PHÉP vị tự

PHÉP VỊ TỰ.
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.

Làm thế nào để phóng to tranh Đông Hồ theo một kích thước mong muốn theo một hình cho
trước?

Trang | 1


Làm thế nào người ta xây dựng được các Kim tự tháp giống nhau nhưng kích thước khác
nhau?

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
1. ĐỊNH NGHĨA.
+) HĐ1: Khởi động.

GỢI Ý

Chúng ta hãy quan sát hai bức chân dung ở hình vẽ dưới
đây. Tuy kích thước của chúng khác nhau nhưng hình dạng
của chúng rất “giống nhau” (ta nói chúng “đồng dạng” với
nhau). Vì bức nhỏ hơn là chân dung của nhà toán học Hinbe nên bức lớn hơn cũng là chân dung của nhà toán học đó.

Sau đây, chúng ta sẽ nói về các phép biến hình không làm
thay đổi hình dạng của hình. Trước hết, trong bài này, ta
nói đến phép vị tự, một trường hợp riêng của những phép
biến hình như thế.

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Trang | 2

Cho uđiểm
uuur O và
uuursố k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao
cho OM ' = kOM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.
(O, k)

Kí hiệu: V

: phép vị tự tâm O, tỉ số k.

Ví dụ 1. Trong hình 1.51b phép vị tự tâm O,tỉ số 1,8 biến hình nhỏ thành hình lớn.

+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

uuur
HĐ3.1. Các điểm A’, B’ lần lượt là
OA '
ảnh của các điểm A, B qua phép vị k = uuu
r = 2� k = - 2
tự tâm O, tỉ số k bằng bao nhiêu?
OA
uuur
uuu
r
(Vì OA ' và OA ngược hướng)

HĐ3.2. Cho tam giác ABC. Gọi A’ là trung điểm của BC, G là trọng tâm. Tìm

một phép vị tự biến A tương ứng thành A’.
HĐ3.3. (Hình thành nhận xét trong SGK)
1. Phép vị tự biến tâm vị tự thành điểm nào?
2. Phép vị tự với tỉ số k = 1 là phép biến hình nào?
Trang | 3


3. Phép vị tự với tỉ số k = -1 là phép biến hình nào?
4.

M ' = V(O,k)(M ) . Tìm phép vị tự biến M’ thành M?

2. TÍNH CHẤT 1.
+) HĐ1: Khởi động.

GỢI Ý

Cho tam giác ABC. Gọi B’, C’ lần lượt
là các điểm nằm trên cạnh AB, AC sao
cho: AB = 3AB’, AC = 3AC’. Hỏi BC
bằng bao nhiêu lần B’C’?

Dùng tính chất đồng dạng của 2 tam
giác. Đó chính là phép vị tự tâm A, tỉ số
k=

1
biến đoạn BC thành B’C’.
3

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì
uuuuuur
uuuu
r
�
�M ' N '  k .MN
�
�M ' N '  k .MN

+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

HĐ3.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai
uuur
điểm A(2; -1) và B(-1; 3). Gọi A’ và B’ Ta có: AB = AB = 5
lần lượt là ảnh của A, B qua phép vị tự
tâm O, tỉ số -4. Tính độ dài đoạn thẳng A 'B ' = - 4 AB = 20
A’B’?
HĐ3.2. Cho tam giác OMN. Dựng ảnh của M, N qua phép vị tự tâm O tỉ số k trong
mỗi trường hợp sau:
a) k = 3
b) k = 1/2
c) k = -3/4
Trang | 4


3. TÍNH CHẤT 2.
+) HĐ1: Khởi động.

GỢI Ý

Từ Khởi động của Tính chất 1, vị trí
tương đối của hai đường thẳng BC và BC // B’C’
B’C’ như thế nào?
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Phép vị tự tỉ số k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa
các điểm ấy.
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia
thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
d)

Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R.

+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

HĐ3.1. Hãy điền kết quả đúng (Đ), sai (S)
vào các ô trống dưới đây.
1) Phép vị tự tỉ số 3 biến tam giác thành 1) Sai
2) Đúng
tam giác bằng nó.
2) Phép vị tự tỉ số 1 biến đoạn thẳng AB
thành đoạn thẳng A’B’ thì A’B’ = AB

Trang | 5


HĐ3.2. Cho tam giác ABC có A’, B’, C’
theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Vì AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại G nên
Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC G là tâm vị tự cần tìm.
uuur
thành tam giác A’B’C’?
GA '
1
1
k = uuu
r = �k =2
2
GA
uuur
uuu
r
(Vì GA ' và GA ngược hướng)
C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.

