VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI VIỆC HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
--------

BÀI TIỂU LUẬN MÔN TRIẾT HỌC

VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI VIỆC HÌNH
THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN
KHOA HỌC
==========

Giảng viên hướng dẫn : TS DƯƠNG ĐÌNH TÙNG
Học viên : VÕ QUANG HƯNG
Học viên cao học khóa K35 chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp

Đà nẵng
Tháng 8/2017


MỤC LỤC
MỤC LỤC .......................................................................................................... 1
LỜI CẢM ƠN...................................................................................................... 2
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................... 3
I . THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC
1. Thế giới quan là gì ............................................................................ 4
2. Thế giới quan khoa học là gì ............................................................. 5
II . VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC TRONG SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT
TRIỂN THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC
1. Quá trình hình thành và phát triển Toán học ..................................... 7
2. Đối tượng nghiên cứu của toán học ................................................... 11
3. Quá trình hình thành và phát triển các hệ thống số đếm.................... 12

4. Vai trò của các ký hiệu Toán học trong nhận thức khoa học ............ 14
5. Hiện tượng ngẫu nhiên , cái chân lý toán học và ý nghĩa thực tiễn .. 22
III . TOÁN HỌC CÓ ĐI XA VỚI THỰC TẾ KHÔNG
1. Toán học bắt nguồn từ thực tế .......................................................... 27
2. Có nghi ngờ rằng toán học sẽ xa rời dần thực tế .............................. 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 29

LỜI CẢM ƠN
27


Trước khi trình bày nội dung chính tiểu luận , Em xin chân thành cảm ơn
thầy TS DƯƠNG ĐÌNH TÙNG vì những bài giảng triết học của thầy đã truyền
cảm hứng cho em thêm yêu thích triết học và có hứng thú tìm hiểu vấn đề vận
dụng triết học vào việc học tập của bản thân .
Em xin cảm ơn thầy TS DƯƠNG ĐÌNH TÙNG đã giúp em hoàn thành
cuốn tiểu luân nhỏ này một cách tốt hơn .

Tác giả VÕ QUANG HƯNG

LỜI NÓI ĐẦU
27


Triết học là thành tựu nhận thức và hoạt động thực tiển cải tạo con người
và loài người nói chung . Quá trình hình thành và phát triển của triết học diễn ra
quanh co lâu dài và phức tạp . Trong quá trình đó , toán học đã đóng góp một
phần rất quan trọng .
Triết học và toán học đóng vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực của

đời sống. Giữa chúng có mối quan hệ biện chứng sâu sắc thể hiện trong suốt
quá trình hình thành và phát triển của mỗi lĩnh vực .
Em viết cuốn tiểu luận VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH
THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC này , nói chung
đây chỉ là sự góp nhặt khai triển chẳng mấy là sáng tạo . Trong phạm vi bài
này , em làm sáng tỏ vai trò của toán học trong việc hình thành và phát triển thế
giới quan khoa học thông qua lịch sử toán học
Cấu trúc tiểu luận gồm 3 chương
Chương I . Thế giới quan khoa học
Chương II . Vai trò của toán học trong việc hình thành và phát triển thế
giới quan khoa học .
Chương III . Toán học có đi xa rời thực tế không
Mặc dù hết sức cố gắng nhưng tiểu luận không tránh khỏi những sai sót .
Chúng tôi mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý
thầy cô và bạn đọc
Xin chân thành cảm ơn !

Tác giả VÕ QUANG HƯNG

CHƯƠNG I : THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC

27


1. Thế giới quan là gì?
THẾ GIỚI QUAN là hệ thống tổng quát những quan điểm của con người
về thế giới (toàn bộ sự vật và hiện tượng thuộc tự nhiên và xã hội), về vị trí con
người trong thế giới đó và về những quy tắc xử sự do con người đề ra trong thực
tiễn xã hội. Thế giới quan chính là biểu hiện của cái nhìn bao quát đối với thế
giới, bao gồm cả thế giới bên ngoài lẫn con người và mối quan hệ giữa con người

và thế giới.
Thế giới quan có cấu trúc phức tạp, gồm nhiều yếu tố trong đó có hạt nhân
là tri thức. Trong thế giới quan, những quan điểm triết học, khoa học, chính trị,
đạo đức, thẩm mĩ và đôi khi cả quan điểm tôn giáo đóng vai trò quan trọng nhất.
Tính chất và nội dung của thế giới quan được quyết định chủ yếu bởi những quan
điểm triết học. Vấn đề chủ yếu trong một thế giới quan cũng đồng nhất với vấn
đề cơ bản của triết học (chủ yếu là quan hệ giữa ý thức và vật chất). Tuỳ theo
cách giải quyết vấn đề này mà người ta phân chia ra hai loại thế giới quan cơ
bản: duy vật và duy tâm.
Thế giới quan có tính chất lịch sử vì thế giới quan phản ánh sự tồn tại vật
chất và tồn tại xã hội, phụ thuộc vào chế độ xã hội và trình độ hiểu biết, đặc biệt
là khoa học của từng thời kì lịch sử. Trong xã hội có giai cấp, thế giới quan mang
tính giai cấp; về nguyên tắc, thế giới quan của giai cấp thống trị là thế giới quan
thống trị; nó chi phối xã hội và lấn át thế giới quan của các giai cấp khác.
Thế giới quan không những là sự tổng hợp lí luận và ý nghĩa nhận thức,
mà còn rất quan trọng về mặt thực tiễn; nó làm kim chỉ nam cho hành động của
con người.
Từ việc hiểu biết về thế giới, chúng ta có được bức tranh về thế giới trong ý
thức tức thế giới quan và từ đó quyết định lại thái độ và hành vi đối với thế giới.
Có một cái nhìn đúng đắn sẽ định hướng con người hoạt động theo sự phát triển
lôgic của xã hội và góp pần vào sự tiến bộ xã hội. Vì thế, thế giới quan là trụ cột
về mặt hệ tư tưởng của nhân cách, là cơ sở cho đạo đức, chính trị và hành vi.

2. Thế giới quan khoa học là gì ?
THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC là thế giới quan phản ánh một cách đúng
đắn , chân thực , khách quan hiện thực và khách quan bên ngoài . Người có thế

27

giới quan khoa học là người có tình cảm cao đẹp , sâu sắc , đúng đắn , lành
mạnh ; có lý trí , không để tình cảm lấn át ; có ý thức đúng đắn ; có niềm tin sâu
sắc cào tường lai tốt đẹp của xã hội xã hội chủ nghĩa ; có lý tưởng cao đẹp ,
trong sáng .
Thế giới quan khoa học hiện đại thực chất là thế giới quan duy vật biện
chứng, bao gồm các vấn đề về sự tồn tại của vật chất, mối quan hệ giữa vật chất,
ý thức và các quy luật tổng quát của sự vận động vật chất . Trong thế giới quan
duy vật biện chứng , triết học cùng với cá khoa học khác đã khẳng định sự phát
triển của xã hội loài người là một quá trình lịch sử tự nhiên với những quy luật
khách quan .
Phép biện chứng duy vật là hình thức mở , luôn luôn đổi mới , bổ sung
bởi những thành tựu mới của xã hội . từ Mác , Ăngghen , Lenin không chỉ đổi
mới , bổ sung mà còn vận dụng nó vào trong nhận thức và thực tiển . Nó vận
dụng vào những thành tựu khoa học thực tiễn .
Với những đặc điểm trên đây đã làm cho phép biện chứng duy vật trở
thành phương pháp luận phổ biến . nó đã loại bỏ những hạn chế các quan điểm
của các nhà triết học trước đó và phát triển theo hướng tich cực hơn , nên trở
thành hoàn bị nhất , sâu sắc nhất .
Việc nắm vững những nguyên tác , phương pháp luận được rút ra từ thế
giới quan khoa học giúp chúng ta nhận thức đúng hiện thực khách quan của thời
đại của đất nước của địa phương với tất cả những mối quan hệ giai cấp và dân
tộc , những tương quan lực lượng cách mạng , nắm bắt được sự tiến bộ và quy
định của sự phát triển của lịch sử .
Thế giưới quan duy vật biện chứng phản ánh đúng đắn hiện thực khách
quan của xã hội hiện thực , bảo vệ lợi ich căn bản của giai c công nhân và nhân
daan lao động , là vũ khí lý luận sắc bén , là kim chỉ nam soi đường cho giai cấp
công nhân lãnh đạo nhân dân lao động và cá dân tộc bị áp bức trên thé giới đấu
tranh giải phóng khỏi bị bóc lột và nô dịch , tiến lên xây dựng một xã hội văn
minh và nhân đạo hơn đó là chủ nghĩa xã hội .
Chủ nghĩa Mác-Lenin nói chung và thế giới quan duy vật biện chứng nói

riêng đã kế thừa tất cả những giá trị tư tưởng văn hóa của nhân loại đã có từ
trước , nó luôn luôn gắn liền với thực tiễn của phong trào cách mạng , thực tiễn
vận động của lịch sử , của sự phát triển của khoa học kỷ thuật với cuộc đấu
tranh tư tưởng lý luận chống lại các học thuyết tư sản , các loại chủ nghĩa cơ hội

27


.Nó là học thuyết về sự phát triển nhằm định hướng cho con người vươi tới cs tự
do , thoát khỏi sự thống trị của tự nhiên và thống trị của con người với con
người . Đó là tính nhân văn cao cả của thế giới quan duy vật biện chứng .

