TÀI LIỆU THAM KHẢO PHÂN TÍCH các QUAN điểm LỊCH sử KHOA học về VAI TRÒ của TOÁN học TRONG NHẬN THỨC KHOA học

PHÂN TÍCH CÁC QUAN ĐIỂM LỊCH SỬ KHOA HỌC VỀ
VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC TRONG NHẬN THỨC KHOA HỌC
1. Sự phát triển của các quan điểm trước Mác về vai trò của
toán học trong nhận thức khoa học
1.1. Quan điểm của những nhà triết học thời cổ đại
Trong lịch sử toán học, các phát minh của người Hy Lạp cổ đại đã
làm thay đổi mạnh mẽ phong cách tư duy lôgíc và phương hướng của toàn
bộ tư tưởng toán học. Chính những phát minh đó đã tạo ra các nguyên tắc
của tư duy khoa học mà cho đến ngày nay vẫn còn nguyên giá trị. Theo
cách đánh giá của Lênin, các giá trị của tư tưởng Hy Lạp cổ đại là ở chỗ,
chúng đã tạo ra các "hệ thống thử nghiệm" của tư duy lý thuyết.
Những quan niệm đầu tiên về số lượng ở Hy Lạp đã được các nhà
triết học ở Milet phát triển, trong đó nổi bật nhất là phép chứng minh các
định lý hình học đầu tiên của nhà triết học cổ đại nổi tiếng - Talét về chia
đường tròn làm đôi bằng đường kính, hai góc ở đáy của tam giác cân bằng
nhau, hai tam giác có một cạnh và hai góc bằng nhau thì bằng nhau. Phép
chứng minh này đã đóng một vai trò to lớn trong việc phân tích bản chất
của số lượng trong toán học, đồng thời nó cũng đã đặt cơ sở để xây dựng lý
thuyết suy diễn một cách hệ thống về các hình dạng không gian đơn giản nhất.
Trong thời kỳ cổ đại một trong những khuynh hướng nổi bật là
khuynh hướng coi toán học và các đối tượng của nó không phải là cái gì đó
xa lạ với thế giới bên ngoài được tri giác cảm tính mà trái lại chúng như là
những bộ phận cấu thành thế giới đó. Quan điểm này thể hiện rõ nhất trong
tư tưởng của trường phái Pitago về số. Trường phái này đã coi các số là
khởi nguyên của toàn bộ những cái đang tồn tại. Các số ở trường phái
Pitago chính là đối tượng của toán học, chúng được xuất hiện như là những
thành phần cấu tạo nào đó giúp cho con người khả năng định hướng thế
giới xung quanh. Các số đối với trường phái này là nguyên tắc thể thức hóa

1

các đồ vật nhằm mục đích làm cho ý thức con người nắm được chúng. Số
làm cho con người có thể phân biệt được đồ vật này với đồ vật khác, hợp
nhất các đồ vật khác nhau thành nhóm, so sánh chúng và nói chung là xây
dựng các đồ vật không chỉ trong đời sống mà trong cả ý thức. Đó chính là
quan điểm có tính chất nhận thức luận đối với toán học. Trong học thuyết
về số của trường phái Pitago, chúng ta nhìn thấy rất rõ cả khuynh hướng
khoa học và tôn giáo thần bí đan xen nhau. Chính sự kết hợp đó đã tạo ra
mâu thuẫn bên trong của phương pháp tư duy của trường phái này. Pitago
đã áp dụng các phương pháp số lượng trong lý thuyết âm nhạc, đã tìm ra
định lý Pitago về tam giác vuông và một loạt các định lý về các số nguyên
tố, về cấp số. Có thể nói rằng, những người theo trường phái Pitago đã cố
gắng "toán học hóa thực tại", song chủ nghĩa thần bí và chủ nghĩa duy tâm
của trường phái này đã kìm hãm sự phát triển của toán học. Từ lập trường
đó họ đã phủ định tính vô tỉ trong hình học (tức là, tính vô ước của đường
chéo hình vuông với các cạnh của nó), mà chính phát minh này đã dẫn tới
cuộc khủng hoảng đầu tiên trong lịch sử của các cơ sở phương pháp luận
của lý thuyết toán học về số lượng. Về thực chất, mâu thuẫn mà phái Pitago
nêu ra giữa tính gián đoạn và tính liên tục, giữa số học và hình học, về sau
này đã thúc đẩy sự phát triển của các quan niệm về số lượng.
Zenon, bằng các nghịch lý của mình đã chỉ ra một cách đầy đủ hơn
và sâu sắc hơn bản chất bên trong và đặc điểm của số lượng. Nếu như trước
đó, số lượng được hiểu là số, là cái gì hoàn toàn rời rạc, thì nguyên lý của
Zenon đã chỉ ra rằng "số lượng trong tự thân" và "số lượng cho cái khác" là
các dạng, các yếu tố, các phương diện và hình thức thể hiện của số lượng.
Trong nghịch lý "Asin và con rùa" Zênon đã phát hiện ra mối liên
hệ bên trong giữa các tập hợp vô hạn khác nhau về đại lượng. Thật vậy,
giữa tập hợp vô hạn các đoạn thẳng mà Asin đã chạy qua và tập hợp vô hạn
các đoạn thẳng mà con rùa đã bò qua, có thể xác lập một sự tương ứng một
- một. Kết quả là cả tập hợp vô hạn thì tương đương với một bộ phận thực

sự của nó. Nghịch lý này đã phát hiện ra một tình huống ly kỳ là: một "bộ
2


phận" của thời gian bằng "toàn thể" thời gian đó. Điều này thật vô lý. Tiên
đề "toàn thể lớn hơn bộ phận" chỉ có nghĩa trong phạm vi các đại lượng
hữu hạn, còn trong phạm vi các đại lượng vô hạn thì lại tồn tại nguyên tắc
bộ phận tương đương với toàn thể. Nguyên tắc này có giá trị nền tảng trong
việc nhận thức các quan hệ số lượng. Công lao lịch sử của Zenon là ở chỗ,
ông đã chứng minh được rằng, các khái niệm "bộ phận", "toàn thể" và bằng
nhau chỉ có thực trong phạm vi đối tượng hữu hạn, nghĩa là trong lĩnh vực
các đại lượng hữu hạn. Khi chuyển sang phạm vi đối tượng vô hạn, các
khái niệm đó cần được tổng quát hóa.
Tuy nhiên, Zenon đã đồng nhất sự tương đương với sự bằng nhau,
trong khi đó chúng khác nhau một cách rất cơ bản. Cơ sở các nghịch lý của
Zenon còn bao hàm khái niệm tập hợp vô hạn, khái niệm này có một giá trị
logic - nhận thức to lớn. Với sự xuất hiện của nó thì việc nhận thức các
phương diện số lượng trở thành sâu sắc hơn và khái niệm số nguyên được
tách ra, phân hóa thành khái niệm lực lượng và khái niệm số lượng xác định.
Trong sự phát triển của các quan niệm số lượng trong toán học,
quan niệm vô hạn đóng vai trò rất quan trọng. Có thể nói rằng, thành tựu vĩ
đại của người Hy Lạp là biến sự đối lập cực đoan của vô hạn và hữu hạn
thành công cụ có hiệu lực để nhận thức thực tại. Về vấn đề này, trong triết
học và toán học cổ đại Hy Lạp đã nảy sinh hai quan niệm đối lập nhau về
vô hạn. Thứ nhất, quan niệm vô hạn thực tại được nảy sinh trong lòng triết
học, sau đó chuyển sang phạm vi toán học và đã có ảnh hưởng tích cực to
lớn đối với toán học. Trong quan niệm này đã phản ánh khía cạnh ổn định,
tĩnh tại của vô hạn. Quan niệm này cho đến ngày nay vẫn còn giữ nguyên
giá trị. Thứ hai, quan niệm về vô hạn tiềm năng được nảy sinh trên cơ sở
giải quyết các mâu thuẫn trong hệ thống của Zenon. Aristôte là người đầu

tiên đưa ra quan niệm khoa học về vô hạn tiềm năng. Ở đây cần phải hiểu
rằng, nếu vô hạn thực tại là cái hoàn chỉnh, cái đã hoàn thành, tức là mặt ổn
định của vô hạn, thì vô hạn tiềm năng là cái chưa hoàn chỉnh, cái đang hình
thành, đang phát triển, tức là nó bao hàm mặt động của vô hạn đa dạng và
3


