BTN 1 1 TINH DON DIEUI CUA HAM SO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀ

Chuyên đề 1

Chủ đề 1.1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa: Cho hàm số
đoạn.

y  f (x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một

 Hàm
số

y  f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1 


f  x2  .

 Hàm
số

y  f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f (x) có đạo hàm trên khoảng K .
 Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f  x  0, x  K .
 
 Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì

f   x   0, x  K .

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f (x) có đạo hàm trên khoảng K .
 Nếu
 Nếu
 Nếu

f   x   0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
f   x   0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
f   x   0, x  K thì hàm số không đổi trên khoảng K .

 Chú ý.
 Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số

y  f (x) liên tục trên

đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn a;b và có đạo
 
hàm
 Nếu

f   x   0, x  K trên khoảng  a;b  thì hàm số đồng biến trên đoạn  a;b  .
f   x   0, x  K (
hoặc

f   x   0, x  K )
và

f   x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của

K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ).
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Lập bảng xét dấu của một biểu
thức Bước 1. Tìm nghiệm của biểu
thức

P( x)

P(x) không xác định.

P(x) , hoặc giá trị của x làm biểu
thức

Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
2. Xét tính đơn điệu của hàm
y  f ( x) trên tập xác định
số Bước 1. Tìm tập xác định
D.
Bước 2. Tính đạo hàm y   f ( x) .
Bước 3. Tìm nghiệm của
Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

1|THBTN


f ( x) hoặc những giá trị x làm
f ( x) không xác định.
cho
Bước 4. Lập bảng biến thiên.
Bước 5. Kết luận.
y  f ( x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng  a; b

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm
số cho trước.
Cho hàm số y  f (x, m) có tập xác định D, khoảng (a;b)  D :
 Hàm số nghịch biến trên (a;b)  y '  0, x  (a;b)
 Hàm số đồng biến trên (a;b)  y '  0, x  (a;b)

Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2|THBTN


 Chú ý: Riêng hàm số đa thức thì :
 Hàm số nghịch biến trên (a;b)  y '  0, x  (a;b)
 Hàm số đồng biến trên (a;b)  y '  0, x  (a;b)
* Nhắc lại một số kiến thức liên quan:
2

Cho tam thức g(x)  ax  bx  c (a  0)
a0
a) g(x)  0, x  ℝ  
0 

a  0
b) g(x)  0, x  ℝ 

  0
a  0
a0
c) g(x)  0, x  ℝ 
d) g(x)  0, x  ℝ 


  0
  0
 Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a;b) :
 Bước 1: Đưa bất phương trình

f ( x)  0 (hoặc f ( x)  0
),

x 
(a;b)

về dạng g(x)  h(m)

(hoặc g(x)  h(m) ), x  (a;b) .
 Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên (a;b) .
 Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham
số m.
4. Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình:
Đưa phương trình, hoặc bất phương trình về dạng f (x)  m hoặc f (x)  g(m) , lập bảng biến thiên
của f (x) , dựa vào BBT suy ra kết luận.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
x1
y

. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
Câu 1. Cho hàm
1

x

số
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 1;  .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 1;   .

Câu 2.

C.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1, 1;   .

D.

Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1, 1;   .
3

2

Cho hàm số y  x  3x  3x  2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên ℝ .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1, 1;   .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1;   .
D. Hàm số luôn đồng biến trên ℝ .

Câu 3.

4

2

Cho hàm số y   x  4x 10 và các khoảng sau:





(I): ;

2 ;





(II):



 

2; 0 ; (III): 0; 2 ;

Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A. Chỉ (I).
B. (I) và (II).
C. (II) và (III).
Câu 4. Cho hàm số y 

D. (I) và (III).

3x 1

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

4  2x
A. Hàm số nghịch biến trên ℝ .
B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 , 2;  .


D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;  2  , 2;   .
Câu 5.

Hỏi hàm số nào sau đây nghịch biến trên ℝ ?
A. h( x)  x4  4x 2  4 .
C. f (x)

Câu 6.

Câu 7.
số

4 5 4 3
 x  x x.
5
3

Hỏi hàm
số

Câu 9.

