[HOT] Ngân hàng ĐỀ Trắc Nghiệm TOÁN HÌNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN File Word Có hướng dẫn Giải chi tiết

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
ABCD. A′B′C ′D′

a

N P
Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều
có cạnh đáy bằng . Gọi
, ,
lần lượt là
( MNP ) ( ACC ')
AD DC A ' D '
trung điểm của
,
,
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
.
a 3
a
a
3
4
3
A.
.
B. .

C.
.
a 2
4
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
( MNP ) ( ACA′)
Ta có:
//
1
a 2
⇒ d ( ( MNP ) ; ( ACA′ ) ) = d ( P; ( ACA′ ) ) = OD′ =
2
4
.
M

ABC. A′B′C ′
60°
Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác
có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng
,
ABC
A′
A B C
đáy
là tam giác đều và
cách đều , , . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

a 3
2a
a
a 2
2
3
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Vì

VABC
A′H

đều và

AA′ = A′B = A′C ⇒ A′ABC

là hình chóp đều.

Gọi
là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm
)
A′AH = 60°

.
a 3
A′H = AH . tan 60° =
3=a
3
.

VABC

,

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Quan hệ vuông góc – HH 11
ABC. A1 B1C1
a.
Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác
có cạnh bên bằng
Các cạnh bên của lăng trụ tạo với
( A1B1C1 )
B1C1.
60o.
A
mặt đáy góc
Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng

là trung điểm của
Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?
3
a
2
a
a
.
a
.
.
.
2
3
2
2
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
· ' AH = 60o.
A 'H ⊥ ( ABC ) → A
Ta có:

(

)

d ( A' B 'C ') ,( ABC ) = A 'H = A ' A.cos60o = a

3
.
2

Chọn đáp án A.

ABC. A′B′C ′

a
có tất cả các cạnh đều bằng . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt
( A′B′C ′ )
30°
B′C ′
H
A
phẳng đáy bằng
. Hình chiếu
của
trên mặt phẳng
thuộc đường thẳng
. Khoảng
cách giữa hai mặt phẳng đáy là:
a
a 3
a
a 2
.
.
.

.
3
2
2
2
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Câu 4: Cho hình lăng trụ

 Do hình lăng trụ
a
bằng suy ra

ABC. A′B′C ′

có tất cả các cạnh đều

AB′ = AC ′ ⇒ B′H = HC ′ ⇒ A′H =

a 3
a
⇒ AH = .
2
2

Chọn đáp án C.

Câu 5: Cho hình lập phương

ABCD. A′B′C ′D′

a 3
A.

.

B.

a 2

.

cạnh

a.

( AB′C )
Khoảng cách giữa
a
3
C. .

và ( A′DC ′ )
bằng :

D.

a 3
3

.

Hướng dẫn giải:
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
B
C

A

Quan hệ vuông góc – HH 11

D
B′

C′

I
O′
A′

d ( ( AB′C ) , ( A′DC ′ ) ) = d ( B′, ( A′DC ′ ) ) = d ( D′, ( A′DC ′ ) )

D′

Ta có
A′B′C ′D′
I
Gọi
là tâm của hình vuông
. Gọi là hình
O′D
D′
I
D′
Chiếu của
trên
, suy ra là hình chiếu của
( A′DC ′)
trên
.
d ( AB′C ) , ( A′DC ′ )  = d  D′, ( A′DC ′ )  =

O′

D′I =

D′O′.D′D
D′O′ + D′D
2

2

=

a 2
.a
2
2

a 2
2

÷ +a
 2 

=

a 3
.
3

Chọn đáp án D.

ABCD. A′B′C ′D′

a.

M , N , P 

Câu 6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
Gọi

lần lượt là
′
MNP
và
ACC
.
(
) (
)
AD, DC , A′D′. 
trung điểm của
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
a
a 2
a 3
a
.
.
.
.
3
4
3
4
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
( ACC ′) ≡ ( ACC ′A′)

Nhận xét
O = AC ∩ BD, I = MN ∩ BD
Gọi
OI ⊥ AC , OI ⊥ AA′ ⇒ OI ⊥ ( ACC ′A′)
Khi đó,
1
a 2
d ( ( MNP ), ( ACC ′) ) = OI = AC =
4
4
Suy ra
Chọn đáp án B.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

ABCD. A′B ′C ′D ′

Câu 7: Cho hình lập phương
( ACD ′)
( BA′ C ′)
và
bằng
D′
A. khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng

B
D′
B. khoảng cách giữa hai điểm
và
.
AC
C. khoảng cách giữa hai đường thẳng
và

có cạnh bằng
A′ C ′

Quan hệ vuông góc – HH 11

a.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

.

