Khóa luận tốt nghiệp toán học :PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC




NGUYỄN THỊ LỆ





PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP
CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH
LƢỢNG GIÁC Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG






KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC





SƠN LA, NĂM 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC




NGUYỄN THỊ LỆ





PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP
CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH
LƢỢNG GIÁC Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG



Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Hoàng Ngọc Anh



SƠN LA, NĂM 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên cho em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tời thầy giáo GVC-TS.
Hoàng Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn em trong quá trình nghiên
cứu và thực hiện khoá luận.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo cô giáo trong Khoa Toán - Lý -
Tin, phòng Đào tạo Đại học, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện
giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận.
Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên
trong tập thể lớp K51 ĐHSP Toán - Lý đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ
tôi thực hiện và hoàn thành khoá luận.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2014
Người thực hiện
Nguyễn Thị Lệ

MỘT SỐ QUY ƢỚC VIẾT TẮT TRONG KHOÁ LUẬN
BTVN: Bài tập về nhà
ĐK: Điều kiện
GV: Giáo viên
HS: Học sinh
PPDH: Phương pháp dạy học
TTC: Tính tích cực
SBT: Sách bài tập
SGK: Sách giáo khoa

















MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1

2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
4. Giả thiết khoa học 2
5. Đối tƣợng nghiên cứu 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu 2
7. Đóng góp của khóa luận 2
8. Cấu trúc của khóa luận 2
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3
1.1. Tính tích cực học tập 3
1.1.1. Khái niệm 3
1.1.2. Các cấp độ của tính tích cực học tập 3
1.1.3. Một số dấu hiệu nhận biết tính tích cực học tập 4
1.1.4. Một số phẩm chất nhân cách tạo nên tính tích cực học tập 4
1.2. Các biện pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh 5
1.2.1. Gợi vấn đề để giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề 5
1.2.1.1. Các khái niệm 5
1.2.1.2. Cơ sở lí luận 6
1.2.1.3. Đặc điểm 7
1.2.1.4. Các hình thức dạy học 7
1.2.1.5. Bản chất 7
1.2.1.6. Các cách để tạo ra một tình huống gợi vấn đề 7
1.2.2. Tạo tình huống để học sinh khám phá kiến thức bằng các hoạt động có
hướng dẫn 10
1.2.2.1. Một số khái niệm có liên quan 10
1.2.2.2. Đặc điểm 10
1.2.2.3. Bản chất 11

1.2.2.4. Các mức độ dạy học 11
1.2.3. Tổ chức cho học sinh học tập hợp tác trong nhóm nhỏ 11
1.2.3.1. Khái niệm 11

1.2.3.2. Đặc điểm 12
1.2.3.3. Các hình thức tổ chức 12
1.2.3.4. Quy mô nhóm 13
1.2.3.5. Các bước tiến hành 14
1.2.3.6. Chú ý 14
1.2.4. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập cho học sinh 15
1.2.5. Rèn luyện phương pháp tự học 15
1.3. Thực trạng của việc giải phƣơng trình lƣợng giác của học sinh
THPT……………………………………………………………………… 15
Chƣơng 2. PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 18
2.1. Nội dung dạy học phƣơng trình lƣợng giác ở trƣờng phổ thông 18
2.1.1. Những kiến thức cơ bản về phương trình lượng giác trong chương trình
toán phổ thông 18
2.1.1.1. Phương trình lượng giác cơ bản 18
2.1.1.2. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản 21
2.1.2. Các dạng bài tập về phương trình lượng giác cần rèn luyện ở trường phổ
thông 21
2.1.2.1. Bài tập về phương trình lượng giác cơ bản 21
2.1.2.2. Bài tập về một số dạng phương trình lượng giác đơn giản 23
2.2. Phát huy tính tích cực học tập của học sinh trong dạy học phƣơng trình
lƣợng giác 29
2.2.1. Dạy học phương trình lượng giác cơ bản 29
2.2.2. Dạy học một số dạng phương trình lượng giác đơn giản……………………31
2.2.3. Dạy học phương pháp giải một số dạng phương trình lượng giác thường
gặp 32
2.2.3.1. Tổ chức cho HS phát hiện, tìm nguyên nhân và sửa chữa sai lầm 32

2.2.3.2. Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có phân bậc hoạt động nhằm phát
huy TTC học tập của HS 33

Chƣơng 3. THIẾT KẾ MỘT SỐ GIỜ DẠY PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG
GIÁC THEO HƢỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP 34
3.1. Dạy học bài “Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản” 34
3.2. Dạy học bài “Một số dạng phƣơng trình lƣợng giác đơn giản” 50
3.3. Dạy học giải bài tập phƣơng trình lƣợng giác 65
Chƣơng 4: THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM 77
4.1. Mục đích thử nghiệm 77
4.2. Nội dung thử nghiệm 77
4.3. Phƣơng pháp tiến hành 77
4.4. Tổ chức thử nghiệm 77
4.5. Kết quả thử nghiệm 78
4.6. Kết luận rút ra từ thực nghiệm 79
KẾT LUẬN 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO 81







