Tài liệu Giáo án giải tích 12 cơ bản, dễ hiểu

Giải tích cơ bản
***
by Linh Nguyen
Ngày 19 tháng 7 năm 2018

1

Phép tính giới hạn

• Ta nói hàm số f (t) có giới hạn là

khi t tiến đến t0 và viết

lim f (t) =

t→t0

nếu f (t) có thể gần một cách tùy ý với mọi t đủ gần t0 (nhưng khác t0 ). Nói
cách khác, lim f (t) = nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi t thỏa
t→t0

mãn 0 < |t − t0 | < δ, ta có |f (t) − | < ε.
Chú ý rằng ta không đòi hỏi f (t) xác định tại t0 (nhưng phải xác định trong
một lân cận của t0 ), hơn nữa nếu cả hai giá trị f (t0 ) và lim f (t) là xác định thì
t→t0

chúng không nhất thiết bằng nhau. Nếu chúng bằng nhau, ta nói f (t) là liên
tục tại t0 .
• Ta nói hàm số f (t) có giới hạn dương vô cùng khi t tiến đến t0 và viết
lim f (t) = +∞

t→t0

nếu f (t) có thể lớn một cách tùy ý với mọi t đủ gần t0 .
• Ta nói hàm số f (t) có giới hạn khi t tiến đến dương vô cùng và viết
lim f (t) =

t→+∞

nếu f (t) có thể gần một cách tùy ý với mọi t đủ lớn.
Tương tự ta cũng định nghĩa được các khái niệm giới hạn âm vô cùng, giới hạn
tại âm vô cùng, giới hạn của dãy số...

Một số tính chất của giới hạn
Nếu lim f (t) = a và lim g(t) = b thì
t→t0

t→t0

1. lim (f (t) + g(t)) = a + b.
t→t0

1


2. lim (f (t)g(t)) = ab.
t→t0

3. lim

t→t0

f (t)
a
= nếu b = 0.
g(t)
b

4. Nếu f (t) ≤ g(t) trong lân cận của t0 thì a ≤ b.

Số e
• Nếu r = m/n là một số hữu tỉ và a > 0 thì ta có thể định nghĩa
√
ar = n am .
Nếu r là một số thực thì tồn tại một dãy số hữu tỉ (rn )n≥1 hội tụ về r. Khi
đó dãy (arn )n≥1 hội tụ và giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn dãy
(rn )n≥1 . Ta định nghĩa bởi ar giới hạn này.
• Giới hạn sau đây tồn tại và được gọi là số e,
e = lim

t→+∞

1+

t

1
t

= 2.718281828...

Với x ∈ R, số thực ex cũng thường được viết là exp(x).

Một số tính chất của hàm exp
1. ex+y = ex · ey .
2.
3.

lim ex = +∞.

x→+∞

lim ex = 0.

x→−∞

ex − 1
= 1.
x→0
x

4. lim

• Nếu y là một số thực dương thì tồn tại duy nhất số thực x sao cho ex = y.
Ta ký hiệu x = ln y.

Một số tính chất của hàm ln
1. ln(xy) = ln x + ln y.
2. ln(xy ) = y ln x.
3.

lim ln x = +∞.

x→+∞

4. lim ln x = −∞.
x→0+

ln(1 + x)
= 1.
x→0
x

5. lim

2


Các hàm hyperbolic
• Ta định nghĩa các hàm hyperbolic sau đây.
sinh x =

ex − e−x
,
2

coth x =

cosh x
,
sinh x

cosh x =
sech x =

ex + e−x
,
2
1
,
cosh x

tanh x =
csch x =

sinh x
,
cosh x

1
.
sinh x

• Ta cũng có các hàm hyperbolic ngược,
sinh−1 x = ln(x +
tanh−1 x =

2

x2 + 1),
1 1+x

ln
,
2 1−x

cosh−1 x = ± ln(x +
coth−1 x =

x2 − 1),

1 x+1
ln
.
2 x−1

Phép tính vi phân

• Cho hàm số f (t) xác định trong lân cận của t0 . Đạo hàm của f (t) tại điểm
t = t0 được định nghĩa là
f (t0 + h) − f (t0 )
h→0
h