Bài toán.

Bài toán 1: Cho hình thang ABCD có
các đáy CD = 3AB. Hãy xác định các
uuur
uuu
r
uuu
r

phép vị tự biến AB thành DC , biến AB
uuur
thành CD .

GỢI Ý

a) Gọi I là giao điểm của AD và BC,
uuu
r uuur
V
AB
 DC .
khi đó ( I ,3)

 

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD,
uuu
r uuur
khi đó V( I ,3) AB  CD .

 

Bài toán 2:
a) Cho A(1;-3). Tìm toạ độ
A ' = V(O,- 2)(A) .
b) Cho đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0.
Tìm phương trình đường thẳng

uuur

uuu
r
A ' = V(O,- 2)(A) � OA ' = - 2OA
a)
� A '(- 2;6)
b) Chọn M(-3; 0) ∈ d. Gọi
M ' = V(I ,2)(M ) � M'(- 7;- 2) �d'
Trang | 6


d ' = V(I ,2)(d) biết I(1; 2).

Theo tính chất của phép vị tự d’ song
song hoặc trùng với d suy ra d’ có một
r
vtpt là n = (1;2)
Vậy phương trình d’ là: x + 2y +11 = 0.
Đường tròn (C) có tâm M(3; -1) và bán
kính R =

5.

Gọi đường tròn (C’) có tâm M’ và bán
Bài toán 3: Tìm ảnh của đường tròn (C):
kính R’ là ảnh của (C).
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 5 qua phép vị tự
�
�
tâm I(1; 2), tỉ số -2.
R ' = - 2R

R'=2 5
�
�
��
��
�
M ' = V(I ,- 2)(M ) �
M ' = (- 3;8)
�
�
�
�
(C’): (x + 3)2 + (y - 8)2 = 20

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG.
Đường kính của mặt trời

Trang | 7


Một nhóm học sinh quan sát ảnh của mặt trời bằng cách khoét trên bức tường của
một phòng kín một lỗ nhỏ. Khi đó ảnh của mặt trời trên bức tường đối diện là một
hình tròn có đường kính 2,8cm. Biết khoảng cách từ mặt trời đến trái đất là
149.100.000km, khoảng cách từ lỗ nhỏ đến tường hứng ảnh là 3m. Hãy ước lượng
đường kính của mặt trời.

Mặt trời
Ảnh

Gọi d1 là khoảng cách từ mặt trời đến lỗ tròn (lỗ để tạo ảnh), d2 là khoảng cách từ

lỗ tròn đến tường hứng ảnh, a1 là đường kính của mặt trời, a2 là đường kính của ảnh
trên tường.
Khi đó, ảnh trên tường chính là ảnh của mặt trời qua phép vị tự tâm I (I là vị trí của
d

2
lỗ tròn), với tỉ số k   d .
1

Vì khoảng cách từ mặt trời đến trái đất là rất lớn nên ta có thể coi
d1 �149.100.000.000m.

Trang | 8


Theo tính chất của phép vị tự ta có được a2  k a1 .
Từ đó suy ra:

a1 

1
a2 
k

1
.0,028  1.391.600.000m
3
.
149.100.000.000

Vậy đường kính của mặt trời xấp xĩ khoảng 1.391 triệu km.

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.
HÌNH TỰ ĐỒNG DẠNG VÀ HÌNH HỌC FRACTAL
Hình trong mặt phẳng được gọi là hình tự đồng dạng nếu mỗi mẩu nhỏ của nó đều
chứa một bộ phận đồng dạng với hình đó, tức là khi phóng to bộ phận này theo một
tỉ số thích hợp, ta có thể đặt chồng khít lên hình đã cho.
Ví dụ: đoạn thẳng, hình tam giác đều, hình vuông là các hình tự đồng dạng.
Nhiều hình tự đồng dạng được xây dựng bằng phương pháp lặp (xây dựng theo
từng bước). Ví dụ:

Tập Cantor: là tập con của đoạn [0,1], không chứa bất kỳ một đoạn thẳng nào
nhưng vẫn có lực lượng continum.