1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Để đẩy mạnh việc xây dựng xã hội Công nghiệp hoá, Hiện đại hóa đất
nước, tạo ra con người mới Xã hội chủ nghĩa đòi hỏi các nhà trường cần đẩy
nhanh việc đổi mới nội dung, chương trình, phương pháp dạy học ở tất cả các
cấp trong ngành giáo dục và đào tạo với tư tưởng: lấy người học làm trung tâm,
phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học.
Chất lượng đào tạo đang là một trong những vấn đề cấp bách của nước ta

hiện nay. Trong thực tế dạy học tại các trường phổ thông, việc dạy học theo kiểu
thuyết trình, áp đặt kiến thức vẫn đang rất phổ biến không đáp ứng được ngày
càng cao về đào tạo nguồn nhân lực cho sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Trên cơ sở đó, “Chiến lược phát triển giáo dục 2011-2020” của Thủ tướng
Chính phủ có ghi: “Tiếp tục đổi mới phương pháp dạy học và đánh giá kết quả
học tập rèn luyện theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo
và năng lực tự học của người học”.
Kiến thức về phương trình lượng giác có rất nhiều ứng dụng trong thực tế
và trong các môn khoa học ứng dụng ( Vật lý, Hóa học,…).
Để hiểu biết thêm về các phương pháp dạy học trong giáo dục, từ đó có thể
áp dụng các phương pháp đó trong dạy học sau này nên em đã chọn đề tài khóa
luận:“ Phát huy tính tích cực học tập của học sinh trong dạy học phương
trình lượng giác ở trường phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khóa luận này là đưa ra một số biện pháp cụ thể nhằm phát
huy tính tích cực học tập của học sinh trong việc dạy học phương trình lượng
giác.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn về tính tích cực học tập của học
sinh bao gồm khái niệm về tính tích cực, phân loại tính tích cực, những dấu hiệu
nhận biết, rèn luyện một số phẩm chất nhân cách nhằm phát huy tính tích cực
học tập.
Trên cở sở đó đưa ra một số hình thức dạy học cụ thể nhằm phát huy tính
tích cực học tập của học sinh trong việc dạy học phương trình lượng giác.



2
4. Giả thiết khoa học
Nếu sinh viên có thể nắm vững các phương pháp dạy học và hiểu rõ mối

liên hệ giữa các kiến thức Toán cao cấp với các kiến thức Toán Phổ thông (Qua
nội dung phương trình lượng giác) thì họ có thể giảng dạy tốt hơn sau khi ra
trường.
5. Đối tƣợng nghiên cứu
- Nghiên cứu nội dung phương pháp dạy học môn toán đã được dạy ở
trường Đại học Tây Bắc.
- Nghiên cứu các dạng phương trình lượng giác, cách giải phương trình
lượng giác ở trường phổ thông.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận.
- Phân tích, tổng hợp các kiến thức, quan sát, phỏng vấn, điều tra.
- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
7. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên
chuyên ngành Toán trường Đại học Tây Bắc.
8. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 4 chương và phần kết
luận. Phần nội dung gồm các chương sau:
Chƣơng 1: Cơ sơ lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2: Phát huy tính tích cực học tập của học sinh trong dạy học
phương trình lượng giác.
Chƣơng 3: Thiết kế một số giờ dạy phương trình lượng giác theo hướng
phát huy tính tích cực học tập.
Chƣơng 4: Thực nghiệm sư phạm.

3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Tính tích cực học tập
1.1.1. Khái niệm
Theo từ điển tiếng Việt: Tích cực là hăng hái, nhiệt tình với công việc. Tính
tích cực (TTC) có tác dụng khẳng định, thúc đẩy sự phát triển và trái với tiêu
cực. Khi nói đến tính tích cực là nói đến tính chủ động và những hoạt động
nhằm tạo sự biến đổi theo hướng phát triển.
Theo V.Ôkôn: “TTC là lòng ham muốn không chủ định và gây nên những
biểu hiện bên ngoài hoặc bên trong của sự hoạt động”.
Qua đó có thể thấy: TTC luôn gắn liền với hoạt động chủ động của chủ thể,
nó bao hàm tính chủ động, chủ định và có ý thức của chủ thể.
TTC học tập bao gồm: tính tự giác học tập, tính độc lập học tập.
Tính tự giác học tập thể hiện ở việc người học nhận thức được đầy đủ
nhiệm vụ học tập, có ý thức lĩnh hội tri thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo và vận
dụng những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo vào trong quá trình học tập.
Tính độc lập học tập thể hiện ở chỗ người học tự giác định hướng công
việc, hoàn thành công việc bằng chính sức lực của mình, không trông chờ, ỷ lại
vào người khác hoặc không chịu sự thúc ép của điều kiện bên ngoài. Người học
tự phát hiện vấn đề, tự tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức của bản thân.
Như vậy, ta có thể hiểu TTC học tập là sự sáng tạo của chủ thể đối với
khách thể, sự linh hoạt thay đổi phương hướng và tìm ra phương pháp mới để
giải quyết vấn đề, chứ không theo lối suy nghĩ dập khuôn, máy móc.
1.1.2. Các cấp độ của tính tích cực học tập
TTC học tập bao gồm ba cấp độ sau:
+ Tái hiện và bắt chước.
+ Tìm tòi.
+ Sáng tạo.
a. Tái hiện và bắt chước

Đây là mức độ thấp nhất của TTC học tập, học sinh chỉ gắng sức tái hiện
lại những kiến thức mà giáo viên đã cung cấp và thực hiện lại các thao tác, kĩ
năng mà giáo viên hoặc các bạn của mình đưa ra chứ chưa thực sự tư duy.


