[HOT] Ngân hàng ĐỀ Trắc Nghiệm TOÁN LƯỢNG GIÁC (File Word Có Đáp án và LỜI GIẢI chi tiết)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN I: ĐỀ BÀI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
 Chia hai vế phương trình cho
(1) 

sin 
 Đặt:

a
2

2

a b

a2  b2 ta được:
a
b
sin x 
cos x 
2
2
2
2
a b

a b

, cos 

b
2

2

a b

phương trình trở thành:

 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
c
2

2

a b

a2  b2

0, 2 �
  ��

�
�

sin .sin x cos .cos x 

� cos(x   ) 

c

c
2

2

a b

c
a2  b2
 cos (2)

�1 � a2  b2 �c2.

 (2) � x   �  k2 (k �Z)
Lưu ý:
�
�
1
3

sin x � 3 cos x  2 � sin x 
cos x � 2 sin( x  )
2
2
3
�

�
�
�3
�
1

3 sin x �cos x  2 � sin x � cos x � 2sin( x � )
2
6
�2
�
�
1

�1
�
sin x �cos x  2 � sin x � cos x � 2 sin( x � )
4 .
2
�2
�
�
Cách 2:
a) Xét
b) Xét

x    k2 �
x �۹ k2

x 

  k
2 2
có là nghiệm hay không?
x
cos
0.
2

x
2t
1 t2
t  tan , thay sin x 
, cos x 
,
2
1 t2
1 t2 ta được phương trình bậc hai theo t:
Đặt:

(b  c)t2  2at  c  b  0 (3)

Vì x �  k2 � b  c �0, nên (3) có nghiệm khi:

 '  a2  (c2  b2) �0 � a2  b2 �c2.
x
tan  t0.
2
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình:
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

Ghi chú:
1)
Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2
2
2
Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a  b �c .
Bất đẳng thức B. C. S:

2)
3)

y  a.sin x  b.cos x � a2  b2 . sin2 x  cos2 x 
� min y   a2  b2 va�
max y

a2  b2 �

a2  b2

sin x cos x
a


� tan x 
a
b
b

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x
2
A. sin x  cos x  1  0 .
B. sin 2 x  cos x  0 .
C. 2 cos x  3sin x  1 .
D. 2 cos x  3sin 3 x  1 .
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:
A. 2 cos x  3  0 .
B. 3sin 2 x  10  0 .
2
C. cos x  cos x  6  0 .
Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
1
sin x 
3.
A.

D. 3sin x  4 cos x  5 .

C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
1
cos x 
3.
A.

D. 3sin x  4cos x  5 .

C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 2sin x  cos x  3 .
3 sin 2 x  cos 2 x  2
C.
.
Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm.
1
sin x 
4.
A.

D. 3sin x  4 cos x  6 .

C.
Câu 7:
A.

B.

3 sin x  cos x  3 .

3 sin x  cos x  1 .

B. tan x  1 .
D. 3sin x  4 cos x  5

B.

.

3 sin x  cos x  1 .

3 sin 2 x  cos 2 x  4

D. 3sin x  4 cos x  5 .
.
Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
1
1
cos 4 x 
3 sin x  2
2
B. 4

C. 2sin x  3cos x  1
Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2 x  cos 2 x  2

sin x  cos

C.
Câu 9:
A.

B.


4

Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

2
D. cot x  cot x  5  0

B. 3sin x  4cos x  5
D.

3 sin x  cos x  3

B. cosx  3sinx  1

3 sin 2 x  cos 2 x  2
D. 2sinx  3cosx  1
C.
Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:.
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

A. sin x  2 cos x  3 .
B. 2 sin x  cos x  2 .

2 sin x  cos x  1 .
D. 3 sin x  cos x  3 .
C.
Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
A. sin x  cos x  3 .
B. 2 sin x  cos x  1 .
C. 2 sin x  cos x  1 .
D. 3 sin x  cos x  2 .
Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
1
1
cos 4 x 
2.
A. 3 sin x  2 .
B. 4
C. 2sin x  3cos x  1 .
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
A. cos 3x  3 sin 3 x  2 .

sin x 


3.

2
D. cot x  cot x  5  0 .

B. cos 3 x  3 sin 3 x  2 .
� �
� �

3sin �x  � 4 cos �x  � 5  0
� 3�
� 3�
D.
.

C.
Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:

x  k 2 ; x   k 2
2
A.
.
B.

x   k ; x  k 2
6
C.
.
D.
Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:

x    k 2 ; x    k 2
2
A.
.
B.

x    k ; x  k 2
3

C.
.
D.

x  k ; x  
x


 k 2
2
.


 k ; x  k
4
.

x    k 2 ; x 
x


 k 2
2
.


 k ; x  k
6
.

Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x    2 là:

5

3
x    k 2 ; x 
 k 2
x    k 2 ; x 
 k 2
12
12
4
4
A.
.
B.
.

2

5
x   k 2 ; x 
 k 2
x    k 2 ; x  
 k 2
3
3
4
4
.

D.
.
C.
Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x –  3 cos x  0  là:



 k 2
x   k
3
6
A.
B.
.
C.
.
Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x  3 sin x  0 có nghiệm là


x   k .
x    k .
6
6
A.
B. Vô nghiệm.
C.
 0;  
sin x  cos x  1
x


 k 2
6
.

x

Câu 19: Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 là :

D.

D.

x


 k
3
.

x


 k .
2

là

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

D. 3 .

Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

x  k 2
�
� 

�
x   k 2
x   k 2
4
A. x  k 2 .
B. � 2
.
C.
.
Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:
A.

x

5
 k
6
.

 x 



5
 k 2
6
.

B.
3  1 sin x 

Câu 22: Phương trình

�
x    k 2
�
4
�

�
x   k 2
� 6

, k ��.
A.

�
x    k 2
�
6
, k ��
�

�
x   k 2
�
C. � 9
.





x

C.
3  1 cos x  3  1  0




 k
6

.

� 
x   k 2
�
4
�

�
x    k 2
4
D. �
.