A′ C ′

D. khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác
Hướng dẫn giải:
( ACD′) / /( BA′C ′)
Ta có
.
DB′ ⊥ ( ACD′)
DB′ ⊥ ( BA′C ′)
(đã chứng minh trong SGK)

Đáp án D.

.
ACD ′

và

BA′ C ′

ABCD. A′ B ′C ′D ′
a.
Câu 8: Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt
(CB ′D ′ )
( BDA′)
phẳng
và
bằng
a 2
a 3
2a 3
a 6
2
3
3
3
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
( A ' BD ) / /( B ' CD ')
Vì
nên ta có:
d ( ( A ' BD ) , ( B ' CD ' ) ) = d ( C ; ( A ' BD ) ) = d ( A; ( A ' BD ) )
.
AB = AD = AA ' = a
A ' B = A ' D = BD = a 2
Vì
và
nên
A. A ' BD
là hình chóp tam giác đều.
A ' B, G
I
A ' BD
Gọi là trung điểm
là trọng tâm tam giác
.
d ( A; ( A ' BD ) ) = AG
Khi đó ta có:
3 a 6
DI = a 2.
=
2

2
A ' BD
Vì tam giác
đều nên
.
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2
a 6
DG = DI =
3
3
Theo tính chất trọng tâm ta có:
.
AGD
Trong tam giác vuông
có:

Quan hệ vuông góc – HH 11

6a 2 a 3
AG = AD − DG = a −
=
9
3
2

2

2

. Chọn B
( ACB′ ) và ( DA′C ′ )
a.
ABCD. A′ B ′C ′D ′
Câu 9: Cho hình lập phương
cạnh Khoảng cách giữa
bằng
a
a 3
a 3
a 2
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
Hướng dẫn giải:
( ACB ') / /( DA ' C ')
Vì
nên ta có:
d ( ( ACB ') , ( DA ' C ') ) = d ( D; ( ACB ' ) ) = d ( B; ( ACB ' ) )

.
BA = BB ' = BC = a
AB ' = AC = CB ' = a 2
Vì
và
nên
B. ACB '
là hình chóp tam giác đều.
AC , G
ACB '
I
Gọi là trung điểm
là trọng tâm tam giác
.
d ( B; ( ACB ') ) = BG
Khi đó ta có:
3 a 6
B ' I = a 2.
=
ACB '
2
2
Vì tam giác
đều nên
.
2
a 6
B 'G = B ' I =
3
3

Theo tính chất trọng tâm ta có:
.
BGB '
Trong tam giác vuông
có:
BG = BB '2 − B ' G 2 = a 2 −

6a 2 a 3
=
9
3
. Chọn C.
ABCD. A ' B ' C ' D '

AB = 4, AD = 3.
( ACD ')
Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật
có
Mặt phẳng
tạo với
o
60 .
mặt đáy một góc
Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
6 3
12 3
4 3
5 3
5
5

5
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
O
AC
D
Gọi là hình chiếu của
lên
.
( ACD ') ∩ ( ABCD ) = AC

 AC ⊥ DO

 AC ⊥ D ' O ( AC ⊥ ( ODD ' ) ⊃ OD ' )
Ta có

· ' OD = 600
⇒ (·
D ' AC ) , ( ABCD ) = D

Quan hệ vuông góc – HH 11

)

(

AC = 3 + 4 = 5
2

DO =

2

;

AD.DC 12
=
AC
5
DD ' = DO.tan 600 =

Khoảng cách giữa hai mặt đáy là
Chọn đáp án B.

12 3
5

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
Phương pháp:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:
MN
b
a
 Dựng đoạn vuông góc chung
của và . Khi đó
d ( a, b ) = MN
. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1
d(D, D ') = d(D ',(a))
(α )
∆
∆'
chứa đường thẳng và song song với
. Khi đó
Chọn mặt phẳng

Phương pháp 2

Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó
là khoảng cách cần tìm.

Phương pháp 3 Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
∆
∆'
Trường hợp 1: và
vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
(α )
∆'
∆
I
Bước 1: Chọn mặt phẳng
chứa
và vuông góc với tại .
(α )
IJ ⊥ ∆ '
Bước 2: Trong mặt phẳng
kẻ
.
d ( ∆, ∆ ') = IJ
IJ
Khi đó
là đoạn vuông góc chung và
.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 7

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Quan hệ vuông góc – HH 11
∆
∆'
Trường hợp 2: và
chéo nhau mà không vuông góc với nhau
(α )
∆'
∆
Bước 1: Chọn mặt phẳng
chứa
và song song với .
(α )
d
M ∈∆
D
Bước 2: Dựng
là hình chiếu vuông góc của
xuống
bằng cách lấy điểm
dựng đoạn
MN ⊥ ( α )
d
N
∆
, lúc đó là đường thẳng đi qua
và song song với .
HK PMN
H = d ∩∆'

Bước 3: Gọi
, dựng
d ( ∆, ∆ ') = HK = MN
HK
Khi đó
là đoạn vuông góc chung và
.