D. k(x)  x3 10x  cos2 x .

x2  3x  nghịch biến trên các khoảng nào ?
5

y

x 1

A. (; 4) , (2; ) .

B. 4; 2 .

C. ; 1, 1;   .

D. 4; 1 và 1; 2  .

Hỏi hàm

x3
y 
3x 3

 5x  nghịch biến trên khoảng nào?
2

2

A. (5; )

Câu 8.

B. g(x)  x3  3x2 10x 1.

B. 2;3

Hỏi hàm số y 

3

5
A. (; 0), (1;3) .

5

4

C.

;1

D. 1;5

3

x  3x  3x  2 đồng biến trên khoảng nào?
B. (1;3) .
3

C. ℝ .

D. (;1) .

2

Cho hàm số y  ax  bx  cx  d . Hỏi hàm số đồng biến trên ℝ khi nào?
a  b  0, c 
A.
2
0 a 
0;b 

a  b  0, c 
2
C.
0 a
0;b 


Câu 10. Cho hàm số

.

a  b  0, c  0
2
B.  a 
0;b 


.

.

a  b  c  0
2
D. 
0;b 
a 

.

y  x3  3x2  9x 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1.
B. Hàm số đồng biến trên ℝ .
C. Hàm số đồng biến trên 9; 5  .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng 5;  .
Câu 11. Cho hàm số y 

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0  ;  2;3  .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 0  ;  2;3  .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;3  .


3x2  x3

x
y   sin2 x, x 0; . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
2
 7 11 
 7    11  
A. 0; 12 và 12 ;  .
B. 12 ; 12 .

 








7
7
11
7
11
  11 
  



C. 0; 12 và 12 ;12
.
D. 12 ; 12  và

;  .
12

 


 


Câu 12. Cho hàm
số


2

Câu 13. Cho hàm số y  x  cos x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên ℝ

 .



B. Hàm số đồng biến trên
 k ;  và nghịch biến trên khoảng ;  k .




4
4

 


  



C. Hàm số nghịch biến trên
 k ;  và đồng biến trên khoảng ;  k .




4
4




D. Hàm số luôn nghịch biến trên ℝ .
Câu 14. Cho các hàm số sau:
1 3
2
(I) : y  x  x  3x  4
;

x 1

 : y 

x 1
4

3

;

 : y  x2  4

2

(V) : y  x  x  2 .
3

(IV) : y  x  4x  sin x ;
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 5.
Câu 15. Cho các hàm số sau:
3

2

(I) : y  x  3x  3x 1 ;
(III) : y  

x3  2

(II) : y  sin x  2x ;

;

(IV) : y 

Hỏi hàm số nào nghịch biến trên ℝ ?
A. (I), (II).
C. (I), (II) và (IV).

x2
1 x

B. (I), (II) và (III).
D. (II), (III).

Câu 16. Xét các mệnh đề sau:
 Hàm
số

y  ( x 1)3 nghịch biến trên ℝ .

 Hàm
số

y  ln(x 1)


 Hàm số y 

x

x đồng biến trên tập xác định của nó.
x
1

đồng biến trên ℝ .

x 1
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
2

A. 3.
Câu 17. Cho hàm
số

B. 2.

C. 1.

D. 0.

y  x  1 x  2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



1;

1

.


2 
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 1) .

1

;  .


2

1

1

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;
và đồng biến trên khoảng
;  .




C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1) và




2

2



Câu 18. Cho hàm
số

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
yx3
2
2x
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2và đồng biến trên khoảng 2; 2  .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2và nghịch biến trên khoảng 2; 2  .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1; 2 .


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 và đồng biến trên khoảng 1; 2 .
Câu 19. Cho hàm số y  cos 2x  sin 2x.tan x,

  
;
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
x   

 22 

đúng?

  
 Hàm số giảm trên  ;
.


2 2


  
 Hàm số tăng trên  ;
.


2 2


  
 Hàm số không đổi trên  ;
.


2 2


  
 Hàm số giảm trên  ;0


 2 
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y2 

xm
x 1

mà nó xác định ?
A. m  3 .