CHƯƠNG II : VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC TRONG SỰ HÌNH
THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC
1. Quá trình hình thành và phát triển Toán học.

27


Nhìn vào quá trình phát triển của toán học có thể chia lịch sử của nó làm
ba thời kỳ lớn:
(+) Thời kỳ cổ đại hay toán học sơ cấp, toán học về các đại lượng bất biến
(từ thế kỷ thứ V trước công nguyên đến thế kỷ XVII). Trong giai đoạn này, ý
niệm " chứng minh " cho tính đúng đắn của một mệnh đề đã được xuất hiện.
Người ta đã bắt đầu đặt những câu hỏi có tính căn bẳn như " Tại sao các đáy của
một hình tam giác cân lại bằng nhau ? " và tại sao đường tròn lại chia đường
tròn thành hai phần bằng nhau ? " . Những quá trình thực nghiệm toán học của
Phương Đông cổ đại hoàn toàn chỉ đủ để trả lời câu hỏi " Làm thế nào… ? "
nhưng không đủ để trả lời cho câu hỏi " Tại sao… ? " . Thales đã cố gắng chứng
minh các mệnh đề toán học, từ khiá cạnh suy diễn của Toán học mà các học giả

ngày nay xem là một đặc trưng cơ bản của Toán học đã xuất hiện. Đặc biệt
trong giai đoạn này phương pháp tiên đề do Euclide phát hiện đã đưa Toán học
thành một môn khoa học độc lập.
(+) Thời kỳ cổ điển hay toán học về các đại lượng biến đổi (từ thế kỷ
XVIII đến cuối thế kỷ XIX). Thời kỳ hiện đại hay toán học về các vấn đề cấu
trúc (từ cuối thế kỷ XIX đến nay). Sự kế tiếp của mỗi thời kỳ tuân theo một
logic nhất định phản ánh tiến trình phát triển nội tại của toán học và của những
nhân tố bên ngoài, trong đó có các quan điểm thế giới quan khác nhau, tác động
vào nó. Cũng như các tri thức khác, sự phát triển của tri thức toán học mang tính
biện chứng sâu sắc. Nó là quá trình vừa kế thừa vừa đổi mới về chất giữa các
thời kỳ. Vì vậy các tri thức toán học ở thời kỳ sau chung hơn, sâu sắc hơn, đa
dạng hơn thời kỳ trước và bao quát nó như trường hợp riêng. Vậy trong từng
thời kỳ, toán học đã góp phần hình thành luận chứng cho các thế giới quan duy
vật nói chung và triết học biện chứng nói riêng như thế nào?
(+) Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán học về các đại lượng bất biến, tức là các
đại lượng lấy những giá trị cố định. Trước hết, toán học đã đóng góp vào sự
hình thành cơ sở của lôgic hình thức, nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt
chẽ. Điều đó góp phần hình thành nên các nguyên tắc của tư duy khoa học. Thí
dụ từ quan hệ a = b, b = c suy ra a = c. Tuy nhiên, khái niệm bằng nhau ở đây là
bất biến, bất động, cố định. Đối với các lĩnh vực tri thức khác, ở thời kỳ này
mới chỉ có cơ học và thiên văn học là tương đối phát triển . Toán học đã thông
qua hai khoa học này góp phần vào cuộc cách mạng của Copecních thay hệ địa
tâm bằng hệ nhật tâm. Sự phát triển của một thế giới quan mới gắn liền với cuộc
cách mạng mà Copecních thực hiện đòi hỏi phải có một nền toán học mang
những tư tưởng mới về chất ra đời (đó là toán học về các đại lượng biến đổi ở
thời kỳ cổ điển). Tuy nhiên, ở thời kỳ này, các quan niệm của cơ học Niutơn chi
phối hầu hết cách xem xét các sự vật , hiện tượng của thế giới xung quanh.
Do cơ học Niutơn lấy số lượng bất biến, cố định của toán học làm chuẩn mực để
tính toán khối lượng của nó, nên quan điểm này tạo cơ sở cho hình thành chủ

27


nghĩa duy vật siêu hình máy móc . Thế giới quan của chủ nghĩa duy vật siêu
hình máy móc đã ảnh hưởng lâu dài đến sự phát triển của toán học và các lĩnh
vực khác của khoa học tự nhiên . Mặt khác , những thành tựu trong sự phát triển
của số học, hình học cũng đã tạo ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm
của phép biện chứng ngây thơ cổ đại . Chẳng hạn , vấn đề quan hệ giữa số thực
và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn... Như vậy ở thời kỳ này, mặc dù toán học có
đóng góp vào sự hình thành và phát triển một số yếu tố biện chứng, song nhìn
chung nó chỉ dừng lại ở việc góp phần hình thành và củng cố thế giới quan chủ
nghĩa duy vật siêu hình máy móc . Do sự phát triển của thực tiễn và nhận thức ,
tất yếu dẫn tới sự ra đời của toán học về các đại lượng biến đổi.
Ở thời kỳ này, các nhà kinh điển chú ý đến toán học, trước hết vì những
tư tưởng về vận động, về các mối liên hệ, được phát triển trong toán học sớm
hơn ở các khoa học tự nhiên thực nghiệm khác. F. Enghen đã đánh giá: “Đại
lượng biến đổi của Đềcác đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán học. Nhờ đó
mà vận động và biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi phân và tích phân
lập tức trở thành cần thiết.”. Thật vậy, trong lập luận của giải tínc toán và phép
tính vi phân, người ta đã dùng các khái niệm như hàm số, giới hạn, liên tục, gián
đoạn vô hạn, hữu hạn... Rõ ràng, toán học đã nghiên cứu về sự vận động, về các
mối liên hệ ở những khía cạnh rất quan trọng. Có thể nói rằng, tư tưởng vận
động, về liên hệ của toán học đã góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học. Ở
thời kỳ trước cổ điển, lôgic hình thức và cơ học Niuton chịu sự chi phối của các
khái niệm, phạm trù bất biến cố định của toán học sơ cấp. Với tư tưởng vận
động, liên hệ của toán học, người ta có một quan niệm mềm dẻo hơn đối với các
hình thức của tư duy nói chung và của các phạm trù bất biến trong logic hình
thức nói riêng. Ví dụ, để đo được độ dài của đường cong, ta phải xem đường
cong là giới hạn của những đường thẳng.... Vì vậy, tư tưởng vận động, liên hệ
của toán học là một trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng. Nó góp phần

hình thành bước đầu cơ sở khoa học của logic biện chứng .
Một thành tựu quan trọng khác của toán học thời kỳ này là sự ra đời của
tưởng thống kê – xác suất . Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồn tại
khách quan của cái ngẫu nhiên . Thế giới không chỉ có những cái tất nhiên mà
có cả những cái ngẫu nhiên . Ngẫu nhiên và tất nhiên liên hệ chặt chẽ và bổ
sung cho nhau . Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta một quan niệm mới mềm
dẻo và chính xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau , giữa các sự vật, hiện tượng,
quá trình . Nó vượt hơn hẳn quan điểm quyết định luận chặt chẽ coi sự phụ
thuộc liên hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và tính tất nhiên thống trị
tuyệt đối trong giới tự nhiên . Sự tồn tại cái ngẫu nhiên bổ sung vào bức tranh
khoa học chung về thế giới.
Như vậy , các tư tưởng vận động, liên hệ và thống kê – xác suất đã góp
phần hình thành tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để luận chứng cho thế