Hoặc

(α ) ⊥ ∆

I
Bước 1: Chọn mặt phẳng
tại .
(α )
d
∆'
Bước 2: Tìm hình chiếu của
xuống mặt phẳng
.
(α )
IJ ⊥ d
J
∆
∆'
H
Bước 3: Trong mặt phẳng
, dựng
, từ dựng đường thẳng song song với cắt

tại ,
HM P IJ
H
từ
dựng
.
d (∆, ∆ ') = HM = IJ
HM
Khi đó
là đoạn vuông góc chung và
.

 Sử dụng phương pháp vec tơ

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

a)

MN

là đoạn vuông góc chung của

AB

và

CD

khi và chỉ khi

b) Nếu trong
uuur ur
OH .u1 = 0
 uuur uu
r
⇔ OH .u2 = 0
H ∈ α
( )


OH = d ( O, ( α ) )

ur uu
r
u1 , u2

(α)
có hai vec tơ không cùng phương

Quan hệ vuông góc – HH 11
uuuu
r
uuu
r
 AM = x AB

uuur
 uuur
CN = yCD
r uuur
 uuuu
 MN . AB = 0
r uuur
 uuuu
MN
.CD = 0


thì

uuur ur
OH ⊥ u1
 uuur uu
r
⇔ OH ⊥ u2
H ∈ α
( )


.

S . ABCD

ABCD

O, SA

Câu 1: Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông tâm
vuông góc với đáy
( ABCD ) .
K, H
O
SD.
A
Gọi
theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của
và
lên
Chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định sau?
A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK. B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD.
C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH. D. Các khẳng định trên đều sai.
Hướng dẫn giải:
AK ⊥ AC , do AK ⊥ AB ⇒ AK ⊥ ( ABC )
Nếu
SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ SD ⇒ ∆SAD
⇒ AK ≡ SA
(vì
có 2 góc vuông (vô
lý).
CD ⊥/ AC
Theo tính chất của hình vuông
.
AC ⊥ OH , do AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ ( SBD) ⇒ AC ⊥ SO ⇒ ∆SOA

Nếu
có 2
góc vuông (vô lý)
AC ⊥
/ AK , AC ⊥/ CD, AC ⊥/ OH
Như vậy
Chọn đáp án D.
ABCD
a
CD
AB
Câu 2: Cho tứ diện đều
có cạnh bằng . Tính khoảng cách giữa
và
.
a 3
a 2
a 2
a 3
2
3
2
3
A.
B.
.
C.
.
D.
.

Hướng dẫn giải:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Chọn C.
CD
M N
AB
Gọi
, lần lượt là trung điểm của
và
.
a 3
NA = NB =
ANB
NM ⊥ AB
2
Khi đó
nên tam giác
cân, suy ra
d ( AB; CD ) = MN
NM ⊥ DC
. Chứng minh tương tự ta có
, nên
.
S ABN = p ( p − AB ) ( p − BN ) ( p − AN )

Ta có:
=

Quan hệ vuông góc – HH 11

(p là nửa chu vi).

a+a 3 a+a 3 a a
2a
.
. . =
2
2
2 2
4

.
S ABN =

Mặt khác:

1
1
2a
AB.MN = a.MN ⇒ MN =
2
2
2

.

3a a
a 2
MN = AN 2 − AM 2 =
−
=
4
4
2
2

Cách khác. Tính

2

SA ⊥ ( ABCD )

.

AC = a 5
ABCD
Câu 3: Cho hình chóp
có
, đáy
là hình chữ nhật với
và
SD
BC
BC = a 2
. Tính khoảng cách giữa
và

.
3a
2a
a 3
a 3
4
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
BC ( SAD )
Ta có:
//
⇒ d ( BC ; SD ) = d ( BC ; ( SAD ) ) = d ( B; ( SAD ) )
.
 AB ⊥ AD
⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( B; ( SAD ) ) = AB

 AB ⊥ SA
Mà
.

S . ABCD

Ta có:

AB = AC 2 − BC 2 = 5a 2 − 2a 2 = 3a

.

ABCD. A′B′C ′D′
a
AC
BB '
Câu 4: Cho hình lập phương
có cạnh bằng . Khoảng cách giữa
và
bằng:
a
a
a 2
a 3
2
3
2
3
A. .
B. .
C.
.
D.
.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
1
a 2
d ( BB′; AC ) = d ( BB′; ( ACC ' A′ ) ) = DB =
2
2
Ta có:
.

ABCD. A′B′C ′D′

Câu 5: Cho hình lập phương
bằng:
3
2
3
2
A.
.
B.
.
Hướng dẫn giải:

Chọn B.

d ( AA′; BD′ ) = d ( BB′; ( DBB′D′ ) ) =

Ta có:

có cạnh bằng

C.

