Tài liệu về động lực học.pdf

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG LUC HOC 1
CHƯƠNG
V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG LÝ
TƯỞNG CHUYỂN ĐỘNG (P.Tr EULER)
dt
ud
)p(gradF
G
=
ρ
−
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪

⎨
⎧
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
ρ
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==

∂
∂
ρ
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
ρ
−
⇔
)3(
z
u
u
y
u
u
x
u

u
t
u
dt
du
z
p1
F
)2(
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
y
p1
F
)1(
z
u
u
y

u
u
x
u
u
t
u
dt
du
x
p1
F
z
z
z
y
z
x
zz
z
y
z
y
y
y
x
yy
y
x
z

x
y
x
x
xx
x
¾Dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler:
x
u
u
x
u
u
z
z
y
y
∂
∂
±
∂
∂
± và
zyyz
2
x
x
y
y
zx

z
2
z
2
y
2
xx
x
)u(rotu)u(rotu
2
u
xt
u
y
u
x
u
u
x
u
z
u
u
2
u
2
u
2
u
xt

u
x
p1
F
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−

∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
∂
∂
+
∂
∂
=

∂
∂
ρ
−
Sau khi sắp xếp, trên phương x ta được:
Ta biến đổi tương tự cho p.tr (2) và (3).
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG LUC HOC 2
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=∧
−=∧
−=∧
⇔=∧
yxxyz
xzzxy
zyyzx
zyx
zyx
)u(rotu)u(rotu)u)u(rot(
)u(rotu)u(rotu)u)u(rot(
)u(rotu)u(rotu)u)u(rot(
uuu
)u(rot)u(rot)u(rot
kji
u)u(rot
GG

GG
GG
GG
Cuối cùng ta được Dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler:
u)u(rot
2
u
grad
t
u
pgrad
1
F
2
GG
G
∧+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
=
ρ

−
II TÍCH PHÂN P. TR. LAMB-GROMECO→ PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
×−+
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ρ
−
×−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂

∂
ρ
−
×−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ρ
−
dz)u(rotu)u(rotu
2
u
zt
u
z
p1
F

dy)u(rotu)u(rotu
2
u
yt
u
y
p1
F
dx)u(rotu)u(rotu
2
u
xt
u
x
p1
F
yxxy
2
z
z
xzzx
2
y
y
zyyz
2
x
x
¾Lưu chất chuyển động thế toàn miền: rot(u)=0 :(C là hằng số cho toàn miền)
¾Tích phân dọc theo đường dòng

(C là hằng số trên đường dòng)
¾Tích phân dọc theo đường xoáy
(C là hằng số trên đường xoáy).
¾Tích phân dọc theo đường xoắn ốc
(C là hằng số trên đường xoắn ốc)
•Đối với dòng ổn đònh, lưu chất nằm trong trường trọng lực, không nén đựợc:
zyx
zyx
2
uuu
)u(rot)u(rot)u(rot
dzdydx
2
u
ρ
p
gzd =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
Trong một số các trường hợp cụ thể sau, ta có tích phân phương
trình trên với vế phải = 0 ⇒P. tr. Bernoulli
C
g2

up
zhayC
2
up
gz
22
=+
γ
+=+
ρ
+
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG LUC HOC 17
Ví dụ 11. Lực F t/dụng lên vòi cứu hoả:
21101202
FFR)VV(Q
x
−+=α−αρ
Áp dụng p. tr ĐL cho thể tích KS như hình vẽ:
Chọn α
0
=1:
112x
F)VV(QR −−ρ=⇒
F
1
=p
1
A
1

; F
2
=0; áp dụng thêm p.tr năng lượng cho dòng chảy từ 1-1 tới 2-2, ta có:
( )
1
2
1
2
2
1
2
1
2
21
22
A
VV
F
g
VVp −ρ
=⇒
−
=
γ
0
2
VV
V)VV(A
A
2

)VV(
)VV(VAR
12
1121
1
2
1
2
2
1211x
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−−ρ=
−ρ
−−ρ=⇒
Như vậy lực F của lưu chất tác dụng vào vòi hướng tới và bằng R.
F
1
1
1
2
2
F
x