27


giới quan duy vật biện chứng . Tuy nhiên , toán học thời kỳ này cũng mang
những hạn chế nhất định. Nó chưa đáp ứng được những nhu cầu của nền sản
xuất từ cơ khí hoá chuyển sang nền sản xuất tự động hoá , của sự phát triển
khoa học từ giai đoạn phân tích , thực nghiệm sang khoa học liên ngành tổng
hợp ở trình độ lý thuyết . Những đòi hỏi ấy tất yếu dẫn toán học tới một thời kỳ
phát triển mới – toán học nghiên cứu các cấu trúc và thuật toán .
Trong giai đoạn hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học thời kỳ này là tư
tưởng cấu trúc . Thực chất của tư tưởng này là cho phép ta tiếp cận một cách
trừu tượng và khái quát các đối tượng có bản chất rất khác nhau để vạcg ra quy
luật chung của chúng . Nói theo ngôn ngữ toán học, tức là có sự tương tự về cấu
trúc hay sự đẳng cấu giữa các lĩnh vực có bản chất khác nhau . Có thể nói rằng
tư tưởng cấu trúc là một trong những cơ sở lý luận cho sự ra đời của các khoa
học tổng hợp như logic toán , điều khiển học , tin học, toán lý, toán sinh, toán

kinh tế... Về phương diện thực tiễn, trên cơ sở sự tương tự về cấu trúc giữa các
quá trình diễn ra trong giới tự nhiên vô sinh , sự sống và xã hội (tư duy) người
ta đã chế tạo ra hệ thống máy tự động , hoạt động theo cơ chế tương tự bộ não
và các giác quan con người .
Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn , toán học hiện đại đóng
vai trò nền tảng trong quá trình nhất thể hoá các khoa học . Hơn nữa , tư tưởng
cấu trúc của toán học còn phản ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất của thế giới .
Sự thống nhất của toán học với thế giới quan triết học biểu hiện ở chỗ chúng
xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng về sự thống
nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận thức được của thế giới đó . Các
khoa học khác như vật lý học , sinh học đã có những đóng góp quan trọng vào
việc luận chứng cho sự thống nhất này. Có thể nói rằng cùng với sự phát triển
của khoa học và thực tiễn các lý thuyết toán học ngày càng có khả năng đi sâu
vào việc luận chứng cho tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới . Chẳng
hạn , cùng một phương trình có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ , sự sinh
sản của vi khuẩn , sự tăng trưởng của nền kinh tế... Như vậy, tư tưởng cấu trúc
của toán học hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền
tảng của sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan , phương
pháp luận sâu sắc . Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận
chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất vật chất của thế
giới .
Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh
hưởng của toán học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại , đặc
biệt đối với những ngành tiếp cận thế giới vi mô . Dựa vào sự tương tự về cấu
trúc, người ta phát hiện ra mối liên hệ , quan hệ và sự thống nhất giữa các lý
thuyết vật lý khác nhau . Đặc biệt, trên cơ sở những lý thuyết hình thức (trừu
tượng) của toán học, người ta đã phát hiện ra những hạt mới trước khi chúng

27

được phát hiện nhờ thực nghiệm . Điển hình là việc phát hiện ra pozitron trong
cơ học lượng tử nhờ biểu diễn nó bằng một phương trình z căn bậc hai . Phương
trình này lúc đầu cho ta căn cứ để dự đoán ngoài electron còn tồn tại một hạt
khác có một số tính chất vừa giống điện tử nhưng lại vừa khác điện tử về dấu
của điện tích . Đó là pozitron . Dự đoán này đã trở thành hiện thực. Về sau các
phản hạt của phần lớn các hạt cũng được tìm ra bằng cách tương tự như
pozitron. Khả năng vượt trước của toán học đã luận chứng, hoàn thiện, cụ thể
hoá quan điểm của chủ nghĩa duy vật về điện tử là vô cùng vô tận. Các cuộc
cách mạng trong hoá học (hoá học lượng tử), trong sinh học (lý thuyết di
truyền), sinh học phân tử... đều dựa vào những thành tựu của toán học hiện đại.
Đối với khoa học nhân văn, khả năng hình thành toán kinh tế, toán tâm lý, toán
xã hội... sẽ góp phần củng cố thế giới quan duy vật biện chứng trong nhận thức
nhân văn và xã hội.
Ở trên là ảnh hưởng của toán học dẫn đến hình thành và củng cố thế giới
quan triết học . Ngược lại, triết học khoa học của toán học đã tác động tích cực
đến sự phát triển của toán học, trước hết dẫn đến một số khuynh hướng nghiên
cứu toán học . Ví dụ , khuynh hướng tìm kiếm các cấu trúc toán tương ứng với
quan hệ không tuyển (vừa là... vừa là , chẳng hạn vừa là sóng , vừa là hạt) là
một trong những đặc điểm nổi bật của các hệ thống phức tạp trong giới tự nhiên
sống và xã hội . Quan điểm “tập hợp mờ” tức là tập hợp toán trong ranh giới
giữa các phân tử không rõ ràng của lade , cho đến cái gọi là “toán học của sự
phát triển” (khuynh hướng toán học về sự tiến hoá của sự sống) . Tuy nhiên
cũng cần phải thấy rằng chủ nghĩa duy tâm cũng đã lợi dụng những thành tựu
của toán học hiện đại vì những mưu đồ đen tối của nó. Bên cạnh đó cũng có
những sự giải thích lệch lạc của chủ nghĩa duy vật không biện chứng trong khi
lĩnh hội, kiến giải và sử dụng các thành tựu toán học . Những sự giải thích như
vậy chỉ nhằm mưu đồ phủ nhận triết học khoa học , xoá nhoà mối liên hệ , quan
hệ giữa triết học khoa học với toán học hiện đại.
Như vậy, lịch sử phát triển toán học chứng minh rằng sự phát triển của

toán học góp phần vào sự hình thành, luận chứng, củng cố, hoàn thiện thế giới
quan khoa học mà nền tảng của nó là triết học duy vật nói chung, triết học duy
vật biện chứng nói riêng. Mối quan hệ giữa toán học và triết học duy vật biện
chứng là mối quan hệ khách quan, hợp quy luật trong tiến trình phát triển nhận
thức của con người.
 Bài học thực tiễn mà chúng tôi muốn rút ra ở đây trong quá trình cải
cách giáo dục ở phổ thông, đại học và các trường dạy nghề là hình thành thế
giới quan duy vật biện chứng trong giảng dạy toán học . Điều đó giúp cho thế hệ
trẻ có một cách nhìn, cách xem xét hiện thực, thực tiễn hơn về lĩnh vực chuyên
môn của mình. Từ đó tạo ra hiệu quả cao nhât trong học tập và công tác.

27


2. Đối tượng nghiên cứu của Toán học
Toán học được quan niệm là ngành khoa học nghiên cứu về các hình thức
không gian và những quan hệ định lượng của thế giới thực.
Những khái niệm liên quan:
a. Ngành khoa học:
• Trong thế giới thực có các sự vật, hiện tượng khác nhau . Khoa học là
xây dựng hiểu biết về bản chất và quy luật vận động của tự nhiên , xã hội
và tư duy. Nó tìm kiếm quy luật vận động chi phối các hiện tượng tự
nhiên, xã hội , tư duy. Để sản xuất ra tri thức là hiểu biết có hệ thống đó
cần có hoạt động gọi là Nghiên cứu khoa học.
• Mỗi ngành khoa học sẽ coi đối tượng nghiên cứu của mình là một phần
nào đó của sự vật, hiện tượng. Có ngành khoa học thì đối tượng là tư
nhiên, cái thì đối tượng là xã hội, cái thì là con người...
b. Toán học chỉ nghiên cứu hai mặt sau của sự vật, hiện tượng thực tế:
• những quan hệ định lượng giữa sự vật hiện tượng này với sự vật, hiện
tượng khác

• khám phá bản chất của các hình thức không gian của sự vật, hiện tượng
c. Có nghĩa là đối tượng nghiên cứu lại không là trọn vẹn , đầy đủ về bất cứ 1
loại hiện tượng, sự vật cụ thể nào (như ở các khoa học khác), mà chỉ nghiên cứu
phần “những quan hệ định lượng” và “mặt hình thức không gian” của “mọi hiện
tượng, sự vật”.
d. Tuy thế, nó lại có vai trò then chốt, quan trọng tạo cơ sở công cụ cho các
ngành khoa học khác xây dựng nên tri thức ngành mình. Toán học đóng vai trò
là phương pháp luận khoa học, chung cho mọi ngành khoa học mà nghiên cứu
những đối tượng, hiện tượng khác nhau của thực tiễn.
• Toán học ngày một hình thành nên những khái niệm, quy luật mới phản
ánh sâu sắc hơn bản chất quan hệ số lượng và cấu trúc của hiện thực. Vì
thế toán học ngày càng phục vụ hiệu quả hơn trong hoạt động thực tiễn.
- Trong thực nghiệm toán học: đo đạc và tính toán chính xác hơn trong mọi
ngành khoa học.

27


- Trong sản xuất: ngày càng hoàn thiện tính toán, tự động hoá và giảm đi 1 phần
lao động trí óc con người nhờ máy tính tự động.
3. Quá trình hình thành và phát triển các hệ thống số đếm
3.1 Các hệ thống đếm nguyên thủy.
Số và phép đếm có một quá trình phát trển lâu dài trước khi con người
biết ghi chép lại . Nhờ vào báo cáo của các nhà khảo cổ mà người ta có thể biết
được sự phát sinh của số và phép đếm. Con người , ngay cả ở thượng cổ xa nhất
đã có một cảm giác về số, người ta có thể nhận biết được sự nhiều hơn hoặc ít
hơn khi một nhóm nhỏ đồ vật có sự thêm vào hay bớt ra . Các công trình nghiên
cứu cho thấy rằng một số loài vật cũng có một giác quan như thế. Do nhu cầu
cuộc sống như một bộ lạc cần phải biết được đàn cừu của mình có mất con nào
không, chính vì vậy mà có thể nói phép đếm sớm nhất là phép ánh xạ,tương ứng

một – một. Khi đếm một đàn cừu , thì người đếm lấy tương ứng một viên sỏi là
một con cừu, và cách đếm này vẫn còn dùng tới bây giờ trong các cảng, nhà
kho,... khi mỗi người vát vào một bao gạo thì họ cầm tương ứng với một thẻ, rồi
khi xong công việc thì chu chỉ cần đếm số thẻ là xong chứ không cần phải đếm
số bao gạo ở nhà kho...
Ở thuở ban đầu , khi đếm con người dùng từ đếm với tên vật hay đồ vật
đi kèm. Trải qua nhiều thời gian, con người biết trừu tượng hóa để gạt bỏ tên đồ
vật hay vật khi đếm và họ chỉ còn nói: một, hai, ba,... khi thực hiện quá trình
đếm.
Để thực hiện việc đếm mở rộng và thuận tiện hơn, con người đã biết hệ
thống hóa lại. Khi đó xuất hiện khái niệm “cơ số”. Khi cơ số b được chọn là cơ
số thì các số 1, 2,..., b được gắn tên của các số từ 1, 2,..., b. Trong lịch sử, có
nhiều cơ số khác nhau được chọn 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 20, 60,... Lúc đầu, người
ta dùng dấu vết để ghi lại các con số, đây cũng là những cố gắng ban đầu này,
những hệ thống chữ viết khác nhau đã dần dần phát triển để ghi lại các số một
cách khoa học hơn. Như vậy là các hệ thống chữ số xuất hiện . Sau đây là các
loại hệ thống chữ số đã được sử dụng nhiều trong các dân tộc trên thế giới từ
xưa cho tới nay .

