Giai tich 1 04

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 1
- Mã học phần : 001002.
- Số tín chỉ : 4.

Hệ : Đại học + Cao đẳng.

- Ngày thi : 10/07/2014. Ca 1, Chiều.
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho k là số thực khác 0. Chứng minh lim

1  cos kx

x 0

x2



k2
. Hãy sử dụng kết quả đó
2

1  cos x. cos 2 x. cos 3x
.
x 0
1  cos x

để tính giới hạn : lim

Bài 2: (2,0 điểm)
Tìm công thức Maclaurin của hàm số f  x  

sin x
đến số hạng chứa x3 với phần
1 x

dư peano.
Bài 3: (2,0 điểm)

1

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng : I 

x

 sin 2x dx .
0

Bài 4: (2,0 điểm)
Áp dụng phương pháp Lagrange, hãy tìm cực trị của hàm số : f  x; y  3x  5 y  1
thoả mãn điều kiện x2  y2  1  0 .
Bài 5: (2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz , cho đường cong L xác định bởi phương trình tham số :
 x  t   et  1


 y  t   ln  t  1 ; t 


 z  t   arctan t

Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp diện của L tại gốc toạ độ
O  0; 0; 0 .

--- HẾT ---


HƯỚNG DẪN MỘT SỐ CÂU TRONG ĐỀ
Câu 1: (2,0 điểm)
- Để chứng minh biểu thức lim

x 0

x2

k2
. Ta dùng công thức vô cùng bé tương đương

2

x2
, từ đó mở rộng ra, ta được các công thức cần ghi nhớ :
2

sau : 1  cos x
a) 1  cos x

1  cos kx

x2
2

Suy ra : 1  cos kx

b) 1  cos 2 x

4 x2
 2 x2
2

c) 1  cos 2 x

9 x2
2

k2 x2
, thay vào biểu thức cần tính giới hạn ta sẽ được kết quả.
2

1  cos x. cos 2 x. cos 3x
. Ta cần nhớ công thức nhân sau :
x 0
1  cos x

- Tính lim

cos x. cos y 

1

2

cos  x  y  cos  x  y



Ngoài ra cần nhớ thêm cung liên kết : “cos đối, sin bù, phụ chéo” : cos   x   cos x
Áp dụng vào bài toán trên, ta xét biểu thức

1  cos x. cos 2 x. cos 3x
, ta có :
1  cos x

1
1
1
cos
5
x

cos
x
1

cos
x
.
cos
5
x


cos2 x


1  cos x. cos 2 x. cos 3x
2
2
2


1  cos x
1  cos x
1  cos x
1 1
1
1
1
1
1    cos 6 x  cos 4 x   cos2 x 1  cos 6 x  cos 4 x  cos2 x
2 2
2
4
4
2


1  cos x
1  cos x
1
1

1
1  cos 6 x   1  cos 4 x   1  cos2 x

4
2
 4
1  cos x
Từ đó, ta suy ra :
1  cos x.









1
1
1
2
1

cos
6
x

1


cos
4
x

1

cos
x




1  cos x. cos 2 x. cos 3x
4
4
2
lim
 lim
x 0
x 0
1  cos x
1  cos x
2
1
1  cos 6 x 1
1  cos 4 x 1
1  cos x
 lim
 lim
 lim

4 x0 1  cos x
4 x0 1  cos x
2 x0 1  cos x
36 x2
1
1
2 x2 1
1
1
1
2
 lim 2  lim 2  lim 1  cos x    36   4   2  9  1  1  11.
4 x 0 x
4 x 0 x
2 x 0
4
4
2
2

2

Câu 2: (2,0 điểm)
Dựa vào công thức khai triển Maclaurin của hàm sin x và
nhân lại, rút gọn.

1
, khai triển 2 hàm này sau đó
1 x