1
2
AC =
2
2

1

Quan hệ vuông góc – HH 11

(đvdt). Khoảng cách giữa

2 2
5

.

D.

AA '

3 5
7

và

BD '

.

.

a
ABCD
CD
AB
Câu 6: Cho tứ diện đều
có cạnh bằng . Khoảng cách giữa hai cạnh đối
và
bằng
a 2
a 3
a
a
2
2
2
3
A.
.

B.
.
C. .
D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
CD
M N
AB
Gọi
, lần lượt là trung điểm của
và
.
a 3
NA = NB =
ANB
NM ⊥ AB
2
Khi đó
nên tam giác
cân, suy ra
.
d ( AB; CD ) = MN
NM ⊥ DC
Chứng minh tương tự ta có
, nên
.
S ABN = p ( p − AB ) ( p − BN ) ( p − AN )
Ta có:
=

(p là nửa chu vi).

a+a 3 a+a 3 a a
2a
.
. . =
2
2
2 2
4

.
S ABN =

Mặt khác:

1
1
2a
AB.MN = a.MN ⇒ MN =
2
2
2

.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Quan hệ vuông góc – HH 11
ABCD.A 'B 'C 'D '.
Câu 7: Cho khối lập phương
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
A'C '
AD
nhau
và
là :

AA'.
BB '.
A.
B.
Hướng dẫn giải:
 AA ' ⊥ ( A ' B ' C ' D ' )
→ AA ' ⊥ A ' C '

 A ' C ' ⊂ ( A ' B ' C ' D ' )
 AA ' ⊥ ( ABCD )
→ AA ' ⊥ AD

 AD ⊂ ( ABCD

C.

DA'.

D.

DD '.

Chọn đáp án A.

S . ABCD
a.
SA
Câu 8: Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh
Đường thẳng
vuông góc với mặt
SA = a.
SB
CD
phẳng đáy,
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
nhận giá trị nào trong các giá trị
sau?
a 3.
a.
2a.
a 2.
A.
B.
C.
D.

Hướng dẫn giải:
d ( CD, SB ) = d ( CD, ( SAB ) ) = AD = a.
Ta có:
Chọn phương án A.

Câu 9: Cho tứ diện
vuông góc với nhau,
bao nhiêu?

OA, OB, OC

OABC

trong đó
OA = OB = OC = a.

đôi một
Gọi

I

là trung điểm

a
5
A. a
B.
C.
Hướng dẫn giải:
J

OB
OH
AJ
H
Gọi là trung điểm
. Kẻ
vuông góc
tại .

BC.

Khoảng cách giữa

a 3
2

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

D.

AI và OC

bằng

a
2

Trang 12

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A

Quan hệ vuông góc – HH 11

H
C

O
J

I
B

OH =

Ta có:
Do đó:

Tam giác

OA.OJ
OA + OJ
2

OC //IJ

2

=

a.

a
2
2

a
a2 +  ÷
2

=

AOJ

vuông tại

O

, có

OH

là đường cao

a
5

OC // ( AIJ )
nên

d ( AI , OC ) = d ( OC , ( AIJ ) ) = d ( O, ( AIJ ) ) = OH =

a 5
.
5

Chọn đáp án B.
B, AB = BC = a, AD = 2a, SA
S . ABCD
A
Câu 10: Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại và
SA = a.
SB
CD.
vuông góc với mặt đáy và
Tính khoảng cách giữa
và
a 2
a
a 3
a 2
4
2
3
2
A.
.
B. .

C.
.
D.
.
Hướng dẫ giải:
H
Gọi
là
trung
điểm
d(CD;SB) = d(D; (SBH)) = d(A; (SBH))

AD

ta

có:

Mà
1
1
1
1
3
a 3
=
+
+
= 2 → d(CD;SB) =
2

2
2
d (A;(SBH)) AS AB AH
a
3
2

Chọn đáp án

C

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Quan hệ vuông góc – HH 11
ABCD
SAD
Câu 11: Cho hình vuông
và tam giác đều
nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau
AD = a.
SB.
AD
và
Tính khoảng cách giữa
và
a 21

a 21
a 15
a 15
3
7
5
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
E, F
AD, BC
Gọi
lần lượt là trung điểm
. Ta có:
AD, BC ⊥ (SFE)
SF
SB
, suy ra
là hình chiếu của
lên mặt
(SEF)
phẳng
Nên

d(AD;SB) = d(E;SF) =

Chọn đáp án

SE.FE
SE 2 + FE 2

=

a

3
a
2

3 2 2
a +a
4

21
a
7

=

B

AA1 = 2a, AD = 4a

ABCD. A1 B1C1 D1
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật

có
A1 B1

Khoảng cách giữa hai đường thẳng
3a.
2a 2.
A.
B.
B
A

M

là trung điểm

AD.