D.

x


 k 2
6
.

có các nghiệm là

�
x    k 2
�
2
, k ��

�

�
x   k 2
� 3
B.
.

�
x    k 2
�
8
, k ��
�

�
x   k 2
�
D. � 12
.

Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là

3

5
x    k 2 , x 
 k 2 , k ��
x    k 2 , x 
 k 2 , k ��

4
4
12
12
A.
.
B.
.

2

5
x   k 2 , x 
 k 2 , k ��
x    k 2 , x  
 k 2 , k ��
3
3
4
4
C.
.
D.
.
Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  0 là



 k , k ��
3

2
A.
.


x   k , k ��
6
2
.
x

B.

x


 k , k ��
6
.

C.

x


 k , k ��
3
.

D.

Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 .
x  k 2
�
� 
, k ��
�
x   k 2
A. x  k 2 , k ��.
B. � 2
.

C.

x


 k 2 , k ��
4
.

� 
x   k 2
�
4
, k ��
�

�
x    k 2

4
D. �
.

Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x  cos 3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây:
� � 1
� � 
� � 1
� � 1
sin �
3x  �
sin �
3x  � 
sin �
3x  � 
sin �
3x  � 
6� 2
6� 6
6� 2
6� 2
�
�
�
�
A.
B.
C.
D.
1

3
sin x 
cos x  1
2
Câu 27: Phương trình 2
có nghiệm là

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

5
5
 k 2 , k ��
x    k , k �Z
6
6
A.
.
B.
.


x
 k 2 , k �Z

x   k 2 , k �Z
6
6
C.
.
D.
.
3cos
x

2
|
sin
x
|

2
Câu 28: Phương trình
có nghiệm là:




x   k
x   k
x   k
x   k
8
6
4

2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình (m  1)sin x  cos x  5 có nghiệm.
x

m �1
�
�
m �3 .
A. 3 �m �1 .
B. 0 �m �2 .
C. �
Câu 30: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  5 có nghiệm là :

D.  2 �m � 2 .

m �4
�
�
m �4 .
D. �

A. m �4 .

B. 4 �m �4 .
C. m � 34 .
Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x  cos x  m có nghiệm:
A.  2 �m � 2 .
B. m � 2 .
C. 1 �m �1 .
D. m �2 .
 m2  2  cos2 x  2m sin 2 x  1  0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị
Câu 32: Cho phương trình:
thích hợp của tham số m là
1
1
1
1
 �m �
 �m �
2.
4.
A. 1 �m �1 .
B. 2
C. 4
D. | m |�1 .
m
sin 2 x  cos 2 x 
2 có nghiệm là
Câu 33: Tìm m để pt
A. 1  3 �m �1  3 .
B. 1  2 �m �1  2 .
C. 1  5 �m �1  5 .
D. 0 �m �2 .

Câu 34: Điều kiện có nghiệm của pt a sin 5 x  b cos 5 x  c là
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A. a  b  c .
B. a  b �c .
C. a  b �c .
Câu 35: Điều kiện để phương trình m sin x  8cos x  10 vô nghiệm là

m �6
�
�
m �6 .
m  6.
B. �
C. m  6 .
A.
Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x  m cos x  13 có nghiệm là
m �5
�
�
m �5 .
A. m  5 .
B. �

C. m  5 .
Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình m sin x  12 cos x  13 vô nghiệm.
m �5
�
�
m �5 .
m 5.
B. �
C. m  5 .
A.
Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x  m cos x  10 vô nghiệm.
m �8
�
�
m �8 .
A. �
B. m  8 .
C. m  8 .
Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x  m sin x  m  1 có nghiệm

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

2
2
2
D. a  b  c .

D. 6  m  6 .

D. 5  m  5 .

D. 5  m  5 .

D. 8  m  8 .

Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

A. m �13 .
B. m �12 .
C. m �24 .
Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm.
m �4
�
�
m �4 .
A. �
B. m  4 .
C. m  4 .
Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là
A. m �4 .

B. 4 �m �4 .

C. m � 34 .

D. m �24 .

D. 4  m  4 .
m �4
�
�
m �4 .
D. �

 
x ��
 ; �
2 sinx  mcosx  1  m (1) có nghiệm
� 2 2 �.
Câu 42: Tìm m để phương trình

A.  3 �m �1
B.  2 �m �6
C. 1 �m �3
Câu 43: Tìm m để phương trình msinx  5cosx  m  1 có nghiệm.
A. m �12
B. m �6
C. m �24
Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là :
m �4
�
�
m �4 .
A. �
B. m �4 .

C. m � 34 .
Câu 45: Để phương trình cos x  sin x  m có nghiệm, ta chọn:
A. 1 �m �1 .
B. 0 �m � 2 .
C. m tùy ý.

D.  1 �m �3
D. m �3

D. 4 �m �4 .
D.  2 �m � 2 .

Câu 46: Phương trình m cos 2 x  sin 2 x  m  2 có nghiệm khi và chỉ khi

� 3�
m ���; �
� 4 �.
A.

� 4�
m ���; �
� 3 �.
B.

4
�
�
m �� ; ��
3
�

�.
C.

3
�
�
m �� ; ��
4
�
�.
D.

Câu 47: Cho phương trình 4sin x  (m  1) cos x  m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương
trình có nghiêm:
17
17
17
17
m
m �
m�
m�
2 .
2 .
2 .
2 .
A.
B.
C.
D.

Câu 48: Phương trình 3sinx – 4cosx  m có nghiệm khi
A. 5 �m �5
A. m  �5 hoặc m  �–5
C. m  �5
D. m  �–5

3sinx   m  1 cosx  5

. Định m để phương trình vô nghiệm.
C. m �3 hay m �5
D. 3 �m �5
Câu 50: Cho phương trình m sin x  1  3m cos x  m  2 . Tìm m để phương trình có nghiệm.
1
1
�m �3
m�
3
A. 3
B.
C. Không có giá trị nào của m
D. m �3
Câu 49: Cho phương trình lượng giác:
A. 3  m  5
B. m �5

2
Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin x  m sin 2 x  2m vô nghiệm.
m �0
m0
�

�
� 4
� 4
4
4
�
�
m�
m
0 �m �
0m
3
�
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D. � 3 .
Câu 52: Tìm m để phương trình m sin x  5cos x  m  1 có nghiệm:
A. m �12 .
B. m �6 .
C. m �24 .
D. m �3 .
� �
� �
sin �x  � 3 cos �x  � 2m

� 3�
� 3�
Câu 53: Cho phương trình
. Tìm m để phương trình vô nghiệm.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

 �; 1 � 1; � .