4
Chẳng hạn việc học sinh coi các bài toán đã có hướng dẫn của giáo viên như là
một bài mẫu để từ đó thực hiện giải các bài tập tương tự…
b. Tìm tòi
Ở cấp độ này, học sinh độc lập giải quyết các vấn đề nêu ra, chứ không
phụ thuộc vào những yêu cầu hay sự hướng dẫn của giáo viên. Không những thế
học sinh còn biết tìm kiếm những cách giải quyết khác nhau cho cùng một vấn
đề. Chẳng hạn: Việc học sinh tìm các lời giải khác nhau cho cùng một bài
toán,…
c. Sáng tạo
Đây là mức độ cao nhất của TTC học tập của học sinh, là sự tự thể hiện, sự
tự khẳng định của bản thân người học khi tìm tòi kiến thức, hay tìm tòi con
đường nhận thức của riêng mình. TTC sáng tạo thể hiện ở chỗ tự mình học
mình, tự mình tìm được cách giải quyết mới, độc đáo, hữu hiệu. TTC sáng tạo là
sự thể hiện cao tính độc lập của học sinh trong học tập.
1.1.3. Một số dấu hiệu nhận biết tính tích cực học tập
Trong quá trình dạy học, người giáo viên cần phải nhận biết được các dấu
hiệu về mặt tâm lý của TTC học tập của học sinh để có biện pháp giảng dạy tốt
hơn và nhằm giúp học sinh đạt được kết quả học tập tốt nhất.
Các dấu hiệu đó thể hiện ở những hành vi cụ thể như sau: Học sinh hăng
hái trả lời các câu hỏi của giáo viên đưa ra, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích
phát biểu ý kiến của mình trước vấn đề được đặt ra, hay nêu thắc mắc đòi hỏi
được giải thích cặn kẽ những vấn đề chưa đủ rõ, chủ động vận dụng những kiến
thức, kĩ năng đã học để nhận thức vấn đề mới, tập trung chú ý vào vấn đề đang
học, kiên trì hoàn thành các bài tập, không nản trước những tình huống khó

khăn,…
1.1.4. Một số phẩm chất nhân cách tạo nên tính tích cực học tập
a. Tính tự giác
TTC học tập và tính tự giác của học sinh trong học tập có mối quan hệ mật
thiết với nhau, thể hiện giữa một bên là mặt cường độ nhịp điệu, xúc cảm của
học sinh trong hoạt động nhận thức kiến thức, có giá trị trong việc kích thích
hoạt động và một bên là sự tự nhận thức được nhu cầu học tập và có giá trị thúc
đẩy hoạt động học tập có hiệu quả. TTC học tập khi là phẩm chất nhân cách thì
phải dựa trên cơ sở của tính tự giác học tập.



5
b. Tính độc lập
TTC học tập là kết quả và là biểu hiện của tính độc lập nhận thức học tập
của học sinh. Hơn nữa, nó còn là điều kiện hình thành và phát triển tính độc lập.
Ngược lại, tính độc lập là biểu hiện cao của tính tích cực học tập. Do đó, trong
quá trình dạy học cần nâng cao năng lực học tập độc lập của học sinh.
c. Nhu cầu học tập
Nhu cầu học tập là điều kiện xuất hiện hoạt động học tập, là chủ thể học tập
ý thức được mâu thuẫn trong nhận thức, nó là một trong những biểu hiện của
hoạt động học tập. Như vậy, TTC học tập bao hàm cả nhu cầu học tập.
Vì vậy, giáo viên cần phải làm nảy sinh nhu cầu học tập cho học sinh.
d. Hứng thú học tập
Hứng thú học tập là một nhân tố rất quan trọng và cần thiết đối với việc
phát huy TTC học tập của học sinh. Ngược lại, hiệu quả của việc hình thành và
làm tăng hứng thú nhận thức lại phụ thuộc vào việc tổ chức hoạt động nhận thức
của học sinh, vào việc tìm ra những phương pháp, biện pháp phù hợp để huy
động đến mức cao nhất TTC học tập của học sinh.
e. Động cơ học tập

Động cơ học tập là nguồn tạo ra TTC học tập, động cơ học tập có ý nghĩa
quyết định đối với toàn bộ hoạt động học tập. Động cơ nhận thức đúng đắn sẽ có
tác dụng thúc đẩy mạnh mẽ TTC học tập nhằm chiếm lĩnh được đối tượng nhận
thức một cách có hiệu quả cao, phù hợp với động cơ đó. Mặt khác, chính hiệu
quả nhận thức thu được nhờ hoạt động nhận thức tích cực có tác dụng củng cố
nâng cao động cơ nhận thức.
1.2. Các biện pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh
1.2.1. Gợi vấn đề để giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề
1.2.1.1. Các khái niệm
- Hệ thống: Là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ giữa
những phần tử của tập hợp đó.
- Tình huống: Là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể, trong
đó chủ thể là người, còn khách thể lại là một hệ thống nào đó.
- Tình huống bài toán: Nếu trong một tình huống chủ thể còn chưa biết ít
nhất một phần tử của khách thể thì tình huống này được gọi là tình huống bài
toán đối với chủ thể.


6
- Bài toán: Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục
đích tìm phần tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở
trong khách thể thì ta có một bài toán.
- Vấn đề: Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa có trong tay
một thuật giải nào để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán.
Vấn đề không đồng nghĩa với bài toán. Nếu việc giải quyết bài toán chỉ đơn
thuần áp dụng một quy tắc, một thuật giải là xong thì bài toán đó không phải là
vấn đề. Khái niệm vấn đề ở đây mang tính tương đối, việc “chưa biết một số
phần tử” và “chưa biết thuật giải để tìm phần tử chưa biết” phụ thuộc vào chủ
thể, tức là chỉ cần học sinh chưa được học thuật giải thì bài toán đó trở thành vấn
đề. Chẳng hạn, bài toán yêu cầu học sinh giải phương trình