C1M
và

bằng bao nhiêu?
a 2.
C.

D.

2a.

C

M

D

B1

A1

. Gọi

C1

D1

Hướng dẫn giải:
A1B1 //C1D1
Ta có
suy ra
d ( A1 B1 , C1M ) = d ( A1 B1 , ( C1 D1M ) ) = d ( A1 , ( C1D1M ) )
AA1 = 2a, AD = 4a
Vì

và

M

là trung điểm

AD

A1M ⊥ ( C1 D1M )

A1M ⊥ D1M
nên

, suy ra

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Quan hệ vuông góc – HH 11
⇒ d ( A1 , ( C1 D1M ) ) = A1 M = 2a 2
.
Chọn đáp án B.
a.
ABCD. A′ B ′C ′D ′
Câu 13: Cho hình lập phương
cạnh bằng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
′
′
′
AD
AB

và
bằng bao nhiêu ?
a 2
a 3
a 3
a 2
2
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
A' B ' ⊥ A' A
⇒ A ' B ' ⊥ ( ADD ' A ' )

A' B ' ⊥ A' D '
Ta có
.
H
AD '
A' D
Gọi
là giao điểm của
với

.
⇒ A ' H ⊥ AD '
 A ' H ⊥ AD '
a 2
⇒ d ( A ' B '; AD ' ) = A ' H =

2
A' H ⊥ A' B '

.

Chọn B.
ABCD. A′ B ′C ′D ′

Câu 14: Cho hình lập phương
a
a
2
3
A. .
B. .
B

a.

BB ′ và AC

có cạnh bằng Khoảng cách giữa
a 2
a 3

2
3
C.
.
D.
.

bằng

C

I
A

D
B′

C′

A′

Vì
Gọi

D′

( AA′C ′C ) ⊃ AC

 ( AA′C ′C ) //BB′

I = AC ∩ BD

lập phương nên

Hướng dẫn giải:

d ( BB′; AC ) = d ( BB′; ( AA′C ′C ) )

nên
ABCD. A′B′C ′D′

. Vì
BI ⊥ ( AA′C ′C )

.
là hình

.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
a 2
d ( BB′; AC ) = d ( BB′; ( AA′C ′C ) ) = IB =
2
Suy ra
.

Chọn đáp án C.
Câu 15: Hình hộp chữ nhật
đường thẳng
A.

và

AC

B ′D ′

ABCD. A′B ′C ′D ′

có

Quan hệ vuông góc – HH 11

AB = 3, AD = 4, AA′ = 5.

Khoảng cách giữa hai

bằng bao nhiêu ?

.

B.

.

C.

41

34

5

.

D.
B

Hướng dẫn giải:
Ta có

( ABCD ) // ( A′B′C ′D′ )

 AC ⊂ ( ABCD ) ; B′D′ ⊂ ( A′B′C ′D′ )

8

.
C

A

D
B′

⇒ d ( AC ; B′D′ ) = d ( ( ABCD ) ; ( A′B′C ′D′ ) ) = AA′ = 5

C′

A′

D′

Chọn đáp án C.

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
A.

ah

.

B.

SA

và

a

và chiều cao bằng

h.

Tính khoảng

BD.

.

ah

3a 2 + h 2

có cạnh đáy bằng

S . ABCD

C.

a 2 + h2

.

ah

D.

2a 2 + h 2

ah

.

a 2 + 2h 2

Hướng dẫn giải:
Gọi
. Gọi
là hình chiếu của
lên
H
O = AC ∩ BD
O

SA

. Vì

S . ABCD

S

là hình chóp đều nên

BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ OH

. Suy ra

OH
H

là đoạn vuông góc chung của

BD, SA.

A

.
OH =

OS .OA
OS + OA
2

2

a 2.h

=

2h + a
2
2

2

2

=

ah
2h + a
2

D
O

B

C

2

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Chọn đáp án D.
Câu 17: Cho hai tam giác đều

và

ABC

ABD

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng
A.

.

B.

x 6
4

cạnh
và

AB

x

CD

.

nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
bằng
C.

x 3
4

.

AB ⊥ ( CDI )

và

và hai tam giác

CI = DI

chung
Của hai đường thẳng
Vì tam giác

CDI

ABC

suy ra

D.

x 3
3

Hướng dẫn giải:
Gọi
lần lượt là trung điểm của
.
I, J
AB, CD

( ABC ) ⊥ ( ABD )

Quan hệ vuông góc – HH 11

IJ

và

.
x 6
2

C

ABD

J

đều nên

là đoạn vuông góc

D

A
I

AB, CD

vuông tại

I

.
và

B
J

là trung điểm của

Nên

CD

.
2

x 3
2. 
÷
CD
2CI 2
x 6
 2 
IJ =
=
=
=
2
2
2
4
Chọn đáp án A.
Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ( ABCD )

và SA = a. Tính theo a khoảng cách giữa SB và CD.
a 2
a 3
A. a 2 .
B. a .
C. 2 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải:
S
Ta có
d ( SB; CD ) = d ( CD; ( SAB ) ) = d ( D; ( SAB ) ) = DA = a
.
Chọn đáp án B.