mâu thuẫn. Chính vì vậy giữa vô hạn thực tại và vô hạn tiềm năng vừa có
sự thống nhất vừa biểu thị sự tách đôi của vô hạn thống nhất và sự nhận
thức các mặt, các bộ phận độc lập của nó.
Trong các tác phẩm của Platôn đã thể hiện sự cố gắng nghiên cứu
phép biện chứng của cái đơn nhất và cái đa tạp, cái vô hạn và cái hữu hạn,
phát hiện bản chất của tri thức lý thuyết. Theo Platôn, toán học là công cụ
để phát triển tư duy logic, và ông đã phát hiện ra phương pháp phân tích
toán học. Đối với Platôn, toán học là một trong những nguồn gốc quan
trọng của toàn bộ tư duy khoa học. Theo ông, toán học phát triển trên cơ sở
sự suy luận nằm ở trung gian giữa cảm giác và tư duy.
Platôn đã phân biệt phương pháp nhận thức toán học với cả nhận
thức cảm tính và nhận thức thông qua các ý niệm. Ông cho rằng, tri thức
toán học không phải là tri thức trùng với cái đạt được nhờ ý niệm. Đồng
thời cũng như các ý niệm, các đối tượng toán học là không biến đổi, các
tính chất của chúng không phụ thuộc vào các khuôn mẫu đơn nhất thể hiện
chúng. Nhưng đồng thời những cái đó chưa phải là các ý niệm, bởi vì nhà
toán học trong các phép chứng minh của mình đã bắt buộc phải dựa vào
các hình riêng lẻ như họ vẫn thường thực hiện trong hình học. Theo Platôn,
khi nhà toán học sử dụng các hình được nhận thức một cách cảm tính mà tự
ông ta vẽ ra, đồng thời suy luận về các hình vẽ đó, thì ông ta tiến hành phép
chứng minh không phải đối với các đồ vật được nhận thức một cách cảm
tính, mà đối với những hình là đại diện đơn nhất của các đồ vật đó. Ví dụ,
khi nghiên cứu các hình tam giác, nhà toán học chứng minh các mệnh đề

không chỉ đúng với hình tam giác vuông vẽ trên giấy, mà còn đúng với hình
tam giác vuông khác, nghĩa là đúng đối với các tam giác vuông nói chung.
Chính vì vậy Platôn đã coi phương pháp toán học thấp hơn so với trí tuệ, vì
trí tuệ không cần dựa vào các đồ vật cảm tính, mà chỉ xuất phát từ các giả
thiết thôi, vẫn đạt được các nguyên lý của các giả thiết. Platôn gọi phương
pháp toán học là suy luận và đặt nó ở trung gian giữa trí tuệ thuần túy và

4


biểu tượng cảm tính. Tư tưởng này của trường phái Platôn đã thể hiện rất rõ
khi đối lập gay gắt các đồ vật đơn nhất được nhận thức cảm tính với các
kiến tạo toán học trừu tượng. Nhưng trong bối cảnh như vậy, thì các luận đề
toán học lấy từ đâu ra? Platôn đã trả lời câu hỏi đó bằng lý thuyết hồi tưởng
của mình. Từ lý thuyết hồi tưởng Platôn rút ra kết luận rằng trong bản thân
con người chưa biết về một cái gì đó vẫn tồn tại những ý kiến đúng về cái
mà người ta chưa biết đó. Theo ông, cá thể trong quá trình nhận thức liên
hệ với các sự kiện thông qua lăng kính của một số khái niệm, người đó sẽ
nhớ lại các sự kiện và chúng chính là sản phẩm của đời sống quá khứ, là
tiền thế của nó. Như vậy, trong cái vỏ huyền bí mà Platôn bao trùm lên các
sự kiện đó, có một tư tưởng hợp lý về bản chất xã hội của tư duy nói chung
và tư duy toán học nói riêng.
Trong quan điểm của Aristôt, đối tượng của toán học không tồn tại
riêng lẻ, cũng không tồn tại ở bên trong các đồ vật cảm tính. Nó được xác
định bằng con đường loại bỏ mọi thuộc tính cảm tính và chỉ giữ lại tính xác
định về số lượng và tính liên tục. Như vậy, theo Aristôt, toán học không
phải là khoa học về các đồ vật cảm tính, song nó cũng không phải là khoa
học về các đối tượng khác tồn tại ở bên ngoài các đồ vật đó. Aristôt đã
minh họa quan niệm đó bằng các ví dụ về sự vận động. Ông cho rằng, khi
các đồ vật chỉ được coi là các đồ vật đang vận động thì đối với chúng có

thể áp dụng nhiều suy luận, bất kể chúng là cái gì. Nhưng từ đó không thể
kết luận rằng, sự vận động đang tồn tại tách rời các đồ vật cảm tính. Từ
quan điểm đó, chỉ có thể gán cho các đối tượng toán học sự tồn tại độc lập,
trong chừng mực ta có thể gán sự tồn tại độc lập không chỉ cho những cái
có khả năng tồn tại cô lập, mà còn cho cả những cái không có khả năng tồn
tại như vậy. Về vấn đề này, V.I.Lênin đã nhận xét rằng, Aristốt đã giải quyết
một cách tuyệt vời, chính xác, rõ ràng, một cách duy vật những khó khăn của
vấn đề trừu tượng hóa toán học. Lênin viết: "Toán học và các khoa học khác
trừu tượng hóa một trong những mặt của vật thể, của hiện tượng của sự
sống" (1).

5


Trong khi giải quyết về cơ bản một cách duy vật một số vấn đề triết
học phức tạp nhất của toán học, Aritốt và các nhà duy vật trước Mác đã
phạm tất cả những thiếu sót của chủ nghĩa duy vật cũ, chủ nghĩa duy vật
thụ động, không chú ý đến vai trò tích cực, sáng tạo của chủ thể. Các đối
tượng toán học trừu tượng là sự phản ánh của thực tại ra bên ngoài và
không phụ thuộc vào con người, nhưng không phải là sự phản ánh tiêu cực,
thụ động, mà là sự phản ánh tích cực, có định hướng thực tiễn rõ ràng. Như
vậy các đối tượng toán học có những tính chất mà trong tự nhiên không có.
Theo nghĩa đó, không thể đồng ý với Aritốt khi ngay từ đầu ông đã giới hạn
phạm vi của các nguyên lý xuất phát của toán học vào "những cái tồn tại"
và không chấp nhận những kiến tạo "thuần túy", "tưởng tượng" mà theo
ông là chúng tương đương với những cái ảo tưởng không hề tồn tại.
Trong lịch sử khoa học, tác phẩm "cơ sở" nổi tiếng của Ơclít được
coi là sự tổng hợp toàn bộ toán học Hy Lạp cổ đại. Quan điểm lịch sử xem
"cơ sở" của ơclít là công trình xác định các trình độ và giai đoạn khác nhau
của tư duy toán học cổ đại là hoàn toàn đúng đắn. Công lao - của ơclít là ở

sự tổng quát hóa ở mức độ cao hơn và phát triển các lý thuyết toán học của
các nhà toán học tiền bối và đương thời của mình về số lượng, là sự kết nối
logic của tất cả các lớp quan điểm của toán học Hy Lạp cổ đại. Trong tác
phẩm "cơ sở" của ơclít đã trình bày số học và hình học, nhưng hình học
được xây dựng bằng phương pháp tiên đề, còn số học được xây dựng bằng
phương pháp sinh thành. Như vậy, một mặt ơclít gần với phương pháp luận
của Acsimét, Platôn và Aristốt, mặt khác ông gần với phương pháp luận
của Đêmôcrit. Việc sử dụng phương pháp tiên đề để xây dựng lý thuyết số
lượng đã chứng tỏ giá trị lịch sử của tác phẩm cơ sở. So với tất cả các công
trình trước đó, lý thuyết về các phép chứng minh trong "cơ sở" đều là mới lạ.
Đồng thời, trong tác phẩm "cơ sở" cũng mang đậm dấu ấn về tính hạn chế của
phương pháp tư duy thời cổ đại. Các thiếu sót cơ bản của tác phẩm này là các
khái niệm xuất phát không được định nghĩa trong khuôn khổ của hệ lý thuyết
đó, chúng không rõ ràng và không chặt chẽ. Ơclít chưa hiểu biết đầy đủ về

