HOT Ngân hàng ĐỀ Trắc Nghiệm TOÁN VI PHÂN, ĐẠO HÀM cấp CAO (File Word Có Đáp án và Lời Giải chi tiết)

Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
�Tích f '( x0 ).x được gọi là vi phân của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 (ứng với số gia x ) được kí hiệu

là

df ( x0 )  f '( x0 )x

.
f
�Nếu hàm số
có đạo hàm f ' thì tích f '( x)x được gọi là vi phân hàm số y  f ( x) , kí hiệu là:
df ( x )  f '( x)x .

Đặc biệt: dx  x ' x  x nên ta viết df ( x)  f '( x)dx .

B – BÀI TẬP
y  f  x    x  1

Câu 1. Cho hàm số
dy  2  x  1 dx
A.
.
dy  2  x  1
C.
.
Hướng dẫn giải:

Chọn A.
dy  f �
 x  dx  2  x  1 dx .
Ta có

2

. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số
2
dy   x  1 dx
B.
.
dy  2  x  1 dx
D.
.

3
2
Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số y  x  2 x
2
A. dy  (3x  4 x)dx
2
C. dy  (3x  2 x) dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy  (3x 2  4 x)dx

2
B. dy  (3 x  x )dx
2

D. dy  (3x  4 x) dx

Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số y  3x  2
3
dy 
dx
3x  2
A.

B.

dy 

1
dx
2 3x  2

1
3
dx
dy 
dx
3
x

2
2
3
x


2
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
3
dy 
dx
2 3x  2
3
2
Câu 4. Cho hàm số y  x  9 x  12 x  5 . Vi phân của hàm số là:
dy 

A.

dy   3 x 2  18 x  12  dx

.

B.

dy   3 x 2  18 x  12  dx

Trang 1

.

f  x

?


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

dy    3 x 2  18 x  12  dx
dy   3 x 2  18 x  12  dx
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
dy   x 3  9 x 2  12 x  5  �
dx   3 x 2  18 x  12  dx
Ta có
.
10
Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số y  (3 x  1)
9
A. dy  10(3 x  1) dx
10
C. dy  9(3 x  1) dx

10
B. dy  30(3 x  1) dx
9
D. dy  30(3 x  1) dx

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy  30(3x  1)9 dx .
3
Câu 6. Tìm vi phân của các hàm số y  sin 2 x  sin x
dy   cos 2 x  3sin 2 x cos x  dx
dy   2 cos 2 x  3sin 2 x cos x  dx
A.
B.
dy   2 cos 2 x  sin 2 x cos x  dx
dy   cos 2 x  sin 2 x cos x  dx
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
dy   2 cos 2 x  3sin 2 x cos x  dx

Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số y  tan 2 x
2
A. dy  (1  tan 2 x)dx
C. dy  2(1  tan 2 x) dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy  2(1  tan 2 2 x)dx
2

3
Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số y  x  1
1

dy 
dx
3
( x  1) 2
A.
2
dy 
dx
3
( x  1) 2
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
dy 
dx
3 3 ( x  1) 2

Câu 9. Xét hàm số

y  f  x   1  cos 2 2 x

2
B. dy  (1  tan 2 x)dx
2
D. dy  2(1  tan 2 x)dx

dy 

B.

dy 

D.

. Chọn câu đúng:

Trang 2

3
3

( x  1) 2

dx

1
3 ( x  1) 2
3

dx


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
df ( x ) 

 sin 4 x

df ( x) 

dx

2 1  cos 2 x .
A.
cos 2 x
df ( x ) 
dx
1  cos 2 2 x .
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Ta có :

dy  f �
 x  dx

2

 1  cos


B.
df ( x ) 

D.

 sin 4 x
1  cos 2 2 x

 sin 2 x

dx

2 1  cos 2 2 x

.
dx

.

2x  �
4 cos 2 x.sin 2 x
 sin 4 x
dx 
dx 
dx
2 1  cos 2 2 x
1  cos2 2 x .
2 1  cos 2 2 x
2

3
Câu 10. Cho hàm số y  x  5 x  6 . Vi phân của hàm số là:
dy   3x 2  5  dx
dy    3x 2  5  dx
A.
.
B.
.

2
2
dy   3 x  5  d x
dy   3 x  5  dx
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
dy   x 3  5 x  6  �
dx   3 x 2  5  d x
Ta có
.
1
y 3
3 x . Vi phân của hàm số là:
Câu 11. Cho hàm số
1
1
1
dy  dx
dy  4 dx
dy   4 dx
4 .
x
x
A.
B.
.