A

B

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

D
C

Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA
vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SA và BD theo a.
2a
2a
a 3
A. 2 .
B. a 2 .
C. 3 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải:
S
SA ⊥ ( ABCD )
BD ⊂ ( ABCD )
Vì
tại A và
nên
AB. AD
2a 2
2a 5
d ( SA; BD ) = d ( A; BD ) =
=
=
5 .
AB 2 + AD 2
5a 2
Chọn đáp án D.
A

D

B

C

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a,
SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa AD và SB.
a 2
a
a 3
a 2
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải:
S
SB ⊂ ( SAB )
AD ⊥ ( SAB )
Vì
tại A và
nên
AS . AB
a 2
d ( AD; SB ) = d ( A; SB ) =
=
2 .
AS 2 + AB 2
H
Chọn đáp án D.

A

D

B

C

Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết hai mặt bên ( SAB) và
( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2. Khoảng cách giữa AD và SB là
a 2
B. 2 .

A. a .
Hướng dẫn giải:
Vì hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD) cùng vuông góc
SA ⊥ ( ABCD )
với mặt phẳng đáy nên
.
AD ⊥ ( SAB )
SB ⊂ ( SAB )
Vì
tại A và
nên
AS . AB
a 6
d ( AD; SB ) = d ( A; SB ) = AH =
=
2
2

3 .
AS + AB

a 6
C. 3 .

a 3
D. 4 .
S

H

A

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:
B

D
C

Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Chọn đáp án C.

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 22: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên
( SAB) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2. Khoảng cách giữa SO và AB là

a 2
a 6
a 3
A. a .
B. 3 .
C. 3 .
D. 4 .
Hướng dẫn giải:
S
E
AD
Gọi là trung điểm của
khi đó
d ( SO; AB ) = d ( AB; ( SOE ) ) = AH
, với H là hình
chiếu của A lên SE .
H
a
a 2.
EA.ES
2 =a 2
E
AH =
=
A
D
3
EA2 + ES 2
a2
2

2a +
O
4
Ta có
.
B
C
Chọn đáp án B.
Câu 23: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên
( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2. Khoảng cách giữa BD và SC là
A. độ dài của đoạn thẳng OA .
B. độ dài của đoạn thẳng BC .
C. khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC .
D. khoảng cách từ điểm S đến đoạn BD .
Hướng dẫn giải:
S
Vì hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD) cùng vuông

SA ⊥ ( ABCD )
góc với mặt phẳng đáy nên
.
BD ⊥ ( SAC )
SC ⊂ ( SAC )
Suy ra
tại O , mà
nên
Khoảng cách giữa BD và SC bằng
khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC .
Chọn đáp án C.

A

D
O

B

C

SA ⊥ ( ABCD ) ,
Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có
đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a 5 và
BC = a 2. Tính khoảng cách giữa SD và BC.
3a
2a
a 3
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
D. a 3 .
Hướng dẫn giải:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
BA ⊥ ( SAD )
Dễ thấy

BC / / AD ⇒ BC / / ( SAD ) ⇒ d ( BC , SD ) = d BC ,( SAD ) = BA

(

Quan hệ vuông góc – HH 11

)

2
2
Xét tam giác vuông ABC có AB = 5a − 2a = a 3
Đáp án D

a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a.
Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
Khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD bằng
a 6
A. 6 .
B. a 6 .
C. a 3 .
D. a .
Hướng dẫn giải:
( α ) = ( SC,Cx)
Dựng Cx / / BD ,
⇒ BD / / ( α ) ⇒ d ( BD, SC ) = d BD,( α )

(

(

)

(

)

d BD,( α ) = d O,( α ) =

(

1
d A,( α )
2

)

)
(

)

AK ⊥ ( α ) ⇒ d A,( α ) = AK
Dựng AK ⊥ SC . Dễ thấy
1
1
1
1
1
1

a 6
= 2+
⇔
= 2 + 2 ⇒ AK =
2
2
2
3
AK
SA AC
AK
a 2a

(

)

d O,( α ) =

Vậy
Đáp án A.

a 6
6

a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a.
Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
Khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và CD bằng
A. a .