6


đường thẳng và phép chứng minh lôgic về tính song song của các đường
thẳng chưa được thỏa đáng, do đó "cơ sở" đã phải nhường chỗ cho các hệ
lý thuyết khác phát triển đầy đủ hơn của Lôbasepxki, Bôliai, Rieman v.v...
Công trình nổi tiếng của Acsimét về "phép đếm các hạt cát" đã trình
bày việc xác định số hạt cát trong không gian vũ trụ. Trong công trình đó,
ông đã chứng minh tính vô hạn của những dãy số. Đồng thời Acsimét cũng
đã nêu ra biểu thức gần đúng đối với số π, đã phát triển các cơ sở của phép
tính vi phân và tích phân.
Tóm lại, những tài liệu của các nhà khoa học cổ đại đã chứng tỏ
rằng, tư tưởng Hy Lạp cổ đại đã nêu các vấn đề liên quan tới phép biện
chứng của chất lượng và số lượng, của gián đoạn và liên tục, của hữu hạn
và vô hạn, nhưng toán học về các vấn đề đó lại chưa quán triệt tư tưởng của

vô hạn. Đồng thời, mặc dù toán học thời đó có bao hàm yếu tố của vấn đề
biến đổi, của các số vô tỉ, của các đại lượng vô cùng bé, song nó vẫn chỉ ở
trong khuôn khổ của hữu hạn, tức là của các số ở ngoài phạm vi của mâu
thuẫn. Khi đánh giá các thành tựu của triết học Hy Lạp cổ đại, Lênin đã
nhận xét rằng, ở đó có sự công nhận miễn cưỡng, vì bị cưỡng bức sự thống
nhất của các mâu thuẫn, tuy không công nhận phép biện chứng do sự hèn
nhát trong tư tưởng.
Có thể nói rằng, những khó khăn về nhận thức luận nảy sinh ra
trong tư duy toán học cổ đại và cơ sở kinh tế nguyên thủy thấp kém của xã
hội chính là nguồn gốc của những hạn chế của lý thuyết toán học Hy Lạp
cổ đại về số lượng. Ví dụ, trình độ trừu tượng toán học thời đó không cho
phép người Hy Lạp giải được bài toán cầu phương hình tròn, chia ba một
góc, bài toán về sự tồn tại các số vô tỉ v.v... Việc tư duy cổ đại sợ hãi mâu
thuẫn và vô hạn là xuất phát từ trong đời sống, từ trình độ thấp kém của
toàn bộ các mặt, mà trước hết là của văn hóa vật chất.
Việc phân tích số lượng trong tư tưởng Hy Lạp cổ đại cũng đáng
ghi nhận ở sự thống nhất quan điểm triết học và toán học cụ thể, ở sự kết

7


hợp độc đáo của sự phát triển nhận thức và toán học, của phép biện chứng
và toán học về số lượng. Nhìn chung các trường phái triết học cổ đại như
Pitago, Platon, Aristôt đã dành cho toán học một vị trí quan trọng. Các
trường phái này đã lấy toán học làm cơ sở cho phép biện chứng là xuất phát
từ nguyên nhân sâu xa là khi đó mô hình của vận động nói chung là sự vận
động cơ học. Khuynh hướng quan niệm một cách sinh động và cụ thể về
các sự vật và khuynh hướng xây dựng cơ sở toán học bên trong phép biện
chứng là đặc trưng cho toàn bộ tư tưởng cổ đại. Ở đây, chúng ta nhận thấy
mối quan hệ hữu cơ giữa phép biện chứng cổ đại và toán học, giữa sự phát

triển của nhận thức và toán học trong việc phân tích vấn đề số lượng. Trong
mối quan hệ đó, nét đặc trưng là vai trò của toán học trong nhận thức đã
không ngừng được tăng lên.
1.2. Phân tích quan điểm của những nhà triết học thời cận đại
Trong thời kỳ cận đại, toán học và các khoa học có sử dụng toán
học đã đạt được nhiều thành tựu rất khả quan, đó chính là nguyên nhân làm
cho các nhà triết học quan tâm nhiều đến toán học. Trong số những nhà
triết học quan tâm đến toán học, đặc biệt nổi lên là các nhà triết học duy lý
mà điển hình là Đêcactơ, Lepnitxơ và Spinơda.
Đêcactơ, trong khi đặt nhiệm vụ phổ cập phương pháp toán học vào
việc nhận thức không chỉ các đại lượng, mà cả các đối tượng khác, đã đi
đến việc xây dựng "toán học vạn năng". Trong tác phẩm "luận về phương
pháp", Đêcactơ đã "mở rộng đặc trưng "toán học vạn năng" vào tất cả các
tri thức chân thực không trừ một loại nào. Ông tin tưởng rằng mọi đối
tượng của tri thức chân thực đều có cùng một quan hệ với nhau giống như
quan hệ giữa các chứng minh toán học vậy. Theo ông, tất cả mọi đối tượng
của tri thức chân thực có thể phân bố trong một dãy như thế này: một thành
phần của dãy trở thành rõ ràng nhờ nhận thức một thành phần khác, thành
phần này lại nhờ thành phần tiếp đó và cứ thế mãi... cho đến khi thành phần
cuối cùng đã có đầy đủ cơ sở rồi"(2).

8


Như vậy, đối với Đêcactơ phương pháp chung để thu nhận được tri
thức đúng đắn, chân thực cần phải là phương pháp diễn dịch theo kiểu mẫu
toán học, có nghĩa là muốn rút ra chân lý mới thì phải đi từ những chân lý
đã có được từ trước đó.
Mọi cố gắng của Lepnitxơ để xây dựng khoa học kí hiệu tổng quát
đã tiến rất gần tới các tư tưởng của Đêcactơ về "toán học vạn năng". Mặc

dù có sự khác biệt cơ bản của các hệ thống triết học của Đêcactơ và
Lepnitxơ, nhưng sự quan tâm tới toán học đã làm cho tư tưởng của các ông
xích lại gần nhau. Lepnitxơ đã thiết lập một môn lôgíc học mới, đó là môn
lôgic học không phải của phép chứng minh, mà là của sự phát hiện các
chân lý và cũng như Đêcactơ, ông chú trọng đến toán học. Đêcactơ đã đưa
ra quan niệm chung về ngôn ngữ tổng quát, còn Lepnitxơ đã chỉ ra các
phương pháp xây dựng ngôn ngữ như vậy. Bước đầu tiên theo khuynh
hướng đó là xác định hệ thống các kí hiệu, thông qua đó cần biểu diễn các
yếu tố đơn giản của các đối tượng cơ sở thành đối tượng của khoa học đã
cho. Theo Lepnitxơ, các ký hiệu này cần phải ngắn gọn và cô đọng về hình
thức. Mục đích của Lepnitxơ là xây dựng được một ngôn ngữ chung để cho
phép hình thức hóa toàn bộ tư duy, vì vậy khi cấu tạo bộ chữ cái của tư
tưởng con người ta có thể thông qua tổ hợp các kí hiệu của bộ chữ cái đó
mà suy ra các tư tưởng dẫn xuất khác theo những quy tắc xác định. Kết quả
được mang lại là những suy luận dài dòng được trình bày dưới dạng các
quy tắc trực quan, điều chỉnh các phép toán với các kí hiệu. Theo tư tưởng
của Lepnitxơ, ngôn ngữ kí hiệu phải được áp dụng không chỉ riêng cho các
suy luận của các khoa học chính xác, mà cả cho các suy luận nói chung.
Theo Lepnitxơ, các công thức bằng kí hiệu cũng tuân theo các định luật,
mà những định luật này tuyệt đối không phụ thuộc vào một kinh nghiệm
nào đó. Ông đã nhấn mạnh rằng, mặc dù trong thiên nhiên không hề có hai
đồ vật hoàn toàn đồng nhất, nhưng chúng ta có toàn quyền phát triển
nguyên tắc đồng nhất coi như nguyên tắc của lôgic học và toán học. Đồng