cos cosx


, nếu học
sinh đã được học công thức nghiệm của phương trình là
2πxk

  
()kZ
thì
bài này không phải là vấn đề, nhưng lại là vấn đề nếu học sinh chưa học công
thức nghiệm đó.
- Tình huống gợi vấn đề: (còn gọi là tình huống vấn đề) là một tình huống
dạy học gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy
cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một
thuật giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi
đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có.
Biện pháp dạy học gợi vấn đề để giúp học sinh giải quyết vấn đề là việc
thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề sau đó điều khiển học sinh phát hiện và
giải quyết vấn đề, qua đó giúp học sinh lĩnh hội được tri thức, rèn luyện kĩ năng
và đạt được mục đích dạy học.
1.2.1.2. Cơ sở lí luận
- Mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức và kinh nghiệm
sẵn có là động lực thúc đẩy học sinh hoạt động học tập.
- Về mặt tâm lí học, học sinh tích cực tư duy do nảy sinh nhu cầu tư duy,
do đứng trước khó khăn về nhận thức, học sinh tự kiến tạo hoặc tham gia vào
việc kiến tạo tri thức cho mình dựa vào tri thức đã có, bổ sung và làm cho những
tri thức cũ được hoàn chỉnh hơn.
- Học sinh học tập tự giác, tích cực, vừa kiến tạo được tri thức, vừa học
được cách thức giải quyết vấn đề, lại vừa rèn luyện được đức tính quý báu như

kiên trì, vượt khó,…



7
1.2.1.3. Đặc điểm
- Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là được
thông báo tri thức dưới dạng có sẵn.
- Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo, tận lực huy động
tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải
chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động.
- Mục đích dạy học không phải chỉ làm cho học sinh lĩnh hội được kết
quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn làm cho họ phát
triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy. Tức là học sinh được học
từ chính bản thân.
1.2.1.4. Các hình thức dạy học
- Tự nghiên cứu vấn đề: người học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện
tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu đó, thầy giáo chỉ tạo ra tình
huống gợi vấn đề.
- Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề: học sinh làm việc không hoàn
toàn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt của thầy khi cần thiết; hoạt động của thầy và
trò dưới hình thức vấn đáp, những câu hỏi của thầy là tình huống gợi vấn đề.
- Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề: thầy giáo tạo ra tình huống
gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy phát hiện vấn đề và trình bày quá trình
suy nghĩ giải quyết nhưng không phải đơn thuần nêu lời giải cho nên quá trình
đó có khi thành công, có khi thất bại, phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến
kết quả. Như vậy, tri thức được trình bày không phải dưới dạng có sẵn mà là
trong quá trình người ta khám phá ra chúng. Quá trình này là một sự mô phỏng
và rút gọn quá trình khám phá thật sự.
1.2.1.5. Bản chất

Bản chất của dạy học gợi vấn đề để giúp học sinh giải quyết vấn đề là: quá
trình nhận thức độc đáo của học sinh trong đó dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của
giáo viên, học sinh nắm được tri thức và cách thức hoạt động trí tuệ mới thông
qua quá trình tự lực giải quyết các tình huống có vấn đề. Biện pháp dạy học này
phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực, vì nó khêu gợi được hoạt động
học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và
giải quyết vấn đề.
1.2.1.6. Các cách để tạo ra một tình huống gợi vấn đề
a. Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc,…)


8
Ví dụ: Giáo viên nêu bài toán tìm tất cả các
x
thoả mãn phương trình
1
sin
2
x 
, đây là phương trình mà vế phải là giá trị đặc biệt mà học sinh đã được
học. Yêu cầu học sinh dựa vào đường tròn lượng giác tìm các
x
thoả mãn
phương trình từ đó tìm ra quy luật nghiệm của phương trình.
b. Lật ngược vấn đề: tình huống đặt ra là một mệnh đề đảo của một mệnh đề đã
biết hay một sự mâu thuẫn với những tri thức có sẵn của học sinh.
Ví dụ: Nếu có
π
2π
3

xk
()k
là một nghiệm của phương trình
3
sin
2
x 
. Ngược lại, nếu yêu cầu giải phương trình
3
sin
2
x 
mà ta kết luận
nghiệm của phương trình là
π
2π
3
xk
()k
. Kết luận này còn đúng nữa hay
không?
c. Xem xét tương tự: Tình huống đặt ra dựa trên một kết quả mà học sinh đã biết
trước đó nhằm khơi dậy niềm tin vào khả năng của bản thân.
Ví dụ: Sau khi học xong phương trình
sinxa
, giáo viên đặt ra yêu cầu
học sinh tìm nghiệm của phương trình
cosxa
. Học sinh sẽ dựa vào quy luật
tìm nghiệm của phương trình

sinxa
trên đường tròn lượng giác để giải quyết
yêu cầu đó.
d. Khái quát hoá: tình huống đặt ra là yêu cầu học sinh khái quát hoá những kiến
thức riêng lẻ đã được học trước đó nhằm khắc sâu kiến thức và phát triển tư duy.
Ví dụ: Sau khi học sinh đã biết giải phương trình
sinxa
, giáo viên đưa
ra yêu cầu học sinh giải phương trình
2
sin( 5)
2
x

e. Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải: Tình huống đưa ra thường là
những bài toán khó, nâng cao nhằm giúp học sinh hiểu, khắc sâu những tri thức
đã học, và biết vận dụng nó để giải quyết các tình huống khác…
Ví dụ: Sau khi học xong phương trình
sinxa
mà học sinh chưa được học
phương trình
cosxa
. Giáo viên yêu cầu học sinh giải một phương trình
cosxa
(với
a
là một số cụ thể) theo nhiều cách (có thể vận dụng công thức