3.2 Hệ thống nhóm đơn
Hệ thống nhóm đơn được thực hiện theo nguyên tắc sau đây: nếu b là cơ
số thì người ta có ký hiệu cho 1, b, b 2, b3,... Một con số bất kỳ có thể được biểu
thị bằng cách dùng ký hiệu trên theo nguyên tắc cộng, tức là mỗi ký hiệu được
lặp đi lặp lại một số lần cần thiết.
27


Người Ai Cập cổ và người Babilon cổ đã dùng hệ thống nhóm đơn để ghi số.
3.3 Hệ thống nhóm nhân.
Nếu b là cơ số của một hệ thống nhóm nhân thì người ta dùng các ký hiệu

cho 1,2,... b–1 và các ký hiệu cho b, b2, b3,...
Ví dụ: Nếu 10 là cơ số và dùng các ký hiệu như ngày nay cho các số từ
một đến chín 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và a, b, c lần lượt được dùng làm ký hiệu
cho 10, 102, 103 thì ta viết số 2978 như sau 2c9b7a8.
Các nước Trung Quốc, Nhật cổ đã dùng hệ thống nhóm nhân theo cơ số mười
3.4 Hệ thống chữ số mã hóa.
Nếu b là cơ số của một hệ thống chữ số mã hóa thì các ký hiệu được
chọn cho 1, 2, ..., b – 1; 2b,..., (b – 1)b, b 2, 2b2, ..., (b – 1)b 2,... kiểu chữ số mã
hóa dùng khá nhiều ký hiệu, song cách biểu thị thì rất là gọn.
Các nước Hy Lạp, người công giáo Ai Cập cổ,... đã dùng hệ thống chữ số
mã hóa.
Hệ thống chữ số Hy Lạp cổ hay còn gọi là hệ thống Ionic có vào khoảng
450 năm trước công nguyên. Hệ thống này có cơ số 10 và dùng 27 chữ bao gồm
24 chữ của vần cái Hy Lạp và ba ký hiệu mà nay không còn nữa cho các chữ
digamma, koppa, sampi.
Hệ thống chữ số mà chúng ta đang dùng ngày nay là một ví dụ cho hệ
thống chữ số vị trí với cơ số 10. Nếu b là cơ số cho một hệ thống này thì người
ta chỉ có dùng các ký hiệu cho các số 0, 1, 2, ..., b – 1. Tùy theo vị trí của các ký
hiệu này mà chúng có những giá trị khác nhau.
3.5 Hệ thống chữ số Hindu - Ả Rập.
Hệ thống này (cũng là hệ thống số ta đang dùng) do người Hindu đã phát
hiện ra và người Ả Rập truyền sang Tây Âu. Các ký hiệu cho các số của chúng
ta hiện nay đã tìm thấy trên một cột đá ở Ấn Độ do vua Âsoka dựng lên vào
khoảng năm 250 trước công nguyên. Những mẫu xưa này không có số 0 và
không dùng quy tắc vị trí ký hiệu để ghi số. Số 0 và quy tắc vị trí có lẽ đã xuất
hiện ở Ấn Độ vào khoảng năm 800 sau Công nguyên do một nhà Toán học Ba
Tư Al – Khowarizmi đã ghi lại hệ thống Hindu hoàn chỉnh như vậy vào năm
825 sau công nguyên.

27

Những ký hiệu số đã chịu biến dạng đáng kể theo quá trình lịch sử. Khi
ngành in ấn phát triển thì những ký hiệu này mới ổn định. Từ số không có lẽ đã
được bắt nguồn từ Latin hóa zephirum của từ Ả Rập sifr, từ này này được dịch
từ sunyz của Hindu, có nghĩa là “trống không”. Từ Ả Rập được đưa vào tiếng
Đức vào thế kỷ thứ XIII thành cifra và từ tiếng đó, hiện nay trong tiếng Anh có
từ cipher là số không.

4 . Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học
Trên cơ sở nghiên cứu lịch sử phát triển của toán học, chúng ta nhận thấy
rằng, kết cấu logic và sự phát triển của các lý thuyết toán học ngày càng phụ
thuộc vào việc sử dụng các ký hiệu toán học và sự cải tiến các ký hiệu đó. Ngày
nay, chúng ta đã có đầy đủ căn cứ để khẳng định rằng, các ký hiệu toán học
không những chỉ là phương tiện thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa học nói
chung và toán học nói riêng, mà chúng còn có một giá trị nhận thức luận to lớn.
Sở dĩ các ký hiệu toán học có vai trò quan trọng như vậy là do nội dung khách
quan của chúng quy định.
Như chúng ta đã biết rằng, trong lịch sử toán học, vào đầu thế kỷ thứ V, khi
người ấn Độ đưa ký hiệu vào để chỉ số 0 thì họ đã có thể xoá bỏ được hệ thống
tính từng cấp và phát triển hệ thống tính thập phân mà tính ưu việt của nó trong
tính toán đã được hàng trăm triệu người trên hành tinh chúng ta sử dụng hàng
ngày. Đồng thời, khi nhà khoa học nổi tiếng người Đức là Lépnít đưa ra ký hiệu
vi phân và tích phân thì toán học đã thực sự đổi mới. Thật vậy, nếu như trước
đây lời giải của nhiều bài toán về tính diện tích, thể tích, cơ học, thiên văn
học… đòi hỏi những nỗ lực to lớn mà chỉ những nhà toán học lỗi lạc mới có thể
giải được, thì khi các ký hiệu của Lépnít xuất hiện, nhìn chung chúng đã được
giải quyết, mặc dù đó là sự giải quyết một cách máy móc. Như vậy, với những
ký hiệu toán học, chúng ta có thể giải quyết được những nhiệm vụ gắn liền với
thực tiễn. Do ký hiệu toán học có nội dung khách quan đích thực. Ở đây, vấn đề

là ở chỗ, nội dung ấy được thể hiện như thế nào trong quá trình nghiên cứu khoa
học của chúng ta.
Chúng ta đều biết rằng, nhiều nhà triết học duy tâm thường khẳng định tư
duy của con người không có khả năng đưa ra các chân lý khách quan. Song, trên
thực tế họ lại luôn minh chứng cho nhận thức luận duy tâm của mình bằng cách
sử dụng hệ thống ký hiệu và công thức toán học do các nhà toán học đưa ra.
Giải thích việc sử dụng hệ thống này, các nhà triết học duy tâm cho rằng, đối
tượng của toán học mang tính trừu tượng cao, trong khi quy luật phát triển của
toán học lại rất phức tạp, ngôn ngữ ký hiệu thì ngày càng được sử dụng nhiều
trong toán học, nên các chân lý toán học không có tính khách quan. Từ đó, họ
coi toán học chỉ là một hệ thống ký hiệu đã được lựa chọn từ trước một cách