9


thời, từ những nguyên tắc này cũng suy ra được tất cả các nguyên tắc toán
học khác. Nhưng khi xuất hiện một vấn đề: Có thể áp dụng các mệnh đề
toán học tổng quát vào các đối tượng thực nghiệm tồn tại ở ngoài lý trí như

thế nào? Để trả lời câu hỏi đó, Lepnitxơ đã dựa vào định luật về cơ sở đầy
đủ mà ông đưa ra ngoài phạm vi của lôgic học. Theo ông, các định luật
lôgic là các định luật áp dụng cho mọi thế giới, trong khi đó ông cho rằng
định luật về cơ sở đầy đủ thuộc về thế giới hiện thực. Tuy vậy, bản thân
định luật này cũng cần phải được luận chứng và khi giải quyết vấn đề then
chốt này, Lepnitxơ bắt buộc nêu ra nguyên tắc hài hòa tiền định để từ đó tìm
ra lối thoát.
Spinôda, trái lại với Lepnitxơ trên cơ sở xuất phát từ nguyên tắc
đồng nhất của thực tại và tư duy, cho nên ông không nêu vấn đề về quan hệ
của thế giới lôgic - toán học và thế giới thực tại. Đó là điểm khác nhau cơ
bản giữa Lepnitxơ và Spinôda. Spinôda tin tưởng vào sự cần thiết áp dụng
toán học vào nhận thức là dựa trên nguyên tắc duy vật cho rằng, trật tự và
liên hệ của các ý niệm cũng giống như trật tự và liên hệ của các sự vật.
Theo Spinôda, nếu giả sử trong thiên nhiên đã có một cái gì đó không hề có
mối quan hệ nào với các vật khác, thì ý niệm về nó cũng sẽ không có mối
liên hệ nào với các ý niệm khác. Nhưng vì trật tự của các vật là sao cho một
vật này lại kế tiếp một vật kia, cho nên sự nhận thức chân thực biến chuyển
cho phù hợp với đối tượng của mình phải tạo thành một dãy suy luận dựa
vào các nguyên lý không cần phải chứng minh, thông qua các nguyên lý
khác. Spinôda nhấn mạnh rằng, trí tuệ của chúng ta, để hình dung được đầy
đủ hình ảnh của tự nhiên, cần xây dựng tất cả các ý niệm, từ ý niệm mô tả
sự khởi thủy và nguồn gốc của toàn bộ tự nhiên, làm sao cho chính ý niệm
đó là nguồn gốc của các ý niệm khác. Từ quan niệm đó, Spinôda đã đi tới
kết luận: tiêu chuẩn duy nhất và sợi chỉ đỏ của nhận thức là phương pháp
suy diễn toán học, bởi vì chính trong phương pháp đó mỗi mệnh đề sau lại
tiếp theo một mệnh đề trước và dãy kết luận đó, cuối cùng sẽ dẫn đến các
mệnh đề cơ bản hoặc tiên đề không cần chứng minh.
10

Sai lầm trong nhận thức của Spinôda về phương pháp toán học là ở
chỗ, ông đã đồng nhất hóa tuyệt đối các kiến tạo toán học với thực trạng
của sự vật trong hiện thực. Trong sai lầm đó, không những chỉ thể hiện ở tư
tưởng của ông về việc tuyệt đối hóa thực trạng của các tri thức toán học
đương thời, mà còn thể hiện ở chỗ ông đã hiểu không đúng về đặc thù của
các hình thức toán học so với các hình thức thực tại. Trên thực tế, mỗi một
suy luận toán học đều mang tính chất của một tất yếu chặt chẽ và không thể
phủ nhận được. Tất yếu đó không phụ thuộc vào khoảng thời gian trong đó
chúng ta vận động từ kết luận này đến kết luận khác. Bản thân các chân lý
mà chúng ta xác lập đều không phải tạm thời. Chúng không tự phát sinh và
không qua đi trong thời gian, mà chúng tồn tại một cách thực sự. Trật tự
của chúng không có tính chất liên tiếp trong thời gian.
Trong việc Spinôda phủ nhận tính khách quan của ngẫu nhiên cũng
thể hiện sự đồng nhất hóa những ý niệm về phương diện toán học với
những cái tồn tại thực tế. Ông cho rằng, toàn bộ tự nhiên qua lăng kính của
phương pháp toán học, là một dãy vô tận của nguyên nhân và kết quả, tạo
thành một chuỗi liên tục. Theo Spinôda, trong mối liên hệ phổ biến đã cho
của các sự vật, không một lực lượng nào có thể phá vỡ mối quan hệ nhân
quả và sự tác động của bản thân nó, vì vậy những biến cố ngẫu nhiên là
không thể tồn tại. Theo ông, sở dĩ con người nói về các hiện tượng ngẫu
nhiên chỉ vì họ không thể hiểu được tất cả và nếu điều ngẫu nhiên đó xảy ra
thì con người đã thấy mọi cái cũng tất yếu như những cái mà toán học đã
chỉ ra.
1.3. Phân tích quan điểm của những nhà triết học cổ điển Đức
Các nhà triết học cổ điển Đức đã quan tâm rất nhiều đến toán học,
nhưng trong việc đánh giá vai trò của toán học trong nhận thức lại có sự
khác nhau cơ bản. Trong số đó nổi bật nhất là tư tưởng của hai nhà triết học
vĩ đại là Kant và Hêghen.

11

Trong triết học của Kant, toán học chiếm một vị trí to lớn đến mức
ta không thể hiểu nổi hệ thống của ông nếu không làm rõ học thuyết của
ông về toán học. Theo Kant, nhận thức toán học là sự nhận thức thông qua
việc kiến tạo các khái niệm. Trong học thuyết của Kant về toán học, lần đầu
tiên đã thể hiện quan điểm rằng nhận thức không phải là một quá trình suy
tưởng thụ động mà là sự thâm nhập tích cực, chủ động vào bản chất sự vật.
Nhưng tính chất tích cực là đặc trưng không chỉ riêng cho nhận thức toán
học mà cả cho các dạng khác của nhận thức khoa học. Theo Kant, nhận
thức khoa học nói chung được mở rộng theo mức độ mà chính chúng ta tạo
ra các đối tượng của nó. Nếu trong các hiện tượng chỉ bao gồm những cái
do sự kiến tạo hay do sự suy tưởng độc lập tạo ra thì ta hoàn toàn có thể
nhận thức được chúng bằng lý trí thuần túy. Kant cho rằng phương pháp
toán học chỉ áp dụng được vào việc phân tích các đối tượng mà ta có thể
kiến tạo, cho nên từ đó ta dễ hiểu vì sao Kant lại đánh giá rất cao vai trò
của toán học. Ông viết: "Trong bất kỳ học thuyết riêng nào về tự nhiên, ta
chỉ có thể tìm thấy khoa học theo đúng nghĩa, trong chừng mực ở đó có
toán học"(3). Tuy nhiên, Kant biết rất rõ là không có một đối tượng thực
nghiệm nào là đối tượng mà bản thân lý trí lại sản sinh hoàn toàn sự tồn tại
của nó. Trong các hiện tượng có cái gì đó không tham gia vào việc tái tạo,
mà cần phải được nhận thức không phải bằng sự suy tưởng độc lập, mà
bằng khái niệm. Chẳng hạn, khái niệm vật chất khác với khái niệm hình
thức, tuy nó cũng được hình thành trong suy tưởng của chúng ta, nhưng
không do sự suy tưởng tạo ra. Chúng ta không thể tạo ra khái niệm tồn tại,
chúng ta chỉ có thể tư duy về nó hoặc tri giác nó qua thí nghiệm. Nhận thức
thông qua khái niệm khác với nhận thức toán học ở chỗ, đó là nhận thức
triết học. Chính vì vậy, không thể áp dụng toán học vào triết học, còn việc
áp dụng toán học vào khoa học tự nhiên thì khác nhau trong các ngành
khác nhau. Theo Kant, nhận thức nhờ kinh nghiệm là khoa học tự nhiên

thực nghiệm, vì vậy toán học càng được áp dụng nhiều bao nhiêu trong lĩnh
vực tri thức nào đó, thì ngành đó càng đi vào phạm vi khoa học thuần túy
12