9

sin cos


với
2



hoặc dựa vào quy luật trên đường tròn lượng giác
tương tự như phương trình
sinxa
).
f. Tìm sai lầm trong lời giải: Tình huống đưa ra có chứa sai lầm, yêu cầu học
sinh tìm ra chỗ sai đó nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức đã học và giúp học sinh
tránh những sai lầm tương tự.
Ví dụ: “Yêu cầu học sinh giải phương trình
tan tan90x 

Bạn An đã giải phương trình trên như sau:

tan tan90x 
90 πxk  
,
k

Đáp án trên có đúng không? Tại sao?”
Học sinh sẽ nhận ra
tan90
không xác định nên phương trình này vô
nghiệm, do đó bạn An đã làm sai.

g. Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm: tình huống đưa ra có
chứa sai lầm, yêu cầu học sinh chỉ ra được nguyên nhân sai lầm đó và tìm cách
sửa chữa.
Ví dụ: Tình huống đưa ra như sau: “Giải phương trình
2
cos( 60 )
2
x

Một bạn đã giải phương trình trên như sau:

2
cos( 60 )
2
x
π
cos( 60 ) cos
4
x  


 
π
2π
12

7π
2π
12
xk

kZ
xk

  




  



Vậy phương trình có các họ nghiệm là:

π
2π
12
xk  
;
7π
2π
12
xk  

()k

Hãy tìm chỗ sai lầm của lời giải trên và chữa lại cho đúng”.

10
1.2.2. Tạo tình huống để học sinh khám phá kiến thức bằng các hoạt động
có hƣớng dẫn
1.2.2.1. Một số khái niệm có liên quan
- Khai phá: Là sự phát hiện ra những ý tưởng mới, những quan niệm mới
bất chợt nảy sinh trong đầu người học mà trước đó học sinh chưa hề biết, với rất
ít sự tác động, can thiệp của giáo viên trong quá trình tự học.
Giáo viên cung cấp cho học sinh những tình huống và động cơ cần thiết để
bản thân học sinh tự khai phá ra quan niệm mới, ý tưởng mới dựa vào kinh
nghiệm và tri thức sẵn có của mình. Để khai phá, học sinh phải quan sát, đo đạc,
sắp xếp, mô tả, dự báo, phỏng đoán,…
- Tìm tòi: Là quá trình học sinh sử dụng có hệ thống những hiểu biết của
mình về khoa học và lôgic để xác minh ý tưởng mới, quan niệm mới (những sản
phẩm dự báo, phỏng đoán) trong giai đoạn khai phá.
Tìm tòi mang đến sản phẩm mới. Quá trình tìm tòi là quá trình giải quyết
vấn đề, tức là tìm con đường mới mà trước đây chưa từng biết để thoát khỏi khó
khăn và vượt qua chướng ngại, để đạt được mục đích mong muốn mà không có
ngay được bởi những phương tiện thích hợp.
- Khám phá: là sự mô tả quá trình tìm tòi thông qua một hay nhiều đợt
khám phá, tiếp đến là một hay nhiều đợt tìm tòi để dẫn đến sản phẩm mới.
Công việc của giáo viên là thiết kế các hoạt động và gợi ý, hướng dẫn cho
học sinh để học sinh được đặt vào địa vị người phát hiện lại, người khám phá lại
những tri thức của loài người thông qua nhiều đợt khai phá, tiếp đến là nhiều đợt
tìm tòi qua đó chiếm lĩnh được tri thức và cách thức hành động trí tuệ mới.
1.2.2.2. Đặc điểm
- Biện pháp dạy học khám phá nhà trường không nhằm phát hiện ra những
điều mà loài người chưa biết mà nhằm giúp học sinh tự lĩnh hội được những tri
thức mà loài người tích luỹ được.
- Biện pháp dạy học khám phá thường được thực hiện qua hàng loạt các
hoạt động có hướng dẫn (một phần hay toàn bộ), trong đó giáo viên khéo léo đặt

học sinh vào địa vị người phát hiện lại, người khám phá lại những tri thức trong
kho tàng văn hoá của loài người được thể hiện trong chương trình và sách giáo
khoa, bằng những câu hỏi sao cho sau khi học sinh trả lời được những câu hỏi
đó sẽ xuất hiện con đường dẫn đến tri thức mà học sinh tự ý thức được.
- Biện pháp dạy học khám phá giúp học sinh tự tìm tòi ra kiến thức, kĩ năng


11
mới từ những kiến thức và những kinh nghiệm sẵn có của mình, bằng những
hoạt động khám phá có hướng dẫn, đồng thời nắm bắt được con đường nhận
thức, rèn luyện kĩ năng tư duy với quan niệm rằng: “Những gì diễn ra trong quá
trình học tập cũng quan trọng như kết quả học tập”.
1.2.2.3. Bản chất
Giáo viên khéo léo đặt học sinh vào địa vị người phát hiện lại, người khám
phá lại tri thức trong di sản văn hoá của dân tộc và nhân loại bằng hệ thống câu
hỏi, qua đó giúp học sinh tự tìm tòi ra kiến thức, kĩ năng mới từ những kiến thức
và kinh nghiệm vốn có của mình đồng thời nắm được con đường nhận thức, rèn
luyện kĩ năng tư duy.
1.2.2.4. Các mức độ dạy học
Mức độ 1: Giáo viên đặt vấn đề, chọn tình huống có dụng ý sư phạm,
hướng dẫn học sinh đi đến lời giải hay mục đích của bài học.
Học sinh khám phá theo hướng dẫn của giáo viên.
Mức độ 2: Giáo viên đặt vấn đề, nhưng để ngỏ phương pháp giải quyết.
Học sinh tự tìm lấy con đường giải quyết vấn đề.
Mức độ 3: Giáo viên cung cấp thông tin tạo tình huống có dụng ý sư phạm
hoặc chấp nhận tình huống do học sinh đề xuất.
Học sinh xác định vấn đề cần giải quyết trong tình huống đã cho hoặc đã đề
xuất. Tìm tòi lời giải theo con đường của mình.
1.2.3. Tổ chức cho học sinh học tập hợp tác trong nhóm nhỏ
1.2.3.1. Khái niệm