F
2
=0
Ví dụ 12. Lực F của dòng chảy tác dụng lên vòi uống cong 90
0
:
x202
R)V(Q =αρ
Chọn α
0
=1:
0)V(QR
2x
>ρ=⇒
Trên phương x:
Trên phương y:
1y101
FR)V(Q +=α−ρ
0F)V(QR
11y
<−−ρ=⇒
Ta suy ra: R
x
hướng tới trước, R
y
hướng xuống dưới.
Nhưvậylựccủadòngchảy tác dụng lên vòi:
Fx hướng ra sau ; Fy hướng lên trên
V
2

V
1;
p
1
=194 Kpa
x
y
1
1
2
2
D
1
=27cm
D
1
=13cm
Q=0,25 m
3
/s
F
1
F
2=0
R
x
R
y
F
y

F
x
F
Thế số vào ta được: F
x
=4709 N; F
y
=11109 N; F=12065N
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG LUC HOC 4
γ
p
z
γ
p
z)a
D
D
A
A
+=+
γ
p
z
γ
p
z)b
D
D
C

C
+=+
γ
p
z
γ
p
z)c
B
B
C
C
+=+
γ
p
z
γ
p
z)d
B
B
A
A
+=+
D
A
B
C
Dòng chảy với các đường dòng như hình vẽ, ta có:
Bình luận:

Câu nào đúng?
III. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG THỰC CHUYỂN
ĐỘNG (P.Tr Navier-Stokes)
dt
ud
)u(div(gradu)p(gradF
G
GG
=ν+∇ν+
ρ
−
3
11
2
Tích phân phương trình Navier-Stokes cho toàn dòng chảy, ta được phương trình
Bernoulli viết cho toàn dòng chất lỏng thực không nén được chuyển động ổn
đònh. Đây là một dạng của phương trình năng lượng, mà ta chứng minh được
bằng pp TTKS trong chương động học:
IV. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNG
∫∫∫∫∫
ρ
ρ
++++ρ
ρ
+++
∂
∂
=−
A
nu

w
u
dAu)
p
gzue(dw)
p
gzue(
tdt
dW
dt
dQ
22
2
1
2
1
Đây chính là phương trình năng lượngchodòngchấtlỏngkhôngổn
đònh có khối lượng riêng
ρ
thay đổi.
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG LUC HOC 5
1.Đối với dòng ổn đònh, không có sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài:
∫∫
ρ
ρ
+++=−
A
nu
dAu)

p
gzue(
dt
dW
2
2
1
∫∫∫∫
+−=+⇒
A
n
2
n
A
u
dAuρ)gZu
2
1
(
dt
dW
dAuρe
chú ý rằng:
Z = z+p/
γ
là thế năng đơn vò
dt
dW
dAue
n

A
u
+ρ
∫∫
Nhận xét thấy: là phần biến đổi năng lượng do
chuyển
động của các phần tử bên trong khối lưu chất gây ra và do ma sát của khối lưu
chất với bên ngoài. Đại lượng này khó xác đònh được bằng lý thuyết, thông
thường, nó được tính từ thực nghiệm, tuỳ theo trường hợp cụ thể. Ta đặt:
Qgh
dt
dW
dAue
fn
A
u
ρ=+
∫∫
đây chính là năng lượng bò mất đi của lưu chất qua
thể tích W trong một đơn vò thời gian.
h
f
là mất năng trung bình của một đơn vò trọng lượng lưu chất.
∫∫
+−=⇒
A
n
2
f
dAuρ)gZu

2
1
(Qhγ
Nếu xét cho một đoạn dòng chảy vào mặt cắt 1-1 và ra tại m/c 2-2 (
ρ
=const)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ+−ρ+−=ρ
∫∫∫∫
dAu)gZu(dAu)gZu(Qgh
n
A
n
A
f 1
1
2
2
2
2
2
1
2