của lý trí bấy nhiêu, và ngược lại, toán học càng được áp dụng ít chừng nào
thì khoa học tự nhiên có chứa bộ phận đó càng là khoa học thực nghiệm
nhiều hơn. Trong quan điểm của Kant thể hiện rất rõ sự khác biệt chủ yếu
giữa triết học và toán học, theo ông, các con đường nhận thức của cả hai
khoa học này là hoàn toàn khác nhau. Toán học biểu diễn trực tiếp các đối
tượng của mình dưới hình thức trực quan nhờ các công thức đại số, các số
và các hình, trong đó các bộ phận của cái mà chúng biểu diễn đều nhìn thấy
rõ ràng. Trong khi đó, các dấu hiệu được khảo sát về mặt triết học luôn
luôn là những lời lẽ, nhờ đó các khái niệm được biểu diễn dưới hình thức
chung, còn thực trạng của các bộ phận của khái niệm và quan hệ giữa
chúng thì không được các dấu hiệu chỉ ra. Vì vậy, triết học luôn luôn cần có
trước mắt đối tượng của mình mà không có khả năng giảm bớt đáng kể các
nhiệm vụ bằng cách xem xét các dấu hiệu đơn nhất của các khái niệm thay
cho các khái niệm chung của bản thân các sự vật. Theo Knat, trong toán
học chúng ta thường không có một khái niệm nào về một đối tượng nào đó,
nếu như nó chưa được xác định bằng định nghĩa, vì vậy việc nhận thức về
sự vật bao giờ cũng bắt đầu bằng định nghĩa. Còn trong triết học thì chúng
ta luôn luôn có khái niệm đã cho, dù là dưới dạng tiềm ẩn, điều cốt yếu là
làm sao trên cơ sở đó xây dựng được một khái niệm chính xác, có khả năng
phát huy. Vì vậy, định nghĩa ở đây không bao giờ có thể là khởi đầu của
việc nghiên cứu. Triết học có thể bắt đầu bằng việc giải thích các thuật ngữ,
nhưng không phải bằng việc giải thích các khái niệm. Sự lẫn lộn hay xảy ra
trong triết học là ở chỗ, coi cái thường gặp là cái được nhận thức và chúng
ta tin tưởng vào sự hiểu biết những sự vật mà thực ra không ai biết. Triết
học có tham vọng đi đến chân lý tuyệt đối, tri thức tuyệt đối, song tri thức

đó không có cách nào đạt tới được. Trên quan điểm đó, triết học không có
gì khai thác ở toán học và các khoa học khác, vì các khoa học này chỉ cung
cấp các chân lý tương đối, trái lại các khoa học thực nghiệm rút được từ
triết học những nguyên lý cơ sở của mình. Theo Kant, các tư tưởng của
triết học là cần thiết cho mọi khoa học với tư cách là lý tưởng của tri thức,
13


hướng dẫn sự nhận thức các nguyên tắc nhằm chỉ ra rằng, hiện tượng (cái
đã được lôi cuốn vào hoạt động nhận thức) và "vật tự nó" (cái chưa được
nhận thức) không phải là một và do đó buộc các nhà khoa học phải cố gắng
đạt tới sự tổng quát hóa càng rộng càng tốt, chứ không thể bằng lòng với
cái đã đạt được. Theo Kant, suy luận của con người chỉ liên quan tích cực
tới các hiện tượng chứ không phải tới các "vật tự nó". Đó chính là nguồn
gốc của chủ nghĩa bất khả tri của Kant và sự hạn chế cách hiểu biết của ông
về toán học. Kant đã không nhìn thấy cơ sở của tính tích cực của lý thuyết
trong hoạt động thực tiễn của con người và cụ thể nó là nguồn gốc của toán
học và các khoa học khác. Theo quan điểm duy vật biện chứng, để không
rơi vào chủ nghĩa bất khả tri, cần phải nhận thức được con đường hoạt động
thực tiễn của con người, chính con đường này vượt ra ngoài khuôn khổ của
tri thức sẽ dẫn con người tiếp cận với "vật tự nó" mà theo Kant là không thể
nhận thức được. Con người, chỉ có bằng hoạt động thực tiễn của mình mới
đi tới đối tượng thực tế, mới có thể mở rộng được tri thức của chúng ta,
mới có khả năng phán đoán tổng hợp chứ không phải là tiên nghiệm nữa.
Hêghen đã dành cho toán học một vai trò rất lớn trong quá trình
phát triển nhận thức, nhưng điều chủ yếu trong các công trình của ông là
tập trung làm rõ các giới hạn của phương pháp toán học trong tập hợp
chung của các phương tiện nhận thức của con người.
Theo Hêghen, toán học là khoa học chính xác bởi vì nó là khoa học
chỉ có "da bọc xương". Có thể nói rằng, ở đây Hêghen đã hiểu đúng đắn

đặc điểm của toán học ở chỗ, trong toán học các quy luật của một sơ đồ trừu
tượng nào đó được nghiên cứu trực tiếp. Đối với nhà toán học, thực tiễn dồi
dào, phong phú về tính chất và quan hệ được thay bằng mô hình "da bọc
xương" của toán học, mất hết tính đa dạng vốn có của hiện thực. Nếu đồng
nhất sơ đồ "da bọc xương" này với thực tiễn "phong phú" thì là một sai lầm
nghiêm trọng. Chính vì vậy, Hêghen đã chỉ trích rất đúng Niutơn ở chỗ

14


Niutơn đã cố trình bày các quy luật thực nghiệm dưới dạng các kết quả của
tính toán.
Trong quan điểm xem xét các tri thức toán học của Hêghen, việc
phân biệt suy luận và lý trí có ý nghĩa rất lớn. Hêghen định nghĩa lý trí là sự
thống nhất của chủ quan và khách quan. Trong lôgic học của Hêghen, khái
niệm chủ quan tương ứng với lý tính, ý niệm tương ứng với lý trí với tư
cách là sự thống nhất của chủ quan và khách quan.
Nhìn chung, Hêghen xếp toán học vào các hình thức suy luận của tư
duy, ông coi như lĩnh vực của hoạt động suy luận toán học chỉ có ý nghĩa
chủ quan không dính dáng gì đến lĩnh vực của thực tại. Theo Hêghen, nhận
thức thực tế thường bắt đầu với các đối tượng cụ thể, đồng thời tất cả các
tính chất được phát hiện trong chúng đều dựa trên các dữ kiện mà ý thức
tìm thấy trong bản thân chúng. Các mệnh đề số học và đại số thì ngược lại,
bao giờ cũng là cái đã được thực hiện, cho phép, được chấp nhận có điều
kiện và hoàn toàn trừu tượng. Ở chúng tất cả các đặc thù của các quan hệ
đã được xóa bỏ hoàn toàn. Tất cả các định nghĩa toán học và mọi sự phân
chia các đối tượng thực tế do ý thức thực hiện đều không phải thích hợp
cho đối tượng, mà đều được ý thức đem đến một cách tùy ý và đều ở ngoài
các đối tượng đó. Chẳng hạn, Hêghen đưa ra nguyên tắc của mọi đại lượng
rời rạc như sau: "Các số kết hợp lại và phân chia ra như thế nào, điều đó chỉ

hoàn toàn phụ thuộc vào sự giả định của người nhận thức" (4). Theo ông, số
12 có thể biểu diễn thành "5 + 7", hay "10 + 2", hoặc "6 + 6", v.v... Trong
khi đó bản thân thực tại 12 đối tượng nào đó hoàn toàn không liên quan đối
với tất cả các phép biến đổi mà chúng ta thực hiện. Đối tượng vẫn luôn luôn
là một, những điều nói trên chỉ do chúng ta tưởng tượng ra bằng tư duy
phân tích hay cộng chúng từ các bộ phận. Sự thống nhất hay sự tách biệt về
số của các sự vật thể hiện dưới dạng một sự kết hợp hay phân chia tùy ý của
chúng.

