.HCM 1998 1999 t 1
Bai giai tham khao
2

2

ổ
ổ
1+ cos2x ử
1- cos2x ử
2
ữ
ỗ
ữ
ữ
sin
2x
+
=0
ỗ
( *) 3ỗỗỗ 2 ữ
ữ
ữ

ỗ
ữ
ữ
2
ố
ứ
ố
ứ

(

)

(

) (

)

3 1 + 2cos2x + cos2 2x - 4 1- cos2 2x + 1- 2cos2x + cos2 2x = 0
8cos2 2x + 4cos2x = 0 4cos2x ( 2cos2x + 1) = 0
ộcos2x = 0
ờ
ờ

ờcos2x = - 1
ờ
2
ở

ộ
ờx = p + kp p + kp
ờ
4
2
4
ờ
p
ờx = + mp
ờ
3
ở

( k,m ẻ Â ) .

Cach khac
Do cosx = 0 hay sinx = 1 khụng la nghiờm cua phng trinh ( *)
Chia hai vờ cua ( *) cho cos4 x , ta c:
ỡù t2 - 4t + 3 = 0
2
4
( *) 3- 4tan x + tan x = 0 ùớù t = tan2 x 0
ùùợ
ùỡù ột = 1
ộtanx = 1
ộtan2 x = 1
ùù ờ
ờ
ờ
t

=
3
ớờ
ờ 2
ờ

ờ
ở
ùù
tan x = 3 ờtanx = 3
ờ
2
ở
ở
ùù t = tan x
ợ

ộ
ờx = p + kp
ờ
4
( k,m ẻ Â ) .
ờ
ờx = p + mp
ờ
3
ở

Bai 31. Giai phng trinh: cos3x cos3 x - sin3x sin3 x = 2 - 3 2
8

( *)

Bai giai tham khao
Li binh: Ta nhõn thõy trong phng trinh co cha cos3x lõn sin3x , nờu ta s dung cụng thc
nhõn ba ờ khai triờn cung i ờn kờt qua cuụi cung, nhng no tng ụi phc tap.
Chinh vi thờ, õy ta kheo leo phõn tich ờ ap dung cụng thc tich thanh tụng co xuõt
hiờn sụ

1
nhm tụi gian c vi sụ 2 - 3 2 phc tap bờn vờ phai cua phng trinh.
2
8

( *) ( cos3x cosx) cos x - ( sin3x sinx) sin
2

2

x=

2- 3 2
8

1
1
2- 3 2
cos4x + cos2x) cos2 x - ( cos2x - cos4x) sin2 x =

(
2
2
8

cos4x cos2 x + cos2x cos2 x - cos2xsin2 x + cos4x sin2 x =

(

)

(

)

cos4x cos2 x + sin2 x + cos2x cos2 x - sin2 x =
" Cõn cu bu thụng minh"

2- 3 2
4

2- 3 2
4
Page 21

Ths. Lê Văn Đoàn

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

Û cos4x + cos2 2x =

2- 3 2
1
2- 3 2
Û cos4x + ( 1+ cos4x) =
4
2
4

Û 4cos2x + 2( 1+ cos4x) = 2 - 3 2 Û cos4x = -

2
p kp
Û x = ± + ,( k Î ¢ ) .
2
16
2

1
( *)
16
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998

Bài 32. Giải phương trình: cosxcos2x cos4x cos8x =

Bài giải tham khảo
 Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung x,2x,4x,8x khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc
đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức
cos2x = 2cos2 x - 1 = 1- 2sin2 x , nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế

phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý
rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của sin ,
bằng cách nhân thêm hai vế của ( *) cho sinx . Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm
tra xem sinx = 0 có phải là nghiệm hay không trước khi nhân.
● Nhận thấy: sinx = 0 Û x = kp ( hay cosx = ±1) Û cos2x = cos4x = cos8x = 1 nên

1
(vô nghiệm) nên sinx = 0 Û x = kp không là nghiệm của ( *)
16
● Nhân cả 2 vế của phương trình ( *) cho 16sinx ¹ 0 , ta được:

( *) Û

±1 =

ïìï 16sinx cosxcos2xcos4x cos8x = sinx
ïì 8sin2x cos2x cos4x cos8x = sinx
Û ïí
í
ïï sinx ¹ 0
ïï sinx ¹ 0
î
î
ïì 4sin4x cos4xcos8x = sinx
ïì 2sin8x cos8x = sinx
ïì sin16x = sinx
Û ïí
Û ïí
Û ïí
ïï sinx ¹ 0

ïï sinx ¹ 0
ïï sinx ¹ 0
î
î
î
ïìï é
k2p
é
x=
ïï ê
ê
êx = k2p
15
ïï ê
17p - 1
15
p
lp Û ê
Û íê
với k ¹ 15n; l ¹
; ( k,l,m,n,p Î ¢ ) .
ê
x
=
+
ïï ê
p
lp
ê
2