f (t0 ) = lim

nếu giới hạn này tồn tại (và hữu hạn). Lúc này, ta cũng nói f (t) là khả vi tại t0 .
• Ý nghĩa vậy lý: Giả sử ta có một chất điểm chuyển động trên đường thẳng
sao cho vị trí của chất điểm tại thời điểm t là f (t), khi đó f (t0 ) là vận tốc tức
thời của chất điểm tại thời điểm t = t0 (dấu âm thể hiện chất điểm đang chuyển
động ngược chiều dương của trục.
• Ý nghĩa hình học: f (t0 ) là độ dốc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (t)

tại điểm (t0 , f (t0 )).
• Nếu f (t0 ) xác định với mọi t0 thì f (t) lại là một hàm số theo biến t và ta
gọi nó là đạo hàm của f (t).
• Ngoài ký hiệu f (t), ta cũng dùng ký hiệu f˙ để chỉ đạo hàm.
• Ta đưa vào ký hiệu hình thức dt để chỉ sự thay đổi rất nhỏ của t. Khi đó, f (t)
df
d
có thể ký hiệu một cách hình thức là
hay f (t).
dt
dt

Một số tính chất của đạo hàm và vi phân
• Giả sử a, b là các hằng số và f (t), g(t) là các hàm số theo biến t. Khi đó
1. a = 0
2. (af + bg) = af + bg ,
3. (f g) = f g + f g ,

d(af + bg) = adf + bdg.

d(f g) = gdf + f dg.
3


4.

f
g

=

f g − fg
,
g2

d

f
g

=

gdf − f dg
tại những điểm t mà g(t) = 0.
g2

5. Nếu f (t) ≥ 0 với mọi t ∈ [a, b], f là hàm tăng trên [a, b].
6. (Bổ đề Fermat) Nếu f tại cực trị địa phương tại t = t0 (nghĩa là f (t0 )
là giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một lân cận nhỏ của t0 ) thì
f (t0 ) = 0. Chú ý: Đây là điều kiện cần của cực trị chứ không đủ.
7. Nếu f (t0 ) = 0 và f (t0 ) < 0 (tương ứng, f (t0 ) > 0) thì f đạt cực đại
(tương ứng, cực tiểu) địa phương tại t = t0 . Chú ý: Đây là điều kiện đủ
của cực trị chứ không cần.
• Nếu f là một hàm theo biến x và x là một hàm theo biến t, khi đó f (x(t)) là
một hàm theo biến t và đạo hàm của nó được cho bởi
d
f (x(t)) = f (x(t)) · x (t),
dt

hay

df
df dx
=
·
.
dt
dx dt

• Nếu x = f (t) và t = g(x) là hai hàm ngược của nhau thì
g (x) =

1
.
f (t)

Đạo hàm của các hàm số cơ bản
• Dưới đây, ta luôn hiểu t là biến và lấy đạo hàm theo biến t.
1. (ta ) = ata−1
2. (sin t) = cos t,
3. (et ) = et ,
4. (ln t) =

(cos t) = − sin t,

(tan t) = sec2 t =

1
= 1 + tan2 t.
cos2 t

(at ) = at ln a.

1
.
t

5. (sinh t) = cosh t,

(cosh t) = sinh t,

(tanh t) = sech2 t = 1 − tanh2 t.