27


thích hợp và căn cứ vào đó để minh chứng cho học thuyết của mình. Bác bỏ
quan niệm đó, các nhà triết học duy vật đã dựa vào toàn bộ quá trình phát triển
của tri thức khoa học để chỉ ra sai lầm của chủ nghĩa duy tâm về đối tượng của
toán học và phân tích một cách đúng đắn nội dung, ý nghĩa của các ký hiệu toán
học.
Theo quan điểm duy vật biện chứng, các ký hiệu toán học, trước hết được sử
dụng để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề toán học. Chẳng hạn, trong số học
các số tự nhiên, các ký hiệu 1, 2, 3… biểu thị đặc điểm về lượng của nhóm đối
tượng chứa một, hai, ba… đối tượng. Các ký hiệu >, = , < biểu diễn những sự
tương quan, chẳng hạn 1 < 2 (1 bé hơn 2). Đồng thời, người ta còn sử dụng đấu
hiệu các phép tính số học như: +, - , x, : để biểu thị những mối liên hệ có thể có
giữa các số tự nhiên. Tất cả các ký hiệu nói trên cho phép ta diễn đạt một cách
hoàn toàn chính xác nhiều mệnh đề của số học các số tự nhiên. Ví dụ, ký hiệu (3
x 5) - 7 = 4 x 2 biểu diễn một mệnh đề số học.
Trong đại số học, người ta thường dùng các ký hiệu là các chữ như a, b, c,...,

x, y, z... để biểu đạt các thông số và những đại lượng biến thiên. Chẳng hạn,
trong phương trình ax2 + bx + c = 0, mỗi hệ số a, b, c có thể nhận bất kỳ giá trị
thực nào, còn ẩn số x cần tìm là thuộc tập hợp các số phức. Việc sử dụng các ký
hiệu về đại lượng biến thiên cho phép ta diễn đạt ở dạng tổng quát các quy luật
của đại số và cả các quy luật của các lý thuyết toán học khác.
Ví dụ:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
(a + b).c = a.c + b.c
an - bn - (a - b). (an-1 + an-2 b + ... + abn-2 + bn-1)
Trong thực tế, nếu chúng ta khảo sát những sự thể hiện khác nhau của
cùng một tiêu đề xuất phát thì không những chỉ các khái niệm về đối tượng của
lý thuyết thay đổi, mà cả các khái niệm về sự tương quan và liên hệ giữa chúng
cũng thay đổi. Chẳng hạn, trong hệ tiên đề pêanô, các ký hiệu >, =, <, +, -, x, :
sẽ có ý nghĩa khác nhau tuỳ theo ký hiệu 1 , 2 , 3 ... biểu thị các số tự nhiên về
lượng hay về thứ tự. Ví dụ, ký hiệu 3 < 4 nếu biểu thị về lượng thì có nghĩa là 3
bé hơn 4, song nếu biểu thị về thứ tự thì có nghĩa là 3 đứng trước 4.
Như vậy, có thể nói, các ký hiệu toán học cho phép ta ghi lại một cách cô
đọng và dưới dạng dễ nhận thức những mệnh đề rất rườm rà trong ngôn ngữ
thông thường. Nhờ đó, ta có thể dễ nhớ và có khả năng nắm được nội dung của
chúng. Đồng thời, các ký hiệu này còn được sử dụng một cách có hiệu quả
trong toán học để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề, mỗi khi chúng phản ánh
27


được những tương quan về lượng và những hình dạng không gian nhất định của
thế giới hiện thực. Chính vì vậy, trước khi sử dụng những ký hiệu vào những lập
luận của mình, nhà toán họe cần chỉ rõ mỗi ký hiệu như thế biểu thị cái gì, nếu
không sẽ dẫn đến những hiểu biết sai lệch điều mà các ký hiệu muốn nói và như
vậy, mọi lập luận trong toán học sẽ không thể tiếp tục tiến hành. Chỉ khi ý nghĩa
của các ký hiệu đã được thiết là một cách chính xác, chúng ta mới có khả năng

hiểu được điều mà các quan hệ muốn diễn đạt.
Trong toán học, vai trò của các ký hiệu rất giống với vai trò của tiếng nói
thông thường trong xã hội. Điều này được thể hiện ở chỗ, tiếng nói của các ký
hiệu toán học cho phép các nhà toán học trao đổi với nhau và trao đổi với những
người khác về chân lý toán học, về việc tổ chức nghiên cứu khoa học. Nhà toán
học nổi tiếng người Nga - Lôbasépxki đã nhận định rằng, cũng như tiếng nói
thông thường có khả năng làm cho sự hiểu biết của chúng ta thêm phong phú
nhờ lĩnh hội được ý kiến của những người khác, tiếng nói của các ký hiệu toán
học là một phương tiện hoàn hảo hơn, chính xác và sáng sủa hơn để người này
truyền cho người kia những khái niệm mà họ lĩnh hội được, những chân lý mà
họ tìm thấy. Nhưng ở đây, cần phải thấy một điều đặc biệt quan trọng là, tiếng
nói của các ký hiệu toán học không thể tồn tại được nếu không có tiếng nói
thông thường. Tiếng nói thông thường có nội dung phong phú hơn tiếng nói của
các ký hiệu toán học. Tất cả những mệnh đề toán học được diễn tả bằng tiếng
nói của ký hiệu đều có thể diễn tả bằng tiếng nói thông thường. Nhưng điều
ngược lại thì không đúng, mọi mệnh đề được diễn tả bằng tiếng nói thông
thường không phải lúc nào cũng có thể diễn tả bằng tiếng nói của các ký hiệu
toán học. Tiếng nói của các ký hiệu toán học chỉ là một công cụ bổ sung cho
tiếng nói thông thường, nó được sử dụng trong toán học và một phần trong các
ngành khoa học khác mà ở đó, có ứng dụng toán học. Việc ký hiệu hoá toán học
không đơn thuần là một vấn đề hình thức, một cách viết tắt thuận lợi, mặc dù
không bao giờ được xem thường khía cạnh đó. Ngôn ngữ toán học cho phép ta
nói ngắn gọn nhiều điều mà nếu diễn tả bằng ngôn ngữ thông thường sẽ rất dài
đòng, phức tạp. Ở đây, chúng ta có thể nhận thấy tính ưu việt của việc sử dụng
các ký hiệu toán học, nếu so sánh công thức của bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
(a2 + a2 + ... + a2 ).(b2 + b2 + … + b2 ) > (a1b1 + a2b2 +… +anbn)2. Với cách diễn
đạt nội dung của nó bằng lời. Rõ ràng, việc phát biểu công thức này bằng lời sẽ
dài dòng hơn rất nhiều, và nếu so sánh cách chứng minh bất đẳng thức trên bằng
ký hiệu với cách chứng minh bằng lời thì chúng ta càng nhận thấy sự thuận tiện
của việc sử dụng các ký hiệu toán học.

Tuy nhiên, không phải lúc nào các ký hiệu toán học cũng có thể biểu diễn
một cách ngắn gọn nội dung toán học và các khoa học khác. Các ký hiệu toán
học sẽ không thực hiện được nhiệm vụ chủ yếu này của chúng, nếu chúng chỉ là
những biểu hiện ngắn gọn của những dạng ngôn ngữ đài dòng hơn. Chẳng hạn,
việc xây dựng cơ học cổ điển đã diễn ra với việc sử dụng các véctơ để diễn tả

27


chuyển động. Theo đánh giá của Anhxtanh, ở đây toàn bộ công việc đã làm chỉ
là chuyển những sự kiện đã được thừa nhận từ trước thành một ngôn ngữ phức
tạp và kỳ lạ. Nhưng, theo ông, chính cái ngôn ngữ kỳ lạ là véctơ ấy đã dẫn đến
những điều khái quát quan trọng mà trong đó, véctơ giữ vai trò nòng cốt.
Vấn đề đáng lưu tâm là ở chỗ, các ký hiệu toán học chỉ có tính ưu việt khi
chúng đảm bảo vai trò hàng đầu của mình trong nhận thức khoa học. Điều đó
được thể hiện ở việc tham gia giải quyết các nhiệm vụ của chúng. Chẳng hạn,
trong đại số học, với các biểu thức bằng chữ, chúng ta dễ dàng thực hiện được
các phép tính và biến đổi từ dạng này sang trạng khác. Việc giải một bài toán
đại số dẫn tới một hệ hai hoặc ba phương trình tuyến tính mà nếu diễn đạt bằng
lời, sẽ không thực hiện được trong khi đó, với các ký hiệu đại số, lời giải của nó
được tìm thấy rất nhanh.
Sự tồn tại trong toán học các phép tính, các thuật toán khác nhau cho
phép chúng ta giải theo một quy tắc nhất định hàng loạt bài toán mà khoa học tự
nhiên và kỹ thuật thường xuyên đặt ra, đó chính là nét đặt trưng của toán học.
Để cho các phép toán dẫn đến lời giải của những bài toán xác định, chúng ta cần
phải xây dựng những chỉ dẫn chính xác để trên cơ sở đó, từ những cái đã cho
lúc đầu mà thu được kết quả cần tìm.
Trong các tập Bản thảo toán học, Mác đã nghiên cứu riêng toán học và để
lại nhiều tư tưởng quý giá về các vấn đề mà chúng ta quan tâm. Trong đó,
những tư tưởng của Mác về cái gọi là "cuộc cách mạng trong phương pháp" có