+
ïï ë 17 17
êx =
ë 17 17
ïï x ¹ mp
ïî

( *) Û

3
Bài 33. Giải phương trình: 4sin3x cos2x = 1+ 6sinx - 8sin x

( *)

Bài giải tham khảo

( *) Û

(

)

4sin3x cos2x = 1+ 2 3sinx - 4sin3 x Û 4sin3x cos2x = 1 + 2sin3x

(

)

Û 2sin3x ( 2cos2x - 1) = 1 Û 2sin3x 4cos2 x - 3 = 1

( o)

p
+ kp,( k Î ¢ ) không là nghiệm phương trình ( o) , nên nhân hai vế ( o) cho
2
3
cosx ¹ 0 , ta được: ( o) Û 2sin3x 4cos x - 3cosx = cosx Û 2sin3xcos3x = cosx

Do cosx = 0 Û x =

(

Page 22

)

" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)

ổ
ử
p
ữ
sin6x = cosx cosx = cosỗ
- 6xữ

ỗ
ữ

ỗ
ữ
ố2
ứ

ộ
ờx = p + l2p
ờ 14
7
ờ
p
m2
p
ờx =
+
ờ
5
ở 10

( l,k ẻ Â ) .

Bai 34. Giai phng trinh: cosx + cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = -

1
2

( *)

Bai giai tham khao

1
Khi x = k2p,( k ẻ Â ) thi ( *) 5 = - ị ( *) khụng co nghiờm x = k2p,( k ẻ Â ) .
2
x
x
Khi x ạ k2p,( k ẻ Â ) ị sin ạ 0 . Nhõn hai vờ cua ( *) cho 2sin ạ 0 , ta c:
2
2
( *) 2sin x2 cosx + 2sin x2 cos2x + 2sin x2 cos3x + 2sin x2 cos4x + 2sin x2 cos5x = - sin x2
3x
x
5x
3x
7x
5x
9x
7x
11x
9x
x
sin - sin + sin - sin + sin - sin + sin - sin + sin
- sin = - sin .
2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
11x
11x
2mp
sin
= 0
= mp x =
, ( m ạ 11, m ẻ Â ) .
2
2
11
Bai 35. Giai phng trinh:

sin2x + 2cosx - sin x - 1

= 0 ( *)
tanx + 3
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2011
Bai giai tham khao

Li binh: Khi giai phng trinh lng giac co cha tan hoc cot, co õn mõu hay cn bõc chn,
ta phai c iờu kiờn ờ phng trinh xac inh. c biờt ụi vi nhng bai toan co
sin ổ
cosử
ữ
,ỗ
ỗ ữ
cha tan (hoc cot), ta hay thay thờ chung bng

nhm muc ich " n
ữ
ữ
cos ỗ
ốsin ứ
gian hoa " va chi con lai hai gia tri lng giac la sin va cos ma thụi.
Ta se dung cac cach sau õy ờ kiờm tra xem co nhõn nghiờm hay khụng
Thay cac gia tri x tim c vao iờu kiờn xem co thoa khụng. Nờu thoa thi ghi nhõn
nghiờm õy, nờu khụng thoa thi loai.
Hoc biờu diờn cac ngon cung iờu kiờn va ngon cung nghiờm trờn cung mụt ng
tron lng giac. Ta se loai bo ngon cung cua nghiờm khi co trung vi ngon cung
cua iờu kiờn.
Hoc so vi iờu kiờn trong qua trinh giai phng trinh.

ỡù tanx ạ - 3
ù
iờu kiờn: ớ
ùù cosx ạ 0
ùợ
( *) sin2x + 2cosx - sinx - 1 = 0 2cosx ( sinx + 1) - ( sinx + 1) = 0

" Cõn cu bu thụng minh"

Page 23

Ths. Lờ Vn oan

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)

ộ
ờx = p + k2p
ờ
3
( k,l ẻ Â ) .
ờ
p
ờx = - + l2p
ờ
2
ở
p
So vi iờu kiờn, ho nghiờm cua phng trinh la x = + k2p , ( k ẻ Â ) .
3
ộ
ờcosx = 1
( sinx + 1) ( 2cosx - 1) = 0 ờ
2
ờ
sinx
=
1
ờ
ở

Bai 36. Giai phng trinh:

1+ sin2x + cos2x
= 2sinxsin2x ( *)
1+ cot2 x

Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A nm 2011
Bai giai tham khao

iờu kiờn: sinx ạ 0

( *)

sin2 x(1+ sin2x + cos2x) = 2 2sin2 x cosx 1+ sin2x + cos2x = 2 2cosx

(

2cos2 x + 2cosx sinx - 2 2cosx = 0 2cosx cosx + sinx -

)

2 =0

ộ
ờx = p + kp
ờ
2
( k,l ẻ Â ) .
ờ
ờx = p + l2p
ờ
4
ở
p
p
So vi iờu kiờn, ho nghiờm phng trinh la x = + kp x = + l2p, ( k,l ẻ Â ) .