15


Tất nhiên, Hêghen đã nhận thấy rằng toán học không bó hẹp trong
khuôn khổ của lý tính. Ví dụ, Hình học khi đụng chạm tới các đại lượng vô
ước hay vô tỉ thì bắt buộc phải vượt ra ngoài khuôn khổ của nguyên tắc lý
tính. Điều đó còn đúng hơn nữa đối với toán học cao cấp, nó đã phá vỡ địa
bàn chật hẹp của lôgic hình thức. Hêghen đã thừa nhận rằng, toán học đã có
những thành tựu xuất sắc nhất định của mình do toán học cao cấp chấp
nhận các định nghĩa mà lý tính không chấp nhận (chẳng hạn như định nghĩa
các đại lượng vô cùng bé). Nhưng Hêghen cũng cho rằng, toán học không
thể hấp thụ được các yếu tố lý tính mà ta gặp trong đó. Mọi cố gắng đưa
chúng vào toán học đều là vô ích vì toán học không phải là khoa học về
"các ý niệm" và trên mảnh đất riêng của nó, hoàn toàn không thể đặt bất kỳ
một yếu tố lý tính nào vào. Ở đây ta dễ thấy một điều là Hêghen đã tuyệt
đối hóa một giai đoạn xác định của sự phát triển của toán học mà cụ thể là
toán học về các đại lượng bất biến. Tất nhiên, điều đó không có nghĩa là
Hêghen hoàn toàn không thấy trước sự phát triển sau này của toán học, mà
nó chỉ chứng tỏ rằng, ông đã chuyển sự phát triển đó từ bản thân toán học
sang hệ thống triết học của mình. Chính vì vậy ông đã từng tuyên bố rằng,
nội dung của các khái niệm và sự phát triển biện chứng của toán học cần

phải tìm trong triết học.
2. Quan điểm của những nhà kinh điển của chủ nghĩa Mác - Lênin
Từ lập trường duy vật biện chứng Mác đã khẳng định rằng: "Một
khoa học chỉ đạt được sự hoàn chỉnh khi nó sử dụng toán học" (5). Trên thực
tế, cả Mác và Ănghen đều nhìn thấy ý nghĩa to lớn của toán học và các
phương pháp của nó đối với việc nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên và xã
hội. Trong tác phẩm nổi tiếng "Biện chứng của tự nhiên" Ăngghen đã nhấn
mạnh: "Muốn có một quan niệm vừa biện chứng vừa duy vật về tự nhiên
thì người ta phải biết toán học và khoa học tự nhiên" (6). Theo đánh giá của
Ăngghen, Mác là người hiểu biết rất sâu sắc về toán học, ông đã rất coi
trọng việc áp dụng toán học vào kinh tế chính trị học. Điều đó được thể
hiện ở chỗ, trong khi nghiên cứu phương thức sản xuất tư bản chủ nghĩa
16


Mác đã thường xuyên sử dụng toán học, trong đó Mác đã đặc biệt quan tâm
đến toán học cao cấp. Từ những công trình nghiên cứu có sử dụng toán học
của Mác, chúng ta nhận thấy rằng, Mác đã tìm thấy trong toán học cao cấp
sự vận động biện chứng dưới hình thức lôgic nhất và đồng thời đơn giản
nhất. Theo quan điểm của nhà triết học duy tâm cổ điển Đức là Hêghen thì
không thể ghép vào mảnh đất của toán học bất kỳ yếu tố biện chứng nào.
Vấn đề này, Mác, Ăngghen và Lênin đã có thái độ hoàn toàn khác.
Ăngghen trong các tác phẩm lớn của mình như "Chống Đuy rinh", "Biện
chứng của tự nhiên" đã nghiên cứu một cách toàn diện các phương tiện bổ
trợ và cách nói biện chứng riêng của toán học. Trong các "Bản thảo toán
học", Mác đã cho rằng, có thể áp dụng vào toán học phương pháp đi từ cụ
thể đến trừu tượng, giống như phương pháp Mác đã sử dụng trong "Bộ tư
bản". Lênin trong đoạn trích nổi tiếng "nhân vấn đề về phép biện chứng",
để khẳng định quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập, trước hết
đã trích dẫn toán học "Trong toán học + và -, vi phân và tích phân"(7).

Sự quan tâm của Mác và Ăngghen đối với toán học trước hết là do
chính toán học đã mang tư tưởng vận động vào các đối tượng của nó sớm
hơn mọi khoa học khác. Sự xuất hiện các đại lượng biến thiên trong toán
học đã báo hiệu một cuộc cách mạng thực sự trong sự phát triển của khoa
học toán học, đánh dấu một sự phát triển về chất của toán học. Như chúng
ta đã biết rằng, để hiểu rõ được các quy luật vận động của các vật thể, bất
luận là vật thể nào dù là viên đạn đang bay trong không khí hay các hành
tinh trong không gian vũ trụ thì điều cốt yếu là cần phải làm rõ vận tốc tức
thời. Định luật thứ hai của Niutơn khẳng định rằng, vận tốc biến đổi của
động lượng thì tỷ lệ với lực tác dụng. Muốn sử dụng định luật đó, cần biết
cách tìm tốc độ biến đổi của một đại lượng nào đó và để xác định quy luật
về vận động do một lực biến đổi gây ra thì cần biết cách giải bài toán
ngược là xác định bản thân đại lượng theo vận tốc thay đổi của nó. Niu tơn
đã không thể phát triển được cơ học vì đã không phát triển được phương
pháp toán học phù hợp. Từ đó đã nảy sinh sự cần thiết phải nghiên cứu

17


ngay các phương pháp của phép tính vi phân và tích phân. Điều này đã được
Ăngghen khẳng định: "Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa
học tự nhiên khả năng miêu tả bằng toán học không những chỉ những
trạng thái, mà cả những quá trình: vận động"(8). Tư tưởng vận động đã
giáng một đòn mạnh mẽ vào phương pháp siêu hình với các hình thức bảo
thủ của nó. Ăngghen khi nói về toán học cao cấp đã nhấn mạnh: "Toán học
cao cấp đã gây nên một sự lẫn lộn nào đó khi nó coi chân lý vĩnh viễn của
toán học sơ cấp là một quan điểm đã được khắc phục thường khẳng định
cái ngược lại với chân lý ấy, và đưa ra những nguyên lý hình như là hết sức
vô lý đối với con mắt của những nhà toán học sơ cấp: Ở đây, những phạm
trù cứng nhắc đã bị nóng chảy, toán học đã đi tới một lĩnh vực trong đó

ngay cả những mối quan hệ giản đơn như những mối quan hệ của số lượng
trừu tượng thuần túy, cái vô hạn xấu cũng mang hình thức hoàn toàn biện
chứng và buộc những nhà toán học phải trở thành những nhà biện chứng
một cách không tự giác và cũng không tự nguyện"(9).
Chủ nghĩa duy vật cũ, siêu hình không thể phủ định một cách có cơ
sở khoa học những quan điểm của chủ nghĩa duy tâm đối với toán học, bởi
vì nó là chủ nghĩa duy vật thụ động. vấn đề chỉ được giải quyết triệt để khi
chủ nghĩa duy vật biện chứng ra đời, bởi vì từ đó mới có dược khả năng
xây dựng cơ sở cho toán học một cách duy vật.
Ph.Ăngghen từ lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng đã
đưa ra một định nghĩa nổi tiếng về toán học, trong đó coi toán học là khoa
học về hình dạng không gian và quan hệ số lượng của thế giới hiện thực.
Trong định nghĩa này, điều cốt yếu là ở chỗ, toán học được xem như một
khoa học nghiên cứu những mặt xác định của thế giới hiện thực, nó có
nguồn gốc vật chất hoàn toàn thực tế. Định nghĩa này trước hết nhằm
chống lại quan điểm duy tâm coi đối tượng của toán học là sản phẩm của tư
duy thuần túy.

