ôn tập giải tích 1.1

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 1 / 22
Câu 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (x
2
+ 1)e
−
x
2
2
.
Tập xác định D = R
y

= 2x.e
−
x
2
2
+ (x
2
+ 1)(−x)e
−
x
2
2
= e

−
x
2
2
x(1−x
2
)
y

= 0 ⇔ x(1 −x
2
) = 0 ⇔


x = 0
x = 1
x = −1
y

= e
−
x
2
2
(−x
2
(1 − x
2
) + 1 − 3x
2

) =
e
−
x
2
2
(x
4
− 4x
2
+ 1)
y

= 0 ⇔ x = ±

2 −
√
3 ∨ x = ±

2 +
√
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 2 / 22
Câu 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (x
2
+ 1)e
−
x
2

2
.
Tập xác định D = R
y

= 2x.e
−
x
2
2
+ (x
2
+ 1)(−x)e
−
x
2
2
= e
−
x
2
2
x(1−x
2
)
y

= 0 ⇔ x(1 −x
2
) = 0 ⇔



x = 0
x = 1
x = −1
y

= e
−
x
2
2
(−x
2
(1 − x
2
) + 1 − 3x
2
) =
e
−
x
2
2
(x
4
− 4x
2
+ 1)
y


= 0 ⇔ x = ±

2 −
√
3 ∨ x = ±

2 +
√
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 2 / 22
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 3 / 22
Không có Tiệm cận đứng
Tiệm cận ngang y = 0 vì
lim
x→∞
(x
2
+ 1)e
−
x
2
2
= lim
x→∞
x
2
+ 1
e
x

2
2
= 0
Không có tiệm cận xiên vì đã có tiệm cận ngang
về 2 phía.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 4 / 22
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 5 / 22
Câu 2
Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới
hạn bởi y = −1, y = x
2
+ 2x, x = 0, x = 3 quanh
trục Oy
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 6 / 22
Câu 2
Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới
hạn bởi y = −1, y = x
2
+ 2x, x = 0, x = 3 quanh
trục Oy
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 6 / 22
Thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn
bởi y = −1, y = x
2
+ 2x, x = 0, x = 3 quanh trục
Oy
V
Oy
= 2π


3
0
x[x
2
+ 2x − (−1)]dx =
= 2π

x
4
4
+ 2
x
3
3
+
x
2
2

3
0
=
171π
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 7 / 22
Câu 3
Cho tích phân I =
+∞

2

dx
(x
m
− 1)
√
2x
2
− 5x + 2
.
Tìm m để tích phân I hội tụ và tính tích phân khi
m = 1.
Đây vừa là tích phân suy rộng loại 1 vừa là tích phân suy
rộng loại 2. I =
3

2
dx
(x
m
− 1)
√
2x
2
− 5x + 2
+
+∞

3
dx
(x

m
− 1)
√
2x
2
− 5x + 2
=
= I
1
+ I
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 8 / 22
Câu 3
Cho tích phân I =
+∞

2
dx
(x
m
− 1)
√
2x
2
− 5x + 2
.
Tìm m để tích phân I hội tụ và tính tích phân khi
m = 1.
Đây vừa là tích phân suy rộng loại 1 vừa là tích phân suy
rộng loại 2. I =

3

2
dx
(x
m
− 1)
√
2x
2
− 5x + 2
+
+∞

3
dx
(x
m
− 1)
√
2x
2
− 5x + 2
=
= I
1
+ I
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 8 / 22
Chú ý là m = 0. Khi x → 2

+
ta có
1
(x
m
− 1)
√
2x
2
− 5x + 2
=
1
(x
m
− 1)

(2x −1)(x − 2)
∼
1
(2
m
− 1)
√
3(x −2)
1/2
⇒ I
1
hội tụ.
Xét m < 0. Khi x → +∞ ta có
1

(1 − x
m
)
√
2x
2
− 5x + 2
∼
1
√
2x
⇒ −I
2
phân kỳ ⇒ I
phân kỳ.
Xét m > 0. Khi x → +∞ ta có
1
(x
m
− 1)
√
2x
2
− 5x + 2
∼
1
x
m
√
2x

=
1
√
2x
m+1
⇒ I
2
hội
tụ ⇒ I hội tụ.
Vậy tích phân I hội tụ khi m > 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 9 / 22
Khi m = 1 ta có I =
+∞

2
dx
(x −1)
√
2x
2
− 5x + 2
.
Đặt x −1 =
1
t
⇒ dx = −
dt
t
2
,

x 2 + ∞
t 1 0
.
I =

0
1
−dt
t
2
.1/t

2(1 + 1/t)
2
− 5(1 + 1/t) + 2
=

1
0
dt
√
2 − t − t
2
=

1
0
dt

9/4 − (t

2
+ t + 1/4)
=
=

1
0
d(t + 1 /2)

9/4 − (t + 1/2)
2
=

arcsin
t + 1/2
3/2

1
0
=
= arcsin 1 − arcsin
1
3
=
π
2
− arcsin
1
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 10 / 22

Câu 4
Giải phương trình
1
y

−
xy
1 − x
2
=
arcsin x + x
1 − x
2
2
y

− 2y

− 8y = 3e
4x
1. Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với
P(x) =
x
x
2
− 1
, Q(x) =
arcsin x + x
1 − x
2

. Nghiệm của
phương trình đã cho
y = e
−

P(x)dx
.


e

P(x)dx
.Q(x)dx + C

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 11 / 22
Câu 4
Giải phương trình
1
y

−
xy
1 − x
2
=
arcsin x + x
1 − x
2
2

y

− 2y

− 8y = 3e
4x
1. Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với
P(x) =
x
x
2
− 1
, Q(x) =
arcsin x + x
1 − x
2
. Nghiệm của
phương trình đã cho
y = e
−