“Tổ chức cho học sinh học tập hợp tác trong nhóm nhỏ” là một biện pháp
dạy học trong đó giáo viên tổ chức và điều khiển các nhóm học sinh tiến hành
hoạt động học tập để các em cùng làm việc, cùng hợp tác, cùng giải quyết vấn
đề, cùng nhau hoàn thành nhiệm vụ học tập hoặc phấn đấu vì một mục đích
chung.
Biện pháp dạy học này nhằm hình thành ở học sinh khả năng làm việc hợp
tác, khả năng giao tiếp và khả năng xử lý tình huống. Hợp tác trong nhóm nhỏ
giúp các thành viên chia sẻ những băn khoăn, chia sẻ những kinh nghiệm của
bản thân, cùng nhau xây dựng nhận thức mới. Bằng cách nói ra những điều đang
nghĩ, mỗi người có thể nhận thấy rõ trình độ hiểu biết của mình về vấn đề nêu
ra, thấy mình cần học hỏi, bổ sung thêm điều gì. Bài học trở thành quá trình học


12
hỏi lẫn nhau chứ không phải là sự tiếp nhận thụ động từ phía giáo viên. Thành
công của giờ học phụ thuộc vào sự nhiệt tình tham gia của mọi thành viên.
1.2.3.2. Đặc điểm
- Tất cả các thành viên trong nhóm đều hiểu được rằng mình là một phần
trong nhóm đó và tất cả đều phải phấn đấu vì mục đích chung.
- Các thành viên trong nhóm phải nhận ra rằng các vấn đề mà nhóm giải
quyết là vấn đề của cả nhóm mà sự thành công hay thất bại đều liên quan trực
tiếp đến mọi thành viên trong nhóm.
- Để đạt được mục đích chung của nhóm, các thành viên trong nhóm đều
phải nỗ lực làm việc, trao đổi với nhau, đều phải tham gia thảo luận các vấn đề
của nhóm.
- Các thành viên trong nhóm đều phải nhận thức được rằng sự làm việc của
mỗi thành viên đều ảnh hưởng trực tiếp đến sự thành công của cả nhóm. Sự hợp
tác có tổ chức trong nhóm là điều vô cùng quan trọng.
1.2.3.3. Các hình thức tổ chức
- Kiểm tra bài cũ: Sau khi chia lớp thành các nhóm nhỏ từ ba đến năm

người, giáo viên đưa ra một hoặc một vài bài tập để học sinh hoạt động theo
nhóm. Bài tập đó có thể là một bài tập khó trong số các bài tập cho về nhà, hoặc
là một bài tập thích hợp để làm việc theo nhóm, hay là các bài tập trắc nghiệm.
Giáo viên quy định thời gian làm việc theo nhóm. Các thành viên trao đổi, thảo
luận với nhau để đi đến một kết quả chung duy nhất, rồi báo cáo kết quả làm
việc của nhóm mình. Giáo viên chọn bất kì một thành viên trong nhóm để báo
cáo. Do không biết trước ai sẽ là người báo cáo cho nên các thành viên đều phải
tích cực trao đổi, thảo luận, và chuẩn bị để trở thành báo cáo viên của nhóm.
Báo cáo xong các nhóm khác có thể đưa ra ý kiến thắc mắc hoặc phản đối về
vấn đề mà nhóm trình bày. Các thành viên trong nhóm vừa báo cáo vừa có
quyền bảo vệ ý kiến của mình hoặc chấp nhận ý kiến của nhóm khác. Từ báo
cáo của các nhóm, giáo viên dẫn dắt buổi thảo luận dựa trên những khó khăn,
thắc mắc mà học sinh gặp phải khi giải quyết vấn đề của bài toán.
- Dạy bài mới: Sau khi đưa ra khái niệm hay rút ra những kết luận của bài
học, giáo viên có thể rút ra ví dụ và yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức vừa
học để tự làm các ví dụ đó theo nhóm nhỏ. Điều này tạo cơ hội cho học sinh trao
đổi, làm rõ những điều còn thắc mắc từ các bạn cùng nhóm của mình.
Biện pháp dạy học này cũng thích hợp khi học sinh làm các bài tập luyện


13
tập sau các phần lý thuyết. Thay cho việc chữa bài tập trên bảng, học sinh được
chia thành các nhóm nhỏ để cùng thảo luận, trao đổi đi đến đáp án thống nhất
cho bài tập. Giáo viên sẽ dẫn dắt để học sinh trao đổi những vấn đề cần làm rõ
trong bài. Học sinh sẽ rất hứng thú với việc làm rõ những chỗ chưa hiểu.
Ngoài ra, biện pháp dạy học này còn thích hợp với những bài học được
thiết kế theo cách giáo viên đưa ra các tình huống gợi vấn đề cho các nhóm trao
đổi, tìm hiểu và tự giải quyết. Mỗi thành viên của nhóm có thể được giao một
nhiệm vụ khác nhau, sau đó mới tổng hợp lại thành phương án giải quyết vấn đề.
Do mỗi thành viên chịu trách nhiệm một phần trong nhóm cho nên họ sẽ tích