1
Ta tính riêng các tích phân:
•Nếu trên m/c ướt A, áp suất
phân bố theo quy luật thủy
tónh.
Q)
p
gz(QgZdQ)gZ(
A
ρ
ρ
+=ρ=ρ
∫∫
Vthật
A
n
ĐNQVĐNdAuu =ρ>=ρ
∫∫
22
2
1
2
1
•Tíchphânthànhphần
động năng:.
Đưa vào hệ số hiệu chỉnh động năng α:
Vthật
A
n
ĐNQVĐNdAuu α=ρα==ρ

∫∫
22
2
1
2
1
với α
tầng
=2; α
rối
=1,05 - 1,1
Qρ)gZVα
2
1
(Qρ)gZVα
2
1
(Qghρ
2
2
221
2
11f
+−+=
21
2
222
2
2
111

1
22
−
+
α
+
γ
+=
α
+
γ
+
f
h
g
Vp
z
g
Vp
z
hay:
Như vậy:
Đây chính là ph.tr. năng lượng cho toàn dòng chảy ổn đònh chất lỏng thực không
nén được nằm trong trường trọng lực từ m/c/1 tới m/c 2 (không có nhập hoặc tách
lưu)
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG LUC HOC 6
Nếu dòng chảy có nhập hoặc tách lưu (
ρ
=const)

∑∑∑
=ρ+α−ρ+α
fjjjj
jra
iiii
ivào
HQ)gZV(Q)gZV(
22
2
1
2
1
ΣH
f
là tổng năng lượng dòng chảy bò mất đi khi chảy từ các m/c vào đến các m/c ra
(trong 1 đ.vò thời gian).
2. Trong trường hợp dòng chảy có sự trao đổi năng lượng với bên ngoài (được
bơm cung cấp năng lượng H
b
; hay dòng chảy cung cấp năng lượng Ht cho
turbine), thì ph. tr trên có dạng tổng quát hơn:
21
2
222
2
2
111
1
22
−

+
α
+
γ
++=
α
+
γ
++
fTB
h
g
Vp
zH
g
Vp
zH
H
b
là năng lượng do bơm cung cấp cho một đơn vò trọng lượng dòng chảy khi
dòng chảy qua bơm - Ta gọi là cột áp bơm .
H
t
là năng lượng mà một đơn vò trọng lượng dòng chảy cung cấp cho turbine khi
qua turbine.
V. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNG
B’
h
A
B

A’
Ví dụ 1: Đo lưu tốc điểm của dòng khí bằng ống Pito vòng
Áp dụng ph.tr Bernoulli trên đường dòng từ A tới B
(bỏ qua mất năng):
g
up
z
g
up
z
B
k
B
B
A
k
A
A
22
22
+
γ
+=+
γ
+
với u
B
=0, suy ra:
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+=
k
A
A
k
B
B
A
p
z
p
z
g

u
2
2
Áp dụng phương trình thuỷ tónh lần lượt cho các cặp điểm AA’ (trong môi trường
khí), A’B’ (trong môi trường lỏng); BB’ (trong môi trường khí) ta có:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

γ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+
k
B
B
k
'B
'B
k
A

A
k
'A
'A
p
z
p
z
p
z
p
z
Suy ra
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
γ
γ
=
γ
γ
+−=
γ
−

+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+
1
k
l
k
l
k
'A'B
'A'B
k

A
A
k
B
B
h
h
h
pp
)zz(
p
z
p
z
Như vậy:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
γ
γ
= 12
k
l
A

ghu
Thựctế do mấtnăng nên vận tốc
thực tại điểm A lớn vận tốc tính
từ công thức bên.
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG LUC HOC 7
Ví dụ 2: Đo Lưu lượng qua ống Ventury
D
d
1
1
2
2
h
γ
n
γ
d
A
B
Áp dụng p. tr năng lượng cho dòng chảy
từ m/c 1-1 đến 2-2 (bỏ qua mất năng):
g
Vp
z
g
Vp
z
nn
22

2
222
2
2
111
1
α
+
γ
+=
α
+
γ
+
(α1,α2=1): Suy ra:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
γ
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
nn
p
z
p
z
AA
g
Q
2
2
1
1
2
1
2
2

2
11
2
Hay:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
γ
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
n
d
gh
AA
AA