2
4
ộcosx = 0
ờ

ờ
cosx + sinx = 2
ờ
ở

ộcosx = 0
ờ
ờ ổ pử

ờcosỗ
ữ
x- ữ
=1
ữ
ờ ỗ
ỗ
ữ
4ứ
ờ
ở ố

Bai 37. Giai phng trinh: tan x + cot x = 2( sin2x + cos2x)

( *)

Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Giao Thụng Võn Tai Tp.HCM nm 1998
Bai giai tham khao

ỡù sinx ạ 0
p
ù
2sinxcosx ạ 0 sin2x ạ 0 2x ạ kp x ạ k , ( k ẻ Â ) .
iờu kiờn: ớ
ùù cosx ạ 0
2
ợ
sinx cosx
sin2 x + cos2 x
*

+
=
2
sin2x
+
cos2x

= 2( sin2x + cos2x)
( ) cosx sinx (
)
sinx cosx
1
1

= 2( sin2x + cos2x)

= ( sin2x + cos2x)
sinx cosx
sin2x
sin2x ( sin2x + cos2x) = 1 sin2 2x + sin2x cos2x - 1 = 0
sin2xcos2x - cos2 2x = 0 cos2x ( sin2x - cos2x) = 0

ộ
ờx = p + kp
ờ
4

( k,l ẻ Â ) .
ờ
p
ờx = + l p
ờ
8
2
ở
p
p
p
Kờt hp vi iờu kiờn, phng trinh co 2 ho nghiờm: x = + kp x = + l , ( k,l ẻ Â ) .
4
8
2
ổ
pử
ữ
2cos2x sinỗ

2x - ữ
= 0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
4ứ
ố

ộcos2x = 0
ờ
ờ ổ

pử
ữ
ờsinỗ
ữ
2x
=0
ỗ
ữ
ờ ỗ
ữ
4ứ
ờ
ở ố

2
Bai 38. Giai phng trinh: tan x + tanx tan3x = 2

( *)

Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1996
Page 24

" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

Bài giải tham khảo

ìï cosx ¹ 0
p kp
Û cos3x ¹ 0 Û x ¹
+
,( k Î ¢ ) .
● Điều kiện: ïí
3
ïï cos3x = 4cos x - 3cosx ¹ 0
6
3
ïî
sinx æsinx sin3x ö
÷
=2
( *) Û tanx( tanx + tan3x) = 2 Û cosx çççcosx + cos3x÷
÷
÷
è

ø
Û sin x ( sinx cos3x + cosx sin3x) = 2cos2 x cos3x
Û sinx sin( - 2x) = 2cos2 x cos3x

Û - 2sin2 xcosx = 2cos2 x cos3x
Û - sin2 x = cosx cos3x ( do cosx ¹ 0)
1
1
1- cos2x) = ( cos4x + cos2x)
(
2
2
p lp
Û cos4x = - 1 Û x = +
,( l Î ¢ )
4 2
● So nghiệm với điều kiện:
Û -

æ3p l3p ÷
ö
2
p lp
÷
thì cos3x = cosç
=±
¹ 0 (nhận).
+
ç +
÷

ç
2÷
2
4 2
è4
ø
 Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung
p lp
nào trùng nhau. Do đó: x = +
là nghiệm
π/2
4 2
3π/4
π/4
của
π/6
5π/6
phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian).
3p l3p p
 Cách 3: Nếu 3x =
+
= + kp thì
4
2
2
7π/6
11π/6
3 + 6l = 2 + 4k Û 2k - 3l = 0,5
5π/4
7π/4

(vô lí vì k,l Î ¢ ).
 Cách 1: Khi x =

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x =

3π/2

p lp
+ ,( l Î ¢ ) .
4 2

Bài 39. Giải phương trình: tan2 x + cot2 x + cot2 2x =

11
3

( *)

Bài giải tham khảo

ìï cosx ¹ 0
ïï
ï
● Điều kiện: í sinx ¹ 0 Û sin2x ¹ 0.
ïï
ïï sin2x ¹ 0
î
æ 1
ö æ 1
ö æ 1

÷
ç
÷
÷
+
1
+ç
ç
ç
( *) Û çççcos2 x - 1÷
÷
÷
2
ç
çsin2 2x ÷
÷
sin
x
è
ø è
ø è

ö 11
1
1
1
20
÷
1÷
=

Û
+ 2 +
=
÷
2
2
2
÷ 3
3
cos x sin x 4sin x cos x
ø

4sin2 x + 4cos2 x + 1 20
5
20
3
1
3
Û
=
Û
=
Û sin2 2x = Û ( 1- cos4x) =
2
2
2
3
3
4
2

4
4sin x cos x
sin 2x
" Cần cù bù thông minh…………"

Page 25

dạy thêm phuong trinh luong giac

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về