cực tham gia vào công việc chung của nhóm. Sau khi các nhóm báo cáo và góp
ý kiến cho nhau, giáo viên sẽ dẫn dắt học sinh khái quát hoá thành nội dung kiến
thức cần nắm trong bài.
Khi dạy xong nội dung bài mới, để củng cố được các kiến thức cần nắm
trong bài giáo viên có thể đặt câu hỏi chẳng hạn: “Trong bài này các em cần
nắm vững điều gì?”… và cho học sinh làm việc theo nhóm trong một khoảng
thời gian nhất định. Sau đó các nhóm báo cáo và bổ sung cho nhau để hoàn thiện
bài học. Tất nhiên, giáo viên phải chốt lại kiến thức cho học sinh. Ngoài ra, giáo
viên có thể tổ chức lớp thành các nhóm tham gia vào một trò chơi dưới dạng trắc
nghiệm nên sử dụng sự hỗ trợ của máy tính điện tử, điều đó rất có hiệu quả trong
việc phát huy TTC học tập của học sinh.
- Bài ôn tập: Để ôn tập lại các kiến thức đã học và các dạng bài tập cần
nắm, giáo viên có thể chia lớp thành các nhóm và tổ chức buổi ôn tập dưới
dạng một trò chơi. Quá trình đó có thể tiến hành như sau: giáo viên nêu vấn đề
cần giải quyết để các nhóm thảo luận và đưa ra đáp án, đội nào có tín hiệu
nhanh nhất sẽ được trả lời, trả lời đúng được điểm, trả lời sai thì đội khác có
quyền trả lời. Cứ thế lần lượt giải quyết các vấn đề trong bài ôn tập.Khi các
nhóm trả lời, giáo viên cần giải đáp những chỗ học sinh thắc mắc và nói kĩ hơn
các vấn đề khó.
Tổ chức dưới hình thức cuộc thi như trên sẽ tiết kiệm được thời gian và ôn
tập được nhiều nội dung kiến thức trong một khoảng thời gian ngắn, và học sinh
sẽ nỗ lực hết mình hơn, tham gia tích cực hơn để giành được quyền trả lời các
câu hỏi. Do tất cả các em đã tích cực học tập cho nên kết quả thu được vô cùng
lớn, các em đã tiếp thu, củng cố và khắc sâu được nhiều kiến thức.
1.2.3.4. Quy mô nhóm
Theo các nhà nghiên cứu, mỗi nhóm bao gồm từ ba đến năm thành viên có


14
những điểm không tương đồng về trình độ, các kĩ năng xã hội, tính cách, giới

tính,… Sự khác biệt này sẽ phát huy được tối đa hiệu quả làm việc trong nhóm.
1.2.3.5. Các bƣớc tiến hành
Bước 1: Làm việc chung cả lớp
- Giáo viên nêu vấn đề, xác định nhiệm vụ nhận thức cho học sinh.
- Phân chia các nhóm học sinh, giao nhiệm vụ cho các nhóm.
- Hướng dẫn cách làm việc của nhóm (nhiệm vụ, thời gian…).
Bước 2: Làm việc theo nhóm
- Phân công công việc trong nhóm.
- Từng cá nhân làm việc độc lập hoặc thảo luận trong nhóm.
- Đại diện nhóm sẽ trình bày kết quả làm việc đã thống nhất để tất cả các
thành viên trong nhóm nắm rõ.
Bước 3: Thảo luận tổng kết trước lớp
- Các nhóm lần lượt báo cáo kết quả thảo luận.
- Thảo luận, trao đổi giữa các nhóm.
- Giáo viên nhận xét và tổng kết.
1.2.3.6. Chú ý
Biện pháp dạy học “Tổ chức cho học sinh học tập hợp tác trong nhóm nhỏ”
không đơn thuần là sự điều khiển của một nhóm học sinh trong lớp để thảo luận
một hoặc một số vấn đề, cũng không có nghĩa là học sinh ngồi với nhau thành
một nhóm rồi giải quyết vấn đề chung một cách riêng lẻ, hoặc chỉ có một vài
thành viên trong nhóm giải quyết vấn đề của cả nhóm. Mà cần tập hợp được sự
đóng góp của mỗi thành viên trong nhóm, khuyến khích sự tương tác lẫn nhau
và tạo ra mối quan hệ cộng sinh giữa các thành viên trong nhóm.
Học tập hợp tác trong nhóm nhỏ không chỉ là sự hợp tác giữa trò với trò mà
còn diễn ra giữa thầy với trò, đòi hỏi sự hướng dẫn của giáo viên đối với học
sinh nhằm tạo động lực chung cho cả nhóm, phát triển các kĩ năng làm việc theo
nhóm mà học sinh cần có.
Khi đại diện nhóm trình bày kết quả làm việc, giáo viên cần động viên,
tuyên dương cả nhóm kịp thời, nên lưu ý rằng kết quả đó có được là sự nỗ lực
của tất cả các thành viên. Có như vậy thì tất cả các thành viên mới ý thức được