Q 12
2
2
2
1
2
1
2
2
Lưu lượng Q ở trên tính được không kể tới tổn thất năng lượng,
Thực tế lưu lượng Q
thực
nhỏ hơn, nên cần hiệu chỉnh lại lưu lượng sau khi
tính Q
tính
Hiệu chỉnh bằng công thức trên như sau: Q
thực
= CQ
tính
vớiC<1 làhệsốhiệuchỉnhVentury (do mất năng sinh ra).
bao nhiêu?
HD:
Lưu chất chỉ ch. động từ chỗ có e cao tới e thấp, vì vậy để nước không bò hút len thì năng
lượng tạimặtthốngcủabìnhnước: z
0
=e
0
< =e
A
= z

A
+p
A
/γ; suy ra p
A
/γ > = -(h);
Ta ghi nhận (pA/γ)
min
= -(h).
Lư rằng trên mặtcắt ướt1-1 tại A áp suấtphânbố theo quy luậtthủytĩnh, nghĩalà:
z1+p1/γ= zA+pA/γ.
Để tìm Q ứng với(pA/γ)
min
= -(h), ta viếtp.trnăng lượng cho dòng chảytừ mặtcắt1-1 (chỗ
co hẹp) tớimặtcắt2-2 (chỗ mở rộng)
Câu 17:
Bài 3
: Nước chảy trong đường ống có tiết
diện co hẹp đường kính d như hình vẽ, cuối
ống nước chảy ra ngoài khí trời với đường
kính D = 2d. Tại mặt cắt co hẹp có gắn một
ống nhỏ thông với bình đựng nước từ ngoài.
Mặt thoáng của nước ở ngoài tiếp xúc với khí
trời và thấp hơn trục ống một đoạn h.
Cho d=10 cm; h=0,5m. Bỏ qua mất năng. Gọi
p
min
là áp suất tối thiểu trong đoạn ống co hẹp để nước có thể bò hút lên. Lưu lượng ứng với áp suất
p
min

là:

D
d
h
V
2
Hình câu 17
Ví dụ 2b:
ĐS: p
min
= 0,5 m nước; Q=25,41 lít/s:
A
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
DONG LUC HOC 8
Ví dụ 3: Dòng chảy ổn đònh qua lỗ thành mỏng:
H
c
c
A
0
0
f
ccc
c
h
g
Vp
z
g

Vp
z +
α
+
γ
+=
α
+
γ
+
22
22
000
0
Năng lượng của dòng chảy từ bình ra ngoài chủ
yếu bò mất đi là do co hẹp khi qua lỗ, đây là loại
mất năng cục bộ, nó tỷ lệ với V
c
2
tại mặt cắt co
hẹp c-c (học trong chương đường ống). Ta có thể
viết lại:
g
V
g
Vp
z
g
Vp
z

cccc
c
222
222
000
0
ξ+
α
+
γ
+=
α
+
γ
+
V
0
=0, p
0
=0; Suy ra:
gH2CgH2
1
V
Vc
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
ξ+α
=
với C
V
< 1 gọi là hệ số lưu tốc.
Lưu lượng:
gH2ACgH2ACgH2CAgH2
1
AVAQ
dVVcccc
=ε==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ξ+α
==
Với A là diện tích lỗ tháo, ε là hệ số co hẹp,
C
d
(<C
V
) làhệsốlưulượng

Ví dụ 4: Dòng chảy ổn đònh qua đập tràn thành mỏng:
H
θ
h
dh
0
B
h
Xem dòng chảy là tập họp của những
dòng chảy qua lỗ thành mỏng có bề rộng
B, cao dh nằm ở toạ độ h trên trục toạ độ
Oh như hình vẽ.
Lưu lượng qua lỗ tháo:
dh)hH(g2)h(
2
tg2C)hH(g2BdhCdQ
dd
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ
=−=
∫
−
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
θ
=
H
d
dh)hH(g)h(tgCQ
0
2
2
2
Để lấy tích phân trên ta đặt:
dh)hH(dv;hu −==
Kết quả cho:
gHHtgCQ
d
2
215
8
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ
=