B.

 �; 1 � 1; � .

C.

Lượng giác – ĐS và GT 11

 1;1 .

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

D. m ��.

Trang 7

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
2
Câu 1: Giải phương trình 5sin 2 x  6 cos x  13 .

A. Vô nghiệm.
C. x    k 2 , k ��.

B. x  k , k ��.
D. x  k 2 , k ��.

Câu 2: Phương trình sin x  cos x  2 sin 5 x có nghiệm là


� 
� 
x k
x  k
�
�
4
2
12
2
, k ��

, k ��
�
�




�
�
x k
x
k
� 6
� 24
3
3
A.
.
B.
.



� 
� 
x  k
x k
�
�
16

2
18
2
, k ��
, k ��
�
�




�
�
x k
x k
�
�
3
3
C. � 8
.
D. � 9
.
2
Câu 3: Phương trình 2sin x  3 sin 2 x  3 có nghiệm là
x


 k , k ��
3

.

A.
5
x
 k , k ��
3
.

Câu 4: Phương trình
� 
x   k
�
4
�


�
x  k
�
7.
A. � 12

B.

x

2
 k , k ��
3

.

C.

x

4
 k , k ��
3
.

D.

sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos 8 x 

có các họ nghiệm là:
� 
� 
x   k
x   k
�
�
3
5
�
�





�
�
x  k
x  k
�
�
2.
2.
B. � 6
C. � 7
D.
3
Câu 5: Phương trình: 3sin 3 x  3 cos 9 x  1  4sin 3 x có các nghiệm là:

2

2

2
�
�
�
x  k
x   k
x  k
�
�
�
6
9

9
9
12
9
�
�
�
7
2
7
2
7
2
�
�
�
x
k
x
k
x
k
�
�
�
9 .
9 .
9 .
A. � 6
B. � 9

C. � 12
D.
.Câu 6: Phương trình

� 
x  k
�
16
2
�
4
�
x
 k
�
3
A.
.

3
1

sin x cos x có nghiệm là:

� 

� 
x k
x  k
�

�
8
2
12
2
�
�


�
�
x   k
x   k
�
6
B. � 3
.
C.
.

� 
x   k
�
8
�


�
x  k
�

3.
� 9



�
x  k
�
54
9
�

2
�
x  k
�
9
� 18

8cos x 


� 
x  k
�
9
2
�
2
�

x
 k
�
3
D.
.

Phương trình sin 4 x  cos7 x  3(sin 7 x  cos4x)  0 có nghiệm là

� 
x   k2
�
6
3
(k �Z )
�
5



�
x
 k2
x   k 2 , k ��
�
11
6
3
A.
.

B. � 66
.

Câu 7:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

C.

x

5

 k 2 , k ��
66
11
.

Lượng giác – ĐS và GT 11

D. khác
2

x�
� x

sin  cos � 3cosx = 2
�
2�
Câu 8: Phương trình: � 2
có nghiệm là:


�
�
x    k
x    k 2
�
�
6
6
�
 k �Z 
�
 k �Z 


�
�
x   k
x   k 2
� 2
� 2
A.
B.



x    k 2 , k ��
x   k , k ��
6
2
C.
D.
� � � �
� �
2 3 sin �x  �
cos �x  � 2 cos 2 �x  � 3  1
� 8� � 8�
� 8�
Câu 9: Phương trình:
có nghiệm là:
� 3
x
 k
�
8
�
5
�
x
 k
A. � 24
.

� 3
x

 k
�
4
�
5
�
x
 k
B. � 12
.
�  � � 2
4sin x.sin �x  �
.sin �x 
� 3� � 3
Câu 10: Phương trình:
2
� 
� 
x k
x   k
�
�
6
3
4
�
�
2



�
�
xk
xk
�
�
3
3
A.
.
B.
.

� 5
� 5
x
 k
x
 k
�
�
4
8
�
�
5
7
�
�
x

 k
x
 k
C. � 16
.
D. � 24
.
�
� cos 3 x  1
�
có các nghiệm là:

� 
x   k 2
�
3
�
x  k
C. �
.
2 2  sin x  cos x  .cos x  3  cos 2 x
Câu 11: Phương trình
có nghiệm là:

A.

x


 k

6
.


 k
6
.


 k 2
3
B.
C.
.
�
� � � �
2�
x

x

� 
x   k 2
�
2
�

�
xk
�

4
D.
.

D. Vô nghiệm.

2 3 sin �x  �
cos �x  � 2 cos �x  � 3  1
� 8� � 8�
� 8�
Câu 12: Phương trình
có nghiệm là:
� 3
x
 k
�
8
, k ��
�
5
�
x
 k
� 24
A.
.
B.
� 3
x
 k

�
4
, k ��
�
5
�
x
 k
� 12
.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

� 5
x
 k
�
4
, k ��
�
5
�
x

 k
� 16
C.
.
5

�
x
 k
�
8
, k ��
�
7
�
x
 k
� 24
.

D.