C.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
� 1 3x 2
1
�1 �
dy  � 3 �dx  .
  4 dx
2
3  x3 
x
�3x �
Ta có
.
x2
y
x  1 . Vi phân của hàm số là:
Câu 12. Cho hàm số
dx
3dx
dy 
dy 
2
2
x  1
x  1


A.

.
B.
.
3dx
dx
dy 
dy  
2
2
x  1

 x  1 .
C.
.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
�
3
�x  2 �
dy  �
dx
�dx  
2
�x  1 �
x  1

Ta có
.
2

x  x 1
y
x  1 . Vi phân của hàm số là:
Câu 13. Cho hàm số

Trang 3

4
D. dy  x dx .


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A.

dy  

x2  2 x  2
dx
( x  1) 2
.

dy  

2x  1
dx
( x  1) 2 .

2x  1
dx
2
(
x

1)
B.
.
2
x  2x  2
dy 
dx
( x  1) 2
D.
.
dy 

C.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

�
 2 x  1  x  1   x 2  x  1
x2  2 x  2
�x 2  x  1 �

d
x


dx
dy  �
d
x
2
2
�
x  1
x  1
x 1 �


�
Ta có
.
Câu 14. Cho hàm số y  sin x  3cos x . Vi phân của hàm số là:

A.

dy    cos x  3sin x  dx

.

B.

dy    cos x  3sin x  dx

.

dy   cos x  3sin x  dx

dy    cos x  3sin x  dx
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
dy   sin x  3cos x  �
dx   cos x  3sin x  dx
Ta có
.
2
Câu 15. Cho hàm số y  sin x . Vi phân của hàm số là:
A. dy  – sin 2 x dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có

B. dy  sin 2 x dx .

C. dy  sin x dx .

dy  d  sin 2 x    sin 2 x  �
dx  cos x.2sin xdx  sin 2 xdx

Câu 16. Vi phân của hàm số
2 x
dy 
dx
2

4
x
x
cos
x
A.
.

y

D. dy  2cosx dx .

.

tan x
x là:
B.

dy 

sin(2 x )
dx
4 x x cos 2 x .

2 x  sin(2 x )
2 x  sin(2 x )
dx
dy  
dx
2

4 x x cos x
4 x x cos 2 x
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
1
.
. x  tan x .
�
2
�tan x �
2 x cos x
2 x dx
dy  �
� x �
�dx =
x
�
�
dy 

Ta có

�1
1

sin x 1 �1
x  sin x cos x
=�
�2 . cos 2 x  cos x . 2 x �
�x dx = 2 x x .cos 2 x .dx
�
�

=

2 x  sin 2 x
.dx
4 x x .cos 2 x
Trang 4


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 17. Hàm số y  x sin x  cos x có vi phân là:
dy   x cos x – sin x  dx
dy   x cos x  dx
A.
.
B.
.
dy   cos x – sin x  dx
dy   x sin x  dx
C.
..

D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
dy   x sin x  cos x  �
dx   sin x  x cos x  sin x  dx   x cos x  dx
Ta có
.
x
y  2
x  1 . Có vi phân là:
Câu 18. Hàm số
A.

dy 

1  x2
dx
( x 2  1)2

dy 

1 x
dx
( x 2  1)

B.

2

C.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

D.

dy 

2x
dx
( x  1)

dy 

1
dx
( x  1) 2

2

2

�
x2  1  2x2
1  x2
� x �
dy  � 2 �dx 

dx
( x 2  1) 2

( x 2  1) 2 .
�x  1 �
Ta có
2
y  f  x    x  1
Câu 19. Cho hàm số
. Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?
dy  2  x  1 dx
dy  2  x  1
A.
.
B.
.
2
dy   x  1 dx
dy   x  1 dx
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
2
y  f  x    x  1 � y�
 2  x  1 � dy  2  x  1 dx

f  x   3x 2  x
Câu 20. Vi phân của hàm số
tại điểm x  2 , ứng với x  0,1 là:
A. 0, 07 .

B. 10 .
C. 1,1 .
D. 0, 4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
f�
 x   6x 1 � f �
 2   11
Ta có:
df  2   f �
 2  x  11.0,1  1,1
Câu 21. Vi phân của

y  cot  2017 x 

A.

dy  2017 sin  2017 x  dx.

C.

2017
dy  
dx.
2
cos  2017 x 

là:

dy 

B.