18


Cơ sở nhận thức của con người chính là thái độ tích cực, chủ động
đối với thực tại xung quanh, nhưng điều đó không có nghĩa là tính tích cực
tinh thần như chủ nghĩa duy tâm đã khẳng định, mà là tính tích cực trong
quá trình cải tạo thực tại một cách thực tiễn. Theo V.I.Lênin, thực tại này
không thỏa mãn nhu cầu của con người và con người đã bằng hành động
của mình quyết định cải tạo nó. Trong tác phẩm "Biện chứng của tự nhiên"
Ăngghen đã viết: "Từ trước tới nay, khoa học tự nhiên cũng như triết học
đã hoàn toàn coi thường ảnh hưởng của hoạt động con người đối với tư duy
của họ. Hai môn ấy một mặt chỉ biết có tự nhiên, mặt khác chỉ biết có tư

tưởng. Nhưng chính việc người ta biến đổi tự nhiên, chứ không phải chỉ
một mình giới tự nhiên, với tính cách giới tự nhiên là cơ sở chủ yếu nhất và
trực tiếp nhất của tư duy con người và trí tuệ con người đã phát triển song
song với việc người ta đã học cải biến tự nhiên"(10).
Trong tác phẩm "Chống Đuy rinh" Ăngghen đã chỉ rõ rằng, xét về
phương diện lịch sử, các khái niệm xuất phát của toán học, đó là khái niệm
số tự nhiên, khái niệm đại lượng và hình hình học đã nảy sinh do nhu cầu
thực tiễn của con người trong quá trình lao động. Ăngghen viết: "Muốn
đếm, chẳng những cần phải có đối tượng để đếm mà còn cần phải có năng
lực - khi khảo sát những đối tượng đó - gạt bỏ tất cả những thuộc tính khác
của các đối tượng ra, chỉ trừ số lượng của nó, và năng lực này là kết quả
của một sự phát triển lịch sử lâu dài, dựa trên kinh nghiệm" (11). Như vậy,
theo Ăngghen, để đếm, cần phải có đối tượng, nhưng điều quan trọng là
cần phải có khả năng phân biệt các đối tượng đã đếm rồi với những đối
tượng khác, khả năng phân biệt cái này với cái kia, và có khả năng bỏ qua
mọi tính chất của chúng trừ số lượng. Các khả năng đó không phải là bẩm
sinh đối với ý thức con người, chúng là sản phẩm của hoạt động thực tiễn.
Để minh họa cho vấn đề này chúng ta lấy một thực tế dễ hiểu là: Các định
luật về số tự nhiên dường như hoàn toàn là hiển nhiên đối với con người có
trình độ văn hóa hiện đại. Trái lại, đối với con người ở trình độ văn hóa
nguyên thủy, các định luật này rất khó giải thích.

19


Trong các tập "Bản thảo toán học", Mác đã nghiên cứu riêng toán
học và để lại nhiều tư tưởng có giá trị về các vấn đề mà chúng ta quan tâm.
Trong đó, những tư tưởng của Mác về cái gọi là "cách mạng trong phương
pháp" là đặc biệt quan trọng về mặt phương pháp luận. Trong khi phân tích
vấn đề về cơ sở của phép tính vi phân, Mác khẳng định rằng, việc sử dụng

các kí hiệu trở thành bí ẩn và khó hiểu, nếu ngay từ đầu chúng được coi là
cái đã cho, cái đã có sẵn. Điều này đã xảy ra đối với các nhà sáng lập ra
phép tính vi phân là Niu tơn, và Lepnitxơ với những người kế tục của các
ông. Niutơn và Lepnitxơ trong khi tìm các đạo hàm và vi phân của hàm số,
ngay từ đầu họ đã coi số gia của đối số như là các vi phân. Điều bí ẩn và
khó hiểu là ở chỗ, khi lấy vi phân một hàm số xác định y = f(x), một bộ
phận nào đó được bỏ đi coi như vô cùng nhỏ, nhưng nếu số hạng bỏ đi khác
0, thì việc bỏ nó là một phép toán không hợp lý, nếu có dx = 0 thì khi đó cả
dy cũng bằng 0 và đẳng thức của chúng ta biến thành đồng nhất thức 0 = 0.
Như vậy, số hạng bỏ đi đồng thời phải là 0 và không là 0. Lẽ đương nhiên
là ở đây không có phép biện chứng nào cả, trái lại, điều này đi đến chỗ là
gán cho các vi phân những tính chất bí ẩn đặc biệt nào đó, khác với tính
chất của các đại lượng thông thường. Chính việc làm này tạo cho nhà duy
tâm Beccơly cái cớ để gọi các vi phân một cách châm biếm và hài ước là
"bóng ma của các đại lượng chết".
Theo Mác, để vứt bỏ tấm màn bí ẩn ở các khái niệm và kí hiệu của
phép tính vi phân thì cần phải làm cho kí hiệu đặc trưng đối với phép tính
đó không xuất hiện như là điểm xuất phát, mà như là kết quả của quá trình
hoạt động thực tế, không chứa một chút gì là kí hiệu. Mác cho rằng, điểm
xuất phát phải nằm trong giới hạn của đại số thông thường, mà chưa yêu
cầu những thuật toán đặc biệt của phép tính vi phân và các kí hiệu của nó.
Ở đây, điều cốt yếu là ở chỗ, Mác đã yêu cầu cái gì để tìm được đạo hàm
của một hàm số xác định. Để tìm đạo hàm của hàm số y = f(x) trước hết,
Mác thiết lập các số gia hữu hạn ∆x và ∆y. Trong khi nhiều nhà triết học,

20


chẳng hạn như D.Alembecxơ coi các số gia đó như những cái đã tồn tại từ
trước, bất luận sự biến đổi nào của các biến số, thì Mác lại coi chúng như là

kết quả của sự biến đổi của các biến số. Ở Mác, việc khử các số gia xảy ra
là do kết quả của sự biến đổi ngược của các biến số x và y. Đồng thời, Mác
cũng cho rằng, việc lấy vi phân một hàm số là một phép toán bao gồm việc
tính và khử các số gia hữu hạn. Mác viết: "Lúc đầu là việc tính các số gia
và sau đó là việc khử chúng, như vậy sẽ dẫn đến không có gì hết. Tất cả
những khó khăn trong việc hiểu phép tính vi phân (cũng như trong việc
hiểu phủ định của phủ định nói chung) chính là ở chỗ làm sao thấy được ở
chỗ nào nó khác với thủ tục đơn giản như thế và vì vậy nó dẫn đến kết quả
thực tế nào"(12).
Tóm lại, theo Mác hệ số vi phân bằng kí hiệu xuất hiện không phải
như điểm xuất phát, mà như sự phản ánh của việc tìm ra đạo hàm trong một
quá trình đại số đích thực nào đó, không chứa một kí hiệu đặc trưng cho
phép tính vi phân nào. Như vậy, Mác đã chứng minh tính hiệu quả của phép
biện chứng duy vật trong sự phát triển của nhận thức toán học trên cơ sở
vận dụng quan điểm toàn diện trong việc phân tích và lập lại phép biện
chứng của các đại lượng biến đổi. Mác viết: "Hệ số vi phân bằng kí hiệu
như vậy trở thành điểm xuất phát độc lập mà ta chỉ cần tìm cái tương
đương thực tế của nó. Như vậy, sự mở đầu được chuyển từ một cực là
đại số sang cực kia là kí hiệu, do đó phép tính vi phân cũng xuất hiện
như một phép tính đặc thù nào đó, thao tác độc lập trên một mảnh đất
riêng"(13).
Nhưng ở đây điều quan trọng là phương pháp đã có sự đổi hướng,
bản thân phương pháp đại số đã biến thành phương pháp vi phân đối lập
với nó. Nếu như trước đó, người ta đi từ quá trình toán học thực tế của việc
tính đạo hàm đến biểu thức bằng kí hiệu của nó (tức là từ đối tượng đến cái
bóng của nó), thì bây giờ xuất phát từ các kí hiệu đã cho, chúng ta tìm hệ
thức thực tế phù hợp với nó (nghĩa là đi từ cái bóng đến đối tượng như Mác
đã chỉ ra). Mác nhận xét rằng, bước ngoặt đó trong phương pháp là không
21