1
1
2


Câu 13: Giải phương trình sin 2 x cos 2 x s in4x

x  k , x   k , k ��

4
A.
.
B. x  k , k ��.

x   k , k ��
4
C. Vô nghiệm.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
sin 2 x �0
�
۹ sin 4 x 0
�
cos
2
x
�
0
�
Điều kiện:
.
� sin 2 x  cos 2 x  1 . Suy ra:  sin 2 x  cos 2 x   1 � sin 4 x  0 (loại)
Phương trình đề bài
2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH
Câu 1: Phương trình 1 cosx  cos x  cos3x  sin x  0 tương đương với phương trình.
cosx cosx  cos3x  0
cosx cosx  cos2x  0
A.
.
B.
.
sinx cosx  cos2x  0
cosx cosx  cos2x  0
C.
.
D.
.
Câu 2: Phương trình sin 3x  4sin x.cos 2 x  0 có các nghiệm là:
x  k 2
x  k
�
�
�
�



�
�
x  �  n
x  �  n
3
6
A. �
, k , n ��.
B. �
, k , n ��.
2

2

2
�
xk
�
3
�
2
�
x  �  n
�
3
D. �
, k , n ��.
�

2
�
�của phương trình 2sin 3 x  1  4 sin x   0 là:
A. 40 .
B. 34 .
C. 41 .
D. 46 .
2
 2sin x  cos x   1  cos x   sin x là:
Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt

5

x
x
x
6
6
12
B.
C. x  
D.
A.
2
Câu 5:
[1D1-2] Nghiệm của pt cos x  sin x cos x  0 là:


�
xk

�
2
�

�
x  �  n
�
4
C.
, k , n ��.
� 69
;
�
14 10
Câu 3: Số nghiệm thuộc �



 k ; x   k
4
2
A.

x   k
2
x


 k
2

B.
5
7
x
 k ; x 
 k
6
6
D.
x

C.
Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x  2 2 sin x cos x  0 là:
3


x
x
x
4
4
3
B.
C.
A.
Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng (; ) của phương trình :
2(sinx  1)(sin2 2x  3sinx  1)  sin4x.cosx
A. 1
B. 2
2

2
Câu 8: Giải phương trình sin 2 x  cos 3 x  1 .

C. 3

D. x  

D. 4

2π
, k ��
5
A. x  k 2π, k ��
B.
π
x  kπ �x  k , k ��
x

π

k
π,
k
�
�
5
C.
D.
Câu 9: Phương trình 4 cos x  2 cos 2 x  cos 4 x  1 có các nghiệm là:
xk

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11


� 
� 
x   k
x  k
�
�
, k ��
2
4
2 , k ��
�
�
x  k 2
x  k
A. �
.
B. �
.
2


� 
� 
x k
x  k
�
�
3
3
6
3
, k ��
, k ��
�
�


�
�
xk
xk
�
�
2
4
C.
.
D.
.
2sin

x

cos
x

sin
2
x

1

0
Câu 10: Phương trình
có nghiệm là:

�
� 
x


k

x   k 2
� 6
�
6
�
�
5


5

�
�
x
 k
x
 k 2
� 6
� 6
�
�
x  k
x  k 2
�
�
A. �
, k ��.
B. �
, k ��.
� 
� 
x   k 2
x   k 2
�
�
6
6
�
�



�
�
x    k 2
x    k 2
�
�
6
6
�
�
x

k
2

x

k

�
�
�
k
��
C.
,
.
D. �

, k ��.

Câu 11: Phương trình sin 3x  cos 2 x  1  2sin x cos 2 x tương đương với phương trình
sin x  0
sin x  0
�
�
�
�
sin x  0
sin x  0
�
�
1
1
�
�
sin x 
sin x  
�
�
sin
x

1
sin
x


1

2.
2.
A. �
B. �
.
C. �
.
D. �
2
sin 2 x  cot x  tan 2 x   4 cos x
Câu 12: Giải phương trình
.
A.

x
x


2





 k , x  �  k
6

, k ��.



 k , x  �  k 2

, k ��.
3
3
Câu 13: Giải phương trình cos x  sin x  cos 2 x .
C.

2

3



 k  , x   k
2
4
A.
, k ��.


x  k 2 , x   k  , x   k
2
4
C.
, k ��.
x  k 2 , x 

Câu 14: Giải phương trình 1  sin x  cos x  tan x  0 .

A.
C.

x    k 2 , x 
x    k 2 , x 

B.


4


4

 k

D.

x
x


2


2



 k , x  �  k 2

6

, k ��.



 k , x  �  k
3

, k ��.



 k  , x   k 2
2
4
B.
, k ��.


x  k , x   k  , x   k 
2
4
D.
, k ��.
x  k 2 , x 



, k ��.

 k 2

B.

x    k 2 , x    k 2
4

, k ��.



, k ��.

x    k 2 , x    k

D.
2
Câu 15: Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin 3 x  cos x  0 là :

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

4

, k ��.

Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A





k
3
B. 6
.



k
6
3.

Lượng giác – ĐS và GT 11


C. 2 .


D. 4 .

k

k

A.
Câu 16: Phương trình 2sin x  cot x  1  2sin 2 x tương đương với phương trình

2sin x  1
2sin x  1
�
�
�
�
sin x  cos x  2sin x cos x  0 .
sin x  cos x  2sin x cos x  0 .
A. �
B. �
2sin x  1
2sin x  1
�
�
�
�
sin x  cos x  2sin x cos x  0 .
sin x  cos x  2sin x cos x  0 .
C. �
D. �
Câu 17: Giải phương trình
A.

x
x


4



 k

sin 3 x  cos3 x  2  sin 5 x  cos5 x 

, k ��.

B.

A.

x

k
3

, x    k 2





4

k
2

, k ��.



 k 2

4
C.
, k ��.
D.
tan
x

tan
2
x


sin
3
x
.cos
2x
Câu 18: Giải phương trình

x

x

.

, k ��.

B.

x    k 2
4

x

k
3

,x 

, k ��.


 k 2
2
, k ��.

k

D. x  k 2 , k ��.
x
�x  �

sin 2 �  �tan 2 x  cos 2  0 (*)
x    k (1),
x    k 2 (2),
2
�2 4 �

4
Câu 19: Cho phương trình
và
C.

x

3

, k ��.


 k 2 (3),
2
với k ��. Các họ nghiệm của phương trình (*) là:

A. (1) và (2).

B. (1) và (3).
C. (1), (2) và (3).
D. (2) và (3).
Câu 20: Phương trình 2 3 sin 5 x cos 3 x  sin 4 x  2 3 sin 3 x cos 5 x có nghiệm là:
k
1
3 k
k
3 k
x
, x  � arccos


, k ��.
x
, x  �arccos

, k ��.
4
4
12
2
4
48 2
A.
B.
k
x
, k ��.
2
C. Vô nghiệm.
D.
2
Câu 21: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x  sin 2 x  cos x  2cos x là :

2


6
B. 3 .
C. 4 .
D. 3 .
A. .

x
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là


4.