Ví dụ về tính đạo hàm của hàm hợp:
1
t
( t2 + 1) = √
· (t2 + 1) = √
2
2
2 t +1
t +1
(ta đã dùng các công thức

d √
1
d
x = √ và t2 = 2t).
dx
dt

2 x

4


3

Phép tính tích phân

• Giả sử hàm số f (t) xác định trên [a, b]. Ta chia đều [a, b] thành n đoạn
i(b − a)
[ti−1 , ti ] (i = 1, . . . , n), nghĩa là ti = a +
. Lập tổng
n
Sn =

b−a
(f (t1 ) + f (t2 ) + · · · + f (tn )).
n

Nếu Sn tiến đến một giới hạn xác định (và hữu hạn) khi n → ∞, ta nói f (t) là
khả tích trên [a, b] và gọi giới hạn đó là tích phân của f trên [a, b] và ký hiệu
nó bởi
b

f (t) dt.
a

Định nghĩa trên là đơn giản nhưng chưa hoàn toàn chuẩn xác về tích phân.
• Ý nghĩa vật lý: Giả sử ta có một chất điểm chuyển động trên đường thẳng với

b

f (t) dt là độ dời của chất

vận tốc tức thời f (t) tại mỗi thời điểm t. Khi đó
a

điểm giữa hai thời điểm t = a và t = b.
b

• Ý nghĩa hình học: Nếu f (t) > 0 thì

f (t) dt là diện tích của phần mặt phẳng
a

bị giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = f (t), đường thẳng y = 0, đường thẳng t = a
và đường thẳng t = b.

Nguyên hàm
• Cho hàm số f (t). Nếu có hàm số F (t) sao cho F (t) = f (t), ta nói F (t) là một
nguyên hàm của f (t). Chẳng hạn, một nguyên hàm của 2t là t2 .
• Nếu hàm số f (t) có một nguyên hàm F (t) thì nó có vô số các nguyên hàm
được cho bởi F (t) + C, với C là hằng số tùy ý.
• Định lý cơ bản của giải tích (công thức Newton-Leibniz): Nếu F (t) là một
nguyên hàm của f (t) thì
b

f (t) dt = F (b) − F (a).
a

Vì lý do này, họ các nguyên hàm của f (t) thường được gọi là tích phân không
xác định của f và ký hiệu là
f (t) dt.

5


Một số tính chất của nguyên hàm và tích phân
• Nếu a > b, để tránh rắc rối, ta ký hiệu
a

b

f (t) dt = −
b

1.

c

f (t) dt +
a

2.

c

f (t) dt =
b

f (t) dt.
a

t

d
dt

f (τ ) dτ = f (t).
a
b

b

b

a

a

a

g(t) dt.

f (t) dt + β

(αf (t) + βg(t)) dt = α

3.

f (t) dt.
b

a

b

4. Nếu f (t) ≤ g(t) với t ∈ [a, b] thì

b

f (t) dt ≤
a

g(t) dt.
a

5. Giả sử f là hàm theo biến x và x là hàm theo biến t. Ký hiệu hình thức
dx = x (t)dt cho phép ta đổi biến để tính tích phân một cách thuận tiện,
b

x(b)

f (x(t))x (t) dt =
a

f (x) dx.
x(a)

6. Công thức tích phân từng phần:

b

b

f (t)g (t) dt = f (b)g(b) − f (a)g(a) =
a

f (t)g(t) dt,
a

hay ở dạng nguyên hàm,
f dg = f g −

g df.

Nguyên hàm của các hàm số cơ bản
ta+1
+ C với a = −1.
a+1

1.

ta dt =

2.

sin t dt = − cos t + C,

3.

et dt = et + C,

4.

sinh t dt = cosh t + C,

cos t dt = sin t + C.

at dt =

at
+ C với a > 0, a = 1.
ln a
cosh t dt = sinh t + C.

6


Ví dụ về đổi biến:
2

et t dt =

1
2

2

et 2t dt =

1
2

2

et dt2 =

1 t2
e + C.
2

Ví dụ về nguyên hàm từng phần:
tet dt =

t det = tet −

et dt = tet − et + C.

Đa số các nguyên hàm không thể biểu diễn dưới dạng các hàm sơ cấp, ví dụ
2
dt
√
(tích phân elliptic), e−t dt (hàm lỗi - erf)...
2
1 − 2t

7