B. a 2 .
C. a 3 .
D. a 6 .
Hướng dẫn giải:
AD ⊥ ( SAD )
Dễ thấy
CD / / AB ⇒ CD / / ( SAB) ⇒ d ( SB, DC ) = d CD,( SAB) = AD = a

(

)

2
2
Xét tam giác vuông ABC có AB = 5a − 2a = a 3
Đáp án A

Câu 27: Cho lăng trụ tam giác đều
CC1.
cách giữa AB và
a 2
A. 2 .
Hướng dẫn giải:

ABC. A1B1C1 có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Tính khoảng

a 3
B. 2 .

ab 3

C.

4a 2 + 3b 2 .

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

ab 3
D.

3a 2 + 2b 2 .

Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Gọi M là trung điểm của AB
CC1 / AA 1 ⇒ CC1 / ( ABB1A 1 ) ⇒ d ( AB,CC1 )

(

)

= d CC1,( ABB1A1 ) = CM =

a 3
2

Quan hệ vuông góc – HH 11

.

Đáp án B.

Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm
bất kỳ trên AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK là:
a 3
a 6
.
.
A. 3
B. 3
Hướng dẫn giải:
Gọi O = AC ∩ BD, I là trung điểm cạnh đáy BC.
Do SA = SB = SC = SD nên SO ⊥ ( ABCD )
Từ đó ta chứng minh được BC ⊥ ( SOI )

a 15
.
C. 5

a 21
.
D. 7

⇒ OH ⊥ ( SBC ) (với OH ⊥ BC tại SI )
 EF //( SBC )

d ( EF , SK ) = d ( EF , ( SBC ) ) = OH
Do  SK ⊂ ( SBC ) nên

1
a 5
a 3
OC = AC =
⇒ SO =
2
2
2
Thực hiện tính toán để được

d ( EF , SK ) = OH =

Cuối cùng
Chọn đáp án D.

SO.OI
SO 2 + OI 2

=

a 21
7

Câu 29: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy và SA = a 2. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa SM và BC bằng bao
nhiêu?
a 2
a
a 3
a 3

A. 3
B. 2
C. 3
D. 2
Hướng dẫn giải:
Gọi N là trung điểm của cạnh đáy AC. Khi đó BC //( SMN )

d ( SM , BC ) = d ( B,( SMN ) ) = d ( A, ( SMN ) )
Nên
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM .
Ta có thể chứng minh được MN ⊥ ( SAM ), từ đó
AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A, ( SMN ) ) = AH =

SA. AM
2

SA + AM

2

=

a 2
3

Chọn đáp án A.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 21

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Quan hệ vuông góc – HH 11
ABCD
a
.
Câu 30: Cho tứ diện đều
cạnh
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao
nhiêu?
a
a
a
A. 2
B. 2
C. a
D. 3
Hướng dẫn giải:
Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh CD, AB
Tam giác MAB cân tại M và ∆ NCD cân tại N
do đó MN ⊥ AB, MN ⊥ CD

2

 a 3   a 2 a 2
⇒ d ( AB, CD ) = MN = BM − NB = 
÷
÷ − ÷ = 2
 2  2

Chọn đáp án B.
2

2

Câu 31: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có AB = AA′ = a , AC = 2a . Tính khoảng cách giữa
AC ′ và CD′ :
a 2
.
A. 2
Hướng dẫn giải:

a
.
B. 3

a 3
.
C. 2

a
.
D. 2

( DCC ′D′ ) là DC ′ ⊥ D′C nên
 Ta có hình chiếu của AC ′ trên mặt phẳng
AC ′ ⊥ D ' C ⇒ ( ADC ′B ' ) ⊥ D ' C
tại điểm H là trung điểm CD′ . Từ H ta kẻ
HK ⊥ AC ′ ⇒ d ( AC ′, D′C ) = HK
.

2
1
1
1
5a
6
30
30
= 2 + 2 = 4 ⇒d =
a=
a ⇒ HK =
a
2
3a
2a
6a
5
5
10
 Ta có d
Chọn đáp án D.
Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng 1 (đvd). Khoảng cách giữa AA′ và BD′
bằng:
2 2
3 5
3
2
A. 5
B. 7
C. 3

D. 2
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hướng dẫn giải:
AA '/ / BB ' ⇒ AA '/ /(DBB'D')
Ta có :

⇒ d ( AA' ) = d ( A, ( DBB ' D ') ) = AO =

Quan hệ vuông góc – HH 11

2
.
2

Câu 33: Khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a là :
B. a 3 .

A. a 2 .
Hướng dẫn giải:
 Gọi M là trung điểm DC , H là hình chiếu
vuông góc của M lên AB .
 BM ⊥ CD
⇒ CD ⊥ (ABM)

AM

⊥
CD

 Ta có:

C. a 5 .

a 2
D. 2 .

CD ⊥ MH
⇒ MH = d (AB, CD)

AB
⊥
MH


2S
a 2
MH = ABM =
AB
2

Chọn đáp án D.
Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD
là hình chữ nhật với AC = a 5 , BC = a 2 . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
khoảng cách giữa SD và BC.
2a
.