B. m  1.

giảm trên các khoảng

C. m  1.

D. m  1.

Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên ℝ ?
2
1 3
y   x  mx  (2m  3)x  m  2
3

A. 3  m  1.

B. m  1.

C. 3  m  1.

D. m  3; m  1.

2

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 

x  (m 1)x  2m 1
x
m
D. m  1.

từng khoảng xác định của nó?
A. m  1.
B. m  1.
C. m  2 .
Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  f (x)  x  m cos
x
biến trên ℝ ?
1
 m  1.
B. m  3 .
C. m  1.
D. m  .
2
2
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
m  3
nghịch biến trên
2 ℝ?
A. 4  m  .
B. m  2 .
C.

.


3

luôn đồng

y  (m  3)x  (2m 1) cos x luôn
D. m  2 .

m1

Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn đồng biến trên ℝ ?
y  2x3  3(m  2) x2  6(m 1)x  3m  5
A. m  0 .

B. m  1.

C. m  2 .

Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số

D. m  1.
x3

tăng trên

2

ℝ?

y
A. m  5 .

 mx
B. m  0 .

Câu 27. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số
xác định của nó?
A. m  1 .

B. m  2 .

3

 mx  m luôn đồng biến trên
D. m  6 .

C. m  1 .
y2 

(m  3)x  luôn nghịch biến trên các khoảng
xm

C. m  0 .

D. Không có m .
giảm trên khoảng
mx 

4y 
xm

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

;1?
A. 2  m  2 .

B. 2  m  1 .

C. 2  m  1 .

Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
khoảng 0;   ?
A. m  0 .

B. m  12 .

B. m  ; 2  .

3

D. m  12 .
4

nghịch biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 3?
A. m  1; m  9 .
B. m  1 .
C. m  9 .

0;

1
3

3

x 

1
2

2

mx  2mx  3m  4

D. m  1; m  9 .
đồng biến trên khoảng

tan x  2
y  tan x 
m



?


4



A. 1  m  2 .

B. m  0;1  m  2 . C. m  2 .

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
giảm trên nửa khoảng [1; ) ?

14 

14 
A. ; 
.
B. ; 
.


D. m  ; 5 .
y

Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số



2

y  x  2(m 1)x  m  2 đồng biến

C. m  2,   .

Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

2

y  x  6x  mx 1 đồng biến trên

C. m  0 .

Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
trên khoảng (1;3) ?
A. m 5; 2  .

D. 2  m  2 .



15 



15





p
là ;
, trong đó phân số




q




y  f (x) 


14 
C. 2; 
.





Câu 34. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
trên
2 khoảng 1;

D. m  0 .

15

2

mx3

14x  m  2


7mx 3

 14

D. 
;  .



15



y  x 4  (2m  3)x2  nghịch biến
m
p tối giản và q  0 . Hỏi tổng p  q là?
q


A. 5.
3.

B. 9.

C. 7.

D.

x2  2mx  m 
đồng
2
xm

Câu 35. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y 
biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. Hai.

B. Bốn.

C. Vô số.

D. Không có.

Câu 36. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
y

2x 2  (1 m)x 1 m
xm

đồng biến trên khoảng (1; ) ?

m

sao cho hàm số


A. 3.
Câu 37. Tìm

B. 1.
tất

y  f (x) 

cả
x3

3



các

giá

C. 2.
trị

thực

của

tham

 1 (sin   cos )  3 x sincos
x2




2

D. 0.
số

 và



sao

cho

hàm

số

  2 luôn giảm trên ℝ ?

2

 k     k , k  Z và   2 .
12
4
2.

5
B.  k   

 k , k  Z và
12
12
A.

C.  



 k , k  Z và   2 .
4
5
D.  
 k , k  Z và   2 .
12

Câu 38. Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số
y  f (x)  2x  a sin x 
tăng trên ℝ ?
bcosx
1 1
1 2
A.   1.
B. a  2b  3 .
C. a2  b2  4 .
D. a  2b 
.
3
2
a b

luôn

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 3
2
x  3x  9x  m  0 có đúng 1
nghiệm?
A. 27  m  5 .
B. m  5 hoặc m  27 .
C. m  27 hoặc m  5 .