2
2
2
Câu 22: Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin x  sin 2 x  sin 3x  2 là.


A. 3


C. 6


B. 12


D. 8 .

2
Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 cos x  cos x  sin x  sin 2 x là?


6.


4.


3.

2
3 .
A.
B.
C.
D.
Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và có giá trị nhỏ nhất thì
nhận.
x

x

x

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

x

Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 25: Phương trình sin 3 x  cos 2 x  1  2 sin x cos 2 x tương đương với phương trình:
sin x  0
sin x  0
�
�
�
�
sin x  1 .
sin x  1 .
A. �
B. �
sin x  0
sin x  0
�
�
�
�
1
1
�
�
sin x 
sin x  
2.
2.
C. �
C. �
Câu 26: Phương trình sin 3x  4 sin x.cos 2 x  0 có các nghiệm là:


�
xk
�
x  k 2
x  k
�
�
2
�
�
�



�
�
�
x  �  n
x  �  n
x  �  n
�
3
6
4
A. �
.
B. �
.
C.

.
Câu 27: Phương trình 2 cot 2 x  3cot 3 x  tan 2 x có nghiệm là:
xk


3.

B. x  k .
C. x  k 2 .
4
6
Câu 28: Phương trình cos x  cos 2 x  2sin x  0 có nghiệm là:
A.

x


 k
2
.

x

2
�
xk
�
3
�
2

�
x  �  n
3
D. �
.

D. Vô nghiệm.



k
4
2.

B.
C. x  k .
D. x  k 2 .
5
5
2
Câu 29: Phương trình: 4 cos x.sin x  4sin x.cos x  sin 4 x có các nghiệm là:


�
�
xk
xk
�
�
x  k 2

x  k
�
�
4
2
�
�
�
�





3
�
�
�
�
x  k
x  k
x   k 2
x
 k
2.
2.
A. � 8
B. � 4
C. � 4
.

D. � 3
.
2
sin x  sin 2 x   sin x  sin 2 x   sin 3 x
Câu 30: Phương trình: 
có các nghiệm là:


�
�
xk
xk
�
�
2
�
3
6
xk
�
�
�
x  k 3
�
3


�
�
�

xk
xk
�
x  k 2 .
x  k .
2.
4.
A. �
B. �
C. �
D. �
cos 2 x
cos x  sin x 
1  sin 2 x có nghiệm là:
Câu 31: Phương trình

�
� 
� 3
� 5
x    k 2
x   k 2
x
 k
x
 k
�
�
�
�

4
4
4
4
�
�
�
�



3
�
�
�
�
x   k
x   k
x    k 2
x
 k
� 8
� 2
�
� 8
2
�
�
�
�

x  k
x  k 2


�
�
�
�
xk
xk
2
4
A. �
.
B. �
.
C. �
.
D. �
.
1
1
2sin 3x 
 2 cos3x 
sin x
cos x có nghiệm là:
Câu 32: Phương trình


3

3
x   k
x    k
x
 k
x
 k
4
4
4
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.

2
2
2
2
Câu 33: Phương trình sin 3x  cos 4 x  sin 5 x  cos 6 x có các nghiệm là:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 14

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11


�
xk
�

�
9
xk
�
�
6

�
�
xk
x  k .
2.
B. �
C. �
sin x  sin 2 x  sin 3 x
 3
cos
x


cos
2
x

cos
3
x
Câu 34: Phương trình
có nghiệm là:

�
xk
�
12
�

�
xk
4 .
A. �

A.
B.
C.
D.



k
3

2.


x  k
6
2.
2

x
k
3
2.

7
5
x   k 2 , x 
 k 2 , x 
 k 2 ,  k ��
6
6
3
.


�
xk
�
3
�
x  k 2 .

D. �

x

Câu 35: Các
nghiệm
thuộc
tan x  sin x  tan x  sin x  3tan x là:
 5
 3
,
,
A. 8 8 .
B. 4 4 .
Câu 36: Phương trình

�
x


 k 2
�
6
�
7
�
x
 k 2
� 6
�


�
xk
2
A. �
.
Câu 37: Phương trình



x � k
12
2.
A.

khoảng

 0; 

của

phương

trình:

 5
,
C. 6 6 .



D. 6 .


�
x


 k 2
�
3
�
4
�
x
 k 2
� 3
�
x  k 2
�
C. �
.

� 
x   k 2
�
3
�
2

�

x
 k 2
� 3
�
2
�
xk
3
D. �
.

 2 sin x  1  3cos 4 x  2 sin x  4   4 cos2 x  3 có nghiệm là:
� 
x   k 2
�
6
�
5

�
x
 k 2
� 6
�
x  k
�
B. �
.

2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x 

1
sin 2 x có nghiệm là:

x  �  k
3
C.
.


x  �  k
6
B.
.
5  sin x  cos x   sin 3 x  cos 3 x  2 2  2  sin 2 x 


x  �  k
9
D.
.

Câu 38: Phương trình:

x   k 2
4
A.
, k ��.

x   k 2

2
C.
, k ��.

có các nghiệm là

x    k 2
4
B.
, k ��.

x    k 2
2
D.
, k ��.
2
2
2
Câu 39: Một nghiệm của phương trình cos x  cos 2 x  cos 3 x  1 có nghiệm là




x
x
x
x
8.
12 .
3.

6.
A.
B.
C.
D.
 x� 7
2
2�
sin x.cos 4 x  sin 2 x  4 sin �  �
�4 2 � 2 có nghiệm là
Câu 40: Phương trình:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11


�
x    k 2
�
6
�
7

�

x
 k 2
�
6
�
B.
, k ��.

�
x


 k
�
6
�

�
x   k
�
D. � 6
, k ��.