tránh khỏi và là sự tiến bộ. Trong lịch sử toán học, bản thân nhà toán học
Lagơrăng, trong khi cố gắng phát triển phép tính vi phân từ các hệ thức đại
số thông thường đã không tới được phép tính vi phân, bởi vì ông đã không
đổi ngược quan hệ giữa đại số và phép tính vi phân.
Tư tưởng của Mác về cách mạng trong phương pháp đã có một ý
nghĩa phương pháp luận to lớn. Các tư tưởng đó đã chỉ ra biện pháp loại bỏ
sự thần bí gắn với các kí hiệu toán học. Chính điều này có ý nghĩa quyết
định trong giai đoạn nhận thức hiện nay về cội nguồn của tất cả những bế
tắc của thực chứng luận hiện đại và sự sùng bái quá mức ngôn ngữ của nó.
Đồng thời, những tư tưởng đó chỉ rõ tính tất yếu và tính chất tiến bộ của
một thực tế là khi nhà nghiên cứu sử dụng toán học, điểm xuất phát không
phải đi từ các dữ kiện thực tế đến kí hiệu của chúng, mà là từ các hình thức
kí hiệu đến cái tương đương thực tế của chúng.
Trên cơ sở của cách mạng trong phương pháp của Mác, vai trò của
các kí hiệu thay đổi một cách cơ bản: từ biện pháp ghi lại các hiện tượng đã
biết, kí hiệu biến thành phương tiện để tìm ra cái chưa tìm được.
Như vậy, quan điểm xem vi phân như một kí hiệu "tác chiến" đã
được Mác nghiên cứu một cách rất sâu sắc, trong đó tiến trình suy luận của
ông dựa trên cơ sở con đường lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm
vi phân.
V.I.Lênin khác với Mác và Ăngghen, ông đã không nghiên cứu
riêng toán học và các vấn đề triết học của nó, nhưng trong các tác phẩm của
ông, chúng ta có thể tìm thấy nhiều tư tưởng liên quan đến toán học, đặc
biệt là trong các tác phẩm "chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm
phê phán" và "Bút ký triết học". Các kết luận của Lênin về phương pháp
luận rút ra từ việc phân tích cuộc cách mạng mới nhất trong khoa học tự
nhiên thì vô cùng quý giá. Theo nhận xét của Lênin, nguyên nhân số một
để sinh ra chủ nghĩa duy tâm vật lý chính là việc toán học hóa vật lý trong
các điều kiện của cuộc cách mạng mới nhất trong khoa học tự nhiên. Đồng

22


thời, Lênin cho rằng, bản thân việc toán học thâm nhập vào vật lý cũng là
một thắng lợi của khoa học tự nhiên. Song đúng như sự đánh giá của Lênin,
bản thân các nhà duy tâm vật lý do sự nhận thức không đúng đắn về toán
học, coi toán học không phải là sự phản ánh những mặt nhất định của tự
nhiên, mà như là các kiến tạo tinh thần do con người sáng tạo tùy sở thích
của mình. Từ sai lầm đó, những nhà duy tâm vật lý đã đi đến kết luận rằng,
một khi toán học được áp dụng vào vật lý học, thì dường như vật lý quan
hệ không phải với vật chất mà trước hết là chỉ với các kí hiệu quy ước.
Lênin đã nhận định: "Những tiến bộ lớn của khoa học tự nhiên, tiếp cận
những yếu tố thuần nhất và đơn giản của vật chất mà những quy luật vận
động có thể diễn giải được bằng toán học, đã làm cho các nhà toán học
quên mất vật chất. "Vật chất tiêu tan", chỉ còn lại những phương
trình"(14).
V.I.Lênin, trong khi bác bỏ quan điểm duy tâm chủ quan đối với
việc toán học hóa khoa học tự nhiên, đã nêu lên một luận điểm: "Nếu lấy
một vật thể nào đó làm đơn vị thì sự vận động (cơ giới) của tất cả các vật thể
khác đều có thể biểu hiện bằng một tỷ số gia tốc đơn giản. Nhưng các "vật
thể" (nghĩa là vật chất) nối chung cũng không phải vì thế mà tiêu tan, không
tồn tại độc lập với ý thức của chúng ta nữa. Nếu đem toàn bộ thế giới qui
thành vận động của điện tử thì có thể loại trừ điện tử ra khỏi các phương trình
được chính là vì bất cứ ở chỗ nào cũng đều có bao hàm điện tử cả, và mối
quan hệ lẫn nhau giữa các nhóm hay tập hợp điện tử sẽ được quy thành gia
tốc giữa các nhóm ấy với nhau, nếu các hình thức của vận động cũng đơn
giản như trong cơ học"(15).
Lênin đã giải thích một cách sâu sắc việc áp dụng các phương pháp
toán học trong khoa học tự nhiên hiện đại. Điều đó được thể hiện rất rõ khi
ông chỉ ra rằng, việc toán học hóa tri thức vật lý có thể thực hiện được là

nhờ khoa học tiến gần đến một số yếu tố đơn giản và thuần nhất của vật
chất, các yếu tố này có khả năng được đo lường và tính toán bằng toán học.

23


Tư tưởng của Lênin phát hiện ra rằng, nhiều phương trình vi phân
thuộc về các lĩnh vực khác nhau của các hiện tượng lại rất giống nhau
chính là tư tưởng rất có giá trị. Lênin nhấn mạnh rằng, sự giống nhau đó
của các phương trình vi phân đã nêu bật tính thống nhất của tự nhiên.
Lênin rất coi trọng việc áp dụng toán học thống kê và phương pháp
thống kê vào việc nghiên cứu xã hội. Thực trạng ngày nay vẫn phản ánh
một điều là còn nhiều những thái độ chưa tích cực, thiếu nghiêm túc đối với
việc vận dụng các phương pháp toán học trong các khoa học xã hội.
Nguyên nhân của những biểu hiện đó là xuất phát từ việc không muốn hoặc
không biết phân biệt sự lạm dụng trong khi áp dụng các phương pháp toán
học với bản thân của phương pháp khác.
Giá trị di sản triết học của Lênin đối với toán học không chỉ giới
hạn trong các tác phẩm mà ở đó có những lời phát biểu trực tiếp gắn với
toán học. Điều quan trọng nhất mà triết học Mác - Lênin dành cho toán học
và khoa học tự nhiên là phương pháp biện chứng của tư duy. Trong tác
phẩm "Về giá trị của chủ nghĩa duy vật chiến đấu", Lênin đã đặc biệt nhấn
mạnh giá trị của chủ nghĩa duy vật đối với sự phát triển của khoa học tự
nhiên. Ông viết: "Vì khoa học tự nhiên đang tiến bộ nhanh, đang trải qua
một thời kỳ đảo lộn cách mạng sâu sắc trong tất cả mọi lĩnh vực, đến nỗi nó
tuyệt đối không thể không cần đến những kết luận triết học"(16).
Sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại đã chỉ rõ rằng, việc các
nhà thực nghiệm tự nhiên không hiểu biết phép biện chứng, không có kỹ
năng phân tích có phương pháp khoa học các sự kiện mới nhất và tư duy
một cách biện chứng, thường dẫn đến cách giải thích các phát minh khoa

học - kỹ thuật một cách duy tâm. Vai trò của phép biện chứng như một hệ
thống các phạm trù, một phương pháp luận khoa học đã đặc biệt tăng lên
trong điều kiện trên thế giới đang diễn ra cuộc cách mạng khoa học và công
nghệ hiện đại. Nếu như ở đầu thế kỷ XX, việc các nhà vật lý không hiểu
biết phép biện chứng của nhận thức đã dẫn đến cái gọi là chủ nghĩa duy

24


tâm vật lý, thì tiếp theo đó, tương tự như vậy, đã nảy sinh chủ nghĩa duy
tâm toán học, chủ nghĩa duy tâm "sinh lý học" v.v...
Xung quanh vấn đề về mối quan hệ giữa sự phát triển của toán học
và nhận thức trong lịch sử triết học đã và đang có sự đấu tranh gay gắt giữa
chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa duy tâm, giữa phép biện chứng và phép
siêu hình.
Việc nghiên cứu nguồn gốc của các quan điểm của các nhà triết học
khác nhau về các mối quan hệ giữa sự phát triển của nhận thức và toán học
đã cho phép đặt vấn đề về sự cần thiết phải áp dụng toán học vào các khoa
học khác nhau như: Sự cần thiết phải chuyển từ hoạt động với các đối
tượng thực tế sang hoạt động với các kí hiệu riêng tồn tại bên cạnh hoạt
động cải tạo thế giới bên ngoài, sao cho từng người một đều có thể thực
hiện một cách lý tưởng các hoạt động phổ biến đó, mà trên thực tế chỉ có
toàn xã hội nói chung mới có khả năng thực hiện. Không có được khả năng
đó thì chưa thể phát huy phát huy được một cách tốt nhất nhân tố con
người trong quá trình phát triển của xã hội.

25