D. 5  m  27 .

Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2
thực?
A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  3 .
.

x 1  x  có nghiệm
m
D. m  3
2
 m  4x  x có

Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2  4x  5
đúng 2 nghiệm dương?
A. 1  m  3 .

B. 3  m  5 .

C.  5  m  3 .

D. 3  m  3 .

Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình:
x2  3x  2  0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx2  m  1 x  m 1  0 ?
4
3
A. m  1.
B. m   .
C. m   .
D. m  1.
7
7
Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương
2
2
3
log x  log x 1  2m 1  0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn 1;3  ?
3
3


A. 1  m  3 .
B. 0  m  2 .
C. 0  m  3 .
D. 1  m  2 .
x2  mx 44.

2

trình:


Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
nghiệm thực?
7
3
9
A. m   .
B. m  .
C. m  .
.
2
2
2

 2x 1 có hai
D. m  ℝ

Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 3 x 1  m x 1  2 4 x2 1 có
hai nghiệm thực?


A.

1
3

 m  1.

B. 1  m 

1

1

C. 2  m 

.

4

D. 0  m 

.

3

1

.

3

Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
2
(1
mọi 2x)(3  x)  m  2x  5x  3 nghiệm đúng với

 1 
x   ;3 ?
 2 


A. m  1.
B. m  0 .
C. m  1.
D. m  0 .
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình





x [ 1;3] ?

3 1 x  3  x  2 (1 x)(3  x)  m nghiệm đúng với
mọi
A. m  6 .

B. m  6 .

C. m  6
2

Câu 48. Tìm tất

cả

các

giá trị

thực

của

tham

số

4.
m

D. m  6
sao

cho

4.
2
bất phương

trình

bất

trình

3  x  6  x  18  3x  x 2  m  m 1 nghiệm đúng x 3, 6 ?
2

A. m  1.
C. 0  m  2 .

B. 1  m  0 .
D. m  1 hoặc m  2 .

Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
x
m.4   m 1.2 x2  m 1  0 nghiệm đúng x  ℝ ?
A. m  3 .

B. m  1.

m

sao

C. 1  m  4 .

cho

D. m  0 .
3

x  3mx  2  
1

Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:
nghiệm 2đúng x  1 ?
2
A. m  .
B.
1 m .

3

C. m 

3

3

.

2

Câu 51. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phương trình
nghiệm?
A. m  4 .
B. m  8 .
C. m  12 .

phương

x3

D.

 
3
2

m 3.
2
2

2

2cos x  3sin x  m.3cos x có
D. m  16 .

Câu 52. Bất phương trình

3
2
2x  3x  6x 16  4  x  2 3 có tập nghiệm là  a;b  . Hỏi tổng a  b
có giá trị là bao nhiêu?
A. 2 .
B. 4.
C. 5.
D. 3.

Câu 53. Bất phương trình x2  2x  3  x2  6x 11 
3  x  x 1 có tập nghiệm  a;b  . Hỏi hiệu
b  a có giá trị là bao nhiêu?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 1.


D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN
1
D

2
A

3
D

4
B

5
C

6
D

7
D

8

B

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B B A A C A A B C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A B A A A C D C D B A B B C C D B C C B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
B C B C D D D D B A A C A
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Chọn D.
TXĐ: D  ℝ \ 1. Ta
có

y'

2

2 0, x 
1 (1 x)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (;1) và (1; )
Câu 2.

Câu 3.

Chọn A.
TXĐ: D  ℝ . Ta
có

2
2
y '  3x  6x  3  3(x 1)  0 x  ℝ
,

Chọn D.
D  ℝ y '  4x3  8x  4x(2  x2 ) .
TXĐ: .
Giải



Trên các khoảng ;

2

 và 0; 2 ,

x  0
y'0
x   2

y '  0 nên hàm số đồng biến.



Câu 4.

Chọn B.
TXĐ:

Câu 5.