2017
dx.
sin  2017 x 

dy  
D.
Trang 5

2

2017
dx.
sin  2017 x 
2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo hàm – ĐS> 11

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

y  cot  2017 x  � y�


2017
2017

� dy   2
dx
sin  2017 x 
sin  2017 x 
2

x2  x  1
Câu 22. Cho hàm số y = x  1 . Vi phân của hàm số là:
x2  2 x  2
2x 1
dy  
dx
dy 
dx
2
2
(
x

1)
(
x

1)
A.
B.

x2  2x  2
2x 1
dy 

dx
dy  
dx
( x  1) 2
( x  1) 2
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
�
�x 2  x  1 �
x2  2x  2
dy  �
d
x

dx
�
2
x

1
(
x

1)
�
�
x3
y

1  2 x . Vi phân của hàm số tại x  3 là:
Câu 23. Cho hàm số
1
1
dy  dx.
dy   dx.
7
7
B. dy  7dx.
C.
A.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
7
1
y�

� y�
 3  
2
7
 1 2x 
Ta có
1
dy  d x
7
Do đó
Câu 24. Vi phân của y  tan 5 x là :
5x
dx.

cos 2 5 x
A.
5
dy 
dx.
cos 2 5 x
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
5
y  tan 5 x � y�

cos 2 5 x
5
dy 
dx
cos 2 5 x
Do đó
dy 

5
dx.
sin 2 5 x
B.
5
dy  
dx.
cos 2 5 x
D.
dy  

Trang 6

D. dy  7dx.


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 25. Hàm số
A. 9.

y  f ( x) 

( x  1) 2
x
. Biểu thức 0, 01. f '(0, 01) là số nào?
B. -9.
C. 90.

D. -90.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
( x  1)2
1
1
y  f ( x) 
� y�


 2 � y�
 0, 01  9000
x
x x x
Do đó 0, 01. f '(0, 01)  90

Câu 26. Cho hàm số y  sin(sin x) .Vi phân của hàm số là:
A. dy  cos(sin x).sin xdx .
B. dy  sin(cos x)dx .
C. dy  cos(sin x).cos xdx .
Hướng dẫn giải:

D. dy  cos(sin x)dx .

Chọn C.
Ta có: y '  (sin x ) '.cos(sin x)  cos x.cos(sin x) nên dy  cos x.cos(sin x)dx
�x 2  x khi x �0
f ( x)  �
2x
khi x  0
�
Câu 27. Cho hàm số
. Kết quả nào dưới đây đúng?
x2  x
 lim
 lim ( x  1)  1
x �0
x �0
x

.

f�
0 
A. df (0)  dx .
B.
f �0  lim x 2  x  0
f �0  lim 2 x  0
x
�
0
x �0
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
x2  x

�
f  0   lim
 lim ( x  1)  1
x �0
x �0
x
Ta có:
;
2
x

f�
2
 0   xlim
�0 x
và hàm số không có vi phân tại x  0


 





 

2
Câu 28. Cho hàm số y  cos 2 x . Vi phân của hàm số là:
A. dy  4 cos 2 x sin 2 xdx .
B. dy  2 cos 2 x sin 2 xdx .

C. dy  2 cos 2 x sin 2 xdx .
D. dy  2sin 4 xdx .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy  d  cos 2 2 x   2 cos 2 x.(cos 2 x) 'dx  4 cos 2 x.sin 2 xdx  2sin 4 xdx
Ta có :
�x 2  x khi x �0
f ( x)  �
khi x  0
�x

Câu 29. Cho hàm số
. Khẳng định nào dưới đây là sai?

Trang 7


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

f�
 0   1

.

B.

C. df (0)  dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:

f�
 0   1

.

D. Hàm số không có vi phân tại x  0 .

f�
 0   lim
x �0

x
x2  x
f�
0   lim  1
 lim ( x  1)  1

x �0 x
x �0
x
và
và df (0)  dx

2
Câu 30. Cho hàm số y  f ( x)  1  cos 2 x . Chọn kết quả đúng:
 sin 4 x
 sin 4 x
df ( x ) 
dx
df ( x ) 
dx
2
2
2
1

cos

2
x
1

cos
2
x
A.
.
B.
.
cos 2 x
 sin 2 x
df ( x ) 
dx
df ( x ) 
dx
2
2
1

cos
2
x
1

cos
2
x
C.

.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
(1  cos 2 2 x) '
2.2 cos 2 x.sin 2 x
 sin 4 x
dy  df ( x)  d 1  cos 2 2 x 
dx 
dx 
dx
2
2
2
2
1

cos
2
x
2
1

cos
2
x
1

cos

2
x
Ta có :
Câu 31. Cho hàm số y  tan x . Vi phân của hàm số là:





A.

dy 

1
2

2 x cos x
1

dx
.