A. 3
Hướng dẫn giải:

a 3
.
B. 2

3a
.
C. 4

D. a 3.

d ( BC , SD ) = CD = a 3.
 Khoảng cách giữa SD và BC :
Chọn đáp án D.

Câu 35: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a . Các cạnh bên
SA = SB = SC = SD = a 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là:
a 7
A. 2

a 42
B. 6

a 6
C. 7

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

a 6
D. 2

Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hướng dẫn giải:

Quan hệ vuông góc – HH 11

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là: HK .
a2 a 7
7a 2 a 2 a 6
SH = SM = 2a −
=
; SO =
−
=
4
2
4
4
2 .

6
a
.a
SO.MH
a 42

HK =
= 2
=
.
SM
7
7
a
2
 Có :
Chọn đáp án C.
2

a, SD =

a 17
2 . Hình chiếu vuông góc

Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh
H của đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD.
Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a.
3a
a 3
a 21
a 7
A. 7 .
B. 5 .
C. 7 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải:

S
HK / / BD ⇒ HK / / ( SBD )
Ta có:
⇒ d ( HK , SD ) = d ( HK , ( SBD ) ) = d ( H , ( SBD ) )
Kẻ HI ⊥ BD , HJ ⊥ SI

J A

K

D

⇒ BD ⊥ ( SHI ) ⇒ BD ⊥ HJ
O
Khi đó: BD ⊥ HI , BD ⊥ SH
H
HJ ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( H , ( SBD ) ) = HJ
I
Nên
B
C
1
a 2
HI = AO =
2
2 và
Ta có:
5
HD 2 = HA2 + AD 2 = a 2 ⇒ SH 2 = SD 2 − HD 2 = 3a 2
4

2
SH .HI 2
3
a 21
a 21
HJ 2 =
= a 2 ⇒ HJ =
d ( SD, HK ) =
2
2
SH + HI
7
7 . Vậy
7
Do đó:
Chọn đáp án C.
Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′ B ′C ′ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = AC = b và có
cạnh bên bằng b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ′ và BC bằng
b 2
b 3
A. b .
B. 2 .
C. b 3 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải:
A′
C′
Ax / / BC ⇒ BC / / ( AB′x )
Kẻ
⇒ d ( BC , AB′ ) = d ( BC , ( AB′x ) ) = d ( B, ( AB′x ) )

B′
′
BD
⊥
Ax
,
BK
⊥
DB
Kẻ
Ta có:

AD ⊥ BD, AD ⊥ BB′ ⇒ AD ⊥ ( BDB′ )

K

⇒ AD ⊥ BK . Dó đó: BK ⊥ ( ADB′ ) ⇒ d ( B, ( ADB′ ) ) = BK

A

C

D

H 24
Trang

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

x

B


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
b 2
BD = AH =
2
Khi đó:

Quan hệ vuông góc – HH 11

BD 2 .BB ′2
b 3
=
2
2
BD + BB ′
3
Nên
Chọn đáp án D.
BK 2 =

o
·
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ABC = 60 . Hai mặt phẳng
( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) bằng 30o.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a bằng:

a 3

a 3
a 3
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
Hướng dẫn giải:
Gọi O = AC ∩ BD . Kẻ OI ⊥ AB , OH ⊥ SI
( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD )
Ta có:
( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB

·
⇒ SAO
= 300
 AB ⊥ OI
 AB ⊥ SI
Ta lại có: 
CD / / AB ⇒ CD / / ( SAB )
Khi đó:
⇒ d ( CD, SA ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( O, ( SAB ) )

AB ⊥ SO, AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ ( SOI ) ⇒ AB ⊥ OH
Ta có:
OH ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( O, ( SAB ) ) = OH
Nên
1
1
OC = AB = a
2
2 nên

Mà

D. a 3 .

S

H
C

B
O

I

D

A

a 3
·ABC = OCD
·
= 600 ⇒ OI = OC.sin 600 =
4 .
a 3
a 3
OH = OI .sin 30 0 =
⇒ d ( CD, SA ) = 2OH =
8
4
Do đó:

Chọn đáp án B.

Câu 39: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , AB = 2a; BD = 3 AC , mặt bên
SAB là tam giác cân đỉnh A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung
điểm H của AI . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng:
a 35
2a 35
2a 7
7 .
A. 7 .
B.
C. 7 .
Hướng dẫn giải:
CD / / AB ⇒ CD / / ( SAB )
Ta có:
⇒ d ( CD , SB ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) ) = 4d ( H , ( SAB ) )

Kẻ MH ⊥ AB, HK ⊥ SM
AB ⊥ HM , AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ ( SHM ) ⇒ HK ⊥ AB
Ta có:
HK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HK
Khi đó:

2a 35
D. 35 .
S

K
A
M

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:
B

D
H

I

Trang 25
C