P(x)dx
.


e

P(x)dx
.Q(x)dx + C


.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 11 / 22
y = e
−

x
x
2
−1
dx
.


e

x
x
2
−1
dx
.
arcsin x + x
1 − x
2
dx + C

.
= |x
2
−1|

−1/2
.


|x
2
− 1|
1/2
.
arcsin x + x
1 − x
2
dx + C

=
1
√
1 − x
2
.


arcsin x + x
√
1 − x
2
dx + C

=
1

√
1 −x
2
.


arcsin xd(arcsin x) −
1
2

(1 −x
2
)
−1/2
d(1 −x
2
) + C

=
1
√
1 −x
2
.

arcsin
2
x
2
−

√
1 −x
2
+ C

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 12 / 22
2. Giải phương trình y

− 2y

− 8y = 3e
4x
.
Phương trình thuần nhất y

− 2y

− 8y = 0.
Phương trình đặc trưng
k
2
− 2k − 8 = 0 ⇔ k
1
= −2, k
2
= 4.
Nghiệm thuần nhất y
tn
= C
1

e
−2x
+ C
2
e
4x
Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
y

− 2y

− 8y = 3e
4x
có dạng y
r
= x
s
.e
4x
.A. Vì
α = 4 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng
nên s = 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 13 / 22
−8 y
r
= Axe
4x
−2 y

r

= Ae
4x
+ 4Axe
4x
1 y

r
= 4Ae
4x
+ 4Ae
4x
+ 16Axe
4x
y

r
−2y

r
−8y
r
= 6Ae
4x
= 3e
4x
⇒ A =
1
2
⇒ y
r

=
1
2
xe
4x
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã
cho y
tq
= y
tn
+ y
r
= C
1
e
−2x
+ C
2
e
4x
+
1
2
xe
4x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 14 / 22
Câu 5. Cách 1. Phương pháp khử
Giải hệ phương trình

x


(t) = 3x −3y + 4e
t
+ 12t (1)
y

(t) = 4x −5y + 8e
t
+ 8t (2)
Từ (1) ta có
y =
3x −x

+ 4e
t
+ 12t
3
⇒ y

=
3x

− x

+ 4e
t
+ 12
3
.
Thay y, y


vào phương trình (2) ta được
3x

− x

+ 4e
t
+ 12
3
= 4x−5
3x −x

+ 4e
t
+ 12t
3
+8e
t
+8t
⇒ x

+ 2x

− 3x = 36t + 12 (3)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 15 / 22
Câu 5. Cách 1. Phương pháp khử
Giải hệ phương trình

x


(t) = 3x −3y + 4e
t
+ 12t (1)
y

(t) = 4x −5y + 8e
t
+ 8t (2)
Từ (1) ta có
y =
3x −x

+ 4e
t
+ 12t
3
⇒ y

=
3x

− x

+ 4e
t
+ 12
3
.
Thay y, y


vào phương trình (2) ta được
3x

− x

+ 4e
t
+ 12
3
= 4x−5
3x −x

+ 4e
t
+ 12t
3
+8e
t
+8t
⇒ x

+ 2x

− 3x = 36t + 12 (3)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 15 / 22
Phương trình đặc trưng
k
2
+ 2k − 3 = 0 ⇒ k

1
= 1, k
2
= −3. Nghiệm
thuần nhất của phương trình (3) là
x
tn
= C
1
e
t
+ C
2
e
−3t
.
Tìm nghiệm riêng của (3). x
r
= At + B
⇒ (x
r
)

= A, (x
r
)

= 0 ⇒ A = −12, B = −12.
Vậy x
r

= −12t −12.
Nghiệm tổng quát
x = C
1
e
t
+ C
2
e
−3t
− 12t −12 ⇒ y =
3x − x

+ 4e
t
+ 12t
3
=
2
3
C
1
e
t
+ C
2
e
−3t
− 8t −8.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 16 / 22

Cách 2. Phương pháp biến thiên hằng số
Hệ thuần nhất tương ứng là

x

(t) = 3x −3y
y

(t) = 4x −5y
Phương trình đặc trưng của hệ thuần nhất




3 − λ −3
4 −5 − λ




= 0 ⇔ λ
2
+ 2λ − 3 = 0
⇔ λ
1
= 1, λ
2
= −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 17 / 22
Cách 2. Phương pháp biến thiên hằng số

Hệ thuần nhất tương ứng là

x

(t) = 3x −3y
y

(t) = 4x −5y
Phương trình đặc trưng của hệ thuần nhất




3 − λ −3
4 −5 − λ




= 0 ⇔ λ
2
+ 2λ − 3 = 0
⇔ λ
1
= 1, λ
2
= −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 17 / 22
Ứng với λ
1

= 1 ta xét hệ

2p
1
− 3p
2
= 0
4p
1
− 6p
2
= 0
⇒ P
1
=

3
2

Ứng với λ
2
= −3 ta xét hệ

6p
1
− 3p
2
= 0
4p
1

− 2p
2
= 0
⇒ P
2
=

1
2

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 18 / 22
Nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất là
X
1
(t) = e
λ
1
t
P
1
= e
t

3
2

,
X
2

(t) = e
λ
2
t
P
2
= e
−3t

1
2

.
Vậy nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất
X
0
(t) =

x
y

= C
1
e
λ
1
t
P
1
+ C

2
e
λ
2
t
P
2
= C
1
e
t

3
2

+ C
2
e
−3t

1
2

=

3C
1
e
t
+ C

2
e
−3t
2C
1
e
t
+ 2C
2
e
−3t

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 19 / 22