B.

dy 
dx
2 x cos x .
C.
D.
Hướng dẫn giải:

Chọn D.
� 1 �
1
dy  d tan x  � 2
.( x ) 'dx 
�
2 x .cos 2
�cos x �
Ta có :
2x  3
y
2 x  1 là :
Câu 32. Vi phân của hàm số
8
dy  
dx
2
2 x  1

A.
.
B.
4
dy  
dx
2
2 x  1

C.
.

D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
8
�2 x  3 �
dy  d �
dx
�
2
�2 x  1 � (2 x  1)
Ta có :



1

dy 
dy 



x

x cos 2 x
1

.

2 x cos 2 x

dx
.

dx

dy 

4

 2 x  1

dy  

Trang 8

dx

2

dx
.

7

 2 x  1

2

dx
.

Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
1  x2
1  x 2 . Vi phân của hàm số là:
Câu 33. Cho hàm số
4 x
4
dy 
dx
dy 
dx
4
2 2
2 2
dy 
dx
1 x 
1 x 


1  x2
A.
.
B.
.
C.
.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
�
1  x 2 � 4 x
dy  d � 2 �
dx
1  x � (1  x 2 ) 2
�
Ta có :
Câu 34. Cho hàm số f ( x)  cos 2 x . Khi đó
y

A.

d�
�f  x  �
�

sin 2 x
2 cos 2 x
 sin 2 x

dx
.

B.

d�
�f  x  �
�

d�
dx
d�
�f  x  �
�
�f  x  �
�
2 cos 2 x .
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
(cos 2 x) '
 sin 2 x
df ( x)  d cos 2 x 
dx 
dx
2
cos
2
x
cos
2
x
Ta có :





Trang 9

sin 2 x
cos 2 x
 sin 2 x
cos 2 x

dy 
D.

dx
.
dx
.

dx

1 x 

2 2

.


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
�Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' . Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được
gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '' , tức là: f ''  ( f ') ' .
�Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  1 (với n  �, n

2 ) là f ( n 1) . Nếu f ( n 1) cũng có

(n)
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f , tức là:

f ( n )  ( f ( n 1) ) ' .
Để tính đạo hàm cấp n:
 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.

B – BÀI TẬP

Câu 1. Hàm số

y

�
0.
A. y�
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Ta có

x

x  2 có đạo hàm cấp hai là:
1
�
y�

2
 x  2 .
B.

� 2
�x �
y�
�
�
2
�x  2 �  x  2 

y   x 2  1

�
y�


C.

4

 x  2

�

y�


2

.

D.

�
� 2 �
2  x  2
4
�
y�
�

� 2.
2
4
3
� x  2  �
x  2
x  2


�
�
;

3

Câu 2. Hàm số
có đạo hàm cấp ba là:
2
�
�
y�
 12  x  1
A.
.
B.
2
�
�
�
y  24  5 x  3
C.
.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
6
4
2
 6 x 5  12 x 3  6 x
Ta có y  x  3 x  3x  1 ; y�
�
�
 120 x 3  72 x  24  5 x 2  3

�
y�
 30 x 4  36 x 2  6 ; y�
.
Câu 3. Hàm số y  2 x  5 có đạo hàm cấp hai bằng:
1
(2 x  5) 2 x  5 .
A.
1
�
y�

(2 x  5) 2 x  5 .
C.
�
y�


B.
D.

�
�
y�
 24  x 2  1

.
2
�
�

�
y  –12  x  1

�
y�

�
y�


Trang 10

1
2x  5 .
1
2x  5 .

.

4

 x  2

3

.


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có

�
y�








2
1

2 2x  5
2x  5
2
�
2x  5
1
  2 2x  5  
2x  5
2x  5
 2 x  5 2 x  5

y�



�
2x  5 



Câu 4. Hàm số
A.

x  x 1
x  1 có đạo hàm cấp 5 bằng:

120
( x  1)6 .
1

( x  1)6 .

y (5)  
y (5)

y 

C.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

.

2

B.

120
( x  1)6 .
1

( x  1)6 .

y (5) 
y (5)

D.

1
1 � y�
 1
2
y  x
x  1

x

1
Ta có
.
2

6

24
3
120
(5)
�
� y�

� y  
� y  4 
3
4
5 � y

 x  1
 x  1
 x  1
( x  1)6 .
x2  x  1
y
x  1 có đạo hàm cấp 5 bằng :
Câu 5. Hàm số
120
120
5
5
y   
y  
6
5
 x  1 .

 x  1 .
A.
B.
1
1
y  5 
y  5  
5
5
x  1
x  1


C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x2  x  1
1
y
 x
x 1
x 1 .
Ta có:
1
2
6
24

120
4
5
�
�
�
� y�
 1
y�

y�

y  
y   
2
3
4
5
6
 x  1 ;
 x  1 ;
 x  1 ;
 x  1 ;
 x  1 .
2
Câu 6. Hàm số y  x x  1 có đạo hàm cấp 2 bằng :
2 x3  3x
2x2  1
�
y�


�
�
y 
 1  x2  1  x2 .
1  x2 .
A.
B.