ý nghĩa đặc biệt quan trọng về mặt phương pháp luận. Trong khi phân tích
những quan niệm khác nhau về cơ sở của phép tính vi phân, Mác đã khẳng định
rằng, việc sử dụng các ký hiệu trở thành bí ẩn và khó hiểu nếu ngay từ đầu
chúng được coi là cái đã cho, đã có sẵn. Điều khẳng định của Mác đã xảy ra đối
với các nhà sáng lập phép tính vi phân - Niutơn và Lépnít cùng những người kế
tục gần gũi các ông. Trong khi tìm các đạo hàm và vi phân của hàm số, ngay từ
đầu, họ đã coi số gia của đối số như là các vi phân. Khi lấy vi phân một hàm số
xác định y = f(x) , một bộ phận nào đó được bỏ đi coi như vô cùng nhỏ, nhưng
nếu số hạng bỏ đi khác 0 thì việc bỏ nó là một phép toán không hợp pháp; nếu
có (dx) = 0 thì khi đó, cả (dy) cũng bằng 0 và đẳng thức của chúng ta biến thành
đồng nhất thức 0 = 0 . Như vậy, số hạng bỏ đi đồng thời phải là 0 và không là 0.
Lẽ đương nhiên là ở đây, không có phép biện chứng nào cả . Trái lại , chính điều
này đã đi đến chỗ gán cho các vi phân những tính chất bí ẩn đặc biệt nào đó,
khác với các tính chất của các đại lượng thông thường. Dựa vào đó, nhà triết
học duy tâm Béccơly đã lấy cớ để gọi chúng một cách châm biếm và hài hước
là "bóng ma của những đại lượng chết" .
Để vứt bỏ tấm màn bí ẩn ở các khái niệm và ký hiệu của phép tính vi
phân, theo Mác , cần phải làm cho ký hiệu đặc trưng đối với phép tính . Vi phân

27


không xuất hiện như là điểm xuất phát, mà như là kết quả của quá trình hoạt
động thực tế không chứa một chút gì là ký hiệu . Mác cho rằng , điểm xuất phát
phải nằm trong giới hạn của đại số thông thường mà chưa yêu cầu những thuật
toán đặc biệt của phép tính vi phân và các ký hiệu của nó. Ở đây, điều mà chúng
ta cần lưu ý là ở chỗ , Mác đã chỉ rõ những việc cần phải làm để tìm ra đạo hàm
của một hàm số xác định y = f (x) . Trước hết, Mác lập các số gia hữu hạn Δx và
Δy. Trong khi một số nhà triết học duy tâm, chẳng hạn như Alembécxơ, coi các
số gia đó như những cái đã tồn tại từ trước , bất luận sự biến đổi nào của các

biến số, thì Mác, trái lại, coi chúng như là kết quả biến đổi của các biến số .
Mác coi việc khử các số gia là công đoạn diễn ra do kết quả biến đổi
ngược của các biến số x và y , còn việc lấy vi phân một hàm số là một phép toán
bao gồm cả công đoạn tính và khử các số gia hữu hạn . Mác viết : "Lúc đầu là
việc tính các số gia và sau đó là việc khử chúng, như vậy sẽ dẫn đến không có
gì hết. Tất cả những khó khăn trong việc hiểu phép vi phân (cũng như trong việc
hiểu phủ định của phủ định nói chung) chính là ở chỗ, làm sao thấy được ở điểm
nào, nó khác với thủ tục đơn giản như thế và vì vậy , nó dẫn đến kết quả thực tế
nào".
Như vậy, hệ số vi phân bằng ký hiệu xuất hiện không phải như điểm xuất
phát, mà như sự phản ánh của việc tìm ra đạo hàm trong một quá trình đại số
đích thực nào đó, không chứa một ký hiệu đặc trưng cho phép tính vi phân nào .
Mác viết : "Sự bất hạnh tiên thiên hay các ký hiệu không còn mang tính chất
khủng khiếp vì giờ đây , nó chỉ xuất hiện như là biểu hiện của một quá trình mà
nội dung thực tế đã được hiểu rõ" .
Nghiên cứu lịch sử hình thành và phát triển của phép tính vi phân, Mác
đã áp đụng quan điểm toàn diện trong việc phân tích và lặp lại phép biện chứng
của các đại lượng biến đổi và qua đó, đã chứng minh tính hiệu quả của phép
biện chứng duy vật trong sự phát triển của nhận thức toán học . ông viết : "Hệ
số vi phân bằng ký hiệu như thế trở thành điểm xuất phát độc lập mà ta chỉ cần
tìm cái tương đương thực tế của nó. Như vậy, sự mở đầu được chuyển từ một
cực là đại số sang cực kia là ký hiệu và do đó , phép tính vi phân cũng xuất hiện
như một phép tính đặc thù nào đó , như một thao tác độc lập trên một mảnh đất
riêng" .
Trong quan điểm của Mác , một vấn đề nổi lên là phương pháp đã có sự
đổi hướng, bản thân phương pháp đại số đã biến thành phương pháp vi phân đối
lập với nó . Nếu như trước đây , chúng ta đi từ quá trình toán học thực tế về việc
tính đạo hàm đến biểu thức bằng ký hiệu của nó (tức là từ đối tượng đến cái
bóng của nó) thì giờ đây, xuất phát từ ký hiệu đã cho, chúng ta tìm hệ thức thực
tế phù hợp với nó (tức là chúng ta đi từ cái bóng đến đối tượng như Mác nói) .

Và theo Mác, bước ngoặt đó trong phương pháp là không thể tránh khỏi, là tiến

27


bộ . Trong lịch sử toán học, đã có nhiều nhà khoa học, chẳng hạn , Lagơrăng ,
trong khi cố gắng phát triển phép tính vi phân từ các hệ thức đại số thông
thường đã không tới được phép tính vi phân , bởi họ đã không đổi ngược quan
hệ giữa đại số và phép tính vi phân .
Tư tưởng của Mác về cuộc cách mạng trong phương pháp có một ý nghĩa
phương pháp luận to lớn đó là chỉ ra biện pháp loại bỏ sự thần bí gắn với các ký
hiệu . Điều đó có ý nghĩa quyết định trong giai đoạn nhận thức hiện nay và cho
phép chúng ta hiểu rõ cội nguồn của tất cả những bế tắc mà thực chứng luận
hiện đại và quan niệm đề cao ngôn ngữ toán học một cách thái quá đã mắc phải.
Đồng thời , những tư tưởng đó còn chỉ rõ tính tất yếu và tính chất tiến bộ của
một thực tế là, khi nhà nghiên cứu sử đụng toán học , điểm xuất phát không phải
là đi từ các dữ kiện thực tế đến ký hiệu của chúng, mà đi từ các hình thức ký
hiệu đến cái tương đương thực tế của chúng .
Với những thành tựu của cuộc cách mạng trong phương pháp , vai trò của
các ký hiệu đã thay đổi một cách cơ bản : Từ biện pháp ghi lại các hiện tượng
đã biết, ký hiệu biến thành biện pháp để tìm ra cái chưa tìm được. Đồng thời,
chính nhờ điều đó mà tính chất "tác chiến" của ký hiệu toán học đã tìm thấy vai
trò to lớn của nó . Vì vậy, có thể nói, quan điểm coi vi phân như một ký hiệu
"tác chiến" của Mác có ý nghĩa rất quan trọng trong nhận thức toán học . Từ đó ,
chúng ta có thể đưa ra một ký hiệu "tác chiến" mới là dy = f ''(x)dx để diễn đạt
hình thức ký hiệu chung của phép lấy vi phân .
Như vậy, từ lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng, chúng ta nhận
thấy rằng, trong toán học, người ta có khả năng sử dụng tiếng nói của ký hiệu
chính là do đặc điểm về đối tượng nghiên cứu của nó. Cụ thể là, toán học
nghiên cứu những hình dạng và quan hệ của các đối tượng trong thế giới hiện

thực mà trong những giới hạn đã biết, chúng không phụ thuộc vào nội dung
thực tế của đối tượng. Ngày nay, trong toán học, nhất thiết chúng ta phải dùng
đến tiếng nói của các ký hiệu, bởi nhờ đó, ta có thể ghi lại một cách ngắn gọn và
rõ ràng các khái niệm và mệnh đề của các lý thuyết toán họe . Đồng thời , việc
sử dụng các ký hiệu còn cho phép phát triển được cả những phép tính và những
thuật toán , tức là những cái cất lõi để xây dựng nên các phương pháp và các
mệnh đề toán học . Như vậy, về thực chất, việc sử dụng các ký hiệu toán học là
một thí nghiệm đã được lý tưởng hoá , chúng mô tả dưới dạng thuần tuý những
điều đã được thực hiện hay có thể thực hiện được một cách gần đúng hoặc chính
xác trong thực tế . Chính vì vậy mà việc sử dụng các ký hiệu toán học có khả
năng phát hiện ra các chân lý toán học mới. Tuy nhiên, chúng ta cần lưu ý rằng,
tất cả những điều nói trên chỉ có thể thực hiện được trong trường hợp hệ thống
ký hiệu toán học đó thể hiện đúng đắn các tính chất và tương quan cơ bản, xác
định của thế giới hiện thực . Toán học nghiên cứu các quan hệ về lượng và hình