10
D  ℝ \ 2. Ta có y ' 
 0, x  D .
(4  2x)2


Chọn C.
Ta có: f '( x)  4x4  4x2 1  (2x2 1)2  0, x  ℝ .

Câu 6.

2

Chọn D.
TXĐ: D  ℝ \

1.

y'


x  2x 
.

8
2
( x 1) Giải

y'0
x

2

 2
 2x  8  0  
 x  4

y ' không xác định khi x  1 . Bảng biến thiên:
x
y




4
0

1
–

–

11

2
0







y




1


Hàm số nghịch biến trên các khoảng 4; 1 và 1; 2
Câu 7.

Chọn D.
TXĐ: D  ℝ
.

x  1
y '  x  6x  5  0  
 x5
2

Trên khoảng 1;5, y '  nên hàm số nghịch biến
0
Câu 8.

Câu 9.

Chọn B.
TXĐ: D  ℝ
.
Chọn A.
2

y'
3ax

4

3

2

2

2

y '  3x 12x  12x  3x ( x  2)  0 , x  ℝ

a  b  0, c  0
 2bx  c  0, x  ℝ   2
a  0;b  3ac  0

Câu 10. Chọn B.
TXĐ: D  ℝ .
Do

y '  3x 2  6x  9  3(x 1)( x  nên hàm số không đồng biến trên ℝ .
3)

Câu 11. Chọn B.
HSXĐ:
3x

2

x

3

 0  x  3 suy ra D  (;3] . y ' 

x  0
 x  0 y ' không xác định khi 
.

x

3

. 
x  2

Bảng biến thiên:
x 
0
2
||
0
y



6x  3x
2

2

2 3x  x

3

, x  ;3 .

Giải y ' 
0

y



3
||



2
0

0

Hàm số nghịch biến (; 0) và (2;3) . Hàm số đồng biến (0; 2)
Câu 12. Chọn A.



x    k

.TXĐ: D  ℝ

12
, k  ℤ
y '  0  sin 2x  1  
2 
7
x
 k
 12

y '  1  sin 2x .
Giải
2







Vì x 0; nên có 2 giá trị x  7 và x  11 thỏa mãn điều kiện.
12
12
Bảng biến thiên:
7
11
x 0
12
12
y  ||
0
0





||

y
 7   11 
Hàm số đồng biến 0;
và
;


 

12
12
Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

17 | T H B T N










Câu 13. Chọn A.
TXĐ: D  ℝ y   1 sin 2x  0 x  suy ra hàm số luôn đồng biến trên ℝ
;
ℝ
Câu 14. Chọn C.
(I): 
2
y  x  2x  3   x 12  2  0, x  ℝ .
(III):

2  0, x 



x
1


(II): y 
y 
2 1
(x
1)


 x 
2
(IV): 
y  3x  4  cos x  0, x  ℝ



x2  4

 

x
x2  4

3
2
(V): y   4x  2x  2x(2x 1)

Câu 15. Chọn A.
3

2

2

2

(I): y '  (x  3x  3x  1) '  3x  6x  3  3(x 1)  0, x  ℝ
; (II): y '  (sin x  2x) '  cos x  2  0, x  ℝ ;



y  



2



3
3
x  x
2 x3  2  0, x   2;  ;
3






 1
1
 2  x  2   x0,x
2

   (1 x)2
1   
 y ' 
 x 1
 




Câu 16.

Chọn A.

(I) y   (x 1)3  3(x 1)2  0, x  ℝ

x 
x

(II) y   ln( x 1) 

 0, x  1


2
x 1

 x





1

(III) y 

1.

x2 1





 x. x 2  1 

x2 1


 x. x 
 2  
 x 1

x 1

 0, x  ℝ

x2 1 x2 1

x 1

2

1



2

1

y  0  x 
Câu 17. Chọn B.
2
 2x 1
khi x 
1
y  
;
2x 1 khi x  1

1

x
y



||



1
2
0




y
Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

18 | T H B T N


Câu 18. Chọn C.
y 

TXĐ: D  ; 2 . Ta
có

2  x 1 , x ; 2 .
2x

Giải 
y 0

1x
2  x 1;
Bảng biến thiên:
x
y

y ' không xác định khi x  2




y

1
0
6





2
||
5

Câu 19. Chọn C.

Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

19 | T H B T N


  
Xét trên khoảng  ;
.


22


Ta có: y  cos 2x  sin 2x. tan x 
  
Hàm số không đổi trên  ;
.


22


Câu 20. Chọn D

cos 2x.cos x  sin 2x.sin x
cos x

y 

Tập xác định: D  ℝ \ 1. Ta
có

 1  y  0

m 1
2
x  1

Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định  y   0, x  1  m  1
Câu 21. Chọn A
Tập xác định: D  ℝ . Ta có y   x 2  2mx  2m  3 . Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì
ay  0
 1  0 (hn)

y  0, x  ℝ  
 2
 3  m  1




m
2m
3
0


0




x2  2mx  m2  m 1

Câu 22. Chọn B.
Tập xác định:

D  ℝ \ m. Ta
có

y 

(x  m)2

Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó

1  0 (hn)
 y   0, x  D  x 2  2mx  m2  m  1  0, x  D 
m1

m 1  0

Câu 23. Chọn A.
y   1 m sin x .
Tập xác định: D  ℝ . Ta có
Hàm số đồng biến trên ℝ  y '  0, x  ℝ  m sin x  1, x  ℝ
Trường hợp 1: m  0 ta có 0  1, x  ℝ . Vậy hàm số luôn đồng biến trên ℝ
Trường hợp 2:

1

, x  ℝ   1  m  1
m
m
1
1
Trường hợp 3: m  0 ta có sin x  , x  ℝ   1  m  1
m
m
Vậy m  1
m  0 ta có sin x 

1

Câu 24. Chọn A.
y '  m  3  (2m 1) sin x
Tập xác định: D  ℝ . Ta có:
Hàm số nghịch biến trên ℝ  y '  0, x  ℝ  (2m  1) sin x  3  m, x  ℝ
7
1

0
,x ℝ . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên ℝ .
ta
có
m


Trường hợp 1:
2
2

Trường hợp 2:

1 m


3m

3m
, x  ℝ 
 1
2m  1
2m 1
 3  m  2m 1  m  4

ta có sin x 
2
Trường hợp 3: m  
3m

sin x 
m

2

, x  ℝ 

2m  1
1
Câu 25. Chọn A.

1 ta có:
3



 1  3  m  2m  1  m 2 . Vậy

2m 

3

m

4;

2
3 

x1
f ( x)  0  6x2  6  m  2  x  6  m 1  0 

xm

Tính nhanh, ta
có
Phương trình f ( x)  0 có nghiệm kép khi m  0 , suy ra hàm số luôn đồng biến trên ℝ .
Trường hợp m  0 , phương trình f ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt (không thỏa yêu cầu bài
toán).
Câu 26. Chọn C.
Tập xác định: D  ℝ . Ta có y   x2  2mx  m

1  0
(hn)
Hàm số đồng biến trên ℝ  y   0, x  ℝ 

 1  m  0


m2  m  0
Vậy giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến trên ℝ là m  1
Câu 27. Chọn D.
y   m2  3m  2

Tập xác định: D  ℝ \ m. Ta
có

 x  m

2

Yêu cầu đề bài  y   0, x  D  m 2  3m  2  0  2  m  1
Vậy không có số nguyên m nào thuộc khoảng 2; 1 .
Câu 28. Chọn C
Tập xác
định

D  ℝ \ m. Ta
có

y   m2  4
2

x  m

. Để hàm số giảm trên khoảng ;1

m2  4  0  2  m  1
 y   0, x   ;1  
1  m
Câu 29. Chọn D.
Cách 1:Tập xác định: D  ℝ . Ta có
 Trường hợp 1:

y   3x 2 12x  m


3  0
Hàm số đồng biến trên ℝ  y   0, x  ℝ 
 m  12

(hn)
36  3m 



Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên 0;



 y   0 có hai nghiệm x1,
x2

thỏa

x1  x2  0 (*)
 Trường hợp 2.1: y   0 có nghiệm x  suy ra m  0 . Nghiệm còn lại của y   0 là
0
x  4 (không thỏa (*))
 Trường hợp 2.2: y   0 có hai
x1, x2 thỏa
nghiệm

