MỘT số ví dụ TÍNH TÍCH PHÂN 3 lớp có lời GIẢI CHI TIẾT

MỘT SỐ VÍ DỤ TÍNH TÍCH PHÂN 3 LỚP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT


xydxdydz , trong đó miền V được giới hạn bởi các
�
�
�

VD1. Tính tích phân J 

V

mặt x2  y2  z2  4, x �0,y �0,z �0.
(x
�
�
�

2

VD2. Tính tích phân I=

V

 y 2 ) zdxdydz trong đó V là miền giới hạn giíi h¹n

bëi c¸c mÆt x + y = 1, z = 0 , z = 3.
2

2

VD3. Tính tích phân J 

�
�
�x

2

V

 y2dxdydz , trong đó miền V được giới hạn bởi

các mặt x2  y2  2y , z  0,z  3
xdxdydz trong đó V giới hạn bởi x �0, y �0, z  x 2  y 2 , z  4
�
�
VD4. Tính I  �
V

( x  y )dxdydz trong đó V giới hạn bởi
�
�
VD5. Tính I  �
V

x  0, y  0, z  0, x  y  1, x  y  z  0 .

VD6. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt x 2  y 2  z 2 , z  1 .
VD7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi phần mặt trụ x 2  y 2  4 và hai mặt phẳng
z=0 và z=2

VD8. Tính thể tích vật thể V được giới hạn bởi các mặt z  3, z  x 2  y 2  1.
xdxdydz , trong đó V là miền được giới hạn bởi mặt phẳng
�
�
VD9. Tính tích phân I  �
V

x  y  z  1 và các mặt tọa độ.

VD10. Tính

I �
(x 2  y2 ) dxdydz , trong đó V là miền được giới hạn bởi
�
�
V

x 2  y 2  z 2 �a 2 , a  0, z �0.

VD11. Tính tích phân I=

(x
�
�
�

2

V

 y 2 ) zdxdydz trong đó V là miền giới hạn giíi h¹n

bëi c¸c mÆt x + y = 1, z = 0 , z = 2.
2

VD12. Tính I 

2

�
�
�x
V

1
2

 y2  z2

dxdydz , V là miền giới hạn bởi hai mặt cầu

x2  y2  z2  1, x2  y2  z2  4.

VD13. Tính tích phân J 

xyzdxdydz , trong đó miền V được giới hạn bởi các
�
�
�
V

mặt x2  y2  z2  1, x �0,y �0,z �0.


�
�
�x

VD14. Tính tích phân J 

V

2

 y2zdxdydz , trong đó miền V được giới hạn

bởi các mặt x  y  2y , z  0,z  3.
VD15. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau:
2

2





2
2
z  x2  y2 , z  2 x  y , y  x2 , y  x .

dxdydz
�
�
VD16. Tính I  �
3 , V là miền giới hạn bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt
V (1  x  y  z )
phẳng x + y + z = 1.

( x 2  y 2 )dxdydz , V giới hạn bởi x 2  y 2  z 2 �R 2 ; z �0 .
�
�
VD17. Tính I  �
V
2
2
�
� x  y z dxdydz , V là miền hình trụ giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 2y,
VD18. Tính I  �
V

z = 0, z = a.

VD19.

VD20.

VD21.

VD22.

LI GII
1.
J

xydxdydz .



V

ụi sang ta cu


x r sin .cos

y r sin .sin , khi o miờn V :


z r cos




0 ;0 , 0 r 2.
2
2
J

D(x,y,z)

r 2 sin . Do o
D(r, , )
J

xydxdydz



V


2


2

2

0

0

0


d
d
(r 2 sin2 .sin cos )r 2 sindr

32
15

2.

x r cos

Thc hin ụi bin trong ta tr ặt y r sin
z z

Định thức hàm của phép đổi biến là :
co s r sin 0
J ( r , , z ) sin
r cos 0 r
0
0
1
Khi o miờn V xác định bởi 0 r 1 , 0 z 3, 0 2


1

2

3

0

0

0

dr d  �
zr 3 dz
do ®ã I  ��

(

2 z 2 3
r4 1
9
)( )(
) 
0
4 0
2 0
4

3.
�
x  r cos
�
2
2
J �
x  y dxdydz Đổi sang tọa độ trụ �
y  r sin , khi đó miền V giới
�
�
V

�
zz
�

hạn bởi
0 � <  , 0 � r � 2sin , 0 � z �3.


2sin 

0

0

d
Khi đó J  �

3



2sin 

0

0

r dz  3�
d �r dr
�dr �

2

0

2

1 2sin
 3�r 3
d
0
3
0




 8�
sin3 d 
0

32
3

4.
Chiếu V lên mặt phẳng Oxy ta được ½ hình tròn tâm O bán kính 2
2

4 x 2

4

0

0

x2  y2

I �
xdx
2

I �
xdx
0

=
5.

64
15

�dy �dz

4 x 2

�(4  x
0

2

 y 2 )dy


Chiếu V lên mặt phẳng Oxy ta được tam giác cân đỉnh O và có cạnh bằng 1
1

1 x

x y

0

0

0

1

1 x

0

0

I �
dx �
dy

�( x  y )dz

I �
dx �
( x  y ) 2 dy

=

1
4

6.
�x  r cos 
�
Đổi sang tọa độ trụ �y  r sin 
�z  z
�

Khi đó V giới hạn bởi 0 � �2 , 0 �r �1, r �z �1
V

2

1

d ��
dr r dz
�
2

0



1

0

r


6

7.
�x  r cos 
dxdydz . Đổi tọa độ trụ �y  r sin 
�
�
Ta có thể tích cần tính V  �
�
V
�z  z
�

Khi đó V xác định bởi 0 � �2 , 0 �r �2, 0 �z �2
Do đó V 
 8

8.