vai trò, trách nhiệm và tầm quan trọng của mình trong công việc chung của


15
nhóm và phát huy cao hiệu quả của việc hoạt động nhóm.
1.2.4. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập cho học sinh
Trong hoạt động học, người học là chủ thể kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ
năng, hình thành thái độ chứ không phải là nhân vật bị động hoàn toàn làm theo
lệnh của thầy giáo. Người học chỉ là đối tượng của hoạt động dạy, được cuốn
hút vào các hoạt động do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó người học
tự mình tìm ra “cái chưa biết”, “tự lực khám phá ra” những điều mà mình chưa
rõ một cách chủ động. Người học được đặt vào những “tình huống có vấn đề”
trực tiếp thực hiện các hoạt động như: nghe, nói, đọc, viết, quan sát, ghi chép,
làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết vấn đề đặt ra theo cách suy nghĩ của mình,
qua đó không những hiểu được kiến thức, kĩ năng mới mà học sinh còn biết
được cách thức để “làm ra” những kiến thức, kĩ năng đó. Người học có cơ hội
bộc lộ và phát triển khả năng của bản thân, phát huy được TTC học tập.
1.2.5. Rèn luyện phƣơng pháp tự học
Kho tàng văn hoá của nhân loại là vô tận. Khoa học - công nghệ thì ngày
càng phát triển, nhất là sự bùng nổ thông tin, làm cho lượng tri thức của loài
người tăng lên nhanh chóng. Chúng ta không thể dạy đủ tri thức để người học có
thể sống và hoạt động suốt đời.
Nếu rèn luyện cho người học có được phương pháp, thói quen, ý chí tự
học; rèn luyện cho họ kĩ năng vận dụng những điều đã học vào những tình
huống mới, biết tự phát hiện và giải quyết những vấn đề gặp phải trong cuộc
sống, đáp ứng nhu cầu của xã hội thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy
nội lực vốn có trong mỗi người. Khi đó không những người học sẽ có một kết
quả học tập cao mà họ còn dễ dàng thích ứng với cuộc sống lao động trong xã
hội. Đó chính là một phương pháp dạy học nhằm phát huy TTC học tập của
người học.

1.3. Thực trạng của việc giải phƣơng trình lƣợng giác của học sinh THPT
Để tìm hiểu thực trạng việc dạy và học ở trường THPT, tôi tiến hành
điều tra hai đối tượng giáo viên và học sinh trường THPT Đoàn Kết như sau:







16
Bảng 1: Bảng điều tra chất lượng giảng dạy của giáo viên
S
T
T
Họ và tên
Tuổi
nghề
Hệ Đào tạo
Chất lượng
giảng dạy
Danh hiệu
dạy giỏi
cấp
CĐ
ĐH
CH
G
K
TB

Tr
H
T
1
Vũ Thanh Thủy
10

+

+



+

2
n Nguyễn Thị Lan
13

+


+ +

+


3
Trần Văn Tư
5

+


+

+


4
Đào Tuấn Sơn
20

+

+



+

5
Nguyễn Thị Thúy
8

+


+

+


6
Võ Thu Huyền
8

+


+

+


7
Vũ Trúc Linh
4

+


+

+


8
Hoàng Văn Mai
29

+

+



+

9
Trần Văn Hiếu
6

+


+

+



Bảng 2: Bảng điều tra đặc điểm học lực của học sinh
STT
Lớp
Tổng
số HS
Học lực học kỳ I
Thành phần dân tộc
Giỏi

Khá
TB
Yếu
Kinh
Mường
Khác
1
11A
47
3
24
20
0
45
2
0
2
11B
40
2
20
15
3
36
4
0
3
11C
43
0

5
33
5
30
13
0
4
11D
45
0
3
35
7
33
12
0
5
11E
39
0
2
27
10
28
11
0



17

Qua điều tra cho thấy:
Một số giáo viên có thâm niên công tác lâu năm nên có nhiều kinh nghiệm
trong công tác giảng dạy. Do đó, về trình tự các bước lên lớp và phương pháp
giảng dạy bộ môn đều nắm vững. Tuy nhiên cũng có một phần không nhỏ là hệ
thống giáo viên trẻ tuổi mới bước vào nghề, chưa có kinh nghiệm, chưa hình
thành được phương pháp và kỹ năng giải toán cho học sinh. Về trình độ 100%
giáo viên được đào tạo hệ đại học chính quy. Về chất lượng giảng dạy đa số giáo
viên đạt chất lượng giảng dạy loại khá. Đặc biệt cũng có một số giáo viên đạt
loại giỏi và đạt danh hiệu dạy giỏi các cấp. Tuy số lượng chưa nhiều nhưng nó
cũng đóng vai trò tích cực trong việc cổ vũ động viên các nhà giáo không ngừng
học hỏi để nâng cao tay nghề.
Về phía học sinh, tôi có một số nhận định ban đầu như sau : có nhiều học
sinh là con em các dân tộc ít người, các em chưa có được phương pháp học tập
tốt. Bên cạnh đó là những hạn chế về tài liệu tham khảo, điều kiện học tập. Các
em chủ yếu vẫn là học sinh trung bình và việc hình thành phương pháp và kỹ
năng giải phương trình lượng giác là rất cần thiết.

18
Chƣơng 2. PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

2.1. Nội dung dạy học phƣơng trình lƣợng giác ở trƣờng phổ thông
2.1.1. Những kiến thức cơ bản về phƣơng trình lƣợng giác trong chƣơng
trình toán phổ thông
2.1.1.1. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
a. Phƣơng trình sinx = m (1)
*Trường hợp
1m 

Phương trình (1) vô nghiệm, vì
sin 1x 
với mọi
x
.
*Trường hợp
1m 

Nếu

là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là
sin m



thì
2π
sin ( )
π 2π
xk
x m k Z
xk




  

  

(1a)
- Đặc biệt:
Khi
 
0; 1m
, công thức (1a) có thể viết gọn như sau:

π
sin 1 2π
2
π
sin 1 2π ( )
2
sin 0 π
x x k

x x k k Z
x x k
   
      
  

Ví dụ: Giải phương trình:
ππ
sin 2 sin
63
xx
   
   
   
  

Giải

 
ππ
22π
63
ππ
sin 2 sin
ππ
63
2 π 2π
63
x x k
x x k Z

x x k

   

   

    
   

   

    