36  3m   không có m .Vậy m  12
   0

0
x1  x2  0  S  0

 P  0  4  0(vl)



m  0
3


Cách 2:Hàm số đồng biến trên 0;   m  12x  3x2  g(x), x  (0; ) .
Lập bảng biến thiên
của

g(x) trên 0; .

x

0

+∞

2
+

g

0

–

12
g
0

–∞

y '  4x3  4(m 1)x .

Câu 30. Chọn B.
Tập xác định D  ℝ . Ta có

Hàm số đồng biến trên (1;3)  y '  0, x  (1;3)  g( x)  x2 1  m, x  (1;3) .
Lập bảng biến thiên
của

g(x) trên (1;3) .
x 1
g

+

3
0
10

g
2
Dựa vào bảng biến thiên, kết luận:
Câu 31. Chọn A.

m  min g(x)  m  2 .

Tập xác định: D  ℝ . Ta có y   x2  mx  2m
Ta không xét trường hợp y   0, x  ℝ vì a  1  0
Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3  y   0 có 2
nghiệm

x1,
x2

thỏa

2
  0  m  8m 
m  1

m  8 hay m 
0
0

2
x1  x2  3  
2
m9
m  8m 
 x1  x2  9  S  4P 
2

9
9
Câu 32. Chọn B.




+)
Điều
kiện
.
Điều
kiện
cần
để
hàm
số
đồng

biến
trên
tan
x

m
0;



+) y ' 



 4 

2m
2

cos x(tan x  m)
1
+) Ta thấy:
 0;1

 

 

là m  0;1

2

.
 
 0x  0;
;m

2


cos x(tan x 
 4 
2
m)
y'
 
0 Để hs đồng biến trên 0;
+)


 m  2 
0


 4




m (0;1)

 m  0 hoặc 1  m  2


m  0;m  1

Câu 33. Chọn B.
Tập xác định D  R , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
mx2 14mx  14  0, x  1, tương đương
với
Dễ dàng có được

g(x) 

14 
m (1)
x 14x
2

14
g(x) là hàm tăng x 1;  , suy ra min g(x)  g(1)  
x1
15


Kết luận: (1)  min g(x)  m  

14

m

15

x1

Câu 34. Chọn C.
Tập xác định D  ℝ . Ta có y  4x3  2(2m  3)x .

3
Hàm số nghịch biến trên (1; 2)  y   0, x  (1; 2)  m  x 2   g(x), x  (1; 2) .
2
Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1; 2) g ( x)  2x  0  x  0
x 1
.
2
Bảng biến thiên
+
0
g
11
5
2
g
2
5
m  min g(x)  m  . Vậy p  q  5  2  7 .
2
Dựa vào bảng biến thiên, kết luận:
x2  2mx  2m2  m  2

Câu 35. Chọn C.
D  ℝ \ m. Ta
có

Tập xác
định

y 

g( x)


(x 
m)2

( x  m)2

.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi g(x)
 0, x  D .
m 1
2
 m  m  2  0 
Điều kiện tương đương 
là

m  2

g ( x)

Kết luận: Có vô số giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 36. Chọn D.
D  ℝ \ m. Ta
có

Tập xác
định

y   2x 2  4mx  m2  2m
1 (x  m)2



g( x)
( x  m)2

Hàm số đồng biến trên (1; ) khi và chỉ khi g(x)  0, x  1 m  1 (1)
và
2

Vì   2(m 1)  0, m nên (1)  g(x)  0 có hai nghiệm thỏa x  x  1
g
1
2
2g(1)  2(m2  6m 1)  0

m3

2  0, 2 .

Điều kiện tương đương 2S
là
m1

2
Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 37. Chọn B.
Điều kiện xác định:   2
Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
Kết luận: 
Câu 38. Chọn C.

12

 k   

5
 k , k Z và   2 .
12

1
2

 sin 2  1