Trang 11


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

�
y�


2 x3  3x

�
y�


 1  x2  1  x2 .
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

y�
 x2  1  x
Ta có:

D.

x
x2  1

y   2 x  5



2x2  1
x2 1 ;

�
y�


2 x2  1
1  x2 .

4 x x 2  1   2 x 2  1
x2  1

x
x2  1 

2 x3  3x

1 x 
2

1  x2

5

Câu 7. Hàm số
có đạo hàm cấp 3 bằng :
3
2
�
�
�
�
y�
 80  2 x  5 
y�
 480  2 x  5 
A.
.
B.
.
2
3
�
�
�
�

y�
 480  2 x  5 
y�
 80  2 x  5 
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
4
4
3
2
�
�
y�
 5  2 x  5 �
2  10  2 x  5  y�
 80  2 x  5  y�
 480  2 x  5 
Ta có:
;
;
.
y

tan
x
Câu 8. Hàm số

có đạo hàm cấp 2 bằng :
2sin x
1
1
�
�
�
y�

y�

y�

3
2
cos x .
cos x .
cos 2 x .
A.
B.
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2cosx  sinx  2sinx
1
�
y�

y�



2
cos x .
cos 4 x
cos 3 x
Ta có:
Câu 9. Cho hàm số y  sinx . Chọn câu sai.

D.

�
y�


2sin x
cos3 x .

� �
y�
 sin �x  �
�
y�
 sin  x   
� 2 �.
A.
B.
.
� 3 �
�
�

y�
 sin �x 
�
y  4  sin  2  x 
� 2 �.
C.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

�
� �
�
�
y�
 cosx  sin �  x � y�
 cos �  x � sin    x 
�2
�;
�2
�
Ta có:
.
�3
�
�3
�
�
�

y�
 cos    x   sin �  x � y  4  cos �  x � sin  2  x 
�2
�;
�2
�
.
2
2 x  3x
y
1 x
Câu 10. Hàm số
có đạo hàm cấp 2 bằng :
1
2
2
�
�
�
y�
 2
y�

y�

2
3
3
 1 x .
 1 x .

 1 x .
A.
B.
C.

Trang 12

�
y�


D.

2

 1 x

4

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo hàm – ĐS> 11

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
2

1 � y�
 2
�
2
y�

 1 x ;
(1  x)3 .
1 x
Ta có:
� �
��
y  f  x   cos �
2x  �
x ��
0; �
 4
f
x


8


3
2 �là:
�
�
�
Câu 11. Hàm số

. Phương trình
có nghiệm


x
x
2.
6.
A.
B. x  0 và


x
x
3.
2.
C. x  0 và
D. x  0 và
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
� � �
� � �
�  �  4
� �
�
y�
 2sin �
2x  � y �
 4cos �
2x  � y �

 8sin �
2 x  � y  16cos �
2x  �
3
3
3
3�
�
�
�
�
�
�
�
Ta có:
.
.
.
y  2x 1

 4

� �
� � 1
� 16cos �
2 x  � 8 � cos �
2 x  � 
 x   8
3�
3� 2

�
�

f
Khi đó :
�  2
� 
2x  
 k 2
x   k
�
�
3
3
2
��
��
��
x��
0; �


2

�
�
� 2�
x    k ���
2x   
 k 2

�
�x 
�
�
6
3
� 3
2.
Câu 12. Cho hàm số y  sin2x . Chọn khẳng định đúng
�
0.
 0.
A. 4 y  y�
B. 4 y  y �
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
�
�
 2cos2x ; y �
 4sin2x . � 4 y  y �
0.
Ta có: y�

tan 2 x .
C. y  y�

y 2   y�
 4
2

D.

.

1
x . Xét hai mệnh đề :
6
�
�
�
�
 f�
 II  : y�
 x   4
x .

y  f  x  

Câu 13. Cho hàm số
2
�
�
 f�
 I  : y�
 x  3
x .
Mệnh đề nào đúng?
 I  đúng.
 II  đúng.
A. Chỉ

B. Chỉ
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
2
6
�
�
�
y�
 2 y�
  3 y�
 4
x ;
x ;
x .
Ta có:
2sin x
�
f�
 x  3
cos x thì f  x  bằng
Câu 14. Nếu

C. Cả hai đều đúng.

Trang 13

D. Cả hai đều sai.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
1
A. cos x .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Vì:

B.