27


dạng không gian của các đối tượng trong thế giới đang tồn tại , có nghĩa là nó
nghiên cứu những cái không phụ thuộc vào nội dung vật chất của chúng.
Trên cơ sở đó, các đối tượng mà chúng ta đang nghiên cứu trong toán
học, như số học, đại số, hình học… và các liên hệ như cộng, trừ, nhân , chia…
có thể thay thế được bằng những ký hiệu mà ý nghĩa của chúng không hề bị
xuyên tạc và thu hẹp lại . Điều này đã được nhiều nhà toán học khẳng định,
trong số đó có cả những nhà toán học duy tâm . Chẳng hạn, Lépnít đã nhận xét
rằng, cần phải quan tâm đến vấn đề làm cho những ký hiệu trở nên thuận tiện
hơn cho việc phát minh . Điều này thường xảy ra khi các ký hiệu diễn tả một
cách ngắn gọn và phản ánh một cách sâu sắc nhất thực chất của sự vật, khi đó
việc làm của tư duy sẽ giảm đến mức kỳ diệu.
Để phát triển khoa học, thế hệ sau phải "đứng lên vai" thế hệ trước, chiếm

lấy toàn bộ kiến thức mà các thế hệ trước đã tích luỹ. Song , sự phát triển ngày
càng nhanh của khoa học lại làm cho quá trình tiếp nhận kiến thức trở nên phức
tạp hơn . Trước sự phát triển như vũ bão của cuộc cách mạng khoa học và công
nghệ hiện đại , lượng thông tin khoa học từng ngày , từng giờ rất lớn , vì vậy
không chỉ mỗi nhà bác học không thể sử dụng nổi, mà cả tập thể nghiên cứu
cũng không thể sử dụng nổi lượng thông tin ấy . Điều đó đã dẫn tới một thực tế
là, việc phát hiện ra một sự kiện mới hoặc lập ra một lý thuyết mới còn dễ hơn
là biết được rằng , chúng đã được phát hiện hay đã được xây dựng chưa . Do sự
phát triển như vũ bão của khoa học, phần kiến thức mà một người có thể nắm
được cũng không ngừng giảm đi, điều đó dẫn tới việc chuyên môn hoá một cách
chi tiết hơn và chính những hậu quả không hay cũng được sinh ra từ đó . Đồng
thời, cũng chính điều này đã dẫn tới sự trùng lặp của các công trình khoa học
một cách ngẫu nhiên . Hiện nay, người ta đã tính được trên thế giới có rất nhiều
công trình nghiên cứu khoa học lẽ ra không được phép tiến hành, nếu như có sự
thông tin về các công trình tương tự đã được hoàn thành . Những sự trùng lặp
như vậy, theo ước tính, đã gây thiệt hại hàng tỷ đồng . Do tình trạng đó, nên
ngày nay, người ta đã thành lập những hệ thống tìm kiếm thông tin đặc biệt để
giảm bớt những "cuộc hành trình trong cái biển thông tin rộng lớn . Khối lượng
lớn kiến thức được lưu trữ một cách thuận lợi không phải ở trên các giá sách
của thư viện, mà là ở trong bộ nhớ của các máy tính điện tử . Những máy tính
này có khả năng cung cấp nhanh chóng cho người sử dụng bất cứ đòi hỏi nào về
những nhu cầu giữ trong bộ nhớ. Những cái mà con người với tư cách một sinh
vật sinh lý không làm được thì nó có thể làm được và làm có kết quả như một
sinh vật xã hội, trong đó các máy tính điện tử là sự giúp đỡ vô cùng quý giá .
Vấn đề là ở chỗ, tập hợp các kiến thức có thể biểu diễn dưới dạng một
không gian n chiều, khi đó một thông tin bất kỳ được tìm ra nhờ sự dời chỗ
trong không gian này theo một phương đã cho nào đó. Những phương khác
nhau được ký hiệu bằng những "số hiệu khái niệm" và tài liệu được biểu thị bởi

27

một véctơ trong không gian các khái niệm này. Mỗi khái niệm được gán cho
một chỉ số về "trọng lượng", nó biểu diễn tần số sử đụng chúng trong một bài.
Sau khi biểu thị tài liệu dưới dạng véctơ khái niệm, người ta so sánh một véctơ
biểu thị nhu cầu với các véctơ biểu thị tài liệu để tìm ra câu trả lời .
Máy tính không hề biết "ngoại ngữ" và cũng không biết một thứ ngôn
ngữ tự nhiên nào, chính vì vậy mà chúng ta cần phải nói với máy thứ ngôn ngữ
mà nó hiểu, những nhu cầu thông tin và những điều đã được công bố được dịch
ra thứ tiếng đó. Do vậy, chúng ta phải lập nên một ngôn ngữ hình thức hoá đặc
biệt để sử dụng cho việc giải quyết một lớp bài toán hoàn toàn xác định. Một
ngôn ngữ hình thức hoá được phân biệt bởi các giá trị cố định trong các ký hiệu
của nó và bởi một hệ thống quy tắc được xác định chính xác và đơn trị, các quy
tắc này xác định luật sử dụng các ký hiệu. Như vậy, chúng ta có một ngôn ngữ
thông tin tìm kiếm dưới dạng trừu tượng, gồm có bảng kê những ký hiệu cơ sở,
các quy tắc cấu tạo (quy định kết hợp các ký hiệu như thế nào). Các quy tắc
biến đổi (quy định các biểu thức như thế nào để được một kết luận logic) và các
quy tắc giải đoán (quy định gán những nghĩa nào cho các biểu thức hình
thành theo quy tắc cấu tạo) .
Ở đây, một vấn đề có ý nghĩa lớn là, những ký hiệu được đưa vào ngôn
ngữ toán học nhân tạo thường có tính chất quốc tế và giúp cho việc khắc phục
trở ngại về ngôn ngữ, bởi những tài liệu được công bố bằng tiếng nước ngoài
thường khó hiểu đó bất đồng ngôn ngữ. Song, như chúng ta đã biết, nhờ có
ngôn ngữ của các ký hiệu mà từ lâu, việc không phiên dịch các thông báo khoa
học do các nhà khoa học của nhiều nước trình bày trong các cuộc hội thảo khoa
học đã trở thành truyền thống của các hội nghị toán học quốc tế. Như vậy, chính
ngôn ngữ của các ký hiệu, công thức và phương trình đã liên kết các nhà khoa
học toàn thế giới .
Nếu xét trên bình diện nghiên cứu khoa học, những đặc điểm của ngôn
ngữ tự nhiên đôi khi đã tạo nên những yếu tố chủ quan trong quá trình nhận

thức. Việc ứng dụng toán họe vào các khoa học khác đã nâng cao giá trị khách
quan của các nguyên lý khoa học, vì khi đó, người ta có thể loại trừ được những
mối liên hệ đa dạng với chủ thể, cái mà luôn tồn tại trong ngôn ngữ tự nhiên .
Có thể nói rằng, ngôn ngữ toán học là sự cải tiến ngôn ngữ chung, là sự trang bị
cho ngôn ngữ chung những công cụ thuận tiện để phản ánh những mối liên hệ
phụ thuộc mà nếu diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, sẽ không chính xác
hoặc phức tạp .
Ngôn ngữ tự nhiên nảy sinh trên cơ sở vận dụng những đối tượng mà
chúng ta bắt gặp trong kinh nghiệm hàng ngày còn khoa học hiện đại lại sử
dụng những khái niệm liên quan một cách gián tiếp với những cái thấy được
hàng ngày. Bức tranh vật lý của thế giới khác xa với kinh nghiệm thông thường.

27


Đó chính là nguyên nhân chủ yếu của việc cần đến ngôn ngữ toán học trừu
tượng, thứ ngôn ngữ tỏ ra là một công cụ không thể thay thế được khi đi vào
lĩnh vực các hiện tượng vật lý nằm rất xa ngoài các giới hạn của kinh nghiệm
hàng ngày .
Cải tiến ngôn ngữ khoa học là một vấn đề có ý nghĩa đặc biệt và cấp bách
đối với nhận thức khoa học, nhất là đối với các khoa học xã hội và các ngành
mô tả của tự nhiên học. Chẳng hạn, trong các khoa học xã hội, nếu chỉ mô tả
bằng lời những hệ thống phức tạp, đa dạng và những mối quan hệ tương hỗ của
chúng thì nhất định sẽ dẫn tới những kết luận khái quát khó phân tích, so sánh
và vận dụng. Điều đó càng đúng hơn đối với sự diễn đạt bằng lời các lý thuyết
và sự hoạt động của những hệ thống nói trên. Những khó khăn này có thể khắc
phục được nếu thay thế sự diễn đạt bằng lời bằng các biểu thức toán học .
Có thể nói các ký hiệu toán học xuất hiện và ngày càng đa dạng hoá là do
yêu cầu phát triển của chính bản thân toán học và của các khoa học khác, chứ
không phải chỉ là sản phẩm tư duy thuần tuý của các nhà khoa học hay do

Thượng đế mách bảo như quan điểm của các nhà triết học duy tâm. Và, giá trị to
lớn của những ký hiệu toán học là ở chỗ, chúng là công cụ trợ giúp đắc lực cho
khả năng nhận thức của con người về thế giới hiện thực và góp phần thúc đẩy
các khoa học khác phát triển, góp phần phục vụ cho lợi ích thiết thực của con
người hay như Mác đã khẳng định: "Một khoa học chỉ đạt được sự hoàn chỉnh
khi nó sử dụng toán học" .