2

2

2

0

0

0

d �
rdr �
dz
�


Giao của hai mặt đã cho được xác định bởi :
�z  3
�z  3
�
� 2
�2
2
2
�z  x  y  1
�x  y  4
Vậy, hình chiếu của V xuống mp Oxy là hình tròn tâm O bán kính 2. Ta có
V �
dxdydz
�

�
(V )

�x  rcos
�
Đổi biến số trong hệ tọa độ trụ : �y  r sin 
�z  z
�
�
0 � �2
�
0 �r �2
�
�
r 2  1 �z �3
�
2

2

0

0

d �
dr
Vậy : V = �

3

�rdz  8 .

r 2 1

9.
Ta có
V   (x, y, z) : 0 �x �1, 0 �y �1  x, 0 �z �1  x  y .

Vậy
1

1 x

1 x  y

0

0

0

I�
xdxdydz  �
dx �
dy
�
�
V

1

1 x

0

0

�
dx �
x (1  x  y)dy
1



1
1
x (1  x) 2 dx 
�
20
24

10.

�xdz

J (r , , z )  r . Và


x r sin cos

Chuyn sang h ta cu y r sin sin vi
z r cos



0 2 , 0 , 0 r a.
2
I
(x y ) dxdydz.


2

2

V



2

d
sin

0




2

a

3

0

d
r 4 dr
0

4 a 5
15

11.

x r cos

Thc hin ụi bin trong ta tr ặt y r sin
z z

Định thức hàm của phép đổi biến là :
co s r sin 0
J ( r , , z ) sin
r cos 0 r
0
0
1
Khi o miờn V xác định bởi 0 r 1 , 0 z 2, 0 2
1

2

2

0

0

0

dr d
zr 3dz
do đó I

2 z 2 2
r 1
(
)( )(
)
0
4 0
2 0
4

12.


I 

�
�
�x
V

1
2

 y2  z2

dxdydz

Đổi sang tọa độ cầu
�
x  r sin cos
�
y  r sin sin ,
�
�
z  r cos
�

2
Ta có định thức Jacobi: J  r sin

I 

r sindrdd
�
�

�
V'

trong đó miền V ' xác định bởi
1 �r �2,0 �  2 ,0 �  

Vậy I 

2



2

0

0

1

d �
sin d �
rdr
�

3
 2 .2.  6 .
2

13.

J 

xyzdxdydz .
�
�
�
V

Đổi sang tọa độ cầu

�
x  r sin .cos
�
y  r sin .sin , khi đó miền V :
�
�
z  r cos
�



0 � � ;0 � � , 0 �r �1.
2
2
J 

D(x,y,z)
 r 2 sin . Do đó
D(r, , )
J 

xyzdxdydz
�
�
�
V


2


2

1

0

0

0

�
d �
d �
(r 3 sin2  .cos sin cos )r 2 sindr

2


2

0

0

1

�
sin cosd �
sin  .cosd �
r 5dr 
3

0

1
48


14.
�
x  r cos
�
2
2
J �
x  y zdxdydz Đổi sang tọa độ trụ �
y  r sin , khi đó miền V giới
�
�

V
�
zz
�

hạn bởi
0 � <  , 0 � r � 2sin , 0 � z �3.


2sin



3

9
d �dr �
r zdz  �
d
Khi đó J  �
20
0
0
0


2

2sin

�r dr
2

0


9 1 3 2sin
r
d
0
2�
3
0



 12�
sin3 d  16
0

15.
Ta có thể tích cần tính V =

dxdydz ,
�
�
�
V

trong đó miền V được xác định bởi



2
2
2
2
0 �x �1, x2 �y �x , x  y �z �2 x  y



Do đó
1

x



2 x2y2



dxdydz  �
dx �
dy �dz
�
�
�
V

1

0

x

2

x2y2

x

�
dx �
(x2  y2)dy 
0

x

2

�2
1 3 �y  x
�
x
y

y �
�
2 dx

y

x
3
�
0�
1

1
�4 3
1 6�
3
4
�
dx 
� x x  x �
3
3 �
35
0�

16.

Miền V được xác định: 0 �x �1, 0 �y �1 – x , 0 �z �1 – x – y . Do đó


1 x  y
1
1 x
dxdydz

dz
I �

dx
dy
�
�
� � �
3
3
V (1  x  y  z )
0
0
0 (1  x  y  z )
1
1 x �
� 1 �3 x
1
1
1 � 1
5
�
dx �� 
dy  �
 
dx  ln 2 
�
�
2 �
0

0
4 (1  x  y ) � 0 �4 4 1  x � 2
16
�
17. Chuyển sang tọa độ cầu, với V’ được xác định: 0 �r �R, 0 � �2 
0 � � /2, ta có
2


2

R

0

0

0

I �
( x 2  y 2 )dxdydz  �d �
sin 3  d �
r 4 dr 
�
�
V

4 R 5
15

18. Chuyển sang tọa độ trụ, với D là miền tròn giới hạn bởi đường tròn có phương trình x2 + y2
= 2y hay r = 2sin  . Do đó

a 2  2sin  2
I �
d �r dr
�
� x  y z dxdydz 
�
V
1
2 0
4a 2 
16a 2
2

(1

cos

)sin

d


�
3 0
9
2

19.

2


20.

21.


22.