1
cos x .

C. cot x .

Đạo hàm – ĐS> 11
D. tan x .

� 2cosx �sinx
1 �

  2sinx
2 �
4
�cos x �
cos3 x .
cos x

� �
 tan x  �
�

 x2  x  2
y  f  x 
x 1
Câu 15. Cho hàm số
. Xét hai mệnh đề :
2
4
 1 
 0, x �1

 0, x �1
2
�
�
II  : y�
 f�
x  ( x  1) 2
 I  : y� f �
 x


( x  1)
.
.
Mệnh đề nào đúng?

 I  đúng.
 II  đúng.
A. Chỉ
B. Chỉ
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
4
 x2  x  2
2 � y�
�
 1 
y�

2
3



x

y  f  x
 x  1 ;
 x  1 .
x 1
x 1
Ta có:
3

�
f�
f  x    x  1
 0  bằng
Câu 16. Cho hàm số
. Giá trị
A. 3 .
B. 6 .
C. 12 .
D. 24 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2
�
�
f�
f�
x   3  x  1
 x   6  x  1 � f �
 0  6 .

Vì:
;
�
�
�
f�
3
2
�

�
f  x   sin x  x
�2 �bằng
Câu 17. Cho hàm số
. Giá trị
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
� �
�
� f�
� � 1
�
f�
x   3sin 2 xcosx  2 x f �
x   6sinxcos 2 x  3sin 3 x  2


�2 �
Vì:
;
.

�
f�
f  x   5  x  1  4  x  1
 x   0 là

Câu 18. Cho hàm số
. Tập nghiệm của phương trình
 �;0 .
 1 .
 1; 2 .
A.
B.
C.
D. �.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
2
�
�
f�
x   15  x  1  4 f �
 x   30  x  1 � f �
 x   0 � x  1 .

Vì:
;
1
y
x  3 . Khi đó :
Câu 19. Cho hàm số
3

Trang 14

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo hàm – ĐS> 11

3
1
3
1
�
�
�
�
�
�
y�
y�
y�
 1 
 1  
 1  
8.
8.
8.
4.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

1
2
6
3
�
�
�
y�

y�

y�

2
3
4 � y�
�
�
1




x

3
x

3
x


3

 ;

 ;


8.
Vì:
5
y   ax  b 
Câu 20. Cho hàm số
với a , b là tham số. Khi đó :
 10 
 10 
y  1  0
y  1  10a  b
y  10   1  5a
y  10  1  10a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

4
3
2
4
 5
5
�
�
�
y�
 5a  ax  b 
y�
 20a 2  ax  b 
y�
 60a 3  ax  b 
y    120a 4  ax  b 
Vì:
;
;
;
; y  120a ;
 10 
6
10
y    0 � y    0 . Do đó y  1  0
�
�
y  4 � �
2
�6 �bằng:

Câu 21. Cho hàm số y  sin 2x . Tính
�
�
y�
 1 

A. 64 .
B. 64 .
C. 64 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
y�
 2sin2x  2cos2x   2sin4x y�
�
�
 8cos4x ; y�
 32sin4x ;
Vì:
; �
� �
� y  4 � � 64 3
 4
y  128cos4x
�6 �
.
Câu 22. Cho hàm số
A. y ''   sin 2 x

D. 64 3 .

y  sin2x . Tính y ''
B. y ''  4sin x
D. y ''  4sin 2 x

C. y ''  sin 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có y '  2 cos 2 x � y ''  4sin 2 x


(4) 
y
'''(
)
y
( )
y  sin2x
3 ,
4
Câu 23. Cho hàm số
. Tính
A. 4 và 16
B. 5 và 17
C. 6 và 18
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
(4)
Ta có y '''  8cos 2 x, y  16sin 2 x

2



y '''( )  8cos
 4; y (4) ( )  16sin  16
3
3
4
2
Suy ra
.

Trang 15

D. 7 và 19


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 24. Cho hàm số

y  sin2x

(n)
. Tính y


y ( n )  2n sin(2 x  )
2

B.

y ( n )  2n sin(2 x  n )
2
D.


y ( n )  2n sin(2 x  n )
3
A.

y ( n )  2n sin( x  )
2
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.




y '  2sin(2 x  ), y ''  22 sin(2 x  2 ) y '''  23 sin(2 x  3 )
2
2 ,
2
Ta có

y ( n )  2n sin(2 x  n )
2
Bằng quy nạp ta chứng minh


n  1 � y '  21 sin(2 x  )
2 đúng
Với

y ( k )  2k sin(2 x  k )
2 ,
Giả sử
y ( k 1)   y ( k )  '  2k 1 cos(2 x  k


�
�
)  2k 1 sin �
2 x  ( k  1) �
2
2�
�

suy ra
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Câu 25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
(1) n 1.3.n !
y(n) 
( x  2)n 1
A.
( n)

y

2x 1
x2

B.

y ( n) 

n 1

(1) .3.n !