Hình 1. Tập Cantor


Đệm Sierpinsky: tuy không có điểm trong nhưng cũng có thể ánh xạ liên tục lên toàn bộ
hình vuông.



Hình bông tuyết Von Koch: tuy chỉ chiếm một diện tích nhỏ nhưng có chu vi dài vô hạn.

Trang | 9


Hình 2. Đệm Sierpinsky và bong tuyết Von Koch


Tập Julia: gồm những bộ phận là bản sao thu nhỏ của chính nó

Hình 3. Tập Julia với những giá trị khởi tạo khác nhau

CÁC ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC FRACTAL
Ứng dụng trong y học và sinh học
Các nhà khoa học đã tìm ra các mối quan hệ giữa Fractal với hình thù của tế bào, quá
trình trao đổi chất của cơ thể người, ADN, nhịp tim,... Trước đây, các nhà sinh học quan
niệm lượng chất trao đổi phụ thuộc vào khối lượng cơ thể người, nghĩa là nó tỉ lệ bậc 3
khi xem xét con người là một đối tượng 3 chiều. Nhưng với góc nhìn từ hình học Fractal,
Trang | 10


người ta cho rằng sẽ chính xác hơn nếu xem con người là một mặt Fractal với số chiều
xấp xỉ 2.5, như vậy tỉ lệ đó không nguyên nữa mà là một số hữu tỷ.
Việc chuẩn đoán bệnh áp dụng hình học Fractal đã có những tiến bộ rõ rệt. Bằng cách
quan sát hình dạng của các tế bào theo quan điểm Fractal, người ta đã tìm ra các bệnh lý
của con người, tuy nhiên những lĩnh vực này vẫn còn mới mẻ, cần phải được tiếp tục
nghiên cứu.
Ứng dụng trong hoá học
Hình học Fractal được sử dụng trong việc khảo sát các hợp chất cao phân tử. Tính đa
dạng về cấu trúc polyme thể hiện sự phong phú về các đặc tính của hợp chất cao phân tử
chính là các Fractal. Hình dáng vô định hình, đường bẻ gảy, chuỗi, sự tiếp xúc của bề mặt
polyme với không khí, sự chuyển tiếp của các sol-gel,... đều có liên quan đến các Fractal.
Sự chuyển động của các phân tử, nguyên tử trong hợp chất, dung dịch, các quá trình
tương tác giữa các chất với nhau,...đều có thể xem như một hệ động lực hỗn độn (chaos).
Ứng dụng trong vật lý
Trong vật lý, khi nghiên cứu các hệ cơ học có năng lượng tiêu hao (chẳng hạn như có lực
ma sát) người ta cũng nhận thấy trạng thái của các hệ đó khó xác định trước được và hình
ảnh hình học của chúng là các đối tượng Fractal.

Dự báo thời tiết
Hệ thống dự báo thời tiết được coi là một hệ động lực hỗn độn (chaos). Nó không có ý
nghĩa dự đoán trong một thời gian dài (một tháng, một năm) do đó quy luật biến đổi của
nó tuân theo qui luật Fractal.
Thiên văn học
Các nhà khoa học đã tiến hành xem xét lại các quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt
trời cũng như trong các hệ thiên hà khác. Một số kết quả cho thấy không phải các hành
tinh này quay theo một quỹ đạo Ellipse như trong hình học Eulide mà nó chuyển động
theo các đường Fractal.

DANH SÁCH NHÓM 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Văn Thị Hạnh – THPT Lê Quý Đôn
Nguyễn Thị Thanh Nam - THPT Lê Quý Đôn
Thái Phúc Ánh – THPT Lý Tự Trọng
Trần Lê Xuân Hạnh – THPT Nguyễn Thị Minh Khai
Lê Văn Tiến – THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Nguyễn Thị Thanh Hải - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Trang | 11


7. Nguyễn Thị Phương Thảo – THPT Chuyên Nguyễn Du
8. Lại Thị Ánh Vân - THPT Chuyên Nguyễn Du
9. Phạm Tín – THPT Trần Quang Khải

10. Đỗ Trung Kiên - THPT Trần Quang Khải

Trang | 12