�
x    k
�
6
�
7


�
x
 k
�
6
�
A.
, k ��.

�
x


 k 2
�
6
�

�
x   k 2
�
C. � 6
, k ��.

2
2
2
2
Câu 41: Giải phương trình sin x  sin 3x  cos x  cos 3x

 k
 k

,x  
4 2
8 4 , k ��.
B.
 k
 k
x 
,x  
4 2
4 2 , k ��.
D.


x  �  k 2
4
A.
, k ��.
 k
 k
x 
,x  
4 2
8 4 , k ��.
C.

x

3
sin12 x  cos12 x  2(sin14 x  cos14 x)  cos2 x
2
Câu 42: Phương trình:
có nghiệm là


 k
4
A.
, k ��.

x   k 2
4
C.
, k ��.
x

Câu 43: Giải phương trình
A.

x


4

 k 2

.

B.

x



k
4
2 , k ��.

D. Vô nghiệm.
cos x  sin x
cos6 x  sin 6 x .
2

4 cot 2 x 

B.

x


4

2



x  �  k 2

 k

4

.
C.
2
 cos x  sin x  .sin 2 x

.

D.

x


4



k
2 .

2

Câu 44: Giải phương trình

8cot 2 x 



A.

x    k
4

cos6 x  sin 6 x


.

B.

x� 
4

k
2 .

C.

.

x


4

 k

.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

D.

x


4



k
2 .

Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG THƯỜNG GẶP
Câu 1:

 tan x  cot x 
Giải phương trình

2

 tan x  cot x  2

.
�
x
 k , k ��
4
B.
.

A. Cả 3 đáp án.
C.

x


 k , k ��
6
.

x

D.
sin x  cos x
sin x  cos 6 x

4
4 cos 2 2 x  sin 2 2 x .

Giải phương trình
10

Câu 2:
A.


 k , k ��
4
.

x  k 2 , x 



2

 k 2

10

, k ��.

6

B.

x

k

2 , k ��.


x  k , x   k 2
2
D.
, k ��.
4 cos2 x  cot 2 x  6  2  2 cos x  cot x 
Câu 3: Cho phương trình:
. Hỏi có bao nhiều nghiệm x
thuộc vào khoảng (0;2 ) ?
C.

x

2

 k

, k ��.

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Cho phương trình: 4 cos x  cot x  6  2 3  2 cos x  cot x  . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc

vào khoảng (0;2 ) ?
2

Câu 4:

A. 3 .
Câu 5: Phương trình:
A.

x

2

B. 2 .
C. 1 .
sin 3 x  cos x  2sin 3 x   cos 3 x  1  sin x  2 cos 3 x   0


 k
2
.

x



k
4
2.

x


 k 2
3
.

B.
C.
4x
cos
 cos 2 x
3
Câu 6: Giải phương trình
.
�
�
�
�
x  k3
x  k
�
�


�
�
x  �  k3
x  �  k
x  k3

�
�
�
4
4
�
�
�

5
5
�
�
�
x  �  k3
x  �  k3
x  �  k
4
4
4
A. �
.
B. �
.
C. �
.
.
1  sin x
1  sin x
4

��


x ��
0; �
1

sin
x
1

sin
x
2�
3
�
Câu 7: Giải phương trình
với
.
A.

x


12 .

B.
sin 2 x

x


4.

C.

x

D. đáp số khác.
có nghiệm là:
D. Vô nghiệm.

x  k3
�
�
5
�
x  �  k3
4
D. �


3.

D.

x


6.

cos2 x

2
 m có nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là:
Câu 8: Để phương trình: 2
A. 1 �m � 2 .
B. 2 �m �2 2 .
C. 2 2 �m �3 .
D. 3 �m �4 .

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
 Chia hai vế phương trình cho
(1) 

sin 
 Đặt:

a
2

2

a b

a2  b2 ta được:
a
b
sin x 
cos x 
2
2
2
2
a b
a b

, cos 

b
2

2

a b

phương trình trở thành:

 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
c
2

2

a b

a2  b2

0, 2 �
  ��

�
�

sin .sin x  cos .cos x 
� cos(x   ) 

c

c
2

2

a b

c
a2  b2

 cos (2)

�1 � a2  b2 �c2.

 (2) � x   �  k2 (k �Z)
Lưu ý:
�
�
1
3

sin x � 3 cos x  2 � sin x 
cos x � 2sin( x  )
2
2
3
�
�
�
�3
�
1

3 sin x �cos x  2 � sin x � cos x � 2sin( x � )
2
6
�2
�
�
1


�1
�
sin x �cos x  2 � sin x � cos x � 2 sin( x � )
4 .
2
�2
�
�
Cách 2:
a) Xét
b) Xét

x    k2 �
x �۹ k2

x 
  k
2 2
có là nghiệm hay không?
x
cos
0.
2

x
2t
1 t2
t  tan , thay sin x 
, cos x 

,
2
1 t2
1 t2 ta được phương trình bậc hai theo t:
Đặt:

(b  c)t2  2at  c  b  0 (3)

Vì x �  k2 � b  c �0, nên (3) có nghiệm khi:

 '  a2  (c2  b2) �0 � a2  b2 �c2.
x
tan  t0.
2
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình:
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

Ghi chú:
1)
Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2)
3)

2
2
2
Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a  b �c .
Bất đẳng thức B. C. S:

y  a.sin x  b.cos x � a2  b2 . sin2 x  cos2 x  a2  b2
� min y   a2  b2 va�
max y

a2  b2 �

sin x cos x
a

� tan x 
a
b
b

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x
2
A. sin x  cos x  1  0 .
B. sin 2 x  cos x  0 .
C. 2 cos x  3sin x  1 .
D. 2 cos x  3sin 3 x  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Phương trình a sin x  b cos x  c
nhất đối với sin x, cosx .