( x  2) n1

y
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

y

( n)

D.
'

3�
( x  2) �
3
�

� 3.2
y' 
,
y
''


2
4
( x  2)
( x  2)
( x  2)3
Ta có
(1) n 1.3.n !
3.2.3
( n)
y

y ''' 
( x  2) n 1
( x  2) 4 . Ta chứng minh
2

�Với

n 1� y ' 

(1)0 .3
3


2
( x  2)
( x  2)2 đúng

Trang 16

(1) n1.n !
( x  2) n 1

(1) n 1.3.n !

( x  2) n 1


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

�Giả sử

y(k ) 

(1) k 1.3.k !
( x  2) k 1

(1) k 1.3.k !. �
( x  2) k 1 �
' (1) k .3.(k  1)!
�
�

�y
 y '

( x  2) 2 k  2
( x  2) k  2
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
1
y
, a �0
ax  b
Câu 26. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
( k 1)

A.

(k )

y(n) 

(2)n .a n .n !
(ax  b) n 1

y(n) 

(1) n .n !
(ax  b) n 1

B.

C.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
a
a 2 .2
a3 .2.3
y' 
,
y
''

,
y
'''

(ax  b) 2
(ax  b)3
(ax  b) 4
Ta có

y

(n)

Ta chứng minh:
�Với

D.

y (n) 

(1)n .a n .n !
( x  1)n 1

y(n) 

(1) n .a n .n!
(ax  b) n 1

(1)n .a n .n!

(ax  b) n 1

(1)1.a1.1!
a

2
(ax  b)
( ax  b) 2 đúng
(1)k .a k .k !

(ax  b)k 1

n 1� y ' 

�Giả sử

y(k )

k 1 k 1
(1) k .a k .k !. �

( ax  b) k 1 �
�
�'  (1) .a .( k  1)!
�y
 y '
(ax  b) 2 k  2
( x  2) k  2
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
2x 1
y 2
x  5x  6
Câu 27. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
( k 1)

A.

(k )

y ( n) 

(2) n .7.n ! (1) n .5.n !

( x  2)n 1 ( x  3) n 1

y (n) 

(1) .7.n ! (1) .5.n !

( x  2) n
( x  3) n

n

n

B.

y (n) 

(1) n 1.7.n ! ( 1) n1.5.n !

( x  2)n 1
( x  3)n 1

y(n) 

(1) n .7.n ! (1) n .5.n !

( x  2) n 1 ( x  3) n 1

C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2
Ta có: 2 x  1  7( x  2)  5( x  3) ; x  5 x  6  ( x  2)( x  3)
Suy ra

y

7

5

x 3 x 2 .

Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
(n)

Đạo hàm – ĐS> 11

(n)

n n
n
( 1) n .n !
� 1 � ( 1) .1 .n ! (1) .n ! � 1 �


,

�
�
�
�
( x  2) n 1 ( x  2)n 1 �x  2 � ( x  3) n 1
Mà �x  2 �
(1) n .7.n ! (1) n .5.n !
y (n) 


( x  2) n 1 ( x  3)n 1 .
Nên

Câu 28. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y  cos 2 x
�
n
�
y ( n )   1 cos �
2x  n �
2�
�
A.

�
�
y ( n )  2n 1 cos �
2x  n �
2�
�
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
�
� �
�
y '  2 cos �
2x  �
, y ''  22 cos �
2x  2 �

,
2�
2�
�
�
Ta có

� �
y ( n )  2n cos �
2x  �
2�
�
B.
�
�
y ( n )  2n cos �
2x  n �
2�
�
D.