5 . Hiện tượng ngẫu nhiên, cái chân lý Toán học và ý nghĩa
thực tiễn
Chúng ta sẽ xem xét cái ngẫu nhiên được nghiên cứu trong các lý thuyết
toán học, trong đó lý thuyết xác suất và thống kê là cơ bản nhất. Lý thuyết xác
suất và thống kê của toán học ra đời nhằm nghiên cứu các hiện tượng ngẫu
nhiên, phát hiện ra quy luật hoạt động của chúng, thúc đẩy khoa học phát triển,
tăng cường khả năng nhận thức của con người đối với thế giới khách quan .
Hiện tượng ngẫu nhiên là rất phổ biến trong thực tiễn, từ vật lý vi mô đến
sinh học, hóa học, khí tượng học và các khoa học xã hội, v.v... Vì thế, lý thuyết
xác suất ngày càng có vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học và được nghiên
cứu một cách sâu sắc. Trong các lý thuyết toán học đã có nhiều quan niệm về
khái niệm xác suất, nhưng ở bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập đến định nghĩa cổ
điển của xác suất và định nghĩa xác suất nhờ tần suất .
Trong các giáo trình toán học, xuất phát từ quan niệm coi xác suất là một
đại lượng thể hiện mức độ xảy ra của một biến cố, người ta đưa ra định nghĩa cổ

27


điển về xác suất như sau: "Nếu A là biến cố có n(A) biến cố sơ cấp thích hợp
với nó trong một không gian biến cố sơ cấp gồm n(  ) biến cố cùng khả năng
xuất hiện thì tỷ số P (A) = được gọi là xác suất của A" .
Từ quan niệm trên, ta giả sử biến cố A được phân chia thành A = A 1 + A2 + ... +

An trong nhóm n biến cố đầy đủ A 1, A2,..., An của một phép thử nào đó có cùng
khả năng xuất hiện thì xác suất của một biến cố nào đó chính là số đo khả năng
khách quan xuất hiện của biến cố đó khi phép thử g được thực hiện .
Trong toán học, không ai dùng nhiều phép thử để chứng minh định lý,
nhưng để nghiên cứu toán học thì không có lý do gì ngăn cản các nhà toán học
sử dụng nhiều phép thử; đặc biệt là trong thời đại ngày nay, máy tính điện tử
cho phép xử lý rất nhanh các kết quả do từng phép thử mang lại. Thực chất của
việc sử dụng phép thử trong toán học chính là việc tìm xác suất của một biến cố
ngẫu nhiên nhờ tần suất của nó. Việc làm này không phải trong thời đại ngày
nay mới được đề cập đến, mà ngay từ thế kỷ XVII, nhà toán học Thụy Sĩ Bécnuli (1654 - 1705) đã chứng minh một định luật rất có ý nghĩa như sau: "Khi
số lần thí nghiệm càng nhiều thì khả năng có sai lệch giữa xác suất và tần suất
xuất hiện của hiện tượng là rất nhỏ. Nói cách khác, khi số lần thí nghiệm càng
nhiều thì tần suất xuất hiện của hiện tượng ngẫu nhiên A dao động một cách ổn
định gần giá trị P nào đó. Giá trị này gọi là xác suất của hiện tượng ngẫu nhiên
A. Vậy có thể dùng tần suất để thay thế xác suất".
Từ khi lý thuyết xác suất ra đời, trong thực tế đã có rất nhiều lý thuyết
ứng dụng nó, như lý thuyết trò chơi, lý thuyết xếp hàng, lý thuyết phục vụ đám
đông, v.v... Càng ngày, người ta càng nhận thấy rằng, những lĩnh vực trong đó
có thể khẳng định "đúng", "sai" là rất ít so với các lĩnh vực trong đó không thể
khẳng định "đúng" hay "sai", mà chỉ có thể nói đến một "xác suất" đúng hay sai
P nào đó ( 0 �P �1 ). Ví dụ, trong cơ học lượng tử, do lưỡng tính sóng hạt nên ta
không thể khẳng định vị trí của một hạt ở một thời điểm xác định, mà chỉ có thể
nói đến xác suất để hạt ở vị trí đó. Vào năm 1965, nhà toán học Mỹ L.A.Zadels đã mở đầu cho việc hình thành toán học mờ - lĩnh vực toán học
chuyên nghiên cứu về tập hợp mờ, tức là những tập hợp không có ranh giới rõ
rệt vì không thể khẳng định được một phần tử nào đó là thuộc tập hợp hay
không, mà chỉ có thể nói đến một xác suất P để phần tử thuộc tập hợp. Trong
thực tế, có rất nhiều tập hợp mờ, chẳng hạn, M là tập hợp những ngày mưa
trong năm 2005 và hỏi ngày 10-10-2005 có thuộc M hay không? ở đây, ta chỉ có
thể đưa ra câu trả lời với một xác suất P nào đó .
Để làm rõ vấn đề, ta cần chú ý đến những biến cố ngẫu nhiên do rất nhiều

nguyên nhân ngẫu nhiên gây ra mà mỗi nguyên nhân này chỉ có ảnh hưởng rất
nhỏ. Việc tìm điều kiện để những biến cố như vậy xảy ra với xác suất gần 0
(hoặc gần 1) một cách tùy ý là nội dung các mệnh đề mang tên "luật số lớn". ở

27


đây, các nguyên nhân được biểu thị bằng những biến ngẫu nhiên, còn tác dụng
tổng hợp của các nguyên nhân được thể hiện bởi "tổng" của những biến ngẫu
nhiên theo một cách nào đó .
Tuy những hiện tượng ngẫu nhiên là không đoán trước được, song theo lý
thuyết xác suất, người ta có thể nghiên cứu các hệ thống những hiện tượng để
rút ra các quy luật về số lớn của chúng, đồng thời biểu diễn các quy luật này
bằng nhiều mô hình toán học. Từ đó, chúng ta có thể lợi dụng được những hiện
tượng ngẫu nhiên, thậm chí tạo ra những hiện tượng ngẫu nhiên tuân theo các
quy luật số lớn để dùng vào những tính toán cụ thể. Vấn đề cốt yếu là ở chỗ, để
hiểu được một hiện tượng ngẫu nhiên, ta phải xem xét nó trong mối quan hệ với
một số lớn các yếu tố, các khả năng. Khi một hiện tượng ngẫu nhiên xảy ra thì
có thể coi đó là tín hiệu của một hay nhiều quy luật mà hiện nay khoa học chưa
biết đến, hay mới chỉ biết một phần. Chính vì vậy, người ta thường nói "cái tất
nhiên bộc lộ ra bên ngoài qua cái ngẫu nhiên".
Trong toán học, lý thuyết xác suất và thống kê đã nghiên cứu rất nhiều
những vấn đề có liên quan đến ngẫu nhiên, chủ yếu là các quá trình ngẫu nhiên,
các dãy những hiện tượng ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên, tức là quá trình
bao gồm những bước diễn ra ở từng thời điểm cụ thể thì ta không hoàn toàn xác
định được, nhưng nếu xét sự việc xảy ra của cả dãy thì rõ ràng nó cũng phải
tuân theo một quy luật chung nào đó. Tóm lại, tìm hiểu về lý thuyết xác suất và
thống kê tức là cố gắng tìm ra những quy luật chung đối với số lớn các hiện
tượng, hoặc là số lớn các đối tượng mà nếu tách từng cái đơn nhất thì không
nghiên cứu cụ thể được và không thể hiểu được. Trong lý thuyết xác suất,

những định lý cơ bản là những định lý về số lớn các biến cố. Như vậy, phần lớn
các quy luật thống kê, quy luật về những hiện tượng ngẫu nhiên là những quy
luật nói về số lớn. Điều này hết sức quan trọng, bởi thông thường, khi nghiên
cứu các đối tượng của thực tế, không phải bao giờ ta cũng có thể hiểu được sự
vận động của cả một quần thể lớn trên cơ sở nghiên cứu sự vận động của từng
đối tượng cụ thể. Trên thực tế, nhiều khi chúng ta không biết được hoạt động
của từng đối tượng cụ thể, nhưng lại hiểu được hoạt động của cả một quần thể
đối tượng nếu dựa vào những quy luật có tính chất thống kê, có tính chất xác
suất. Nói cách khác, đối với từng cái cụ thể là ngẫu nhiên, nhưng đối với toàn
thể lại là có quy luật. Chẳng hạn, ta xét chuyển động của một chất khí bao gồm
hàng tỷ phân tử được đựng trong một bình. Rõ ràng, chúng ta không thể mô tả
được sự vận động của từng phân tử khí, nhưng lại hoàn toàn có thể hiểu được sự
vận động chung của cả chất khí đó. Vì thế, có thể đưa ra kết luận rằng, trong
một cái bình đựng khí mà không có trao đổi năng lượng với bên ngoài thì các
phân tử khí có xu hướng chuyển động tự do với tốc độ ngày càng lớn. ở đây, sự
vận động của từng phân tử khí đối với nhận thức của chúng ta được xem là ngẫu
nhiên, những hiện tượng ngẫu nhiên đó lại được diễn tả bằng quy luật số đông
mà thực chất, là quy luật có tính thống kê của một số lớn các phân tử .
27