 1

2
2
trong đó a, b, c �� và a  b �0 được gọi là phương trình bậc

Câu 2:

Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:
A. 2 cos x  3  0 .
B. 3sin 2 x  10  0 .
2
C. cos x  cos x  6  0 .
D. 3sin x  4 cos x  5 .
Hướng dẫn giải::
Chọn D .
Câu D: 3sin x  4 cos x  5 , đây là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x .
2
2
2
Phương trình trên có nghiệm vì 3  4  25 �5 .
3
� cos x   1 �
2
Câu A: 2 cos x  3  0
PT vô nghiệm.
10
1�
3

Câu B:
PT vô nghiệm.
cos x  3  1
�
��
2
cos x  2  1 � PT vô nghiệm.
�
Câu C: cos x  cos x  6  0
Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
1
sin x 
3.
A.
B. 3 sin x  cos x  3 .
sin 2 x 

C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4cos x  5 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2
2
2
PT 3 sin x  cos x  3 vô nghiệm vì không thoả ĐK a  b �c
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
1
cos x 
3.
A.

B. 3 sin x  cos x  1 .
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4 cos x  6 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

1
1
Câu A có nghiệm vì 3
2
a 2  b 2  3  1  4   1
Câu B có nghiệm vì
2
a2  b2  3  1  4   2
Câu C có nghiệm vì
.
2
2
2
2
2
Câu D vô nghiệm vì a  b  3  4  25  6 .
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 2sin x  cos x  3 .

3 sin 2 x  cos 2 x  2
C.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
2
2
2
2
Câu A vô nghiệm vì a  b  2  1  5  3 .
Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm.
1
sin x 
4.
A.
3 sin 2 x  cos 2 x  4
C.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
1
Câu A có nghiệm vì 4

Lượng giác – ĐS và GT 11

B. tan x  1 .
D. 3sin x  4 cos x  5

B.

.

3 sin x  cos x  1 .

D. 3sin x  4 cos x  5 .

Câu B có nghiệm vì

a 2  b 2  3  1  4   1

Câu C vô nghiệm vì

a 2  b2  3  1  4   4 

2

2

.
2
Câu D có nghiệm vì a  b  3  4  25  5 .
Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
1
1
cos 4 x 
2
A. 3 sin x  2
B. 4

2

2

2

C. 2sin x  3cos x  1
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Phương trình

3 sin x  2 � s inx 

2

2
D. cot x  cot x  5  0

2
2
1
3 , mà 3
nên phương trình vô nghiệm.

1
1
cos 4 x  � cos 4 x  2
2
Phương trình 4
nên phương trình vô nghiệm.

2
3
Phương trình 2sin x  3cos x  1 có 2 +3 >1 nên phương trình có nghiệm.
2
1 � 19
�
2
cot x  cot x  5  0 � �
cot t  �  0
2� 4
�
Phương trình
nên phương trình vô nghiệm.
Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2 x  cos 2 x  2
B. 3sin x  4cos x  5

sin x  cos
4
C.
D. 3 sin x  cos x  3
Hướng dẫn giải:
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

Chọn D

 3
Ta có:
Câu 9:
A.

2

  1  4   3
2

2

nên phương trình
Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

3 sin x  cos x  3 vô nghiệm.
B. cosx  3sinx  1

3 sin 2 x  cos 2 x  2
D. 2sinx  3cosx  1
C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
sin x  cos x �(12  (1)2 )(sin 2 x  cos 2 x)  2  3 nên phương trình vô nghiệm
cosx  3sinx �(12  32 )(sin 2 x  cos 2 x)  10  1 nên phương trình có nghiệm
3 sin 2 x  cos 2 x �(( 3) 2  (1) 2 )(sin 2 x  cos 2 x)  10  2 nên phương trình có nghiệm

2 sinx  3cosx �(22  32 )(sin 2 x  cos 2 x)  13  1 nên phương trình có nghiệm
Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:.
A. sin x  2 cos x  3 .
B. 2 sin x  cos x  2 .

2 sin x  cos x  1 .
D. 3 sin x  cos x  3 .
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Lần lượt thử các đáp án.
sin x  2 cos x  3 vô nghiệm vì 12  22  32 nên loại đáp án A.
2 sin x  cos x  2 vô nghiệm vì  2   1  2 nên loại đáp án B.
2 sin x  cos x  1 có nghiệm vì  2   1   1 . Vậy chọn C
2

2

2

2

2

2

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
A. sin x  cos x  3 .
B. 2 sin x  cos x  1 .
C. 2 sin x  cos x  1 .

D. 3 sin x  cos x  2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Lần lượt thử các đáp án.
sin x  cos x  3 vô nghiệm vì 12  12  32 nên chọn đáp án A.
Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
1
1
cos 4 x 
2.
A. 3 sin x  2 .
B. 4
2
C. 2sin x  3cos x  1 .
D. cot x  cot x  5  0 .
Hướng dẫn giải::
Chọn C .
Câu C: 2sin x  3cos x  1 là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x , phương trình có nghiệm khi
22  32  12 (đúng).
2
3 sin x  2 � sin x 
1
3
� PTVN.
Câu A:
1
1
cos 4 x  � cos 4 x  2  1 �
4
Câu B: 4

PTVN.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

2
Câu D: cot x  cot x  5  0 vô nghiệm do   19  0 .
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
A. cos 3 x  3 sin 3 x  2 .
B. cos 3 x  3 sin 3 x  2 .

sin x 


3.

C.
Hướng dẫn giải:
Chọn C

� �
� �
3sin �x  � 4 cos �x  � 5  0
� 3�

� 3�
D.
.