�
�
y '''  23 cos �
2x  3 �
2 �.
�

�
�

y ( n )  2n cos �
2x  n �
2 �.
�
Bằng quy nạp ta chứng minh được
Câu 29. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y  2 x  1
(1) n 1.3.5...(3n  1)
(1) n 1.3.5...(2n  1)
y (n) 
y(n) 
(2 x  1) 2 n 1
(2 x  1)2 n 1
A.
B.
(1) n 1.3.5...(2n  1)
(1) n 1.3.5...(2n  1)
y (n) 
y(n) 
(2 x  1) 2 n 1
(2 x  1)2 n 1
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
3
y' 
, y ''  
, y ''' 

2x 1
(2 x  1)3
(2 x  1)5
Ta có
(1) n 1.3.5...(2n  1)
(n)
y 
(2 x  1) 2 n 1
Bằng quy nạp ta chứng minh được:

Câu 30. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
5.(1) n .n ! 3.( 1) n .n !
y (n) 

( x  2)n 1 ( x  1)n 1
A.

y

2x 1
x  3x  2
2

B.

y (n) 

Trang 18

5.(1) n .n ! 3.(1) n .n !


( x  2)n 1 ( x  1) n 1


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

y(n) 

5.(1) n .n ! 3.( 1) n .n !
:
( x  2) n 1 ( x  1) n1

C.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
5
3
y

x  2 x 1
Ta có:

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

D.

y (n) 

Câu 31. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
(1) n .3.n ! ( 1) n .2.n !
y(n) 

n 1
(
x

3)
( x  2) n 1
A.

y (n) 

y

x
x  5x  6
2

B.

n

C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2
Ta có: x  3( x  2)  2( x  3) ; x  5 x  6  ( x  2)( x  3)

Suy ra

y

5.(1) n .n ! 3.( 1) n .n !

( x  2) n 1 ( x  1) n 1

5.(1) n .n ! 3.( 1) n .n !

( x  2) n 1 ( x  1) n 1 .

(1) .3.n ! (1) .2.n !

( x  3) n 1 ( x  2) n 1
n

y (n ) 

y(n) 

(1) n .3.n ! ( 1) n .2.n !

( x  3) n
( x  2) n

y(n) 

(1) n .3.n ! (1) n .2.n !


( x  3) n 1 ( x  2) n 1

3
2

x3 x2 .
(n)

n n
n
� 1 � (1) .1 .n ! (1) .n !


,
�
�
( x  2) n 1 ( x  2)n1
Mà �x  2 �
(1) n .3.n ! (1) n .2.n !
y (n) 

n 1
(
x

3)
( x  2) n 1 .
Nên ta có:

(n)

n
� 1 � ( 1) .n !

�
�
n 1
�x  3 � ( x  )

Câu 32. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y  cos 2 x
�
�
y ( n )  2 n1 cos �
2x  n �
2�
�
A.

�
�
y ( n )  2n 1 cos �
2x  n �
2�
�
B.
�
�
y ( n )  2n cos �
2x  n �
2�

�
D.

� �
y ( n )  2n cos �
2x  �
2�
�
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có :
�
�
� �
�
�
y '  2 cos �
2x  �
, y ''  22 cos �
2x  2 �
, y '''  23 cos �
2x  3 �
2�
2�
2 �.
�
�
�

�
�
y ( n )  2n cos �
2x  n �
2 �.
�
Bằng quy nạp ta chứng minh được

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Trang 20

Đạo hàm – ĐS> 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo hàm – ĐS> 11

Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Ý nghĩa vật lí :
Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình :

v  t0   s '  t0 

.

Cường độ tức thời của điện lượng

Q  Q t

s  s t

t
tại thời điểm 0 là

I  t0   Q '  t0 
t
tại thời điểm 0 là :
.

3
2
Câu 1. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s  t  3t  5t  2 , trong đó t tính bằng giây
và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t  3 là:
2
2
2
2
A. 24m / s .
B. 17 m / s .
C. 14m / s .
D. 12m / s .
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển
động tại thời điểm t .

s�
 t 3  3t 2  5t  2 � 3t 2  6t  5





�
�
s�
 6t  6 � s�
 3  12
3
2
Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s  t  3t  9t  2 ( t tính bằng giây; s tính
bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t  0 hoặc t  2 .
B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t  2 là v  18 m / s .

2
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t  3 là a  12 m / s .
D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t  0 .
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển
động tại thời điểm t .
s�
 t 3  3t 2  5t  2 � 3t 2  6t  5





�
�
s�
 6t  6 � s�
 3  12
3
2
Câu 3. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s  t  3t ( t tính bằng giây; s tính bằng mét).
Khẳng định nào sau đây đúng?
2
A. Gia tốc của chuyển động khi t  4s là a  18m / s .
2
B. Gia tốc của chuyển động khi t  4 s là a  9m / s .
C. Vận tốc của chuyển động khi t  3s là v  12m / s .
D. Vận tốc của chuyển động khi t  3s là v  24m / s .
Hướng dẫn giải:

Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đáp án A
�
s�
 3t 2  6t � s�
 6t  6
�

s�
 4   18

Trang 22

Đạo hàm – ĐS> 11