2
2
2
Các phương trình ở đáp án A, B, D để có dạng A cos ax  B sin ax  C và A  B �C nên các
phương trình này đều có nghiệm.
 3,14
m 
1
3
3
Phương trình ở đáp án C có dạng sin x  m với
nên phương trình này vô nghiệm.
cos
x

sin
x

1
Câu 14: Nghiệm của phương trình
là:


x  k 2 ; x   k 2
x  k ; x    k 2
2

2
A.
.
B.
.


x   k ; x  k 2
x   k  ; x  k
6
4
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
�  
x    k 2
�


2
�
�
�
�
� 2 sin �x  � 1 � sin �x  �
�� 4 4
 3

� 4�
� 4� 2
�
x 
 k 2
�
4
4
cos x  sin x  1
x  k 2
�
�
�
 k ��

�
x   k 2
� 2
.
Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:


x    k 2 ; x    k 2
x    k 2 ; x   k 2
2
2
A.
.
B.
.



x    k ; x  k 2
x   k  ; x  k
3
6
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

� 
x     k 2
�
2
� �
� �
4
� 2 sin �x  � 1 � sin �x  � 
�� 4

5

4
4
2
�
�

�
�
�
x 
 k 2
� 4
4
cos x  sin x  1
� 
x   k 2
�� 2
 k ��
�
x    k 2
�
.

Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x    2 là:

5

3
x    k 2 ; x 
 k 2
x    k 2 ; x 
 k 2
12
12
4
4

A.
.
B.
.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x


2
 k 2 ; x 
 k 2
3
3
.

D.

Lượng giác – ĐS và GT 11

x


5
 k 2 ; x  

 k 2
4
4
.

C.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
3
2



sin x 
cos x 
� cos .sin x  sin .cos x  sin
sin x  3 cos x    2
2
2
2
3
3
4



�
�
x    k 2

x    k 2
�
�


�
�
3 4
12
� sin �x  � sin � �
��
 k ��

3

5

4
� 3�
�
�
x 
 k 2
x
 k 2
�
� 12
4
� 3
.

�

Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x –  3 cos x  0  là:

x


 k 2
6
.

A.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Ta có sin x –  3 cos x  0 

B.

�

x


 k 2
3
.

C.

x


 k
6
.

D.

x


 k
3
.

x


 k .
2

� �
1
3
sin x –  cos x  0  � sin �x  � 0 
� 3�
2
2



 k � x   k  k ��
3
3
Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x  3 sin x  0 có nghiệm là


x   k .
x    k .
6
6
A.
B. Vô nghiệm.
C.
� x

D.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
3
1


sin x  cos x  0 � sin( x  )  0 � x   k ,  k �� .
2
2
6
6

 0;   là
Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
cos x  3 sin x  0 �

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

� �
� � 2
sin x  cos x  1 � 2 sin �x  � 1 � sin �x  �
� 4�
� 4� 2
� 
x   k 2

� �
� sin �x  � sin � � 2
,  k ��
�
4
� 4�
x  k 2
�
.

 0;  

Trên khoảng

x


2.

phương trình có 1 nghiệm là
Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 là :

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x  k 2
�
� 
�
x   k 2
�
2
B.
.

A. x  k 2 .

C.

x

Lượng giác – ĐS và GT 11


 k 2
4
.

� 
x   k 2
�
4
�

�
x    k 2
4
D. �
.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

� �
� � 2
sin x  cos x  1 � 2 sin �x  � 1 � sin �x  �
� 4�
� 4� 2
� 

x   k 2

� �
� sin �x  � sin � � 2
�
4
� 4�
x  k 2
�
.
Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:
5
5

x
 k
 x 
 k 2
x    k
6
6
6
A.
.
B.
.
C.
.

D.

x


 k 2
6
.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

1
3
sin x 
cos x  1
2
2
 

� �
� sin �x  � 1 � x    k 2 � x   k 2 ,  k ��
3 2
6
� 3�
.

sin x  3 cos x  2 �









3  1 sin x  3  1 cos x  3  1  0
Câu 22: Phương trình
có các nghiệm là


�
�
x    k 2
x    k 2
�
�
4
2
, k ��
�
�


�
�
x   k 2
x   k 2
� 6
� 3

, k ��.
A.
B.
.


�
�
x    k 2
x    k 2
�
�
6
8
, k ��
, k ��
�
�


�
�
x   k 2
x   k 2
�
� 12
C. � 9
.
D.
.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
5
3 1
tan

12
3  1 . Chia hai vế PT cho 3  1 được
Ta có

5
5
5
5
5
� 5 �
sin �x 
.cos x  1  0
sin x.cos
 cos x.sin
 cos
0
�  cos
12
12
12
12
12
PT:


 � 12 �

� 
� 
� 5
x   k 2
x   k 2
x
   k 2
�
�
�
3
3
12
12
�
�
�

3

� 5 �
�  � � 5
�
�
x
    k 2
x
 k 2

x    k 2
sin �x 
 �
� sin �
� 2
�
(k ��)
12
2
� 12 � � 12
 � 12 �



sin x  tan

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x 

3
x    k 2 , x 
 k 2 , k ��
4
4
A.

.

2
x   k 2 , x 
 k 2 , k ��
3
3
C.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
3
2
sin x 
cos x 
2
2
Chia hai vế PT cho 2 ta được 2

Lượng giác – ĐS và GT 11

2 là


5
 k 2 , x 
 k 2 , k ��
12
12

B.
.

5
x    k 2 , x  
 k 2 , k ��
4
4
D.
.
x


� �
sin �x  � sin
4
 � 3�


�  
�
x    k 2
x    k 2
�
�
3 4
12
�
�



5
�
�
x      k 2
x
 k 2
�
�
(k ��)
3
4
12
�


Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  0 là




x   k , k ��
x   k , k ��
x   k , k ��
3
2
6
3
A.
.

B.
.
C.
.
D.


x   k , k ��
6
2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

� �
1
3
sin �2 x  � 0
2 x   k
sin 2 x 
cos 2 x  0
3�
2
3
Chia hai vế PT cho 2 ta được 2
 �





x  k
6
2 (k ��)
Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 .
x  k 2
�
� 
, k ��
�
x   k 2
A. x  k 2 , k ��.
B. � 2
.

x


 k 2 , k ��
4
.

C.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

� 
x   k 2
�
4
, k ��

�

�
x    k 2
�
4
D.
.
� �
� � 1
2 sin �x  � 1 � sin �x  �
� 4�
� 4� 2

Phương trình đã cho tương đương với
�  
x    k 2
�
x  k 2
�
�� 4 4
�



�
�
x      k 2
x   k 2
� 4

(k ��)
4
� � 2
Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x  cos 3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 25